MA33 - Introdução à Álgebra Linear - Unidade 4
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MA33 - Introdução à Álgebra Linear Unidade 4 - Matrizes elementares, resolução de sistemas A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa PROFMAT - SBM 10 de agosto de 2013 Matrizes elementares Nesta unidade, veremos que cada transformação elementar realizada nas linhas de uma matriz pode ser obtida utilizando-se produto de matrizes. Mais especificamente, cada transformação elementar pode ser obtida realizando-se o produto de uma matriz elementar pela matriz dada. Para tanto, passamos a descrever o que é uma matriz elementar e algumas de suas propriedades. Uma matriz elementar de ordem n é uma matriz quadrada de ordem n obtida da matriz identidade In a partir da aplicação de uma transformação elementar, isto é, trata-se de uma matriz da forma E = e(In ), onde e é uma transformação elementar. Por exemplo, as matrizes a seguir são matrizes elementares de ordem 2 e 3, respectivamente: PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 2/14 Matrizes elementares e(I2 ) = 0 1 1 0 onde e : L1 ↔ L2 1 1 0 e(I3 ) = 0 1 0 onde e : L1 ↔ L1 + L2 0 0 1 Teorema: Seja e uma transformação elementar sobre matrizes de M(m, n). Considere a matriz elementar E = e(Im ). Então, e(A) = EA, para toda A ∈ M(m, n). Demonstração: Considere a seguinte notação: Ei,j = e(Im ), onde e : Li ↔ Lj ; Ei (c) = e(Im ), onde e : Li ↔ cLi ; Ei,j (c) = e(Im ), onde e : Lj ↔ cLi + Lj . Com a notação Ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ∈ Rm , temos que Ei A = Ai (i-ésima linha da matriz A). Daı́, PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 3/14 Matrizes elementares E1 .. . Ej .. Ei,j A = . A = Ei .. . En E1 A .. . Ej A .. = . Ei A .. . En A A1 .. . Aj .. = e(A) . Ai .. . An onde e : Li ↔ Lj PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 4/14 Matrizes elementares A1 E1 A E1 .. .. .. . . . Ei (c)A = cEi A = cEi A = cAi .. .. .. . . . An En A En E1 .. . Ei,j (c)A = Ej + cEi .. . En E1 A .. . A = Ej A + cEi A .. . En A = e(A); e : Li ↔ cLi A1 .. . = Aj + cAi .. . An = e(A) onde e : Lj ↔ cLi + Lj . PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 5/14 Matrizes elementares Assim, aplicar uma sequência de operações elementares em uma matriz, corresponde a multiplicar a matriz a esquerda por um produto de matrizes elementares. Como consequência imediata deste teorema, temos os seguintes fatos: I Sejam A, B ∈ M(m, n). Então, A é equivalente a B se, e somente se, existem matrizes elementares E1 , E2 . . . . , Es de ordem m tais que Es · · · E2 E1 A = B. I Toda matriz elementar E é invertı́vel e sua inversa também é uma matriz elementar. Além disso, E −1 = E . A seguir, apresentamos o resultado central desta seção que caracteriza as matrizes invertı́veis. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 6/14 Matrizes elementares Teorema: Para uma matriz quadrada A de ordem n, são equivalentes as seguintes afirmações: (a) A é invertı́vel; (b) Se B é uma matriz na forma escalonada equivalente a A, então B = In ; (c) A é uma matriz elementar ou um produto de matrizes elementares. Como consequência do teorema acima, apresentando um método para inversão de matrizes por meio de transformações elementares. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 7/14 Matrizes elementares Método: Sejam A uma matriz invertı́vel e e1 , . . . , es uma sequência de transformações elementares tais que es (· · · (e2 (e1 (A))) · · · ) = I , onde I é a matriz identidade. Então essa mesma sequência de transformações elementares aplicada a I produz A−1 ; isto é, es (· · · (e2 (e1 (I ))) · · · ) = A−1 . O exemplo a seguir ilustra o método apresentado. 5 Exemplo: Calcularemos a inversa da matriz 1 .. .. L ↔ 51 L1 5 8 . 1 0 1−→ 1 8/5 . . . 1 2 .. 0 1 1 2 .. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear 8 2 . 1/5 0 0 1 slide 8/14 Matrizes elementares L2 ↔L2 −L1 −→ .. L ↔ 52 L2 1 8/5 . 1/5 0 2−→ . 0 2/5 .. −1/5 1 .. 8 L L ↔L − 0 1 1 5 2 1 0 1 8/5 . 1/5 −→ .. 0 1 0 1 . −1/2 5/2 Portanto, PROFMAT - SBM 5 8 1 2 −1 = 1 −4 −1/2 5/2 MA33 - Introdução à Álgebra Linear .. . 1 −4 .. . −1/2 5/2 . slide 9/14 Resolução de sistemas Agora, poremos em funcionamento a maquinária desenvolvida com as matrizes para a resolução de sistemas de equações lineares, culminando com o Teorema do Posto. Trata-se de um resultado central dessa teoria que descreve a resolubidade dos sistemas de equações lineares gerais. Este teorema é também conhecido no Ensino Médio como Teorema de Rouché-Capelli. Quanto a suas soluções, um sistema linear se classifica como impossı́vel, ou possı́vel e determinado, ou possı́vel e indeterminado. Um sistema linear é chamado impossı́vel, quando não tem solução, possı́vel e determinado, quando tem uma única solução e possı́vel e indeterminado quando tem mais de uma solução. Vimos em unidades anteriores que um sistema linear homogêneo com n incógnitas é sempre possı́vel, pois admite como solução a n-upla (0, . . . , 0), chamada solução trivial. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 10/14 Resolução de sistemas Um método bem eficaz para se resolver um sistema linear é o método do escalonamento. Este consiste em se tomar a matriz ampliada de um sistema linear e aplicar uma sequência de transformações elementares a esta matriz, de modo a obtermos uma matriz equivalente que seja a matriz ampliada de um sistema linear “fácil” de se resolver. Proposição: Dois sistemas lineares com matrizes ampliadas equivalentes têm o mesmo conjunto solução. Aplicando o método do escalonamento à matriz ampliada de um sistema linear, para obtermos um sistema linear equivalente, ao final do processo podemos garantir a existência ou não de solução do sistema linear obtido. Este fato é enunciado no teorema a seguir. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 11/14 Resolução de sistemas Teorema: Seja A = [A 0 |A 00 ] ∈ M(m, n) uma matriz na forma escalonada, onde A 0 ∈ M(m, n − 1). Sejam k1 , . . . , kp as posições das colunas de A onde ocorrem os primeiros elementos não nulos das linhas L1 , . . . , Lp , respectivamente. O sistema A 0 X = A 00 admite solução se, e somente se, kp 6= n. Como toda matriz é equivalente por linhas a uma única (prove !) matriz na forma escalonada, definimos o posto (denotado por p) de uma matriz A como o número de linhas não nulas de sua forma escalonada. Desta forma, o teorema acima pode ser reinterpretado com a noção de posto do seguinte modo: PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 12/14 Resolução de sistemas Um sistema de equações lineares AX = B admite solução se, e somente se, o posto da matriz aumentada [A | B] do sistema tiver posto igual ao da matriz A do sistema. Isto é parte do Teorema de Rouché-Capelli, resultado que apresentamos na ı́ntegra a seguir. Teorema de Rouché-Capelli (Teorema do Posto): Consideremos um sistema linear com m equações e n incógnitas AX = B . Sejam pAB o posto da matriz ampliada do sistema e pA o posto da matriz dos coeficientes do sistema. Então, o sistema é possı́vel se, e somente se, pAB = pA . Além disso, (i) O sistema é possı́vel e determinado se pAB = pA = n. (ii) O sistema é possı́vel e indeterminado se pAB = pA < n. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 13/14 Resolução de sistemas Exemplo: Que condições devem ser impostas a a, b, e c para que o sistema abaixo nas incógnitas x, y e z tenha solução ? x + 2y − 3z = a 2x + 6y − 11z = b x − 2y + 7z = c Solução: 1 2 −3 a 1 0 2 3a − b 2 6 −11 b escalonando b/2 − a −→ 0 1 −5/2 1 −2 7 c 0 0 0 c + 2b − 5a Portanto, o sistema tem solução se só se c + 2b − 5a = 0. Além disso, o sistema é possı́vel e indeterminado. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 14/14
