ESTATÍSTICA
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ESTATÍSTICA
O presente material foi elaborado com o objetivo de facilitar as atividades em sala de
aula, seguindo a bibliografia apresentada no final do texto. Esclarece-se que o material, não
substitui a bibliografia apresentada, portanto, é necessário consultar os livros recomendados.
Profa. Sachiko Araki Lira
.
2º. SEMESTRE DE 2016
SUMÁRIO
ESTATÍSTICA DESCRITIVA ........................................................................................................ 1
1.1 Variável Aleatória ................................................................................................................ 2
1.2 Tipos de Escalas e Variáveis............................................................................................... 4
1.3 Tabelas ............................................................................................................................... 5
1.3.1 Elementos essenciais de uma tabela ............................................................................... 5
1.3.2 Tabelas de distribuição de frequências............................................................................. 6
1.3.2.1 Variável Discreta ........................................................................................................... 6
1.3.2.2 Variável Contínua .......................................................................................................... 8
1.4 Gráficos ............................................................................................................................... 9
1.4.1 Representação Gráfica ..................................................................................................... 9
1.4.2 Histograma de Frequências.............................................................................................. 9
1.4.3 Diagrama de Ramo e Folhas (Stem and Leaf Plot) ........................................................ 10
1.4.4 Gráfico de Boxplot ou da Caixa ...................................................................................... 11
1.4.5 Gráfico de Linhas ........................................................................................................... 12
1.5 Medidas de Localização, Variabilidade e Forma da Distribuição ....................................... 12
1.5.1 Tendência Central .......................................................................................................... 13
1.5.1.1 Esperança matemática ou média aritmética ................................................................ 13
1.5.1.2 Mediana ...................................................................................................................... 15
1.5.1.3 Moda ........................................................................................................................... 18
1.5.2 Medidas de Posição (ou Separatrizes) ........................................................................... 20
1.5.2.1 Quartil.......................................................................................................................... 20
1.5.3 Medidas de Dispersão .................................................................................................... 22
1.5.3.1 Amplitude Total ........................................................................................................... 22
1.5.3.2 Amplitude Interquartil................................................................................................... 23
1.5.3.3 Desvio Médio............................................................................................................... 23
1.5.3.4 Variância e Desvio Padrão .......................................................................................... 24
1.5.3.5 Coeficiente de Variação............................................................................................... 27
1.5.4 Forma da Distribuição .................................................................................................... 27
1.5.4.1 Coeficiente do momento de assimetria ........................................................................ 27
1.5.4.2 Coeficiente do momento de curtose ............................................................................ 28
Lista de Exercícios no. 1 – Estatística Descritiva ..................................................................... 31
ELEMENTOS DE PROBABILIDADES ....................................................................................... 34
2.1 Experimento Aleatório (E) ................................................................................................ 34
2.2 Espaço Amostral (S) ......................................................................................................... 34
2.3 Evento ............................................................................................................................... 34
2.3.1 Evento Complementar .................................................................................................... 35
2.3.2 Eventos Independentes .................................................................................................. 35
2.3.3 Eventos Mutuamente Exclusivos .................................................................................... 36
2.4 Definição Clássica de Probabilidade ................................................................................. 37
2.5 Definição Axiomática de Probabilidade ............................................................................. 37
2.6 Probabilidade Condicional ................................................................................................. 37
2.7 Teorema da Probabilidade Total ....................................................................................... 38
2.8 Teorema de Bayes ............................................................................................................ 39
Lista de Exercícios no. 2 - Probabilidades ............................................................................... 40
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES .............. 43
3.1 Definições ......................................................................................................................... 43
3.2 Distribuições de Probabilidades Discretas ......................................................................... 46
3.2.1 Distribuição binomial ...................................................................................................... 46
3.2.2 Distribuição de Poisson .................................................................................................. 48
3.2.3 Distribuição Hipergeométrica .......................................................................................... 50
ii
SUMÁRIO
Lista de Exercícios no. 3 – Distribuições de Probabilidades Discretas .................................... 52
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES .............. 54
4.1 Definições ......................................................................................................................... 54
4.2 Distribuições de Probabilidades Continuas ........................................................................ 56
4.2.1 Distribuição Exponencial ................................................................................................ 56
4.2.2 Distribuição normal ou Gaussiana .................................................................................. 57
4.3.2.1 Distribuição normal padronizada ou reduzida .............................................................. 59
4.3.3 Distribuição 2 ( qui-quadrado)...................................................................................... 61
4.3.4 Distribuição “ t ” de Student ............................................................................................ 62
4.3.5 Distribuição F de Snedecor ............................................................................................ 63
Lista de Exercícios no. 4 – Distribuições de Probabilidades Contínuas ................................... 64
NOÇÕES DE AMOSTRAGEM E DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS.............................................. 66
5.1 Introdução ......................................................................................................................... 66
5.2 Amostragem Probabilística ................................................................................................ 66
5.2.1 Amostragem Aleatória Simples (AAS) ............................................................................ 66
5.2.2 Amostragem Sistemática ................................................................................................ 67
5.2.3 Amostragem Estratificada............................................................................................... 68
5.3 Distribuições Amostrais ..................................................................................................... 68
5.3.1 Distribuição Amostral de Médias .................................................................................... 68
5.3.2 Distribuição Amostral de Proporções .............................................................................. 72
5.3.3 Distribuição Amostral da Variância ................................................................................. 72
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS .............................................................................................. 74
6.1 Introdução ......................................................................................................................... 74
6.2 Estimador e Estimativa ...................................................................................................... 74
6.3 Qualidades de um Estimador ............................................................................................ 74
6.4 Estimação por Pontos ....................................................................................................... 75
6.4.1 Estimador da Média Populacional .................................................................................. 75
6.4.2 Estimador da Variância Populacional ............................................................................. 75
6.4.3 Estimador do Desvio Padrão Populacional ..................................................................... 76
6.4.4 Estimador da Proporção Populacional ............................................................................ 76
6.5 Estimação por Intervalo ..................................................................................................... 76
6.5.1 Intervalo de Confiança para Média populacional ............................................................ 76
6.5.2 Intervalo de Confiança para Diferença entre Duas Médias Populacionais 1 e 2 ......... 80
6.5.3 Intervalo de Confiança para a Variância Populacional .................................................... 84
6.5.4 Intervalo de Confiança para o Desvio Padrão Populacional ........................................... 85
6.5.5 Intervalo de Confiança para Proporção Populacional ..................................................... 86
6.6 Dimensionamento da Amostra .......................................................................................... 87
6.6.1 Estimação da Média Populacional .................................................................................. 87
6.6.2 Estimação da Proporção Populacional ........................................................................... 88
Lista de Exercícios no. 5 - Intervalos de Confiança ................................................................ 89
TESTES DE HIPÓTESES .......................................................................................................... 92
7.1 Etapas para Testes de Hipóteses ...................................................................................... 92
7.1.1 Nível de Significância ..................................................................................................... 92
7.1.2 Erro Estatístico ............................................................................................................... 93
7.2 Testes Estatísticos Paramétricos ...................................................................................... 93
7.2.1 Teste para a Média Populacional ................................................................................... 93
7.2.1.1 Quando a variância populacional 2 é Conhecida ...................................................... 93
7.2.1.2 Quando a variância populacional 2 é desconhecida ................................................. 95
7.2.2 Teste para a Proporção Populacional ............................................................................. 96
7.2.3 Teste para a Variância Populacional .............................................................................. 98
7.2.4 Teste para a Diferença entre Duas Médias Populacionais............................................ 100
7.2.4.1 Quando as variâncias populacionais 12 e 22 são Conhecidas ................................ 100
7.2.4.2 Quando as variâncias populacionais 12 e 22 são Desconhecidas .......................... 102
7.2.5 Duas Amostras Emparelhadas ..................................................................................... 106
7.2.6 Teste para Igualdade de Duas Variâncias .................................................................... 107
SACHIKO ARAKI LIRA
iii
Lista de Exercícios no. 6 – Testes de Hipóteses ................................................................... 110
TESTES DE ADERÊNCIA ....................................................................................................... 113
8.1 Teste Qui-quadrado de Aderência ................................................................................... 113
8.2 Teste de Lilliefors ............................................................................................................ 117
Lista de Exercícios no. 7 – Testes de Aderência ................................................................... 119
ANÁLISE DA VARIÂNCIA ........................................................................................................ 121
9.1 Fundamentos da ANOVA ................................................................................................ 121
9.2 Análise da Variância a um Critério de Classificação ........................................................ 123
9.3 Comparações Múltiplas entre Médias .............................................................................. 128
9.3.1 Teste de Scheffé .......................................................................................................... 128
Lista de Exercícios no. 8 – Análise da Variância ................................................................... 131
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO SIMPLES ....................................................... 133
10.1 Introdução ..................................................................................................................... 133
10.2 Diagrama de Dispersão ................................................................................................. 133
10.3 Análise de Correlação ................................................................................................... 134
10.3.1 Coeficiente de Correlação Linear de Pearson ............................................................ 134
10.3.1.1 Teste de Hipóteses para Coeficiente de Correlação ................................................ 136
10.4 Análise de Regressão Linear Simples ........................................................................... 137
10.4.1 Estimação dos Parâmetros......................................................................................... 138
10.4.2 Testes de Hipóteses na Regressão Linear ................................................................ 141
10.4.2.1Teste t ..................................................................................................................... 141
10.4.2.2 Análise da Variância ................................................................................................ 141
10.4.3 Coeficiente de Determinação ou Explicação............................................................... 144
10.5 Ajuste de Curva Geométrica (ou Função Potência) ....................................................... 147
10.5.1 Estimativa dos Coeficientes........................................................................................ 148
10.5.2 Testes de Hipóteses ................................................................................................... 149
10.5.2.1 Análise da Variância ................................................................................................ 149
10.5.3 Coeficiente de Determinação ou Explicação............................................................... 149
10.6 Ajuste de Função Exponencial ...................................................................................... 152
10.6.1 Estimativa dos Coeficientes........................................................................................ 153
10.6.2 Testes de Hipóteses ................................................................................................... 154
10.6.2.1 Análise da Variância ................................................................................................ 154
10.6.3. Coeficiente de Determinação ou Explicação .............................................................. 154
Lista de Exercícios no. 9 – Análise de Correlação e Regressão ............................................ 158
ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA ..................................................................... 160
11.1 Regressão Linear com 2 Variáveis Independentes ........................................................ 160
11.1.1 Estimativas dos Coeficientes de Regressão ............................................................... 161
1.1.2 Teste para Verificar a Existência de Regressão ........................................................... 161
11.1.3 Cálculo do Coeficiente de Determinação ou Explicação ............................................. 161
Lista de Exercícios no. 10 – Análise de regressão Linear Múltipla ........................................ 166
BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................................ 168
TABELA A1.1 – ÁREAS SOB A CURVA NORMAL ............................................................... 169
TABELA A1.2 – ÁREAS SOB A CURVA NORMAL ............................................................... 170
TABELA A2 - DISTRIBUIÇÃO ‘ t ’ DE STUDENT .................................................................. 171
TABELA A3 - DISTRIBUIÇÃO DE 2 .................................................................................. 172
TABELA A4 - DISTRIBUIÇÃO ‘F’ DE SNEDECOR (Nível de Significância 1%) .................... 173
TABELA A5 - DISTRIBUIÇÃO ‘F’ DE SNEDECOR (Nível de Significância de 5%) ............... 174
TABELA A6 - DISTRIBUIÇÃO ‘F’ DE SNEDECOR (Nível de Significância de 10%) ............. 175
TABELA A7 - VALORES CRÍTICOS ( dc ) PARA TESTE DE LILLIERFORS ....................... 176
iv
SUMÁRIO
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
INTRODUÇÃO
Estatística é a ciência que trata da coleta, organização, descrição, análise e interpretação dos
dados experimentais. A FIGURA 1, a seguir, mostra o contexto em que se situa o estudo
completo da Estatística, aqui subdividido em Estatística Descritiva e Estatística Indutiva (ou
Inferência Estatística).
FIGURA 1 - ESQUEMA GERAL DA ESTATÍSTICA
Estatística
Descritiva
Amostragem
Cálculo das
Probabilidade
s
Estatística
Indutiva
FONTE: COSTA NETO (1994, p.4).
A Estatística Descritiva é a parte que trata da organização e descrição de dados, através dos
cálculos de médias, variâncias, estudo de gráficos, tabelas etc.
A Teoria das Probabilidades permite-nos modelar os fenômenos aleatórios, ou seja, aqueles em
que está presente a incerteza. É uma ferramenta fundamental para a inferência estatística.
A Estatística Indutiva compreende um conjunto de técnicas baseadas em probabilidades, que a
partir de dados amostrais, permite-nos tirar conclusões sobre a população de interesse.
A Amostragem é o ponto de partida para um estudo estatístico. O estudo de qualquer
fenômeno, seja ele natural, social, econômico ou biológico, exige a coleta e a análise de dados
estatísticos. A coleta de dados é, pois, a fase inicial de qualquer pesquisa.
A População é o conjunto de todas as observações potenciais sobre determinado fenômeno. O
conjunto de dados efetivamente observados, ou extraídos, constitui uma amostra da população.
É a partir do dado amostral, que se desenvolvem os estudos, com o objetivo de se fazer
inferências sobre a população.
SACHIKO ARAKI LIRA
1
1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
O objetivo da estatística descritiva é organizar os dados e apresentá-los de forma a possibilitar a
visualização das informações subjacentes (que não são observáveis). As técnicas estatísticas e
gráficas, disponíveis para a análise exploratória de dados, podem ser aplicadas a qualquer
conjunto de dados, sejam para dados populacionais ou amostrais.
O parâmetro é uma medida numérica que descreve de forma reduzida alguma característica de
uma população ou universo. É habitualmente representado por letras gregas. Por exemplo: μ
(média), σ (desvio padrão), ρ (coeficiente de correlação). O parâmetro normalmente é
desconhecido e, deseja-se estimar através de dados amostrais.
Estatística ou medida amostral é uma medida numérica que descreve alguma característica de
uma amostra. É habitualmente representada por letras latinas. Por exemplo: X (média), S
(desvio padrão), r (coeficiente de correlação).
Em resumo, a análise exploratória de dados permite organizar os dados através de tabelas,
gráficos e medidas de localização e dispersão, procurando mostrar um padrão ou
comportamento de um conjunto de dados.
1.1 VARIÁVEL ALEATÓRIA
Variável aleatória é aquela cujo valor numérico não é conhecido antes da sua observação. Esta
tem uma distribuição de probabilidades associada, o que permite calcular a probabilidade de
ocorrência de certos valores.
Geralmente, utilizam-se letras maiúsculas (X, Y, Z...) para designar as variáveis aleatórias, e
minúsculas (x, y, z...) para indicar particulares valores dessas variáveis. O comportamento de
uma variável aleatória é descrito por sua distribuição de probabilidade.
Exemplo: Suponha que em um lote de 10 parafusos, 2 são defeituosos. A variável aleatória
X=número de parafusos defeituosos, na escolha de 3 parafusos com reposição, pode assumir os
seguintes valores:
0 , se s PPP
1, se s DPP ou s PDP ou s PPD
X(s)
2, se s DDP ou s DPD ou s PDD
3, se s DDD
sendo P=perfeito e D=defeituoso.
A distribuição de probabilidades é apresentada no QUADRO1.
QUADRO 1 - DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
DA VARIÁVEL ALEATÓRIA X
Xx
2
P( X x )
0
(8 10 ) 3 0,512
1
3 (8 10 ) 2 (2 10 ) 0,384
2
3 (8 10 ) (2 10 ) 2 0,096
3
(2 / 10 ) 3 0,008
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
A função de repartição ou função de distribuição acumulada da v. a X é definida por
FX ( x ) PX ( X x ) , x R , ou seja, é definida como sendo a probabilidade de X assumir um valor
menor ou igual a x. Como exemplo tem-se o QUADRO 2.
QUADRO 2 - FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA DA
VARIÁVEL ALEATÓRIA X
Xx
P( X x )
FX ( x)
0
(8 10 ) 0,512
1
3 (8 10 ) (2 10 ) 0,384
0,896
2
3 (8 10 ) (2 10 ) 0,096
0,992
3
(2 / 10 ) 0,008
1,000
3
0,512
2
2
3
1.1.1 ARREDONDAMENTO DE NÚMEROS
1. Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 0, 1, 2, 3 ou 4, fica inalterado o último
número que permanecer.
Exemplo: seja o número 48,231, ao arredondar para 2 casas decimais ficará 48,23.
2. Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 6, 7, 8 ou 9, aumenta-se de uma unidade
o último algarismo a permanecer.
Exemplo: o número 23,077, ao arredondar para 2 casas decimais ficará 23,08.
3. Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 5, haverá duas formas:
a) como regra geral, aumenta-se de uma unidade o último algarismo a permanecer.
Exemplo: 12,5253 ficará 12,53.
b) se ao 5 só seguirem zeros, o último algarismo a ser conservado só será aumentado se for
ímpar.
Exemplo: 24,7750 passa a ser 24,78
24,7650 passa a ser 24,76.
Exemplos: arredondar os números dados para 2 casa decimais.
17,44452 ficará 17,44;
179,5673 ficará 179,57;
87,4931 ficará 87,49;
4,5652 ficará 4,57;
4,5650 ficará 4,56;
4,575 ficará 4,58.
SACHIKO ARAKI LIRA
3
4. Quando houver parcelas e total, e ocorrer diferença no arredondamento, deve-se fazer
correção na parcela (ou parcelas) onde o erro relativo for menor.
Exemplo:
2,4
13,4
16,1
----31,9
para 2
14
16
---32
1.2 TIPOS DE ESCALAS E VARIÁVEIS
Uma variável pode se apresentar das seguintes formas, quanto aos valores assumidos:
1.o Escala nominal: é aquela que permite o agrupamento da unidade de observação (unidade da
pesquisa) de acordo com uma classificação qualitativa em categorias definidas, ou seja, consiste
simplesmente em nomear ou rotular, não sendo possível estabelecer graduação ou ordenamento.
Ao se trabalhar com essa escala, cada unidade de observação deve ser classificada em uma e
somente uma categoria, isto é, deve ser mutuamente excludente.
Por exemplo, seja X, a variável, estado de uma peça de automóvel. Neste caso, a variável X
assume as categorias “perfeita” e “defeituosa”, sendo denominada dicotômica. Quando assume
mais de duas categorias é denominada politômica. Não tem significado aritmético ou de
quantificação, não se faz cálculos, apenas a contagem.
2.o Escala ordinal: permite o agrupamento da unidade de observação de acordo com uma ordem
de classificação. A escala ordinal fornece informações sobre a ordenação das categorias, mas
não indica a grandeza das diferenças entre os valores.
Exemplo: Seja X a variável que indica a qualidade de um determinado produto. Tem-se então: A
(indicando melhor qualidade), B (qualidade intermediária) e C (pior qualidade).
3.º Escala intervalar: é uma escala ordinal em que a distância entre as categorias é sempre a
mesma. As escalas para medir temperaturas como a Fahrenheit e a Centígrada são exemplos de
escalas de intervalo. Não se pode afirmar que 40 graus é duas vezes mais quente que uma
temperatura de 20 graus, embora se possa dizer que a diferença entre 20 graus e 40 graus é a
mesma que entre 75 graus e 95 graus.
4.º Escala de razão: quando uma escala tem todas as características de uma escala intervalar e
o zero absoluto representa o ponto de origem, é chamada escala de razão. Sempre que possível,
é preferível utilizar a medida de escala de razão, pois a partir desta pode-se transformar em
escala intervalar, ordinal ou nominal, não ocorrendo o inverso.
De acordo com o nível de mensuração, a variável pode ser classificada em qualitativa ou
quantitativa. Variável qualitativa é aquela cujo nível de mensuração é nominal ou ordinal,
enquanto a quantitativa é aquela em que o nível de mensuração é intervalar ou de razão.
A variável quantitativa pode ser ainda discreta ou contínua, sendo a primeira resultante de
contagem, assumindo somente valores inteiros, e a última de medições, assumindo qualquer
4
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
valor no campo dos números reais. Apresentam-se, a seguir, os conceitos de variáveis
quantitativas discretas e contínuas.
Variável aleatória discreta: uma variável aleatória X é discreta se o conjunto de valores
possíveis de X for finito ou infinito numerável.
Variável aleatória contínua: a variável aleatória X é chamada de contínua quando o seu
contradomínio é um conjunto infinito.
A FIGURA 2 apresenta os tipos de variáveis de forma resumida.
FIGURA 2 - TIPOS DE VARIÁVEIS
Nominal
Qualitativa
Ordinal
Variável
Discreta
Quantitativa
Contínua
FONTE: A autora
Exemplo de aplicação: Seja uma população de peças produzidas em um determinado
processo. É possível ter as seguintes situações conforme QUADRO 3:
QUADRO 3 – CLASSIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS SEGUNDO TIPO
VARIÁVEIS
TIPO
Estado: Conforme ou Não-conforme
Qualitativa Nominal
Qualidade: 1ª., 2ª. ou 3ª. categoria
Qualitativa Ordinal
Número de peças conformes
Quantitativa Discreta
Comprimento das peças
Quantitativa Contínua
FONTE: A autora
1.3 TABELAS
1.3.1 ELEMENTOS ESSENCIAIS DE UMA TABELA
Uma tabela deve apresentar os dados de forma resumida, oferecendo uma visão geral do
comportamento do fenômeno analisado.
Uma tabela é constituída dos seguintes elementos:
SACHIKO ARAKI LIRA
5
1 - Título: é a indicação que precede a tabela e contém a identificação de três fatores do
fenômeno.
a) A data a qual se refere;
b) o local onde ocorreu o evento;
c) o fenômeno que é descrito.
2 - Cabeçalho: é a parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas.
3 - Corpo da tabela: é o espaço que contém as informações sobre o fenômeno observado.
4 - Fonte: é a indicação da entidade responsável pelo levantamento dos dados.
Para obter mais informações consultar o manual de normalização de documentos científicos de
acordo com as normas da ABNT (AMADEU, et al. 2015)
1.3.2 TABELAS DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
Serão apresentados alguns conceitos importantes para a construção de tabelas de frequências.
Dados brutos: É o conjunto de dados numéricos obtidos e que ainda não foram
organizados.
Rol: É o arranjo dos dados brutos em ordem crescente (ou decrescente).
Amplitude (At): É a diferença entre o maior e o menor dos valores observados.
Frequência absoluta ( fi ): É o número de vezes que um elemento aparece no conjunto de
dados:
k
fi n
onde n é o número total de observações e k é o número de valores diferentes
i1
observados.
Frequência Relativa ( fr ):
fr
fi
n
k
e fri 1
i1
Frequência Absoluta Acumulada ( fac ): É a soma da frequência absoluta do valor i assumida
pela variável com todas as frequências absolutas anteriores.
1.3.2.1 VARIÁVEL DISCRETA
Quando uma variável quantitativa discreta assume poucos valores, pode-se considerar que cada
valor seja uma classe e que existe uma ordem natural nessas classes.
Exemplo: Os dados que seguem apresentam os resultados da inspeção diária de todas as
unidades de computadores produzidos durante os últimos 10 dias. O número de unidades nãoconformes são: 4 - 7 - 5 - 8 - 6 - 6 - 4 - 5 - 8 - 7
6
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
TABELA 1 - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DO NÚMERO DE
UNIDADES NÃO CONFORMES DE COMPUTADORES
PRODUZIDOS DURANTE 10 DIAS
NÚMERO DE DEFEITOS
NÚMERO DE DIAS (Freq.)
4
5
6
7
8
2
2
2
2
2
FONTE: MONTEGOMERY, D. C.
NOTA: A produção diária é de 100 computadores.
Número de Classes (k)
Quando se tratar de uma variável quantitativa discreta que pode assumir um grande número de
valores distintos, a construção da tabela de frequências e de gráficos considerando cada valor
como uma categoria fica inviável. A solução é agrupar os valores em classes ao elaborar a
tabela.
Segundo Bussab e Morettin, a escolha dos intervalos dependerá do conhecimento que o
pesquisador tem sobre os dados. Assim, a definição do número de intervalos ou classes é
arbitrária. Mas, vale lembrar que, quando se utiliza um pequeno número de intervalos pode-se
perder informações, e ao contrário, com um grande número de intervalos pode-se prejudicar o
resumo dos dados.
Existem duas soluções para a definição do número de intervalos bastante utilizadas que são:
1) Se o número de elementos (n) for menor ou igual a 25 então o número de classes (k) é igual a
5; se n for maior que 25, então o número de classes é aproximadamente a raiz quadrada
positiva de n. Ou seja:
Para n 25, k = 5
Para n > 25, k =
n
2) Fórmula de Sturges para número de classes: k 1 3,3 log ( n ) .
Amplitude total ou “range” (At): É a diferença entre o maior e o menor valor observados no
conjunto de dados.
A t X máx X min
Amplitude dos intervalos ou das classes (h): É a divisão da amplitude total (At) pelo número
de intervalos (k).
Ou seja: h
At
k
SACHIKO ARAKI LIRA
7
1.3.2.2 VARIÁVEL CONTÍNUA
Quando a variável quantitativa em estudo é contínua, que assume muitos valores distintos, o
agrupamento dos dados em classes será sempre necessário, na construção das tabelas de
frequências.
Exemplo 1: A tabela abaixo apresenta as medidas de uma dimensão de uma peça produzida por
um processo de usinagem. Construir a tabela de distribuição de frequências em classes.
102,8 - 136,4 - 110,1 - 115,9 - 118,5 - 149,3 - 125,3 - 144,8 - 129,7 - 132,7
135,0 – 108,2 - 138,1 - 138,6 - 139,6 - 144,4 - 125,9 - 145,2 - 145,7 – 120,4
ROL:
102,8 - 108,2 - 110,1 - 115,9 - 118,5 - 120,4 - 125,3 - 125,9 - 129,7 - 132,7
135,0 - 136,4 - 138,1 - 138,6 - 139,6 - 144,4 - 144,8 - 145,2 - 145,7 - 149,3
A t X máx X min 149 ,3 102,8 46,50
k5
h
A t 46,50
9,3 10
k
5
TABELA 2 - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DAS MEDIDAS
DE UMA DIMENSÃO DAS PEÇAS PRODUZIDAS
POR UM PROCESSO DE USINAGEM
INTERVALO DE
CLASSES
fi
fr
fac
102,8 |--- 112,8
3
0,15
3
112,8 |--- 122,8
3
0,15
6
122,8 |--- 132,8
4
0,20
10
132,8 |--- 142,8
5
0,25
15
142,8 |--- 152,8
5
0,25
20
TOTAL
20
1,00
FONTE: Elaborada pela autora.
Exemplo 2: O tempo necessário para se realizar certa operação industrial foi cronometrado (em
segundos), sendo feita 30 determinações:
45 - 37 - 39 - 48 - 51 - 40 - 53 - 49 - 39 - 41 - 45 - 43 - 45 - 34 - 45
41 - 57 - 38 - 46 - 46 - 58 - 57 - 36 - 58 - 35 - 31 - 59 - 44 - 57 - 35
8
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
ROL:
31 - 34 - 35 - 35 - 36 - 37 - 38 - 39 - 39 - 40 - 41 -41 - 43 - 44 - 45
45 - 45 - 45 - 46 - 46 - 48 - 49 - 51 - 53 - 57- 57 - 57 - 58 - 58 – 59
A t Xmáx Xmin 59 31 28,0
k 1 3,3 log( 30 ) 5,87 6
h
(fórmula de Sturges)
A t 28
4,7 5
k
6
TABELA 3 - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DO TEMPO
NECESSÁRIO PARA REALIZAÇAO DE CERTA
OPERAÇÃO INDUSTRIAL
INTERVALO DE
CLASSES
fi
fr
31 |---- 36
4
0,13
4
36 |---- 41
41 |---- 46
6
8
0,20
0,27
10
18
46 |---- 51
51 |---- 56
4
2
0,13
0,07
22
24
56 |---- 61
TOTAL
6
30
0,20
1,00
30
fac
FONTE: Elaborada pela autora.
1.4 GRÁFICOS
1.4.1 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
O objetivo do gráfico é passar para o leitor uma visão clara do comportamento do fenômeno em
estudo, uma vez que os gráficos transmitem informação mais imediata do que uma tabela.
A representação gráfica de um fenômeno deve obedecer a certos requisitos fundamentais:
a) Simplicidade: O gráfico deve ser destituído de detalhes de importância secundária.
b) Clareza: o gráfico deve possibilitar uma correta interpretação dos valores representativos do
fenômeno em estudo.
c) Veracidade: o gráfico deve ser a verdadeira expressão do fenômeno em estudo.
1.4.2 HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIAS
Este é um gráfico usado para apresentar dados organizados em intervalos de classes, utilizado
principalmente para representar a distribuição de variáveis contínuas.
SACHIKO ARAKI LIRA
9
GRÁFICO 1 – HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIAS DA VARIÁVEL
HISTOGRAMA
ALEATÓRIA DE
X FREQUÊNCIAS
Freq.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
76
105
134
163
192
221
250
Classes
FONTE: Elaborado pela autora.
1.4.3 DIAGRAMA DE RAMO E FOLHAS (STEM AND LEAF PLOT)
Este diagrama é muito útil para uma primeira análise dos dados.
Passos para construir um diagrama de ramo e folhas:
1. ordenar os valores para encontrar o valor mínimo e máximo dos dados;
2. dividir cada número x i em duas partes: um ramo, consistindo em um ou mais dígitos iniciais, e
uma folha, consistindo nos dígitos restantes ;
3. listar os valores do ramo em uma coluna vertical;
4. a partir dai colocam-se os valores na folha . O valor zero, significa que há informação e que é
um número inteiro. Já, quando naquele valor inteiro não existe observações, não colocar nada,
deixar em branco;
5. escrever as unidades para o ramo e folhas no gráfico.
Considerando os dados do exemplo 1: Os dados referem-se às medidas de uma dimensão de
uma peça produzida por um processo de usinagem.
102,8 - 108,2 - 110,1 - 115,9 - 118,5 - 120,4 - 125,3 - 125,9 - 129,7 - 132,7
135,0 - 136,4 - 138,1 - 138,6 - 139,6 - 144,4 - 144,8 - 145,2 - 145,7 - 149,3
GRÁFICO 2 – DIAGRAMA DE RAMO E FOLHAS DE MEDIDAS DE UMA DIMENSÃO DAS PEÇAS
RAMO
FOLHA
FREQ.
10
28
2
11
058
3
12
0559
4
13
256889
6
14
44559
5
FONTE: Elaborado pela autora.
10
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Considerando os dados do exemplo 2, tem-se: O tempo necessário para se realizar certa
operação industrial foi cronometrado (em segundos):
31 - 34 - 35 - 35 - 36 - 37 - 38 - 39 - 39 - 40 - 41 -41 - 43 - 44 - 45
45 - 45 - 45 - 46 - 46 - 48 - 49 - 51 - 53 - 57- 57 - 57 - 58 - 58 – 59
GRÁFICO 3 – DIAGRAMA DE RAMO E FOLHAS DO TEMPO PARA
REALIZAÇÃO DE CERTA OPERAÇÃO INDUSTRIAL
RAMO
FOLHA
3
145567899
4
0113455556689
5
13777889
FREQ.
9
13
8
FONTE: Elaborado pela autora.
1.4.4 GRÁFICO DE BOXPLOT OU DA CAIXA
Comprimento da caixa = amplitude interquartílica = Q 3 - Q1
A linha central do retângulo (“caixa”) representa a mediana da distribuição. As bordas superior e
inferior do retângulo representam os quartis 1 e 3, respectivamente. Logo, a altura deste
retângulo é chamada de amplitude interquartílica (IQ). Os traços horizontais ao final das linhas
verticais são traçados sobre o último ponto (de um lado ou de outro) que não é considerado um
outlier.
SACHIKO ARAKI LIRA
11
Não há um consenso sobre a definição de um outlier. Porém, no caso do boxplot em geral, a
maior parte das definições considera que pontos acima do valor do 3º quartil somado a 1,5 vezes
a IQ ou os pontos abaixo do valor do 1º quartil diminuído de 1,5 vezes a IQ, são considerados
outliers.
1.4.5 GRÁFICO DE LINHAS
O gráfico de linhas é indicado para representar séries temporais ou sequência temporal, que é
um conjunto de dados em que as observações são registradas na ordem em que elas ocorrem.
Este tipo de gráfico é importante para a análise do controle de processo de produção e de
séries temporais.
A seguir, um exemplo de gráfico de média (Gráfico de X ) das medidas dos diâmetros internos
(mm) de anéis de pistão de motores de automóveis, de 25 amostras de tamanho n=5 (GRÁFICO
4).
GRÁFICO 4 – GRÁFICO DE CONTROLE DE MÉDIAS
GRÁFICO DE CONTROLE DE MÉDIA
Médias amostrais
74,015
LSC=74,01
74,010
74,005
_
_
X=LC=74,00
74,000
73,995
73,990
LIC=73,99
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
Amostras
1.5
MEDIDAS DE
DISTRIBUIÇÃO
LOCALIZAÇÃO,
VARIABILIDADE
E
FORMA
DA
Estimador ou estatística é uma função dos valores da amostra, ou seja, é uma variável aleatória,
pois depende dos elementos selecionados para compor a amostra.
Ao analisarmos a distribuição de frequências de uma variável quantitativa, proveniente de uma
amostra, deve-se, verificar basicamente três características:
Localização;
Variabilidade ou Dispersão;
Forma.
12
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
1.5.1 TENDÊNCIA CENTRAL
As medidas de tendência central fazem parte, juntamente com as de posição, das chamadas
medidas de localização, e indicam onde se concentra a maioria dos dados.
1.5.1.1 ESPERANÇA MATEMÁTICA OU MÉDIA ARITMÉTICA
A esperança matemática ou média aritmética de uma variável aleatória X é o centro de
gravidade do conjunto de dados, e é definida como a soma de todos os valores da variável
dividida pelo número de observações.
a)
Para dados simples
A esperança matemática ou média aritmética populacional é dada pela expressão:
E( X )
1N
xi
N i1
A média aritmética amostral é obtida através da seguinte expressão:
X
1n
xi
n i1
b) Para dados agrupados em classes
k
E( X )
x i fi
i 1
(população)
N
onde: k é o número de classes;
x i é o ponto médio das classes.
k
X
x i fi
i 1
n
(amostra)
onde: k é o número de classes;
x i é o ponto médio das classes.
Propriedades da Esperança Matemática
1. E ( X K ) E ( X) K , sendo k=constante e X v.a.
2. E ( X .K ) k E ( X)
3. Sejam X e Y variáveis aleatórias. Então:
E ( X Y ) E ( X) E( Y )
4. Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes. Então:
E ( X .Y ) E ( X) . E( Y )
SACHIKO ARAKI LIRA
13
5. E ( X X) 0 v.a. centrada
A média e os valores extremos: a média apresenta um grave problema, ela é fortemente
influenciada pelos valores extremos. Por esta razão, deve-se fazer uma análise cuidadosa dos
dados.
Exemplos de aplicação:
1) Suponha que um engenheiro esteja projetando um conector de náilon para ser usado em uma
aplicação automotiva. O engenheiro estabelece como especificação do projeto uma espessura
de 3/32 polegadas, mas está inseguro acerca do efeito dessa decisão na força da remoção do
conector.
Oito unidades do protótipo são produzidas e suas forças de remoção são medidas (em librasforça): 12,6 - 12,9 - 13,4 - 12,3 - 13,6 - 13,5 - 12,6 - 13,1. A média da força de remoção será:
X
1n
xi
n i1
X
1
12,6 12,9 13,4 12,3 13,6 13,5 12,6 13,1 104 13,0 libras-força
8
8
2) Considere a seguinte distribuição:
TABELA 4 - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIAS DO TEMPO
NECESSÁRIO PARA REALIZAÇÃO DE CERTA
OPERAÇÃO INDUSTRIAL
INTERVALO DE
CLASSES
fi
fr
31 |---- 36
4
0,13
4
36 |---- 41
6
0,20
10
41 |---- 46
8
0,27
18
46 |---- 51
4
0,13
22
51 |---- 56
2
0,07
24
56 |---- 61
6
0,20
30
TOTAL
30
1,00
fac
FONTE: Elaborada pela autora.
Calcular o tempo médio necessário para realizar a operação industrial.
Solução:
14
INTERVALO DE
CLASSES
fi
xi
x i fi
31 |---- 36
4
33,5
134,0
36 |---- 41
6
38,5
231,0
41 |---- 46
8
43,5
348,0
46 |---- 51
4
48,5
194,0
51 |---- 56
2
53,5
107,0
56 |---- 61
6
58,5
TOTAL
30
351,0
1365,0
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
k
X
x i fi
i 1
n
1365
45,50
30
3) Seja a distribuição de frequências a seguir. Calcular a média das medidas da dimensão das
peças.
TABELA 5 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DE MEDI –
DAS DE UMA DIMENSÃO DE PEÇAS
INTERVALO DE
CLASSES
fi
fr
fac
102,8 |--- 112,8
3
0,15
3
112,8 |--- 122,8
3
0,15
6
122,8 |--- 132,8
4
0,20
10
132,8 |--- 142,8
5
0,25
15
142,8 |--- 152,8
5
0,25
20
TOTAL
20
1,00
FONTE: Elaborada pela autora.
INTERVALO DE
CLASSES
fi
102,8 |--- 112,8
3
112,8 |--- 122,8
3
122,8 |--- 132,8
4
132,8 |--- 142,8
5
142,8 |--- 152,8
5
TOTAL
20
xi
x i fi
107,8
323,4
117,8
353,4
127,8
511,2
137,8
689,0
147,8
739,0
2616,0
k
X
x i fi
i 1
n
2616
130,8
20
1.5.1.2 MEDIANA
A mediana é o valor que ocupa a posição central do conjunto de observações de uma variável,
dividindo o conjunto em duas partes iguais, sendo que 50% dos dados tomam valores menores
ou iguais ao valor da mediana e os 50% restantes, acima do seu valor.
SACHIKO ARAKI LIRA
15
a) Para dados simples
Etapas para a obtenção da mediana:
1. ordenar os dados em ordem crescente (pode ser também na ordem decrescente, mas não é
comum e pode atrapalhar na hora de calcular as medidas de posição)
2. o lugar ou posição que a mediana ocupa é:
PosM e 2
(n 1)
1
4
3. o valor da mediana é o valor da variável que ocupa o lugar PosM e .
A mediana é independente dos valores extremos, porque ela só leva em consideração os
valores de posição central.
Exemplo de aplicação:
1) Considerando-se as forças de remoção, medidas em uma amostra de oito unidades do protótipo
(em libras-força): 12,6 - 12,9 - 13,4 - 12,3 - 13,6 - 13,5 - 12,6 - 13,1.
Rol: 12,3 - 12,6 - 12,6 - 12,9 - 13,1 - 13,4 - 13,5 - 13,6
PosMe 2
(8 1)
1 4,5
4
A mediana é a média aritmética dos valores que ocupam a posição 4 e 5. Logo,
Me
12,9 13,1
13,0
2
2) Os dados que seguem são os resultados da inspeção diária de todas as unidades de
computadores produzidos durante os últimos 10 dias. O número de unidades não-conformes são:
4-7-5-8-6-6-4-5-8-7
Calcular a mediana.
Rol: 4 - 4 - 5 - 5 - 6 - 6 - 7 - 7 - 8 - 8
PosMe 2
Me
(10 1)
1 5,5
4
66
6
2
b) Dados agrupados em classes
Me L i
16
( n 2 ) fac
h
fi
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
onde:
L i é o limite inferior da classe que contém a mediana;
n é o número de elementos do conjunto de dados;
' fac é a frequência acumulada da classe anterior a que contém a mediana;
fi é a frequência simples da classe que contém a mediana;
h é o intervalo ou amplitude da classe que contém a mediana.
1) Seja a distribuição de frequências a seguir. Calcular a mediana das medidas da dimensão das
peças.
TABELA 6 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
DAS MEDIDAS DE UMA DIMENSÃO
DAS PEÇAS
INTERVALO DE CLASSES
fi
102,8 |--- 112,8
3
112,8 |--- 122,8
3
122,8 |--- 132,8
4
132,8 |--- 142,8
5
142,8 |--- 152,8
5
TOTAL
20
Solução:
1) O passo inicial é calcular
n 20
10 ;
2
2
2) Calcular as frequências acumuladas ( fac ).
Me L i
INTERVALO DE
CLASSES
fi
fac
102,8 |--- 112,8
3
3
112,8 |--- 122,8
3
6
122,8 |--- 132,8
4
10
132,8 |--- 142,8
5
15
142,8 |--- 152,8
5
20
TOTAL
20
( n 2 ) fac
h
fi
SACHIKO ARAKI LIRA
17
Me 122,8
( 20 2 ) 6
10 132,8
4
2) Considerando a distribuição a seguir, calcular a mediana.
TABELA 7 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DO
TEMPO GASTO PARA REALIZAÇÃO DA
OPERAÇÃO INDUSTRIAL
INTERVALO DE
CLASSES
fi
31 |---- 36
4
36 |---- 41
6
41 |---- 46
8
46 |---- 51
4
51 |---- 56
2
56 |---- 61
6
TOTAL
30
Solução:
fi
fac
4
4
6
10
8
18
4
22
2
14
56 |---- 61
6
30
TOTAL
30
INTERVALO DE
CLASSES
31 |---- 36
36 |---- 41
41 |---- 46
46 |---- 51
51 |---- 56
n 30
15
2
2
Me Li
( n 2 ) fac
h
fi
Me 41
(15 ) 10
5 44,125
8
1.5.1.3 MODA
a) Para dados simples
A moda, representada por Mo , é o valor que apresenta maior frequência. Ela pode não existir
(distribuição amodal), ter somente um valor (unimodal) ou pode ter dois ou mais (bimodal ou
multimodal), principalmente quando a variável assume muitos valores.
Exemplo:
18
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
1) Considerando-se as forças de remoção, medidas em uma amostra de oito unidades do protótipo
(em libras-força): 12,6 - 12,9 - 13,4 - 12,3 - 13,6 - 13,5 - 12,6 - 13,1.
Para o exemplo tem-se que a moda é igual a 12,6 libras-força.
b) Dados agrupados em classes
Mo 3Me 2X
( moda de Pearson)
onde:
Me é a mediana da distribuição de dados;
X é a média da distribuição de dados.
1) Dada a distribuição de frequências a seguir, calcular a moda.
TABELA 8 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DO
TEMPO GASTO PARA REALIZAÇÃO DA
OPERAÇÃO INDUSTRIAL
INTERVALO DE
CLASSES
fi
31 |---- 36
4
36 |---- 41
6
41 |---- 46
8
46 |---- 51
4
51 |---- 56
2
56 |---- 61
6
TOTAL
30
Solução:
Tem-se que a média e a mediana da distribuição são, respectivamente:
X 45,50
Me 44,125
Logo, a moda será: Mo 3Me 2 X 3 44,125 2 45,50 41,375
2) Seja a distribuição de frequências a seguir. Calcular a moda das medidas da dimensão das
peças.
TABELA 9 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
DAS MEDIDAS DE UMA DIMENSÃO
DAS PEÇAS
fi
INTERVALO DE CLASSES
SACHIKO ARAKI LIRA
102,8 |--- 112,8
3
112,8 |--- 122,8
3
122,8 |--- 132,8
4
132,8 |--- 142,8
5
142,8 |--- 152,8
5
TOTAL
20
19
Solução:
Tem-se que a média e a mediana da distribuição são, respectivamente:
X 130,8
Me 122,8
( 20 2 ) 6
10 132,8
4
Mo 3Me 2 X 3 132,8 2 130 ,8 136,8
1.5.2 MEDIDAS DE POSIÇÃO (OU SEPARATRIZES)
As separatrizes mais conhecidas são os quartis e os percentis. Os quartis dividem o conjunto de
dados em quatro partes iguais e os percentis, em cem partes iguais. A cada quartil
correspondem 25% do conjunto de dados e a percentil, 1%.
Da mesma forma que para a mediana, as posições das separatrizes, para dados ordenados em
ordem crescente.
1.5.2.1 QUARTIL
São três medidas ( Q1 , Q 2 e Q 3 ) que dividem o conjunto de dados em 4 partes iguais, sendo
que a cada quartil correspondem 25% dos dados.
a) Para dados simples
PosQi i
(n 1)
1,
4
i 1, 2, 3
Exemplo 1: Os dados a seguir são diâmetros (em cm) de peças de automóveis:
12,3 - 12,6 - 12,6 - 12,9 - 13,1 - 13,4 - 13,5 - 13,6 - 15,0
Calcular os quartis.
PosQ1 1
(9 1)
1 3,0 (3º elemento), logo Q1 12,6
4
PosQ2 2
(9 1)
1 5,0 (5º elemento), logo Q 2 13,1
4
PosQ3 3
(9 1)
1 7,0 (7º elemento), logo Q 3 13,5
4
Exemplo 2: Os dados abaixo são as medidas de uma dimensão de uma peça produzida por um
processo de usinagem.
102,8 - 108,2 - 110,1 - 115,9 - 118,5 - 120,4 - 125,3 - 125,9 - 129,7 - 132,7
20
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
135,0 - 136,4 - 138,1 - 138,6 - 139,6 - 144,4 - 144,8 - 145,2 - 145,7 - 149,3
Calcular os quartis (1,2 e 3) .
PosQ1 1
(20 1)
1 5,75 (5,75º elemento),
4
Logo, Q1 118,5 (120,4 118,5) * 0,75 119,925
PosQ2 2
(20 1)
1 10,5 (10,5º elemento),
4
Logo, Q 2 132,7 (135 ,0 132,7) * 0,5 133,85
PosQ3 3
(20 1)
1 15,25 (15,25º elemento),
4
Logo, Q 3 139,6 (144,4 139,6) * 0,25 140,80
b) Para dados agrupados em classes
PosQi i
Qi L i
n
,
4
i 1, 2, 3
( PosQi ) fac
h
fi
onde:
n é o número de elementos do conjunto de dados;
L i é o limite inferior da classe que contém o quartil;
' fac é a freqüência acumulada da classe anterior a que contém o quartil;
fi é a freqüência simples da classe que contém o quartil;
h é o intervalo ou amplitude da classe que contém a mediana.
Exemplos:
1)
Seja a distribuição de frequências a seguir. Calcular os quartis 1,2 e 3, das medidas da
dimensão das peças.
TABELA 10 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
DAS MEDIDAS DE UMA DIMENSÃO
DAS PEÇAS
INTERVALO DE
fac
fi
CLASSES
102,8 |--- 112,8
3
3
SACHIKO ARAKI LIRA
112,8 |--- 122,8
3
6
122,8 |--- 132,8
4
10
132,8 |--- 142,8
5
15
142,8 |--- 152,8
5
20
TOTAL
20
21
Solução:
a) PosQ1 1
20
5
4
Q1 112,8
53
10 119,47
3
PosQ2 2
20
10
4
Q2 122,8
10 6
10 132,80
4
PosQ3 3
20
15
4
Q 3 132,8
15 10
10 142,80
5
2) Dada a distribuição de freqüências a seguir, calcular os quartis 1,2 e 3.
TABELA 11 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DO TEMPO PARA REALIZAÇÃO DA OPERAÇÃO INDUSTRIAL
INTERVALO DE
fi
CLASSES
31 |---- 36
4
36 |---- 41
6
41 |---- 46
8
46 |---- 51
4
51 |---- 56
2
56 |---- 61
6
TOTAL
30
1.5.3 MEDIDAS DE DISPERSÃO
Para descrever adequadamente a distribuição de frequências de uma variável quantitativa, além
da informação do valor representativo da variável (tendência central), é necessário dizer também
o quanto estes valores variam, ou seja, o quanto eles são dispersos. Somente a informação
sobre a tendência central de um conjunto de dados não consegue representá-lo
adequadamente. As medidas de dispersão medem o grau de variabilidade ou dispersão dos
dados.
1.5.3.1 AMPLITUDE TOTAL
A amplitude total mede a distância entre o valor máximo e mínimo. Ela é uma estatística
rudimentar, pois embora forneça uma noção de dispersão, não diz qual é sua natureza.
A t Xmáx Xmin
Exemplo de aplicação:
22
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Exemplo 1: Os dados a seguir são diâmetros (em cm) de peças de automóveis:
12,3 - 12,6 - 12,6 - 12,9 - 13,1 - 13,4 - 13,5 - 13,6 - 15,0
Tem-se que:
A t X máx X min 15,0 12,3 2,7
1.5.3.2 AMPLITUDE INTERQUARTIL
A amplitude interquartil, ou comprimento da caixa, é a distância entre o primeiro e terceiro
quartil. É muito útil para detectar valores extremos, e é usado no diagrama de boxplot.
I Q Q 3 Q1
Exemplo: considerando os dados referentes aos diâmetros (em cm) de peças de automóveis e
os quartis correspondentes, já calculados anteriormente, calcular a amplitude interquartil.
(9 1)
1 3,0 (3º elemento), logo Q1 12,6
4
(9 1)
PosQ3 3
1 7,0 (7º elemento), logo Q 3 13,5
4
IQ 13,5 12,6 0,9
PosQ1 1
Para a construção do gráfico boxplot, tem-se:
lim ite inf erior Q1 1,5 IQ
lim ite sup erior Q 3 1,5 IQ
Para o exemplo em questão:
lim ite inf erior 12,6 1,5 0,9 11,25
lim ite sup erior 13,5 1,5 0,9 14,85
Existe um valor outlier superior, que é 15,0.
1.5.3.3 DESVIO MÉDIO
a) Para dados simples
O desvio médio é a média dos valores absolutos dos desvios. É calculada através da
expressão:
n
DM
xi X
i 1
n
Exemplo de aplicação:
Os dados a seguir são diâmetros (em cm) de peças de automóveis:
12,3 - 12,6 - 12,6 - 12,9 - 13,1 - 13,4 - 13,5 - 13,6 - 15,0. Tem-se que: X 13,22
SACHIKO ARAKI LIRA
23
QUADRO 4 - VALORES DA VARIÁVEL X E DESVIOS ABSOLUTOS EM RELAÇÃO À
MÉDIA
xi
xi X
12,3
12,6
12,6
12,9
13,1
13,4
13,5
13,6
15,0
0,92
0,62
0,62
0,32
0,12
0,18
0,28
0,38
1,78
5,22
n
DM
xi X
i 1
n
5,22
0,58
9
b) Para dados agrupados em classes
k
DM
x i X fi
i 1
n
Dada a distribuição de frequências a seguir, calcular o desvio médio. Sabe-se que
X 45,50 .
INTERVALO DE
CLASSES
fi
xi
xi X
x i X fi
31 |---- 36
4
33,5
12,0
48
36 |---- 41
6
38,5
7,0
42
41 |---- 46
8
43,5
2,0
16
46 |---- 51
4
48,5
3,0
12
51 |---- 56
2
53,5
8,0
16
56 |---- 61
6
58,5
13,0
78
TOTAL
30
212
k
DM
x i X fi
i 1
n
212
7,0667 7,07
30
1.5.3.4 VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
A variância da variável aleatória, representada por V( X) ou 2 , é obtida elevando-se os desvios
em relação à média ao quadrado. Quando se extrai a raiz quadrada da variância, tem-se o
desvio padrão.
Propriedades da Variância
24
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
1. V (k ) 0 , onde k=constante
2. V (kX) k 2 V ( X) , onde k=constante e X v.a.
3. Sejam X e Y v.a. independentes. Então:
V ( X Y ) V( X) V( Y )
4. Sejam X e Y v.a. não independentes (ou dependentes). Então:
V ( X Y ) V( X) V( Y ) 2COV ( X, Y )
V ( X Y ) V( X) V( Y ) 2COV( X, Y )
onde: COV ( X, Y ) E( XY ) E( X)E( Y )
(covariância)
a) Para dados simples
A variância e o desvio padrão populacional são obtidas pelas expressões:
2
1 N
2
x i
N i1
(variância)
2
(desvio padrão)
A variância e o desvio padrão amostral são obtidas pelas expressões:
S2
2
1 n
xi X
n 1 i1
(variância)
S S2
(desvio padrão)
Exemplo de aplicação: Considerando o exemplo tem-se:
QUADRO 5 - VALORES DA VARIÁVEL X E DESVIOS
SIMPLES E QUADRÁTICOS EM RELAÇÃO À MÉDIA
Xi
12,3
12,6
12,6
12,9
13,1
13,4
13,5
13,6
15,0
S2
1 n
xi X
n 1 i1
2
xi X
-0,92
-0,62
-0,62
-0,32
-0,12
0,18
0,28
0,38
1,78
x i X
2
0,8464
0,3844
0,3844
0,1024
0,0144
0,0324
0,0784
0,1444
3,1684
5,1556
5,1556
0,6445
9 1
S 0,80
b) Para dados agrupados em classes
SACHIKO ARAKI LIRA
25
A variância e o desvio padrão populacional são obtidas pelas expressões:
2
x i fi
k
2
2
x i fi
k
i1
k
i1
(variância)
N
fi
i1
2
(desvio padrão)
A variância e o desvio padrão amostral são obtidas pelas expressões:
k
S
2
i1
k
2
x i X fi
k
fi 1
2
x i X fi
i1
(variância)
n 1
i1
S S2
(desvio padrão)
Exemplo:
Seja a distribuição de frequências a seguir. Calcular a variância e o desvio padrão.
( x i X ) 2 fi
INTERVALO DE
CLASSES
fi
102,8 |--- 112,8
3
107,8
1587,0
112,8 |--- 122,8
3
117,8
507,0
122,8 |--- 132,8
4
127,8
36,0
132,8 |--- 142,8
5
137,8
245,0
142,8 |--- 152,8
5
147,8
1445,0
TOTAL
20
xi
3820,0
Dados: X 130,8
k
S2
2
x i X fi
i 1
n 1
3820
201,0526
20 1
S 14,18
Exercício: Dada a distribuição de frequências a seguir, calcular a variância e o desvio padrão.
26
INTERVALO DE
CLASSES
fi
31 |---- 36
4
36 |---- 41
6
41 |---- 46
8
46 |---- 51
4
51 |---- 56
2
56 |---- 61
6
TOTAL
30
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
1.5.3.5 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
É uma medida de dispersão relativa. É definido como o quociente entre o desvio padrão e a
média, multiplicado por 100, para expressar porcentagem.
Em algumas situações é desejável comparar o grau de dispersão de dois conjuntos de dados
com unidades de medidas diferentes. Neste caso, deve-se usar o coeficiente de variação (CV),
que é uma medida de dispersão relativa, e ela não é afetada pelas unidades de medida da
variável. Ou ainda, quando as médias dos dois conjuntos de dados são muito distintas, neste
caso faz-se necessário utilizar uma medida de dispersão relativa.
CV 100 coeficiente de variação populacional
CV
S
X
100
coeficiente de variação amostral
Exemplo de aplicação: Para o exemplo tem-se:
Dados: X 130,8 ; S 14,18
Logo, CV
14,18
100 10,84%
130,8
1.5.4 FORMA DA DISTRIBUIÇÃO
A distribuição de frequências de uma variável pode ter várias formas, mas existem três formas
básicas, apresentadas através de histogramas e suas respectivas ogivas, que são gráficos
específicos para distribuições de frequências.
A distribuição é simétrica, quando as observações estão igualmente distribuídas em torno de um
valor mais frequente (metade acima e metade abaixo). Já, a assimetria de uma distribuição pode
ocorrer de duas formas:
assimetria positiva;
assimetria negativa.
Em alguns casos, apenas o conhecimento da forma da distribuição de frequências de uma
variável já nos fornece uma boa informação sobre o comportamento dessa variável.
1.5.4.1 COEFICIENTE DO MOMENTO DE ASSIMETRIA
a3
1 k
3
( x i X ) fi
n i 1
1 k
2
( x i X ) fi
n i 1
32
Uma distribuição é classificada como:
SACHIKO ARAKI LIRA
27
Simétrica: a 3 0 e tem-se que média=mediana=moda
Assimétrica negativa: a 3 0 e tem-se que média mediana moda
Assimétrica positiva: a 3 0 e tem-se que moda mediana média
Graficamente:
Assimetria positiva
Simétrica
Assimetria negativa
FIGURA 3: CLASSIFICAÇÃO DAS DISTRIBUIÇÕES QUANTO A ASSIMETRIA
1.5.4.2 COEFICIENTE DO MOMENTO DE CURTOSE
A medida de curtose é o grau de achatamento da distribuição, é um indicador da forma desta
distribuição. O coeficiente momento de curtose é definido como sendo:
a4
1 k
4
( x i X ) fi
n i 1
1 k
2
( x i X ) fi
n
i 1
Se a 4 3 ,
2
a distribuição é platicúrtica e esta apresenta uma curva de frequência mais
aberta, com os dados fracamente concentrados em torno de seu centro.
Se a 4 3 , a distribuição é mesocúrtica e os dados estão razoavelmente concentrados em
torno de seu centro.
Se a 4 3 , a distribuição é leptocúrtica e esta apresenta uma curva de frequência bastante
fechada, com os dados fortemente concentrados em torno de seu centro.
A curtose ou achatamento é mais uma medida com a finalidade de complementar a
caracterização da dispersão em uma distribuição. Esta medida quantifica a concentração ou
dispersão dos valores de um conjunto de dados em relação às medidas de tendência central em
uma distribuição de frequências. Uma distribuição é classificada quanto ao grau de achatamento
como:
28
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
FONTE: COSTA NETO (1994)
Exemplo 1: Para a distribuição de frequências das medidas da dimensão das peças
apresentadas a seguir e as estatísticas já calculadas anteriormente, calcular os coeficientes de
assimetria e curtose.
INTERVALO DE
CLASSES
fi
102,8 |--- 112,8
3
112,8 |--- 122,8
3
122,8 |--- 132,8
4
132,8 |--- 142,8
5
142,8 |--- 152,8
5
TOTAL
20
Solução:
INTERVALO DE
CLASSES
fi
102,8 |--- 112,8
3
107,8
-23
-69
1.587
-3.6501
839.523
112,8 |--- 122,8
3
117,8
-13
-39
507
-6.591
85.683
122,8 |--- 132,8
4
127,8
-3
-12
36
-108
324
132,8 |--- 142,8
5
137,8
7
35
245
1.715
12.005
142,8 |--- 152,8
5
147,8
17
85
1.445
24.565
417.605
TOTAL
20
0
3.820
-16.920
1.355.140
xi
( xi X )
( x i X ) fi
( x i X ) 2 fi
( x i X ) 3 fi
( x i X ) 4 fi
1 k
3
( x i X ) fi
n i 1
1
( 16.920)
a3
20
-0,3205
32
32
1
1 k
2
20 3.820
( x i X ) fi
n i 1
A distribuição apresenta assimetria levemente negativa.
SACHIKO ARAKI LIRA
29
1 k
4
( x i X ) fi
n i 1
1
1.355.140
20
a4
1,8573
2
2
1 k
1
2
( x i X ) fi
20 3.820
n i 1
A distribuição é platicúrtica.
Exemplo 2: Dada a distribuição de frequências a seguir, calcular a assimetria e curtose.
INTERVALO DE
CLASSES
fi
31 |---- 36
4
36 |---- 41
6
41 |---- 46
8
46 |---- 51
4
51 |---- 56
2
56 |---- 61
6
TOTAL
30
Solução:
INTERVALO DE
CLASSES
fi
xi
31 |---- 36
4
33,5
-12
-48
576
-6.912
82.944
36 |---- 41
6
38,5
-7
-42
294
-2.058
14.406
41 |---- 46
8
43,5
-2
-16
32
-64
128
46 |---- 51
4
48,5
3
12
36
108
324
51 |---- 56
2
53,5
8
16
128
1.024
8.192
56 |---- 61
6
58,5
13
78
1.014
13.182
171.366
TOTAL
30
0
2.080
5.280
277.360
( xi X )
( x i X ) fi
( x i X ) 2 fi
( x i X ) 3 fi
( x i X ) 4 fi
1 k
( x i X ) 3 fi
n i1
1
(5.280)
30
a3
0,3049
32
32
1
1 k
2
30 2.080
( x i X ) fi
n
i1
A distribuição apresenta assimetria levemente positiva.
a4
1 k
( x i X ) 4 fi
n i1
1 k
2
( x i X ) fi
n i1
2
1
277.360
30
1,9230
2
1
30 2.080
A distribuição é platicúrtica.
30
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 1 – ESTATÍSTICA DESCRITIVA
1. Conceitue:
a) População ou Universo;
b) Amostra;
c) Parâmetro;
d) Estatística ou medida amostral;
e) Variável aleatória discreta e exemplifique;
f) Variável aleatória contínua e exemplifique.
2. Uma importante característica de qualidade da água é a concentração de material sólido
suspenso. Em seguida são apresentadas 30 medidas de sólidos suspensos de um certo lago.
42,4 - 65,7 - 29,8 - 58,7 - 52,1 - 55,8 - 57,0 - 68,7 - 67,3 - 67,3 - 54,3 - 54,0 - 73,1 - 81,3 - 59,9
56,9 - 62,2 - 69,9 - 66,9 - 59,0 - 56,3 - 43,3 - 57,4 - 45,3 - 80,1 - 49,7 - 42,8 - 42,4 - 59,6 - 65,8
a) construir a distribuição de frequências em classes;
b) calcular as frequências relativa e acumulada;
c) construir o histograma de frequências.
3. O tempo necessário para se realizar certa operação industrial foi cronometrado (em
segundos), sendo feita 40 determinações:
45 - 37 - 39 - 48 - 51 - 40 - 53 - 49 - 39 - 41 - 45 - 43 - 45 – 34 - 45 - 35
41 - 57 - 38 - 46 - 46 - 58 - 57 - 36 - 58 - 35 - 31 - 59 - 44 - 57 - 45 - 44
38 - 43 - 33 - 56 - 47 - 48 - 44 - 49
a) construir a distribuição de frequências em classes;
b) calcular as frequências relativa e acumulada;
c) construir o histograma de frequências.
4. Foram obtidas oito medidas do diâmetro interno de anéis de pistão forjados de um motor de
um automóvel. Os dados (em mm) são:
74,001 - 74,003 - 74,015 - 74,000 - 74,005 - 74,002 - 74,005 - 74,004
Calcule a média, a mediana, a moda, o desvio médio, o desvio padrão e o coeficiente de
variação da amostra.
5. Os tempos de esgotamento de um fluído isolante entre eletrodos a 34 kV, em minutos são:
0,19 - 0,78 - 0,96 - 1,31 - 2,78 - 3,16 - 4,15 - 4,67 - 4,85 - 6,50 - 7,35 - 8,01 - 8,27 - 12,06 - 31,75 32,52 - 33,91 - 36,71 - 72,89.
Calcule a média, mediana, quartil 1, quartil 3, desvio padrão e coeficiente de variação e comente
os resultados obtidos.
6. O pH de uma solução é medido oito vezes por uma operadora que usa o mesmo instrumento.
Ela obteve os seguintes dados:
7,15 - 7,20 - 7,18 - 7,19 - 7,21 - 7,20 -7,16 - 7,18
Faça uma análise estatística dos dados e comente.
SACHIKO ARAKI LIRA
31
7. Prevenir a propagação de trinca de fadiga em estruturas de aviões é um importante elemento
de segurança em aeronaves. Um estudo de engenharia para investigar a trinca de fadiga em
n=9 asas reportou os seguintes comprimentos (em mm) de trinca:
2,13 - 2,96 - 3,02 - 1,82 - 1,15 - 1,37 - 2,04 - 2,47 - 2,60
Calcule a média, os quartis (1,2 e 3), o desvio padrão e o coeficiente de variação da amostra.
Comente os resultados obtidos.
8. Uma amostra de 7 corpos de prova de concreto forneceu as seguintes resistências à ruptura
( kg / cm 2 ):
340 - 329 - 337 - 348 - 351 - 360 - 354
Calcular a média, mediana, moda, variância, desvio padrão e coeficiente de variação. Comente
os resultados obtidos.
9. O tempo necessário para se realizar certa operação industrial foi cronometrado (em
segundos), sendo feita 20 determinações:
45 - 37 - 39 - 48 - 51 - 40 - 53 - 49 - 39 - 41 - 45 - 43 - 45 – 34 - 45 - 35 - 38 - 46 - 46 - 58
Faça uma análise estatística dos dados construindo a distribuição de frequências em classes
(calcule também as medidas de assimetria e curtose).
10. As taxas de octanagem de combustível para motor, de várias misturas de gasolina foram
obtidas:
88,5 - 94,7 - 84,3 - 90,1 - 89,0 - 89,8 - 91,6 - 90,3 - 90,0 - 91,5 - 89,9
98,8 - 88,3 - 90,4 - 91,2 - 90,6 - 92,2 - 87,7 - 91,1 - 86,7 - 93,4 - 96,1
Faça uma análise estatística dos dados (calcule também as medidas de assimetria e curtose).
11. A propagação de trincas por fadiga em diversas peças de aeronaves tem sido objeto de
muitos estudos. Os dados a seguir consistem dos tempos de propagação (horas de vôo) para
atingir um determinado tamanho de trinca em furos de fixadores propostos para uso em
aeronaves militares.
0,736 - 0,863 - 0,865 - 0,913 - 0,915 - 0,937 - 0,983 - 1,007
1,011 - 1,064 - 1,109 -1,132 - 1,140 - 1,153 - 1,253 - 1,394
a) calcule e compare os valores da média e mediana amostrais;
b) calcule o desvio médio, desvio padrão e o coeficiente de variação;
c) qual é a conclusão sobre a forma da distribuição (assimetria e curtose)?
12. O tempo necessário para se realizar certa operação industrial foi cronometrado (em
segundos), sendo feita 12 medições:
45 – 37 – 39 – 48 – 51 – 40 - 53 – 49 – 39 – 41- 45 – 43
a) calcular Q1 (quartil 1), Q2 (quartil 2) e Q3 (quartil 3);
b) construir o gráfico boxplot.
32
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
13. As taxas de octanagem de combustível para motor, de várias misturas de gasolina foram
obtidas:
88,5 - 94,7 – 80,0 - 90,1 - 89,0 - 89,8 - 91,6 - 90,3 - 90,0 - 91,5 - 89,9
a) calcular Q1 (quartil 1), Q2 (quartil 2) e Q3 (quartil 3);
b) construir o gráfico boxplot.
SACHIKO ARAKI LIRA
33
ELEMENTOS DE PROBABILIDADES
DEFINIÇÕES
2.1 EXPERIMENTO ALEATÓRIO (E)
Definição 1: É o fenômeno que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes,
apresentam resultados imprevisíveis. O resultado final depende do acaso.
2.2 ESPAÇO AMOSTRAL (S)
Definição 2: É o conjunto formado por todos os resultados possíveis em qualquer experimento
aleatório.
Exemplos: Sejam os experimentos aleatórios e os respectivos espaços amostrais:
a) Inspecionar uma peça de automóvel. S conforme , não conforme ;
b) Tomar uma válvula eletrônica e verificar o tempo de vida útil. S x R , x 0 ;
c) Inspecionar uma lâmpada. S defeituosa , não defeituosa ;
d) Medir o conteúdo de cobre no latão. S x R, 50 % x 90 %
2.3 EVENTO
Definição 3: É um subconjunto do espaço amostral S de um experimento aleatório.
A
S
Exemplo:
Seja o espaço amostral S (c, c ),(c, n),(n, c ),(n, n), resultado do experimento de seleção de
duas peças, sendo c=peça conforme e n=peça não conforme.
Suponha que A seja o subconjunto de resultados para os quais, no mínimo uma peça seja
conforme. Então o evento A será: A (c, c ),(c, n), (n, c ).
34
ELEMENTOS DE PROBABILIDADES
Por serem subconjuntos, é possível realizar a operação de união (U) entre conjuntos. A União
de Eventos representa a ocorrência de um evento OU de outro. Outra operação que pode ser
feita sobre Eventos é a intersecção (∩). A intersecção de eventos representa a ocorrência de
um E de outro.
União de eventos => A B
A
B
A B
Interseção de eventos => A B
A
B
2.3.1 EVENTO COMPLEMENTAR
O evento complementar do evento A, representado por A , é aquele que ocorre somente
se A deixar de ocorrer. E tem-se que:
AA AA S
=> P ( A A ) 1
AA AA Ø
=> P ( A A ) 0
Seja o evento A, obter número 4 na face superior no lançamento de um dado A 4 . O
evento complementar A será: A 1, 2 ,3 , 5 ,6
2.3.2 EVENTOS INDEPENDENTES
Quando a realização ou não realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da
realização do outro e vice-versa.
Exemplos:
1) No lançamento de dois dados qual é a probabilidade de obter o nº 4 no primeiro dado e o nº
3 no segundo dado ?
P (1) P(no. 4 no dado 1 ) 1 6
P (2 ) P(no. 3 no dado 2 ) 1 6
P ( 1 2 ) P (1 E 2) P ( 1) P ( 2 ) 1 6 1 6 1 36
SACHIKO ARAKI LIRA
35
2) Suponha que numa produção diária de 850 peças fabricadas contenha 50 peças que não
satisfaçam as exigências dos consumidores. Duas peças são selecionadas, sendo que a
primeira peça é reposta antes da segunda ser selecionada. Qual é a probabilidade das duas
peças serem defeituosas?
P( D e D)
50
50
0,0035 0,35%
850 850
2.3.3 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a
possibilidade de realização do(s) outro(s). Assim, no lançamento de uma moeda, o evento "tirar
cara" e o evento "tirar coroa" são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o
outro não se realiza.
A
B
S
Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se
realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize:
P ( A B ) P ( A OU B) P ( A ) P (B )
Exemplos:
1) No lançamento de um dado qual a probabilidade de se tirar o nº 3 ou o nº 4 ?
Os dois eventos são mutuamente exclusivos então:
P ( A B ) P ( A OU B) P ( no. 3 ) P (no. 4 ) 1 6 1 6 1 3
2) Um parafuso é selecionado aleatoriamente de um lote de 100 parafusos, sendo que 15
apresentam pequenos defeitos e 10 são não-conformes (não aceitáveis). Qual é a probabilidade
do parafuso selecionado ser:
a) Perfeito ou apresentar pequeno defeito?
b) Apresentar pequeno defeito ou não-conforme?
Solução:
P(pequeno defeito)
15
0,15
100
P(não conforme )
10
0,10
100
36
ELEMENTOS DE PROBABILIDADES
P(perfeito)
75
0,75
100
a) P(perfeito ou pequeno defeito)
75
15
0,90
100 100
b) P( pequeno defeito ou não conforme )
15
10
0,25
100 100
2.4 DEFINIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADE
Seja A um subconjunto do espaço amostral S. Então, se todos os resultados elementares de S
são equiprováveis, a medida da probabilidade de ocorrência do evento A é dada por:
P (A)
número de elementos em A n ( A )
número de elementos em S n ( S )
2.5 DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADE
Seja o espaço amostral S associado a um certo experimento. A cada evento A S
associa-se um número real representado por P ( A ) , chamado de probabilidade de A ,
satisfazendo as propriedades:
1) 0 P ( A ) 1
2) P (S) 1 (ou seja, a probabilidade do evento certo é igual a 1 )
3) sejam A e B dois eventos mutuamente exclusivos. A probabilidade de ocorrência de A ou B
é igual à soma das probabilidades individuais.
P (A ou B ) P ( A ) P (B)
2.6 PROBABILIDADE CONDICIONAL
Definição 4: Sejam A e B eventos de um experimento E, com P(B) 0 . Então a probabilidade
condicional do evento A dado que B tenha ocorrido é:
P ( A | B)
P (A B )
, AE
P (B )
Exemplo: O quadro a seguir fornece um exemplo de 400 itens classificados por falhas na
superfície e como defeituosos (funcionalmente).
DEFEITUOSO
Sim
Não
TOTAL
SACHIKO ARAKI LIRA
Sim
10
30
40
FALHAS NA SUPERFÍCIE
Não
TOTAL
18
28
342
372
360
400
37
a)
b)
Qual é a probabilidade do item ser defeituoso, dado que apresenta falhas na superfície?
Qual é a probabilidade de ter falhas na superfície dado que é defeituoso?
Solução:
A Probabilidade Condicional pode assumir a forma abaixo, chamada algumas vezes de
teorema da multiplicação de probabilidades:
P ( A B ) P ( A | B) P ( B ) , ou de forma equivalente, P ( A B ) P ( B | A ) P ( A )
Exemplo: A probabilidade de que o primeiro estágio de uma operação, numericamente
controlada, de usinagem para pistões com alta rpm atenda às especificações é igual a 0,90.
Falhas são devido a variações no metal, alinhamento de acessórios, condições da lâmina de
corte, vibração e condições ambientais. Dado que o primeiro estágio atende às especificações, a
probabilidade de que o segundo estágio de usinagem atenda à especificações é de 0,95. Qual a
probabilidade de ambos os estágios atenderem as especificações?
P ( A B ) P ( B | A ) P ( A ) 0,95 0,90 0,855
2.7 TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL
Suponha que eventos aleatórios A1 , A 2 ,, A k sejam k
exclusivos e exaustivos ( A1 A 2 A k ,... S ) . Então:
P ( B ) P ( A i ).P ( B | A i )
conjuntos mutuamente
i
Exemplos:
1) A probabilidade de que um conector elétrico que seja mantido seco falhe durante o período de
garantia de um computador portátil é 1%. Se o conector for molhado, a probabilidade de falha
durante o período de garantia será de 5%. Se 90% dos conectores forem mantidos secos e 10%
forem mantidos molhados, qual é a probabilidade dos conectores falharem durante o período da
garantia?
Solução:
38
ELEMENTOS DE PROBABILIDADES
2) Suponha que na fabricação de semicondutores, a probabilidade seja de 0,10 de que um chip
que esteja sujeito a altos níveis de contaminação durante a fabricação cause uma falha no
produto. A probabilidade é de 0,005 de que um chip que não esteja sujeito a altos níveis de
contaminação durante a fabricação cause uma falha no produto. Em um dado instante da
produção, 20% dos chips estão sujeitos a altos níveis de contaminação. Qual a probabilidade de
um produto usando um desses chips vir a falhar?
Solução:
2.8 TEOREMA DE BAYES
Uma das relações mais importantes envolvendo probabilidades condicionais é dada pelo
teorema de Bayes, que expressa uma probabilidade condicional em termos de outras
probabilidades condicionais.
P ( A i | B)
P ( A i ).P ( B | A i )
k
P ( A j ).P ( B | A j )
j1
Exemplo: Uma determinada peça é produzida por três fábricas, 1, 2 e 3. Sabe-se que a fábrica
1 produz o dobro de peças que 2, e 2 e 3 produziram o mesmo número de peças durante um
período de produção especificado. Sabe-se também que 2% das peças produzidas por 1 e por 2
são defeituosas, enquanto 4% daquelas produzidas por 3 são defeituosas. Todas as peças são
colocadas num depósito. Uma peça é retirada ao acaso do depósito e se verifica que é
defeituosa. Qual a probabilidade de que tenha sido produzida na fábrica 1?
Definição dos eventos:
B={ a peça é defeituosa}
A1={ a peça é da fábrica 1}
A2{ a peça é da fábrica 2}
A3={ a peça é da fábrica 3}
P(B | A1 ) 0,02
P( A 1 )
1
2
SACHIKO ARAKI LIRA
39
P(B | A 2 ) 0,02
P( A 2 )
1
4
P(B | A 3 ) 0,04
P( A 3 )
1
4
P ( A i | B)
P ( A i ).P ( B | A i )
k
P ( A j ).P ( B | A j )
j1
P ( A 1 | B)
P ( A 1 ).P ( B | A 1 )
P ( A 1 ).P ( B | A 1 ) P ( A 2 ).P ( B | A 2 ) P ( A 3 ).P ( B | A 3 )
P ( A 1 | B)
1 2 0,02
0,40
1 2 0,02 1 4 0,02 1 4 0,04
2) Cada objeto manufaturado é submetido para exame com a probabilidade 0,55 a um
controlador e com a probabilidade 0,45 a um outro. A probabilidade de passar no exame é,
segundo o controlador, respectivamente igual a 0,90 e 0,98. Achar a probabilidade de que um
objeto aceito tenha sido examinado pelo segundo controlador.
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 2 - PROBABILIDADES
1. De uma caixa contendo 100 peças entre as quais 10 são defeituosas se extraem quatro peças
ao acaso, sem reposição. Encontrar a probabilidade de que entre estas não ocorra:
a) nenhuma peça defeituosa;
b) nenhuma peça boa.
2. De um lote de 15 válvulas 10 são boas. Encontrar a probabilidade de que de 3 válvulas
extraídas ao acaso, sem reposição, 2 sejam boas.
3. Uma caixa contém 20 peças das quais 5 são defeituosas. Extraem-se duas ao acaso, sem
reposição. Qual a probabilidade de:
a) ambas serem boas?
b) ambas serem defeituosas?
c) uma boa e outra defeituosa?
4. Dois aparelhos de alarme independentes funcionam, no caso de avaria, com a probabilidade
0,95 e 0,90, respectivamente. Achar a probabilidade de que numa avaria funcione apenas um
dos aparelhos.
5. A probabilidade de que numa medição o erro ultrapasse o admitido é 0,4. Achar a
probabilidade de que em apenas uma medição de uma série de três o erro ultrapasse o
admitido.
40
ELEMENTOS DE PROBABILIDADES
6. A probabilidade de que uma peça do tipo exigido se ache em cada uma de quatro caixas é
igual, respectivamente, a 0,60; 0,70; 0,80 e 0,90. Calcular a probabilidade de que tal peça se
encontre:
a) no máximo em três caixas;
b) pelo menos em duas caixas.
7. Um circuito elétrico é constituído de três elementos ligados em série que deixam de funcionar
com probabilidade p 1 0,10 ; p 2 0,15 ; p 3 0,20 , respectivamente. Achar a probabilidade de que
não haja corrente no circuito.
8. Um dispositivo de freio de automóvel consiste de três subsistemas, que devem funcionar
simultaneamente para que o freio funcione. Os subsistemas são um sistema eletrônico, um
sistema hidráulico e um ativador mecânico. Ao frear, a probabilidade de sucesso dessas
unidades é de 0,96, 0,95 e 0,95, respectivamente. Estime a confiabilidade do sistema, admitindo
que os subsistemas funcionem independentemente.
Comentário: Sistemas deste tipo podem ser representados graficamente, conforme ilustração
abaixo, onde os subsistemas A (eletrônico), B (hidráulico) e C (ativador mecânico), dispõem-se
em série. Considera-se a trajetória a-b como a trajetória do sucesso.
a
A
B
C
0,96
0,95
0,95
b
9. Os automóveis são equipados com circuitos redundantes de frenagem; os freios falham
somente quando todos os circuitos falham. Consideremos o caso de dois circuitos redundantes,
ou paralelos, cada um com 0,95 de confiabilidade (probabilidade de sucesso). Determine a
confiabilidade do sistema, supondo que os circuitos atuem independentemente.
10. Respectivamente, 60 e 84 por cento das peças fornecidas por duas máquinas automáticas, a
produtividade da primeira sendo o dobro da segunda, são de alta qualidade. Tendo-se
constatado que uma peça escolhida ao acaso é de alta qualidade, achar a probabilidade de que
provenha da primeira máquina (teorema de Bayes).
11. Um relatório de controle de qualidade de transistores acusa os seguintes resultados por
fabricante e por qualidade:
FABRICANTE
QUALIDADE
Aceitável
Marginal
Inaceitável
TOTAL
A
128
10
2
140
B
97
5
3
105
C
110
5
5
120
Escolhido um transistor ao acaso, qual a probabilidade:
a) de provir do fabricante A, dado que é de qualidade aceitável?
b) de ser aceitável, dado que provém do fabricante C?
c) de provir do fabricante B, dado que apresenta qualidade marginal?
SACHIKO ARAKI LIRA
41
12) Suponha que na fabricação de semicondutores, as probabilidades de que um chip, sujeito a
alto, médio ou baixo nível de contaminação durante a fabricação, cause uma falha no produto
sejam respectivamente iguais a 0,10, 0,01 e 0,001. Em um experimento particular da produção,
20% dos chips estão sujeitos a altos níveis de contaminação, 30% a níveis médios de
contaminação e 50% a baixos níveis de contaminação. Qual a probabilidade de um produto
falhar ao usar um desses chips?
42
ELEMENTOS DE PROBABILIDADES
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES
DISCRETAS DE PROBABILIDADES
3.1 DEFINIÇÕES
Definição 1: Seja E um experimento e S o espaço amostral associado ao experimento. Variável
aleatória unidimensional é uma função X, que associa a cada elemento s S , um número real
X ( s) .
RX
S
X
X( s )
s
Exemplo: Uma caixa contém 4 válvulas, sendo duas perfeitas e duas defeituosas. Duas válvulas
são retiradas aleatoriamente da caixa e testadas (sendo representadas por D se a peça é
defeituosa e P se a peça é perfeita). O espaço amostral associado a este evento é:
S={PP,PD,DP,DD}
Seja a variável aleatória X=número de válvulas defeituosas. Os valores possíveis da
variável aleatória X, serão:
R X { 0 ,1, 2 }
Definição 2: Seja X uma variável aleatória discreta. A função de probabilidade, associa um
número real P( X x i) , chamado de probabilidade de x i , a cada possível resultado x i .
Tem-se que:
0 P( X x i ) 1
P( X x i ) 1
xS
Uma distribuição de probabilidade é uma descrição, que fornece a probabilidade para
cada valor da variável aleatória. Ela é frequentemente expressa na forma de um gráfico, de uma
tabela ou uma fórmula.
Exemplo1: No lançamento de duas moedas ao ar, tem-se que os possíveis resultados são: CC,
Ck, KC, KK (C=cara e K=coroa). Seja X, a variável aleatória número de caras. Então, X poderá
assumir os valores:
SACHIKO ARAKI LIRA
43
0 , se s KK
X (s) 1, se s CK ou s KC
2 , se s CC
A distribuição de probabilidade da variável aleatória X é:
Xx
P( X x )
0
1/4
1
1/2
2
1/4
Exemplo 2: Em um processo de fabricação de semicondutores, 3 pastilhas de um lote são
testadas. Cada pastilha é classificada como “passa” ou “falha”. Suponha que a probabilidade de
uma pastilha passar no teste seja de 0,8 e que as pastilhas sejam independentes. Seja X a
variável número de pastilhas de um lote que passam no teste. A distribuição de probabilidade de
X será:
P( x 0) P(f, f, f ) (1 0,8)3 0,23 0,008
P( x 1) P(p, f, f ) ou P( f , p, f ) ou P( f , f , p) 3 (0,80 0,20 0,20 ) 3 0,032 0,096
P( x 2) P(p, p, f ) ou P(p, f , p) ou P( f , p, p) 3 (0,80 0,80 0,20 ) 3 0,128 0,384
P( x 3) P(p, p, p) 0,8 3 0,512
Xx
0
1
2
3
P( X x )
0,008
0,096
0,384
0,512
Definição 3: Seja X uma variável aleatória. A função de distribuição acumulada ou de
repartição de X é definida como
F( x ) P( X x )
Se X for variável discreta, tem-se
F( x )
xi x
P( x i )
Esperança
O valor esperado, expectância ou a esperança matemática E(X), de uma variável
aleatória discreta X, que é a média da distribuição, é definida por:
44
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES
E( X) x iP( x i )
i1
Variância
A variância da variável aleatória discreta X, representada por V( X) , é definida por:
V( X) E X E( X) x i E( X) P( x i )
2
2
i1
Exemplo 1: Seja X uma variável aleatória discreta que representa o número de peças
defeituosas em cada 5 peças inspecionadas. Sabendo-se que a probabilidade de uma peça ser
defeituosa é de 20%, obtém-se a seguinte distribuição de probabilidade:
xi
p (xi )
0
1
2
3
4
5
0,3277
0,4096
0,2048
0,0512
0,0064
0,0003
Qual o valor esperado de X ( E( X) ) e a variância ( V( X)) ?
E( X) x iP( x i ) 0 0,3277 1 0,4096 2 0,2048 3 0,0512 4 0,0064 5 0,0003
i1
E( X) 1
Portanto, em cada 5 peças inspecionadas, o número esperado de peça defeituosa é 1.
V( X) E X E( X) x i E( X) P( x i )
2
2
i1
V( X) (0 1) 2 0,3277 (1 1) 2 0,4096 (2 1) 2 0,2048 (3 1) 2 0,0512
( 4 1) 2 0,0064 (5 1) 2 0,0003
V( X) 0,7997
Exemplo 2: O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma
variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidade:
t
P(t)
2
0,1
3
0,1
4
0,3
5
0,2
6
0,2
7
0,1
Calcular: E ( X ) e V ( X )
a) E( X) x iP( x i )
i1
E( X) 2 0,1 3 0,1 4 0,3 5 0,2 6 0,2 7 0,1 4,6
b) V( X) x i E( X)2 P( x i )
i1
V( X) (2 4,6) 2 0,1 (3 4,6) 2 0,1 ( 4 4,6) 2 0,3 (5 4,6) 2 0,2 (6 4,6) 2 0,2 (7 4,6) 2 0,1
V( X) 2,04
SACHIKO ARAKI LIRA
45
Definição 4: Seja E um experimento com espaço amostral S. Sejam X X(s) e Y Y(s) duas
funções, cada uma associando um número real a cada resultado s S . Tem-se então que (X,Y)
é uma Variável Aleatória Bidimensional.
R XY
S
s
s
X(s)
Y(s)
Seja o experimento: retirar uma barra de ferro de um lote e observar a dimensão (largura
e o comprimento); tem-se neste caso duas variáveis aleatórias X e Y.
3.2 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES DISCRETAS
3.2.1 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Uma variável aleatória discreta X, que conta o número de sucessos em n provas
independentes, que apresentam os resultados sucesso ( p ) ou fracasso ( q 1 p ) , tem
distribuição binomial. Sua função de probabilidade é dada por:
n
P ( X x ) p x qn x ,
x
x 0 ,1, 2 ,, n e 0 p 1
A função de distribuição acumulada é dada por:
0 , se x 0
x n
F( x ) P( X x ) p k qnk , se 0 x n
k 0 k
1, se x n
Os parâmetros da distribuição são:
Média E( X) n p
Variância V( X) n p q
Exemplo 1: Seja X uma v.a. que indica o número de peças não conformes (não segue a
especificação definida no projeto de qualidade) produzidas pela máquina “Z”. Se a probabilidade
desta maquina produzir uma peça não conforme é de 15%, ao selecionar aleatoriamente 5
peças, pede-se:
a) a probabilidade de nenhuma peça ser não conforme;
b) a probabilidade de todas as peças serem de acordo com especificação do projeto de
qualidade;
c) obter a distribuição de probabilidade e o gráfico.
Solução:
a) n 5
46
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES
p 0,15
q 0,85
x0
(peça ser conforme)
5
P( X 0) (0,15 ) 0 (0,85 ) 50 0,4437
0
b) P( todas de acordo com as especifica ção) P( X 0) 0,4437
c) Distribuição de Probabilidade
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE X
P( X x )
x
0
0,4437
1
0,3915
2
0,1382
3
0,0244
4
0,0022
5
0,0001
Gráficamente:
A seguir, o gráfico da função de distribuição acumulada.
SACHIKO ARAKI LIRA
47
Exemplo 2: Seja X uma v.a. que indica o número de parafusos defeituosos produzidos pela
máquina “A”. Se a probabilidade desta maquina produzir um parafuso defeituoso é de 5%, ao
selecionar aleatoriamente dois parafusos, qual a probabilidade de ambos serem defeituosos?
p =probabilidade de ser defeituoso=0,05
1 p = probabilidade de ser perfeito=1-0,05=0,95
2
P ( X 2) (0,05 ) 2 (0,95 ) 22 0,0025 0,25 %
2
Ao selecionar 50 parafusos produzidos por esta máquina, espera-se uma média de 2,5
parafusos defeituosos, e uma variância de 2,4 (parafusos defeituosos)2.
3.2.2 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
A distribuição de Poisson pode ser aplicada a muitos casos práticos nos quais interessa
o número de vezes que um determinado evento pode ocorrer durante um intervalo de tempo ou
distância, área ou outra unidade de medida análoga.
Uma v.a. discreta X tem distribuição de Poisson se sua função de probabilidade é dada
por:
e x
x 0 ,1, 2 , e 0 (probabilidade de sucesso)
P ( X x)
,
x!
A função de distribuição acumulada é dada por:
0 , se x 0
F( x ) P( X x )
x e k
, se x 0
k 0 k !
Os parâmetros da distribuição são:
Média: E( X)
Variância: V( X)
Exemplo 1: São contados os números de partículas radioativas emitidas em cada intervalo de 5
segundos. Suponha que o número de partículas emitidas, durante cada intervalo de 5 segundos,
tenha uma distribuição de Poisson com parâmetro 2,0. Pede-se:
a) qual é a probabilidade de que menos de 3 partículas sejam emitidas?
b) supondo que 10 contagens são realizadas, construir a distribuição de probabilidade.
Solução:
a) P( X 3) P( X 0) P( X 1) P( X 2)
e 2 2 0
0!
e 2 21
1!
e 2 2 2
2!
P( X 3) 0,1353 0,2707 0,2707 0,6767
48
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE X
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P( X x )
0,1353
0,2707
0,2707
0,1804
0,0902
0,0361
0,0120
0,0034
0,0009
0,0002
0,0000
Gráficamente:
A função de distribuição acumulada:
Exemplo 2: Seja X o número de acidentes mensais ocorridos numa determinada indústria. Se o
número médio de acidentes por mês é 3, qual a probabilidade de não ocorrer nenhum acidente
no próximo mês?
e 3 3 0
P ( X 0)
e 3 0,050 5%
0!
SACHIKO ARAKI LIRA
49
3.2.3 DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
Suponha que em um lote de N peças, k são defeituosas e (N-k) são perfeitas e
escolhem-se ao acaso, n peças desse lote ( n N ) . Pode-se estar interessado na probabilidade
de selecionar x peças dos k rotulados como defeituosos e (n-x) perfeitas dos (N-k) rotulados
como perfeitas. Esse experimento é chamado hipergeométrico.
Uma v.a. discreta X tem distribuição hipergeométrica se sua f.p. é dada por:
k N k
xn x
P( X x )
N
n
A função de distribuição acumulada é dada por:
0 , se x j
k N k
k j n j
F( x ) P( X x )
, se 0 x j
N
j
0
n
1 , se x j
Os parâmetros da distribuição são:
Média: E( X) n p
Variância: V( X) npq
Nn
,
N 1
onde p
k
k
; q 1 .
N
N
Exemplo 1: Pequenos motores elétricos são expedidos em lotes de 30 unidades. Antes que
uma remessa seja aprovada, um inspetor seleciona ao acaso 3 destes motores para inspeção.
Se nenhum dos motores inspecionados for defeituoso, o lote é aprovado. Se um ou mais dos
motores verificados forem defeituosos, o lote todo é inspecionado. Suponha que existam, de
fato, 2 motores defeituosos no lote. Qual é a probabilidade de que a inspeção de todo o lote seja
necessária?
(número de casos total na população)
k=2
(número de casos favoráveis na população)
n=3
(tamanho da amostra)
x=1,2,3 (número de casos desfavoráveis na amostra)
N=30
A
probabilidade
de
que
a
inspeção
seja
necessária
é
igual
a
P( X 1) P( X 2) P( X 3) ou P( X 1) 1 P( X 0)
50
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES
2 30 2
2 28
0
3
0
0 3
P( X 1) 1 P( X 0) 1
1
1 0,8069 0,1931 19,31 %
30
30
3
3
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE
X
x
p(x)
0
1
2
3
0,8069
0,1862
0,0069
0,0000
Gráficamente:
A função de distribuição acumulada:
Exemplo 2: Uma empresa adquiriu diversas caixas, cada uma contendo 15 lâmpadas. Ela
decidiu fazer uma inspeção por amostragem sem reposição, analisando 5 lâmpadas de uma
caixa. A caixa será aceita caso encontre no máximo duas defeituosas. Qual a probabilidade de
aceitar uma caixa sabendo que a qualidade do produto é definida por 20% de defeituosos?
N=15
n=5
SACHIKO ARAKI LIRA
51
x2
k 0,20 * 15 3
P( X 2) P( X 0) P( X 1) P( X 2)
3 15 3
0 5 0
P( X 2)
15
5
3 15 3
1 5 1
15
5
3 15 3
2 5 2 792 1.485 660 2.937
0,9780 97,80%
3.003
3.003
15
5
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 3 – DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES DISCRETAS
1. O número de mensagens enviadas por hora, através de uma rede de computadores, tem a
seguinte distribuição:
x = número de
mensagens
p(x)
10
11
12
13
14
15
0,08
0,15
0,30
0,20
0,20
0,07
Calcular:
E(X);
V(X).
2. Seja X=o número de cilindros do motor do próximo carro a ser regulado em certa oficina. A
função de probabilidade é dada por:
x
p(x)
4
0,5
6
0,3
8
0,2
a) calcular E( X)
b) calcular V( X)
c) calcular
3. Um proprietário acaba de instalar 20 lâmpadas em uma nova casa. Supondo que cada
lâmpada tenha 0,20 de probabilidade de funcionar por mais de três meses, pede-se:
a) qual a probabilidade de ao menos cinco delas durarem mais de três meses?
b) qual o número médio de lâmpadas que deverão ser substituídas em três meses?
4. Repete-se um experimento 5 vezes. Supondo que a probabilidade de sucesso em uma prova
seja 0,75, e admitindo a independência dos resultados das provas:
a) qual a probabilidade de todas as cinco provas resultarem em sucesso?
b) qual o número esperado de sucesso?
5. Um produto eletrônico contém 40 circuitos integrados. A probabilidade de que qualquer
circuito integrado seja defeituoso é de 0,01. Os circuitos integrados são independentes. O
produto opera somente se não houver circuitos integrados defeituosos. Qual é a probabilidade
de que o produto opere?
52
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES
6. Um departamento de conserto de máquinas recebe uma média de 5 chamadas por hora. Qual
a probabilidade de que em uma hora selecionada aleatoriamente sejam recebidas:
a) Exatamente três chamadas?
b) Menos que três chamadas?
7. Bateladas que consistem em 50 molas helicoidais, provenientes de um processo de produção
são verificadas com respeito à conformidade em relação aos requerimentos dos consumidores.
O número médio de molas não-conformes em uma batelada é igual 5. Considere que o número
de molas não-conformes em uma batelada, denotado por X, seja uma variável aleatória
binomial. Pede-se:
a) qual é a probabilidade do número de molas não-conformes em uma batelada seja menor ou
igual a 2?
b) qual é a probabilidade do número de molas não-conformes em uma batelada seja maior ou
igual a 49?
8. Suponha que 90% de todas as pilhas do tipo D, de certo fabricante, tenham voltagens
aceitáveis. Um determinado tipo de lanterna necessita de 2 pilhas tipo D, e ela só funciona se as
duas pilhas tiverem voltagem aceitável. Entre 10 lanternas selecionadas aleatoriamente, qual é a
probabilidade de:
a) pelo menos 9 funcionarem?
b) no máximo 2 funcionarem?
9. Seja X o número de falhas na superfície de uma caldeira de um determinado tipo selecionado
aleatoriamente, com distribuição de Poisson de parâmetro 5 . Calcular:
a) P( x 2)
b) P( x 8)
c) P(5 x 8)
10. Cartões de circuito integrado são verificados em um teste funcional depois de serem
preenchidos com chips semicondutores. Um lote contém 140 cartões e 20 são selecionados sem
reposição para o teste funcional.
a) se 20 cartões forem defeituosos, qual será a probabilidade de no mínimo 1 cartão defeituoso
estar na amostra?
b) se 5 cartões forem defeituosos, qual será a probabilidade de 1 cartão defeituoso aparecer na
amostra?
11. Num lote de 20 pneus enviadas a um fornecedor sabe-se que há 5 defeituosos. Um cliente
vai a esse fornecedor comprar 4 pneus. Qual a probabilidade de levar 1 defeituoso?
SACHIKO ARAKI LIRA
53
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES
CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES
4.1 DEFINIÇÕES
Definição 1: Seja X uma variável aleatória continua. A função densidade de probabilidade
f ( x ) , é uma função que satisfaz as seguintes condições:
f ( x ) 0 para todo x R X
f ( x)d( x) 1.
Exemplo: Seja X uma variável contínua com função densidade de probabilidade dada por:
f (x)
x
,
16
2x6
f ( x ) 0 , para qualquer outros valores.
A função densidade de probabilidade é:
Para x 2 f (2)
2
1
16 8
Para x 4 f (4)
4
2
16 8
Para x 6 f (6)
6
3
16 8
A condição f ( x )d( x ) 1 , indica que a área total limitada pela curva que representa f ( x ) e
o eixo das abcissas é igual a 1.
Seja o intervalo [a,b] de R X . A probabilidade de um valor de X pertencer a esse intervalo
b
será dada por: P(a X b) a f ( x )dx , que representa a área sob a curva da função densidade
de probabilidade.
Para variáveis aleatórias contínuas, as probabilidades são interpretadas como áreas.
Sendo X uma variável aleatória continua, a probabilidade em um ponto é nula, então:
P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b)
Definição 2: Seja X uma variável aleatória. A função de distribuição acumulada ou de
repartição de X é definida como
F( x ) P( X x )
54
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES
Se X for variável aleatória continua, tem-se:
x
F( x ) P( X x ) f ( x )dx
Exemplo: Seja X uma variável contínua com função densidade de probabilidade dada
por:
x
,
16
f (x)
2x6
f ( x ) 0 , para outros valores.
A função de distribuição acumulada é dada por:
6
x
1 x2
1 2
32
F( x ) f ( x )dx f ( x )dx 0
dx
6 22
1
16 2
32
32
2
2 16
2
2
6
6
Esperança
A esperança matemática E(X), de uma variável aleatória continua X, com função
densidade de probabilidade f ( x ) , é definida por:
E( X)
x f ( x )dx
Variância
Se X é uma variável aleatória contínua, a variância, representada por V( X) é definida
por:
V( X)
2
x E( X) f ( x )dx
As propriedades da variância para variável aleatória contínua são as mesmas das já
apresentadas para variável aleatória discreta.
Exemplo1: Seja X uma variável contínua com função densidade de probabilidade dada por:
x
,
16
f (x)
2x6
f ( x) 0 , para qualquer outros valores.
Qual é o valor esperado e a variância de X?
6
x
1 6 2
1 x3
1 3
E( X) x
dx
x
dx
6 2 3 4,33
16
16
16
3
48
2
2
2
6
V( X)
2
x E( X) f ( x )dx
SACHIKO ARAKI LIRA
55
6
V ( X ) ( x 4,33 ) 2
2
6
x
x
dx ( x 2 2 4,33 x 4,33 2 ) dx
16
16
2
6
6
6
x 3 8,66 2 18,7489 x
1 x4
8,66 x 3
18,7489 x 2
V( X) (
x
) dx
16
16
16 4
16 3
16 2
2 16
2
2
2
6
6 4 2 4 8,66
4
16
6 3 2 3 18,7489
3
16
V( X)
1
16
V( X)
1 1280 8,66 208 18,7489 32
2
16 4 16 3
16
62 22
2
V( X) 1,22
Exemplo 2: Suponha que f ( x) 0,25 , para 0 x 4 . Determine a média e a variância.
Solução:
a) E( X) x f ( x )dx
4
4
4
x2
0,25 2
E( X) x 0,25dx 0,25 x dx 0,25
4 02 2
2
2
0
0
0
b) V( X) x E( X)2 f ( x )dx
4
3 4
4
4
x2
x
2
4
V( X) x 2 0,25dx 0,25 ( x 2 4x 4) dx 0,25 4 4x 0
3
0
0
2 0
0
V( X) 1,33
4.2 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES CONTINUAS
4.2.1 DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL
Uma v.a. continua X, tem distribuição exponencial se sua função densidade de
probabilidade é dada por:
f ( x) e x ,
x0
A função de distribuição acumulada é dada por:
F( x ) P( X x ) x0 e x dx 1 e x , x 0
Portanto: P( X x) e x
56
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES
Os parâmetros da distribuição são:
Média: E( X)
1
Variância V( X)
1
2
Essa distribuição tem papel importante na descrição de uma grande classe de
fenômenos, particularmente nos assuntos relacionados a teoria da confiabilidade.
Exemplo 1: O tempo de vida X (em horas) das lâmpadas elétricas fabricadas por uma
empresa é uma variável aleatória, tendo sua função densidade de probabilidade dada por:
0,002 x , se x 0
f ( x ) 0,002e
0 se x 0
a) qual a probabilidade do tempo de vida de uma lâmpada ser superior a 600 horas?
b) qual é o tempo de vida esperado?
Solução:
a) 0,002
P( X 600) 600 0,002e 0,002 x e 0,002 x 600 0 e 0,002600 0,3012
b) E( X)
1
1
500 horas
0,002
Exemplo 2: A vida média de um satélite é 4 anos, seguindo o modelo exponencial. Seja
X a variável definindo o tempo de vida do satélite. Calcule a P( X 4) .
Solução:
E( X)
Então,
1
4 , portanto,
P( X 4) e x
1
4
1
4
4
e
e 1 0,3679 36,79 %
4.2.2 DISTRIBUIÇÃO NORMAL OU GAUSSIANA
É uma das mais importantes distribuições de probabilidades, sendo aplicada em
inúmeros fenômenos e frequentemente utilizada para o desenvolvimento teórico da inferência
estatística.
Uma v.a. continua X, tem distribuição normal ou Gaussiana se sua função densidade de
probabilidade é dada por:
SACHIKO ARAKI LIRA
57
f ( x)
1
2
1 x
2
e
2
x R, R , R ,
,
A função de distribuição acumulada é dada por:
F( x ) P( X x )
x
f ( x)d( x)
x
1
2
e
1 x 2
2
dx
Os parâmetros da distribuição são:
Média: E ( X )
Variância: V ( X ) 2
média
Quando se deseja especificar que a variável aleatória X, segue distribuição normal com
e variância 2 , usa-se a notação: X ~ N ( ; 2 ) .
A distribuição normal é definida a partir de dois parâmetros, a média e a variância 2 .
Por exemplo, a curva da distribuição normal f ( x ) para 40 e 10 , e valores da variável
aleatória no intervalo (10, 70), é mostrada no gráfico abaixo.
Uma das características importantes é que a partir desses dois parâmetros será possível
calcular, por exemplo, a percentagem de valores que deverão estar acima ou abaixo de um
determinado valor da variável aleatória, ou entre esses dois valores definidos etc.
A probabilidade P ( a X b ) de a variável aleatória contínua X ser igual ou maior que a
e, ao mesmo tempo, menor ou igual a b , é obtida da área definida pela função f ( x ) entre os
limites a e b , sendo b a . O cálculo é feito integrando-se a função f ( x ) no intervalo ( a, b ) ,
que é bastante trabalhoso.
P( a X b )
58
b
a
1
2
e
1 x 2
2
dx
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES
Representação Gráfica:
É um gráfico em forma de sino. O seu posicionamento em relação ao eixo das ordenadas
e seu achatamento são determinados pelos parâmetros e 2 , respectivamente.
A área compreendida entre é igual a 68,27 % ; entre 2 é igual a 95,45 % e
entre 3 é igual a 99,73%.
Propriedades da distribuição normal:
1.
2.
3.
4.
f (x)
f (x)
f (x)
f (x)
possui um ponto de máximo para X ;
tem dois pontos de inflexão cujas abcissas valem e ;
é simétrica em relação a X . E, ainda Mo Md ;
tende a zero quando x tende para (assintótica em relação ao eixo x);
4.3.2.1 DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA OU REDUZIDA
A variável normal padronizada Z é obtida através de uma transformação linear da
variável normal X, obtendo-se assim uma escala relativa de valores na qual, a média é o ponto
de referência e o desvio padrão, uma medida de afastamento da média.
Considere a transformação: Z
X
, então dZ
dX
.
Tem-se:
F( x )
1
2
1 x 2
x
e 2
dx
Utilizando a transformação será:
F( z)
1
2
1
z
z
e 2
2
dz , que é a função de distribuição acumulada para a variável normal
reduzida.
Os parâmetros da distribuição são:
Média: E ( Z ) 0
Variância: V ( Z ) 1
SACHIKO ARAKI LIRA
59
f(z)
Gráfico da distribuição normal padrão:
z
Exemplo 1: O diâmetro de um eixo de um dispositivo ótico de armazenagem é normalmente
distribuído, com média 0,2508 polegadas e desvio padrão de 0,0005 polegadas. As
especificações do eixo são 0,2500 0,0015 polegada. Que proporção de eixo obedece às
especificações?
0,2508
0,0005
P (0,2485 X 0,2515 ) ?
Z1
0,2485 0,2508
4,6
0,0005
Z2
0,2515 0,2508
1,4
0,0005
P (0,2485 X 0,2515 ) P ( 4,6 Z 1,4) 0,9192 - 0,0000 0,9192 91,92%
Exemplo 2: O diâmetro de um cabo elétrico é normalmente distribuído com média 0,8 mm e
variância 0,0004 mm2. Dentre uma amostra de 1.000 cabos, espera-se que quantos tenham
diâmetro menor que 0,78 mm?
0,8
2 0,0004 => 0,02
Z
0,78 0,8
1 => P( Z 1) 0,1587
0,02
n 1.000 0,1587 158,7
60
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES
4.3.3 DISTRIBUIÇÃO 2 ( QUI-QUADRADO)
A função densidade da distribuição “ 2 ” com
f x ( 2 )
1
2
2
21
e
2
2 2
graus de liberdade é dada por:
, 2 0 ,
2
Os parâmetros da distribuição são:
Média E( 2 )
Variância V( 2 ) 2
Diz-se que 2 segue uma distribuição qui-quadrado com parâmetro
. O parâmetro
é chamado de graus de liberdade da distribuição.
Quando se deseja indicar que uma variável 2 segue uma distribuição qui-quadrado com
graus de liberdade, usa-se a notação:
2 ~ 2 ( )
ou 2 ~ 2 .
Esta distribuição possui numerosas aplicações em inferência estatística. Dentre as
aplicações da Distribuição Qui-quadrado cita-se a construção de intervalos de confiança para
variâncias e testes de hipóteses.
Utilização da distribuição 2
Determinar os valores de 2 tais que:
a) P (0 2 32 ) 0,975
Deseja-se obter o valor de 32 de maneira que, abaixo dele se encontrem a área
correspondente a 97,5%.
O valor é igual a: 32 9,3484
2
) 0,900
b) P ( 2 10
2
Neste caso, o valor de 10
é o limite inferior da área que compreende 90% da
distribuição qui-quadrado.
2
4,8652 .
O valor é igual a: 10
SACHIKO ARAKI LIRA
61
4.3.4 DISTRIBUIÇÃO “ t ” DE STUDENT
A função densidade da distribuição “t” com
f (t)
graus de liberdade é dada por:
1
( 1)
2
2
2
t
, t R ,
1
2
Os parâmetros da distribuição são:
Média: E( t ) 0
Variância: V(t )
2
liberdade da distribuição.
para
2,
onde o parâmetro
é o número de graus de
A distribuição t é simétrica em relação a t 0 , sendo que, quando
ela tende para
uma distribuição normal com média 0 e variância 1 (distribuição normal padronizada). O único
parâmetro que a define e caracteriza a sua forma é o número de graus de liberdade
(número de observações livres para variar). Quando se deseja indicar que uma variável aleatória
t segue uma distribuição t de Student com graus de liberdade, usa-se a seguinte notação
t ~ t ( ) ou t ~ t .
Dentre as utilizações da Distribuição t, citam-se os testes de hipóteses e intervalos de
confiança para amostras pequenas (n 30 ) e testes de hipóteses para coeficiente de correlação
amostral.
Utilização da distribuição t de Student
Determinar os valores de t , tais que:
a) P ( t t 5 ) 0,05
Deseja-se obter o valor de t 5 tal que abaixo dele se encontrem 5% da área da
distribuição.
O valor é igual a: t 5 2,0150
b) P ( t t 8 ) 0,10
Deseja-se obter o valor de t 8 tal que acima dele se encontrem 10% da área da
distribuição.
O valor é igual a: t 8 1,3968
62
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES
4.3.5 DISTRIBUIÇÃO F DE SNEDECOR
A função densidade da distribuição “F” com
1
1 2
2
1
f (F)
1 2 2
2 2
1
2
F
1
1
1
2
1 2
2
1 e 2
graus de liberdade é dada por:
, F 0,
1
F
2
Os parâmetros da distribuição são:
Média: E( X)
2
2 2
Variância: V( X)
, 2 2
2 22 (1 2 2)
1( 2 2) 2 ( 2 4)
,
2
4
A distribuição F de Snedecor depende de dois parâmetros,
1 e 2 ,
denominados,
respectivamente, de graus de liberdade do numerador e denominador.
Quando se deseja indicar que a variável aleatória F segue uma distribuição F de
Snedecor com 1 e 2 graus de liberdade, respectivamente no numerador e denominador,
usa-se a notação
F ~ F(1 , 2 ) ou F ~ F1 , 2
Dentre as aplicações da Distribuição F é possível citar a análise de variância (ANOVA) e
análise de regressão.
Utilização da distribuição F
Determinar os valores de F1 , 2 , tais que:
a) P F F(6, 10 ) 0,01
Deseja-se obter o valor de F6 ,10 tal que abaixo dele estejam 1% da área da distribuição.
F(6, 10 ) 5,39
b) P F F(3, 5) 0,05
Deseja-se obter o valor de F3 , 5 tal que acima dele estejam 5% da área da distribuição.
F(3, 5) 5,4095
SACHIKO ARAKI LIRA
63
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 4 – DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES CONTÍNUAS
1. O tempo de operação de uma máquina de embalagem de frascos sem interrupção para
manutenção, tem distribuição exponencial com média igual a duas horas. Qual a probabilidade
dessa máquina conseguir operar mais de uma hora sem interrupção?
2. Suponha que um componente eletrônico tenha um tempo de vida X (em unidades de 1.000
horas) que é considerado uma variável aleatória com função densidade de probabilidade
f ( x ) e x , x 0 . Qual é a probabilidade de x 0,9 ?
3. O tempo (em horas) necessário para reparar uma máquina é uma variável aleatória
exponencialmente distribuída com parâmetro 1/ 2 . Determine a probabilidade de que o
tempo de reparo exceda duas horas.
4. O diâmetro de uma determinada peça é uma característica da qualidade importante. Sabe-se
que esse diâmetro segue um modelo normal com média 40 mm e desvio padrão 2 mm. Se a
especificação estabelece que o diâmetro deve ser maior que 35mm, qual é a probabilidade de
que a peça produzida satisfaça a especificação?
5. Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos produzidos por certa
máquina. Supondo que essa variável tenha distribuição normal com média igual 2 cm e desvio
padrão igual a 0,04 cm. Qual a probabilidade de um parafuso ter o diâmetro com valor entre 2 e
2,05 cm ?
6. A tensão de ruptura (em newtons) de uma fibra sintética é representada por X e distribuída
como N (800,12 2 ) . O controle de qualidade na fabricação da fibra exige uma tensão de no
mínimo 772 N. Uma amostra da fibra é randomicamente testada. Qual é a probabilidade de
obtermos P( X 772) ?
7. Suponha que as frequências indesejáveis para um determinado sinal elétrico tenham uma
variação normal com média 60 Hz e desvio padrão 15 Hz.
a) Qual a probabilidade desse sinal elétrico possuir componentes entre 40 e 70 Hz devido a
essas frequências indesejáveis?
b) Qual a maior frequência do sinal para que a probabilidade de contaminação por frequências
indesejáveis seja de 10%?
8. A vida média de certo aparelho é de oito anos, com desvio padrão de 1,8 ano. O fabricante
substitui os aparelhos que acusam defeito dentro do prazo de garantia. Se ele deseja substituir
no máximo 5% dos aparelhos que apresentem defeito, qual deve ser o prazo de garantia?
9. Um processo industrial produz peças com diâmetro médio de 2,00” e desvio padrão de 0,01”.
As peças com diâmetro que se afaste da média por mais de 0,03” são consideradas defeituosas.
Admitida a normalidade:
a) qual a percentagem das peças defeituosas?
b) qual a percentagem de peças perfeitas?
64
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES
10. Uma empresa usa anualmente milhares de lâmpadas elétricas, que permanecem acesa
continuamente, dia e noite. A vida de uma lâmpada pode ser considerada uma variável aleatória
normal, com média de 50 dias e desvio padrão de 15 dias. Em 1º de janeiro a companhia
instalou 8.000 lâmpadas novas. Aproximadamente quantas deverão ser substituídas em 1º de
fevereiro?
11. O diâmetro do eixo principal de um disco rígido segue a distribuição normal com média
25,08 in. e desvio padrão 0,05 in. Se as especificações para esse eixo são 25,00 0,15 in.
Determine o percentual de unidades produzidas em conformidades com as especificações.
SACHIKO ARAKI LIRA
65
NOÇÕES DE AMOSTRAGEM E
DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
5.1 INTRODUÇÃO
Razão para se trabalhar com amostras:
menor custo;
redução do tempo e de mão-de-obra para a realização da coleta de dados;
maior confiabilidade e qualidade dos dados;
facilidade na realização dos trabalhos.
dois tipos de amostragem: a probabilística e a não-probabilística.
amostragem probabilística Todos os elementos da população têm probabilidade
conhecida, e diferente de zero, de pertencer à amostra.
amostragem probabilística melhor recomendação para garantir a representatividade da
amostra, pois o acaso será o único responsável por eventuais diferenças entre população
e amostra.
É possivel utilizar as técnicas de Inferência Estatística.
5.2 AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA
Algumas técnicas de amostragem probabilística:
5.2.1 AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES (AAS)
é o método mais simples e mais importante para selecionar uma amostra probabilística;
consiste em listar todas as unidades elementares enumeradas de 1 a N;
sorteiam-se “n” elementos da população, sendo que todos os elementos têm probabilidade
conhecida e diferente de zero de serem selecionados;
amostragem com reposição ou sem reposição.
Exemplo: Foram produzidos 500 anéis de pistão em certo processo de produção. Deseja-se
obter uma amostra de 30 anéis de pistão deste processo.
66
NOÇÕES DE AMOSTRAGEM E DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
Utilizando processo aleatório simples com reposição:
1) enumerar os anéis de pistão de 1 a 500;
2) todos os anéis terão a mesma probabilidade de compor a amostra, igual a 0,2%;
3) gerar 30 números aleatórios ou selecionar 30 números utilizando tabelas de números
aleatórios;
4) os anéis que comporão a amostra serão aqueles correspondentes aos números aleatórios;
290 271 211
4 456 451 389 487 397 410
473 143 381 217 128 465 457 174 160 157
206 369 155 285 421 239 454 341 424 289
No excel:
ALEATÓRIO()*(b-a)+a onde a=1; b=500
5) a amostra de 30 anéis de pistão será composta pelos anéis com as numerações acima.
5.2.2 AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA
os elementos da população estão ordenados e a retirada das unidades amostrais é feita
sistematicamente;
a cada dez itens produzidos, em uma linha de produção, retirar um para compor a
amostra da produção diária.
Considerando o exemplo dos anéis de pistão: os anéis estão enumerados de 1 a 500.
n
30
1
f
(fração amostral)
N 500 17
1) gera-se ou seleciona-se um número aleatório entre 1 e 17;
2) O número gerado foi 11. Para obter os demais elementos, soma-se sempre 17, até completar
o tamanho da amostra.
No excel:
ALEATÓRIO()*(b-a)+a onde a=1; b=17
11 28 45 62 79 96 113 130 147 164
181 198 215 232 249 266 283 300 317 334
351 368 385 402 419 436 453 470 487
4
3) a amostra de 30 anéis de pistão será composta pelos anéis com as numerações acima.
SACHIKO ARAKI LIRA
67
5.2.3 AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA
A população pode ser dividida em subgrupos (estratos);
Esse processo pode gerar amostras bastante precisas;
A estratificação é usada principalmente para resolver alguns problemas como a melhoria da
precisão das estimativas.
Quando a variável em estudo apresenta um comportamento heterogêneo entre os
diferentes estratos, convém que o sorteio dos elementos da amostra leve em consideração
tais estratos.
A amostragem estratificada pode ser: proporcional, uniforme e de Neyman.
Exemplo:
Dada a população de 5.000 operários de uma certa indústria automobilística, selecionar
uma amostra proporcional estratificada de operários para estimar seu salário médio. Usando a
variável critério “cargo” para estratificar essa população, e considerando amostra total de 250
operários, chega-se ao seguinte quadro:
CARGO
POPULAÇÃO
Chefes de seção
Operários especializados
Operários não especializados
TOTAL
PROPORÇÃO
500
1.500
3.000
5.000
0,10
0,30
0,60
1,00
AMOSTRA
25
75
150
250
5.3 DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
Ao retirar uma amostra aleatória de uma população, está-se considerando cada valor da
amostra como um valor de uma variável aleatória cuja distribuição de probabilidade é a mesma
da população, no instante da retirada desse elemento para a amostra.
Em consequência do fato de os valores da amostra serem aleatórios, decorre que
qualquer quantidade calculada em função dos elementos da amostra, também será uma variável
aleatória.
Os parâmetros são valores teóricos correspondentes à população e as estatísticas são
funções dos valores amostrais.
As estatísticas, sendo variáveis aleatórias, terão alguma distribuição de probabilidade,
com uma média, variância, etc. A distribuição de probabilidade de uma estatística chama-se,
comumente, distribuição amostral ou distribuição por amostragem.
5.3.1 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE MÉDIAS
O parâmetro é um valor único e desconhecido. A estatística X é um valor conhecido,
porém, pode variar de amostra para amostra. Se forem retiradas diferentes amostras aleatórias
68
NOÇÕES DE AMOSTRAGEM E DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
de mesmo tamanho, as médias das diferentes amostras não deverão ser iguais. Apesar de a
média da população ser a mesma, a média da amostra dependerá de cada amostra.
Com as médias das amostras, é possível construir a distribuição de frequências das
médias das amostras, denominada distribuição amostral, cuja média denomina-se média da
distribuição amostral e seu desvio padrão, erro padrão.
Embora os parâmetros, média e desvio padrão, da população não sejam conhecidos,
considera-se para o exemplo a seguir, como sendo conhecidos.
Seja uma população constituída dos elementos: 2, 5, 7 e 10 , sendo N 4 . A média e a
variância populacional são: 6,00 e 2 8,50 .
Considere as possíveis amostras de 2 elementos ( n 2 ), que podem ser retiradas desta
população.
a) Sem reposição
n
O número de amostras possíveis é dado por k CN
. Então, o número de amostras
possíveis é igual a 6.
QUADRO 6 – AMOSTRAS POSSÍVEIS DE 2 ELEMENTOS RETIRADAS DESSA POPULAÇÃO
SEM REPOSIÇÃO
AMOS-
AMOS-
AMOS-
AMOS-
AMOS-
AMOS-
AMOSTRAS
TRA 1
TRA 2
TRA 3
TRA 4
TRA 5
TRA 6
X1
2
2
2
5
5
7
X2
5
7
10
7
10
10
Média
3,5
4,5
6,0
6,0
7,5
8,5
Observe que a média da amostra depende de cada amostra extraída. Qualquer
inferência realizada sobre a média da população utilizando uma única amostra estará sujeita a
alguma incerteza, pois a média de cada amostra pode ser diferente.
A média das médias amostrais é obtida por:
E( X)
1k
36
Xi
k i1
6
E( X) 6
A média das médias amostrais ou a média da distribuição amostral coincide com a média da
população. Tem-se, então, a primeira conclusão importante: a média das médias amostrais é
a própria média da população.
A variância das médias amostrais é dada por:
V( X)
1k
1
17
2
( X i E( X)) 6,25 2,25 0 0 2,25 6,25
k i1
6
6
V( X) 2,83
SACHIKO ARAKI LIRA
69
A variância das médias amostrais é igual à variância da população multiplicada pelo
fator:
1 Nn
n N 1
Tem-se então que:
E( X) X
V( X) 2X
2
n
(Média da distribuição amostral de médias)
Nn
N1
(Variância da distribuição amostral de médias)
a) Com reposição
O número de amostras possíveis é dado por k Nn . Então, o número de amostras
possíveis é igual a 16.
QUADRO 7 – AMOSTRAS POSSÍVEIS DE 2 ELEMENTOS RETIRADAS DESSA POPULAÇÃO
COM REPOSIÇÃO
AMOS-
AMOS-
AMOS-
AMOS-
AMOS-
AMOS-
AMOS-
AMOS-
AMOS-
TRAS
TRA 1
TRA 2
TRA 3
TRA 4
TRA 5
TRA 6
TRA 7
TRA 8
X1
2
2
2
2
5
5
5
5
X2
2
5
7
10
2
5
7
10
Média
2,0
3,5
4,5
6,0
3,5
5,0
6,0
7,5
AMOS-
AMOS-
AMOS-
AMOS-
AMOS-
AMOS-
AMOS-
AMOS-
AMOS-
TRAS
TRA 9
TRA 10
TRA 11
TRA 12
TRA 13
TRA 14
TRA 15
TRA 16
X1
7
7
7
7
10
10
10
10
X2
2
5
7
10
2
5
7
10
Média
4,5
6,0
7,0
8,5
6,0
7,5
8,5
10,0
A média das médias amostrais é obtida por:
E( X)
1k
96
Xi
k i1
16
E( X) 6
A variância das médias amostrais é dada por:
V( X)
1k
1
2
16 6,25 2,25 ... 6,25 16 68
( X i E( X))
k i1
16
16
V( X) 4,25
A variância das médias amostrais é igual à variância da população multiplicada pelo
fator:
1
n
Tem-se então que:
E( X) X
70
(Média da distribuição amostral de médias)
NOÇÕES DE AMOSTRAGEM E DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
V( X) 2X
2
(Variância da distribuição amostral de médias)
n
De forma geral, a forma da distribuição amostral depende da forma da distribuição da
população. Se a distribuição da população for normal N ( , 2 ) , a distribuição da média
amostral também será normal, seja qual for o tamanho n da amostra. Se a distribuição da
população não for normal, à medida que o tamanho da amostra aumentar, a distribuição da
média amostral se aproximará da distribuição normal.
De acordo com o teorema central do limite, a distribuição das médias de amostras de
tamanho suficientemente grande poderá ser considerada como normal, seja qual for a forma da
distribuição da população.
Resumindo:
a) Amostragem com reposição:
E( X) X
(Média da distribuição amostral de médias)
2
V( X) X2
(Variância da distribuição amostral de médias)
n
b) Amostragem sem reposição:
E( X) X
V( X) X2
onde o fator
lim
N
2
n
(Média da distribuição amostral de médias)
Nn
N1
(Variância da distribuição amostral de médias)
Nn
é denominado de fator de população finita. Evidentemente, tem-se que:
N 1
Nn
1
N 1
TEOREMA CENTRAL DO LIMITE
Em situações onde se tem n , é possível aplicar o Teorema Central do Limite.
Existem diversas versões do teorema central do limite. Será apresentada uma das versões.
Teorema Central do Limite (versão i.i.d. em termos da média amostral)
Sejam X 1 , X 2 ,, X n , variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas
(i.i.d.), tais que E( X i ) e V ( X i ) 2 , ambas finitas. Seja X a média amostral. Então:
Z
X
2
X
n
~
N ( 0,1) .
n
A aproximação melhora com o aumento do tamanho da amostra.
SACHIKO ARAKI LIRA
71
Se, de uma população com parâmetros ( , 2 ) for retirada uma amostra de tamanho n
suficientemente grande, a distribuição de X será aproximadamente normal N ( , n ) , seja
qual for a forma da distribuição da população.
O teorema central do limite é muito importante, pois permite utilizar a distribuição normal
para realizar inferências da média amostral, seja qual for a forma da distribuição da população.
5.3.2 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE PROPORÇÕES
Seja uma população tal que, a probabilidade de sucesso de certo evento é p e de
insucesso é q 1 p . Para cada amostra de tamanho n , pode-se determinar o número k de
k
sucesso e como consequência, a frequência relativa ou proporção dada por fr p̂ .
n
`
O conjunto de frequências relativas calculadas para as amostras constitui a distribuição
amostral das proporções ou de frequências relativas.
A média e o desvio padrão da distribuição amostral de proporções são apresentados a
seguir, considerando-se amostras sem e com reposição.
a) Com reposição
p̂
p
p̂
(média da distribuição amostral de proporções)
pq
n
(desvio padrão da distribuição amostral de proporções)
b) Sem reposição
p̂
p
p̂
(média da distribuição amostral de proporções)
pq N n
n N 1
(desvio padrão da distribuição amostral de proporções)
Para amostras suficientemente grandes, a distribuição amostral das proporções, que
segue distribuição binomial, poderá se aproximar de uma distribuição normal de mesma média e
mesma variância. Na prática, considera-se a amostra grande para n 30 e p próximo de 0,5.
5.3.3 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA VARIÂNCIA
A estatística 2
(n 1) S 2
, segue uma distribuição qui-quadrado com
2
liberdade. Sendo que S 2 é a variância amostral, dada por:
S2
72
n 1 graus de
1 n
2
( x i X)
n 1 i1
NOÇÕES DE AMOSTRAGEM E DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS
A partir da expressão da expressão de estatística 2 , tem-se que:
S2
2 2 ,
(n 1)
com
2
n
1
ou seja, S 2 segue uma distribuição 2 , com n 1 graus de liberdade.
Tem-se para a distribuição amostral da variância S 2 que:
E ( S2 ) 2
V ( S2 )
2 4
n 1
SACHIKO ARAKI LIRA
73
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS
6.1 INTRODUÇÃO
Inferência estatística tem como objetivo fazer generalizações sobre uma população, com
base nos dados amostrais.
Inferência estatística
divide-se em duas grandes áreas: estimação e teste de hipóteses.
Pontual
Estimação
Inferência
Estatística
Por intervalo
Teste de Hipóteses
Estimação
o objetivo é fornecer informações sobre os parâmetros populacionais, tendo
como base uma amostra aleatória extraída da população de interesse.
Estatística qualquer quantidade calculada em função dos elementos da amostra.
Distribuição amostral ou distribuição por amostragem
distribuição de probabilidade de
uma estatística.
6.2 ESTIMADOR E ESTIMATIVA
Estimador
quantidade calculada em função dos elementos amostrais, que será utilizada no
processo de estimação do parâmetro de interesse.
Principais métodos de obtenção de estimadores:
Método dos momentos;
Método da máxima verossimilhança;
Método dos mínimos quadrados;
Estimativa valor numérico obtido pelo estimador numa determinada amostra.
6.3 QUALIDADES DE UM ESTIMADOR
a) Não tendencioso ou não viesado
74
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS
Um estimador ̂ é não tendencioso ou não viesado quando a sua média (ou esperança
ou expectância) é o próprio valor do parâmetro populacional que está se pretendendo
estimar, ou seja: E( ˆ )
b) Consistência
Um estimador ̂ é consistente se (além de ser não viesado) sua variância tende para
zero, quando n tende para , isto é:
e lim V( ˆ ) 0
E( ˆ )
n
c) Eficiência
Dados dois estimadores ̂1 e ̂ 2 de um mesmo parâmetro, é mais eficiente aquele que
apresenta menor variância, ou seja:
Se V ( ˆ 1 ) V ( ˆ 2 ) então ̂1 é mais eficiente que ̂ 2 .
Ainda, se ̂1 e ̂ 2 forem ambos não tendenciosos, a eficiência relativa será dado pelo
quociente das respectivas variâncias, ou seja:
V ( ˆ 1 )
.
V ( ˆ 2 )
d) Suficiência
Um estimador é suficiente quando permite obter um resumo das informações trazidas
pela amostra, ou seja, resume os dados sem perder nenhuma informação sobre o parâmetro .
6.4 ESTIMAÇÃO POR PONTOS
Quando o parâmetro é estimado através de um único valor diz-se que a estimação é por
ponto ou pontual. Por exemplo: X é um estimador pontual da média populacional ; S 2 é um
estimador pontual da variância populacional
2 ; etc.
6.4.1 ESTIMADOR DA MÉDIA POPULACIONAL
O estimador utilizado é a média aritmética amostral X , sendo um estimador não viesado,
consistente, eficiente e suficiente.
1 n
X xi
n i1
6.4.2 ESTIMADOR DA VARIÂNCIA POPULACIONAL
O estimador utilizado é a variância amostral S 2 . As estimativas obtidas pelas
expressões apresentadas a seguir são não tendenciosos e consistentes.
Quando a média populacional for conhecida, a estimativa é dada por:
SACHIKO ARAKI LIRA
75
n
( x i )2
S2
i1
n
E quando a média populacional for desconhecida, por:
S2
1 n
2
( xi X )
n 1 i1
6.4.3 ESTIMADOR DO DESVIO PADRÃO POPULACIONAL
Tem-se que S 2 é um estimador não tendencioso da variância populacional
entanto, a raiz quadrada de S
populacional .
2
2 .
No
não é um estimador não tendencioso do desvio padrão
A tendenciosidade de S tende a zero, à medida que aumenta o tamanho da amostra.
6.4.4 ESTIMADOR DA PROPORÇÃO POPULACIONAL
O estimador utilizado é a proporção amostral p̂ . A expressão de p̂ é dada por: p̂
k
,
n
onde k é o número de casos favoráveis.
6.5 ESTIMAÇÃO POR INTERVALO
Consiste em construir um intervalo em torno da estimativa por ponto, de tal forma que ele
possua probabilidade conhecida (nível de confiança (1 ) ) de conter o verdadeiro valor do
parâmetro.
Seja o parâmetro , tal que P ( t 1 t 2 ) 1 . Então, tem-se:
t1 t 2
t1 e t 2
1
chamado de intervalo de confiança (I.C.)
são denominados de limites de confiança
nível de confiança.
A escolha do nível de confiança depende do grau de precisão com que se deseja estimar
o parâmetro. É comum utilizar os níveis de 95% e 99%. Evidentemente, o aumento no nível de
confiança implica no aumento de sua amplitude.
6.5.1 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIA POPULACIONAL
1) Quando a Variância Populacional 2 é Conhecida
P( X Z 2
76
n
X Z 2
) 1
n
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS
onde:
X é a média da amostra;
é o nível de significância adotado;
Z 2 é o valor de Z da tabela da distribuição “t” para um determinado nível de significância e
graus de liberdade ;
é o desvio padrão da população;
n é o tamanho da amostra.
A utilização da expressão acima deve atender aos seguintes critérios:
Para amostras pequenas ( n 30 ) , a população deve ser normalmente distribuída;
Para grandes amostras ( n 30 ) , não existe a exigência de que a população seja normalmente
distribuída (justificada pelo Teorema Central do Limite), e sendo
substituído pelo desvio padrão amostral S .
desconhecido, pode ser
FIGURA 3 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
1
2
Z 2
2
Z 2
Exemplos de aplicação:
1) O desvio padrão dos comprimentos de todas as peças produzidas por certa máquina é 2 mm.
Uma amostra de 50 peças produzidas por essa máquina apresenta média igual a 25 mm.
Construir o I.C. de 95% para o verdadeiro comprimento das peças produzidas por essa
máquina.
Solução:
2
n 50
X 25
1 95% ;
5% ; Z 2 1,96
77
SACHIKO ARAKI LIRA
FIGURA 1 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL
PADRÃO
Assim, o intervalo de confiança será:
P X Z 2
X Z 2
1
n
n
2
2
P 25 1,96
25 1,96
95 %
50
50
P 24,45 mm 25,55 mm 95 %
2) Experiência passada indicou que a resistência à quebra de um fio usado na fabricação de
material moldável é normalmente distribuída e que 2 psi. Uma amostra aleatória de nove
espécimes é testada e a resistência média à quebra é 98 psi. Encontre um intervalo bilateral de
confiança de 95% para a resistência média à quebra.
Solução:
2
n9
X 98
1 95% ; 5% ; Z 2 1,96
P X Z 2
X Z 2
1
n
n
2
2
P 98 1,96
98 1,96
95 %
9
9
P 96,69 psi 99,31 psi 95 %
2) Quando a Variância Populacional 2 é Desconhecida
O estudo que trata de distribuições amostrais ou distribuições de probabilidade de
estatísticas, de pequenas amostras (n<30), é chamado de Teoria das Pequenas Amostras.
A distribuição t de Student, desenvolvida por William Sealy Gosset, é uma distribuição
de probabilidade estatística. Esta distribuição é de fundamental importância para a inferência
estatística, quando o desvio padrão populacional é desconhecido e trata-se de amostras
pequenas (geralmente n<30).
O intervalo de confiança é obtida através de:
P( X t 2
S
n
X t 2
S
) 1
n
onde:
X é a média da amostra;
é o nível de significância adotado;
t 2 é o valor de t da tabela da distribuição “t” para um determinado nível de significância e
n 1 graus de liberdade;
78
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS
S é o desvio padrão da amostra;
n é o tamanho da amostra.
A utilização do I. C. acima deve obedecer aos seguintes critérios:
Para amostras pequenas
( n 30 ) , a população de onde a amostra foi retirada deve ser
normalmente distribuída;
Para grandes amostras ( n 30 ) , ele pode substituir o I. C. dado pela fórmula em que é
conhecido, pois, no caso de grandes amostras, a distribuição t de Student se aproxima de uma
distribuição normal padronizada.
FIGURA 4 – DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT
1
2
2
t 2
t 2
Exemplos de aplicação
1) Uma amostra de 20 cabos, produzidos por uma indústria, foram avaliados e medidas as
tensões de rupturas (em kgf). A média e o desvio padrão da amostra são iguais a 762 kgf e 14,4
kgf, respectivamente. Deseja-se construir o intervalo de confiança de 95% para a tensão média
de ruptura de cabos produzidos pela indústria.
Solução:
n 20
X 762
S 14,4
1 95% ; 5% ; n 1 19
t
2
2,09
Assim, o intervalo de confiança será dado por:
P X t
S
2
n
X t
SACHIKO ARAKI LIRA
2
S
1
n
79
14,4
14,4
P 762 2,09
762 2,09
1
20
20
P 755,27 kgf 768,73 kgf 95 %
2) A resistência do concreto à compressão está sendo testada por um engenheiro civil. Ele
testa 12 corpos de prova e obtém dados abaixo. Construir um intervalo de 95% para a
resistência média.
Dados: X 2259,92 ; S 35,57
Solução:
n 12
1 95%
5%
n 1 11
t
2
2,20
P X t
S
2
n
X t
2
S
1
n
35,57
35,57
P 2259 ,92 2,20
2259 ,92 2,20
1
12
12
P 2.237,33 2.282,51 95 %
6.5.2 INTERVALO
DE
CONFIANÇA
POPULACIONAIS 1
PARA
DIFERENÇA
ENTRE
DUAS
MÉDIAS
E 2
1) Quando as Variâncias Populacionais 12 e 22 são Conhecidas
12 22
12 22
1
P ( X1 X 2 ) Z 2
(1 2 ) ( X1 X 2 ) Z 2
n1 n 2
n1 n 2
onde:
X 1 é a média da amostra 1;
X 2 é a média da amostra 2;
é o nível de significância adotado;
Z 2 é o valor de Z da tabela da distribuição “t” para um determinado nível de significância e
graus de liberdade ;
2
1
80
é a variância da população 1;
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS
22 é a variância da população 2;
n1 é o tamanho da amostra 1;
n 2 é o tamanho da amostra 2.
Exemplo de aplicação:
1) Os desvios padrões das durações das lâmpadas elétricas fabricadas pelas indústrias A e B
são, respectivamente, 50 horas e 80 horas. Foram ensaiadas 40 lâmpadas de cada marca e
as durações médias obtidas foram 1.200 horas e 1.100 horas, para A e B, respectivamente.
Construir o intervalo de confiança de 99% para a diferença entre os tempos médios de vida
das lâmpadas de marcas A e B, ou seja, A B .
Solução:
A 50
B 80
n 40
X A 1200
XB 1100
1 99%
Z 2 2,58
O intervalo de confiança (I.C.) de (1 )100 % para A B , será dado por:
( X A XB ) Z
2
2A
nA
(1200 1100 ) 2,58
B2
nB
A B ( X A XB ) Z
2
2A
nA
B2
nB
50 2 80 2
50 2 80 2
A B (1200 1100 ) 2,58
40
40
40
40
P 61,52 horas A B 138,48 horas 99 %
2) Quando as Variâncias Populacionais 12 e 22 são Desconhecidas e Supostamente
Iguais
P ( X1 X 2 ) t
sendo que: S p2
2
S p2 (
1
1
) 1 2 ( X1 X 2 ) t
n1 n 2
2
S p2 (
1
1
) 1
n1 n 2
(n1 1) S12 (n 2 1) S 22
n1 n 2 2
X 1 é a média da amostra 1;
X 2 é a média da amostra 2;
é o nível de significância adotado;
SACHIKO ARAKI LIRA
81
t 2 é o valor de t da tabela da distribuição “t” para um determinado nível de significância e
n1 n 2 2 graus de liberdade;
S12 é a variância da amostra 1;
S 22 é a variância da amostra 2;
n1 é o tamanho da amostra 1;
n 2 é o tamanho da amostra 2.
Exemplo de aplicação:
Uma amostra de 5 tubos da fábrica A, apresentou os seguintes resultados quanto aos diâmetros
(mm): X A 45,40 ; S 2A 1,30
E, uma amostra de 6 tubos da fábrica B, apresentou: X B 44,17 ; S B2 1,37 .
Construir o I. C. de 95% para as diferenças entre os diâmetros médios A B .
Solução:
nA 5
nB 6
1 95 %
t 2 , com n1 n 2 2 graus de liberdade, logo 9
t
2
2,26
O intervalo de confiança (I.C.) de (1 )100 % para 1 2 , será dado por:
(X A XB ) t
2
S p2 (
1
1
) A B ( X A XB ) t
n A nB
2
S p2 (
1
1
)
n A nB
onde:
S p2
(n A 1) S 2A (n B 1) S B2
(5 1)(1,30) (6 1)(1,37)
1,34
n A nB 2
562
1 1
1 1
( 45,40 44,17) 2,26 1,34 A B ( 45,40 44,17) 2,26 1,34
5 6
5 6
1,23 1,58 A B 1,23 1,58
P - 0,35 mm A B 2,81 mm 95 %
82
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS
3) Quando as Variâncias Populacionais 12 e 22 são Desconhecidas e Supostamente
Diferentes
Para a construção do intervalo de confiança para a diferença entre duas médias
populacionais 1 e 2 , com base nos dados amostrais, desconhecendo-se os desvios padrões
populacionais 1 e 2 sendo supostamente diferentes, deve-se fazer uma modificação no teste
t, denominada correção de Aspin-Welch.
S12 S 22
S12 S 22
P ( X1 X 2 ) t 2
1 2 ( X1 X 2 ) t 2
n1 n 2
n1 n 2
1
onde a variável t tem número de graus de liberdade dado por:
w 1 w 2 2
w 12
w 22
n1 1 n 2 1
, onde w 1
S 12
S2
e w2 2
n1
n2
(método de Aspin-Welch)
onde:
X 1 é a média da amostra 1;
X 2 é a média da amostra 2;
é o nível de significância adotado;
t 2 é o valor de t da tabela da distribuição “t” para um determinado nível de significância e
graus de liberdade;
S12 é a variância da amostra 1;
S 22 é a variância da amostra 2;
n1 é o tamanho da amostra 1;
n 2 é o tamanho da amostra 2.
Exemplo de aplicação:
1) Dois operários mediram o tempo (em min) de certa operação industrial, obtendo:
X1 12,17 ; X 2 15,60 ; S12 7,77 ; S 22 16,30 ; n1 6 ; n 2 5
Estimar através de um I.C. de 95% a diferença 1 2 , supondo que as variâncias sejam
diferentes.
Solução:
1 95%
t 2 é o valor de t da tabela da distribuição “t” para um determinado nível de significância e
graus de liberdade.
SACHIKO ARAKI LIRA
83
Onde:
(w 1 w 2 )2
w 12
w 22
n1 1 n 2 1
w1
S12 7,77
1,30
n1
6
w2
S 22 16,30
3,26
n2
5
(1,30 3,26) 2
1,30 2 3,26 2
6 1 5 1
, onde w 1
S12
S2
e w2 2
n1
n2
7
O intervalo de confiança (I.C.) de (1 )100 % para 1 2 , será dado por:
( X1 X 2 ) t
2
S 12 S 22
1 2 ( X1 X 2 ) t
n1
n2
(12,17 15,6) 2,36
2
S 12 S 22
n1
n2
7,77 16,3
7,77 16,3
1 2 (12,17 15,6) 2,36
6
5
6
5
-3,43 5,04 1 2 -3,43 5,04
P - 8,47 min 1 2 1,61 min 95 %
6.5.3 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A VARIÂNCIA POPULACIONAL
(n 1) S 2
(n 1) S 2
2
P
1
2
12 2
2
FIGURA 5 – DISTRIBUIÇÃO 2
f ( 2 )
1
2
2
12 2
84
2 2
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS
Exemplo de aplicação:
Foram realizadas 12 determinações da densidade de certo metal ( g / cm3 ), obtendo-se o
seguinte resultado: S 2 0,02
Estimar a variância populacional da densidade através de um intervalo de confiança de
95%.
Solução:
Tem-se então que S 2 0,02 . Os valores de 2 tabelados serão:
12 2 3,8157
2 2 21,9200
Logo:
(n 1) S 2
2
2 2
(n 1) S 2
12 2
(12 1) 0,02
(12 1) 0,02
2
21,9200
3,8157
P 0,0100 2 0,0577
95 %
6.5.4 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA O DESVIO PADRÃO POPULACIONAL
Considerando a raiz quadrada positiva do intervalo de confiança da variância
populacional, obtém-se o intervalo de confiança de (1 )100 % para , dado por:
(n 1) S 2
P
2 2
(n 1) S 2
1
12 2
Exemplo de aplicação:
Considerando os resultados obtidos nas determinações da densidade de certo metal ( g / cm3 ),
apresentado no exemplo anterior, estimar o desvio padrão através de um intervalo de confiança
de 95%.
Solução:
(n 1) S 2
2 2
(n 1) S 2
(12 1) 0,02
21,9200
12 2
(12 1) 0,02
3,8157
P 0,1002 0,2401 95 %
SACHIKO ARAKI LIRA
85
6.5.5 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PROPORÇÃO POPULACIONAL
Para o cálculo do desvio padrão, deve-se estimar a proporção populacional p , utilizando
a estimativa pontual p̂ , assim fazendo q̂ 1 p̂ , tem-se:
P p̂ Z
onde p̂
2
p̂ q̂
p p̂ Z
n
2
p̂ q̂
1
n
x
é a proporção amostral (onde x representa o número de casos favoráveis ao evento
n
estudado).
A utilização do I. C. acima deve obedecer aos seguintes critérios:
a) np 5 e n(1 p) 5 , exigindo assim que a amostra seja grande. Os critérios exigidos estão
teoricamente, de acordo com a aproximação da distribuição binomial à distribuição normal;
b) Quando as condições do item (a) não são obedecidas, a amostra será pequena e a
construção dos intervalos de confiança exige a utilização de uma tabela especial, resultando
em I.C. tão amplos que não tem nenhum valor prático.
Exemplo de aplicação:
Em uma amostra de 200 peças produzidas por certa máquina, verificou-se que 10 eram
defeituosas. Estimar a verdadeira proporção de peças defeituosas produzidas por essa
máquina, utilizando I.C. de 90%.
Solução:
n 200
p̂
10
0,05
200
q̂ 1 p̂ 0,95
Z
2
1,64
Substituindo os valores na expressão do I.C., tem-se:
0,05 1,64
0,05 0,95
0,05 0,95
p 0,05 1,64
200
200
0,0247 p 0,0753
P 2,47 % p 7,53 % 90 %
86
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS
6.6 DIMENSIONAMENTO DA AMOSTRA
O objetivo do dimensionamento de amostras é o de determinar o tamanho mínimo de
amostra que se deve tomar, de maneira que, ao se estimar o parâmetro, o erro seja menor do
que um valor especificado.
6.6.1 ESTIMAÇÃO DA MÉDIA POPULACIONAL
Suponha que se pretende dimensionar o tamanho da amostra para a estimação da
média populacional , através do I.C. de ( 1 )100 % . Em se tratando extração de amostras
com reposição, a precisão é dada pela semi-amplitude do I.C.:
e o Z 2
,
n
quando o desvio padrão populacional é conhecido. E assim,
n Z
2
2
e o
Já, quando se tratar de extração de amostras sem reposição, tem-se:
e o Z
n
2
n
Nn
n 1
Z2 2 2N
e 02 (N 1) Z2 2 2
Exemplo de aplicação:
Qual o tamanho mínimo da amostra para se estimar a média de uma população cujo desvio
padrão é igual a 10, com confiança de 99% e precisão igual a 4? Supor que a amostragem é
obtida:
a) com reposição;
b) sem reposição de uma população com 1000 elementos;
Solução:
a) Amostragem com reposição
Tem-se as seguintes informações:
10
e0 4
1 99% , logo 1% e Z 2 2,58
SACHIKO ARAKI LIRA
87
n Z
2
2
e o
2
10
41,6025 42
n 2,58
4
b) Amostragem sem reposição
10
e0 4
N 1.000
1 99% , logo 1% e Z 2 2,58
n
n
Z2 2 2N
e 02 (N 1) Z2 2 2
2,58 2 10 2 1000
4 (1000 1) 2,58 2 10 2
2
39,9792 40
6.6.2 ESTIMAÇÃO DA PROPORÇÃO POPULACIONAL
Suponha que se pretende dimensionar o tamanho da amostra para a estimação da
proporção populacional p através do I.C. de ( 1 )100 % . A precisão é dada pela semiamplitude do I.C.:
e0 Z 2
n Z2 2
pq
,
n
pq
e02
Exemplo de aplicação:
Qual o tamanho de amostra suficiente para estimar a proporção de peças defeituosas fornecidas
por certa máquina, com precisão de 0,08 e 99% de confiança, sabendo que essa proporção não
ultrapassa a 0,10?
Solução:
p 0,10
e0 0,08
1 99% , logo 1% e Z 2 2,58
88
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS
n Z 2 2
n
pq
e 02
2,58 2 0,10 (1 0,10 )
(0,08 ) 2
93,6056 94
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 5 - INTERVALOS DE CONFIANÇA
1. A cronometragem (em segundos), de certa operação, obtida em uma amostra, forneceu os
seguintes resultados: n 11 ; X 18,27 ; S 2,49 .
Supondo que o tempo para a execução da operação industrial seja normalmente distribuído,
construir:
a) O I.C. de 95% para a média populacional;
b) O I.C. de 95% para a variância populacional;
c) O I.C. de 95% para o desvio padrão populacional;
2. Um fabricante produz anéis para pistões de um motor de um carro. Sabe-se que o diâmetro
do anel é distribuído normalmente com 0,001 milímetro. Uma amostra aleatória de 15
anéis tem um diâmetro médio de 74,036 milímetros. Construa o intervalo de confiança de
99% para o diâmetro dos anéis de pistão.
3. Sabe-se que a vida (em horas), de um bulbo de uma lâmpada de 75 W é distribuída
normalmente com 25 horas. Uma amostra aleatória de 20 bulbos tem uma vida média de
1.014 horas. Construa um intervalo de confiança de 95% para a vida média.
4. Um engenheiro do setor de pesquisa de um fabricante de pneu está investigando a vida
média do pneu em relação a um novo componente de borracha. Ele fabricou 16 pneus e
testou-os até o final da vida em um teste na estrada. A média e o desvio padrão da amostra
são 60.139,7 e 3.645,94 km, respectivamente. Sabendo-se que a vida média do pneu é
normalmente distribuída, encontre um intervalo de confiança de 95% para:
a) a vida média do pneu;
b) o desvio padrão do tempo de vida do pneu.
5. Uma máquina produz bastões metálicos usados em um sistema de suspensão de
automóveis. Uma amostra aleatória de 15 bastões é selecionada e mede-se o diâmetro dos
bastões. Os dados (em milímetro) resultantes são mostrados a seguir:
n 15 ; X 8,23 ; S 0,03
Sabendo-se que o diâmetro dos bastões é normalmente distribuída:
a) encontre um intervalo de confiança de 95% para o diâmetro médio dos bastões;
b) encontre um intervalo de confiança de 95% para a variância dos bastões;
c) encontre um intervalo de confiança de 95% para o desvio padrão dos bastões;
6. Em uma amostra aleatória de 85 mancais de eixos de manivelas de motores de automóveis,
10 têm um acabamento de superfície que é mais rugoso do que as especificações
permitidas. Consequentemente, uma estimativa pontual da proporção de mancais na
SACHIKO ARAKI LIRA
89
população que excede a especificação de rugosidade é p̂
10
0,12 . Construir o intervalo de
85
confiança de 95% para a proporção populacional.
7. Um fabricante de calculadoras eletrônicas retira uma amostra aleatória de 1200 calculadoras
e encontra 80 unidades defeituosas. Construa um intervalo de confiança de 95% para a
proporção de calculadoras defeituosas na população.
8. Está-se estudando a fração de circuitos integrados defeituosos produzidos em um processo.
Uma amostra de 300 circuitos é testada, revelando 13 defeituosos. Calcular o intervalo de
confiança de 90% para a fração de circuitos defeituosos produzidos pelo processo.
9. Uma empresa vem tendo sérios problemas com sucata e retrabalho, de modo que um de
seus engenheiros de qualidade decide investigar um determinado processo. Uma amostra
aleatória de 150 itens é extraída num determinado dia, sendo encontrada uma porcentagem
alta e alarmante de 16% de itens desconformes (ou seja, defeituosos). O engenheiro decide
criar um intervalo de confiança de 95% para a proporção real de unidades defeituosas
naquele momento. Qual é o intervalo obtido?
10. Dois tipos de plásticos são adequados para uso por um fabricante de componentes
eletrônicos. A resistência à quebra desse plástico é importante. É sabido que 1 2 1,0 psi.
A partir de uma amostra aleatória de n1 10 e n 2 12 , obteve-se X1 162,5 e X2 155,0 psi.
A companhia não adotará o plástico 1, a menos que sua resistência média à quebra exceda
do plástico 2, por no mínimo, 10 psi. Calcule o intervalo de confiança de 95% para a
diferença de médias, supondo que ambas as populações sejam normalmente distribuídas.
11. Duas formulações diferentes de um combustível oxigenado de um motor devem ser testadas
com a finalidade de estudar sua octanagem na estrada. A variância da octanagem na
estrada no caso da formulação 1 é 12 1,5 e no caso da formulação 2 é 22 1,2 . Duas
amostras aleatórias de n1 15 e n2 20 são testadas, sendo que as octanagens médias
observadas são X1 89,6 e X 2 92,5 . Considere normalidade das distribuições. Calcular o
intervalo de confiança de 90% para a diferença na octanagem média ( 2 1 ) observada na
estrada.
12. Diâmetro de bastões de aço, fabricadas em duas máquinas extrusoras diferentes, está
sendo investigado. Duas amostras aleatórias de tamanhos de n1 15 e n 2 17 são
selecionadas e as médias e variâncias das amostras são X1 8,73 , S12 0,35 , X2 8,68 e
S12 0,40 , respectivamente. Suponha que 12 22 e que os dados sejam retirados de uma
população normal. Construa um intervalo de confiança de 98% para a diferença no diâmetro
médio dos bastões.
13. Duas companhias fabricam um material de borracha para uso em uma aplicação automotiva.
A peça será sujeita a um desgaste abrasivo no campo de aplicação. Assim, decide-se
comparar, através de um teste, o material produzido por cada companhia. Vinte e cinco
amostras de material de cada companhia são testadas em um teste de abrasão, sendo a
quantidade de desgaste observada depois de 1000 ciclos. Para a companhia 1, a média e o
desvio padrão do desgaste na amostra são X1 20 miligramas/1000 ciclos e S1 2
miligramas/1000 ciclos, enquanto para companhia 2 são X 2 15 miligramas/1000 ciclos e
90
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS
S 2 8 miligramas/1000 ciclos. Construa um intervalo de confiança para 95% e 99% para a
diferença de média de desgastes, considerando que as populações são normalmente
distribuídas com variâncias diferentes.
14. Um experimento realizado para estudar várias características de pinos de ferro resultou em
38 observações sobre a resistência de corte (kip) de pinos de 3/8 polegada de diâmetro e 35
observações sobre a resistência de pinos de 1/2 polegada de diâmetro. Os resultados
obtidos foram:
PINOS
Pino diâmetro 3/8
Pino diâmetro 1/2
n
38
35
X
6,140
4,250
S
0,9
1,3
Construir um intervalo de confiança de 98% para diferença entre as resistências médias de
corte, supondo normalidade das duas populações e variâncias distintas.
15. Qual o tamanho mínimo de amostra para se estimar a média de uma população cujo desvio
padrão é igual a 12, com confiança de 95% e precisão igual a 3? Supor que a amostragem é
obtida sem reposição de uma população com 2000 elementos.
16. Qual o tamanho de amostra suficiente para estimarmos a proporção de peças defeituosas
fornecidas por certa máquina, com erro de 0,03 e 99% de confiança, sabendo que a proporção
não ultrapassa de 0,10
17. Determinar o número mínimo de elementos de uma amostra, se desejamos estimar a média
populacional com 95% de confiança e erro amostral de 1, sendo que de uma amostra piloto com
70 elementos obteve-se variância igual a 36.
18. Um fabricante de peças acredita que aproximadamente 5% de seus produtos são
defeituosos se ele deseja estimar a verdadeira porcentagem, com erro de 0,05, com 90% de
confiança. Qual deverá ser o tamanho da amostra a ser retirada?
SACHIKO ARAKI LIRA
91
TESTES DE HIPÓTESES
7.1 ETAPAS PARA TESTES DE HIPÓTESES
Etapas básicas para testar a significância estatística:
1) Estabelecer a hipótese nula H0 ;
2) Estabelecer a hipótese alternativa H1 ;
3) Fixar o nível de significância ;
4) Escolher a distribuição de probabilidade adequada ao teste e a partir daí determinar a região
de rejeição da hipótese nula H0 ;
Para a definição da região de rejeição de H0 é necessário considerar a hipótese H1 , uma vez
que é ela que define o tipo do teste, se é unilateral à esquerda, unilateral à direita ou bilateral.
Conforme o tipo do teste identifica-se a área de rejeição de H0 . Genericamente, tem-se:
H0 : T T0
T T0 ( teste unilateral à esquerda ) Figura 1
H1 : T T0 ( teste unilateral à direita ) Figura 2
T T0 ( teste bilateral ) Figura 3
R.R.
R.R.
Figura 1
Figura 2
R.R.
Figura 3
Os pontos -c e c são os pontos críticos, localizados nas tabelas das distribuições das estatísticas
do teste, considerando-se o nível de significância adotado e o número de graus de liberdade em
questão.
5) Definir o tamanho da amostra, coletar os dados e calcular o valor da estatística
correspondente;
6) Rejeitar ou aceitar Ho, avaliando se o valor da estatística, obtida a partir dos dados amostrais,
situa-se na área de rejeição ou na região de aceitação.
7.1.1 NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA
É a probabilidade máxima com a qual se sujeitaria a correr o risco de um erro tipo I.
92
TESTES DE HIPÓTESES
7.1.2 ERRO ESTATÍSTICO
Dois tipos de erros são possíveis:
Erro tipo I – Rejeitar a hipótese nula quando ela for verdadeira, também denominado
erro alfa ( ).
P (rejeitar H0 / H0 verdadeira )
Erro tipo II – Não rejeitar a hipótese nula quando ela for falsa, também denominado erro
beta ( ).
P (aceitar H0 / H0 falsa )
7.2 TESTES ESTATÍSTICOS PARAMÉTRICOS
7.2.1 TESTE PARA A MÉDIA POPULACIONAL
7.2.1.1 QUANDO A VARIÂNCIA POPULACIONAL 2
É
CONHECIDA
Para amostras pequenas ( n 30 ) , a população deve ser normalmente distribuída, e o
desvio padrão populacional deve ser conhecido. Para grandes amostras ( n 30 ) , não existe
a exigência de que a população seja normalmente distribuída (justificada pelo Teorema Central
do Limite).
Para realizar o teste de hipóteses, as etapas apresentadas na seção 7.1 devem ser
seguidas.
As hipóteses estatísticas são:
H0 : 0
0 ( teste unilateral à esquerda )
H1 : 0 ( teste unilateral à direita )
0 ( teste bilateral )
Estabelecido o nível de significância
, o valor de Z crítico para este nível de
significância será obtido em uma tabela da variável normal padronizada e, assim, definida a
região de rejeição de H0 . Obtidos os dados amostrais, a estatística do teste é calculada por:
Z
X 0
n
onde:
X é a média amostral;
0 é o valor a ser testado;
é o desvio padrão populacional;
SACHIKO ARAKI LIRA
93
n é o tamanho da amostra.
Deve-se rejeitar H0 se o valor de Z amostral se situar na região de rejeição ou aceitar
H0 se situar na região de aceitação.
Exemplos de aplicação:
1) Uma peça ao ser fabricada, foi planejada de tal forma que uma de suas dimensões seja igual
a 10 cm. Conhece-se o desvio padrão do processo produtivo, que é igual a 0,8 cm e sabe-se
que a distribuição das dimensões é normal. Uma amostra de 40 peças forneceu uma dimensão
média igual a 10,09 cm. Há interesse em testar se a média populacional é maior que 10 cm, ao
nível de 5% de significância.
Solução:
Dados: 0,8 cm
n 40
X 10,09
As hipóteses estatísticas são: H0 : 10
H 1 : 10
A estatística do teste é calculada por: Z
X 0
n
10,09 10
0,71
0,8
40
Conclusão: O valor de Z calculado é 0,71 e o tabelado Z 0,05 1,64 . Portanto, aceita-se H0 , logo,
a média populacional é igual a 10 cm.
2) Uma população normalmente distribuída tem desvio padrão conhecido, sendo igual a 5 mm.
Uma amostra de 20 elementos, obtida dessa população, tem média igual a 46 mm. Pode-se
afirmar que a média dessa população é superior a 43mm, ao nível de significância de 1%?
Solução:
a) Dados:
5 mm
n 20
X 46
As hipóteses estatísticas são:
H0 : 43
H1 : 43
A estatística do teste é calculada por:
94
TESTES DE HIPÓTESES
Z
X 0
n
Conclusão: O valor de Z calculado é 2,68 e o tabelado Z 0,01 2,33 . Portanto, rejeita-se H0 ,
logo, a média populacional é maior que 43 mm.
7.2.1.2 QUANDO A VARIÂNCIA POPULACIONAL 2
É DESCONHECIDA
Deve-se seguir as etapas já apresentadas anteriormente para fazer o teste.
Para amostras pequenas ( n 30 ) , a população de onde a amostra foi retirada deve ser
normalmente distribuída. Se 2 é desconhecida, a estatística do teste é calculada por:
t
X 0
S
n
sendo a distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade.
onde:
X é a média amostral;
0
é o valor a ser testado;
S é o desvio padrão amostral;
n é o tamanho da amostra.
As áreas de rejeição e aceitação de H0 devem ser definidos de acordo com o valor
crítico de t, que deve ser obtido em uma tabela da distribuição t de Student, para nível de
significância e n-1 graus de liberdade. Deve-se rejeitar H0 se o valor de t amostral situar-se
na região de rejeição ou aceitar H0 se situar-se na região de aceitação.
Exemplos de aplicação:
1) Uma amostra de 20 peças, retirada de uma população normalmente distribuída, apresenta
diâmetro médio igual a 10,80 cm e desvio padrão igual a 0,9 cm. Pode-se afirmar que o
diâmetro médio da população é superior a 10 cm, ao nível de significância de 1%?
Solução:
Dados:
S 0,9 cm
n 20
X 10,8
As hipóteses estatísticas são:
H0 : 10
SACHIKO ARAKI LIRA
95
H1 : 10
A estatística do teste é calculada por:
t
X 0
S
10,8 10
3,98
0,9
20
n
Conclusão: O valor de t calculado é 3,98 e o tabelado t 0,01; 19 2,54 . Portanto, rejeita-se H0 ,
logo, a média populacional é maior do que 10 cm.
2) Um fabricante afirma que a tensão média de ruptura dos cabos produzidos por sua
companhia não é inferior a 500 kgf. Uma amostra de 7 cabos foi ensaiada, obtendo-se os
resultados (em Kgf): X 485,14 e S 7,77 . Sabendo-se que a tensão de ruptura é
normalmente distribuída, testar a hipótese de que a média populacional é menor que 500 kgf,
utilizando o nível de significância de 5%.
Solução:
Cálculo das estatísticas a partir da amostra:
S 7,77 cm
n7
X 485,14
As hipóteses estatísticas são: H0 : 500
H1 : 500
A estatística do teste é calculada por: t
X 0
S
n
t
485,14 500
7,77
-5,06
7
Conclusão: O valor de t calculado é -5,06 e o tabelado
t ; 6
1,943 . Portanto, rejeita-se H0 ,
logo, a média populacional é menor que 500 kgf.
7.2.2 TESTE PARA A PROPORÇÃO POPULACIONAL
Utiliza-se o teste para a proporção populacional (p) quando se deseja testar a hipótese
de que p é supostamente igual a um determinado valor.
As hipóteses estatísticas são:
96
TESTES DE HIPÓTESES
H0 : p p 0
p p 0 ( teste unilateral à esquerda )
H1 : p p 0 ( teste unilateral à direita )
p p 0 ( teste bilateral )
Os critérios a serem obedecidos é que np 5 e n(1 p) 5 , exigindo assim que a amostra seja
grande. Para amostras suficientemente grandes (na prática, n 30 ), a estatística do teste é
dada por:
Z
p̂ p 0
p 0 (1 p 0 )
n
onde:
p̂ é a proporção amostral;
p 0 é o valor a ser testado;
n é o tamanho da amostra.
Estabelecido o nível de significância
, o valor de Z crítico para este nível de
significância será obtido em uma tabela da variável normal padronizada e assim, definida a
região de rejeição de H0 . Deve-se rejeitar H0 se o valor de Z calculado situar-se na região de
rejeição ou aceitar H0 se situar-se na região de aceitação.
Exemplos de aplicação:
1) Um fabricante afirma que no máximo 3% das peças produzidas por sua indústria são
defeituosas. Um comerciante comprou 100 peças e verificou que 8 eram defeituosas. Testar a
hipótese de que a proporção de peças defeituosas é superior a 3%, utilizando nível de
significância de 5%.
Solução:
n 100
p̂
8
0,08
100
5%
As hipóteses estatísticas são:
H0 : p 0,03
H 1 : p 0,03
A estatística do teste é dada por:
Z
p̂ p 0
p 0 (1 p 0 )
n
SACHIKO ARAKI LIRA
97
Z
0,08 0,03
0,03 ( 1 0,03 )
100
2,93
Z 0,05 1,645 (teste unilateral)
Conclusão: O valor de Z calculado é maior que o Z tabelado, portanto, rejeita-se a hipótese H0
de que a proporção de defeituosos é igual a 3%. Logo, a proporção de defeituosos é maior que
3%.
2) Deseja-se determinar se um certo tipo de tratamento para evitar a corrosão é eficiente. O
tratamento é considerado eficiente se mais de 95% dos tubos apresentarem resultado
satisfatório. Em uma amostra de 200 tubos, observou-se que 192 apresentaram resultados
satisfatórios. Qual a conclusão, ao nível de significância de 1%?
Solução:
n 200
p̂
192
0,96
200
1%
As hipóteses estatísticas são:
H0 : p 0,95
H1 : p 0,95
A estatística do teste é dada por:
Z
Z
p̂ p 0
p 0 (1 p 0 )
n
0,968 0,95
0,95 ( 1 0,95 )
200
0,65
Z 0,01 2,33 (teste unilateral)
Conclusão: O valor de Z calculado é menor que Z tabelado, portanto, aceita-se a hipótese H0
de que a proporção de tubos que apresentam resultado satisfatório é igual a 95%.
7.2.3 TESTE PARA A VARIÂNCIA POPULACIONAL
Para aplicar o teste para a variância é necessário que a população de onde foi extraída a
amostra seja normalmente distribuída.
As hipóteses estatísticas são:
98
TESTES DE HIPÓTESES
H0 : 2 02
2 02 ( teste unilateral à esquerda)
H1 : 2 02 ( teste unilateral à direita )
2 02 ( teste bilateral )
A estatística do teste é calculada por:
2
(n 1) S 2
02
As regiões de rejeição e aceitação de H0 serão definidas de acordo com o valor crítico
obtido em uma tabela de distribuição 2 , para nível de significância
e n-1 graus de liberdade.
Deve-se rejeitar H0 se o valor de calculado situar-se na região de rejeição ou aceitar H0 se
2
situar-se na região de aceitação.
Exemplos de aplicação:
1) As chapas de aço, produzidas por uma indústria, têm especificação tal que a variância de
suas espessuras (em mm) não deve ser superior a 0,0009 mm 2. Uma amostra de 30 chapas,
apresentaram espessura média de 3,157 mm e variância igual a 0,00098 mm 2. O que se pode
concluir a cerca da especificação da indústria ao nível de 5% de significância sendo que as
espessuras das chapas têm distribuição normal?
Solução:
n 30
X 3,157
S 2 0,00098
5%
As hipóteses estatísticas são:
H0 : 2 0,0009
H1 : 2 0,0009
A estatística do teste é calculada por:
2
(n 1) S 2
2
(30 1) 0,00098
31,58
0,0009
02
As áreas de rejeição e aceitação de H0 encontram-se no gráfico abaixo:
SACHIKO ARAKI LIRA
99
A.A.
.
A.R.
.
42,56
Conclusão: O valor de 2 tabelado é 42,56, logo aceita-se H0 , portanto, conclui-se que
2
não é superior a 0,0009 mm2.
2) Usuários de uma rede de transmissão de energia elétrica têm reclamado da alta variação na
tensão (desvio padrão de 12 V). A empresa encarregada da transmissão de energia elétrica na
região instalou novos transformadores. Uma amostra de 30 observações forneceu um desvio
padrão de 8V e a distribuição de frequências dos valores da amostra sugere uma distribuição
normal. Há evidência de redução na variação da tensão? Usar 5% . ( 2 =12,89)
7.2.4 TESTE PARA A DIFERENÇA ENTRE DUAS MÉDIAS POPULACIONAIS
7.2.4.1 QUANDO AS VARIÂNCIAS POPULACIONAIS 12
E
22
SÃO
CONHECIDAS
A aplicação do teste requer as seguintes suposições:
1. As duas populações X1 e X 2 devem ser independentes;
2. Ambas as populações devem ser normais.
As hipóteses estatísticas são:
H0 : 1 2 d0
1 2 d0 ( teste unilateral à esquerda )
H1 : 1 2 d0 ( teste unilateral à direita )
1 2 d0 ( teste bilateral )
A estatística do teste é dada por:
Z
( X1 X 2 ) d 0
12
n1
100
22
n2
TESTES DE HIPÓTESES
onde:
X1 é a média da amostra 1;
X 2 é a média da amostra 2;
12 é a variância da população 1;
22 é a variância da população 2;
n1 é o tamanho da amostra 1;
n 2 é o tamanho da amostra 2.
Estabelecido o nível de significância
,
o valor de z crítico para este nível de
significância será obtido em uma tabela da variável normal padronizada e assim, definida a
região de rejeição de H0 . Deve-se rejeitar H0 se o valor de z calculado situar-se na região de
rejeição ou aceitar H0 se situar-se na região de aceitação.
Exemplos de aplicação:
1) Duas amostras de tubos de aço das marcas A e B foram analisadas e obtidas as resistências
médias, respectivamente de 40 kgf/mm2 e 35 kgf/ mm2. Conhecendo-se os desvios padrão
populacionais das resistências, de 4 kgf/ mm2 e 6 kgf/ mm2 , respectivamente, e tamanhos de
amostras iguais a 30, qual a conclusão a respeito das diferenças entre as médias, ao nível de
significância de 5%?
Solução:
1) Dados:
X 1 40 ;
1 4 ; n1 30
X 2 35 ;
2 5 ; n 2 30
0,05
As hipóteses estatísticas são:
H0 : 1 2 0
H1 : 1 2 0
A estatística do teste é dada por:
Z
( X1 X 2 )
12
n1
22
n2
40 35
42 62
30 30
3,80
Z / 20,025 1,96 (teste bilateral)
Conclusão: O valor de Z calculado é igual a 3,80 e valor tabelado é 1,96, portanto, rejeita-se
H0 . Logo, as resistências médias das marcas A e B são diferentes.
SACHIKO ARAKI LIRA
101
2) Uma amostra de 100 válvulas da Indústria A tem vida média X A 1530 h , sendo A 100 h .
Uma outra amostra de 70 válvulas da Indústria B, tem vida média XB 1450 h , sendo B 90 h .
Testar a hipótese de que as válvulas da indústria A em relação a B tem duração média superior
a 100 h. Utilizar 0,01.
Solução:
Dados:
X A 1.530 ;
A 100 ; n A 100
X B 1.450 ;
2 90 ; n 2 70
0,01
As hipóteses estatísticas são:
H0 : A B 100
H1 : A B
100
A estatística do teste é dada por:
Z
( X A XB ) d0
2
A
nA
2
B
nB
(1.530 1.450 ) 100
1,36
100 2 90 2
100
70
Z 0,01 2,33
Conclusão: Como o valor de Z calculado é igual a -1,36 e o valor tabelado é 2,33, aceita-se H0 .
Logo, a diferença entre as durações médias das válvulas da indústria A e B é igual a 100 h.
7.2.4.2 QUANDO AS VARIÂNCIAS POPULACIONAIS 12
E
22
SÃO
DESCONHECIDAS
A aplicação do teste requer as seguintes suposições quando
12 e 22 são
Desconhecidas:
1. As populações X1 e X 2 devem ser normalmente distribuídas;
2. Os tamanhos de amostras ( n 1 e n 2 ) devem ser pequenos (não exceder 40).
a) Quando as Variâncias Populacionais 12 e 22 são Desconhecidas e Supostamente
Iguais
As hipóteses estatísticas são:
H0 : 1 2 d0
1 2 d0 ( teste unilateral à esquerda )
H1 : 1 2 d0 ( teste unilateral à direita )
1 2 d0 ( teste bilateral )
102
TESTES DE HIPÓTESES
A estatística do teste é dada por:
t
( X1 X 2 ) d 0
S p2 (
1
1
)
n1 n 2
, onde S p2
(n1 1) S12 (n 2 1) S 22
n1 n 2 2
onde:
X1 é a média da amostra 1;
X 2 é a média da amostra 2;
S 21 é a variância da amostra 1;
S 22 é a variância da amostra 2;
n1 é o tamanho da amostra 1;
n 2 é o tamanho da amostra 2.
A determinação da região crítica será com base no valor de t tabelado com
n1 n 2 2 graus de liberdade e nível de significância . Deve-se rejeitar H0 se o valor de t
calculado situar-se na região de rejeição ou aceitar H0 se situar-se na região de aceitação.
Exemplo de aplicação:
Dois tipos de soluções químicas foram ensaiados para se determinar os pH. Os resultados
obtidos foram:
X1 7,516 ; S 12 0,033 ; n1 5
X 2 7,505 ; S 22 0,011 ; n 2 6
Testar a hipótese de que não existe diferença entre os pH médios das duas populações,
supondo que os desvios padrões populacionais são iguais. Usar 0,05 .
Solução:
X1 7,516 ; S12 0,033 ; n1 5
X 2 7,505 ; S 22 0,011 ; n 2 6
0,05
As hipóteses estatísticas são:
H0 : 1 2 0
H1 : 1 2 0
A estatística do teste é dada por:
t
( X1 X 2 ) d0
S p2 (
SACHIKO ARAKI LIRA
1
1
)
n1 n 2
, onde S p2
(n1 1) S12 (n 2 1) S 22
n1 n 2 2
103
S p2
t
(5 1) 0,033 (6 1) 0,011
0,021
562
( 7,516 7,505) 0
1 1
0,021
5 6
0,13
O número de graus de liberdade é dado por: n1 n2 2 5 6 2 9 . Portanto, o
valor de t 2 com 9 graus de liberdade é 2,26.
Conclusão: O valor de t calculado é igual 0,13, menor que o valor tabelado, logo, aceita-se H0 .
Conclui-se, portanto, que os pH médios das duas populações são iguais.
b) Quando as Variâncias Populacionais 12 e 22 são Desconhecidas e Supostamente
Diferentes
Quando as variâncias das amostras não forem homogêneas, uma modificação do teste t,
denominada correção de Aspin-Welch deve ser aplicada.
As hipóteses a serem testadas são:
H0 : 1 2 d0
1 2 d0 ( teste unilateral à esquerda )
H1 : 1 2 d0 ( teste unilateral à direita )
1 2 d0 ( teste bilateral )
A estatística do teste é dada por:
t
( X1 X 2 ) d 0
S12 S 22
n1 n 2
A determinação da região crítica será com base no valor de t tabelado com
w 1 w 2 2 , onde w S12 e w S 22 , graus de liberdade e nível de significância .
1
2
n1
n2
w 12
w 22
n1 1 n 2 1
Tem-se que:
X1 é a média da amostra 1;
X 2 é a média da amostra 2;
S 21 é a variância da amostra 1;
S 22 é a variância da amostra 2;
n1 é o tamanho da amostra 1;
104
TESTES DE HIPÓTESES
n 2 é o tamanho da amostra 2.
Deve-se rejeitar H0 se o valor de t calculado situar-se na região de rejeição ou aceitar
H0 se situar-se na região de aceitação.
Exemplo de aplicação:.
Uma mesma distância foi medida 5 vezes por dois instrumentos (em metros):
Instrumento 1:
X1 100,46 ; S12 0,473 ; n1 5
Instrumento 2:
X 2 100,40 ; S 22 0,01; n 2 5
Testar a hipótese de que não existe diferença entre os resultados obtidos pelos dois
instrumentos. Utilizar o nível de significância de 5%.
Solução:
X1 100,46 ; S12 0,473 ; n1 5
X 2 100,40 ; S 22 0,01; n 2 5
0,05
As hipóteses estatísticas são:
H0 : 1 2 0
H1 : 1 2 0
A estatística do teste é dada por:
t
( X1 X 2 ) d 0
S12 S 22
n1 n 2
A determinação da região crítica será com base no valor de t tabelado com
w 1 w 2 2 , onde w S12 e w S 22 , graus de liberdade e nível de significância .
1
2
n1
n2
w 12
w 22
n1 1 n 2 1
t
(100,46 100,40) 0
0,19
0,473 0,01
5
5
Cálculo de
w1
(graus de liberdade):
S 12
0,473
0,0946
n1
5
SACHIKO ARAKI LIRA
105
w2
S 22 0,01
0,002
n2
5
w 1 w 2 2
w 12
w 22
n1 1 n 2 1
( 0,0946 0,002) 2
4,16 4
0,09462 0,0022
4
4
Conclusão: O valor de t 2 com 4 graus de liberdade é 2,78, logo, aceita-se
H0 : 1 2 0 . Conclui-se que as médias são iguais.
7.2.5 DUAS AMOSTRAS EMPARELHADAS
Este teste deve ser utilizado quando os dados estão relacionados dois a dois de acordo
com algum critério.
O teste t de Student para grupos dependentes é aplicado para comparação das médias
de dois grupos emparelhados, que utiliza para o seu cálculo, a média das diferenças ( d ) entre
cada um dos pares formados pelas duas amostras.
Se n 30 (pares), a suposição explícita de normalidade da população é desnecessária
(Teorema Central do Limite).
As hipóteses a serem testadas:
H0 :
d d0
d d 0 ( teste unilateral à esquerda)
H1 : d d 0 ( teste unilateral à direita )
d d 0 ( teste bilateral )
A estatística do teste é dada por:
t
d d0
Sd
,
n
n
em que: d
di
i1
n
e S 2d
2
1 n 2
di nd
n 1 i1
d é a média das diferenças;
d0 é o valor que ser quer testar;
n é o tamanho da amostra.
Se o valor de t calculado situar-se na região de rejeição, rejeita-se H0 e se situar na
região de aceitação, aceita-se H0 .
Exemplo de aplicação: Uma amostra de 7 cabos de aço foi analisada antes e depois de sofrer
um tratamento para aumentar sua resistência (em kgf/mm2). Os resultados obtidos foram:
Antes:
Depois:
106
50
60
54
61
51
57
50
54
55
59
53
58
52
60
TESTES DE HIPÓTESES
Testar a hipótese de que o tratamento é eficiente, no nível de significância de 5%. Tratar
os dados como emparelhados.
Solução:
As hipóteses a serem testadas:
d 0 ( o tratamento não é eficiente)
H1 : d 0 ( o tratamento é eficiente)
H0 :
A estatística do teste é dada por:
n
t
d d0
Sd
, em que: d
n
di
i 1
n
e S 2d
2
1 n 2
di nd
n 1 i1
7
Tem-se que di 44 , logo d 6,29 , S 2d 4,84 e S d 2,20 .
i 1
Assim, a estatística ‘t” será :
t
d d0
Sd
n
6,29 0
2,20
7
7,56
Conclusão: O valor de t com 7 1 6 graus de liberdade é 1,943, logo, rejeita-se
H0 : d 0 . Conclui-se que o tratamento é eficiente.
7.2.6 TESTE PARA IGUALDADE DE DUAS VARIÂNCIAS
Para aplicar o teste para a variância é necessário que a população de onde foi extraída a
amostra seja normalmente distribuída.
As hipóteses estatísticas são:
H0 : 12 22
12 22 ( teste unilateral à esquerda)
H1 : 12 22 ( teste unilateral à direita )
12 22 ( teste bilateral )
A estatística do teste é calculada por:
F
S12
S 22
onde:
S12 é a variância da amostra 1;
S22 é a variância da amostra 2;
n1 é o tamanho da amostra 1;
n 2 é o tamanho da amostra 2.
O valor crítico de F é obtido a partir da tabela da distribuição F, para o nível de
significância e 1 n1 1 graus de liberdade no numerador e 2 n 2 1 graus de liberdade
no denominador.
SACHIKO ARAKI LIRA
107
Rejeita-se H0 se o valor de F calculado situar-se na região de rejeição ou aceitar H0 se
situar-se na região de aceitação.
Exemplo de aplicação:
1) Foram testadas as durabilidades (em km) dos pneus das marcas A e B, obtendo-se para 5
pneus de cada marca os seguintes resultados:
Marca A:
30.000 32.000 28.000 26.000 31.000
Marca B:
25.000 30.000 20.000 21.000 23.000
Existe diferença significativa entre as variâncias das durabilidades dos dois pneus, ao
nível de 10% de significância?
Solução:
As hipóteses estatísticas são:
H0 : 12 22
H1 : 12 22
A estatística do teste é calculada por:
F
S12
S 22
Deve-se, portanto, calcular inicialmente os desvios padrão amostrais:
S12 5.800 .000
n1 5
1 n1 1 4
S 22 15.700 .000
n2 5
2 n2 1 4
F
S12
S 22
5.800 .000
0,37
15 .700 .000
A região de rejeição está representada no gráfico:
A.A.
.
A.R.
A.R.
0,16
6,39
F 2 F( 2 ; 1; 2 F( 0,05 ; 4; 4 ) 6,39
108
TESTES DE HIPÓTESES
F1 2 F(1 2 ; 1; 2 )
1
1
0,16
F( 2 2 ;1 ) 6,39
Conclusão: O valor de F calculado está na área de aceitação de H0 , portanto, variâncias das
durabilidades dos dois pneus são iguais.
2) Foram ensaiadas válvulas das marcas A e B, e verificou-se que os tempos de vida (em horas)
foram:
Marca A:
Marca B:
1.500
1.000
1.450
1.300
1.480
1.180
1.520
1.250
1.510
Testar a hipótese de igualdade para as variâncias do tempo de vida das válvulas de marcas A e
B, ao nível de significância de 10%.
Solução:
As hipóteses estatísticas são:
H0 : 2A B2
H1 : 2A B2
A estatística do teste é calculada por:
F
S 2A
S B2
Deve-se, portanto, calcular inicialmente os desvios padrão amostrais:
S2A 770
2
SB
17.225
F
S 2A
S
2
B
A nA 1 4
nA 5
B nB 1 3
nB 4
770
0,04
17 .225
A região de rejeição está representada no gráfico:
F 2 F( 2 ; 1; 2 ) F( 0,05 ; 4; 3 ) 9,12
F1 2 F(1 2 ; 1; 2 )
1
1
0,15
F( 2 ; 2; 1 )
6,59
A.A.
.
A.R.
A.R.
0,16
0,11
0,15
SACHIKO ARAKI LIRA
6,39
6,59
9,12
109
Conclusão: O valor de F calculado é igual a 0,04 situando-se, portanto, na área de rejeição de
H0 . Logo, as variâncias do tempo de vida das válvulas de marcas A e B são diferentes.
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 6 – TESTES DE HIPÓTESES
1. Sabe-se que os diâmetros internos de rolamentos usados no trem de pouso de aviões têm
desvio padrão 0,009 cm e normalmente distribuídos. Uma amostra aleatória de 15 rolamentos
acusa um diâmetro interno médio de 8,2535 cm. Testar a hipótese de que o diâmetro interno
médio do rolamento é maior que 8,25 cm. Usar 0,05 .
2. Deseja-se testar a hipótese de que o diâmetro médio da haste de liga de alumínio, produzidas
em uma máquina de calibragem, é diferente de 0,5025 in. Uma amostra de 25 hastes
apresentou um diâmetro médio de 0,5046 in e desvio padrão de 0,01 in. Utilizar 0,05 e supor
distribuição normal.
3. A força média de resistência de uma fibra sintética é uma característica de qualidade de
interesse do fabricante, que deseja testar a hipótese de que a força média é maior que 50 psi,
usando 0,05 . O desvio padrão populacional da força de resistência é desconhecido. Uma
amostra de 16 exemplares de fibra é selecionada e são obtidos os seguintes resultados:
X 50,86 ; S 1,66 . Sabe-se que a distribuição da força de resistência é normal.
4. Uma fundição produz cabos de aço usados na indústria automotiva. Deseja-se testar a
hipótese de que a fração de itens não-conformes é menor que 10%. Em uma amostra aleatória
de 250 cabos, detectou-se que 24 estavam fora das especificações. Usar 0,05 .
5. Em uma amostra aleatória de 80 mancais para virabrequins de automóveis, 15 apresentam o
acabamento de superfície mais áspero do que as especificações permitem. Testar a hipótese de
que a fração de não-conformes é diferente de 0,19, utilizando nível de significância de 2%.
6. Uma amostra aleatória de 500 pinos de hastes de conexão contém 65 unidades nãoconformes. Testar a hipótese de que a verdadeira fração de defeituosos nesse processo é maior
que 0,08. Usar 0,01.
7. Dois catalisadores estão sendo testados para determinar como afetam o rendimento médio de
um processo químico. Especificamente, o catalisador 1 está sendo usado atualmente, mas o
catalisador 2 é aceitável. Como o catalisador 2 é mais barato, ele poderia ser adotado, desde
que não alterasse o rendimento do processo. Um teste é realizado em uma fábrica piloto e os
resultados são apresentados abaixo. Existe alguma diferença entre os rendimentos médios?
Usar 0,05 e supor que as populações são normais e as variâncias iguais.
Dados: X1 92,26 ; S1 1,39 ; n1 8 ; X 2 92,68 ; S 2 1,28 ; n 2 8
8. Considerar o exercício anterior supondo que as variâncias populacionais não são iguais.
9. Uma pesquisa apresenta os resultados de uma análise do peso do cálcio no cimento padrão e
no cimento misturado com chumbo. Níveis reduzidos de cálcio são uma indicação de que o
mecanismo de hidratação no cimento está bloqueado, o que permitirá a água atacar vários
locais da estrutura de cimento. Dez amostras do cimento padrão acusaram um peso percentual
médio de cálcio de X1 90,0 , com desvio padrão S1 5,0 e 15 amostras do cimento misturado
110
TESTES DE HIPÓTESES
com chumbo apresentaram um peso médio de cálcio de X 2 87,0 , com desvio padrão de
S 2 4,0 . Testar a hipótese de que 1 2 é maior zero, utilizando 0,01 e supondo que
ambas as populações são normalmente distribuídos e têm o mesmo desvio padrão.
10. Dois técnicos de controle de qualidade mediram o acabamento da superfície de uma parte de
metal, cujos dados estão apresentados abaixo. Suponha que as medidas sejam normalmente
distribuídas. Testar a hipótese de que as medidas médias do acabamento da superfície obtidas
pelos dois técnicos são iguais. Usar 0,01 e supor variâncias iguais.
Dados: X1 1,39 ; S 1 0,11 ; n1 7 ; X 2 1,18 ; S 2 0,12 ; n 2 8
11. Uma nova unidade de purificação é instalada em um processo químico. Antes de sua instalação,
uma amostra aleatória forneceu os seguintes dados sobre a porcentagem de impureza:
X1 9,85
S12 81,73
n1 10
Após a instalação, uma amostra aleatória resultou em:
X 2 8,08
S 22 78,46
n2 8
É possível concluir que o novo aparelho de purificação reduziu a porcentagem média de
impureza? Usar 0,05 e supor que as populações são normais e variâncias populacionais
diferentes.
12. Dois tipos diferentes de máquina são usados para medir a força de resistência de uma fibra
sintética. Deseja-se saber se as duas máquinas fornecem os mesmos valores médios da
força de resistência. Oito espécimes de fibra são aleatoriamente selecionados e uma
medida da força é feita sobre cada espécime usando cada uma das máquinas.
Testar a hipótese de que não há diferença entre as duas máquinas quanto à força média de
resistência, 0,05 .
Observação: Os dados nesse experimento foram emparelhados para evitar que diferenças entre
os espécimes de fibra (que podem ser substanciais) afetem o teste sobre a diferença das
máquinas.
ESPÉCIMES
1
MÁQUINA 1
MÁQUINA 2
74
78
2
76
79
3
74
75
4
69
66
5
58
63
6
71
70
7
66
66
8
65
67
13. Um operário realizou uma mesma operação com dois equipamentos diferentes, e os tempos
gastos (em segundos foram):
SACHIKO ARAKI LIRA
111
Equipamento A: 10 11 10 12 15
Equipamento B: 8 10 15 12
Existe diferença significativa entre as variâncias para os tempos gastos pelos dois
equipamentos, ao nível de 10%? Supor as populações normalmente distribuídas.
14. Foram testadas válvulas de marca A e verificou-se que os tempos de vida (em horas) foram:
1500 1450 1480 1520 1510. Sabendo-se que os tempos de vida das válvulas são
normalmente distribuídos, testar a hipótese de que a variância do tempo de vida é menor do que
700, ao nível de 5% de significância.
112
TESTES DE HIPÓTESES
TESTES DE ADERÊNCIA
INTRODUÇÃO
O objetivo do teste de aderência é verificar se os dados de uma amostra comportam-se
de acordo com uma distribuição teórica, tais como normal, binomial, Poisson, etc.
8.1 TESTE QUI-QUADRADO DE ADERÊNCIA
Os testes de aderência servem para testar hipóteses mais gerais sobre a distribuição dos
dados. A idéia básica é que, dada uma amostra aleatória de tamanho n, observada de uma
variável aleatória X , deseja-se testar:
H0 : X tem distibuiçã o f 0
H1 : X não tem distibuiçã o f 0
A estatística de teste, chamada de 2 (qui-quadrado), é uma medida de distância entre
as frequências observadas e as frequências esperadas de cada categoria, e é dada pela
expressão:
k
(O i E i ) 2
i1
Ei
2
, sendo E i obtida através de:
Ei n pi
onde:
O i é o número de observações ou freqüência absoluta observada da classe A i ;
n é o número total de observações;
p i é a probabilidade de obter uma observação na classe A i ;
Sendo verdadeira a hipótese nula, a estatística acima tem distribuição assintótica de Quiquadrado com k p 1 graus de liberdade ( 2; k p1 ), onde k representa o número de classes e
p o número de parâmetros da distribuição da população, estimados a partir da amostra.
Para utilizar este teste tem-se as seguintes regras:
A dimensão da amostra deve ser não-inferior a 30 ( n 30 );
A frequência esperada em cada classe deve ser n 5 .
Se esta última condição não prevalecer, o teste pode ainda ser utilizado, embora com
moderada confiança, se não mais de 20% dos valores de Ei forem inferiores a 5 e nenhum for
inferior a 1. Quando tal não se verificar, procuram-se agregar classes adjacentes, de forma a
obter novas classes que satisfaçam esta condição.
SACHIKO ARAKI LIRA
113
2
Se calc
c2 , aceita-se H0 (Há aderência à distribuição especificada)
2
Se calc
c2 , rejeita-se H0 (Não há aderência à distribuição especificada).
Gráficamente:
A.A
A.R
c2
Exemplos de aplicação:
1) Supõe-se que o número de defeitos nas placas de circuito impresso segue a distribuição de
Poisson. Uma amostra de 60 placas impressas foi coletada e observou-se o número de defeitos,
apresentados a seguir.
NÚMERO DE
DEFEITOS
0
FREQUÊNCIA
OBSERVADA
32
1
15
2
9
3
4
A forma da distribuição de defeitos é Poisson? Usar 0,05 .
Solução:
As hipóteses a serem testadas:
Ho : a forma da distribuição de defeitos é Poisson
H1 : a forma da distribuição de defeitos não é Poisson
É possível obter as probabilidades para cada valor de X.
No. DE
DEFEITOS ( x i )
NO. DE
MÁQUINAS
0
32
0,53
1
15
0,25
2
9
0,15
3
4
0,07
TOTAL
60
1,00
p (X xi )
Tem-se que o número médio de defeitos é dado por:
n
E( X) x i p( x i )
i1
114
TESTES DE ADERÊNCIA
E( X) 0 0,53 1 0,25 2 0,15 3 0,07 0,75
A função de probabilidade da distribuição de Poisson é dada por:
P ( X x)
e x
x!
, onde é a média.
Tem-se então que:
P ( X 0)
P ( X 1)
P ( X 2)
e 0,75 (0,75 ) 0
0,472
0!
e 0,75 (0,75 )1
0,354
1!
e 0,75 (0,75 ) 2
2!
0,133
P ( X 3) 1 P( X 2) 1 (0,472 0,354 0,133 ) 0,041
As frequências esperadas são obtidas pela multiplicação do tamanho da amostra n 60
pelas probabilidades pi P ( X x i ) , ou seja, Ei n p i . As frequências observadas e as
esperadas estão apresentadas na tabela abaixo.
FREQUÊNCIA
OBSERVADA
FREQUÊNCIA
ESPERADA
32
60 0,472 28
1
15
60 0,354 21
2
9
60 0,133 8
3
4
60 0,041 3
NÚMERO DE
DEFEITOS
0
A estatística do teste é:
n
2
O
i 1
i
Ei
Ei
2
(32 28 ) 2 (15 21) 2 (9 8) 2 ( 4 3) 2
2,74
28
21
8
3
O número de graus de liberdade é k-p-1, onde k representa o número de classes e p o
número de parâmetros da distribuição da população estimados a partir da amostra. Assim temse: g.l. 4 1 1 2
O valor de 2 tabelado com 2 graus de liberdade e 5% de significância é 5,99.
Conclusão:
2
Como calc
2,74 é menor que 02,05; 2 g.l. 5,99 , aceita-se a hipótese de que a forma da
distribuição de defeitos é Poisson.
2) Foram inspecionados 100 lotes de 3 peças cada um, sendo que o número X de peças
defeituosas por lote segue distribuição abaixo. Testar a hipótese de que a distribuição é
binomial, utilizando 0,01 .
No. de defeituosos
No. de lotes
SACHIKO ARAKI LIRA
0
65
1
30
2
4
3
1
Total
100
115
Solução:
O número médio (média ou valor esperado) de válvulas defeituosas observadas é
calculada por:
4
E( X)
x ip i , logo
i1
E( X) 0
65
30
4
1
1
2
3
0,41
100
100
100
100
A distribuição binomial é dada por:
P( X x ) Cnx p x qn x , onde p é a probabilidade de uma válvula ser defeituosa.
Tem-se que a média da distribuição binomial é E( X) np (parâmetro da distribuição
binomial), assim, E( X) 3p .
Igualando as duas médias, E( X) , tem-se: 3p 0,41 , portanto, p 0,14 e
consequentemente, q 0,86 . Então, a distribuição binomial ajustada é:
P( X x ) C 3x (0,14) x (0,86) 3 x
As probabilidades são calculadas através de:
P( X 0) C 03 (0,14) 0 (0,86) 30 0,6361
P( X 1) C13 (0,14)1(0,86) 31 0,3106
P( X 2) C 32 (0,14) 2 (0,86) 32 0,0506
P( X 3) 1 P( X 2) 0,0027
Foram agrupadas as duas últimas classes, pois a frequência esperada da última classe é
menor do que 1.
As probabilidades, as frequências teóricas e observadas são:
No. DE
DEFEITUOSAS
(x)
P( X x )
FREQ. TEÓRICA
( Ei )
FREQ. OBS. ( O I )
0
0,6361
100x0,6361=64
65
1
0,3106
100x0,3106=31
30
2
0,0533
100x0,0533=5
5
(O i E i ) 2 (65 64 ) 2 (30 31) 2 (5 5) 2
0,05
Ei
64
31
5
i1
3
2
O número de graus de liberdade é k-p-1, onde k representa o número de classes e p o
número de parâmetros da distribuição da população estimados a partir da amostra. Assim temse: g.l. 3 1 1 1
O valor de 2 tabelado com 1 grau de liberdade e 1% de significância é 6,64.
Conclusão:
2
Como calc
0,05 é menor que 02,01;1g.l. 6,64 , aceita-se a hipótese de que a forma da
distribuição de válvulas defeituosas é Binomial.
116
TESTES DE ADERÊNCIA
8.2 TESTE DE LILLIEFORS
O teste de Lilliefors é utilizado para verificar a aderência dos dados a uma distribuição
normal, sem a especificação de seus parâmetros, ou seja, a média e o desvio padrão são
calculados a partir da amostra.
As hipóteses são:
H0 : a amostra provém de uma população que segue uma distribuição normal
H1 : a amostra não provém de uma população que segue uma distribuição normal
Calcula-se a estatística de teste, D, em termos da amostra em análise:
d max F( x i ) S( x i ) , F( x i ) S( x i1 )
i
Exemplos:
1) Um fabricante de autopeças está para fechar um grande contrato com a montadora. O pontochave é a garantia da qualidade de seus produtos, especialmente do diâmetro (em mm) dos
eixos produzidos, que ele supõe seguir uma distribuição normal. Para realizar o teste, a
montadora selecionou uma amostra aleatória de 15 eixos, para testar as especificações a 5% de
significância. As valores são apresentados a seguir.
93,45
94,46
94,93
96,17
96,74
97,07
97,68
99,10
99,30
100,73
103,29
103,60
103,83
105,20
97,93
Solução:
H0 : a amostra provém de uma população que segue uma distribuição normal
H1 : a amostra não provém de uma população que segue uma distribuição normal
1. Construção da distribuição acumulada da amostra, S( x) :
1
FREQ.
RELATIVA
93,45
0,0667
2
94,46
0,0667
0,133
3
94,93
0,0667
0,200
4
96,17
0,0667
0,267
5
96,74
0,0667
0,333
6
97,07
0,0667
0,400
7
97,68
0,0667
0,467
8
97,93
0,0667
0,533
9
99,10
0,0667
0,600
10
99,30
0,0667
0,667
11
100,73
0,0667
0,733
12
103,29
0,0667
0,800
13
103,60
0,0667
0,867
14
103,83
0,0667
0,933
15
105,20
0,0667
1,000
Média
98,90
Desvio Padrão
3,70
xi
OBS.
SACHIKO ARAKI LIRA
S (xi )
0,067
117
2. Construção da função de distribuição acumulada F( x ) , para cada valor de x i . Cada valor de
diâmetro x i pode ser transformado em escore padronizado Z i . Por exemplo:
x 1 93,45
Z1
93,45 98,90
-1,47
3,70
A probabilidade acumulada até cada escore Z é obtida da tabela de áreas sob a curva
normal. Para Z 1 , tem-se:
F( X) P( X Z1 ) 0,0708
3. Cálculo das diferenças absolutas entre as distribuições acumuladas esperadas e observadas,
F( x i ) S( x i ) e F( x i ) S( x i1 )
OBS.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
xi
93,45
94,46
94,93
96,17
96,74
97,07
97,68
97,93
99,10
99,30
100,73
103,29
103,60
103,83
105,20
.
FREQ.
RELATIVA
0,0667
0,0667
0,0667
0,0667
0,0667
0,0667
0,0667
0,0667
0,0667
0,0667
0,0667
0,0667
0,0667
0,0667
0,0667
S (xi )
0,067
0,133
0,200
0,267
0,333
0,400
0,467
0,533
0,600
0,667
0,733
0,800
0,867
0,933
1,000
Zi
-1,47
-1,20
-1,07
-0,74
-0,58
-0,49
-0,33
-0,26
0,05
0,11
0,49
1,19
1,27
1,33
1,70
F( x i )
F( x i ) S( x i1 )
0
0,071
0,115
0,142
0,231
0,280
0,311
0,371
0,397
0,522
0,543
0,690
0,882
0,898
0,909
0,956
F( x i ) S( x i )
0,071
0,049
0,009
0,031
0,013
0,023
0,029
0,070
0,012
0,057
0,023
0,004
0,018
0,058
0,036
0,053
0,089
0,096
0,137
0,078
0,124
0,044
0,082
0,031
0,025
0,044
0,149
0,098
0,042
0,022
4. A maior diferença absoluta é igual a 0,149, logo, d 0,149 .
5. A distância máxima admissível para n 15 e 5% é dc 0,220 . Como d dc , aceita-se
H0 , logo, amostra provém de uma população que segue uma distribuição normal.
2) No controle estatístico de processos, uma suposição fundamental para a utilização de
gráficos de controle de média de Shewhart é de que a distribuição das médias possa ser
considerada normal. Um engenheiro quer saber se é possível aplicar gráficos de controle de
médias a um processo produtivo. Para tanto, que avaliar a aderência das médias de 25
amostras à distribuição normal. Os valores são:
0,19
0,57
0,66
1,41
0,28
0,05
0,63
0,75
0,85
0,99
1,68
3,01
0,31
5,48
0,66
0,76
5,94
0,85
0,03
9,49
2,18
1,23
4,89
0,71
3,52
Com base nos dados apresentados, e utilizando nível de significância de 1%, é possível
usar gráfico de controle de média de Shewhart para monitorar o processo?
118
TESTES DE ADERÊNCIA
Solução:
H0 : a amostra provém de uma população que segue uma distribuição normal
H1 : a amostra não provém de uma população que segue uma distribuição normal
xi
OBS.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
média
DP
0,03
0,05
0,19
0,28
0,31
0,57
0,63
0,66
0,66
0,71
0,75
0,76
0,85
0,85
0,99
1,23
1,41
1,68
2,18
3,01
3,52
4,89
5,48
5,94
9,49
FREQ.
RELATIVA
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
S (xi )
0,040
0,080
0,120
0,160
0,200
0,240
0,280
0,320
0,360
0,400
0,440
0,480
0,520
0,560
0,600
0,640
0,680
0,720
0,760
0,800
0,840
0,880
0,920
0,960
1,000
Zi
-0,80
-0,79
-0,73
-0,69
-0,68
-0,56
-0,54
-0,53
-0,53
-0,50
-0,49
-0,48
-0,44
-0,44
-0,38
-0,28
-0,20
-0,09
0,13
0,49
0,71
1,30
1,55
1,75
3,28
F( x i )
0,212
0,214
0,232
0,244
0,248
0,285
0,294
0,299
0,299
0,306
0,312
0,314
0,328
0,328
0,350
0,389
0,419
0,465
0,551
0,686
0,760
0,903
0,940
0,960
0,999
F( x i ) S( x i1 )
0,212
0,174
0,152
0,124
0,088
0,085
0,054
0,019
0,021
0,054
0,088
0,126
0,152
0,192
0,210
0,211
0,221
0,215
0,169
0,074
0,040
0,063
0,060
0,040
0,039
F( x i ) S( x i )
0,172
0,134
0,112
0,084
0,048
0,045
0,014
0,021
0,061
0,094
0,128
0,166
0,192
0,232
0,250
0,251
0,261
0,255
0,209
0,114
0,080
0,023
0,020
0,000
0,001
1,88
2,32
A distância máxima admissível para n 25 e 5% é dc 0,173 . Como d dc ,
rejeita-se H0 , logo, amostra não provém de uma população que segue uma distribuição normal.
Assim, não é possível utilizar o gráfico de controle de média.
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 7 – TESTES DE ADERÊNCIA
1. As taxas de octanagem de combustível para motor, de várias misturas de gasolina foram
obtidas. A média e o desvio padrão amostral são 90,59 e 3,18, respectivamente. A distribuição
de freqüências encontra-se a seguir:
SACHIKO ARAKI LIRA
119
TAXAS DE
OCTANAGEM
83,5 |--- 85,9
85,9 |--- 88,4
88,4 |--- 90,9
90,9 |--- 93,4
93,4 |--- 95,9
95,9 |--- 98,4
98,4 |--- 100,9
TOTAL
fi
3
9
21
15
5
1
2
56
Verificar se amostra da taxa de octanagem provém de uma distribuição normal, utilizando
0,05 .
2. O tempo necessário para se realizar certa operação industrial foi cronometrado (em
segundos), sendo feita 50 determinações. A média e o desvio padrão amostral são 46,32 e
7,44. A distribuição de frequências encontra-se a seguir:
TEMPO
(segundos)
32 |--- 36
36 |--- 40
40 |--- 44
44 |--- 48
48 |--- 52
52 |--- 56
56 |--- 60
TOTAL
fi
5
7
5
14
8
3
8
50
Verificar se a amostra do tempo necessário para realizar a operação provém de uma distribuição
normal, utilizando 0,01.
120
TESTES DE ADERÊNCIA
ANÁLISE DA VARIÂNCIA
INTRODUÇÃO
O objetivo da análise da variância, conhecida como ANOVA, é comparar k médias
populacionais, sendo k 2 , com base nas amostras provenientes de k populações distintas.
Enquanto no teste para igualdade de duas médias se utiliza as estatísticas Z ou t, conforme os
desvios padrões populacionais sejam conhecidos ou não, na análise da variância, a estatística
utilizada é a estatística F.
A análise da variância é um teste para igualdade de médias que utiliza variâncias para a
tomada de decisões.
9.1 FUNDAMENTOS DA ANOVA
Supondo que se deseja testar a hipótese de igualdade de k ( k 2 ) médias
populacionais, isto é:
H0 : 1 2 ... k ,
contra a hipótese alternativa de que, pelo menos uma dessas médias seja diferente das demais,
ou seja:
H1 : pelo menos uma média i .
Na aplicação deste método, supõe-se que as populações são normalmente distribuídas e as
variâncias populacionais iguais (homocedasticidade), ou seja:
12 22 ... k2 2
Sejam as k amostras extraídas das populações, cujas médias serão testadas. A partir
dessas amostras, é possível estimar a variância 2 de três maneiras, conforme apresentados a
seguir.
POPULAÇÃO 1
1
SACHIKO ARAKI LIRA
2
POPULAÇÃO 2
POPULAÇÃO k
2
2
AMOSTRA 1
AMOSTRA 2
n1
n2
K
2
AMOSTRA k
nk
121
1) Variância Total ( S 2t )
Consiste em estimar a variância 2 considerando todas as k amostras reunidas em uma
única amostra, o que é possível em função da suposição de que as variâncias populacionais são
todas iguais a 2 .
Essa variância é estimada através de:
k n
( x i j X )2
j1 i1
S 2t
N1
Onde:
n é o tamanho de cada amostra;
k é o número de amostras;
x i j é o i-ésimo elemento da j-ésima amostra;
N k n é o número de elementos em todas as amostras;
k n
xi j
X
j1 i1
é a média do conjunto de todas as amostras;
N
O numerador é denominado de Soma de Quadrados Total (SQT), então tem-se:
k n
SQT ( x i j X ) 2
j1 i1
2) Variância entre Amostras ( S2e )
Sendo verdadeira a hipótese H0 , é possível estimar a variância 2 , através de:
k n
2
( Xj X)
S 2e
j1i1
k 1
Onde:
n
Xj
xi j
i1
n
é a média da j-ésima amostra (j=1,2,...,k)
n é o tamanho de cada amostra.
Esta variância ( S2e ) é também chamada de Quadrado Médio Entre Amostras (QME).
122
ANÁLISE DA VARIÂNCIA
O numerador é denominado de Soma de Quadrados entre Amostras (SQE), então
tem-se:
k n
SQE ( X j X ) 2
j1 i1
3) Variância Residual (ou Variância dentro)
Consiste em estimar as variâncias dentro de cada amostra e em seguida estimar um
único valor para 2 , por meio da combinação dessas k variâncias. Esta variância ( Sr2 ) é
chamada também de Quadrado Médio Residual (QMR).
Para uma amostra qualquer j, a estimativa da variância é dada por:
n
S 2j
2
( xi j X j )
i1
n 1
Combinando as k variâncias, obtém-se a estimativa de 2 , dada por:
k n
2
( xi j X j )
S r2
j1i1
Nk
O numerador é denominado de Soma de Quadrados Residual (SQR), logo:
k n
SQR ( x i j X j ) 2
j1i1
Onde:
X j é a média da j-ésima amostra (j=1,2,...,k)
A Soma de Quadrados Residual pode também ser obtida através de:
SQR SQT SQE
9.2 ANÁLISE DA VARIÂNCIA A UM CRITÉRIO DE CLASSIFICAÇÃO
Neste modelo, os elementos observados são classificados segundo um critério, ou seja,
existe apenas uma característica de interesse a ser testada.
As etapas para a realização da ANOVA:
a) Formulação das hipóteses:
H0 : 1 2 ... k
H1 : pelo menos uma média i ;
b) Fixar o nível de significância ;
c) Determinar a região de rejeição (R.R.);
SACHIKO ARAKI LIRA
123
R.A.
1
R.R.
O teste será sempre unilateral. O valor crítico de F será obtido para nível de significância
e ( k 1) e ( N k ) graus de liberdade, no numerador e denominador, respectivamente.
d) Cálculo da estatística F
A estatística F é calculada através de:
F
S 2e
S r2
e) Quadro da Análise da Variância
QUADRO DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA - ANOVA
FONTE DE
VARIAÇÃO
SOMA DE
QUADRADOS
G.L
Entre amostras
SQE
k 1
Residual
SQR
Nk
Total
SQT
N 1
QUADRADOS
MÉDIOS
F
SQE
k 1
SQR
2
S r QMR
Nk
S 2e QME
F
S 2e
S re
QME
QMR
f) Conclusão
Se F F ( k 1, N k ) , rejeita-se hipótese H0 , caso contrário, aceita-se H0 .
Exemplos da aplicação:
1) Verificou-se os índices de produção, segundo os postos de trabalho, durante certo período.
Analisar se há diferença nos índice de produção, devido aos postos de trabalho. Usar 0,05 .
POSTOS DE
TRABALHO
A
124
INDICES DE PRODUÇÃO (%)
90,8
100,0
81,1
B
85,5
83,0
73,7
C
65,9
77,1
68,5
ANÁLISE DA VARIÂNCIA
Solução:
a) As hipóteses a serem testadas:
H0 : A B C
H1 : pelo menos uma média
i
b) Cálculo da Soma de Quadrados Total (SQT)
Tem-se que a soma de quadrados total é dada por:
k n
SQT ( x i j X ) 2
j1i1
Logo, faz-se necessário calcular inicialmente a média do conjunto de todas as amostras
(X).
SOMAS
POSTOS DE
TRABALHO
INDICES DE PRODUÇÃO (%) ( x i j )
n
( xi )
i1
MÉDIAS
( Xj)
A
90,8
100
81,1
271,90
90,63
B
85,5
83
73,7
242,20
80,73
C
TOTAL
65,9
77,1
68,5
211,50
70,50
725,60
80,62
k n
x i j
j1i1
A média do conjunto de todas as amostras será:
k n
xi j
X
j1 i1
N
725,6
80,62
9
Então, tem-se:
SQT ( 90,8 80,62 ) 2 (100 ,0 80,62 ) 2 (81,1 80,62 ) 2 (77,1 80,62 ) 2 (68,5 80,62 ) 2
SQT 932,78
c) Soma de Quadrados entre Amostras (SQE)
k n
k
j1i1
j 1
SQE ( X j X ) 2 n ( X j X ) 2
SQE 3 (90,63 80,62) 2 3 (80,73 80,62) 2 3 (70,5 80,62) 2
SQE 607,88
d) Cálculo da Soma de Quadrados Residual (SQR)
SQR SQT SQE
SQR 932,78 - 607,88 324,90
SACHIKO ARAKI LIRA
125
e) Quadro da ANOVA
QUADRO DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA - ANOVA
FONTE DE
SOMA DE
G.L
VARIAÇÃO
QUADRADOS
SQE 607,88
2
Dentro da
SQR 324,90
amostra (residual)
6
SQT 932,78
8
Entre amostras
Total
QUADRADOS MÉDIOS
F
607,88
303,94
2
324,90
QMR
54,15
6
QME
F 5,61
O valor de F tabelado é: F0,05; 2; 6 5,14
f) Conclusão: Como F F0,05; 2; 6 , rejeita-se a hipótese Ho de que os índices médios de
produção são iguais segundo os diferentes postos de trabalho.
2) Em uma indústria, quatro operários executam uma mesma operação. Com o objetivo de
identificar se existe diferença entre os tempos gastos para executar a operação mencionada,
foram realizadas as seguintes observações desses tempos (em segundos):
Operário 1:
Operário 2:
Operário 3:
Operário 4:
8,1
8,4
8,8
8,3
8,3
8,4
8,7
8,4
8,0
8,5
8,9
8,2
8,1
8,3
8,5
8,2
8,3
8,4
Verificar se a diferença é significativa ao nível de 1% de significância.
Solução:
a) As hipóteses a serem testadas:
H0 : 1 2 3 4
H1 : pelo menos uma média i
b) Cálculo da Soma de Quadrados Total (SQT)
Tem-se que a soma de quadrados total é dada por:
k n
SQT ( x i j X ) 2
j1i1
Logo, faz-se necessário calcular inicialmente a média do conjunto de todas as amostras.
OPERADORES
SOMAS
k
TEMPOS ( x i j )
(xj)
j1
1
2
3
4
8,1
8,4
8,8
8,3
8,3
8,4
8,7
8,4
8,0
8,5
8,9
8,2
8,1
8,3
8,5
8,2
8,3
8,4
41,0
33,6
26,4
49,8
150,8
MÉDIAS
( Xj)
8,2
8,4
8,8
8,3
8,4
k n
x i j
j1i1
126
ANÁLISE DA VARIÂNCIA
A média do conjunto de todas as amostras será:
k n
xi j
X
j1 i1
N
150,8
8,4
18
Então, tem-se:
SQT ( 8,1 8,4 ) 2 (8,3 8,4) 2 (8,0 8,4) 2 (8,4 8,4) 2
SQT 0,98
c) Soma de Quadrados entre Amostras (SQE)
k n
SQE ( X j X ) 2
j1i1
OBS: Neste caso, cada ( X j X ) 2 é multiplicado pelo seu respectivo tamanho de amostra.
SQE 5 (8,2 8,4) 2 4 (8,4 8,4) 2 3 (8,8 8,4) 2 6 (8,3 8,4) 2
SQE 0,74
d) Cálculo da Soma de Quadrados Residual (SQR)
k n
SQR ( x i j X j ) 2
j1i1
SQR ( 8,1 8,2) 2 (8,3 8,2) 2 (8,3 8,3) 2 (8,4 8,3) 2
SQR 0,24
e) Quadro da ANOVA
QUADRO DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA - ANOVA
FONTE DE
SOMA DE QUADRADOS
VARIAÇÃO
G.L
Entre amostras
(Tratamentos)
SQE 0,74
3
Dentro da amostra
(residual)
SQR 0,24
14
SQT 0,98
17
Total
QUADRADOS MÉDIOS
0,74
3
0,24
QMR
14
F
QME
F 14,39
O valor de F tabelado é F0,01; 3;14 5,56 .
Conclusão: Como F F0,01; 3; 14 , rejeita-se a hipótese H0 de que os tempos médios gastos para
execução da operação segundo diferentes operários são iguais.
SACHIKO ARAKI LIRA
127
9.3 COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS ENTRE MÉDIAS
A análise da variância serve para verificar se existe diferença significativa entre as
médias; porém, se houver diferenças, não é possível saber, através dela, quais as médias
diferem entre si. A identificação de diferenças entre médias, tomando-as duas a duas, deve ser
feita usando testes de comparações múltiplas entre médias.
9.3.1 TESTE DE SCHEFFÉ
A estatística de teste é a distribuição F de Snedecor com ( k 1, N k ) graus de liberdade,
corrigida por um fator que leva em conta o fato de se comparar k médias, duas a duas.
O Teste de Scheffé é um teste mais geral, permite usar amostras com dimensões
diferentes e é robusto a violações dos pressupostos de normalidade e de igualdade de
variâncias.
Se Xi Xm , rejeita-se a hipótese nula de que H0 : i m , sendo que a
estatística é dada por:
1
1
QMR (k 1)
ni nm
Fk 1,Nk, .
Exercícios de aplicação:
1) Para o exemplo dos índices de produção segundo diferentes postos de trabalho, verificar
quais médias são diferentes, utilizando 0,05 .
Solução:
Os índices médios, segundo diferentes postos de trabalho são:
POSTOS DE
TRABALHO
A
B
C
MÉDIAS
( Xj)
90,63
80,73
70,50
Utilizando o teste de Scheffé:
1
1
QMR (k 1)
ni nm
Fk 1,Nk,
onde:
k 3 ( postos de trabalho)
Nk 93 6
0,05
n 3 (tamanho da amostra para cada grupo)
128
ANÁLISE DA VARIÂNCIA
QMR
324,90
54,15 ( do exemplo de aplicação no. 1)
6
F2, 6 ; 0,05 5,14
Considerando os postos de trabalha A e B, tem-se:
1 1
0,05 54,15 2 5,14 19,26
3 3
Da mesma forma para A e C e B e C, pois os tamanhos de amostras são iguais a 3.
Portanto, tem-se:
POSTOS DE
TRABALHO
DIFERENÇA DE MÉDIAS
AeB
90,63 80,73 9,90
19,26
Não
AeC
90,63 70,50 20,13
19,26
Sim
BeC
80,73 70,50 10,23
19,26
Não
DIFERENÇA
SIGNIFICATIVA
Conclui-se portanto que os índices médios de produção dos postos de trabalho A e C são
diferentes, para nível de 5% de significância.
2) Para o exemplo de quatro operários que executam uma mesma operação em uma indústria,
aplicar o método de Scheffé, utilizando 0,01.
Solução:
Os tempos médios gastos para executar determinada operação, segundo operadores:
OPERADORES
MÉDIAS
ni
1
2
3
4
( Xj)
5
4
3
6
8,2
8,4
8,8
8,3
Utilizando o teste de Scheffé:
1
1
Fk 1, N k,
X i X m QMR (k 1)
ni nm
k4
( operadores)
N 18
N k 18 4 14
0,01
QMR
0,24
0,0171
14
SACHIKO ARAKI LIRA
( do exemplo de aplicação no. 2)
129
F3; 14; 0,01 5,56
Considerando os operários 1 e 2, tem-se:
n1 5
n2 4
Substituindo os valores na expressão do teste de Scheffé:
1 1
0,0171 3 5,56 0,36
5 4
As médias dos operários 1 e 2 são: X1 8,2 e
X1 X 2 0,2 . Tem-se que
X 2 8,4 , portanto a diferença é
X1 X 2 0,2 0,36 , logo não há diferença entre as duas
médias.
Considerando os operários 1 e 3, tem-se:
n1 5
n2 3
1 1
0,0171 3 5,56 0,39
5 3
Considerando os operários 1 e 4, tem-se:
n1 5
n2 6
1 1
0,0171 3 5,56 0,32
5 6
Considerando os operários 2 e 3, tem-se:
n1 4
n2 3
1 1
0,0171 3 5,56 0,41
4 3
Considerando os operários 2 e 4, tem-se:
n1 4
n2 6
1 1
0,0171 3 5,56 0,34
4 6
Considerando os operários 3 e 4, tem-se:
n1 3
130
ANÁLISE DA VARIÂNCIA
n2 6
1 1
0,0171 3 5,56 0,38
3 6
Assim, tem-se:
OPERADORES
Xi Xm
CONCLUSÃO
1e2
0,20
0,36
Não diferem
1e3
0,60
0,39
diferem
1e4
0,10
0,32
Não diferem
2e3
0,40
0,41
Não diferem
2e4
0,10
0,34
Não diferem
3e4
0,50
0,38
diferem
O tempo médio gasto para a execução do operador número 3 difere do tempo médio do
operador 1 e 4, ao nível de 1% de significância.
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 8 – ANÁLISE DA VARIÂNCIA
1. Uma empresa deseja adquirir certa máquina e verificou que existem no mercado três marcas
diferentes: A, B, e C que satisfazem. Decidiu-se que será comprada a máquina que apresentar
melhor rendimento. Foi realizado um ensaio com as três máquinas em períodos iguais durante 5
dias e as produções resultantes foram:
A
120
123
121
125
122
B
119
121
118
120
123
C
125
127
128
127
128
Pergunta-se: com relação ao rendimento, existe diferença significativa entre as máquinas ao
nível de 1% de significância? Aplicar o teste de Scheffé e concluir qual a máquina a ser
adquirida.
2. Foram testados três tipos de lâmpadas elétricas e os tempos de vida (em horas) obtidos
foram:
lâmpada A:
1.245
1.354
1.367
1.289
lâmpada B:
1.235
1.300
1.230
1.189
lâmpada C:
1.345
1.450
1.320
Existe diferença significativa entre os tempos médios de vida dessas três marcas de lâmpadas,
ao nível de significância de 1%? Se necessário, aplicar o teste de Scheffé.
3. Três máquinas produzem parafusos. Encontram-se a seguir, os diâmetros correspondentes a
uma amostra de 4 parafusos produzidos em cada máquina.
SACHIKO ARAKI LIRA
131
MÁQUINAS
A
B
C
8
9
7
7
7
9
9
7
7
7
8
7
Testar se os diâmetros médios são iguais a um nível de significância de 5%.
4) Pesquisadores investigaram três métodos diferentes de preparar o composto supercondutor
PbMo 6 S 8 . Eles afirmam que a presença de oxigênio durante o processo de preparação afeta a
temperatura de transição, Tc , da supercondução do material. Os métodos de preparação 1 e 2
usam técnicas que são planejadas para eliminar a presença de oxigênio, enquanto o método 3
permite a presença de oxigênio. Cinco observações de Tc (em K) foram feitas para cada
material, sendo os resultados apresentados a seguir.
MÉTODO DE
PREPARAÇÃO
TEMPERATURA DE TRANSIÇÃO
Tc (K)
1
14,8
14,8
14,7
14,8
14,9
2
14,6
15,0
14,9
14,8
14,7
3
14,2
14,4
14,4
12,2
11,7
Há qualquer evidência que confirme a afirmação de que a presença de oxigênio durante a
preparação afete a temperatura média de transição? Usar 0,05 .
5) A resistência de contato de um relé foi estudada para três materiais diferentes (todos eram
ligas, tendo prata como base). Os dados encontram-se a seguir.
LIGA
RESISTÊNCIA DE CONTATO
87
99
1
95
98
2
104
102
102
105
3
119
130
132
136
O tipo de liga afeta a resistência média de contato? Usar 0,01.
132
ANÁLISE DA VARIÂNCIA
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃ0
SIMPLES
10.1 INTRODUÇÃO
A análise de correlação mede o grau de associação entre variáveis, e pode ser:
Correlação simples: mede a “força” ou “grau” de associação entre duas variáveis;
Correlação múltipla: mede a “força” ou “grau” de associação entre uma variável e um
conjunto de outras variáveis.
A análise de regressão estuda o relacionamento entre uma variável chamada
dependente e outras variáveis chamadas variáveis independentes. Este relacionamento é
representado por um modelo matemático, isto é, por uma equação que associa a variável
dependente com as variáveis independentes.
Modelo de regressão linear simples: define uma relação linear entre a variável dependente e
uma variável independente;
Modelo de regressão linear múltipla: define uma relação linear entre a variável dependente
e duas ou mais variáveis independentes.
10.2 DIAGRAMA DE DISPERSÃO
O diagrama de dispersão é uma representação gráfica da relação entre duas ou mais
variáveis. No diagrama de dispersão entre duas variáveis, X e Y, cada ponto no gráfico é um par
( x i , y i ).
GRÁFICO 5 - DIAGRAMA DE DISPERSÃO ENTRE AS VARIÁVEIS X E Y
DIAGRAMA DE DISPERSÃO
Y
120
100
80
60
40
20
0
2
7
12
17
22
X
A visualização do diagrama de dispersão possibilita ter uma boa ideia de como as duas
variáveis se correlacionam.
SACHIKO ARAKI LIRA
133
10.3 ANÁLISE DE CORRELAÇÃO
10.3.1 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR DE PEARSON
Diferentes formas de correlação podem existir entre as variáveis. O caso mais simples e
mais conhecido é a correlação linear simples, envolvendo duas variáveis, X e Y.
Este coeficiente mostra o grau de relacionamento entre as variáveis, fornecendo um número,
indicando como as variáveis variam conjuntamente. Não há a necessidade de definir as relações
de causa e efeito, ou seja, qual é a variável dependente e a independente.
Quando para maiores valores de X, existe uma tendência de obter maiores valores de Y,
diz-se que existe correlação linear positiva, conforme o gráfico 5, apresentado anteriormente.
Entretanto, pode ocorrer o inverso, ou seja, para maiores valores de X, existir uma tendência de
obter menores valores de Y, diz-se neste caso, que existe correlação linear negativa,
conforme o gráfico 6. Obviamente, existem muitos casos em que as variáveis não são
correlacionadas linearmente, isto é, a correlação linear é nula, como apresentado no gráfico 7.
GRÁFICO 6 – DIAGRAMA DE DISPERSÃO ENTRE AS VARIÁVEIS X E Y
DIAGRAMA DE DISPERSÃO
GRÁFICO 7 – DIAGRAMA DE DISPERSÃO ENTRE AS VARIÁVEIS X E Y
DIAGRAMA DE DISPERSÃO
Y
Y
120
70
100
60
50
80
40
60
30
40
20
20
10
0
0
2
7
12
17
22
2
7
12
17
X
X
O coeficiente de correlação amostral é obtido através da expressão:
X i XYi Y
n
r
i 1
X i X
n
i 1
2
Yi Y
n
2
i 1
A interpretação do coeficiente quando
r 1 é de que existe correlação linear perfeita
entre as variáveis X e Y. A correlação é linear perfeita positiva quando r 1 e linear perfeita
negativa quando r 1 . Quando se tem r 0 , não existe correlação linear entre as variáveis X e
Y. O coeficiente de correlação pode ser avaliado qualitativamente de acordo com os critérios
abaixo:
134
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
se 0 r 0,30 existe fraca correlação linear;
se 0,30 r 0,60 existe moderada correlação linear;
se 0,60 r 0,90 existe forte correlação linear;
se 0,90 r 1,00 existe correlação linear muito forte.
Exemplo de aplicação:
Seja o processo de recobrimento de uma determinada peça com metal. O recobrimento é
feito com metal fundido.
X= quantidade utilizada de metal fundido (em gramas);
Y = porcentagem de recobrimento obtida (%).
TABELA 12 – QUANTIDADE DE METAL FUNDIDO UTIZADA E PORCENTAGEM DE RECOBRIMENTO OBTIDA
xi
OBSERVAÇÃO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
yi
6,0
4,0
6,0
8,0
7,5
8,5
9,5
11,0
12,0
12,0
10
10
20
20
30
40
45
50
60
65
O diagrama de dispersão é apresentado abaixo:
GRÁFICO 8 – DIAGRAMA DE DISPERSÃO ENTRE AS VARIÁVEIS QUANTIDADE DE METAL FUNDIDO E PORCENTAGEM DE RECOBRIMENTO
DIAGRAMA DE DISPERSÃO
Porcentagem de
recobrimento (%)
80
70
60
50
40
30
20
10
0
2
4
6
8
10
12
14
Quantidade de metal
A visualização do diagrama de dispersão possibilita ter uma boa idéia de como as duas
variáveis se relacionam, ou seja, qual a tendência de variação conjunta que apresentam. O
gráfico sugere a existência de uma relação linear entre as duas variáveis. Assim, calcular-se-á o
coeficiente de correlação linear de Pearson.
SACHIKO ARAKI LIRA
135
OBS.
xi
( xi X )
yi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6
4
6
8
7,5
8,5
9,5
11
12
12
10
10
20
20
30
40
45
50
60
65
MÉDIA
84,5
8,45
350
35
-2,45
-4,45
-2,45
-0,45
-0,95
0,05
1,05
2,55
3,55
3,55
( yi Y )
( x i X )( y i Y )
-25
-25
-15
-15
-5
5
10
15
25
30
( x i X )2
( y i Y )2
61,25
111,25
36,75
6,75
4,75
0,25
10,50
38,25
88,75
106,50
6,00
19,80
6,00
0,20
0,90
0,00
1,10
6,50
12,60
12,60
625
625
225
225
25
25
100
225
625
900
465,00
65,73
3.600
Tem-se que:
X i XYi Y
n
ˆ X,Y
r
i 1
X i X
n
2
i 1
Yi Y
n
2
i 1
Substituindo os valores na expressão acima tem-se:
ˆ X,Y
r
465
0,9560
65,73 3.600
Sendo o r 0,9560 , conclui-se que existe correlação linear muito forte.
10.3.1.1 TESTE DE HIPÓTESES PARA COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
O coeficiente de correlação linear r , é uma estimativa da correlação populacional ρ ,
obtida com base em uma amostra de tamanho n. O tamanho da amostra exerce papel
fundamental na estimativa, desta forma, torna-se necessário testar a hipótese de que realmente
existe correlação linear entre as variáveis estudadas. Assim, as hipóteses a serem testadas são:
( a correlação populacional é igual a zero)
H0 : 0
( a correlação populacional é diferente de zero)
H1 : 0
A estatística para testar a hipótese H0 : 0 contra H1 : 0 , tem distribuição t com n - 2
graus de liberdade, ou seja:
t
r n2
1 r 2
136
~ t n2 .
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
Exemplo de aplicação:
Seja o exemplo do processo de recobrimento de uma determinada peça com metal. Tem-se que
o coeficiente de correlação estimado é r 0,9560 . Testar a hipótese de que a correlação
populacional é diferente de zero, utilizando nível de significância de 5%.
As hipóteses são:
H0 : 0
H1 : 0
( a correlação populacional é igual a zero)
( a correlação populacional é diferente de zero)
A estatística t é:
t
r n2
1 r
2
0,9560 10 2
9,22
1 0,95602
O valor de “t” tabelado para nível de significância e 5% e 8 graus de liberdade é 2,31,
portanto, rejeita-se a hipótese H0 : 0 .
10.4 ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
Análise de regressão linear simples é uma técnica de modelagem utilizada para analisar
a relação entre uma variável dependente (Y) e uma variável independente X .
O objetivo dessa técnica é identificar uma função que descreve, o mais próximo possível,
a relação entre essas variáveis e assim poder predizer o valor que a variável dependente (Y) irá
assumir para um determinado valor da variável independente X.
O modelo de regressão poderá ser expresso como:
Y X
Um valor de Y é formado pelo componente funcional ou regressão ( X ) , que
representa a influência da variável independente X sobre o valor de Y e o componente aleatório
( ) , que representa a influência de outros fatores, bem como os erros de medidas da variável
Y.
Apresenta-se a seguir, um gráfico, onde estão representados os pontos observados e a
reta ajustada.
GRÁFICO 9 – DIAGRAMA DE DISPERSÃO ENTRE X E Y E A RETA
ESTIMADA
34
Y
32
30
28
26
24
22
20
20
SACHIKO ARAKI LIRA
22
24
26
28
X
30
137
Verifica-se no gráfico que nem todos os pontos tocam a reta, e essa diferença é o erro
(), mas supõe-se que em média esses erros tendem a se anular, ou seja:
E ( i ) 0
Ao estabelecer o modelo de regressão linear simples, deve-se pressupor que:
1) os erros ( i ) têm distribuição normal;
2) os erros ( i ) são independentes;
3) i é uma variável aleatória com média igual a zero, isto é, E ( i ) 0 ;
4) A variância de
i
é igual a
2
para todos os valores de X.
10.4.1 ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS
Uma vez escolhido o modelo de regressão, deve-se estimar os seus parâmetros, neste
caso, os coeficientes da equação da reta, e . Isso pode ser feito a partir da aplicação do
Método dos Mínimos Quadrados. Neste método, a soma dos erros quadráticos (isto é, a soma
dos quadrados da distância vertical entre as observações e a reta ajustada) é mínima.
Os parâmetros e são estimados através dos dados amostrais e a reta estimada
será da forma:
Ŷ a bX
Seja e i a distância da reta ajustada aos pontos amostrais, o método dos mínimos
quadrados minimiza a soma de ei2 , ou seja:
n
n
n
i1
i1
i1
e i2 ( y i ŷ i ) 2 ( y i a bx i ) 2
Derivando a expressão acima em relação a “ a ” e igualando a zero, tem-se:
n
( y i a bx i ) 2
a
i1
n
n
i1
i1
2 y i 2na 2 b x i
0
Derivando a expressão acima em relação a “ b ” e igualando a zero, tem-se:
n
( y a bx i )2
b i1 i
n
n
n
i1
i1
i1
2 x i y i 2a x i 2b x i2
0
Obtém-se assim o sistema de duas equações:
n
yi
i1
n
xiyi
i1
n
na b x i
i1
n
n
i1
i1
a x i b x i2
A solução analítica do sistema de equações fornece os valores de " a" e " b" , como
apresentados a seguir.
a Y bX
138
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
n
( x i X) y i
b
i1
n
( x i X) 2
i1
Exemplos de aplicação:
1) Seja o processo de recobrimento de uma determinada peça com metal. O recobrimento é
feito com metal fundido.
X= quantidade utilizada de metal fundido (em gramas);
Y = porcentagem de recobrimento obtida (%).
QUANTIDADE DE METAL FUNDIDO UTILIZADA
E
PORCENTAGEM DE RECOBRIMENTO
OBTIDA
OBSERVAÇÃO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
yi
6,0
4,0
6,0
8,0
7,5
8,5
9,5
11,0
12,0
12,0
10
10
20
20
30
40
45
50
60
65
Ajustar um modelo de regressão linear simples aos dados:
Solução:
Tem-se então que:
OBS.
xi
( xi X )
yi
( x i X )2
( xi X ) yi
1
6
10
-2,45
6,00
-24,50
2
4
10
-4,45
19,80
-44,50
3
6
20
-2,45
6,00
-49,00
4
8
20
-0,45
0,20
-9,00
5
7,5
30
-0,95
0,90
-28,50
6
8,5
40
0,05
0,00
2,00
7
9,5
45
1,05
1,10
47,25
8
11
50
2,55
6,50
127,50
9
12
60
3,55
12,60
213,00
10
Total
12
65
3,55
12,60
230,75
84,5
350
65,725
465,00
Média
8,45
35
X 8,45
Y 35
SACHIKO ARAKI LIRA
139
n
( x i X )2
i1
n
( xi X ) yi
65,725
465,00
i1
n
( x i X) y i
Logo, b
i1
n
( x i X) 2
465,00
7,0749
65,725
i1
a Y b X 35 7,0749 8,45 24,7832
A equação de regressão linear será:
Ŷ 24,7832 7,0749 X
Tem-se então que:
xi
OBS.
yi
ŷ i
1
6
10
17,7
2
4
10
3,5
3
6
20
17,7
4
8
20
31,8
5
7,5
30
28,3
6
8,5
40
35,4
7
9,5
45
42,4
8
11
50
53,0
9
12
60
60,1
10
12
65
60,1
O gráfico a seguir, apresenta o diagrama de dispersão e a função linear ajustada.
DIAGRAMA DE DISPERSÃO E FUNÇÃO LINEAR
AJUSTADA
Recobrimento
(%)
70
60
50
40
30
20
10
0
0
140
5
10
15
Quantidade de metal fundido
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
10.4.2 TESTES DE HIPÓTESES NA REGRESSÃO
Uma etapa importante da verificação da adequação de um modelo de regressão linear é
a realização de um teste estatístico de hipóteses em relação aos parâmetros do modelo.
10.4.2.1TESTE t
Lembrando que o modelo é Y X , deve-se testar as hipóteses:
H0 : 0
H1 : 0
A estatística do teste é dada por:
t :
b
, que segue distribuição t com n-2 graus de liberdade.
S2
S XX
Tem-se que:
S2
S YY bS XY
, que é a estimativa de 2
n2
n
Onde: S XX ( x i X) 2
i1
n
S YY ( y i Y ) 2
i1
n
n
xi yi
n
S XY x i y i i1
i1
i
n
A conclusão do teste será:
Se t 2 t t 2 , aceita-se H0 e conclui-se que não existe regressão e se
t t 2,
rejeita-se H0 e conclui-se que existe regressão.
10.4.2.2 ANÁLISE DA VARIÂNCIA
A análise da variância, conhecida como ANOVA, é um teste que permite verificar a
existência da regressão, ou seja, se existe relação entre a variável dependente e independente,
através do comportamento das variações totais, explicadas e residuais. Este teste é resumido no
quadro da ANOVA.
SACHIKO ARAKI LIRA
141
GRÁFICO 10 – DESVIOS TOTAL, EXPLICADO E RESIDUAL
Ŷ a bX
yi
( y i ŷ i )
( y i Y)
Y
( Y ŷ i )
X
A estatística utilizada para o teste é a variável aleatória com distribuição F de Snedecor,
com m graus de liberdade no numerador e n graus de liberdade no denominador. As hipóteses
são:
H 0 : A regressão linear de Y sobre X não é significativa
H1 : A regressão linear de Y sobre X é significativa
As variações ou somas dos quadrados são obtidos através de :
n
SQT Soma de quadrados totais ( yi Y )2
i 1
SQE Soma de quadrados exp licados b SXY
n
onde: S XY ( x i X )( y i Y )
i 1
SQR Soma de quadrados residuais SYY b SXY
n
onde: S YY ( y i Y ) 2
i 1
Tem-se que: SQT SQE SQR .
Para a ANOVA, faz-se necessária elaborar a tabela abaixo:
FONTE DE
VARIAÇÃO
SOMA DOS
QUADRADOS
G.L.
QUADRADO MÉDIO
Explicada
SQE b S XY
1
QME b S XY
Residual
SQR S YY b S XY
n2
SQT S YY
n 1
Total
QMR
S YY b S XY
n2
F
F
QME
QMR
Se Fcalculado F;1, n 2 (tabelado) , rejeita-se H0 e conclui-se que a regressão de Y
sobre X é significativa.
142
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
Exemplo de aplicação:
1) Testar o modelo ajustado no exemplo 1, através do teste t e da análise da variância. Usar
5% .
Solução:
Para obter as somas dos quadrados faz-se necessário os seguintes cálculos:
xi
OBS.
xi yi
yi
( xi X )
( yi Y )
( x i X )2
( y i Y )2
( xi X ) ( yi Y )
1
6
10
60,0
-2,45
-25
6,0
625
61,25
2
4
10
40,0
-4,45
-25
19,8
625
111,25
3
6
20
120,0
-2,45
-15
6,0
225
36,75
4
8
20
160,0
-0,45
-15
0,2
225
6,75
5
7,5
30
225,0
-0,95
-5
0,9
25
4,75
6
8,5
40
340,0
0,05
5
0,0
25
0,25
7
9,5
45
427,5
1,05
10
1,1
100
10,5
8
11
50
550,0
2,55
15
6,5
225
38,25
9
12
60
720,0
3,55
25
12,6
625
88,75
10
12
65
780,0
3,55
30
12,6
900
106,5
84,5
350
3.422,5
65,70
3.600
465,00
Total
a) Teste “t”
H0 : 0
H1 : 0
Tem-se que:
S2
S YY bS XY
3.600 7,075 465
38,7656
6
8
Calculando inicialmente:
n
S XX ( x i X) 2 65,70
i1
n
S YY ( y i Y ) 2 3.600
i1
n
n
n
xi yi
i1
n
S XY x i y i i1
i
3.422,5
84,5 350
465
10
A estatística do teste é dada por:
t
b
2
S
S XX
7,075 0
9,21 , que segue distribuição t com n-2 graus de liberdade.
38,7656
65,70
SACHIKO ARAKI LIRA
143
Tem-se que t0,05 / 2;8 2,31, logo, rejeita-se H0 e conclui-se que 0 .
b) ANOVA
n
SQT S YY ( y i Y ) 2 3.600
i1
SQE b SXY ,
n
sendo que S XY ( x i X )( y i Y ) 465
i 1
b 7,0749
(já calculado)
Assim, tem-se que: SQE b S XY 7,0749 465 3289,8285
SQR S YY b S XY
SQR S YY b S XY 3.600 3289 ,8285 310,1715
QUADRO DA ANÁLISE DA VARIÂNCIA
FONTE DE
VARIAÇÃO
SOMA DOS
QUADRADOS
G.L.
QUADRADO MÉDIO
Explicada
SQE 3.289,8285
1
QME 3.289,8285
Residual
SQR 310,1715
n2 8
SQT 3.600,000
Total
QMR
310,1715
38,7714
8
F
F 84,85
n 1 9
Tem-se que F0,05;1, 8 5,32 , logo, conclui-se que a regressão de Y sobre X é significativa,
para nível de 5% de significância.
10.4.3 COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO OU EXPLICAÇÃO
2
Um outro indicador utilizado constantemente é o coeficiente de determinação, R , que
indica quantos por cento a variação explicada pela regressão representa da variação total. Este
varia entre 0 e 1. Quanto mais próximo de 1, maior é a explicação pelo modelo das variação
total. A expressão de R 2 é dada por:
R2
SQE
SQT
Para o exemplo 1, tem-se que:
R2
SQE 3.289,829
0,9138
SQT 3.600,000
O modelo ajustado explica 91,38% das variações ocorridas na variável dependente Y.
144
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
2) Foi realizada uma experiência relacionando os alongamentos de uma mola (cm) com as
cargas aplicadas (kg). Os resultados obtidos foram:
Carga (kg)
Alongamento (cm)
3
4
5
6
7
8
9
10
4,0
4,8
5,6
6,7
7,9
9,0
9,8
11,0
Ajustar um modelo de regressão linear simples aos dados, testar a hipótese da
significância da regressão e calcular o coeficiente de determinação.
Solução:
a) Ajuste do modelo de regressão linear simples
Tem-se que a variável dependente Y é o alongamento da mola e a independente X, a
carga, Assim, para obter os coeficientes a e b, serão necessários os seguintes cálculos:
X-> carga
Y-> alongamento
( xi X )
( x i X )2
( xi X ) yi
OBS.
xi
yi
1
3
4,0
-3,5
12,25
-14,00
2
4
4,8
-2,5
6,25
-12,00
3
5
5,6
-1,5
2,25
-8,40
4
6
6,7
-0,5
0,25
-3,35
5
7
7,9
0,5
0,25
3,95
6
8
9,0
1,5
2,25
13,50
7
9
9,8
2,5
6,25
24,50
8
10
11,0
3,5
12,25
38,50
Total
52
58,8
0
42,00
42,70
Média
6,5
7,35
Tem-se então que:
X 6,5
Y 7,35
n
( xi X )2 52
i1
n
( xi X ) yi
42,70
i1
n
Logo, b
( xi X ) yi
i1
n
( xi X)2
42,70
1,01667
42
i1
a Y bX 7,35 1,01667 6,5 0,7416
A equação de regressão linear será:
Ŷ 0,7415 1,0167 X
Tem-se que:
SACHIKO ARAKI LIRA
145
xi
OBS.
yi
ŷ i
1
3
4,0
3,8
2
4
4,8
4,8
3
5
5,6
5,8
4
6
6,7
6,8
5
7
7,9
7,9
6
8
9,0
8,9
7
9
9,8
9,9
8
10
11,0
10,9
O gráfico a seguir, apresenta o diagrama de dispersão e a função linear ajustada.
DIAGRAMA DE DISPERSÃO E FUNÇÃO LINEAR
AJUSTADA
Alongamento
12
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
Carga
b) Teste da significância da regressão
Para obter as somas dos quadrados faz-se necessário os seguintes cálculos:
146
( xi X )
( yi Y )
( x i X )2
( y i Y )2
( x i X ) (y i Y)
OBS.
xi
yi
1
3
4,0
-3,5
-3,35
12,25
11,2225
11,725
2
4
4,8
-2,5
-2,55
6,25
6,5025
6,375
3
5
5,6
-1,5
-1,75
2,25
3,0625
2,625
4
6
6,7
-0,5
-0,65
0,25
0,4225
0,325
5
7
7,9
0,5
0,55
0,25
0,3025
0,275
6
8
9,0
1,5
1,65
2,25
2,7225
2,475
7
9
9,8
2,5
2,45
6,25
6,0025
6,125
8
10
11,0
3,5
3,65
12,25
13,3225
12,775
Total
52
58,8
42,00
43,56
42,70
Média
6,5
7,35
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
n
SQT S YY ( y i Y ) 2 43,56
i1
SQE b S XY ,
n
sendo que S XY ( x i X )( y i Y ) 42,70
i 1
b 1,01667
(já calculado)
Assim, tem-se que: SQE b SXY 1,01667 42,70 43,4117
SQR S YY b S XY
SQR S YY b S XY 43,56000 43,4117 0,1483
QUADRO DA ANÁLISE DA VARIÂNCIA
FONTE DE
VARIAÇÃO
SOMA DOS
QUADRADOS
G.L.
QUADRADO MÉDIO
Explicada
SQE 43,4117
1
QME 43,4117
Residual
SQR 0,1483
n2 6
F
F 1757,56
QMR 0,0247
SQT 43,5600
Total
n 1 7
Tem-se que F0,05; 1, 6 5,99 , logo, conclui-se que a regressão de Y sobre X é
significativa, para nível de 5% de significância .
c) Coeficiente de determinação
R2
SQE
SQT
Para o exemplo 2, tem-se que:
R2
SQE 43,4117
0,9966
SQT 43,5600
O modelo ajustado explica 99,66% das variações ocorridas na variável dependente Y.
10.5 AJUSTE DE CURVA GEOMÉTRICA (OU FUNÇÃO POTÊNCIA)
Apresenta-se, a seguir, como se ajusta uma função potência, a um conjunto de pontos
( xi , yi ) . A função potência é dada pela expressão a seguir:
Y X
Graficamente, tem-se:
SACHIKO ARAKI LIRA
147
FUNÇÃO POTÊNCIA
Y
85
80
75
70
0 1
65
60
55
50
45
40
140
240
340
440
540
X
10.5.1 ESTIMATIVA DOS COEFICIENTES
O modelo estimado será dado por:
Ŷ
ˆ
ˆ X
ˆ
Para ajustar uma curva geométrica Ŷ ˆ X , a um conjunto de pontos ( xi , yi ) , pode-se
fazer através da seguinte transformação, considerando Y 0 e X 0 :
ˆ ˆ ln X , que poderá ser escrita da seguinte forma:
ln Ŷ ln
Ẑ Â ̂T
onde:
Ẑ ln Ŷ
ˆ
 ln
T ln X
Os parâmetros A e são estimados através dos dados amostrais e a reta estimada
será da forma:
Ẑ Â ̂ T
Os valores de  e ̂ serão obtidos a partir das equações apresentadas a seguir.
 Z ̂ T
n
ˆ
(t i T) z i
i1
n
(t i T)2
i1
Para obter a estimativa do modelo na sua forma original, faz-se a transformação inversa
dos coeficientes  e B̂ . Tem-se então que:
ˆ e Â
 ln ˆ , logo,
148
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
E a função potência estimada será:
Ŷ
ˆ
ˆ X
10.5.2 TESTES DE HIPÓTESES NA REGRESSÃO
10.5.2.1 ANÁLISE DA VARIÂNCIA
A estatística utilizada para o teste é a variável aleatória com distribuição F de Snedecor,
com m graus de liberdade no numerador e n graus de liberdade no denominador. As hipóteses
são:
H 0 : A regressão de Y sobre X não é significativa
H1 : A regressão de Y sobre X é significativa
As variações ou somas dos quadrados são obtidos através de :
n
SQT ( z i Z ) 2
i 1
SQE ̂ STZ
n
onde: STZ ( ti T )( zi Z )
i1
SQR SZZ ̂STZ
n
onde: SZZ ( zi Z )2
i1
Tem-se que: SQT SQE SQR .
Para a ANOVA, faz-se necessária elaborar a tabela abaixo:
FONTE DE
VARIAÇÃO
SOMA DOS
QUADRADOS
G.L.
QUADRADO MÉDIO
Explicada
SQE ̂ STZ
1
QME ̂ STZ
Residual
SQR SZZ ̂STZ
n2
SQT S ZZ
n 1
Total
QMR
S ZZ ˆ S TZ
n2
F
F
QME
QMR
Se Fcalculado F;1, n 2 (tabelado) , rejeita-se H0 e conclui-se que a regressão de Y sobre X
é significativa.
10.5.3 COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO OU EXPLICAÇÃO
SACHIKO ARAKI LIRA
149
O coeficiente de determinação, R 2 , que indica quantos por cento a variação explicada
pela regressão representa da variação total. Este varia entre 0 e 1. Quanto mais próximo de 1,
maior é a explicação pelo modelo das variação total. A expressão de R 2 é dada por:
R2
SQE
SQT
Exemplo: Os dados apresentados, a seguir, representam o desempenho (medido em km
percorridos por litro de gasolina) dos carros em estrada e o deslocamento do pistão no motor,
para uma amostra de 8 carros.
Sejam as variáveis: X= deslocamento do pistão ( m3 ) e Y= km percorridos em estrada
por litro de gasolina.
CARROS
1
2
3
4
5
6
7
8
X
215
201
196
226
226
348
226
348
Y
13,2
13,7
14,1
12,9
12,3
11,1
13,1
11,2
a) construir o diagrama de dispersão;
b) Ajustar uma função geométrica aos dados;
c) testar a existência de regressão;
d) calcular o coeficiente de determinação.
Solução:
a) Diagrama de dispersão
DIAGRAMA DE DISPERSÃO
Km/litro de
gasolina
15,0
14,5
14,0
13,5
13,0
12,5
12,0
11,5
11,0
10,5
10,0
80
130
180
230
280
330
380
Deslocamento do pistão
Fazendo as transformações de variáveis necessárias, tem-se:
150
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
xi
CARROS
1
2
3
4
5
6
7
8
zi ln( yi )
yi
215
201
196
226
226
348
226
348
13,2
13,7
14,1
12,9
12,3
11,1
13,1
11,2
(t i T)
ti ln( xi )
2,5802
2,6174
2,6462
2,5572
2,5096
2,4069
2,5726
2,4159
5,3706
5,3033
5,2781
5,4205
5,4205
5,8522
5,4205
5,8522
2,5383
5,4898
-0,1191
-0,1865
-0,2116
-0,0692
-0,0692
0,3624
-0,0692
0,3624
SOMA
MÉDIA
248,25
( t i T) 2
0,0142
0,0348
0,0448
0,0048
0,0048
0,1314
0,0048
0,1314
0,3709
(t i T) z i
-0,3074
-0,4880
-0,5600
-0,1770
-0,1737
0,8724
-0,1781
0,8756
-0,1362
a) Cálculo das estimativas dos parâmetros
n
( t i T ) zi
ˆ in1
( ti T )2
- 0,1362
-0,3674
0,3709
i1
ˆ T 2,5383 (0,3674) 5,4898 4,5550
 Z
O modelo ajustado é:
Ẑ Â ˆ T 4,5550 0,3674 T
Mas tem-se que:
ˆ , logo,
ˆ e  e 4,5550 95,1068
 ln
O modelo ajustado na forma potencial será:
ˆ
ˆ X 95,1068 X 0,3674
Ŷ
O gráfico a seguir apresenta o diagrama de dispersão e a função potencial ajustada.
DIAGRAMA DE DISPERSÃO E CURVA POTENCIAL
AJUSTADA
14,5
Km/litro de
gasolina
14,0
13,5
13,0
12,5
12,0
11,5
11,0
10,5
10,0
80
130
180
230
280
330
380
Deslocamento do pistão
b) Utilizando a ANOVA para testar a significância da regressão:
SACHIKO ARAKI LIRA
151
CARROS
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
yi
215
201
196
226
226
348
226
348
zi ln( yi )
13,2
13,7
14,1
12,9
12,3
11,1
13,1
11,2
2,5802
2,6174
2,6462
2,5572
2,5096
2,4069
2,5726
2,4159
t i ln( xi )
( z i Z ) ( zi Z)2
5,3706
5,3033
5,2781
5,4205
5,4205
5,8522
5,4205
5,8522
0,0420
0,0791
0,1079
0,0190
-0,0287
-0,1313
0,0344
-0,1223
SOMA
0,0018
0,0063
0,0116
0,0004
0,0008
0,0172
0,0012
0,0150
(t i T)
( t i T) ( z i Z )
-0,1191
-0,1865
-0,2116
-0,0692
-0,0692
0,3624
-0,0692
0,3624
-0,0050
-0,0148
-0,0228
-0,0013
0,0020
-0,0476
-0,0024
-0,0443
0,0543
MÉDIA
2,5383
248,25
-0,1362
5,4898
As variações ou somas dos quadrados são obtidos através de:
n
SQT ( z i Z ) 2 0,0543
i 1
SQE ̂ S TZ
n
onde: S TZ ( t i T )( z i Z ) -0,1362
i1
SQE ˆ S TZ 0,3674 ( 0,1362) 0,0500
SQR SQT SQE 0,0543 0,0500 0,0043
FONTE DE
VARIAÇÃO
SOMA DOS
QUADRADOS
G.L.
QUADRADO MÉDIO
Devido à regressão
0,0500
1
0,0500
Residuo
0,0043
6
0,0007
Total
0,0543
7
F
70,38
Tem-se que F0,05 ;1; 6 5,99 . Como F 70,38 F0,05 ;1; 6 5,99 , conclui-se que a regressão
de Y sobre X é significativa, ao nível de 5% de significância.
Finalmente, para analisar o grau de explicação do modelo, calcular-se-á o coeficiente de
determinação.
R2
SQE 0,0500
0,9214
SQT 0,0543
O modelo ajustado explica 92,14% das variações ocorridas na variável Y.
10.6 AJUSTE DE FUNÇÃO EXPONENCIAL
Apresenta-se, a seguir, o ajuste de uma função exponencial Y X , a um conjunto de
pontos ( xi , yi ) .
Graficamente, tem-se:
152
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Y
200
180
160
140
120
100
80
60
1
40
20
0
0
5
10
15
X
10.6.1 ESTIMATIVA DOS COEFICIENTES
O modelo estimado é:
ˆ ˆ X
Ŷ
Fazendo a transformação logarítmica:
ˆ X ln ˆ , que poderá ser escrita como sendo:
ln Ŷ ln
Ẑ Â B̂X
onde:
Ẑ ln Ŷ
 ln ˆ
B̂ ln ˆ
Assim, reduz-se ao problema de ajuste de uma reta aos pontos ( x i , z i ) , onde z i ln y i .
Os parâmetros A e B são estimados através dos dados amostrais e a reta estimada será da
forma:
Ẑ Â B̂ X
Os valores de  e B̂ serão obtidos a partir das equações apresentadas a seguir.
 Z B̂ X
n
B̂
( x i X) z i
i 1
n
2
( x i X)
i 1
Para obter a estimativa do modelo na sua forma original, faz-se a transformação inversa
dos coeficientes  e B̂ . Tem-se então que:
ˆ e Â
 ln ˆ , logo,
B̂ ln ˆ , logo, ˆ e B̂
E o modelo exponencial estimado será:
ˆ ˆ X
Ŷ
SACHIKO ARAKI LIRA
153
10.6.2 TESTES DE HIPÓTESES NA REGRESSÃO
10.6.2.1 ANÁLISE DA VARIÂNCIA
A estatística utilizada para o teste é a variável aleatória com distribuição F de Snedecor,
com 1 grau de liberdade no numerador e n-2 graus de liberdade no denominador. As hipóteses
são:
H 0 : A regressão de Y sobre X não é significativa
H1 : A regressão de Y sobre X é significativa
As variações ou somas dos quadrados são obtidos através de :
n
SQT Soma de quadrados totais ( z i Z ) 2
i1
SQE Soma de quadrados exp licados B̂ S XZ
n
onde: S XZ ( x i X )( z i Z )
i1
SQR Soma de quadrados residuais S ZZ B̂S XZ
n
onde: S ZZ ( z i Z ) 2
i1
Tem-se que: SQT SQE SQR .
Para a ANOVA, faz-se necessária elaborar a tabela abaixo:
FONTE DE
VARIAÇÃO
SOMA DOS
QUADRADOS
G.L.
QUADRADO MÉDIO
Explicada
SQE B̂ S XZ
1
QME B̂ S XZ
Residual
SQR S ZZ B̂ S XZ
n2
SQT S ZZ
n 1
Total
QMR
S ZZ B̂ S XZ
n2
F
F
QME
QMR
Se Fcalculado F; 1, n 2 ( tabelado ) , rejeita-se H0 e conclui-se que a regressão de Y sobre X
é significativa.
10.6.3. COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO OU EXPLICAÇÃO
O coeficiente de determinação, R 2 , que indica quantos por cento a variação explicada
pela regressão representa da variação total. Este varia entre 0 e 1. Quanto mais próximo de 1,
maior é a explicação pelo modelo da variação total. A expressão de R 2 é dada por:
R2
154
SQE
SQT
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
Exemplo:
1) Seja o processo de recobrimento de uma determinada peça com metal. O recobrimento é
feito com metal fundido.
X= quantidade utilizada de metal fundido (em gramas);
Y = porcentagem de recobrimento obtida (%).
QUANTIDADE DE METAL FUNDIDO UTILIZADA
E
PORCENTAGEM
DE
RECOBRIMENTO
OBTIDA
OBSERVAÇÃO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
yi
6,0
4,0
6,0
8,0
7,5
8,5
9,5
11,0
12,0
12,0
10
10
20
20
30
40
45
50
60
65
a) ajustar uma função exponencial aos dados;
b) testar a existência de regressão utilizando nível de significância de 5%;
c) calcular o coeficiente de determinação.
Solução:
a) ajuste da função exponencial
OBS.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
SOMA
MÉDIA
xi
yi
6,0
4,0
6,0
8,0
7,5
8,5
9,5
11,0
12,0
12,0
84,5
8,45
10
10
20
20
30
40
45
50
60
65
350
35
z i ln( y i )
2,3026
2,3026
2,9957
2,9957
3,4012
3,6889
3,8067
3,9120
4,0943
4,1744
( xi X )
-2,45
-4,45
-2,45
-0,45
-0,95
0,05
1,05
2,55
3,55
3,55
( x i X )2
6,00
19,80
6,00
0,20
0,90
0,00
1,10
6,50
12,60
12,60
65,73
( xi X ) zi
-5,6413
-10,2465
-7,3395
-1,3481
-3,2311
0,1844
3,9970
9,9757
14,5349
14,8191
15,7045
3,3674
a.1) Cálculo do coeficiente B̂ :
n
B̂
( x i X) z i
i 1
n
( x i X)
2
15,7045
0,2389
65,73
i 1
a.2) Cálculo do coeficiente Â
SACHIKO ARAKI LIRA
155
 Z B̂ X 3,3674 (0,2389 8,45) 1,3487
Assim, o modelo ajustado na forma linear será:
Ẑ Â B̂X 1,3487 0,2389 X
Mas tem-se que:
ˆ , logo,
 ln
ˆ , logo,
B̂ ln
ˆ e  e1,3487 3,8524
ˆ eB̂ e0,2389 1,2699
a.3) O modelo ajustado na forma exponencial é:
ˆ ˆ X 3,8524 1,2699 X
Ŷ
Assim, tem-se que:
OBS.
xi
yi
1
2
3
4
6,0
4,0
6,0
10
10
20
16,16
10,02
16,16
8,0
20
26,05
5
7,5
30
23,12
6
7
8
9
10
8,5
9,5
11,0
12,0
12,0
40
45
50
60
65
29,36
37,29
53,36
67,76
67,76
ŷ i
O gráfico a seguir apresenta o diagrama de dispersão e a função exponencial
ajustada:
DIAGRAMA DE DISPERSÃO E FUNÇÃO EXPONENCIAL
AJUSTADA
Recobrimento
(%)
80
70
60
50
40
30
20
10
0
2
4
6
8
10
12
14
Quantidade de metal fundido
b) Teste para verificar a significância da regressão
156
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
z i ln( y i )
OBS.
xi
yi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
SOMA
MÉDIA
6,0
4,0
6,0
8,0
7,5
8,5
9,5
11,0
12,0
12,0
84,5
8,45
10
10
20
20
30
40
45
50
60
65
350
35
2,3026
2,3026
2,9957
2,9957
3,4012
3,6889
3,8067
3,9120
4,0943
4,1744
( xi X )
( zi Z)2
(z i Z )
-2,45
-4,45
-2,45
-0,45
-0,95
0,05
1,05
2,55
3,55
3,55
-1,0648
-1,0648
-0,3717
-0,3717
0,0338
0,3215
0,4393
0,5446
0,7269
0,8070
( x i X ) (z i Z )
1,1338
1,1338
0,1381
0,1381
0,0011
0,1033
0,1930
0,2966
0,5284
0,6512
4,3177
2,6088
4,7384
0,9106
0,1673
-0,0321
0,0161
0,4612
1,3888
2,5807
2,8648
15,7045
3,3674
Calculando-se a soma dos quadrados tem-se:
n
SQT ( z i Z ) 2 4,3177
i 1
SQE B̂S XZ
n
onde: S XZ ( x i X )( z i Z ) 15,7045
i1
SQE B̂S XZ 0,2389 15,7045 3,7525
SQR SQT SQR 4,3177 3,7525 0,5652
Quadro da ANOVA
FONTE DE
VARIAÇÃO
Explicada
SOMA DE
QUADRADOS
3,7525
GRAUS DE
LIBERDADE
1
Residual
0,5652
8
Total
4,3177
9
QUADRADO
MÉDIO
3,7525
0,0706
F
53,11
Tem-se que F0,05;1; 8 5,32 . Como F 53,11 F0,05 ;1; 8 5,32 , conclui-se que a regressão
de Y sobre X é significativa, ao nível de 5% de significância.
c) Cálculo do coeficiente de determinação
Finalmente, para analisar o grau de explicação do modelo, calcular-se-á o coeficiente de
determinação.
R2
SQE 3,7525
0,8691
SQT 4,3177
O modelo ajustado explica 86,91% das variações ocorridas na variável Y.
SACHIKO ARAKI LIRA
157
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 9 – ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
1. A seguir relaciona os pesos (em centenas de kg) e as taxas de rendimento de combustível
em rodovia (km/litro), numa amostra de 10 carros de passeio novos.
Peso
12
13
14
14
16
18
19
22
24
26
Rendimento
16
14
14
13
11
12
09
09
08
06
Pede-se:
a) Calcular o coeficiente linear de Pearson e testar a significância ao nível de 5%.
b) Ajustar a função linear e testar a existência de regressão, adotando 0,05 . Qual é o
coeficiente de explicação da função linear?
c) Ajustar a função potencial e testar a existência de regressão, adotando 0,05 . Qual é o
coeficiente de explicação da função potencial?
d) Ajustar a função exponencial e testar a existência de regressão, adotando 0,05 . Qual é o
coeficiente de explicação da função exponencial?
e) Qual das três funções ajustadas é a melhor? Comente?
2) Um estudo foi desenvolvido para verificar o quanto o comprimento de um cabo da porta serial
de microcomputadores influencia na qualidade da transmissão de dados, medida através do
número de falhas em 100.000 lotes de dados transmitidos (taxa de falha). Os resultados foram:
Comp. do
Cabo (m)
Taxa de
Falha
8
8
9
9
10
10
11
11
12
2,2
2,1
3,0
2,9
4,1
4,5
6,2
5,9
9,8
Comp. do
Cabo (m)
Taxa de
Falha
12
13
13
14
14
15
8,7
12,5
13,1
19,3
17,4
28,2
Pede-se:
a) Calcular o coeficiente linear de Pearson e testar a significância ao nível de 5%.
b) Ajustar a função linear e testar a existência de regressão, adotando 0,05 . Qual é o
coeficiente de explicação da função linear?
c) Ajustar a função potencial e testar a existência de regressão, adotando 0,05 . Qual é o
coeficiente de explicação da função potencial?
d) Ajustar a função exponencial e testar a existência de regressão, adotando 0,05 . Qual é o
coeficiente de explicação da função exponencial?
e) Qual das três funções ajustadas é a melhor? Comente.
3) No processo de queima de massa cerâmica, avaliou-se o efeito da temperatura do forno (X)
sobre a resistência mecânica da massa queimada (Y). Foram realizados 6 ensaios com níveis
de temperatura equidistantes, os quais designaremos por 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Os valores obtidos de
resistência mecânica (MPa) foram: 41, 42, 50, 53, 54, 60, respectivamente.
Pede-se:
158
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
a) Ajustar a função linear e testar a existência de regressão, adotando 0,05 . Qual é o
coeficiente de explicação da função linear?
b) Ajustar a função potencial e testar a existência de regressão, adotando 0,05 . Qual é o
coeficiente de explicação da função potencial?
c) Ajustar a função exponencial e testar a existência de regressão, adotando 0,05 . Qual é o
coeficiente de explicação da função exponencial?
d) Qual das três funções ajustadas é a melhor? Comente.
SACHIKO ARAKI LIRA
159
ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA
11 INTRODUÇÃO
O modelo estatístico de uma regressão linear múltipla, sendo Y a variável dependente e,
as k ( k 1) variáveis independentes X1 , X 2 , X k , será dado por:
Y 0 1X1 2 X2 k Xk
Na forma matricial:
Y X
Y1 1 X11
1 X
21
Y2
Yn 1 X n1
X12
X 22
Xn 2
... X1 k 0 1
... X 2 k 1 2
... X n k k n
A estimativa dessa equação de regressão será dada pelo modelo a seguir:
Ŷ b0 b1X1 b 2 X2 bk Xk
As estimativas b 0 , b1 , b 2 ,, b k dos coeficientes , 1 , 2 ,, k , podem ser calculadas
pelo método dos mínimos quadrados, partindo de hipóteses análogas àquelas adotadas para
regressão linear simples.
Adotando-se a forma matricial, as estimativas dos coeficientes, são obtidas através de:
b ( XX) 1 X Y
Onde:
b 0
b
b 1 ;
b k
1 X 11
Y1
1 X 21
Y
Y 2 ; X
1 X n 1
Yn
X 12
X 22
Xn 2
... X 1 k
... X 2 k
... X n k
11.1 REGRESSÃO LINEAR COM 2 VARIÁVEIS INDEPENDENTES
O modelo de regressão com 2 variáveis independentes é dado por:
Y 0 1 X 1 2 X 2
A estimativa dessa equação é expressa por:
160
ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA
Ŷ b0 b1X1 b 2 X 2
11.1.1 ESTIMATIVAS DOS COEFICIENTES DE REGRESSÃO
As estimativas dos coeficientes o , 1 e 2 podem ser obtidas através de:
b ( XX) 1 X Y
Y1
1 X11
Y
1 X 21
Y 2 ; X
Yn
1 X n1
b 0
Onde: b b1 ;
b 2
X12
X 22
X n2
1.1.2 TESTE PARA VERIFICAR A SIGNIFICÂNCIA DA REGRESSÃO
O teste para verificar a significância da regressão é feito através da estatística F,
utilizando o quadro da ANOVA.
FONTE DE
VARIAÇÃO
SOMA DOS QUADRADOS
G.L.
Explicada
SQE b1S YX1 b 2S YX2
2
QME
SQE
2
Residual
SQR S YY b1S YX1 b 2S YX2
n3
QMR
SQR
n2
SQT S YY
n 1
Total
onde: S YY
n
yi
n
i1
2
yi
n
i1
QUADRADO MÉDIO
F
F
QME
QMR
2
, sendo a variância de Y.
n n
y i x 1i
n
i1 i1
S YX1 ( y i x 1i )
, que é a covariância entre Y e X 1
n
i1
n n
y i x 2i
n
i1 i1
S YX 2 ( y i x 2 i )
, que é a covariância entre Y e X2
n
i1
Se Fcalc F; 2; n3 , conclui-se que a regressão de Y sobre X1 e X2 é significativa.
11.1.3 CÁLCULO DO COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO OU EXPLICAÇÃO
O coeficiente de determinação R 2 , indica quantos por cento a variação explicada pela
regressão representa da variação total. Este varia entre 0 e 1. Quanto mais próximo de 1, maior
é a explicação pelo modelo da variação total.
SACHIKO ARAKI LIRA
161
A expressão de R 2 é dada por:
R2
b1S YX1 b 2 S YX2 SQE
S YY
SQT
Exemplos:
1) Um estudo foi realizado sobre o desgaste de um mancal, Y, e sua relação com
X1=viscosidade do óleo e X2=carga. Os seguintes dados foram obtidos:
yi
x 1i
x 2i
243
1,6
851
230
15,5
816
172
22
1058
91
43
1201
58
33
1357
125
40
1115
190
35
918
256
13
834
256
11
845
240
8,9
820
Ajustar um modelo de regressão linear múltipla, testar a significância da regressão ao
nível de 5% de significância e calcular o coeficiente de determinação.
Solução:
243
230
172
91
58
Y
125
190
256
256
240
1
1
1
1
1
X
1
1
1
1
1
1,6
15,5
22,0
43,0
33,0
40,0
35,0
13,0
11,0
8,9
851
816
1058
1021
1357
1115
918
834
845
820
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
X 1,6 15,5 22,0 43,0 33,0 40,0 35,0 13,0 11,0 8,9
851 816 1058 1021 1357 1115 918 834 845 820
162
ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA
223
9.815
10
X X 223
6.859,02 237.874,6
9.815 237.874,6 9.961.201
( X X)
1
4,5640 0,0441 - 0,0055
0,0441 0,0013 - 0,0001
- 0,0055 - 0,0001 0,0000
1,0123
0,5086
0,3594
0,4056
- 0,0883 0,7187 0,3378 0,2057 1,5122 0,1394
( XX)1X 0,0167 0,0036 0,0060 0,0102 0,0141 0,0127
0,0209 0,0010 0,0043 0,0051
0,0006 0,0007 0,0006
0,0001
0,0020 0,0003 0,0014 0,0004 0,0002 0,0002
b ( XX)
1
508,6320
X Y - 1,2114
- 0,3011
O modelo estimado é: Ŷ 508,6320 1,2114X1 0,3011X 2
OBS.
S YY
n
y i
n
i1
2
yi
n
i1
yi
x 1i
x 2i
y i x1i
y i x 2i
y i2
1
243
1,6
851
388,8
206.793
59.049
2
230
15,5
816
3.565,0
187.680
52.900
3
172
22,0
1058
3.784,0
181.976
29.584
4
91
43,0
1201
3.913,0
109.291
8.281
5
58
33,0
1357
1.914,0
78.706
3.364
6
125
40,0
1115
5.000,0
139.375
15.625
7
190
35,0
918
6.650,0
174.420
36.100
8
256
13,0
834
3.328,0
213.504
65.536
9
256
11,0
845
2.816,0
216.320
65.536
10
240
8,9
820
2.136,0
196.800
57.600
SOMA
1861 223,0 9.815 33.494,8 1.704.865
393.575
MÉDIA
186,1
22,3 981,5
2
393.575 -
1.8612
47.242,9
10
SQT S YY 47.242,9
n n
y i x 1i
n
1.861 223
i1 i1
S YX1 ( y i x 1i )
33.494,8 -8.005,5
n
10
i1
S YX2
n n
y i x 2 i
n
1.861 9.815
i1 i1
(y i x 2i )
1.704.865 -121.706,5
n
5
i1
SQE b1S YX 1 b 2 S YX 2 1,2114 (-8.005,5 ) 0,3011 -121.706,5 46.343,689 9
SQR S YY b1S YX 1 b 2 S YX 2 47 .242,9 46 .343,6899 899,2102
SACHIKO ARAKI LIRA
163
ANOVA para verificar a significância da regressão:
FONTE DE
VARIAÇÃO
SOMA DOS QUADRADOS
G.L.
QUADRADO
MÉDIO
Explicada
SQE 46.343,6899
2
QME 2.3171,84
Residual
SQR 899,2102
7
QMR 128,4586
Total
SQT 47.242,9
9
F
F 180,38
Tem-se que: F0,05 ; 2,7 4,74
Conclusão: Como F calculado é igual a 180,38 e é maior que F0,05 ; 2,7 4,74 , conclui-se
que a regressão é significativa, ao nível de 5% de significância.
Cálculo de coeficiente de determinação:
R2
b1S YX1 b 2 S YX2 SQE 46.343,6899
0,9810
S YY
SQT 47.242,9000
O modelo ajustado explica 98,10% das variações ocorridas em Y.
2) Uma indústria fabrica um produto em dois tamanhos (pequeno e grande). Conhecendo-se o
consumo total de matéria-prima (Y), em kg, durante 5 meses, e as respectivas produções
mensais do tipo pequeno (X1) e do tipo grande (X2), pede-se:
a) ajustar um modelo de regressão linear múltipla;
b) verificar a significância da regressão, ao nível de significância de 10%;
c) calcular o coeficiente de determinação.
yi
x 1i
x 2i
145
151
70
210
221
91
193
215
92
229
247
122
195
243
79
Solução:
a) Cálculo das estimativas dos coeficientes
Tem-se que: b ( XX) 1 X Y
145
210
Y 193 ;
229
195
164
1
1
X 1
1
1
151 70
221 91
215 92 ;
247 122
243 79
1
1
1
1
1
X 151 221 215 247 243
70 91 92 122 79
ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA
1077
454
5
X X 1077 237925 99792
454 99792 42770
( XX)
1
( XX)
;
1
8,3935 - 0,0292 - 0,0209
- 0,0292 0,0003 - 0,0004
- 0,0209 - 0,0004 0,00115
0,0322
0,1866 1,3758 0,3600
2,5170
X 0,0112 0,0016 0,0006 0,0026 0,0128
0,0010 0,0019 0,0015
0,0234 0,0242
b ( XX)
1
22,4821
X Y 0,4957
0,7175
O modelo estimado é: Ŷ 22,4821 0,4957X1 0,7175X 2
x 1i
x 2i
1 145
151
70
2 210
221
3 193
y i x 2i
y i2
21.895
10.150
21.025
91
46.410
19.110
44.100
215
92
41.495
17.756
37.249
4 229
247
122
56.563
27.938
52.441
5 195
243
79
47.385
15.405
38.025
1077 454
213.748
90.359
192.840
yi
OBS.
SOMA
972
y i x1i
MÉDIA 194,4 215,4 90,8
Cálculo das somas de quadrados:
2
S YY
n
y i
2
n
i1
192.840 - 972 3.883,2
2
yi
n
5
i1
SQT S YY 3.883,2
n n
y i x 1i
972 1077
i1 i1
( y i x 1i )
213.748 4.379,2
n
5
i1
n
S YX1
S YX2
n n
y i x 2 i
n
972 454
i1 i1
(y i x 2i )
90.359 2.101,4
n
5
i1
SQE b1S YX 1 b 2 S YX 2 0,4957 4.379 ,2 0,7175 2.101,4 3.678,5239
SQR S YY b1S YX 1 b 2 S YX 2 3833 ,2 3678 ,5239 204,6761
OU SQR SQT SQE 3.883,2000 3.678,5239 204,6761
SACHIKO ARAKI LIRA
165
b) ANOVA para verificar a significância da regressão:
FONTE DE
VARIAÇÃO
SOMA DOS QUADRADOS
G.L.
QUADRADO
MÉDIO
Explicada
SQE 3.678,5239
2
QME 1839,262
Residual
SQR 204,6761
2
QMR 102,338
SQT 3.833,2000
4
Total
F
F 17,97
Tem-se que : F0,10 ; 2,2
Conclusão: Como F calculado é igual a 17,97 e é maior que F0,10 ; 2,2 9,00 , conclui-se que a
regressão é significativa, ao nível de 10% de significância.
c) Cálculo de coeficiente de determinação
R2
b1S YX1 b 2S YX2 SQE 3.678,5239
0,9473
S YY
SQT
3.833,2
O modelo ajustado explica 94,73% das variações ocorridas em Y.
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 10 – ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA
1) Uma investigação sobre um processo de fundição gerou os dados a seguir sobre X1 =
temperatura da fornalha, X 2 = tempo de moldagem da matriz e Y = diferença de temperatura na
superfície de moldagem da matriz.
X1
1.250
1.300
1.350
1.250
1.300
1.250
1.300
1.350
1.350
X2
6
7
6
7
6
8
8
7
8
Y
80
95
101
85
92
87
96
106
108
Ajustar o modelo de regressão linear múltipla e testar a significância da regressão, adotando
0,05 . Qual é o coeficiente de explicação do modelo?
2) Um estudo realizado para investigar a relação entre a variável resposta relativa a quedas de
pressão em uma coluna de bolhas de uma chapa térmica e os previsores X1 = velocidade do
fluído superficial e X 2 = viscosidade do líquido, gerou os dados a seguir.
OBS.
VELOCIDADE
VISCOSIDADE
RESPOSTA
1
2,14
10,00
28,9
2
4,14
10,00
26,1
3
8,15
10,00
22,8
4
2,13
2,63
24,2
5
4,14
2,63
15,7
6
8,15
2,63
18,3
Continua
166
ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA
Conclusão
7
5,60
1,25
18,1
8
4,30
2,63
19,1
9
4,30
2,63
15,4
10
5,60
10,10
12,0
11
5,60
10,10
19,8
12
4,30
10,10
18,6
13
2,40
10,10
13,2
14
5,60
10,10
22,8
15
2,14
112,00
41,8
16
4,14
112,00
48,6
17
5,60
10,10
19,2
18
5,60
10,10
18,4
19
5,60
10,10
15,0
Ajustar o modelo de regressão linear múltipla e testar a significância da regressão, adotando
0,01. Qual é o coeficiente de explicação do modelo?
SACHIKO ARAKI LIRA
167
BIBLIOGRAFIA
1. AMADEU, M. S. U. S. et. al. Manual de normalização de documentos científicos de acordo
com as normas da ABNT. Curitiba: Ed. UFPR, 2015.
2. BARBETTA, P. A.; REIS, M. M.; BORNIA, A. C. Estatística para cursos de engenharia e
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3. BUSSAB, W.O.; MORETTIN, P. A. Estatística Básica. 5ª Edição, Editora Saraiva, 2002.
4. COSTA NETO, P. L. O. Estatística. 2 ed. rev., São Paulo: Edgard Blücher, 1994.
5. DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. São Paulo: Pioneira
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6. MARQUES, J. M.; MARQUES, M. A. M. Estatística Básica para os Cursos de Engenharia.
Curitiba: Domínio do Saber. 2009.
7. MEYER, P. L. Probabilidade. Aplicações à Estatística. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e
Científicos, 1978.
8. MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para
Engenheiros. 4 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
9. RYAN, T. Estatística Moderna para Engenharia. Rio de Janeiro: Elsevier, 2009.
168
BIBLIOGRAFIA
TABELAS
TABELA A1.1 – ÁREAS SOB A CURVA NORMAL
Z
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
-0,0
0,5000
0,4960
0,4920
0,4880
0,4840
0,4801
0,4761
0,4721
0,4681
0,4641
-0,1
0,4602
0,4562
0,4522
0,4483
0,4443
0,4404
0,4364
0,4325
0,4286
0,4247
-0,2
0,4207
0,4168
0,4129
0,4090
0,4052
0,4013
0,3974
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-0,3
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-0,4
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-0,6
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-0,8
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0,2005
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-0,9
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-2,7
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-2,8
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0,0021
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-2,9
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0,0018
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0,0016
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0,0015
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0,0014
-3,0
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0,0013
0,0013
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0,0012
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0,0011
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-3,1
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0,0009
0,0009
0,0008
0,0008
0,0008
0,0008
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0,0007
-3,2
0,0007
0,0007
0,0006
0,0006
0,0006
0,0006
0,0006
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0,0005
0,0005
-3,3
0,0005
0,0005
0,0005
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0003
-3,4
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0002
-3,5
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
-3,6
0,0002
0,0002
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
-3,7
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
-3,8
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
-3,9
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
SACHIKO ARAKI LIRA
169
TABELA A1.2 – ÁREAS SOB A CURVA NORMAL
170
Z
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0
0,5000
0,5040
0,5080
0,5120
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0,1
0,5398
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0,9
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1,1
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0,8749
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1,2
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1,3
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0,9099
0,9115
0,9131
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1,4
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0,9495
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1,7
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0,9564
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0,9582
0,9591
0,9599
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0,9625
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1,8
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1,9
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0,9719
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0,9750
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0,9767
2,0
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2,1
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0,9850
0,9854
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2,2
0,9861
0,9864
0,9868
0,9871
0,9875
0,9878
0,9881
0,9884
0,9887
0,9890
2,3
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0,9898
0,9901
0,9904
0,9906
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0,9913
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0,9925
0,9927
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0,9931
0,9932
0,9934
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2,5
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0,9941
0,9943
0,9945
0,9946
0,9948
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0,9951
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2,6
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0,9956
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0,9959
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0,9976
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0,9977
0,9978
0,9979
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2,9
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0,9982
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0,9984
0,9985
0,9985
0,9986
0,9986
3,0
0,9987
0,9987
0,9987
0,9988
0,9988
0,9989
0,9989
0,9989
0,9990
0,9990
3,1
0,9990
0,9991
0,9991
0,9991
0,9992
0,9992
0,9992
0,9992
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0,9993
3,2
0,9993
0,9993
0,9994
0,9994
0,9994
0,9994
0,9994
0,9995
0,9995
0,9995
3,3
0,9995
0,9995
0,9995
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9997
3,4
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9998
3,5
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
3,6
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
3,7
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
3,8
3,9
0,9999
1,0000
0,9999
1,0000
0,9999
1,0000
0,9999
1,0000
0,9999
1,0000
0,9999
1,0000
0,9999
1,0000
0,9999
1,0000
0,9999
1,0000
0,9999
1,0000
TABELAS
TABELA A2 - DISTRIBUIÇÃO ‘ t ’ DE STUDENT
TESTE UNILATERAL
P
0,550
0,600
0,650
0,700
0,750
0,800
0,850
0,900
0,950
0,975
0,990
0,995
1
0,158
0,325
0,510
0,727
1,000
1,376
1,963
3,078
6,314
12,706
31,821
63,657
2
0,142
0,289
0,445
0,617
0,817
1,061
1,386
1,886
2,920
4,303
6,965
9,925
3
0,137
0,277
0,424
0,584
0,765
0,979
1,250
1,638
2,353
3,182
4,541
5,841
4
0,134
0,271
0,414
0,569
0,741
0,941
1,190
1,533
2,132
2,776
3,747
4,604
5
0,132
0,267
0,408
0,559
0,727
0,920
1,156
1,476
2,015
2,571
3,365
4,032
6
0,131
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0,553
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1,134
1,440
1,943
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3,143
3,707
7
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0,263
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0,549
0,711
0,896
1,119
1,415
1,895
2,365
2,998
3,500
8
0,130
0,262
0,400
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1,108
1,397
1,860
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3,355
9
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0,261
0,398
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1,100
1,383
1,833
2,262
2,821
3,250
10
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0,260
0,397
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1,093
1,372
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2,228
2,764
3,169
11
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0,260
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1,088
1,363
1,796
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2,718
3,106
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3,055
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1,080
1,350
1,771
2,160
2,650
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14
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1,076
1,345
1,761
2,145
2,625
2,977
15
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0,258
0,393
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0,866
1,074
1,341
1,753
2,131
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17
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2,567
2,921
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0,257
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1,729
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0,257
0,391
0,533
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0,257
0,391
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0,390
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1,058
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0,256
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1,055
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2,390
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1,662
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1,984
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1,286
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1,968
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2,592
400
0,126
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2,588
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1,036
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P
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0,800
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0,980
0,990
TESTE BILATERAL
SACHIKO ARAKI LIRA
171
2
TABELA A3 - DISTRIBUIÇÃO DE
P
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2
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11
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64,278
71,145
88,130
96,578
101,880
106,629
112,329
116,321
85
55,170
57,634
61,389
64,749
68,777
75,881
93,394
102,079
107,522
112,393
118,236
122,325
90
59,196
61,754
65,647
69,126
73,291
80,625
98,650
107,565
113,145
118,136
124,116
128,299
95
63,250
65,898
69,925
73,520
77,818
85,376
103,899
113,038
118,752
123,858
129,973
134,247
100
67,328
70,065
74,222
77,930
82,358
90,133
109,141
118,498
124,342
129,561
135,807
140,170
110
75,550
78,458
82,867
86,792
91,471
99,666
119,608
129,385
135,480
140,917
147,414
151,949
172
0,995
TABELAS
TABELA A4 - DISTRIBUIÇÃO ‘F’ DE SNEDECOR
Nível de significância de 1%
1
2
6
7
8
12
24
5.763,65 5.858,99
5.928,36
5.981,07
6.106,32
6.234,63
6.365,83
99,36
99,37
99,42
99,46
99,50
27,91
27,67
27,49
27,05
26,60
26,13
15,52
15,21
14,98
14,80
14,37
13,93
13,46
11,39
10,97
10,67
10,46
10,29
9,89
9,47
9,02
9,15
8,75
8,47
8,26
8,10
7,72
7,31
6,88
8,45
7,85
7,46
7,19
6,99
6,84
6,47
6,07
5,65
8,65
7,59
7,01
6,63
6,37
6,18
6,03
5,67
5,28
4,86
1
2
3
4
5
1
4.052,18
4.999,50
5.403,35
5.624,58
2
98,50
99,00
99,17
99,25
99,30
99,33
3
34,12
30,82
29,46
28,71
28,24
4
21,20
18,00
16,69
15,98
5
16,26
13,27
12,06
6
13,75
10,92
9,78
7
12,25
9,55
8
11,26
9
10,56
8,02
6,99
6,42
6,06
5,80
5,61
5,47
5,11
4,73
4,31
10
10,04
7,56
6,55
5,99
5,64
5,39
5,20
5,06
4,71
4,33
3,91
11
9,65
7,21
6,22
5,67
5,32
5,07
4,89
4,74
4,40
4,02
3,60
12
9,33
6,93
5,95
5,41
5,06
4,82
4,64
4,50
4,16
3,78
3,36
13
9,07
6,70
5,74
5,21
4,86
4,62
4,44
4,30
3,96
3,59
3,17
14
8,86
6,51
5,56
5,04
4,70
4,46
4,28
4,14
3,80
3,43
3,00
15
8,68
6,36
5,42
4,89
4,56
4,32
4,14
4,00
3,67
3,29
2,87
16
8,53
6,23
5,29
4,77
4,44
4,20
4,03
3,89
3,55
3,18
2,75
17
8,40
6,11
5,19
4,67
4,34
4,10
3,93
3,79
3,46
3,08
2,65
18
8,29
6,01
5,09
4,58
4,25
4,01
3,84
3,71
3,37
3,00
2,57
19
8,18
5,93
5,01
4,50
4,17
3,94
3,77
3,63
3,30
2,92
2,49
20
8,10
5,85
4,94
4,43
4,10
3,87
3,70
3,56
3,23
2,86
2,42
21
8,02
5,78
4,87
4,37
4,04
3,81
3,64
3,51
3,17
2,80
2,36
22
7,95
5,72
4,82
4,31
3,99
3,76
3,59
3,45
3,12
2,75
2,31
23
7,88
5,66
4,76
4,26
3,94
3,71
3,54
3,41
3,07
2,70
2,26
24
7,82
5,61
4,72
4,22
3,90
3,67
3,50
3,36
3,03
2,66
2,21
25
7,77
5,57
4,68
4,18
3,86
3,63
3,46
3,32
2,99
2,62
2,17
26
7,72
5,53
4,64
4,14
3,82
3,59
3,42
3,29
2,96
2,58
2,13
27
7,68
5,49
4,60
4,11
3,78
3,56
3,39
3,26
2,93
2,55
2,10
28
7,64
5,45
4,57
4,07
3,75
3,53
3,36
3,23
2,90
2,52
2,06
29
7,60
5,42
4,54
4,04
3,73
3,50
3,33
3,20
2,87
2,49
2,03
30
7,56
5,39
4,51
4,02
3,70
3,47
3,30
3,17
2,84
2,47
2,01
40
7,31
5,18
4,31
3,83
3,51
3,29
3,12
2,99
2,66
2,29
1,80
60
7,08
4,98
4,13
3,65
3,34
3,12
2,95
2,82
2,50
2,12
1,60
120
6,85
4,79
3,95
3,48
3,17
2,96
2,79
2,66
2,34
1,95
1,38
6,63
4,61
3,78
3,32
3,02
2,80
2,64
2,51
2,18
1,79
1,01
SACHIKO ARAKI LIRA
173
TABELA A5 - DISTRIBUIÇÃO ‘F’ DE SNEDECOR
Nível de significância de 5%
1
GRAUS DE LIBERDADE DO NUMERADOR
1
2
3
4
5
6
7
8
12
24
1
161,45
199,50
215,71
224,58
230,16
233,99
236,77
238,88
243,91
249,05
254,31
2
18,51
19,00
19,16
19,25
19,30
19,33
19,35
19,37
19,41
19,45
19,50
3
10,13
9,55
9,28
9,12
9,01
8,94
8,89
8,85
8,74
8,64
8,53
4
7,71
6,94
6,59
6,39
6,26
6,16
6,09
6,04
5,91
5,77
5,63
5
6,61
5,79
5,41
5,19
5,05
4,95
4,88
4,82
4,68
4,53
4,37
6
5,99
5,14
4,76
4,53
4,39
4,28
4,21
4,15
4,00
3,84
3,67
7
5,59
4,74
4,35
4,12
3,97
3,87
3,79
3,73
3,57
3,41
3,23
8
5,32
4,46
4,07
3,84
3,69
3,58
3,50
3,44
3,28
3,12
2,93
9
5,12
4,26
3,86
3,63
3,48
3,37
3,29
3,23
3,07
2,90
2,71
10
4,96
4,10
3,71
3,48
3,33
3,22
3,14
3,07
2,91
2,74
2,54
11
4,84
3,98
3,59
3,36
3,20
3,09
3,01
2,95
2,79
2,61
2,40
12
4,75
3,89
3,49
3,26
3,11
3,00
2,91
2,85
2,69
2,51
2,30
13
4,67
3,81
3,41
3,18
3,03
2,92
2,83
2,77
2,60
2,42
2,21
14
4,60
3,74
3,34
3,11
2,96
2,85
2,76
2,70
2,53
2,35
2,13
15
4,54
3,68
3,29
3,06
2,90
2,79
2,71
2,64
2,48
2,29
2,07
16
4,49
3,63
3,24
3,01
2,85
2,74
2,66
2,59
2,42
2,24
2,01
17
4,45
3,59
3,20
2,96
2,81
2,70
2,61
2,55
2,38
2,19
1,96
18
4,41
3,55
3,16
2,93
2,77
2,66
2,58
2,51
2,34
2,15
1,92
19
4,38
3,52
3,13
2,90
2,74
2,63
2,54
2,48
2,31
2,11
1,88
20
4,35
3,49
3,10
2,87
2,71
2,60
2,51
2,45
2,28
2,08
1,84
21
4,32
3,47
3,07
2,84
2,68
2,57
2,49
2,42
2,25
2,05
1,81
22
4,30
3,44
3,05
2,82
2,66
2,55
2,46
2,40
2,23
2,03
1,78
23
4,28
3,42
3,03
2,80
2,64
2,53
2,44
2,37
2,20
2,01
1,76
24
4,26
3,40
3,01
2,78
2,62
2,51
2,42
2,36
2,18
1,98
1,73
25
4,24
3,39
2,99
2,76
2,60
2,49
2,40
2,34
2,16
1,96
1,71
26
4,23
3,37
2,98
2,74
2,59
2,47
2,39
2,32
2,15
1,95
1,69
27
4,21
3,35
2,96
2,73
2,57
2,46
2,37
2,31
2,13
1,93
1,67
28
4,20
3,34
2,95
2,71
2,56
2,45
2,36
2,29
2,12
1,91
1,65
29
4,18
3,33
2,93
2,70
2,55
2,43
2,35
2,28
2,10
1,90
1,64
30
4,17
3,32
2,92
2,69
2,53
2,42
2,33
2,27
2,09
1,89
1,62
40
4,08
3,23
2,84
2,61
2,45
2,34
2,25
2,18
2,00
1,79
1,51
60
4,00
3,15
2,76
2,53
2,37
2,25
2,17
2,10
1,92
1,70
1,39
120
3,92
3,07
2,68
2,45
2,29
2,18
2,09
2,02
1,83
1,61
1,25
3,84
3,00
2,61
2,37
2,21
2,10
2,01
1,94
1,75
1,52
1,01
2
174
TABELAS
TABELA A6 - DISTRIBUIÇÃO ‘F’ DE SNEDECOR
Nível de significância de 10%
1
GRAUS DE LIBERDADE DO NUMERADOR
1
2
3
4
5
6
7
8
12
24
1
39,86
49,50
53,59
55,83
57,24
58,20
58,91
59,44
60,71
62,00
63,33
2
8,53
9,00
9,16
9,24
9,29
9,33
9,35
9,37
9,41
9,45
9,49
3
5,54
5,46
5,39
5,34
5,31
5,28
5,27
5,25
5,22
5,18
5,13
4
4,54
4,32
4,19
4,11
4,05
4,01
3,98
3,95
3,90
3,83
3,76
5
4,06
3,78
3,62
3,52
3,45
3,40
3,37
3,34
3,27
3,19
3,11
6
3,78
3,46
3,29
3,18
3,11
3,05
3,01
2,98
2,90
2,82
2,72
7
3,59
3,26
3,07
2,96
2,88
2,83
2,78
2,75
2,67
2,58
2,47
8
3,46
3,11
2,92
2,81
2,73
2,67
2,62
2,59
2,50
2,40
2,29
9
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2,81
2,69
2,61
2,55
2,51
2,47
2,38
2,28
2,16
10
3,29
2,92
2,73
2,61
2,52
2,46
2,41
2,38
2,28
2,18
2,06
11
3,23
2,86
2,66
2,54
2,45
2,39
2,34
2,30
2,21
2,10
1,97
12
3,18
2,81
2,61
2,48
2,39
2,33
2,28
2,24
2,15
2,04
1,90
13
3,14
2,76
2,56
2,43
2,35
2,28
2,23
2,20
2,10
1,98
1,85
14
3,10
2,73
2,52
2,39
2,31
2,24
2,19
2,15
2,05
1,94
1,80
15
3,07
2,70
2,49
2,36
2,27
2,21
2,16
2,12
2,02
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1,76
16
3,05
2,67
2,46
2,33
2,24
2,18
2,13
2,09
1,99
1,87
1,72
17
3,03
2,64
2,44
2,31
2,22
2,15
2,10
2,06
1,96
1,84
1,69
18
3,01
2,62
2,42
2,29
2,20
2,13
2,08
2,04
1,93
1,81
1,66
19
2,99
2,61
2,40
2,27
2,18
2,11
2,06
2,02
1,91
1,79
1,63
20
2,97
2,59
2,38
2,25
2,16
2,09
2,04
2,00
1,89
1,77
1,61
21
2,96
2,57
2,36
2,23
2,14
2,08
2,02
1,98
1,88
1,75
1,59
22
2,95
2,56
2,35
2,22
2,13
2,06
2,01
1,97
1,86
1,73
1,57
23
2,94
2,55
2,34
2,21
2,11
2,05
1,99
1,95
1,85
1,72
1,55
24
2,93
2,54
2,33
2,19
2,10
2,04
1,98
1,94
1,83
1,70
1,53
25
2,92
2,53
2,32
2,18
2,09
2,02
1,97
1,93
1,82
1,69
1,52
26
2,91
2,52
2,31
2,17
2,08
2,01
1,96
1,92
1,81
1,68
1,50
27
2,90
2,51
2,30
2,17
2,07
2,00
1,95
1,91
1,80
1,67
1,49
28
2,89
2,50
2,29
2,16
2,06
2,00
1,94
1,90
1,79
1,66
1,48
29
2,89
2,50
2,28
2,15
2,06
1,99
1,93
1,89
1,78
1,65
1,47
30
2,88
2,49
2,28
2,14
2,05
1,98
1,93
1,88
1,77
1,64
1,46
40
2,84
2,44
2,23
2,09
2,00
1,93
1,87
1,83
1,71
1,57
1,38
60
2,79
2,39
2,18
2,04
1,95
1,87
1,82
1,77
1,66
1,51
1,29
120
2,75
2,35
2,13
1,99
1,90
1,82
1,77
1,72
1,60
1,45
1,19
2,71
2,30
2,08
1,94
1,85
1,77
1,72
1,67
1,55
1,38
1,01
2
SACHIKO ARAKI LIRA
175
TABELA A7 - VALORES CRÍTICOS ( dc ) PARA TESTE DE LILLIERFORS
n
5%
1%
4
0,381
0,417
5
0,337
0,405
6
0,319
0,364
7
0,300
0,348
8
0,285
0,331
9
0,271
0,311
10
0,258
0,294
11
0,249
0,284
12
0,242
0,275
13
0,234
0,268
14
0,227
0,261
15
0,220
0,257
16
0,213
0,250
17
0,206
0,245
18
0,200
0,239
19
0,179
0,235
20
0,190
0,231
25
0,173
0,200
30
0,161
0,187
n 30
176
dc
0,886
n
dc
1,031
n
TABELAS
SOLUÇÕES DAS LISTAS DE EXERCÍCIOS
LISTA DE EXERCÍCIOS NO.
1
2. a) k n 30 5,48 6
A t X máx X min 81,3 29,8 51,5
h9
3. a) k n 40 6,32 7
A t X máx X min 59 31 28
h4
4.
X 74,004 ; Me 74,0035 ; Mo 74,005 ; DM 0,0030 ; S 0,0047 ; CV 0,0063%
5. (agrupando os dados em classes)
X 15,58 ;
S 17,36 ;
CV 111,40% ;
M e 9,01 ;
Q1 4,60 ;
Q 3 27,00
6. X 7,1838 ;
S 0,0207 ;
CV 0,29 % ;
M e 7,185 ;
Q1 7,18 ;
Q 3 7,20
7. X 2,17 ;
S 0,66 ;
CV 30,18 ;
M e 2,13 ;
Q1 1,82 ;
Q 3 2,60
8. X 345,57 ;
S2 115,62 ;
S 10,75 ;
CV 3,11% ;
Mo a mod al
9. X 44,5 ;
S 5,71;
CV 12,84 ;
Me 44,71 ;
a 3 0,18 ;
10. X 90,85 ;
S 2,98 ;
CV 3,28% ;
Me 90,68 ;
a 3 0,3684 ; a 4 2,8400
11. X 1,01 ;
S 0,15 ;
CV 15,16 % ;
M e 0,99 ;
a 3 0,5820 ; a 4 3,0660
12. a) Q1 39,75 ; Q 2 44,00 ; Q3 48,25 ;
Não existem valores outliers.
IQ 8,5 ;
Q3 90,90 ;
13. a) Q1 89,4 ; Q2 90,00 ;
IQ 1,5 ;
Existem dois valores outliers: 80,00 e 94,17
LISTA DE EXERCÍCIOS NO.
a 4 2,33
LI 27,00 ; LS 61,00
LI 87,15 ; LS 93,15
2
1. a) P(p, p, p, p) 0,6516 ou 65,16%
b) P(d, d, d, d) 0,0001 ou 0,01%
2. P( x 2 b) 0,4945 ou 49,45%
3. a) P( b e b ) 0,5526 ou 55,26%
b) P( d e d ) 0,0526 ou 5,26%
c) P(1 peça boa e 1 peça defeituosa ) P(b e d) P( d e b) 0,3948 ou 39,48%
4. P (apenas um funcione ) 0,1400 ou 14,00%
5. P( x 1) 0,4320 ou 43,20%
6. a) P( X 3) 0,6976 ou 69,76%
b) P( X 2) 1 0,0428 0,9572
SACHIKO ARAKI LIRA
177
7. P(não haja corrente ) 0,3880 ou 38,30%
8. R 0,8664 ou 86,64%
9. R 0,9975 ou
10. P ( A 1 | Q) 0,5882 ou 58,82%
11. a) P( A / qualidadea ceitável ) 0,3821 38,21 %
b) P(qualidade aceitável | C) 0,9167 ou 91,67%
c) P(B | qualidade m arg inal ) 0,2500 ou 25,00%
12. P(B) 0,0235 2,35 %
LISTA DE EXERCÍCIOS NO.
3
1. E( X) 12,5
V( X) 1,85
2. a) E( X) 5,4
b) V( X) 2,44
c) 2,44 1,562
3. a) P( X 5) 0,37
b) média=4 funcionarão mais de 3 meses
20 4 16 lâmpadas deverão ser substituídas
4. a) P( X 5) 0,2373 ou 23,73%
b) 3,75
4. P( X 0) 0,6690 ou 66,90%
6. a) P( X 3) 0,1404 14,04%
b) P( X 3) 0,1247 12,47 %
7. a) P( X 2) 0,1117 11,17 %
b) P( X 49 ) 4,51 x10 48
8. a) P( x 9) 0,4068 40,68 %
b) P( x 2) 0,0001 0,01%
9. a) P( x 2)0,1247 12,47%
b) P( x 8) 0,0653 6,53%
c) P(5 x 8) 0,4914 49,14%
10. a) P( X 1) 0,9644 96,44 %
b) P( X 1) 0,3940 39,40 %
11. P ( X 1) 0,4696 46,96 %
LISTA DE EXERCÍCIOS NO.
4
1. P( X 1) 0,6065
2. P( X 0,9) 0,5934
178
SOLUÇÕES DAS LISTAS DE EXERCÍCIOS
3. P( X 2) 0,3679
4. P( X 35 ) 0,9938
5. P(2 X 2,05 ) 0,3944
6. P( X 772 ) 0,9902
7. a) P( 40 X 70 ) 0,6568
b) x 40,80
8. x 5,03
9. a) P( X 1,97 ) ou P( X 2,03 ) 0,0027
b) Perfeitas 1 0,0027 0,9973
10. n=816
11. P( 24,85 X 25,15 ) 0,9192
LISTA DE EXERCÍCIOS NO.
5
1. a) P16,60 19,94 95 %
b) P 3,0269 2 19,0949
95 %
c) P 1,7399 4,3677 95 %
2. 74,0353 74,0367
3.
1003 ,04 1024 ,96
4. a)
b)
5. a)
58197,33 62082,08
( 2.693,29 5.642,85 )
8,213 8,247
b)
( 0,0005 2 0,0022 )
c)
( 0,02 0,05 )
6. 0,05 p 0,19
7.
0,06 p 0,08
8.
0,02 p 0,06
9.
0,10 p 0,22
10.
11.
6,66 1 2 8,34
2,24 2 1 3,56
0,48 1 2 0,58
13. a) 1,62 1 2 8,38
b) 0,43 1 2 9,57
12.
14. 1,26 1 2 2,52
15. n 60
16. n 664
SACHIKO ARAKI LIRA
179
17. n 139
18. n 52
LISTA DE EXERCÍCIOS NO.
6
1. Z calc 1,52
2. t calc 1,05
3. t calc 2,07
4. Z calc 0,21
5. Z calc 0,06
6. Z calc 4,13
7. t calc 0,63
8. t calc 0,63
9. t calc 1,66
10. t calc 3,52
11. t calc 0,42
12. t calc -1,46
13. Fcalc 0,4821
2
4,40
14. calc
LISTA DE EXERCÍCIOS NO.
7
1) d 0,2034
2) d 0,1440
LISTA DE EXERCÍCIOS NO.
8
1. F 20,58 ; Teste de Scheffé: O rendimento da máquina C difere dos de A e B.
2. F 4,88
3. F 0,09
4. F 5,69
; Teste de Scheffé: O método 3 difere dos métodos 1 e 2.
5. F 45,75 ; Teste de Scheffé: O tipo de liga 3 difere dos tipos 1 e 2.
LISTA DE EXERCÍCIOS NO.
9
1. a) r 0,9585 ; t calc 9,51
b) Ŷ 22,25 0,6208 X ;
180
Fcalc 90,41 ;
R 2 91,87%
SOLUÇÕES DAS LISTAS DE EXERCÍCIOS
c) Ŷ 236,6492 X 1,086 ;
Fcalc 90,25 ;
R 2 91,86%
d) Ŷ 31,5264 0,9414 X ;
Fcalc 106 ,06 ;
R 2 92,99 %
2. a) r 0,9306 ; t calc 9,17
b) Ŷ -25,9336 3,1296X ; Fcalc 51,70 ;
R 2 86,60 %
R 2 98,61 %
c) Ŷ 0,0005 X 4,0013 ;
Fcalc 568 ,10 ;
d) Ŷ 0,1122 1,4409 X ;
Fcalc 2524 ,10 ; R 2 99,68 %
3. a) Ŷ 36,60 3,8286 X ;
Fcalc 76,08 ;
R 2 95,01%
b) Ŷ 39,1557 X 0,2146 ;
Fcalc 37,55 ;
R 2 90,37 %
c) Ŷ 37,758 1,0807 X ;
Fcalc 65,40 ;
R 2 94,24 %
LISTA DE EXERCÍCIOS NO.
10
1. Ŷ 199,56 0,21X13,00X 2 ;
Fcalc 319 ,31 ;
2. Ŷ 19,2422 0,3540X1 0,2409X 2 ;
Fcalc 28,43 ;
SACHIKO ARAKI LIRA
R 2 99,07%
R2 78,04%
181
