PUC-Rio, 2017.1, INF1009.3WB: Lógica para computação Lista 3

PUC-Rio, 2017.1, INF1009.3WB: Lógica para computação
Lista 3: Formalização de proposições em lógica de primeira ordem
Exercício 1
Formalize as sentenças abaixo na linguagem da lógica de primeira ordem. Utilize apenas os seguintes
símbolos não-lógicos:
b : “Bruno”
a : “Andreia”
E(x) : “x é engenheiro”
G(x) : “x é geólogo”
M(x) : “x é matemático”
>(x, y) : “x é maior que y”
p(x) : “o pai de x”
(1) Bruno é engenheiro.
(2) Bruno é engenheiro ou geólogo
(3) Bruno e Andreia são engenheiros.
(4) Se Bruno é engenheiro, então ele não é geólogo.
(5) Se Bruno não é engenheiro, tampouco o é Andreia.
(6) Ninguém é geólogo.
(7) Todo mundo é geólogo se, e somente se, Burno é engenheiro.
(8) Todo geólogo é engenheiro.
(9) Alguns geólogos são engenheiros.
(10) Alguns engenheiros são geólogos.
(11) Alguns engenheiros não são geólogos.
(12) Há quem não seja engenheiro nem geólogo.
(13) Há quem não seja engenheiro e geólogo.
(14) Se Andreia é geóloga, então ela é maior que algum matemático.
(15) Todo geólogo é maior que algum engenheiro.
(16) Todo geólogo que é engenheiro é maior que algum matemático.
(17) Alguns geólogos são maiores que qualquer engenheiro.
(18) Qualquer geólogo é maior que todo engenheiro.
(19) Nenhum matemático é engenheiro ou geólogo.
(20) Qualquer geólogo maior que um engenheiro é maior que um matemático.
(21) Pelo menos um geólogo é maior que algum matemático.
(22) Qualquer matemático é maior que Bruno e Andreia.
(23) Se Andreia é maior que algum engenheiro, então ela é maior que algum geólogo.
(24) Se todo engenheiro que for maior que Bruno é maior que Andreia, então Bruno é maior que Andreia.
(25) Se todo geólogo que é maior que Andreia é engenheiro, então Andreia é maior que qualquer matemático.
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(26) Nenhum engenheiro é maior que algum geólogo.
(27) Todo engenheiro é maior que Bruno, mas não maior que Andreia.
(28) Qualquer engenheiro maior que algum geólogo é maior que todos os matemáticos.
(29) Se Andreia é maior que qualquer matemático e ela é matemática, então Andreia é maior que si mesma.
(30) O pai de Bruno é engenheiro.
(31) Todo engenheiro é maior que o pai de Bruno.
(32) O pai do pai de Bruno é engenheiro.
(33) O pai de algum engenheiro é matemático.
(34) Bruno é o pai de Andreia.
(35) O pai de Bruno é maior que o pai de Andreia.
(36) Se Bruno é o pai de Andreia, então Bruno é maior que Andreia.
Exercício 2
Formalize as sentenças abaixo na linguagem da lógica de primeira ordem. Utilize apenas os seguintes
símbolos não-lógicos.
Constantes
Funções
0 : “o número zero”
suc(x) : “o número correspondente ao sucessor de x”
soma(x, y) : “o número correspondente a x mais y”
mult(x, y) : “o número correspondente a x vezes y”
exp(x, y) : “o número correspondente a x elevado a y”
mod(x, y) : “o número correspondente ao resto da divisão de x por y”
raiz(x, y) : “o número correspondente à raiz y-ésima de x”
Predicados
Num(x) : “x é um número”
Nat(x) : “x é um número natural”
Int(x) : “x é um número inteiro”
Maior(x, y) : “x é maior que y”
Div(x, y) : “x é divisível por y”
Primo(x) : “x é primo”
(1) Todo número primo é maior que 1.
(2) Se existe um número tal que esse número multiplicado por qualquer outro número é par, então existe um
número par.
(3) Se todo número inteiro é divisível por x, então x é igual a 1.
(4) Nem todo número natural é par.
(5) Zero é um número.
(6) Nenhum número natural é negativo.
(7) Existe um número natural maior que 0.
(8) A soma de dois números ímpares quaisquer resulta num número par.
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(9) Algum número natural divide algum número natural.
(10) O conjunto dos naturais possui um menor elemento.
(11) O conjunto dos números naturais não possui um maior elemento.
(12) Zero é o menor número natural.
(13) Zero é menor que qualquer número.
(14) Se qualquer número é natural, então zero é natural.
(15) Nenhum número é menor que zero.
(16) Não existe um número tal que todos os números são menores do que ele.
(17) Não existe um número tal que nenhum número é menor do que ele.
(18) Um natural p > 1 é chamado um número primo se ele não é divisível por qualquer natural diferente de 1
e p.
(19) Se um número p é igual a 2 ou se o resto da divisão de p por 4 é 1, então p é igual à soma de dois
quadrados perfeitos.
(20) Teorema de Pitágoras: A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. [Utilize os
símbolos de predicado unário C(x) e H(x) para representar “x é cateto” e “x é hipotenusa”.]
(21) Existe um número que somado ao triplo de 2 é igual à 20.
(22) Nenhum número é sucessor de zero.
(23) O sucessor de zero é um. [Utilize o símbolo de constante 1, que denota o número um.]
(24) Se os sucessores de dois números são iguais, então esses números são iguais.
(25) O cubo do quadrado de 2 é par.
(26) A raiz quadrada de 3 é ímpar.
(27) O triplo do dobro da raiz quadrada de 4 é par.
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