Conceitos básicos de geometria plana

MA092 – Geometria plana e analítica
Segundo semestre de 2016
Primeira lista de exercícios.
Conceitos básicos de geometria plana.
1. (Dolce/Pompeo) Indique se cada afirmação
abaixo é verdadeira ou falsa. No caso da
afirmação ser falsa, exiba um contraexemplo
(ou seja, um exemplo que mostra que a
afirmação não é verdadeira).
a) Por um ponto passam infinitas retas.
b) Uma reta contém dois pontos distintos.
c) Dois pontos distintos determinam uma
única reta.
d) Por três pontos dados passa uma só reta.
e) Três pontos
coplanares.
distintos são
sempre
f) Quatro pontos distintos determinam
duas retas.
g) Três pontos pertencentes a um plano
são sempre colineares.
2. (Dolce/Pompeo) Indique se cada afirmação
abaixo é verdadeira ou falsa. No caso da
afirmação
ser
contraexemplo.
falsa,
exiba
um
a) Quaisquer que sejam os pontos 𝐴𝐴 e 𝐵𝐵,
se 𝐴𝐴 é distinto de 𝐵𝐵, então existe uma
reta 𝑎𝑎 tal que 𝐴𝐴 ∈ 𝑎𝑎 e 𝐵𝐵 ∈ 𝑎𝑎.
b) Quaisquer que sejam os pontos 𝑃𝑃 e 𝑄𝑄,
se 𝑃𝑃 é distinto de 𝑄𝑄 , e se 𝑃𝑃 e 𝑄𝑄
pertencem tanto à reta 𝑟𝑟 como à reta 𝑠𝑠,
então 𝑟𝑟 = 𝑠𝑠.
c) Qualquer que seja a reta 𝑟𝑟, existem dois
pontos 𝐴𝐴 e 𝐵𝐵 tais que 𝐴𝐴 é distinto de 𝐵𝐵,
com 𝐴𝐴 ∈ 𝑟𝑟 e 𝐵𝐵 ∈ 𝑟𝑟.
d) Se 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵, existe uma reta 𝑟𝑟 tal que 𝐴𝐴 ∈
𝑟𝑟 e 𝐵𝐵 ∈ 𝑟𝑟.
3. (Dolce/Pompeo) Quantas retas distintas
podemos passar por quatro pontos todos
distintos, sendo três deles colineares?
4. Desenhe
a) um plano 𝛼𝛼.
b) as retas 𝑟𝑟 ⊂ 𝛼𝛼, 𝑠𝑠 ⊂ 𝛼𝛼 e 𝑡𝑡 ⊄ 𝛼𝛼, tais que 𝑟𝑟
e 𝑠𝑠 tenham um ponto comum 𝐴𝐴, e 𝑟𝑟
tenha um ponto 𝐵𝐵 comum a 𝑡𝑡.
c) os pontos 𝐶𝐶 ∈ 𝑟𝑟, 𝐷𝐷 ∈ 𝑟𝑟, 𝐺𝐺 ∈ 𝑠𝑠, e 𝐿𝐿 ∉ 𝛼𝛼.
d) o ponto 𝑀𝑀 tal que 𝑀𝑀 ∈ 𝛼𝛼, 𝑀𝑀 ∉ 𝑟𝑟 e 𝑀𝑀 ∉ 𝑠𝑠.
5. Sobre uma reta 𝑟𝑟, exiba as semirretas �����⃗
𝐴𝐴𝐴𝐴 e
�����⃗
𝐵𝐵𝐵𝐵.
6. Dados três pontos 𝑨𝑨, 𝑩𝑩 e C pertencentes a
uma reta 𝒓𝒓, quantos segmentos distintos
têm dois desses pontos como extremos?
Quantas semirretas há em 𝒓𝒓 com origem em
𝑨𝑨, 𝑩𝑩 e C?
7. (Dolce/Pompeo) Indique se cada afirmação
abaixo é verdadeira ou falsa. No caso da
afirmação
ser
contraexemplo.
falsa,
exiba
um
a) Se dois segmentos são consecutivos,
então eles são colineares.
b) Se dois segmentos são colineares, então
eles são consecutivos.
c) Se dois segmentos são adjacentes, então
eles são colineares.
d) Se dois segmentos são colineares, então
eles são adjacentes.
e) Se dois segmentos são adjacentes, então
eles são consecutivos.
f) Se dois segmentos são consecutivos,
então eles são adjacentes.
8. (Dolce/Pompeo) 𝑷𝑷, 𝑸𝑸 e 𝑹𝑹 são três pontos
distintos de uma reta. Se 𝑷𝑷𝑷𝑷 é igual ao triplo
de 𝑸𝑸𝑸𝑸 e 𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝟑𝟑𝟑𝟑 cm, determine as medidas
dos segmentos 𝑷𝑷𝑷𝑷 e 𝑸𝑸𝑸𝑸.
9. (Dolce/Pompeo) Os segmentos 𝑨𝑨𝑨𝑨 e 𝑩𝑩𝑩𝑩 são
adjacentes, o mesmo acontecendo com os
segmentos 𝑩𝑩𝑩𝑩 e 𝑪𝑪𝑪𝑪. O segmento 𝑨𝑨𝑨𝑨 tem o
15. (Dolce/Pompeo) Determine a medida do
𝑨𝑨𝑨𝑨 mede 36 cm. Determine as medidas dos
16. (Dolce/Pompeo) Determine o ângulo que
triplo do comprimento de 𝑩𝑩𝑩𝑩, o segmento
𝑩𝑩𝑩𝑩 tem o dobro do comprimento de 𝑪𝑪𝑪𝑪, e
segmentos 𝑨𝑨𝑨𝑨, 𝑩𝑩𝑩𝑩 e 𝑪𝑪𝑪𝑪.
10. (Dolce/Pompeo) Indique se cada afirmação
abaixo é verdadeira ou falsa. No caso da
afirmação
ser
falsa,
contraexemplo.
a) Dois
ângulos
adjacentes.
b) Dois
ângulos
exiba
um
consecutivos
são
adjacentes
consecutivos.
são
c) Dois ângulos opostos pelo vértice são
consecutivos.
d) Dois
ângulos
adjacentes.
e) Dois
ângulos
complementares
adjacentes
complementares.
são
são
11. (Dolce/Pompeo) Os ângulos de medida 30°,
60° e 90° são suplementares?
12. (Dolce/Pompeo)
�����⃗ e �����⃗
Sejam 𝑂𝑂𝑂𝑂
𝑂𝑂𝑂𝑂 duas
�����⃗ uma
semirretas colineares opostas e 𝑂𝑂𝑂𝑂
semirreta que tem O como único ponto
�����⃗ e a �����⃗
𝑂𝑂𝑂𝑂. Os ângulos 𝐴𝐴Ô𝐶𝐶 e 𝐶𝐶Ô𝐵𝐵
comum a 𝑂𝑂𝑂𝑂
são adjacentes? São suplementares?
13. Calcular o complemento e o suplemento dos
seguintes ângulos:
a) 30°.
b) 45°.
c) 𝟕𝟕𝟕𝟕°.
d) 𝟓𝟓𝟓𝟓°𝟏𝟏𝟏𝟏′.
e) 89°59′59′′.
f) 𝒙𝒙
14. (Dolce/Pompeo) Determine a medida do
ângulo
que
complemento.
vale
o
dobro
de
seu
ângulo
que
complemento.
vale
o
triplo
de
excede o seu suplemento em 66°.
17. (Dolce/Pompeo)
Determine
o
seu
ângulo
sabendo que o seu suplemento excede o
próprio ângulo em 𝟕𝟕𝟕𝟕°.
18. (Dolce/Pompeo) Determine o ângulo que
somado ao triplo do seu complemento dá
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐°.
19. A razão entre dois ângulos suplementares é
igual a 4/5. Determine os ângulos.
20. Os ângulos 𝜶𝜶 e 𝜷𝜷 são opostos pelo vértice.
Sabendo que o primeiro mede (𝟗𝟗𝟗𝟗 − 𝟐𝟐)
graus e o segundo mede (𝟒𝟒𝟒𝟒 + 𝟖𝟖) graus,
determine as medidas desses ângulos.
Respostas.
1.
a. V b. V c. V d. F e. V f. F g. F
3.
4.
2.
6.
7.
8.
9.
a. V b. V c. V d. V
3 segmentos e 6 semirretas.
a. F b. F c. V d. F e. V f. F
𝑃𝑃𝑃𝑃 = 24 cm e 𝑄𝑄𝑄𝑄 = 8 cm,
ou 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 48 cm e 𝑄𝑄𝑄𝑄 = 16 cm
𝐴𝐴𝐴𝐴 = 24 cm, 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 8 cm e 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 4 cm.
10. a. F b. V c. F d. F e. F
11. Não.
12. São adjacentes e suplementares.
13. a. 60° e 150°
c. 18° e 108°
e. 1′′ e 90°0′1′′
14. 60°.
15. 67°30′.
16. 123°.
17. 55°.
18. 30°
19. 80° e 100°
20. 16° e 16°
b. 45° e 135°
d. 35°45′ e 125°45′
f. 90 − 𝑥𝑥 e 180 − 𝑥𝑥