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O MODELO DE BERTRAND
Um outro modelo de jogo simultâneo clássico na análise de mercados é o modelo
conhecido como modelo de Bertrand —, que resultou do nome do matemático francês Joseph
Louis François Bertrand (1822-1900) —,também conhecido como modelo de determinação
simultânea de preços (para contrastar com o modelo de determinação simultânea de
quantidades — o modelo de Cournot).
O Modelo de Beitrand sem Restrição de Capacidade
Considere duas empresas produzindo bens da mesma natureza (onde os
consumidores não percebem diferença entre os produtos das duas empresas) e estabelecendo
seus preços ao mesmo tempo. Como os consumidores não percebem diferença entre os dois
produtos, se uma empresa estabelece um preço superior ao preço da outra, as vendas da
empresa com preço mais alto se reduzem a zero. Se os preços forem iguais, as empresas
dividem o mercado igualmente.
Admitamos que cada empresa possa sozinha atender a todo o mercado, caso seja
imprescindível, desde que o preço seja igual ou maior do que o custo marginal de produção.
Qual será o preço de equilíbrio a ser fixado pelas empresas?
Para entendermos melhor as várias opções estratégicas de que as empresas
dispõem, vamos estabelecer as funções de recompensa para um exemplo ilustrativo ( Livro de
Fiani ). Suponha que a curva de demanda do mercado em que as duas empresas atuam é dada
por:
q(p) = 100 - p
Note que nesse caso estamos expressando a quantidade demandada em função do
preço, enquanto no modelo de Cournot estávamos expressando o preço em função da
quantidade. Na curva de demanda de mercado anterior, q é a quantidade total produzida e
ofertada, e p é o preço. Mas como q irá se distribuir entre as duas empresas; e qual delas irá
determinar o preço de mercado p?.
Para responder a essa pergunta, temos de conhecer as funções de recompensa das
duas empresas. Como as funções de recompensa das duas empresas serão idênticas, podemos
escrever de forma genérica a função de recompensa da empresa i, que pode ser qualquer uma
das duas empresas, considerando suas decisões e as da outra empresa. Chamaremos,
genericamente, esta última empresa de empresa j.
Finalmente, sejam a função de custo de qualquer uma das duas empresas dada por
C(qi) = cq1, com c > 0. As funções de recompensa dessa empresa i, πi, são dadas por:
(pi – c) ( 100 – pi) se pi < pj
πi=
(pi – c) ( 100 – pi) se pi = pj
2
0 se pi > pj
O que a primeira função de recompensa, após a chave, nos diz é que o lucro da
empresa i será dado pelo produto da quantidade total demandada pelo mercado ao preço pi, ou
(100 – pi), multiplicada pela margem de lucro obtida pela empresa i em cada unidade
produzida (o termo (pi - c) da expressão). Isso desde que o preço estabelecido pela empresa i,
pi, seja menor do que o preço estabelecido pela outra empresa, pj.
A segunda função de recompensa nos informa que o lucro da empresa i é metade
do lucro que ela obtém no caso anterior, considerando que os preços das duas empresas sejam
iguais, uma vez dada nossa hipótese de que, se pi = pj, as empresas dividem igualmente o
mercado. Note que, no caso anterior, a empresa i atendia a todo o mercado a seu preço, ou
seja, ela vendia (100 – pi), e que, se os preços forem iguais, ela venderá metade dessa
quantidade, (100 – pi)/2. Finalmente, se o preço da empresa i for maior do que o da outra
empresa, ela nada produz, ou vende, e seus lucros se reduzem a zero.
Vendo pelos parâmetros do equilíbrio de Nash. Se uma das empresas estabelece
um preço p, tal que p > c, qual é a melhor resposta para a outra empresa? Sem dúvida é
estabelecer um outro p’, tal que p’ seja ligeiramente inferior a p (apenas o suficiente para os
consumidores perceberem a diferença e abandonarem o produto da concorrente, ainda que
seja apenas um centavo!), desde que p’> c.
Fazendo isso, a empresa que estabelecesse p’ estaria capturando todo o mercado da
outra empresa, e seus lucros seriam maiores (ela estaria capturando todo o mercado com uma
redução de apenas um centavo no preço!). A outra empresa, por sua vez, teria seu lucro
reduzido a zero.
Mas se p’ é a melhor resposta a p, p não é a melhor resposta a p’. A melhor
resposta a p’ seria um p”, ligeiramente inferior a p’ e superior a c, e assim por diante.Desse
modo, só existe um par de preços que é a melhor resposta um ao outro e vice-versa: é o par
(pi*, pj*), tal que pi* = p2* = c .
Qualquer preço acima desse valor c deixaria a empresa que o adotou
vulnerável a um preço que fosse ligeiramente inferior ao seu, ainda que maior do que c, e que
capturaria todo o mercado. Qualquer preço inferior a c também não seria adequado, pois o
valor recebido pela última unidade produzida seria inferior a seu custo, e a empresa que
tivesse adotado esse preço inferior a c teria prejuízo. Melhor do que ter prejuízo é ter lucro
zero.A melhor resposta a um preço igual ao custo de produzir mais uma unidade; portanto, é
outro preço igual ao custo de produzir mais uma unidade.
O resultado que acabamos de obter é conseqüência da aplicação da lógica do
equilíbrio de Nash ao modelo de determinação simultânea de preços, dadas as hipóteses
inicialmente assumidas: a única combinação de estratégias que é, recíproca e
simultaneamente, a melhor resposta possível uma à outra é pi*= pj* = c, com ambas as
empresas tendo lucro zero.
Esse resultado é conhecido como o paradoxo de Bertrand, pois temos um mercado
caracterizado como um duopólio, produzindo o mesmo resultado de um mercado competitivo:
preços idênticos, ao nível do custo de produzir mais uma unidade, e lucros nulos, algo que,
em princípio, só deveria ocorrer em mercados nos quais as empresas fossem suficientemente
pequenas para que suas decisões individuais não afetassem o preço de mercado.
É importante enfatizar que esse estranho resultado (um duopólio se comportando
como um mercado em concorrência perfeita, isto é, com as empresas estabelecendo preços
iguais a seus custos) é conseqüência das três hipóteses (muito restritivas) adotadas: a hipótese
de que não há diferenciação de produto, a hipótese de que não há restrição de capacidade
produtiva (daí os custos marginais serem constantes) e a hipótese de que as decisões são
simultâneas em um único momento do tempo.
Assim, vamos voltar ao exemplo empregado na discussão do modelo de Cournot,
de duas empresas de cimento, a Empresa 1 e a Empresa 2. Como as funções de custo das duas
empresas são dadas, respectivamente, por:
C1 = 4q1
e
C2 = 4q2
Segue-se que, se as duas empresas não estiverem determinando simultaneamente
as quantidades produzidas — como é o caso analisado no modelo de Cournot —, mas sim
seus preços — como é o caso analisado no modelo de Bertrand —, o equilíbrio nesse último
caso será dado por:
P1 = P2 = c = 4
Onde P1 é o preço do cimento produzido e Vendido pela Empresa 1, P2 é o preço
do cimento produzido e vendido pela Empresa 2, e 4 reais é o custo marginal(Custo marginal
é a variaçáo do custo total em funçáo da variaçáo na quantidade produzida. Algebricamente,
é expresso pela derivada do custo em função da quantidade, dC/dq. Ë fácil ver que, para
qualquer uma das duas empresas, dCi/dq1 = 4.) c da produção de cimento, idêntico para as
duas empresas.
Cournot ou Bertrand?
O leitor deve estar surpreso com as diferenças nos resulta dos dois
modelos de Cournot e Bertrand. Com efeito, no caso do modelo de Cournot com duas
empresas, o resultado em termos de quantidade produzida é inferior á quantidade que
seria obtida com um mercado perfeitamente competitivo. Já no caso do modelo de
Bertrand com duas empresas-sem restrição de capacidade, o resultado é idêntico ao que
seria obtido se ç mercado fosse perfeitamente competitivo. Dado que os dois modelos
apresentam resultados tão diferentes, quando cada um deles deve ser usado?
Luís M. B. Cabral, em seu livro Introduction to Industrial
Organizatíon, oferece uma sugestão: é importante avaliar que tipo de indústria está
sendo considerada. Existem indústrias em que é mais difícil para as empresas ajustar as
quantidades produzidas do que os preços. Isso acontece em indústrias nas quais o
investimento leva mais tempo para resultar em um aumento da capacidade produtiva.
Esse seria o caso de indústrias como a siderúrgica, a automobilística, a de cimento etc.