curso de matemática básica

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL
CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
Aula 01
• Introdução a Geometria Plana – Ângulos
• Potenciação
• Radiciação
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Introdução a Geometria Plana
Introdução:
No estudo da Geometria Plana, consideraremos três conceitos primitivos: O
ponto, a reta e o plano. Os mesmos são os pilares da construção da Geometria.
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Introdução a Geometria Plana
Postulados da Geometria:
• A reta tem infinitos pontos;
• Dois pontos distintos determinam uma única reta;
• Por um ponto fora de uma reta pode-se traçar uma única reta
paralela a essa reta. (Postulado das retas paralelas ou
Postulado de Euclides.).
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Introdução a Geometria Plana
Segmento de Reta:
Se numa reta r considerarmos dois pontos distintos A e
B, podemos definir o segmento de reta AB, como sendo o
conjunto dos pontos da reta r, situados entre A e B, incluindose estes, sendo A e B chamados extremos do segmento AB.
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• Ângulos:
Chama-se ângulo, a figura plana limitada por duas semi-retas de
mesma origem. Na figura abaixo, podemos observar que as semi-retas e
determinam dois ângulos: um de abertura “a” (ângulo convexo) e outro de
abertura “b” (ângulo côncavo). O ângulo convexo é indicado por BÔA e
“a” é a medida deste ângulo.
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Medidas de Ângulos:
A principal unidade de medida de ângulos é o grau (símbolo: °). Um
ângulo raso, aquele formado por duas semi retas opostas, mede 180°.
A metade de ângulo raso é denominado ângulo reto, e sua medida é
90°. O ângulo em volta de uma volta completa, corresponde a dois
ângulos rasos e portanto sua medida é 360°.
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Ângulo agudo: é aquele cuja medida situa-se entre 0°e 90º.
Ângulo obtuso: é aquele cuja medida situa-se entre 90°e 180°.
Ângulos complementares: são aqueles cujas medidas somam 90º.
Ângulos suplementares: são aqueles cujas medidas somam 180°.
Ângulos congruentes: são aqueles que possuem medidas iguais.
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• Ângulos opostos pelo vértice: como o próprio nome indica, são aqueles
cujos lados de um são os prolongamentos dos lados do outro. Vale aqui,
a seguinte proposição:
“Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja,
possuem a mesma medida.”
• Bissetriz de um ângulo: é a semi reta única que partindo do vértice,
determina dois ângulos congruentes(ou seja, de mesma medida).
• Retas concorrentes: duas retas são concorrentes se elas têm um ponto
em comum.
• Retas perpendiculares: são retas concorrentes que formam entre si um
ângulo reto.
• Retas paralelas: duas retas “r” e “s” são paralelas quando estando
contidas num mesmo plano(coplanares) não possuem ponto em comum.
(representação: r // s)
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Potenciação
• A potenciação “é uma multiplicação de fatores
iguais”.
• Ou seja:
, “a” multiplicado n vezes.
• Exemplos:
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Potenciação
• Particularidades, conseqüências da
definição:
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Potenciação
• Propriedades:
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Potenciação
• Observação Importante:
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Potenciação
• Potência de Base 10:
Muitos problemas de Física e/ou Química usam
o artifício das potências de 10 para suas resoluções
sejam elas macroscópicas(grandes dimensões) ou
microscópicas(pequenas dimensões).
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,
Radiciação
• Definição:
O número “y” é raiz enésima de “a” se, e somente se,
elevado ao expoente
reproduzir o número “a”.
Simbolicamente temos:
= y , sendo:
• : símbolo da radiciação(radical)
• a: radicando
• n: índice da raíz(n ≥ 2)
• y: raiz
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Radiciação
• Propriedades:
Sendo
temos:
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Radiciação
• Racionalização:
É o processo mediante o qual, dada uma função com
radical no denominador, encontramos uma fração
equivalente(com mesmo valor), porém sem o radical no
denominador.
• 1º caso: Denominador contendo termo do tipo
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:
Radiciação
• 2º caso: Denominador do tipo
, com n > 2 e m < n:
• 3º caso: Denominador do tipo
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:
Exercícios
•
•
•
Exercício 1: O número de elementos distintos da sequência 24, 42, 4-2 (-4)2, (-2)4, (-2)-4 é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
Solução:
Para determinar o número de elementos distintos é suficiente que calculemos cada um
deles. Assim temos:
24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
42 = 4 x 4 = 16
4-2 = 1/ 42 = 1/16 (uso da propriedade)
(-4)2 = (-4) x (-4) = 16 (potência par de base negativa tem como resultado um número
positivo)
(-2)4 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = 16 (idem)
(-2)-4 = 1/(-2)4 = 1/16 (uso da propriedade)
Portanto, se conclui que existem dois elementos distintos (16 e 1/16) e a resposta correta é
a b).
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Exercícios
•
•
Exercício 2: O valor da expressão A = (-2) + (-3) x (-2)-1:(-3) é:
a) 1
b) -5/6
c) -5/3
d) -5/2
Solução:
Todos sabem, após a leitura atenta dos slides que (-2)-1 = -1/2. Logo:
A = (-2) + (-3) x (-1/2) : (-3) = (-2) + (3/2) : (-3) = (-2) – [3/(2 x 3)]
Cancelando o 3 na expressão entre colchetes (note que nas passagens das
igualdades acima foram utilizadas as propriedades do produto de números relativos de
mesmo sinal e a divisão de números relativos com sinais diferentes – lembram-se!):
A = (-2) – 1/2 = (-4 – 1)/2 = -5/2
•
Resposta d).
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Exercícios
•
Exercício 4: (PUC-SP) O valor da expressão C = (10-3 x 105) / (10 x 104) é:
a) 10
b) 1000
c) 10-2
d) 10-3
• Solução:
Novamente, pela propriedade vem que:
C = 10-3+5 / 101+4 = 102 / 105
E, também pela propriedade, temos:
C = 102-5 = 10-3
•
Resposta d).
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Exercícios
•
Exercício 5: Calcular:
Solução:
Para facilitar a explicação, e consequentemente o entendimento, vamos,
inicialmente, tratar separadamente cada membro da expressão, onde se indicam
as propriedades utilizadas em cada passagem:
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Exercícios
Assim de 1, 2 e 3 obtemos:
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Exercícios
•
Exercício 6: Simplificar a expressão:
•
Solução:
Exercício simples que se baseia na decomposição em fatores primos de
cada radicando e da utilização de propriedades, como você pode observar no
detalhamento a seguir. Tenha em conta que na soma ou subtração de radicais,
cada parcela deve ser considerada isoladamente para se obter o resultado de
uma expressão. Ou seja, não se aplica que a soma de duas raízes de mesmo
índice é igual a raiz da soma, como é o caso do produto, por exemplo.
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Exercícios
•
Exercício 7: Calcular o quociente:
•
Solução:
Outro exercício de solução simples onde demonstra-se o uso das
propriedades e novamente, se faz uso da decomposição em fatores primos dos
radicandos:
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Exercícios
•
Exercício 8: Efetuar:
•
Solução:
Esboçada a seguir, onde utilizamos o fato de que o produto da soma pela
diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do
segundo (produto notável – PN) e as propriedades da Radiciação indicadas:
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