Números Racionais - IME-USP

Números Racionais
MAT1514 – MEB – 2/2016
T42 – Diurno – Substituição da Profa. Martha
Monteiro
O que são números racionais?
—  Alguma
—  Como
definição?
surgiram? Relacionados a quais
ideias ou situações?
Representação Decimal de
Números Racionais
1) Exemplos de racionais na forma de
frações decimais (= denominador é
potência de 10)
3/10
—  E
84/1000
47/100
nos casos
3/20
27/36
6/75
Representação Decimal de
Números Racionais
—  Como
obter a representação decimal
desses números?
◦  Pela divisão por 10, 100, 1000...
—  A
partir dos exemplos, o que se observa
em relação à representação decimal
desse tipo de racional?
◦  Representação decimal finita
Representação Decimal de
Números Racionais
—  Depois
de simplificada ao máximo, se a
fração resultante p/q tem denominador q
que se fatora em potências de 2 ou de 5
(somente), então, esse denominador pode
ser transformado em uma potência de 10.
—  Assim, esse racional – que pode ser
representado por uma fração decimal –
tem representação decimal finita.
Por que???
Representação Decimal de
Números Racionais
II) Frações não decimais
—  O que acontece se o denominador de
uma fração irredutível p/q tiver um fator
primo diferente de 2 ou 5?
—  Exemplos:
1/3
2/9
4/11
185/150
Representação Decimal de
Números Racionais
É possível multiplicar denominador e
numerador por um número inteiro de
forma a transformar o denominador em
uma potência de 10? Por que?
Representação Decimal de
Números Racionais
—  Vamos
pensar na decomposição de um
número em fatores primos...
—  Potências de 10 se fatoram, de modo
único, como produto de potências de 2 e
potências de 5
(Teorema Fundamental da Aritmética)
Representação Decimal de
Números Racionais
—  Determine
a representação decimal de
cada um dos números:
a) 1/7
2/7
3/7
4/7
5/7
6/7
b) 1/9
2/9
3/9
4/9
5/9
6/9
c) 6/11
7/11
8/11
9/11 10/11
Representação Decimal de
Números Racionais
—  Após
analisar os diferentes exemplos:
—  O
número 1/17 tem representação
decimal finita, infinita e periódica ou
infinita e não periódica?
—  E
o número 7634590217 / 512?
Justifique!
Representação Decimal de
Números Racionais
—  No
primeiro caso: divisão infinita e
apenas uma quantidade finita de
restos possíveis
—  Em algum momento, um determinado
resto irá se repetir e, a partir daí, todo
o algoritmo irá se repetir, resultando em
uma dízima periódica
Representação Decimal de
Números Racionais
—  A
partir do que foi discutido:
—  Enuncie uma propriedade acerca da
representação decimal de números
racionais.
—  Prove essa propriedade.
Representação fracionária de
números racionais
—  Números
com infinitas casas decimais:
como operar com eles?
—  Se
for possível transformar em fração,
essa dificuldade desaparece!
Onde está o erro?
1)
Por que está certo?
2)
E no Ensino Fundamental?
—  Como
você aprendeu a encontrar a
fração geratriz de uma dízima
periódica?
—  Está
certo ou não o que usualmente
fazem os livros didáticos para determinar
a fração geratriz de uma dízima periódica?
Justifique.
E o 0, 9 ????
0, 9 = 1?
ou
0, 9 < 1?
•  O
que vale?
•  Por que?
•  Justifique!
Observe:
“Soma infinita” relacionada a uma P.G.
de razão 0 < q < 1
9
1
a1 =
e q=
10
10
Nesse tipo de PG, podese calcular a soma, pois a
série converge!
0, 9 = 1
A igualdade informa que temos duas
representações do mesmo número!
Ainda assim, grande incômodo por parte
dos alunos com esse tipo igualdade
0, 9 = 1
Para muitos alunos (e para a maioria
das pessoas), é uma aproximação,
pois “falta alguma coisa” para ser
exatamente 1!
No Ensino Médio, acredito ser necessário
- e possível – lidar (justificando) com esse
tipo de soma infinita de frações decimais
Voltando à representação decimal…
—  É
única a representação decimal de
racionais? Justifique!
—  Pense
nos casos:
0, 09 = 0,1
2, 35 = 2, 349
0, 009 = 0, 01
…
Dos racionais aos reais…
—  Entre
0, 3 e 0, 334 quantos racionais
podemos interpolar (ou seja, maiores do que
0, 3 e menores do que 0, 334)?
— 
Agora, dê exemplo de pelo menos dois números
escritos em representação decimal não
periódica, mas com infinitas casas decimais
depois da vírgula.
— 
Quantos números decimais existem nessa última
condição?
Dos racionais aos reais…
—  Não
existe um número racional cujo
quadrado é igual a 2.
—  Prove.