ANÁLISE NUMÉRICA DA DISTRIBUIÇÃO DE
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ANÁLISE NUMÉRICA DA DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA NO CÉREBRO HUMANO UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Ana Beatriz de Carvalho Gonzaga e Silva Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil. Orientadores: Fernando Luiz Bastos Ribeiro Luiz Carlos Wrobel Rio de Janeiro Fevereiro de 2012 ANÁLISE NUMÉRICA DA DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA NO CÉREBRO HUMANO UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Ana Beatriz de Carvalho Gonzaga e Silva DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL. Examinada por: __________________________________________________ Prof. Fernando Luiz Bastos Ribeiro, D.Sc. __________________________________________________ Prof. Luiz Carlos Wrobel, Ph.D. __________________________________________________ Prof. José Claudio de Faria Telles, Ph.D. __________________________________________________ Prof. Antonio Mauricio Ferreira Leite Miranda de Sá, D.Sc. RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL FEVEREIRO DE 2012 Silva, Ana Beatriz de Carvalho Gonzaga e Análise Numérica da Distribuição de Temperatura no Cérebro Humano Utilizando o Método dos Elementos Finitos/ Ana Beatriz de Carvalho Gonzaga e Silva. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2012. X, 52 p.: il.; 29,7 cm. Orientadores: Fernando Luiz Bastos Ribeiro Luiz Carlos Wrobel Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de Engenharia Civil, 2012. Referências Bibliográficas: p. 50-52. 1. Método dos Elementos Finitos. 2. Equação de Pennes. 3. Biocalor. I. Ribeiro, Fernando Luiz Bastos et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Civil. III. Título. iii Aos meus pais, pela confiança, carinho e dedicação que sempre demonstraram. iv AGRADECIMENTOS Aos meus pais, por todo apoio e por terem me proporcionado todas as condições para estudar e crescer pessoal e profissionalmente. À minha mãe, por todo carinho, paciência e por sempre me acolher com um sorriso no rosto, mesmo nos momentos mais estressantes. Ao meu pai, por me mostrar que eu podia fazer mais e me impulsionar a descobrir meu melhor. Ao meu orientador Fernando, por sempre acreditar no meu potencial e me mostrar que tudo era possível. Ao meu orientador Luiz, pela paciência nas explicações, por todas as sugestões conduzidas e por me mostrar novas áreas de conhecimento. Aos meus amigos de faculdade, que fizeram da UFRJ um lugar especial e inesquecível. Por terem me ensinado a ser uma pessoa melhor, e proporcionado momentos de diversão e aprendizado. Aos meus amigos de mestrado, por tornarem agradável estudar até tarde às sextas e vésperas de feriado no Laboratório de Computação. Aos meus amigos de Laboratório, Henrique e Júlio, pelos almoços, cafés, águas, biscoitos, lanches e risadas que melhoram o meu astral a qualquer momento do dia. v Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.) ANÁLISE NUMÉRICA DA DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA NO CÉREBRO HUMANO UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Ana Beatriz de Carvalho Gonzaga e Silva Fevereiro/2012 Orientadores: Fernando Luiz Bastos Ribeiro Luiz Carlos Wrobel Programa: Engenharia Civil Esta dissertação tem como objetivo desenvolver e implementar um modelo de difusão de biocalor no cérebro humano utilizando a equação de Pennes através do método dos elementos finitos e realizar análises numéricas de métodos de resfriamento no cérebro de recém-nascidos para tratamento de asfixia perinatal usando hipotermia. É feita uma análise comparativa do efeito do resfriamento no cérebro de recém-nascidos e adultos e um estudo da variação da taxa de perfusão e de outros parâmetros que podem influenciar esse resfriamento. vi Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.) NUMERICAL ANALYSES OF THE TEMPERATURE DISTRIBUTION IN THE HUMAN BRAIN USING THE FINITE ELEMENT METHOD Ana Beatriz de Carvalho Gonzaga e Silva February/2012 Advisors: Fernando Luiz Bastos Ribeiro Luiz Carlos Wrobel Department: Civil Engineering This works aims at implementing a model of bioheat conduction in the human brain using the bioheat equation of Pennes and the finite element method to perform numerical analysis of selective brain cooling methods in newborns as a treatment of perinatal asphyxia using hypothermia. A comparative analysis of the cooling effects on newborns and adults is performed as a study of the variation of the blood perfusion rate and other physiological parameters that can influence the cooling process. vii SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 1 1.1 Relevância e Objetivos ........................................................................................... 1 1.2 Revisão Bibliográfica.............................................................................................. 2 2. METODOLOGIA......................................................................................................... 8 2.1 Modelo Matemático ................................................................................................ 8 2.2 Modelo Numérico ................................................................................................. 18 3. RESULTADOS .......................................................................................................... 23 3.1 Geometria e Condições de Contorno .................................................................... 23 3.2 Taxa de Perfusão Constante .................................................................................. 24 3.3 Taxa de perfusão reduzida .................................................................................... 26 3.4 Taxa Mebólica de geração de calor e Taxa de Perfusão Variáveis....................... 27 3.5 Variação nos parâmetros fisiológicos (PaO2,PaCO2,CMRO2 e MABP) .............. 34 i. Variação da MABP .............................................................................................. 35 ii. Variação da PaO2 e PaCO2 ................................................................................. 36 3.6 Mudança na Temperatura Arterial (Ta) ................................................................ 40 3.7 Simulação utilizando-se modelo do crânio ........................................................... 42 4. CONCLUSÕES .......................................................................................................... 48 5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................... 50 viii LISTA DE FIGURAS Figura 2.1 Representação da cabeça como um quarto de esfera de três camadas: cinza claro- Massa branca, cinza escuro – massa cinzenta, azul claro - crânio e verde escalpo. ........................................................................................................................... 11 Figura 2.2 %CBF vs PaO2 .............................................................................................. 13 Figura 2.3 %CBF vs PaCO2 ........................................................................................... 14 Figura 2.4 %CBF vs CMRO2 ......................................................................................... 15 Figura 2.5 %CBF vs MABP ........................................................................................... 16 Figura 2.6 CMRO2: vs Temperatura. ............................................................................. 17 Figura 2.7 Elemento Tetraédrico Linear......................................................................... 18 Figura 2.8 Método do Trapézio ...................................................................................... 19 Figura 3.1 Malha de 2.979.344 elementos tetraédricos lineares – cérebro de um recémnascidos. ......................................................................................................................... 23 Figura 3.2 Malha de 3.979.344 elementos tetraédricos lineares – cérebro de um adulto. ........................................................................................................................................ 24 Figura 3.3 Distribuição radial da temperature – Perfusão Constante (recém-nascidos). 25 Figura 3.4 Distribuição radial da temperature – Perfusão Constante (adultos). ............. 25 Figura 3.5 Redução na perfusão – Recém-nascidos. ...................................................... 26 Figura 3.6 Redução na Perfusão – Adultos. ................................................................... 27 Figura 3.7 Distribuição radial da temperatura (recém-nascidos) - Perfusão Variável. .. 28 Figura 3.8 Distribuição radial da temperatura (adultos) – Perfusão variável ................. 29 Figura 3.9 Comparativo - Perfusão constante x Perfusão variável com a temperaturaTemperatura externa 0oC - recém-nascidos .................................................................... 30 Figura 3.10 Comparativo - Perfusão constante x Perfusão variável com a temperaturaTemperatura externa 10oC - recém-nascidos .................................................................. 31 Figura 3.11 Comparativo - Perfusão constante x Perfusão variável com a temperaturaTemperatura externa 20oC - recém-nascidos .................................................................. 31 Figura 3.12 Comparativo - Perfusão constante x Perfusão variável com a temperatura Temperatura externa 30oC - recém-nascidos .................................................................. 32 Figura 3.13 Comparativo - Perfusão constante x Perfusão variável com a temperatura Temperatura externa 0oC - adultos ................................................................................. 32 ix Figura 3.14 Comparativo - Perfusão constante x Perfusão variável com a temperatura Temperatura externa 10oC - adultos ............................................................................... 33 Figura 3.15 Comparativo - Perfusão constante x Perfusão variável com a temperatura Temperatura externa 20oC - adultos ............................................................................... 33 Figura 3.16 Comparativo - Perfusão constante x Perfusão variável com a temperatura Temperatura externa 30oC - adultos ............................................................................... 34 Figura 3.17 Distribuição radial da temperatura – variação na MABP – Recém nascidos ........................................................................................................................................ 35 Figura 3.18 Distribuição radial da temperatura – variação na MABP – Adultos. .......... 36 Figura 3.19 Distribuição radial da temperatura – variação na PaO2 – Recém-nascidos. 37 Figura 3.20 Distribuição radial da temperatura – variação na PaO2 – Adultos. ............. 38 Figura 3.21 Distribuição radial da temperatura – variação na PaCO2 – Recém-nascidos. ........................................................................................................................................ 39 Figura 3.22 Distribuição radial da temperatura – variação na PaCO2 – Adultos. .......... 39 Figura 3.23 Distribuição radial da temperatura – Temperatura arterial de 34oC – RecémNascidos. ........................................................................................................................ 40 Figura 3.24 Distribuição radial da temperatura – Temperatura arterial de 34oC – Adultos. .......................................................................................................................... 41 Figura 3.25 Geometria obtida através de imagens computadorizadas. .......................... 42 Figura 3.26 Malha de 1.276.821 elementos tetraédricos lineares. ................................. 43 Figura 3.27 Definição das camadas de materiais: Azul – massa cerebral branca, verdemassa cerebral cinzenta e vermelho – crânio. ................................................................ 44 Figura 3.28 Definição da condição de temperatura prescrita (em azul). ........................ 45 Figura 3.29 Linha AB ao longo da qual são plotados os resultados de temperatura. ..... 46 Figura 3.30 Perfusão Constante x Perfusão Variável – modelo do crânio. .................... 47 x 1. INTRODUÇÃO 1.1 Relevância e Objetivos Nas últimas décadas, a modelagem computacional vem se consolidando como uma área multidisciplinar e adquirindo espaço nos mais diversos campos de aplicação, como na indústria do petróleo, aeronáutica, naval, hidráulica e construção civil, entre outras. Na área de bioengenharia por exemplo, os recursos computacionais e sua capacidade para resolver problemas complexos auxiliam o estudo de sistemas biológicos em diferentes escalas, análises odontológicas e de comportamento biomecânico de estruturas. O desenvolvimento de modelos matemáticos que simulam a reação dos tecidos a corpos estranhos, o uso de elementos finitos na predição da mudança do formato da córnea em cirurgias de correção de miopia e astigmatismo são alguns dos estudos que auxiliam cirurgias e outros procedimentos médicos de tratamento de patologias(DE e JOHNSON, 2009). Nesse contexto, a formulação de modelos que descrevem o comportamento biológico do corpo humano possibilita o estudo fisiológico de diversos cenários de intervenção, o que pode ajudar no entendimento de processos biológicos e no tratamento de determinadas doenças. Avanços na modelagem computacional permitem uma análise detalhada de toda informação coletada no paciente e facilitam a interpretação do diagnóstico, além de serem formas de estudar a influência de vários parâmetros e possibilitar a construção de modelos de uma condição patológica específica. Esses modelos podem ser usados como ferramenta na pesquisa de prognósticos em diversos campos da medicina. A modelagem de doenças e condições biológicas dos serem humanos se baseia no conceito de que tudo pode ser medido e descrito através das equações matemáticas que governam os processos físicos e biológicos do sistema (GIANNAKOULAS, DIMOPOULOS e XU, 2009). Sua principal limitação é a complexidade desses sistemas e suas interações com o meio que os cerca. Dessa forma, a definição de hipóteses e simplificações do modelo torna-se etapa de grande importância para a viabilidade do uso de métodos computacionais. 1 O objetivo dessa dissertação é a implementação e calibração de um modelo de distribuição de calor no cérebro humano utilizando a equação de Pennes de biocalor e o método dos elementos finitos para estudo de técnicas de resfriamento como tratamento terapêutico em traumatismos em adultos e asfixia perinatal em recém-nascidos. A falta de oxigenação no cérebro de recém-nascidos pode levar a diversas sequelas (ARAUJO, PACHECO, et al., 2008) e o resfriamento moderado da temperatura no cérebro do bebê é um dos tratamentos utilizados pelos médicos para tentar reduzir os danos(DIAO, ZHU e WANG, 2003). Este tratamento é o mesmo aplicado a adultos com alguma lesão cerebral, pois a diminuição da temperatura cerebral reduz a atividade cerebral, a demanda por oxigênio e os possíveis danos aos tecidos, reduzindo a velocidade de processos iônicos e bioquímicos de morte celular. Existem diversos métodos de resfriamento do cérebro como o uso de pacotes de gelo ou capacetes térmicos, ou ainda métodos de infusão salina (NEIMARK, KONSTAS, et al., 2008), porém a medição e constatação de sua eficiência por experimentos práticos é complicada, não só pela dificuldade em se medir diretamente as temperaturas atingidas no interior do cérebro como, no caso de recém-nascidos, pela fragilidade do indivíduo e do seu sistema imulológico, sendo ainda mais sensível à mudanças de temperatura que um indivíduo adulto. Assim, a modelagem computacional permite a realização em tempo reduzido de testes utilizando diferentes cenários de resfriamento e a influência de diversos parâmetros como a pressão parcial de oxigênio, pressão parcial de dióxido de carbono e taxa metabólica de consumo de oxigênio na alteração da taxa de perfusão do sangue. Além disso, possibilita a redução no número de testes clínicos, selecionando aqueles com melhor resultado nas simulações e evita questões éticas necessárias nos testes reais, visto que é uma situação delicada selecionar grupos para receber ou não um tratamento que pode reduzir significativamente a extensão de danos neurológicos em um paciente. Além disso, os resultados encontrados podem ser usados na criação de simuladores para ajudar estudantes de medicina a entender o efeito dos parâmetros fisiológicos na distribuição da temperatura do cérebro. 1.2 Revisão Bibliográfica A asfixia perinatal é uma das principais causas de Encefalopatia Hipóxico Isquêmica (EHI) neonatal, que é uma doença perigosa para o cérebro de recém-nascidos (WALSH, 2 MURRAY e BOYLAN, 2011). Trata-se de uma lesão causada pela falta de oxigênio ou de perfusão (isquemia) de vários órgãos, produzindo alterações bioquímicas e/ou funcionais (CRUZ e CECCON, 2010). A diminuição na oferta de oxigênio muda o metabolismo celular de aeróbico para anaeróbico, levando a uma disfunção múltipla de órgãos e a graves lesões cerebrais manifestadas por convulsões e outros sinais neurológicos (ARAUJO, PACHECO, et al., 2008). A EHI é um problema de saúde pública mais freqüente em países em desenvolvimento que contribui significativamente para a mortalidade neonatal e que causa seqüelas no desenvolvimento neurológico de 25% a 60% dos sobreviventes (ARAUJO, PACHECO, et al., 2008). Apesar das pesquisas nessa área, não existem no momento muitas técnicas de tratamento da extensão de danos neurológicos causados por lesões cerebrais. Métodos invasivos como “engolir” fluidos frios e técnicas de resfriar diretamente o sangue arterial são menos desejadas devido ao alto grau de conhecimento e treinamento requerido e ao perigo da embolização da carótida (DENNIS, EBERHART, et al., 2003). Estudos realizados com animais adultos e recém-nascidos demonstraram que uma redução moderada da temperatura corporal após lesão cerebral está associada à melhora histológica e resultados obtidos (DIAO, ZHU e WANG, 2003). Assim, a hipotermia vem sendo estudada como tratamento terapêutico de neuroproteção em casos de lesões cerebrais, sendo aplicável ao tratamento da encefalopatia hipóxico-isquêmica (ENNEN, HUISMAN, et al., 2011). No caso do tratamento terapêutico em recém-nascidos, a hipotermia é o único tratamento amplamente aceitado para atenuar danos em recém nascidos com EHI (WALSH, MURRAY e BOYLAN, 2011). De acordo com (CHIP, ZELMER, et al., 2011), resfriar o cérebro do recém-nascido de 37oC para 33-34oC de 48-72h é uma forma eficiente de reduzir a necessidade de oxigenação e diminuir o risco de dano cerebral. Os seus objetivos são a mitigação da morte celular precoce e a prevenção dos efeitos secundários. GLUCKMAN, WYATT, et al. (2005) afirmam que o resfriamento moderado do cérebro em até 6 horas do início dos danos está associado a uma neuroproteção e pode melhorar os efeitos neuropatológicos, eletrofisiológicos e funcionais da doença. Estudos clínicos mostram que ainda não foi comprovado se o resfriamento apenas da cabeça é uma solução eficaz na redução da temperatura no cérebro. Alguns autores 3 (VAN LEEUWEN, HAND, et al., 2000) e (DENNIS, EBERHART, et al., 2003) afirmam que resfriar a cabeça mantendo a temperatura corpórea normal não é suficiente para se atingir a temperatura necessária para o tratamento de lesões. Somente com uma redução na temperatura interna conseguir-se-ia alcançar uma hipotermia significativa. Segundo (ZHU, ACKERMAN, et al., 2006), a temperatura do sangue arterial é o maior determinante da temperatura do cérebro, responsável por um efeito de proteção contra resfriamentos externos. Assim, o efeito de um resfriamento externo dependeria da relação entre o tamanho do cérebro e o comprimento da área de influência da temperatura do sangue arterial. Estudos mostram um resfriamento bem sucedido em experimentos em animais de pequeno porte como ratos, visto que o efeito de proteção tem uma extensão da mesma ordem de grandeza do seu cérebro. No caso dos seres humanos, esta proteção tem uma extensão muito menor, limitando a área de resfriamento apenas à superficie do cérebro. Em recém-nascidos, simulações computacionais (VAN LEEUWEN, HAND, et al., 2000) mostram que a hipótese de que o resfriamento da superfície da cabeça utilizando capacetes térmicos reduz significativamente a temperatura no interior do cérebro é falsa e que não há como resfriar a cabeça manterndo a termperatura interna do corpo normal. Aumentando-se os valores da conditividade térmica das camadas superficiais da cabeça, conclui-se que não é a resistência térmica do crânio que impede que o calor penetre no cérebro e sim a perfusão do sangue que evita o resfriamento interno. O resfriamento do pescoço também não se mostrou eficiente no processo de hipotermia moderada, não sendo suficiente para se atingir os objetivos desejados. Assim, o único método de resfriar o cérebro seria o resfriamento de todo o corpo ou o resfriamento direto do sangue arterial que chega ao cérebro, levando a uma redução da temperatura arterial que alteraria a temperatura do cérebro como um todo. Vale ressaltar que a mudança da temperatura do cérebro altera o funcionamento das atividades cerebrais, afetando a afinidade de hemoglobina por oxigênio, a taxa de reações químicas, a geometria das proteínas e que um fluxo adequado de sangue no cérebro é essencial para manter o funcionamento dos órgãos. Métodos diretos de resfriamento introduzindo um cateter na veia femural e na veia cava foram propostos recentemente (WANG e ZHHU, 2007). Um fluido refrigerante é bombeado no cateter para aumentar a velocidade do resfriamento. Assim, evitar-se-iam 4 os efeitos adversos do resfriamento do corpo todo, como complicações imunológicas, metabólicas, cardiovasculares, pulmonares e de coagulação. Um problema encontrado em utilizar tratamentos por hipotermia é que a medição direta da temperatura no cérebro em pacientes com isquemias é complicada, visto que a introdução de sondas pode causar danos adicionais aos tecidos (ZHU e DIAO, 2001). Assim, muitas vezes considera-se a temperatura no cérebro como sendo igual à temperatura interna do corpo. Entretanto, o desenvolvimento de técnicas não destrutivas de determinar a temperatura no interior do cérebro é indispensável para melhorar o tratamento clinico de traumas após qualquer tipo de isquemia. A difusão de calor no cérebro depende de uma série de mecanismos como fluxo sanguíneo, temperatura arterial, metabolismo das células e trocas com o meio externo (SUKSTANSKII e YABLONSKIY, 2004). Sendo assim, o estudo da distribuição de biocalor através de uma discretização microscópica é complicado devido à complexidade da anatomia dos órgãos, distribuição dos vasos sanguíneos e outros fatores. Dessa forma, o transporte de biocalor é geralmente analisado em uma macroescala, seja considerando o sangue e os tecidos como uma mistura em um meio contínuo, como é o caso do modelo de Pennes, ou através de teorias de meio poroso, considerando os tecidos como matrizes porosas saturadas de sangue (FAN e WANG, 2011). Por serem simplificados, os modelos que consideram o sangue e os tecidos uma mistura homogênea não permitem a obtenção de relações entre as propriedades macroscópicas e miscroscópicas e tampouco são capazes de descrever a interação entre o sangue e os tecidos (FAN e WANG, 2011). Apesar disso, conseguem descrever de maneira simples o transporte de biocalor, se mostrando bastante eficiente nos estudos realizados até o momento mesmo sem considerar os efeitos direcionais do fluxo de sangue, como no caso de aplicação em hipertermia terapêutica para tratamento de câncer (AMRI, SAIDANE e PULKO, 2011), detecção de tumores na pele (PARTRIDGE e WROBEL, 2007), tratamento de queda capilar durante quimioterapia (FRIJNS, VAN LEEUWEN e VAN STEENHOVEN, 2006) e predição de taxas de perfusão de sangue a partir de medidas experimentais dos gradientes de temperatura e fluxo de biocalor (ZHU e DIAO, 2001). A grande concentração de capilares nos tecidos cerebrais torna a consideração de distribuição isotrópica de calor condizente com o problema real. 5 Um estudo comparativo (VAN LEEUWEN, HAND, et al., 2000) entre um modelo que representa o fluxo de sangue como uma fonte de calor e um modelo que discretiza os vasos sanguíneos mostrou que o uso de um modelo mais complexo e realista tem pouco efeito na qualidade dos resultados, tendo como única diferença principal a presença de uma concentração de calor devido à presença dos vasos sanguíneos, enquanto o modelo com fonte de calor obteve contornos mais suaves e distribuídos de temperatura. Dessa forma, o modelo de Pennes é aplicado com frequência a análises que envolvem transferência de calor nos tecidos, prevendo a distribuição de temperatura em próstatas caninas (DIAO, ZHU e WANG, 2003). A solução analítica da equação de Pennes (DIAO, ZHU e WANG, 2003),(ZHU e DIAO, 2001) considerando uma redução da perfusão do sangue a 20% do normal durante a isquemia mostra resultados que permitem uma compreensão maior sobre a penetração do resfriamento no interior do cérebro e características do tempo de resfriamento utilizando diferentes métodos. DIAO, ZHU e WANG. (2003) analisaram o processo de resfriamento e reaquecimento do cérebro através de um programa de elementos finitos em um modelo simples definindo a cabeça como uma esfera de quatro camadas e utilizando taxas de perfusão diferentes em duas regiões consideradas normal e isquemica. Com isso constatou-se que a taxa de perfusão influencia significativamente na capacidade de resfriamento do cérebro e o estudo do seu comportamento durante a isquemia é bastante importante para o entendimento do processo. Alguns autores (THOMAN, LAMPOTANG, et al., 1998) consideram que existem alguns parâmetros sistêmicos que agem como mecanismos reguladores do fluxo de sangue no cérebro. O principais parâmetros considerados são a pressão arterial do sangue, a pressão parcial de oxigênio, a pressão parcial de dióxido de carbno e a taxa metabólica de consumo de oxigênio. Esse parâmetros são monitorados por médicos durante cirurgias e tratamento de pacientes com danos cerebrais, além de se alterarem em casos de sangramentos, envenenamento do sangue, formação de edemas, aneurismas e derrames causados por pressão alta no cérebro. Sua influência na dinâmica do cérebro foi estudada por THOMAN, LAMPOTANG, et al. (1998) e seus efeitos na temperatura cerebral foram analisados em alguns estudos com modelos simples (LEY e BAYAZITOGLU, 2003), nos quais considerou-se a cabeça como uma esfera de três camadas e resfriamento externo por convecção de Newton. 6 Com relação à taxa metabólica de geração de calor, muitos modelos não a consideram ou consideram-na constante. Alguns autores (LEY e BAYAZITOGLU, 2003) consideram que no caso de doenças, traumas ou sob o efeito de drogas essa taxa varia consideravelmente, influenciando a distribuição da temperatura no cérebro. Outros autores (ZHU, ACKERMAN, et al., 2006) afirmam que a taxa metabólica não afeta significativamente a temperatura, sendo responsável por uma redução máxima de 0.9oC na temperatura do cérebro. (KONSTAS, NEIMARK, et al., 2006) e (NEIMARK, KONSTAS, et al., 2008) discutem a necessidade de um resfriamento rápido do cérebro, o que não pode ser feito com técnicas de resfriamento do corpo todo. A proposta de um resfriamento seletivo do cérebro usando infusão salina (NEIMARK, KONSTAS, et al., 2007) na carótida por cateterização transfemoral se mostra um método de resfriamento muito mais rápido do que o resfriamento do corpo todo e mais eficiente que o resfriamento da superfície da cabeça. NELSON e NUNNELEY. (1998) analisaram um modelo simplificado da cabeça utilizando três camadas, sendo elas um fluido cerebro-espinhal, crânio e escalpo. Utilizando mecanismos de difusão de calor por resfriamento do sangue arterial, convecção do retorno venoso da superfície da face e escalpo para o crânio e evaporação das mucosas, foi constatado que, mesmo em condições adversas de temperatura arterial elevada, superfície externa quente e sem evaporação, a temperatura interna permaneceu apenas 0.2-0.3oC acima da temperature arterial, mostrando que a baixa relação superfície/volume e alta perfusão do sangue minimizam qualquer efeito da temperatura externa na elevação ou diminuição da temperatura do cérebro, reduzindo a vulnerabilidade do cérebro à temperaturas externas extremas (NELSON e NUNNELEY, 1998). 7 2. METODOLOGIA 2.1 Modelo Matemático O transporte de sangue nos tecidos é um processo difícil de ser modelado em nível microscópico devido à grande quantidade de vasos presentes no tecido cerebral. O modelo de Pennes é um modelo que considera o sangue e os tecidos como um meio contínuo homogêneo, sendo utilizado em abordagens macroscópicas da distribuição de biocalor nos tecidos. É uma modificação da equação do calor que considera o fluxo de sangue e a geração metabólica de calor como fontes de calor. Nessa equação, o sangue é considerado como uma fonte de calor isotrópica. Sua fórmula é dada pela equação 𝑐𝑡 𝜌𝑡 𝜕𝜙 𝜕𝑡 = ∇ ∙ (𝑘∇𝜙) + 𝜌𝑎 𝑐𝑎 w𝑎 (𝜙𝑎 − 𝜙) + 𝑞𝑚 em um domínio Ω ( 2.1 ) onde 𝜙(𝑥, 𝑡) é a temperatura do tecido, k é o coeficiente de difusão térmica do tecido, 𝑐𝑡 é o calor específico do tecido, 𝜌𝑡 é a massa específica do tecido, 𝑐𝑎 é o calor específico do sangue, 𝜌𝑎 é a massa específica do sangue, 𝜙𝑎 é a temperatura do sangue e 𝑞𝑚 é a taxa metabólica de geração de calor. O termo representativo da fonte de calor isotrópica é considerado proporcional à taxa de perfusão local do sangue (w𝑎 ) e à diferença entre a temperatura do sangue arterial e do tecido em questão. As condições de contorno são φ = φ em Γφ (condições de contorno essenciais) q ⋅ n = q em Γq (condições de contorno naturais) ( 2.2 ) sendo �𝑞 �𝛤𝑞 , 𝑡� o fluxo de calor prescrito no contorno 𝛤𝑞 , 𝜙��𝛤𝜙 , 𝑡� as temperaturas prescritas no contorno 𝛤𝜙 e n a normal externa ao contorno 𝛤 = 𝛤𝜙 ∪ 𝛤𝑞 . As condições iniciais são dadas por sendo 𝜙0 a temperatura inicial. 𝜙(𝑥, 𝑡0 ) = 𝜙0 8 ( 2.3 ) Nessa análise, o cérebro é modelado como um quarto de esfera de quatro camadas (Figura 2.1), representando parte do tecido cerebral com camadas de espessura uniforme do crânio e do escalpo, de modo a reproduzir de forma realística a cabeça de um bebê recém-nascido. O tecido cerebral é representado por duas camadas internas diferentes correspondentes à massa branca e a massa cinzenta do cérebro. As propriedades de cada camada são apresentadas na Tabela 2.1 (DIAO, ZHU e WANG, 2003). Como condição inicial considera-se a temperatura normal do corpo humano. A condição de contorno aplicada na parte inferior e na lateral interna do quarto de esfera é uma condição adiabática, visto que a maior parte da transferência de calor ocorre do meio externo na direção radial. O resfriamento da cabeça é em geral realizado com um capacete de resfriamento ou com pacotes de gelo sobre o escalpo. Assim, na superfície externa da esfera, pode-se prescrever tanto uma temperatura fixa (pacotes de gelo) como um fluxo convectivo externo (capacete) utilizando a condição de resfriamento de Newton de acordo com a fórmula �𝑞 = ℎ𝑐 (𝜙𝑒𝑥𝑡 − 𝜙𝑠 ) ( 2.4 ) onde 𝜙𝑒𝑥𝑡 é a temperatura ambiente externa, 𝜙𝑠 é a temperatura na superfície do tecido e hc é o coeficiente de transferência de calor. Segundo (DIAO, ZHU e WANG, 2003), pode-se considerar ℎ𝑐 = 30 W. m-2 .K -1 e 𝜙𝑒𝑥𝑡 = 0 oC. Nas interfaces entre as camadas são necessárias condições de continuidade de temperatura e fluxo de calor. Nas simulações realizadas, a temperatura do sangue arterial e a temperatura inicial da cabeça foram consideradas de 37oC. Tabela 2.1Parâmetros utilizados na análise numérica. Parâmetro Material Valor Calor específico (J kg-1 K -1) Sangue 3800.0 Escalpo 4000.0 Crânio 2300.0 9 Massa Específica (kg m-3) Condutividade Térmica (W m K-1) Taxa de perfusão (ml 100g-1 min -1) Massa Cinzenta 3700.0 Massa Branca 3700.0 Sangue 1050.0 Escalpo 1000.0 Crânio 1500.0 Massa Cinzenta 1050.0 Massa Branca 1050.0 Escalpo 0.34 Crânio 1.16 Massa Cinzenta 0.50 Massa Branca 0.50 Escalpo 2.0 Crânio 1.8 Massa Cinzenta 80.0 Massa Branca 20.0 Taxa metabólica de geração de calor Escalpo 363.4 (Wm-3) Crânio 368.3 Massa Cinzenta 16700.0 Massa Branca 4175.0 Espessura da camada em recém- Escalpo 2.0 nascidos(mm) 10 Crânio 2.0 Massa Cinzenta 11.0 Massa Branca 42.0 Espessura da camada em adultos Escalpo 4.0 (mm) Crânio 4.0 Massa Cinzenta 18.0 Massa Branca 67.0 Figura 2.1 Representação da cabeça como um quarto de esfera de três camadas: cinza claro- Massa branca, cinza escuro – massa cinzenta, azul claro - crânio e verde escalpo. 11 Em uma primeira análise, considerou-se a taxa de perfusão do sangue e a geração metabólica de calor como constantes, variando-se apenas a temperatura externa imposta. Uma segunda análise realizada considerou a taxa de perfusão e a geração metabólica de calor do tecido cerebral dependentes da temperatura, de acordo com ( 2.5) e ( 2.6) (NEIMARK, KONSTAS, et al., 2008). Estas relações foram obtidas através da interpolação de dados clínicos. 𝑞 = 𝑞0 ∙ 30.084(∅ w𝑎 = 𝑤0 ∙ 30.084(∅ −∅𝑎 ) −∅𝑎 ) ( 2.5 ) ( 2.6 ) Uma terceira simulação foi realizada para analisar mudanças no fluxo de sangue no cérebro (CBF) de acordo com mudanças nos parâmetros fisiológicos, sendo eles pressão parcial de oxigênio (PaO2), pressão parcial de gás carbônico (PaCO2), taxa metabólica de consumo de oxigênio (CMRO2) e pressão arterial média do sangue (MABP). Neste caso, define-se a relação entre a taxa de perfusão de sangue e esses parâmetros como (LEY e BAYAZITOGLU, 2003): w𝑎 = 𝑤0 (1 + Δ𝐶𝐵𝐹) ( 2.7 ) sendo 𝑤0 a taxa de perfusão de sangue no cérebro sob uma temperatura interna normal e Δ𝐶𝐵𝐹 o percentual de alteração no fluxo de sangue no cérebro devido a mudanças nos parametros fisiológicos, definida como: %𝐶𝐵𝐹𝑖 − 100 ) 100 Δ𝐶𝐹𝐵 = �( 𝑖 ( 2.8 ) sendo i os parâmetros fisiológicos PaO2, PaCO2, CMRO2 e MABP. As expressões para as funções de %𝐶𝐵𝐹𝑖 foram obtidas de um modelo de dinâmica cerebral (THOMAN, LAMPOTANG, et al., 1998) e podem ser descritas como: 12 Para PaO2: 0 ≤ 𝑃𝑎𝑂2 < 40 %𝐶𝐵𝐹𝑃𝑎𝑂2 = 241.20908 − (2.90778 ∙ 𝑃𝑎𝑂2 ) 40 ≤ 𝑃𝑎𝑂2 < 61 %𝐶𝐵𝐹𝑃𝑎𝑂2 = 1174.3974 − (70.115107 ∙ 𝑃𝑎𝑂2 ) ( 2.9 ) ( 2.10 ) +1.7436586 ∙ (𝑃𝑎𝑂2 )2 − 0.01948396 ∙ (𝑃𝑎𝑂2 )3 + 8.232781 ∙ 10−5 ∙ (𝑃𝑎𝑂2 )4 61 ≤ 𝑃𝑎𝑂2 < 750 %𝐶𝐵𝐹𝑃𝑎𝑂2 = 104.47978 + (0.02543 ∙ 𝑃𝑎𝑂2 ) ( 2.11 ) %CBF vsPaO2 300 250 %CBF 200 150 %CBF 100 50 0 0 50 100 150 PaO2 (mmHg) Figura 2.2 %CBF vs PaO2 13 200 250 Para PaCO2: 0 ≤ 𝑃𝑎𝐶𝑂2 < 20 20 ≤ 𝑃𝑎𝐶𝑂2 < 80 80 ≤ 𝑃𝑎𝐶𝑂2 < 100 %𝐶𝐵𝐹𝑃𝑎𝐶𝑂2 = 2.6 ∙ 𝑃𝑎𝐶𝑂2 ( 2.12 ) %𝐶𝐵𝐹𝑃𝑎𝐶𝑂2 = 1.76562 + 2.50347 ∙ 𝑃𝑎𝐶𝑂2 ( 2.13 ) %𝐶𝐵𝐹𝑃𝑎𝐶𝑂2 = 158.0634 + 0.55461 ∙ 𝑃𝑎𝐶𝑂2 ( 2.14 ) %CBF vsPaCO2 250 200 %CBF 150 %CBF 100 50 0 0 20 40 60 PaCO2 (mmHg) Figura 2.3 %CBF vs PaCO2 14 80 100 Para CMRO2: %𝐶𝐵𝐹𝐶𝑀𝑅𝑂2 = −9.88769 + 30.87319 ∙ 𝐶𝑀𝑅𝑂2 ( 2.15 ) %CBF vs CMRO2 160 140 120 %CBF 100 80 %CBF 60 40 20 0 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 CMRO2 (ml/100g/min) Figura 2.4 %CBF vs CMRO2 Para MABP: 0 ≤ 𝑀𝐴𝐵𝑃 < 60 %𝐶𝐵𝐹𝑀𝐴𝐵𝑃 = −9.3627273 + 3.8025758 ∙ 𝑀𝐴𝐵𝑃 ( 2.16 ) −6.6594872 ∙ 10−2 ∙ 𝑀𝐴𝐵𝑃2 + 1.0904429 ∙ 10−3 ∙ 𝑀𝐴𝐵𝑃3 + 8.839161 ∙ 10−6 ∙ 𝑀𝐴𝐵𝑃4 60 ≤ 𝑀𝐴𝐵𝑃 < 140 %𝐶𝐵𝐹𝑀𝐴𝐵𝑃 = 100 15 ( 2.17 ) 140 ≤ 𝑀𝐴𝐵𝑃 < 185 %𝐶𝐵𝐹𝑀𝐴𝐵𝑃 = −9824.923 ( 2.18 ) + 255.153798 ∙ 𝑀𝐴𝐵𝑃 − 2.43203203 ∙ 𝑀𝐴𝐵𝑃2 +1.0147878 ∙ 10−2 ∙ 𝑀𝐴𝐵𝑃3 − 1.555245 ∙ 10−5 ∙ 𝑀𝐴𝐵𝑃4 %CBF vs MABP 180 160 140 %CBF 120 100 80 %CBF 60 40 20 0 0 50 100 150 200 MABP (mmHg) Figura 2.5 %CBF vs MABP Diferentemente dos outros parâmetros, a taxa metabólica de consumo de oxigênio é um parâmetro dependente da temperatura (THOMAN, LAMPOTANG, et al., 1998) e pode ser calculado pela relação: 𝐶𝑀𝑅𝑂2 = 𝑒𝑥𝑝(−2.7579 + 0.1089. 𝜙) 16 ( 2.19 ) CMRO2 vs Temperatura 7 CMRO2(ml/100ml/min) 6 5 4 CMRO2 3 2 1 0 17 22 27 32 37 42 Temperatura(oC) Figura 2.6 CMRO2 vs Temperatura. 17 47 2.2 Modelo Numérico No modelo numérico utiliza-se o método dos elementos finitos para a obtenção de uma solução aproximada para a equação de Pennes ( 2.1 ). A geometria do problema, representada por um quarto de esfera com quatro materiais, sendo eles o tecido cerebral (massa branca e massa cinzenta), o crânio e o escalpo, é discretizada por elementos tridimensionais tetraédricos de quatro nós (Figura 2.7). Este elemento foi utilizado na implementação pela sua flexibilidade na representação de geometrias mais complexas. Figura 2.7 Elemento Tetraédrico Linear. Seja a equação diferencial ( 2.1 ) sujeita às condições de contorno apropriadas. Sendo 𝜙(𝑥, 𝑡) a variável dependente, Ω o domínio espacial do problema e (0,T) o intervalo de tempo da análise. Na formulação semi-discreta o domínio Ω é discretizado em elementos e para o tempo 𝑡 = 𝑡𝑛+1 , adota-se uma aproximação do tipo 𝜙(𝒙, 𝑡𝑛+1 ) ≅ 𝜙�(𝒙, 𝑡𝑛+1 ) = ∑𝑘𝑗=1 𝑁𝑗 (𝒙)𝜙�𝑗,𝑛+1 , onde 𝑁𝑗 (𝑥) são as funções de interpolação espaciais, e 𝜙�𝑗,𝑛+1 são os valores nodais da função 𝜙�, no tempo 𝑡𝑛+1 . As derivadas temporais de 𝜙 no instante 𝑡𝑛+1 são aproximadas por 𝜕𝜙 � 𝜕𝑡 𝑡 𝑡=𝑡𝑛+1 ≅ 𝜙�̇ (𝒙) = ∑𝑘𝑗=1 𝑁𝑗 (𝒙) 𝜙�̇ 𝑗,𝑛+1 . Após a introdução das aproximações acima, obtém-se o sistema de equações algébricas para o tempo 𝑡 = 𝑡𝑛+1 : 𝐌𝛟̇𝐧+𝟏 + 𝐊𝛟𝐧+𝟏 = 𝐅𝐧+𝟏 18 ( 2.20 ) onde M é a matriz de massa,𝛟̇𝐧+𝟏 são valores nodais das derivadas no tempo da temperatura, 𝐊 é a matriz de rigidez, 𝛟𝐧+𝟏 são as temperaturas nodais no tempo t n+1 e 𝐅𝐧+𝟏 é o vetor de termos independentes, sendo ( 2.21 ) 𝑚𝑖𝑗 = � 𝑐𝑡 𝜌𝑡 𝑁𝑖 𝑁𝑗 𝑑Ω Ω k 𝑖𝑗 = 𝑘 � Ω 𝜕𝑁𝑖 𝜕𝑁𝑗 𝜕𝑁𝑖 𝜕𝑁𝑗 𝜕𝑁𝑖 𝜕𝑁𝑗 + + 𝑑Ω 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 ( 2.22 ) + � 𝑐𝑎 𝜌𝑎 w𝑎 𝑁𝑖 𝑁𝑗 𝑑Ω Ω 𝑓𝑖 = � 𝑞𝑚 𝑁𝑖 𝑑Ω − � 𝑞� 𝑁𝑖 𝑑Γ + � 𝑐𝑎 𝜌𝑎 w𝑎 𝜙𝑎 𝑁𝑖 𝑑Ω Ω Γ ( 2.23 ) Ω Para resolver o problema transiente, utiliza-se uma formulação semi-discreta do método dos elementos finitos, onde a discretização espacial é feita por elementos finitos e as derivadas no tempo são discretizadas por operadores de diferenças finitas utilizando-se o método do Trapézio (Figura 2.8). 𝛟̇𝒏+α 𝛟̇𝒏 𝛟̇𝒏+𝟏 Figura 2.8 Método do Trapézio Considerando para o tempo 𝑡 = 𝑡𝑛+1 a variável dependente como 𝛟𝐧+𝟏 e a derivada temporal 𝛟̇𝒏+𝟏 , pode-se escrever: 19 𝛟̇𝒏+𝟏 − 𝛟̇𝒏+α 𝛟̇𝒏+α − 𝛟̇𝒏 = (0 ≤ α ≤ 1) (1 − α) α ( 2.24 ) 𝛟̇𝒏+α = (1 − α)𝛟̇𝒏 + α𝛟̇𝒏+𝟏 ( 2.25 ) ϕn+1 = ϕn + ∆t𝛟̇𝒏+α ( 2.26 ) Sendo α uma constante positiva cujo valor encontra-se entre zero e um. Caso α = 0 o método é dito explícito, e para α > 0, o método é implícito. Para valores de α ≥ 1⁄2, o método apresenta estabilidade incondicional. Se α ≥ 1⁄2, a estabilidade fica condicionada a um interval de tempo ∆t < ∆t crit , sendo ∆t crit o maior valor de passo de tempo para o qual o método apresenta estabilidade. Para problemas não-lineares, pode-se usar um algoritmo preditor/multicorretor. Para isto, deve-se considerar que o resíduo no tempo 𝑡𝑛+1 deve ser igual a zero se o sistema está equilíbrio: 𝐑 = 𝐅𝐧+𝟏 − 𝐌𝛟̇𝐧+𝟏 − 𝐊𝛟𝐧+𝟏 = 𝟎 ( 2.27 ) Sendo 𝐑 o resíduo calculado no tempo 𝑡𝑛+1 . Nesta dissertação, utilizou-se o Algoritmo 2.1 apresentado abaixo (HUGHES, 1987). Algoritmo 2.1 Algoritmo preditor/multicorretor � n+1 = 𝛟𝐧 + (1 − α)∆t𝛟̇𝒏 1: 𝛟 (preditor) 2: i = 0 � n+1 3: 𝛟in+1 = 𝛟 4: 𝛟̇𝑖𝑛+1 = 0 5: 𝐑𝑖 = 𝐅𝑛+1 − 𝐌𝛟̇𝑖𝑛+1 − 𝐊𝛟𝑖𝑛+1 ∗ −1 𝑖 6: ∆𝛟̇𝑖+1 𝑛+1 = (𝐌 ) 𝐑 (1) ̇𝑖 ̇ 𝑖+1 7: 𝛟̇𝑖+1 𝑛+1 =𝛟𝑛+1 + ∆𝛟𝑛+1 (fase corretora) � ̇ 𝑖+1 8: 𝛟𝑖+1 𝑛+1 =𝛟n+1 + α∆t𝛟𝑛+1 9: i = i + 1 (1) 𝐌∗ = 𝐌 + α∆t𝐊. 20 Foram implementados elementos isoparamétricos para mapear a geometria dos elementos em um sistema local de coordenadas naturais, onde as integrais podem ser facilmente efetuadas. A parametrização consiste em mapear os elementos em um domínio regular de coordenadas naturais, considerando funções polinomiais idênticas às utilizadas na aproximação da solução. Assim, as integrais podem ser calculadas no domínio de coordenadas naturais, mudando apenas o domínio e limites de integração. Isso é feito através da matriz Jacobiana J de transformação de coordenadas. Os parâmetros usados no tetraedro são as coordenadas de volume do elemento. Assim, a integral a ser resolvida pode ser definida como: � f(ξ1 , ξ2 , ξ3 , ξ4 )dΩ Ω 1 1−ξ1 = � � 0 0 1−ξ1 −ξ2 � 0 ( 2.28 ) f(ξ1 , ξ2 , ξ3 , ξ4 )det𝐉dξ3 dξ2 dξ1 O sistema de equações é montado através de um loop nos elementos e resolvido utilizando-se o método dos gradientes conjugados com pré-condicionador diagonal (SAAD, 2000). Os passos seguidos no método dos gradientes conjugados podem ser sintetizados da seguinte maneira para um sistema Ax=b: Escolher um ponto 𝑥0 arbitrário e gerar uma seqüência de pontos 𝑥1 , 𝑥2 , ..., 𝑥𝑛 para seguir a direção do vetor 𝑓 ′ (𝑥). O resíduo em 𝑥𝑖 será 𝑟𝑖 = 𝑏 − 𝐀𝑥𝑖 e o erro em 𝑥𝑖 será 𝑒𝑖 = 𝑥 ∗ − 𝑥𝑖 .O resíduo pode ser visto como a direção de máxima descida de 𝑓(𝑥) em 𝑥𝑖 , isto é 𝑟𝑖 = 𝑓 ′ (𝑥). Dado 𝑥0 pode-se encontrar um ponto 𝑥1 definindo-o como 𝑥1 = 𝑥0 + 𝜆𝑟0 , onde o parâmetro 𝜆 é o comprimento do passo, de modo que 𝑥1 diminua o resíduo (ou seja, 𝑓 ′ (𝑥)) dando-se um passo na direção de −𝑓 ′ (𝑥0 ). Para encontrar o melhor valor de 𝜆, minimiza-se 𝑓(𝑥) ao longo da direção definida por 𝑟0 . 21 Este procedimento é repetido por várias iterações, até que 𝑥𝑖 esteja suficientemente próximo de 𝑥 ∗ . Nesta dissertação utilizou-se como critério de parada uma tolerância de 1.0 × 10−10 e um máximo de 20.000 iterações. O pré-condicionador diagonal, que foi utilizado nesta dissertação, consiste em uma matriz diagonal 𝐌 que contém os valores da diagonal de 𝐀. Em outras palavras: Mij = Aij 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 𝑗 Mij = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 𝑗 22 ( 2.29 ) 3. RESULTADOS 3.1 Geometria e Condições de Contorno O problema foi discretizado utilizando uma malha de 2.979.344 elementos tetraédricos lineares ( Figura 3.1) representando o cérebro de um recém-nascidos, e em uma malha de 3.979.344 elementos tetraédricos lineares (Figura 3.2) representando o cérebro de um adulto, formando um quarto de esfera dividida em quatro camadas representando o tecido cerebral (massa cinzenta e massa branca), o crânio e o escalpo. Figura 3.1 Malha de 2.979.344 elementos tetraédricos lineares – cérebro de um recémnascidos. 23 Figura 3.2 Malha de 3.979.344 elementos tetraédricos lineares – cérebro de um adulto. 3.2 Taxa de Perfusão Constante Mantendo uma taxa de perfusão de 80 ml 100g-1 min 100g-1 min -1 -1 para a massa cinzenta e 20 ml para a massa branca do tecido cerebral, foi feita uma análise da temperatura radial considerando como condição de contorno uma temperatura de 0.0oC, 10.0oC ,20.0oC e 30.0oC na parte externa da esfera e fluxo nulo nos contornos internos (condição adiabática). Foi considerada uma temperatura inicial de 37.0oC em toda a esfera. Os resultados encontrados estão representados na Figura 3.3 e na Figura 3.4. 24 Distribuição radial da temperatura - Perfusão constante recém-nascidos 40 35 Temperatura (oC) 30 22.0 mm 25 0oC 20 10oC 20oC 15 30oC 10 5 0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 Distância do centro da esfera (m) 0.05 0.06 Figura 3.3 Distribuição radial da temperature – Perfusão Constante (recém-nascidos). Distribuição radial da temperatura - Perfusão Constante - adultos 40 35 Temperatura (oC) 30 25 19.0 mm 0oC 20 10oC 15 20oC 10 30oC 5 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Distância do centro da esfera (m) Figura 3.4 Distribuição radial da temperature – Perfusão Constante (adultos). 25 Os resultados mostram que, mantendo uma taxa de perfusão constante, o resfriamento no interior do cérebro é limitado às camadas superiores, independente da temperatura da superfície. Considerando uma variação de até 0.3oC, resfriamento penetra um máximo de 22.0 mm em recém-nascidos (18.0 mm da massa cinzenta do cérebro) e 19.0mm em adultos (11.0 mm da massa cinzenta do cérebro). A temperatura interna do cérebro mantem-se aproximadamente a 37.3oC, sendo 0.3oC acima da temperatura arterial imposta. 3.3 Taxa de perfusão reduzida Na Figura 3.5 e Figura 3.6 podem ser vistos os efeitos de uma redução da taxa de perfusão à 30%, 50% e 80% do seu valor normal 𝑤0 . Para essa análise foi considerada a temperatura externa de 0oC, correspondente ao resfriamento com pacotes de gelo. A redução na taxa de perfusão aumenta a penetração do resfriamento tanto em adultos quanto em recém-nascidos, sendo nesses o efeito mais pronunciado. Redução na Perfusão - recém-nascidos 40 35 Temperatura (oC) 30 25 20 15 10 5 0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Distância radial (m) 30%wo 50%wo 80%wo 100%wo Figura 3.5 Redução na perfusão – Recém-nascidos. 26 0.06 Reduçao na Perfusão - adultos 40 35 Temperatura (oC) 30 25 20 15 10 5 0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Distância radial (m) 30%wo 50%wo 80%wo 100%wo Figura 3.6 Redução na Perfusão – Adultos. A redução na taxa de perfusão significa um menor fluxo de calor do sangue pros tecidos, o que leva a uma diminuição da temperatura do cérebro. Embora nas camadas mais externas essa diminuição seja mais pronunciada, no interior do cérebro pode haver uma pequena elevação da temperatura, o que é evidenciado por ZHU e DIAO. (2001). Uma justificativa para esse aumento é que uma redução na perfusão faz com que o valor de (𝜙𝑎 − 𝜙) aumente próximo à superfície, o que faz com que o termo de perfusão 𝜌𝑎 𝑐𝑎 w𝑎 (𝜙𝑎 − 𝜙) aumente no centro do cérebro. Em outras palavras, a redução de w𝑎 não garante que o produto 𝜌𝑎 𝑐𝑎 w𝑎 (𝜙𝑎 − 𝜙) sempre aumente. 3.4 Taxa Mebólica de geração de calor e Taxa de Perfusão Variáveis Mantendo uma taxa metabólica de geração de calor e taxa de perfusão variáveis de acordo com ( 2.5 ) e ( 2.6 ), foi feita uma análise da temperatura radial considerando como condição de contorno uma temperatura de 0.0oC, 10.0oC ,20.0oC e 30.0oC na parte externa da esfera e fluxo nulo nos contornos internos (condição adiabática). Foi considerada uma temperatura inicial de 37.0oC em toda a esfera. Os resultados comparativos da utilização de uma taxa metabólica de geração de calor e taxa de 27 perfusão constantes e variáveis estão representados em Figura 3.7 e Figura 3.8 para cada temperatura externa prescrita. Distribuição radial da temperatura (recém-nascidos) Perfusão Variável 40 35 Temperatura (oC) 30 25 0oC Variável 20 29.0 mm 10oC Variável 20oC Variável 15 30oC Variável 10 5 0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 Distância radial (m) Figura 3.7 Distribuição radial da temperatura (recém-nascidos) - Perfusão Variável. 28 Distribuição radial da temperatura (adultos) - Perfusão variável 40 35 Temperatura (oC) 30 25 22.0 mm 0oC Variável 20 10oC Variável 15 20oC Variável 30oC Variável 10 5 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Distância do centro da esfera (m) Figura 3.8 Distribuição radial da temperatura (adultos) – Perfusão variável Os resultados mostram que, ao se utilizar uma taxa de perfusão variável, consegue-se aumentar a penetração do resfriamento no interior do cérebro, embora este continue limitado às camadas superiores, independente da temperatura da superfície. Considerando-se uma variação de até 0.3oC da temperatura interna, o resfriamento penetra um máximo de 29.0 mm em recém-nascidos (25.0mm do tecido cerebral cérebro) e 22.0mm em adultos (14.0 mm do tecido cerebral). A temperatura interna do cérebro mantem-se aproximadamente a 37.3oC, sendo 0.3oC acima da temperatura arterial imposta. 29 Comparativo - Perfusão constante x Perfusão variável com a temperatura- Temperatura externa 0oC - recémnascidos 40 35 Temperatura (oC) 30 25 20 0oC Variável 0oC 15 10 5 0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 Distância r (m) Figura 3.9 Comparativo - Perfusão constante x Perfusão variável com a temperaturaTemperatura externa 0oC - recém-nascidos 30 Comparativo - Perfusão constante x Perfusão variável com a temperatura - Temperatura externa 10oC - recémnascidos 40 Temperatura (oC) 35 30 25 10oC Variável 10oC 20 15 10 0 0.01 0.02 0.03 0.04 Distância r (m) 0.05 0.06 Figura 3.10 Comparativo - Perfusão constante x Perfusão variável com a temperaturaTemperatura externa 10oC - recém-nascidos 40 Comparativo - Perfusão constante x Perfusão variável com a temperatura - Temperatura externa 20oC - recémnascidos 38 Temperatura (oC) 36 34 32 30 20oC Variável 28 20oC 26 24 22 20 0 0.01 0.02 0.03 0.04 Distância r (m) 0.05 0.06 Figura 3.11 Comparativo - Perfusão constante x Perfusão variável com a temperaturaTemperatura externa 20oC - recém-nascidos 31 38 Comparativo - Perfusão constante x Perfusão variável com a temperatura - Temperatura externa 30oC - recémnascidos 37 Temperatura (oC) 36 35 30oC Variável 30oC 34 33 32 31 30 0 0.01 0.02 0.03 Distância r (m) 0.04 0.05 0.06 Figura 3.12 Comparativo - Perfusão constante x Perfusão variável com a temperatura Temperatura externa 30oC - recém-nascidos Comparativo - Perfusão constante x Perfusão variável com a temperatura - Temperatura externa 0oC - adultos 40 35 Temperatura (oC) 30 25 20 0oC Variável 15 0oC 10 5 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Distância r (m) Figura 3.13 Comparativo - Perfusão constante x Perfusão variável com a temperatura Temperatura externa 0oC - adultos 32 Comparativo - Perfusão constante x Perfusão variável com a temperatura - Temperatura externa 10oC - adultos 40 Temperatura (oC) 35 30 25 10oC Variável 20 10oC 15 10 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Distância r (m) Figura 3.14 Comparativo - Perfusão constante x Perfusão variável com a temperatura Temperatura externa 10oC - adultos Comparativo - Perfusão constante x Perfusão variável com a temperatura - Temperatura externa 20oC - adultos 40 38 Temperatura (oC) 36 34 32 30 28 20oC Variável 26 20oC 24 22 20 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Distância r (m) Figura 3.15 Comparativo - Perfusão constante x Perfusão variável com a temperatura Temperatura externa 20oC - adultos 33 Comparativo - Perfusão constante x Perfusão variável com a temperatura - Temperatura externa 30oC - adultos 38 37 Temperatura (oC) 36 35 34 30oC Variável 33 30oC 32 31 30 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Distância r (m) Figura 3.16 Comparativo - Perfusão constante x Perfusão variável com a temperatura Temperatura externa 30oC - adultos 3.5 Variação nos parâmetros fisiológicos (PaO2,PaCO2,CMRO2 e MABP) Para estudar os efeitos da variação dos parâmetros fisiológicos na distribuição da temperatura, foi feita uma variação de cada parâmetro separadamente, mantendo os outros parâmetros nos seus valores médios normais, sendo eles MABP = 100mmHg, PaO2 = 100 mmHg e PaCO2=40mmHg. O consumo metabólico de oxigênio (CMRO2) varia com a temperatura de acordo com ( 2.19 ). A variação na taxa metabólica de geração de calor continua a ser feita segundo ( 2.5 ). Segundo LEY e BAYAZITOGLU. (2003), a expressão ( 2.19 ) é válida para temperaturas acima de 10oC e alguns autores (GLUCKMAN, WYATT, et al., 2005) consideram que para temperaturas abaixo de 20oC o fluxo de sangue no cérebro é desacoplado da taxa metabólica de oxigênio. Por esses motivos, adotou-se como temperatura na superfície externa a temperatura de 10oC. Dessa forma, a temperatura nas camadas representativas da massa cerebral não chegam a valores inferiores a 20oC. 34 i. Variação da MABP A MABP pode ser alterada devido a drogas ou condições como edemas cerebrais, aneurismas ou outros problemas causados por derrames. Considera-se valores utilizados em hipotensão moderada (45 mmHg), normotensão (100mmHg) e hipertensão moderada (160mmHg). MABP - recém -nascidos 40 35 Temperatura (oC) 30 MABP 45mmHg 25 MABP 100mmHg 20 MABP 160mmHg 15 10 0 0.01 0.02 0.03 Distância r (m) 0.04 0.05 0.06 Figura 3.17 Distribuição radial da temperatura – variação na MABP – Recém nascidos 35 MABP - Adultos 40 Temperatura (oC) 35 30 25 MABP 45mmHg 20 MABP 100mmHg 15 MABP 160mmHg 10 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Distância r (m) Figura 3.18 Distribuição radial da temperatura – variação na MABP – Adultos. Pode-se observar que, para uma situação de hipotensão moderada, o fluxo de sangue no cérebro se reduz em 14%, o que leva a uma pequena queda na temperatura. Já para um caso de hipertensão moderada, ocorre um acréscimo na CBF de aproximadamente 13%, reduzindo a penetração do resfriamento com relação a uma situação normal. A diferença na penetração do resfriamento é de menos de 2.0 mm em recém-nascidos e de menos de 1 mm em adultos. ii. Variação da PaO2 e PaCO2 Variações de PaO2 e PaCO2 ocorrem pela respiração de ar com diferentes concentrações de O2 e CO2 ou por asfixia ou envenenamento por CO2. Valores de PaO2 menores que 100mmHg representam uma condição hipóxica, e produzem aumento da CBF. Valores muito superiores a 100mmHg representam uma condição de hiperoxia.Foram considerados valores de PaO2 de 25, 50, 100 e 250 mmHg. Com relação ao CO2, valores correspondentes a uma condição de hipercapnia moderada e severa correspondente a 36 60mmHg e 90mmHg são considerados. A PaCO2 é um forte vasodilatador da vasculatura cerebral, o que significa que o aumento da concentração de CO2 aumenta o raio das arteriolas e o volume de sangue que penetra nos tecidos.A condição de Hipocapnia (PaCO2 < 40 mmHg) por outro lado, reduz a CBF e aumenta a capacidade autoregulatória do cérebro, reduzindo o diametro dos vasos e aumentando a elasticidade após hipertensão ou condições que afetam a quantidade de sangue que entra no cérebro. PaO2 - Recém-nascidos 40 35 Temperatura (oC) 30 PaO2 25mmHg 25 20 PaO2 50mmHg 15 PaO2 100mmH g 10 0 0.01 0.02 0.03 Distäncia r (m) 0.04 0.05 0.06 Figura 3.19 Distribuição radial da temperatura – variação na PaO2 – Recém-nascidos. 37 PaO2 - Adultos 40 35 Temperatura (oC) 30 PaO2 25mmHg PaO2 50mmHg PaO2 100mmHg PaO2 250mmHg 25 20 15 10 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Distäncia r (m) Figura 3.20 Distribuição radial da temperatura – variação na PaO2 – Adultos. Pode-se observar que, para uma condição hipóxica, o fluxo de sangue no cérebro reduz em 68% e 7%, respectivamente para valores de PaO2 de 25mmHg e 50mmHg, enquanto uma condição hiperóxica (250mmHg) aumenta o CBF em 10% levando a uma variação máxima na penetração do resfriamento de 12 mm e 7 mm para recém-nascidos e adultos, respectivamente, considerando-se a condição de hipoxia (25mmHg). 38 PaCO2 - Recém-nascidos 40 35 Temperatura (oC) 30 25 PaCO2 40mmHg PaCO2 60mmHg PaCO2 90mmHg 20 15 10 0 0.01 0.02 0.03 Distäncia r (m) 0.04 0.05 0.06 Figura 3.21 Distribuição radial da temperatura – variação na PaCO2 – Recém-nascidos. PaCO2 - Adultos 40 Temperatura (oC) 35 30 PaCO2 40mmHg PaCO2 60mmHg PaCO2 90mmHg 25 20 15 10 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Distäncia r (m) Figura 3.22 Distribuição radial da temperatura – variação na PaCO2 – Adultos. 39 Pode-se observar que o aumento da Pressão de dióxido de carbono leva a um aumento do fluxo de sangue no cérebro de 52% e 108%, respectivamente para valores de PaCO2 de 60mmHg e 90mmHg. levando a uma variação máxima na penetração do resfriamento de 13 mm para recém-nascidos e 5 mm para adultos. 3.6 Mudança na Temperatura Arterial (Ta) Mantendo-se uma taxa metabólica de geração de calor e taxa de perfusão variáveis de acordo com ( 2.5 ) e ( 2.6 ), foi feita uma análise da temperatura radial considerando a temperatura do sangue arterial (𝑇𝑎 ) de 34oC. Como condição de contorno considerou-se uma temperatura de 0.0oC, 10.0oC ,20.0oC e 30.0oC na parte externa da esfera e fluxo nulo nos contornos internos (condição adiabática). Foi considerada uma temperatura inicial de 37.0oC em toda a esfera. Os resultados encontrados estão representados na Figura 3.23 e Figura 3.24. Temperatura Arterial 34oC - Recém-nascidos 40 35 Temperatura (oC) 30 25 0oC 20 10oC 20oC 15 30oC 10 5 0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 Distância r (m) Figura 3.23 Distribuição radial da temperatura – Temperatura arterial de 34oC – RecémNascidos. 40 Temperatura Arterial 34oC - Adultos 40 35 Temperatura (oC) 30 25 0oC 20 10oC 20oC 15 30oC 10 5 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Distância r (m) Figura 3.24 Distribuição radial da temperatura – Temperatura arterial de 34oC – Adultos. Os resultados mostram que, mesmo diminuindo-se a temperatura arterial de 37 oC para 34oC , o resfriamento no interior do cérebro continua limitado às camadas superiores, porém é possível resfriar o interior do cérebro a 34-35oC. Isso mostra a influência da temperatura arterial na temperatura do cérebro, e corrobora com a teoria de que não se consegue resfriar o cérebro resfriando apenas a superfície da cabeça, deve-se resfriar o corpo inteiro de modo a baixar a temperatura do sangue que chega ao cérebro, ou, como mostra (NEIMARK, KONSTAS, et al., 2008) pode-se injetar um fluido frio para ajudar a reduzir a temperatura cerebral sem a necessidade de resfriar todo o corpo. A temperatura interna do cérebro mantem-se aproximadamente a 34.3oC, sendo 0.2-0.3oC acima da temperatura arterial imposta, o mesmo resultado foi encontrado por NELSON e NUNNELEY. (1998). Considerando os efeitos da temperatura externa, para uma variação de até 0.3oC, o resfriamento externo penetra um máximo de 28.0 mm em recém-nascidos (24.0 mm da massa cinzenta do cérebro) e 21.0mm em adultos (13.0 mm da massa cinzenta do cérebro). 41 3.7 Simulação utilizando-se modelo do crânio Após realizar análises utilizando o modelo simplificado, considerando-se a cabeça como uma semi-esfera, foi obtida uma geometria através de imagens de ressonância magnética de um crânio real de um adulto (Figura 3.25). O modelo possui uma geometria mais próxima do real, possibilitando uma interpretação maior dos resultados. A malha foi discretizada em 1.276.821 elementos tetraédricos lineares, conforme mostra a Figura 3.26. Neste caso, devido às limitações na aquisição da geometria, foi possível a definição de três materiais, sendo eles o crânio, a massa cinzenta e a massa branca (Figura 3.27). Figura 3.25 Geometria obtida através de imagens computadorizadas. 42 Figura 3.26 Malha de 1.276.821 elementos tetraédricos lineares. 43 A B Figura 3.27 Definição das camadas de materiais: Azul – massa cerebral branca, verdemassa cerebral cinzenta e vermelho – crânio. Devido à ausência da camada representativa do escalpo, foi definida uma temperatura prescrita na parte de trás da superfície do crânio, simulando o efeito de resfriamento da cabeça com pacotes de gelo. A temperatura foi obtida através das análises anteriores, utilizando-se a temperatura de transição entre as camadas de escalpo e crânio da análise da semi-esfera, como mostram a Figura 3.4 e Figura 3.8. Foi adotada para fins comparativos para todos os casos uma mesma temperatura prescrita de 20.0oC. Os resultados de temperatura para uma taxa de perfusão constante por material e para uma análise dependente da temperatura segundo ( 2.5 ) e ( 2.6 ) estão plotados na Figura 3.30 ao longo de uma linha que passa pelo centro da cabeça, como mostra a Figura 3.29. 44 Figura 3.28 Definição da condição de temperatura prescrita (em azul). 45 A,B B A B A Figura 3.29 Linha AB ao longo da qual são plotados os resultados de temperatura. 46 Perfusão Constante x Perfusão Variável 40 38 36 Temperatura (oC) 34 32 30 w constante 28 26 w variável 24 22 20 0 0.05 0.1 0.15 0.2 distância AB(m) Figura 3.30 Perfusão Constante x Perfusão Variável – modelo do crânio. Pelo gráfico acima, pode-se constatar que a variação da perfusão com a temperatura não possui resultados expressivos no modelo geométrico utilizado. A análise da Figura 3.30 mostra que considerando-se a perfusão dependente da temperatura não se obtem uma diferença significativa na redução da temperatura no cérebro. Os resultados comparativos utilizando-se perfusão constante e dependente da temperatura são tão parecidos que não justificam a realização de outras simulações com o crânio, embora a geometria seja bem mais realista. 47 4. CONCLUSÕES O modelo estudado nessa dissertação permite um entendimento maior dos métodos de resfriamento utilizados para tratamento de doenças, tanto em adultos quanto em recémnascidos. Os resultados encontrados mostram que a hipótese levantada em outros estudos de que mantendo-se a taxa de perfusão constante, não se consegue diminuir a temperatura no interior do cérebro apenas usando resfriamento seletivo da cabeça é verdadeira. O resfriamento da superfície da cabeça mantendo-se a temperatura sistêmica normal de 37oC não é atingido devido ao alto fluxo de sangue no cérebro. A diminuição da temperatura na superfície apenas aumenta o gradiente nas camadas superficiais do cérebro, como pode ser visto na Figura 3.3 e Figura 3.4. A redução na perfusão e a consideração da mesma como dependente da temperatura também são hipóteses que diminuem a temperatura nas camadas superficiais, reduzindo a temperatura média e aumentando a penetração do resfriamento. Porém, esse resfriamento não atinge as camadas mais internas. O mesmo acontece com a alteração de parâmetros fisiológicos. A MABP, PaCO2,PaO2 e CMRO2 alteram o fluxo de sangue no cérebro (CBF), aumentando ou reduzindo a perfusão. A integração desses fatores no modelo mostra uma alteração na profundidade limite atingida pelo resfriamento superficial. Porém, mesmo utilizando-se diferentes fluxos de sangue no cérebro (CBF) não é possível atingir as camadas mais internas do cérebro. O modelo mostra que a temperatura do cérebro é basicamente controlada pela temperatura do sangue arterial que entra no cérebro, mantendo-se 0.2-0.3oC acima da mesma (KONSTAS, NEIMARK, et al., 2006). Reduzindo esta temperatura, é possível alcançar uma condição de hipotermia moderada em toda a massa cerebral. Isto sugere que a hipotermia deve ser alcançada através de outros meios, como resfriamento de todo o corpo para reduzir a temperatura corporal e, consequentemente, a temperatura arterial, ou infusão de um fluido refrigerante para obter um resfriamento mais rápido e eficiente. O resfriamento através dessa técnica é obtido quando o fluido é levado até o cérebro provocando a redução das temperaturas, ao mesmo tempo em que a hemoluição provocada pela infusão aumenta a perfusão, o que auxilia a difusão do resfriamento 48 ocasionado pelo mesmo. Para realizar análises considerando-se o efeito da infusão salina, é necessário incluir a temperatura do fluido refrigerante e, para isso, considerar a localização das artérias que levam o sangue ao cérebro e das veias que o retornam, o que torna o problema muito mais técnico. Para o caso de recém-nascidos, a técnica de infusão salina não é aplicada, sendo um caso mais delicado a ser estudado. Uma avaliação entre os resultados obtidos com adultos e recém-nascidos mostra que, apesar de haver uma barreira ao resfriamento externo em ambos, em recém-nascidos ela é mais fraca, possibilitando uma penetração de resfriamento maior com a temperatura e com a variação de parâmetros fisiológicos. O estudo de uma geometria mais realista da cabeça possibilita a confirmação das conclusões acima em um modelo mais próximo do real que uma semi-esfera, mantendo a posição da impossibilidade de resfriamento pela superfície da cabeça. A falta da camada mais externa mostra que, partindo-se de uma mesma temperatura na interface crânio/escalpo, a variação da perfusão com a temperatura é praticamente insignificante, influenciando apenas as camadas mais externas da cabeça. Os resultados obtidos podem nao ter uma correlação direta com recém-nascidos, mas servem como ponto de partida para uma análise mais realista dos resultados obtidos para os mesmos. Assim, uma simulação mais realista teria que considerar o corpo inteiro, o que torna o problema bem mais complicado, pois envolveria uma simulação do fluxo de sangue no corpo. Tal simulação poderia ser feita utilizando as equações de Navier-Stokes. Neste caso, os maiores desafios seriam na modelagem de veias e arterias. Estudos recentes (SCHWARZ, HEILMANN, et al., 2009) mostram modelos simplificados deste tipo de análise. 49 5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AMRI, A.; SAIDANE, A.; PULKO, S. Thermal analysis of a three-dimensional breast model with embedded tumour using the transmission line matrix (TLM) method. Computers in Biology and Medicine, v. 41, n. 2, p. 76-86, February 2011. ARAUJO, A. S. et al. Hypothermy as a protective strategy in asphyxiated newborns after hypoxic-ischemic encephalopathy. Rev. Bras. 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