Sétima Aula

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Introdução à Astrofísica
Reinaldo R. de Carvalho ([email protected])
pdf das aulas estará em http://cosmobook.com.br/?page_id=440
Capítulo 7!
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Classificação dos Espectros Estelares!
!
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Tipos espectrais de estrelas!
Distribuição de Maxwell-Boltzmann!
Equação de Boltzmann!
Equação de Saha!
O Diagrama HR
Tipos Espectrais de Estrelas
Com a invenção da fotometria e da espectroscopia, a nova ciência da astrofísica desenvolveu
rapidamente. Em 1817, Fraunhofer já tinha determinado que diferentes estrelas possuem diferentes
espectros. Espectros estelares foram classificados segundo vários esquemas e na medida que os
instrumentos eram aperfeiçoados subdivisões foram feitas.
O esquema de classificação de Harvard “O B A F G K M”, é uma seqüência de temperatura, O sendo
as mais quentes e M as mais frias. Estrelas no inicio da seqüência são chamadas “early-type”
enquanto aquelas no final da seqüência são as “late type”. Existem sub-divisões dentro de cada classe
que variam de 0 a 9 e a nomenclatura “early” e “late” também se aplica nas sub-divisões, como por
exemplo uma estrela K0 é “early” enquanto uma B9 é “late”. Um dos catálogos mais importantes de
estrelas colecionou cerca de 200000 estrelas e é conhecido como catálogo de Henry Draper. Ainda hoje
em dia usa-se a terminologia do numero de entrada no catálogo Henry Draper, a estrela Betelgeuse é
HD39801.
A compreensão teórica do átomo quântico no inicio do século XX deu aos astrônomos a chave para o
entendimento do espectro estelar. Linhas de absorção são criadas quando um átomo absorve um fóton
com exatamente a energia requerida para um elétron fazer uma transição de um nível inferior para
outro superior. Linhas de emissão são formadas pelo processo inverso, quando um elétron faz uma
transição de um nível superior para um nível inferior e um único fóton carrega a energia perdida pelo
elétron.
A distinção entre os espectros das estrelas com diferentes temperaturas refletem os elétrons ocupando
diferentes orbitais atômicos na atmosfera dessas estrelas. O átomo pode estar em qualquer um dos
vários estágios de ionizacao e tem um conjunto único de orbitais em cada estágio. O estágio de
ionização de um átomo é denominado por um numeral Romano seguido pelo símbolo do átomo. Por
exemplo, H I e He I são hidrogênio e hélio neutro, não ionizado. He II é o hélio uma vez ionizado. Si
III e Si IV significa o átomo do Silício que perdeu dois e três elétrons, respectivamente.
A cor de uma estrela depende de sua temperatura superficial.
Classe de Luminosidade
Em 1930 W.W. Morgan e P.C. Keenan desenvolveram
um sistema de classe de luminosidade baseado em
pequenas diferenças espectrais observadas nos espectros
das estrelas. Quando estas classes são colocadas do
diagrama H-R, elas fornecem uma subdivisão útil dos
tipos estelares. Classes de luminosidade Ia e Ib são compostos de supergigantes; classe de luminosidade V inclui as estrelas da
seqüência principal.
Note que para estrelas de uma dada temperatura
superficial, quanto maior o número da classe de
luminosidade menor é a luminosidade da estrela.
Como veremos mais tarde, diferentes classes de
luminosidade representam diferentes estágios da
evolução de uma estrela.
!
Exemplo: o Sol é uma estrela G2 V, temperatura de 5800
K e magnitude absoluta de 4.74.
Paralaxe Espectroscópica
O tipo espectral de uma estrela e a classe de
luminosidade, combinadas com a informação no
diagrama H-R, permite determinar a distância à
estrela.
Uma das estrelas da Plêiades tem um espectro
que revela ser esta estrela de tipo espectral B8 V
(uma estrela quente, “azul”, da seqüência
principal). Usando o diagrama H-R mostrado
anteriormente, podemos estimar uma
luminosidade de ~ 190 L⊙. O fluxo desta estrela é
medido como 3.19 x 10-13 F⊙. Assim:
Distribuição de Maxwell-Boltzmann
Antes de apresentar a distribuição de Maxwell-Boltzmann, vamos discutir alguns elementos básicos
da teoria cinética dos gases (ver os vídeos).
Um “estado” do gás pode ser especificado por coordenadas canônicas
{q1, q2 … q3N}
{pi,qi}
{p1, p2 … p3N}
➔ 𝜞
Um ponto no espaço de fase representa um estado do sistema como um todo, ou seja de todas as
partículas.
Um grande número de estados do gás corresponde a uma dada condição macroscópica do gás.
p
P, V, T
q
Gibbs chamou esta coleção de sistemas um “ensemble”. O ensemble é descrito por uma função
ρ(p,q,t) tal que ρ(p,q,t) dp dq seja o número de pontos representativos, que num dado tempo t está
contido no elemento infinitesimal dp dq de 𝜞 centrado em p,q.
ponto representativo
p
Teorema de Liouville
q
Se nós seguirmos o “movimento” de um ponto representativo no espaço 𝜞, encontramos que a
densidade de pontos representativos na vizinhança é constante.
Outro importante conceito é o de ergodicidade, que diz que se esperamos um tempo suficientemente
longo, o locus de um ponto representativo do sistema cobrirá todo o espaço de fase. Ou seja, o ponto
representativo se aproxima de qualquer ponto acessível no espaço de fase: isto quer dizer que o
ensemble correspondente ao equilíbrio termodinâmico é aquele para o qual ρ é constante sobre o espaço
de fase acessível.
Distribuição de Maxwell-Boltmann
Para se compreender o esquema de classificação espectral duas questões são importantes e devem ser
investigadas. Em que órbitas os elétrons são mais comumente encontrados ? Qual o número relativo de
átomos nos diferentes estágios de ionização ?
A Mecânica Estatística é a área da física que trata das propriedades estatísticas de sistemas compostos
de muitas partículas. Por exemplo, um gás contém um grande número de partículas com uma grande
variação de velocidades e energias.
Na prática seria impossível descrever o comportamento detalhado de cada partícula individualmente,
no entanto o gás como um todo tem certas propriedades bem definidas como temperatura, pressão e
densidade. Para um gás em equilíbrio térmico (o gás que não aumenta nem diminui sua temperatura
rapidamente) a função de distribuição de velocidades de Maxwell-Boltzmann descreve a fração de
partículas que possuem velocidades dentro de um certo domínio. Assim, o número de partículas por
unidade de volume tendo velocidades entre 𝑣 e 𝑣 + d𝑣 é dado por
onde n é o número de partículas por unidade de volume, n𝑣 = ∂n/∂𝑣, m é a massa da partícula, 𝜿 é a
constante de Boltzmann e T é a temperatura do gás.
O expoente da função de distribuição é a razão da energia cinética de uma partícula do gás e a energia
térmica característica.
fração de partículas com velocidades entre 𝑣 e 𝑣 + d𝑣
Não existe um número significativo de partículas com
energia muito maior ou muito menor que a energia
térmica. A distribuição atinge um máximo quando
estas energias são iguais, numa velocidade
denominada velocidade mais provável.
Devido a assimetria na distribuição com um excesso de valores de alta velocidade, vemos que a
velocidade média quadrática, vmq, é ligeiramente maior do que a velocidade média quadrática de uma
distribuição gaussiana.
Exemplo 1: A área sob a curva entre duas velocidades é igual a fração de partículas naquele intervalo de
velocidades. Para determinar a fração de átomos de Hidrogênio em um gás de temperatura T = 10000 K
com velocidades entre 2.0 x 104 m/s e 2.5 x 104 m/s é necessário integrar a função de Maxwell-Boltzmann
entre os dois limites. A partir da equação
A equação acima tem solução analítica entre 0 e ∞, mas entre dois valores quaisquer necessita de
integração numérica. Mas em primeira aproximação podemos fazer v¯ = (v2 + v1)/2 e escrever
Aproximadamente 12.5% dos átomos de Hidrogênio em um gás a 10000 K tem velocidades entre 2.0 x
104 m/s e 2.5 x 104 m/s. Uma integração numérica mais precisa fornece 12.76%.
A Equação de Boltzmann
Os átomos ganham e perdem energia na medida que colidem. Assim, a distribuição de velocidades, dada
pela equação de Maxwell-Boltzmann, produz uma distribuição definida de elétrons entre as órbitas
atômicas. A distribuição de elétrons é governada por um resultado fundamental da mecânica estatística.
Seja sa um conjunto de números quânticos que identifica um certo estado de energia, Ea. Similarmente
seja um conjunto sb para um outro estado Eb. Por exemplo, consideremos Ea = -13.6 eV, o estado
fundamental do Hidrogênio, com sa = {n = 1, l = 0, ml = 0, ms = ±1/2}. Então a razão entre a probabilidade
P(sb) que o sistema esteja num estado sb e a probabilidade P(sa) que o sistema está no estado sa é dada
por:
Onde T é a temperatura comum aos dois estados. O termo e-E/kT é denominado fator de Boltzmann.
Consideremos, por exemplo, que Eb > Ea. Note que na medida que kT decresce para 0 (T → 0) a
quantidade -(Eb - Ea)/kT → -∞ e portanto P(sb)/P(sa) → 0. Isto é exatamente o que esperamos se não
existe qualquer energia térmica disponível para elevar a energia de um átomo a um nível superior. Por
outro lado, se existe considerável energia térmica disponível (T → ∞) e -(Eb - Ea)/𝜿T → 0 e P(sb)/P(sa) →
1. Novamente isso é exatamente o que se espera, uma vez que com um reservatório ilimitado de energia
térmica todos os níveis de energia disponíveis do átomo têm a mesma probabilidade.
Mas lembrem que os níveis de energia do sistema podem ser degenerados, com mais de um estado
quântico tendo a mesma energia. Para levar em conta o número de estados que tem um nível de energia,
define-se ga como o número de estados com energia Ea. Similarmente como gb para o número de estados
com energia Eb. Eles são chamados de pesos estatísticos dos níveis de energia.
A razão da probabilidade P(Eb) que o sistema será encontrado em qualquer um dos gb’s estados
degenerados com energia Eb e a probabilidade P(Ea) que o sistema será encontrado em qualquer um dos
ga’s estados degenerados com energia Ea é dada por
Atmosferas estelares contêm um número grande de átomos, assim a razão de probabilidades é
indistinguível da razão do número de átomos. Logo podemos escrever a equação de Boltzmann como:
Exemplo: Para um gás de átomos de HI, em qual temperatura o número de átomos com elétrons no
nível fundamental (n = 1) será igual ao número de átomos com elétrons no primeiro nível de excitação
(n = 2) ?
Lembremos que a degenerescência é igual a 2n2. Associando o estado “a” com o estado fundamental e o
estado “b” com o primeiro estado de excitação e fazendo N2 = N1, temos
En = =13.6 / n2
Altas temperaturas são requeridas para um significativo número
de átomos de HI ter elétrons no primeiro estado de excitação. A
figura ao lado mostra a ocupação relativa dos níveis fundamental
e de primeira excitação, N2 / (N1 + N2) como função da
temperatura. !
Lembre que as linhas de absorção de Balmer são produzidas por
elétrons nos átomos de HI que realizam uma transição do nível n =
2 para um nível superior. Se uma temperatura de ~ 85000 K é
necessária para prover elétrons ao primeiro nível excitado, então
porque as linhas de absorção de Balmer alcançam seu máximo de
intensidade a uma temperatura muito mais baixa (~9520 K) ?
Vamos agora calcular a fração de átomos de Hidrogênio no nível n = 2 em relação ao n = 1 para
temperaturas de T=10000 K e 20000 K. Como a diferença de energia entre os níveis é 10.2 eV, temos
que E2 - E1 = 10.2 g2 = 8 e g1 = 2.
N2 / N1 (T = 10000 K) = 0.000029 enquanto que N2 / N1 (T = 20000 K) = 0.0108, que é ~ 372 vezes
maior (usamos 𝜿 = 8.617 x 10-5 eV/K).
Agora perguntamos - qual o comprimento de onda de um fóton com com energia equivalente a 10.2
eV ? E = h ν = h c / λ. Usando h = 4.135667 x 10-15 eV s, c = 3.0 x 108 m s-1, temos λ = 1216 Å. Usando a
Lei de Wien temos que o comprimento de onda máximo é λmax (T = 10000 K) = 2899 Å e λmax (T =
20000 K) = 1449 Å. Assim, uma estrela com Tef = 20000 K tem muito mais fótons com energia suficiente
para excitar o elétron do átomo de Hidrogênio ao nível 2.
A intensidade de uma linha depende do número de átomos no estado de energia a partir do qual a
transição ocorre. Assim, precisamos calcular que fração de todos os átomos de um elemento estão
naquele estado de energia, que depende da temperatura T. Para um sistema em equilíbrio térmico, o
número de átomos num estado não muda com o tempo. Cada excitação, em média, compensa uma desexcitação.
A Equação de Saha
A resposta à questão colocada na última seção encontra-se no fato de que é necessário levar em conta o
número relativo de átomos em diferentes estágios de ionização. Seja χi a energia de ionização necessária
para remover um elétron de seu estado fundamental num átomo, assim levando de um estágio de
ionização i para i+1. Por exemplo, a energia de ionização do Hidrogênio é 13.6 eV. No entanto, pode ser
que os íons iniciais e finais não sejam o estado fundamental. !
Assim, define-se a função de partição Z como a soma ponderada do número de modos que o átomo pode
arranjar seus elétrons com a mesma energia com as configurações mais energéticas recebendo menor
peso através do fator de Boltzmann quando a soma é realizada.
!
Se Ej é a energia do j-ésimo nível de energia e gj é a degenerescência deste nível, então a função de
partição Z é definida como:
Se usamos as funções de partição Zi e Zi+1 para o átomo em seus estágios inicial e final de ionização, a
razão do número de átomos no estágio (i+1) e no estágio i é dada por
Esta equação é conhecida como equação de Saha, em homenagem ao astrofísico Meghnad Saha. Note
que: 1) uma vez que um elétron livre é produzido no processo de ionização, não é surpreendente que a
densidade de elétrons livres, ne, (número de elétrons livres por unidade de volume) esteja no lado
direito da equação. 2) Outro fato importante é que quando ne aumenta, o número de átomos no nível superior de ionização
diminui, uma vez que existem mais elétrons com os quais o íon pode recombinar. 3) O fator 2 na equação reflete os dois possíveis estados de spin do elétron livre, ms = ± 1/2.
4) O termo em parêntesis também é relacionado ao elétron livre com me sendo a massa do elétron.
Algumas vezes escreve-se esta equação em termos da pressão de elétrons, Pe = ne 𝜿 T (Lei dos gases
ideais)
Combinando as equações de Boltzmann e de Saha
Agora podemos combinar as duas equações e explicar os espectros estelares que observamos.
Consideremos n = 2 (linhas de Balmer). O Hidrogênio só tem dois estados de ionização, ou neutro ou
ionizado. N = N0 + N1
N0 é a densidade numérica do Hidrogênio neutro
N1 é a densidade numérica do Hidrogênio ionizado
Para determinar a intensidade da linha de absorção de Balmer precisamos saber a densidade numérica
do Hidrogênio neutro com elétrons em n = 2. Em relação ao número total de átomos de Hidrogênio e
íons podemos escrever:
Para temperaturas típicas em atmosferas estelares, T ≲ 50000 K ➡ 𝜿 T ≲ 4 eV. No entanto é necessário
ΔE = 10.2 eV para levar um elétron do nível fundamental ao nível n = 2.
Grande parte dos átomos de Hidrogênio na atmosfera estelar está no nível fundamental.
fração de átomos de Hidrogênio que
tem um elétron no nível n = 2.
N0 é a densidade numérica do Hidrogênio neutro N1 é a densidade numérica do Hidrogênio ionizado
Exercícios
1 - Mostre que à temperatura ambiente a energia térmica 𝜿T ~ 1/40 eV. A que temperatura 𝜿T é
igual a 1 eV e a 13.6 eV ?
2 - Usando a figura ao lado estime a fração de átomos de
Hidrogênio com uma velocidade dentro de 1 km s-1 do valor mais
provável de velocidade.
3 - Mostre que o valor mais provável de velocidade da distribuição de Maxwell-Boltzmann é dado por
4 - Para um gás de átomos de Hidrogênio, em que temperatura o número de átomos excitados no
primeiro nível é 1% do número de átomos no estado fundamental ? em que temperatura o número de
átomos excitados no primeiro nível é 10% do número de átomos no estado fundamental ?
5 - Considere um gás de átomos de Hidrogênio neutro:
a) Em que temperatura o número de átomos no estado fundamental será igual ao número de átomos
no segundo estado excitado (n = 3) ?
b) A uma temperatura de 85400 K, quando um número igual de átomos (N) está no estado
fundamental e no primeiro estado excitado, quantos átomos estarão no segundo estado excitado
(n=3). Expresse sua resposta em termos de N.
c) Quando a temperatura, T, vai para ∞ como os elétrons no átomo de Hidrogênio estarão
distribuídos, de acordo com a equação de Boltzmann ? Isto é, qual será o número relativo de
elétrons nos níveis n = 1, 2, 3 … ? Esta será realmente a distribuição que acontecerá ? Por que ?
6 - Quando se diz que a uma temperatura de 10000 K quase todos os átomos de Hidrogênio estão no
estado fundamental e que portanto a função de partição ZI ≃ g1 ≃ 2.0, que aproximação está sendo
feita neste caso ? (considere somente os três primeiros termos da equação de partição)