Probabilidades

Costa, S.C.
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Universidade Estadual de Londrina
Departamento de Estatı́stica
Probabilidades
Silvano Cesar da Costa
Londrina - Paraná
Costa, S.C.
Noções sobre a teoria das probabilidades
Conceitos probabilı́sticos são necessários para se estudar fenômenos aleatórios,
isto é, situações em que os resultados possı́veis são conhecidos, mas não se
pode saber a priori qual deles ocorrerá.
Conceitos básicos em probabilidade
# Experimento aleatório
É um processo de coleta de dados relativo a um fenômeno que acusa variabilidade em seus resultados. Os resultados não serão previsı́veis, serão diferentes
mesmo que as condições iniciais sejam sempre as mesmas.
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Costa, S.C.
Exemplos:
a) lançar uma moeda honesta e observar a face voltada para cima;
b) lançar três moedas honestas e observar as faces voltadas para cima;
c) efetuar a medida do nı́vel de ácido úrico de um paciente durante um mês;
d) anotar o resultado de uma inseminação artificial;
e) colocar 20 ovos em uma incubadora e observar, após um certo perı́odo de
tempo, o número de ovos eclodidos;
f) anotar o número de espécies de aves que são capturadas numa rede-neblina
armada no sub-bosque de uma floresta nativa.
Quando se tem um experimento aleatório, não se pode prever com certeza o
resultado. Pode-se, no entanto, descrever todos os possı́veis resultados deste
experimento.
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# Espaço Amostral
Ao conjunto de todos os resultados possı́veis de um experimento aleatório
chamamos de espaço amostral. É representado por S ou Ω.
Exemplos:
a) o lançamento de uma moeda e a verificação da face voltada para cima:
b) lançar três moedas justas e observar as faces voltadas para cima:
c) anotar o resultado de uma inseminação artificial;
d) colocar 20 ovos em uma incubadora e observar, após um certo perı́odo de
tempo, o número de ovos eclodidos;
e) anotar o número de espécies de aves que são capturadas numa rede-neblina
armada no sub-bosque de uma floresta nativa:
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Costa, S.C.
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# Evento
É qualquer subconjunto do espaço amostral.
Os eventos são geralmente representados por letras maiúsculas, como A, B,
C, . . ..
Dentre os eventos a considerar, deve-se incluir o próprio espaço amostral
(evento certo) e o conjunto vazio (evento impossı́vel).
Exemplo: Um experimento foi conduzido com a finalidade de se conhecer
a eficiência de um tratamento na cura de certa doença. Para tanto, três
doentes foram tratados com a referida droga. O espaço amostral S é dado
por:
S = {CCC; CCC; CCC; CC C; C CC; CCC; CCC, C C C}
em que: C = cura e C = não cura.
Considere os seguintes eventos:
A = {Obter duas curas}
B = {Obter quatro curas}
=⇒
=⇒
A = {CCC; CCC CCC; }
B = ϕ.
O evento B é denominado evento impossı́vel.
Costa, S.C.
Exercı́cios
Defina um espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos
aleatórios:
I Observar o sexo da próxima pessoa a entrar na sala;
I Uma moeda é lançada duas vezes e observam-se as faces obtidas;
I Uma urna contém 10 bolas azuis e 10 vermelhas com dimensões rigorosamente iguais. Três bolas são selecionadas ao acaso com reposição e as
cores anotadas.
I Um casal pretende ter filhos até ter uma menina ou no máximo quatro
filhos;
I Lance um dado até que a face 3 ocorra pela primeira vez.
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Conceito de Probabilidade
Conceito Clássico ou a priori
a) a probabilidade é definida com base em dados do experimento aleatório;
b) a probabilidade é obtida antes de o experimento ser realizado e, daı́, o
nome a priori ;
O conceito clássico surgiu no século XVII a partir dos jogos de azar e define
a probabilidade de o evento A ocorrer como sendo:
Número de resultados favoráveis a A
P (A) =
Número de resultados possı́veis
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Exemplo: No lançamento de um dado honesto, qual é a probabilidade de o
resultado ser um número:
a) Ímpar?
b) Menor que 3?
c) Primo?
Exemplo: Ao retirar uma carta de um baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser:
a) um rei?
b) uma figura?
c) um número primo?
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Em todos os exemplos, deve-se definir:
E: Experimento aleatório;
S: Espaço amostral;
A: Evento;
P: Probabilidade do evento
É importante notar que a definição clássica exige que os resultados tenham
todos a mesma chance. Se os resultados não têm a mesma chance, deve-se
apelar para a estimativa pela frequência relativa.
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Costa, S.C.
Mas como calcular as probabilidades a priori nas seguintes situações:
a) Uma pessoa que fuma um pacote de cigarros por dia desenvolver câncer;
b) Ocorrer uma geada no próximo inverno;
c) Furto de um veı́culo Honda Civic 2014;
d) Acidente automobilı́stico em Londrina, nos finais de semana, no perı́odo
entre 0h e 4h da manhã;
e) A vacinação contra certa doença reduzir a mortalidade.
f) Uma pessoa do curso de Medicina Veterinária da UEL, ter estatura entre
1, 70 m e 1, 75 m?
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Conceito Frequentista ou a posteriori
Na maioria das situações práticas, os elementos do espaço amostral não são
igualmente prováveis e, deste modo, a probabilidade dos eventos deve ser
calculada utilizando-se da noção de frequência relativa.
As caracterı́sticas da teoria frequentista são:
a) a probabilidade dos eventos é definida com base em registros da ocorrência
dos eventos;
b) os “experimentos aleatórios” passam a ser ensaios conduzidos repetidamente em condições relativamente uniformes, daı́ o nome de
probabilidade a posteriori ;
c) a probabilidade de um evento é definida como a frequência relativa de
ocorrência do evento numa série de ensaios ou simulações, daı́ o nome
“frequentista”.
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Realize (ou observe) um experimento um grande número de vezes e conte
quantas vezes o evento A ocorre. Então P (A) é estimada como segue:
Número de ocorrências de A
P (A) =
Número de repetições
Ao calcular probabilidades pelo método da frequência relativa, obtém-se uma
aproximação em lugar de um valor exato.
À medida que o número de observações aumenta, as aproximações tendem a
ficar cada vez mais próximas da probabilidade efetiva.
Exemplos:
1) Verifique o exemplo sobre Planejamento Familiar da apostila.
2) Dos 4.560 atendimentos realizados pelo Hospital Veterinário da UEL em
2009, 125 resultaram em óbito. Qual a probabilidade de um animal atendido no HV vir a óbito? Considere o evento A como sendo o óbito do
animal.
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Costa, S.C.
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3) A probabilidade de um aluno, aleatoriamente selecionado, do curso de
Medicina Veterinária, da UEL, ter entre 1, 70 m e 1, 75 m é dado por:
Tabela 1: Estaturas dos alunos do
Tabela 2: Estaturas dos alunos do
curso de Medicina Veterinária, da UEL, em 2015.
curso de Medicina Veterinária, da UEL, de 2010 a
2016.
Estaturas
fi
fr
1,50 ⊢ 1,55
2
0,025
Estaturas
fi
fr
1,55 ⊢ 1,60
8
0,100
1,45 ⊢ 1,50
1
0,0022
1,60 ⊢ 1,65
14
0,175
1,50 ⊢ 1,55
17
0,0370
1,65 ⊢ 1,70
18
0,225
1,55 ⊢ 1,60
54
0,1174
1,70 ⊢ 1,75
18
0,225
1,60 ⊢ 1,65
84
0,1826
1,75 ⊢ 1,80
13
0,162
1,65 ⊢ 1,70
84
0,1826
1,80 ⊢ 1,85
4
0,050
1,70 ⊢ 1,75
98
0,2130
1,85 ⊢ 1,90
3
0,038
1,75 ⊢ 1,80
55
0,1196
1,80 ⊢ 1,85
40
0,0870
1,85 ⊢ 1,90
21
0,0456
1,90 ⊢ 1,95
6
0,0130
Costa, S.C.
4) Em uma prova caı́ram dois problemas. Sabe-se que 132 alunos acertaram
o primeiro, 86 erraram o segundo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram
apenas um problema. Qual a probabilidade de que um aluno, escolhido
ao acaso:
a) não tenha acertado nenhum problema?
b) tenha acertado apenas o segundo problema?
5) O número de animais, por porte e sexo, atendidos no Hospital Universitário é:
Sexo
Fêmeas
Machos
Porte do animal
Pequeno Médio Grande
248
102
40
192
82
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Sorteando-se ao acaso uma dessas fichas de atendimento, qual a probabilidade de:
a) uma ficha de animal de grande porte ter sido sorteada?
b) uma ficha de animal macho de pequeno porte ter sido sorteada?
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Costa, S.C.
Propriedades da Probabilidade
As probabilidades sempre se referem a ocorrência de eventos e, independentemente do conceito utilizado, clássico ou frequentista, o modelo de probabilidade terá sempre uma coerência interna que resulta dos axiomas de
probabilidade:
0 ≤ P (A) ≤ 1
P (S) = 1
P (ϕ) = 0
Obs.: Se Ā for o evento complementar de A, então P (Ā) = 1 − P (A).
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Costa, S.C.
Diagramas de Venn
Operações com Eventos
Em muitos problemas de probabilidade interessam-nos eventos que podem ser
expressos em termos de dois ou mais eventos, formando uniões, interseções e
complementos. Os espaços amostrais e os eventos, especialmente as relações
entre os eventos, costumam ser ilustrados por diagramas de Venn, que
auxiliam na “visualização” dos conceitos básicos de probabilidade.
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Costa, S.C.
União de Eventos:
O evento união de A e B equivale à ocorrência de A, ou de B, ou ambos.
Contém os elementos do espaço amostral que estão em pelo menos um dos
dois conjuntos.
∪
Diz-se “ocorre A ou B”.
Notação: A B
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Costa, S.C.
Interseção de Eventos:
A interseção de dois eventos A e B, é o evento que consiste de todos os elementos contidos simultaneamente em A e em B. Contém todos os pontos
comuns a A e B.
∩
Diz-se “ocorre A e B”.
Notação: A B
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Costa, S.C.
Eventos Disjuntos:
Dois eventos A e B, dizem-se disjuntos ou mutuamente exclusivos, quando a
ocorrência de um deles impossibilita a ocorrência do outro. Os dois eventos
não têm elementos
em comum.
∩
Notação: A B = ϕ
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Costa, S.C.
Sub-Conjuntos:
Diz-se: “B é sub-conjunto de A” ou “B implica em A”.
Notação:
{ ∪
B A=A
B⊂A⇒
∩
B A=B
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Costa, S.C.
Complemento:
É o evento que consiste de todos os elementos do espaço amostral que não
estão contidos em A, ou seja, é a negação de A.
Notação: Ac ou Ā.
{
∪
c
A
A=S
Ac ⇒
∩
Ac A = ϕ
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Costa, S.C.
Regras de Cálculo de Probabilidades
Utilizando os diagramas de Venn torna-se mais fácil compreender algumas
regras que surgem naturalmente no cálculo de probabilidades.
Regra 1: Probabilidade da união de eventos
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Se A e B forem mutuamente exclusivos (disjuntos), têm-se P (A ∩ B) = 0, e
o teorema fica sendo:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
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Costa, S.C.
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Exemplo: Considere o experimento “lançamento de um dado” e os seguintes
eventos:
A = sair o número 3;
B = sair número par, e
C = sair número ı́mpar.
Determinar: P (A);
P (B);
P (C);
P (A ∪ B);
P (A ∪ C) e P (Ac ).
Regra 1B: Probabilidade da união de eventos disjuntos
Se A e B são disjuntos ⇒ A ∩ B = ϕ
⇒
P (A ∩ B) = 0.
Portanto, a probabilidade da união de eventos disjuntos fica:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
Costa, S.C.
Regra 2: Probabilidade da união de uma sequência de eventos
disjuntos
Se A1 , A2 , A3 , . . . , formam uma sequência de eventos disjuntos, então:
(∞ )
∞
∑
∪
Ai =
P (Ai ).
P
i=1
i=1
Exemplo: No lançamento de duas moedas temos: A1 = “pelo menos uma
cara”, A2 = “duas coroas”. Qual a probabilidade de duas coroas ou pelo
menos uma cara?
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Costa, S.C.
Regra 3: Probabilidade do complemento
Do diagrama de Venn, têm-se que
A ∪ Ac = S ⇒ P (A ∪ Ac ) = P (S).
Mas, sabe-se que: P (S) = 1, e que A ∪ Ac = ϕ sendo P (ϕ) = 0, logo:
P (A ∪ Ac ) = P (S)
P (A) + P (Ac ) = 1
P (Ac ) = 1 − P (A).
Exemplo: Um dado é lançado 10 vezes, qual a probabilidade de A = “pelo
menos um 6”?
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Costa, S.C.
Probabilidade Condicional
Algumas vezes a chance de um particular evento acontecer depende do resultado de algum outro evento. Por exemplo, a chance de um paciente com
alguma doença sobreviver o próximo ano depende, naturalmente, de ter sobrevivido no presente perı́odo.
A probabilidade do evento A, quando se sabe que o evento B ocorreu, é chamada probabilidade condicional de A dado B, denota-se por P (A|B).
Pode ser determinada dividindo-se a probabilidade de ocorrência de ambos
os eventos A e B pela probabilidade do evento B, como se mostra a seguir:
P (A ∩ B)
P (A|B) =
P (B)
ou, ainda,
P (B|A) =
P (A ∩ B)
,
P (A)
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Costa, S.C.
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Na probabilidade condicional, a ocorrência de um evento altera a probabilidade de ocorrência de outro evento.
Exemplo: Um grupo de pessoas foi classificado quanto a peso e pressão
arterial de acordo com as proporções mostradas na Tabela 3.
Tabela 3: Distribuição de pacientes segundo peso e pressão arterial.
Pressão arterial
Elevada
Normal
Total
Excesso
0,10
0,15
0,25
Peso
Normal
0,08
0,45
0,53
Deficiente
0,02
0,20
0,22
Total
0,20
0,80
1,00
Considerando-se que a pessoa escolhida tem excesso de peso, qual a probabilidade de ter também pressão elevada?
Dado que a pessoa escolhida tem peso deficiente, qual a probabilidade de ter
pressão normal?
Costa, S.C.
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Probabilidade Condicional no Diagrama de Venn
Nota-se, através do diagrama de Venn, que a probabilidade condicional é
apenas uma redução do espaço amostral, ao evento que já ocorreu.
Se o evento A ocorreu, o resultado
está em A, ou seja,
P (B|A) =
P (A ∩ B)
P (A).
Se o evento B ocorreu, o resultado
está em B, ou seja,
P (A|B) =
P (A ∩ B)
P (B).
Costa, S.C.
Exemplo: Um número é sorteado ao acaso entre os inteiros 1, 2, . . . , 15. Se
o número sorteado for ı́mpar, qual a probabilidade de que seja o número 9?
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Costa, S.C.
Aplicação da Probabilidade Condicional
O bom uso de um teste diagnóstico requer, além de considerações clı́nicas, o
conhecimento de medidas que caracterizam a sua qualidade:
a) a sensibilidade;
b) a especificidade;
A sensibilidade, denotada por s, é definida como:
s = P (T+ |D+ ),
A especificidade, denotada por e, é definida como:
e = P (T− |D− ),
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Costa, S.C.
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Tabela 4: Esquema padrão de sı́ntese dos dados para verificação da qualidade
de um teste clı́nico.
Teste (T)
Doença (D)
+
−
Total
Positivo (T )
Negativo (T )
Presente (D+ )
a
b
a+b
Ausente (D− )
c
d
c+d
Total
a+c
b+d
n
Para definir os ı́ndices que descrevem o grau de confiabilidade de um teste,
precisamos trabalhar com os seguintes eventos:
# T+ corresponde a teste positivo;
# T− corresponde a teste negativo;
# D+ corresponde a indivı́duo portador da doença;
# D− corresponde a indivı́duo não portador da doença.
Costa, S.C.
32
Usando a notação da Tabela 4 e a definição de probabilidade condicional,
têm que a sensibilidade e a especificidade são dadas, respectivamente, por:
Sensibilidade
s=
a
a+b
Especificidade
e=
d
c+d
Costa, S.C.
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Exemplo: Linder & Singera estudaram a qualidade da tomografia computadorizada para o diagnóstico de metástase de carcinoma de fı́gado, e os
resultados resumidos na Tabela 5.
Tabela 5: Resultados da tomografia computadorizada em 67 pacientes com
metástase e 83 sem metástase do carcinoma hepático.
Metástase de
Tomografia computadorizada
Total
carcinoma hepático
Positiva (T+ )
Negativa (T− )
Presente (D+ )
52
15
67
Ausente (D− )
9
74
83
Total
61
89
150
a Diagnosing
liver metastases: a Bayesian analysis. Journal of Clinical Oncology,
v.3, p.379-88, 1986
Costa, S.C.
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A sensibilidade e a especificidade da tomografia computadorizada são estimadas por:
Sensibilidade
Especifidade
a
s=
a+b
d
e=
c+d
52
s=
= 0, 776
67
74
e=
= 0, 892
83
Ainda, (1 − e) é definido como a probabilidade de se obter um falso positivo.
Já (1 − s) é a probabilidade de se obter um falso negativo.
Costa, S.C.
Valor das Predições
A sensibilidade e a especificidade não ajudam a decisão da equipe médica
que, recebendo um paciente com resultado positivo do teste, precisa
avaliar se o paciente está ou não doente.
Não se pode depender apenas da sensibilidade e a especificidade, pois
estes ı́ndices são provenientes de uma situação em que há certeza total
sobre o diagnóstico, o que não acontece no consultório médico.
Neste momento, interessa mais conhecer os seguintes ı́ndices denominados valor da predição positiva (VPP) e valor da predição negativa (VPN), definidos
respectivamente por:
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Costa, S.C.
Valor da predição positiva (VPP) é a probabilidade do paciente estar realmente doente quando o resultado do teste é positivo.
V P P = P (D+ |T+ )
Valor da predição negativa (VPN) é a probabilidade do paciente não estar
doente quando o resultado do teste é negativo.
V P N = P (D− |T− )
Estes valores são probabilidade condicionantes, tal que o evento condicionante é o resultado do teste, aquele que na prática acontece primeiro.
36
Costa, S.C.
37
A maneira mais fácil de se calcular o VPP e VPN é através da Tabela 6, sugerida por Vecchio. Seja p a prevalência da doença na população de interesse,
isto é, a proporção de pessoas doentes.
Tabela 6: Probabilidades necessárias para o cálculo dos ı́ndices VPP e VPN.
Proporção com resultado
População
Proporção
Positivo
Negativo
Doente
p
ps
p(1-s)
Sadia
1-p
(1 - p) (1 - e)
(1 - p)e
Total
1
ps + (1 - p)(1 - e)
p (1 - s) + (1 – p)e
Costa, S.C.
Assim, o valor da predição positiva é:
V P P = P (D+ |T+ ) =
ps
.
ps + (1 − p)(1 − e)
O valor da predição negativa é dado por:
(1 − p)e
V P N = P (D− |T− ) =
.
p(1 − s) + (1–p)e
38
Costa, S.C.
Para o exemplo da Tabela 5, considere que a prevalência de metástase de
carcinoma de fı́gado é de 2%, os valores de predição da tomografia computadorizada são:
V PP
V PP
ps
0, 02 × 0, 776
=
ps + (1 − p)(1 − e)
0, 02 × 0, 776 + (1 − 0, 02)(1 − 0, 8916)
= 0, 1275.
=
e
V PN
V PN
(1 − p)e
(1 − 0, 02) × 0, 892
=
=
p(1 − s) + (1–p)e
0, 02 × (1 − 0, 776) + (1 − 0, 02) × 0, 8916)
= 0, 9949.
Portanto, o valor de predição positiva é baixo enquanto que o valor de
predição negativa é bastante alto. Se o resultado da tomografia computadorizada é negativo, a chance de não haver metástase é de 99,5%.
39
Costa, S.C.
Probabilidade da Intersecção de Dois Eventos
A probabilidade condicional permite-nos calcular diretamente a probabilidade da intersecção de dois eventos. Assim,
P (A ∩ B)
P (B)
⇒
P (A ∩ B) = P (B) P (A|B)
P (A ∩ B)
P (B|A) =
P (A)
⇒
P (A ∩ B) = P (A) P (B|A)
P (A|B) =
ou, ainda.
Exemplo: Em um laboratório de diagnóstico por imagem compareceram
nove pacientes naturais do local e três naturais de outros estados. Se dois
dos pacientes são selecionados aleatoriamente para um exame de angiografia,
qual é a probabilidade de serem ambos naturais de outro estado? Considere
A o evento “o primeiro paciente é natural de outro estado” e B o evento “o
segundo paciente é natural de outro estado.”
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Costa, S.C.
Independência de Eventos
Dois eventos são considerados independentes quando a ocorrência de um deles
não depende da ocorrência do outro, isto é, P (A|B) = P (A) e P (B|A) =
P (B). Logo, o teorema do produto para dois eventos independentes é dado
por:
P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
Exemplo 1: Efeitos colaterais com o uso de certa droga ocorrem em 10% de
todos os pacientes que a tomam. Dois pacientes de um médico estão tomando
a droga.
a) Qual é a probabilidade de que ambos os pacientes apresentem os efeitos
colaterais?
b) Qual é a probabilidade de que pelo menos um apresente os efeitos colaterais ?
41
Costa, S.C.
Exemplo 2: Suponha que a probabilidade de uma pessoa ser do tipo sanguı́neo
O é 45%, ser A é 42% e ser B é 10%. Suponha ainda que a probabilidade de
Rh+ é de 90% e que o fator independe do tipo sanguı́neo. Nestas condições,
qual a probabilidade de uma pessoa tomada ao acaso da população ser:
a) O e Rh+ ?
b) AB e Rh− ?
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Costa, S.C.
Livro: Noções de Probabilidade e Estatı́stica
Autores: Marcos Nascimento Magalhães e Antonio Carlos Pedroso de Lima
Pág. 55 –
Exemplo: Uma famı́lia viaja ao litoral para passar um fim de semana. A
probabilidade de congestionamento na estrada é de 0,6. Havendo congestionamento, a probabilidade dos seus dois filhos brigarem no carro é de 0,8 e,
sem congestionamento, a briga pode aparecer com probabilidade 0,4. Quando
há briga, com ou sem congestionamento, a probabilidade do pai perder a
paciência com os filhos é de 0,7. É claro que havendo congestionamento o
pai pode perder a paciência com os filhos mesmo sem brigas o que aconteceria
com probabilidade 0,5. Quando não há nem congestionamento, nem briga, o
pai dirige tranquilo e não perde a paciência. Determina a probabilidade de:
a) não ter havido congestionamento se o pai não perdeu a paciência com seus
filhos;
b) ter havido briga, dado que perdeu a paciência.
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