Estudo da Propagação de Ondas Eletromagnéticas em Estruturas

i
Estudo da Propagação de Ondas Eletromagnéticas em
Estruturas Periódicas Unidimensionais através do Método das
Diferenças Finitas no Domínio do Tempo
Denilson Benedito Gonçalves Pinheiro
Segundo Semestre de 2007
CENTRO TECNOLOGICO
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DO GUAMÁ
BELÉM - PA
ii
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CENTRO TECNOLOGICO
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
Denilson Benedito Gonçalves Pinheiro
Estudo da Propagação de Ondas Eletromagnéticas em
Estruturas Periódicas Unidimensionais através do Método das
Diferenças Finitas no Domínio do Tempo
TRABALHO SUBMETIDO AO COLEGIADO
DO CURSO DE ENGENHARIA ÉLETRICA
PARA
OBTENÇÃO
DO
GRAU
DE
ENGENHEIRO ELETRICISTA – OPÇÃO
TELECOMUNICAÇÕES.
Belém
2007
iii
Ao meu pai celestial, Deus, que sempre será o alicerce
da minha vida.
Aos meus pais, Dulcidio e Áurea, meus exemplos de
lutas e vitórias.
Aos meus irmãos, que dividiram comigo muitos
momentos felizes.
A meu grande amor, Eliene, por sua compreensão,
apoio e incentivo nos momentos difíceis da minha
vida.
iv
AGRADECIMENTOS
Ao orientador, Prof. Dr. Carlos Leonidas da Silva Souza Sobrinho, por ser uma
pessoa generosa, sábia e muito paciente, um verdadeiro educador.
Ao co-orientador, Prof. Msc. Rodrigo Melo e silva de Oliveira, por seu trabalho
de co-orientação, sua disposição e sua busca pela perfeição.
Aos colegas do Laboratório de Análise Numérica em Eletromagnetismo
(LANE), que contribuíram diretamente para a conclusão deste trabalho, principalmente
ao Eng. Eletricista Marcelo Bruno.
À minha família, que sempre me apoiou durante toda a minha vida,
principalmente nos anos de graduação, emocional e financeiramente.
À minha Eliene, cujo auxilio emocional foi fundamental para alcançar o sucesso
deste trabalho.
“Você vai longe na vida na medida em que
for afetuoso com os jovens, piedoso com os
idosos, solidário com os perseverantes e
tolerante com os fracos e fortes. Porque,
em algum momento de sua vida, você terá
sido todos eles. ”
George W. Carver
v
LISTA DE SÍMBOLOS
r
H
Vetor intensidade de campo magnético.
Hx,H y,Hz
Componentes do vetor intensidade de campo magnético, nas direções x,
y e z, respectivamente.
Hn+
1
Hn−
r
E
1
2
Componente de campo magnético no instante n + 1/2.
2
Componente de campo magnético no instante n - 1/2.
Ex , Ey , Ez
Vetor intensidade de campo elétrico.
Componentes do vetor intensidade de campo elétrico, nas direções x, y e
z, respectivamente.
En
Componente de campo elétrico no instante n.
E n +1
Componente de campo elétrico no instante n + 1.
µ
Permeabilidade magnética.
µ0
Permeabilidade magnética absoluta do vácuo (1,256637071 x 10-6
H/m).
ε
Permissividade elétrica.
ε0
Permissividade elétrica absoluta do vácuo (8,8541878 x 10-12 F/m).
εr
Permissividade elétrica relativa.
ε1
Permissividade elétrica do meio 1.
ε2
r
D
r
B
r
J
r
M
Permissividade elétrica do meio 2.
Vetor densidade de fluxo elétrico.
Vetor densidade de fluxo magnético.
Vetor densidade de corrente elétrica.
Vetor densidade de corrente magnético.
σ
Condutividade elétrica.
σ*
Condutividade magnética.
∆x
Incremento da célula de Yee, na direção x.
∆y
Dimensionamento da célula de Yee, na direção y.
∆z
Dimensionamento da célula de Yee, na direção z.
∆t
Incremento temporal.
i
Índice indicador da célula de Yee, na direção x.
vi
j
Índice indicador da célula de Yee, na direção y.
k
Índice indicador da célula de Yee, na direção z.
n
Índice da discretização temporal.
n1
Índice de refração do meio 1.
n2
Índice de refração do meio 2.
C0
Velocidade da luz no vácuo (3 x 108 m/s).
λ
Comprimento de onda.
λ1
Comprimento de onda do meio 1.
λ2
Comprimento de onda do meio 2.
λ min
Comprimento de onda mínimo.
ƒ max
Freqüência máxima.
β
Constante de fase.
βx , β y , βz
Componente da constante de fase, nas direções x, y e z,
respectivamente.
ω
Velocidade angular.
m
Números de camadas por célula da estrutura de Bragg.
θ
Ângulo de incidência da onda.
α, γ , β
Ângulos em graus .
S11
Relação entre o sinal incidente e refletido na porta 1.
S12
Relação entre o sinal incidente na porta 2 e o transmitido na porta 1.
S21
Relação entre o sinal incidente na porta 1 e o transmitido na porta 2.
S22
Relação entre o sinal incidente e refletido na porta 2.
W
Largura de banda.
a
Constante de rede.
λc
Comprimento de onda da radiação eletromagnética.
d ( hkl )
Distância entre os planos cristalográficos.
V1+
Onda eletromagnética chegando na porta 1.
V2+
Onda eletromagnética chegando na porta 2.
V1−
Onda eletromagnética saindo da porta 1.
V2−
Onda eletromagnética saindo da porta 2.
vii
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1
Curva para dedução da fórmula da derivada central.
Figura 2.2
Curva para outra forma de dedução intuitiva da aproximação centrada da
derivada.
Figura 2.3
Célula primária de Yee com componentes elétricas no instante n.
Figura 2.4
Célula secundaria de Yee com componentes magnéticas no instante n+½.
Figura 2.5
Gráfico do espaço-tempo do algoritmo de Yee para a propagação de uma
onda em uma dimensão.
Figura 2.6
Variação da velocidade de fase normalizada versus o ângulo de
propagação da onda, provocada pela dispersão numérica.
Figura 2.8
Malha FDTD mostrando o volume numérico formado pela região de
propagação eletromagnética em análise, circundada pela região de
contorno absorvente UPML e pelo condutor elétrico perfeito.
Figura 3.1
Estruturas com periodicidade unidimensional.
Figura 3.2
Estruturas com periodicidade bidirecional.
Figura 3.3
Estruturas com periodicidade tridimensional.
Figura 3.4
Guia de onda com uma curva acentuada de 90ºC.
Figura 3.5
Parâmetros s em um dispositivo de duas portas. O sobrescrito + onda
incidente (movendo-se na direção da rede) e o sobrescrito – indica uma
onda saindo do dispositivo.
Figura 3.6
Refletor de Bragg simples.
Figura 3.7
Estruturas periódica com uma camada de inserção de um quarto de
comprimento de onda inserida em pares alternados de índice de refração.
Figura 4.1
Esquema utilizado para coletar o coeficiente de transmissão.
Figura 4.2
Cristal fotônico unidimensional com periodicidade na direção x.
Figura 4.3
Curva de dispersão referente a Fig. 4.2.
Figura 4.4
Coeficiente de transmissão plotado para duas permissividades, εr =13 e
εr=1.
Figura 4.5
Esquema
da
configuração
da
estrutura
periódica
para
três
permissividades.
Figura 4.6
Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias
2 e 3.
viii
Figura 4.7
Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias
4 e 5.
Figura 4.8
Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias
6 e 7.
Figura 4.9
Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias
8 e 9.
Figura 4.10
Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias
10 e 11.
Figura 4.11
Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias
11 e 12.
Figura 4.12
Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias
2 e 12; 3 e 11.
Figura 4.13
Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias
4 e 10; 5 e 9.
Figura 4.14
Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias
5 e 9; 6 e 8.
Figura 4.15
Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias
2, 7 e 12; 3, 7 e 11.
Figura 4.16
Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias
4, 7 e 10; 5, 7 e 9.
Figura 4.17
Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias
5, 7 e 9; 6, 7 e 8.
Figura 4.18
Esquema
da
configuração
da
estrutura
periódica
para
seis
permissividades.
Figura 4.19
Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias
2, 3, 11 e 12; 2, 4, 10 e 12.
Figura 4.20
Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias
2, 5, 9 e 12; 2, 6, 8 e 12.
Figura 4.21
Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias
2, 3, 7, 11 e 12; 2, 4, 7, 10 e 12.
Figura 4.22
Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias
2, 5, 7, 9 e 12; 2, 6, 7, 8 e 12.
Figura 4.23
Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias
2, 3, 4,10, 11 e 12; 2,3, 5, 9, 11 e 12.
ix
Figura 4.24
Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias
2,3, 5, 9, 11 e 12; 2, 3, 6, 8, 11 e 12.
Figura 4.25
Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias
2,3, 4, 7, 10, 11 e 12; 2, 3, 5, 7, 9, 11 e 12.
Figura 4.26
Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias
2,3, 5, 7 9, 11 e 12; 2, 3, 6, 7, 8, 11 e 12.
Figura 4.27
Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias
2,3,4, 5, 9, 10, 11 e 12; 2, 3,4, 6, 8, 10, 11 e 12.
Figura 4.28
Esquema mostrando a variação do preenchimento da constante de rede
para duas permissividades.
Figura 4.29
Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.1a e
0.2a.
Figura 4.30
Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.3a e
0.4a
Figura 4.31
Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.5a e
0.6a.
Figura 4.32
Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.7a e
0.8a.
Figura 4.33
Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.8a e
0.9a.
Figura 4.34
Esquema mostrando a variação do preenchimento da constante de rede
para três permissividades
Figura 4.35
Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.1a e
0.2a.
Figura 4.36
Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.3a e
0.4a.
Figura 4.37
Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.5a e
0.6a.
Figura 4.39
Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.1a e
0.2ª.
Figura 4.38
Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.7a e
0.8a.
Figura 4.40
Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.3a e
0.4a.
x
Figura 4.41
Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.5a e
0.6a.
Figura 4.42
Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.6a e
0.7a
Figura 4.43
Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.1a e
0.2a.
Figura 4.44
Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.3a e
0.4a.
Figura. 4.45
Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.5a e
0.6a.
Figura 4.46
Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.1a e
0.2a.
Figura 4.47
Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.3a e
0.4a.
Figura 4.48
Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.4a e
0.5a.
Figura 4.49
Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.1a e
0.2a.
Figura 4.50
Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.3a e
0.4a.
Figura 4.51
Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.1a e
0.2a.
Figura 4.52
Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.2a e
0.3a.
Figura 4.53
Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.1a e
0.2a
Figura 4.54
Estrutura periódica com alternados índices de refração n1 = 1 e n2 =
3.6056 freqüência ƒ1 = 0.15 na base e ƒ2 = 0.2566 no topo do gap.
Figura 4.55
Coeficiente de transmissão correspondente a Fig.4.54.
Figura 4.56
Estrutura periódica com alternados índices de refração n1 = 1 e n2 =
3.6056 com diferentes espessuras L1 = 0.2a, L2 = 0.8a e freqüência ƒ1 =
0.1395 na base e ƒ2 = 0.17 no topo do gap.
Figura 4.57
Coeficiente de transmissão correspondente a Fig.4.56.
xi
Figura 4.58
Estrutura periódica com índices de refração n1 = 1, n2 = 1,7321 e n3 =
3.6056 freqüência ƒ1 = 0.175 na base e ƒ2 = 0.290 no topo do gap.
Figura 4.59
Coeficiente de transmissão correspondente a Fig.4.58.
Figura 4.60
Estrutura periódica com índices de refração n1 = 1, n2 = 1.7321 e n3 =
3.6056 com diferentes espessuras L1 = 0.2 L, L2 = 0.4 L e L3 = 0.4 L.
Freqüência ƒ1 = 0.1582 na base e ƒ2 = 0.26 no topo do gap.
Figura 4.61
Coeficiente de transmissão correspondente a Fig.4.60.
Figura 4.62
Coeficientes de Transmissão para 5 e 10 pares de camadas.
Figura 4.63
Coeficientes de Transmissão para 15 e 20 pares camadas.
Figura 4.64
Coeficientes de Transmissão para 25 e 30 pares de camadas.
Figura 4.65
Coeficientes de Transmissão para 35 e 40 pares de camadas.
Figura 4.66
Coeficientes de Transmissão para ∆n = 3 e 7%.
Figura 4.67
Coeficientes de Transmissão para ∆n = 9 e 11%
Figura 4.68
Coeficientes de Transmissão para ∆n = 13 e 15%.
Figura 4.69
Coeficientes de Transmissão para ∆n = 17 e 19%.
Figura 4.70
Coeficientes de Transmissão para permissividade do substrato igual a 1 e
2.
Figura 4.71
Coeficientes de Transmissão para permissividade do substrato igual a 3 e
4.
Figura 4.72
Coeficientes de Transmissão para permissividade do substrato igual a 6 e
8.
Figura 4.73
Coeficientes de Transmissão para permissividade do substrato igual a 12
e 14.
Figura 4.74
Uma célula básica do projeto de um espelho dual operando em 65934
GHz e 55299 GHz.
Figura 4.75
Coeficientes de transmissão para uma e duas células básicas.
Figura 4.76
Coeficientes de transmissão para três e quatro células básicas.
Figura 4.77
Coeficientes de transmissão para cinco e seis células básicas.
Figura 4.78
Coeficientes de transmissão para seis e sete células básicas.
Figura 4.79
Coeficientes de transmissão para seis e oito células básicas.
Figura 4.80
Coeficientes de transmissão para seis e nove células básicas.
Figura 4.81
Coeficientes de transmissão para dez e nove células básicas.
Figura 4.82
Coeficientes de transmissão para camada de inserção na posição 3 e 5.
xii
Figura 4.83
Coeficientes de transmissão para camada de inserção na posição 7 e 9.
Figura 4.84
Coeficientes de transmissão para os valores das permissividades da
camada de inserção igual a 11 e 10.
Figura 4.85
Coeficientes de transmissão para os valores das permissividades da
camada de inserção igual a 9 e 8,7025.
Figura 4.86
Coeficientes de transmissão para os valores das permissividades da
camada de inserção igual a 7 e 6.
Figura 4.87
Coeficientes de transmissão para os valores das permissividades da
camada de inserção igual a 4 e 5.
Figura 4.88
Coeficientes de transmissão para os valores das permissividades da
camada de inserção igual a 3 e 2.
Figura 4.89
Coeficientes de transmissão para os valores de m igual a 5 e 7.
Figura 4.90
Coeficientes de transmissão para os valores de m igual a 9 e 11.
Figura 4.91
Célula básica sem a camada de inserção.
Figura 4.92
Coeficientes de transmissão para uma e duas células básicas.
Figura 4.93
Coeficientes de transmissão para três e quatro células básicas.
Figura 4.94
Coeficientes de transmissão para cinco e seis células básicas.
Figura 4.95
Coeficientes de transmissão para uma e duas células básicas.
Figura 4.96
Coeficientes de transmissão para três e quatro células básica.
Figura 4.97
Coeficientes de transmissão para cinco e seis células básicas.
xiii
SUMÁRIO
1. Introdução
1.1. Objetivos:
1.2. Composição Estrutural
2. O Método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo em Coordenadas Retangulares
2.1. Introdução
2.2. Diferenças Centradas
2.3. Aplicação do Método das Diferenças Finitas às Equações Rotacionais de
Maxwell
2.4. O algoritmo de Yee.
2.5. Precisão e estabilidade do Método FDTD.
2.6. Condições de fronteira Absorvente para o Algoritmo de Yee
3. Modelagem de Estruturas Fotônicas por Diferenças Finitas 1D no Domínio do Tempo
3.1. Introdução
3.2. Cristais Fotônicos
3.3. Os fenômenos físicos ligados aos materiais PBG
3.4. Caracterização da banda fotônica - Parâmetros de espalhamento
3.5. Espelho de Bragg
4. Metodologia e Análise dos Resultados
4.1. Introdução
4.2. Fonte de Excitação:
4.3. Geração das Curvas de Transmissão:
4.4. Configuração do Programa e Resultados referentes a influência no coeficiente de
transmissão devido à inserção do número intermediário de permissividades relativas e
devido à variação do preenchimento das permissividades εr =13 e εr=1
4.4.1. Estruturas com célula primitiva de 2 camadas dielétricas isotrópicas.
4.4.1.2. Estruturas com célula primitiva de 3 camadas dielétricas isotrópicas
4.4.1.3. Estruturas com célula primitiva de 4 camadas dielétricas isotrópicas
4.4.1.4. Estruturas com célula primitiva de 5 camadas dielétricas isotrópicas
4.4.1.5. Estruturas com célula primitiva de 6 camadas dielétricas isotrópicas
4.4.1.6. Estruturas com célula primitiva de 7 camadas dielétricas isotrópicas
xiv
4.4.1.7. Estruturas com célula primitiva de 8 camadas dielétricas isotrópicas
4.4.1.8. Estruturas com célula primitiva de 9 camadas dielétricas isotrópicas
4.4.1.9. Estruturas com célula primitiva de 10 camadas dielétricas isotrópicas
4.4.2. Análise da influência nos Band Gaps devido à variação do preenchimento
das permissividades relativas na constante de rede.
4.4.2.1. Duas camadas dielétricas isotrópicas
4.4.2.2. Três camadas dielétricas isotrópicas
4.4.2.3. Quatro camadas dielétricas isotrópicas
4.4.2.3. Cinco camadas dielétricas isotrópicas
4.4.2.4. Seis camadas dielétricas isotrópicas
4.4.2.5. Sete camadas dielétricas isotrópicas
4.4.2.6. Oito camadas dielétricas isotrópicas
4.4.2.7. Nove camadas dielétricas isotrópicas
4.5. Configuração do Programa e Resultados referentes a Comparação do Band Gap
calculado pelo método FDTD e o método da Matriz de Transferência.
4.5.1. Diagrama de banda para duas camadas dielétricas isotrópicas com iguais
espessuras.
4.5.2. Diagrama de banda para duas camadas dielétricas isotrópicas com diferentes
espessuras.
4.5.3. Diagrama de banda para três camadas dielétricas isotrópicas com iguais
espessuras.
4.5.4. Diagrama de banda para três camadas dielétricas isotrópicas com diferentes
espessuras.
4.6. Configuração do Programa e Resultados ao Espelho de Bragg.
4.6.1. Analise do Espelho simples de Bragg.
4.6.1.1. Variação do número de pares de camadas.
4.6.1.2. Variação dos índices de refração dos pares de camadas.
4.6.1.3. Variação dos índices de refração do substrato.
4.6.2. Refletor de Bragg operando em duplo comprimento de onda.
4.6.2.1. Variação do número de célula básica.
4.6.2.2. Variação da posição da camada de inserção.
4.6.2.3. Variação do valor da permissividade da camada de inserção.
xv
4.6.2.4. Variação dos números de camadas por célula básica na estrutura (m).
4.6.2.5. Variação dos números de células básicas sem a camada de inserção.
4.6.2.6. Análise do item 4.6.2.1 na faixa de microondas.
xvi
RESUMO
Neste trabalho, realizou-se um estudo da propagação de ondas eletromagnéticas
em estruturas periódicas unidimensionais constituídas de materiais dielétricos, o que é
feito partindo-se das equações de Maxwell, as quais são solucionadas numericamente
através do método das diferenças finitas no domínio do tempo (método FDFD-1D).
Juntamente com esta técnica empregou-se a técnica de condição de contorno absorvente
UPML para simular no ambiente computacional uma onda se propagando para o
infinito. Usou-se o método FDTD-1D para identificar bandas proibidas através do
coeficiente de transmissão de determinadas estruturas periódicas a partir da influência
da permissividade elétrica dos materiais que a compõem, assim como da variação do
fator de preenchimento dessas permissividades. Comparou-se os Band Gaps obtidos
pelo Método das Diferenças finitas no Domínio do Tempo com os obtidos pela Matriz
de Transferência. Analisou-se o espelho de Bragg simples através da influência no Band
Gap devido à variação do número de pares de camadas, variação do índice de refração
dos pares de camadas e variação do índice de refração do substrato. Analisou-se o
espelho de Bragg operando em duplo comprimento de onda através da influência no
Band Gap devido à variação do número de célula básica, variação da posição da camada
de inserção, variação do valor da permissividade da camada de inserção e variação dos
números de camadas por célula básica na estrutura.
xvii
1
CAPÍTULO 1: Introdução
No mundo globalizado a informação é intensa e rápida, para acompanhar este ritmo
vem-se desenvolvendo tecnologia na chamada área das telecomunicações de alta
velocidade que possam controlar a propagação de ondas eletromagnéticas em elevadas
faixas de freqüências. Como, por exemplo, a faixa óptica. Os circuitos elétricos se tornaram
um sério obstáculo às telecomunicações de alta velocidade, pois o sinal que viaja na forma
de microondas, luz ou infravermelho entre os dispositivos, por exemplo, entre antenas e
satélites, quando é convertido em elétrons e passa a viajar por fios e circuitos, sofre uma
perda muito acentuada em sua velocidade. Assim, a partir das ultimas décadas do século
XX, com o auxilio dos estudos cristalográficos sobre as propriedades constitutivas dos
sólidos, surgiram inúmeras pesquisas sobre o desenvolvimento de materiais artificiais com
diversas características elétricas e ópticas. Nessas pesquisas, descobriu-se que combinações
de matérias, eletricamente diferentes, em estruturas que se repetem em certas direções,
podem controlar as características de propagação eletromagnética, desde as freqüências de
microondas até o espectro óptico. A partir dessa teoria, podem-se criar dispositivos que têm
a capacidade de agir como minúsculos componentes ópticos para dirigir fótons em circuitos
ópticos, da mesma forma que semicondutores dirigem elétrons em circuitos eletrônicos
aumentando grandemente a velocidade e largura de banda em sistemas de comunicação.
Esses dispositivos são chamados de estruturas periódicas, quando essas estruturas são
constituídas por materiais dielétricos são chamadas como cristais fotônicos [1].
O estudo de propagação de ondas eletromagnéticas em estruturas periódicas vem
proporcionando diversas aplicações que utilizam as vantagens da periodicidade de tais
materiais para se controlar os parâmetros de propagação de ondas no mesmo [2]. Por
exemplo, na área de telecomunicações, projetos de dispositivos como lentes de microondas,
guias de ondas (válvulas de ondas progressivas, filtros e guias de ondas de superfície),
superfícies seletivas em freqüência [3], antenas de arranjo de fase integradas [4], arrays de
microfita [5] e outros.
Uma característica marcante de estruturas periódicas é a existência de bandas de
freqüências onde às ondas eletromagnéticas são fortemente atenuadas e não se propagam.
Estruturas com arranjos periódicos de multicamadas dielétricas apresentam um maior
2
comportamento seletivo de freqüência e, por este motivo, são utilizadas em uma larga
variedade de dispositivos ativos e passivos, operando nas bandas de freqüências de
microondas e óptica [6]. A análise dessas estruturas de multicamadas dielétricas é um
problema interessante em eletromagnetismo, tanto a nível teórico, quanto prático, devido à
vasta utilização dessas estruturas em dispositivos, tais como, superfícies anti-refletoras,
lasers, fotodiodos, divisores, combinadores, acopladores e filtros. Em analogia com um
cristal eletrônico, onde a distribuição periódica de átomos ou moléculas pode criar uma
banda proibida (Band gap) de energia na propagação de elétrons, um cristal fotônico, feito
de regiões dielétricas periodicamente distribuídas dentro de um meio envolvente, pode criar
uma banda proibida fotônica, Photonic Band Gap (PBG), dentro da qual a propagação de
modos eletromagnéticos pode ser proibida em todas as direções e em determinadas bandas
de freqüências.
Neste trabalho, para análise de tais estruturas utilizou-se o método das diferenças
finitas no domínio do tempo em coordenadas retangulares [7], juntamente com a teoria de
trucagem de malha através da técnica UPML (Uniaxial Perfectly Matched Layer) [8] e a
linguagem de programação FORTRAN (Formula Translation) [9]. A partir da teoria de
estruturas periódicas unidimensionais analisar-se-á a influência no band gap através da
inserção de permissividade elétrica em determinada estrutura periódica, assim como a
influência do fator de preenchimento. Fazer-se-á uma comparação do Band Gap calculado
pelo método FDTD e o pelo método da Matriz de Transferência. Assim como, será feita
uma análise dos fenômenos relacionados ao Espelho de Bragg.
1.1) Objetivos:
Neste trabalho, um código computacional eficiente usando-se o método FDFD-1D é
usado para a determinação das características de propagação de ondas eletromagnéticas em
estruturas periódicas unidimensionais constituídas de materiais dielétricos. O método
FDTD será usado para identificar bandas proibidas de determinadas estruturas a partir da
influência da permissividade elétrica dos materiais que a compõem, assim como da
variação do fator de preenchimento relativo a uma determinada permissividade relativa.
Analisar-se-á o espelho de Bragg através da influência no Band Gap devido à variação de
células básicas, da variação da posição da camada de inserção, da variação da
3
permissividade do substrato e será mostrado que se pode gerar mais de um pico de band
gap sem utilizar a camada de inserção de um quarto de comprimento de onda, apenas
fazendo a primeira e ultima camadas iguais.
1.2) – Composição Estrutural
Capítulo 1: Apresenta o assunto a ser abordado neste, seus objetivos e sua composição
estrutural.
Capítulo 2: O método FDTD será apresentado levando-se em conta a técnica de condição
de fronteira UPML que foi a condição de contorno utilizada para a análise da propagação
eletromagnética em estruturas periódica.
Capítulo 3: Será abordado neste capítulo as estruturas periódicas e cristais fotônicos, suas
teorias, aplicações práticas e tendências.
Capítulo 4: Será Analisado a influência no coeficiente de transmissão devido à inserção de
permissividades relativas na estrutura periódica constituída pelas seguintes permissividades
εr =13 e εr=1 e devido à variação do preenchimento das mesma. Com o intuito de validar o
programa comparou-se o Band Gap calculado pelo método FDTD e o método da Matriz de
Transferência. Por fim, analisou-se as características do Espelho de Bragg.
Capitulo 5: As conclusões deste trabalho
4
CAPÍTULO 2: O Método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo em
Coordenadas Retangulares.
2.1 - Introdução:
O método das diferenças finitas (FDM) foi inicialmente desenvolvido por A. Thom
[10] na década de 20, século XX, sob o título de “Método dos quadrados”, para solucionar
equações hidrodinâmicas não-lineares. Em 1966 o Dr. K. S. Yee [11], apresentou uma
solução numérica das equações rotacionais de Maxwell para campos variantes no tempo
com o intuito de analisar problemas de espalhamento eletromagnético em meios
isotrópicos. A idéia do Dr. K. S. Yee está na escolha de uma relação geométrica para a
amostragem espacial das componentes vetoriais dos campos elétrico e magnético,
representando por esta relação geométrica as equações de Maxwell tanto na forma
diferencial como integral [12]. O Dr. Yee discretizou o domínio de análise aproximando as
leis de Faraday e Ampère, escritas na forma diferencial e no domínio do tempo, por
equações de diferenças algébricas através das diferenças finitas, ficando conhecido como o
Método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo (FDTD). Com isso, as soluções
pertencentes a uma região de pontos contínuos são aproximadas por um grupo de pontos
discretos, facilitando o estudo da propagação e irradiação de ondas eletromagnéticas.
Antes das técnicas numéricas, os problemas eletromagnéticos no cenário acadêmico
eram resolvidos apenas por meios analíticos e experimentais. O modelo analítico
geralmente contém muitas limitações enquanto que os métodos experimentais nem sempre
são viáveis o que dificultou os estudos de casos. Em face, a tais problemas, iniciou-se uma
vasta pesquisa no campo numérico, de forma que, inicialmente, os métodos numéricos não
puderam ser tão aplicados devido ao alto custo computacional vigente. Os métodos
numéricos, dentre eles o método das diferenças finitas, foram desenvolvidos para resolver
problemas mais complexos, os quais não eram possíveis de serem resolvidos pelos métodos
analíticos. Assim, as técnicas numéricas ganharam cada vez mais importância no meio
científico, devido ao desenvolvimento de computadores de alta capacidade de
processamento.
O método FDFD permite o estudo da onda em todo o seu espectro de freqüência e
em ambientes complexos, sendo baseado na aproximação de diferenças centradas para as
5
componentes derivativas das equações diferencias, o que se permite alcançar um erro de
segunda ordem no tempo e no espaço. Esta técnica é empregada na maioria dos casos
envolvendo PBGs, pois consegue representar muito bem a estrutura em que se deseja
analisar os efeitos da propagação eletromagnética, por causa da sua capacidade de
monitorar as componentes de campo no domínio em análise. As equações que caracterizam
o método FDTD podem ser expressas em uma, duas e três dimensões.
Como em qualquer método numérico e importante assegurar que as expressões
algébricas, que serão escritas em uma linguagem de programação, estejam a mais próxima
possível da realidade e considerar a limitações do sistema computacional, por isso, é de
fundamental importância tratar da precisão e da estabilidade impostas pelo método. Além
disso, nas simulações por FDTD e necessário definir as condições de fronteiras absorventes
para que a simulação tenha resultados consistentes.
2.2- Diferenças Centradas
O método das diferenças finitas converte equações diferenciais em equações de
diferenças finitas mais simples e passíveis de tratamentos computacionais, substituindo os
termos derivativos de uma dada equação diferencial parcial por expressões algébricas
equivalentes. Para implementação deste método deve-se estimar numericamente as
derivadas das funções. Na Fig.2.1 temos o gráfico da diferença centrada, onde uma
determinada função ƒ(x) pode ter sua derivada em P aproximada pela inclinação da reta
AB, gerando um erro de segunda ordem que é menor que os erros gerados pelas
aproximações atrasada (reta AP, representada pela cor verde) e adiantada (reta PB,
representada pela cor cinza).
6
Figura 2.1 – Curva para dedução da fórmula da derivada central.
A fórmula da derivada de 1ª ordem de ƒ(x), pela aproximação da diferença centrada é:
ƒ ' (x 0 ) ≅
ƒ ( x 0 + ∆x ) − ƒ( x 0 − ∆x )
2∆x
(2.1)
Esta fórmula pode ser deduzida de forma mais geral através da série infinita de
Taylor: da representação em série infinita de Taylor representa-se a aproximação atrasada,
adiantada e subtrai-se a primeira pela segunda obtendo a fórmula da derivada centrada.
Vale ressaltar que pode-se ajustar essa aproximação, para o caso do incremento ∆x ser
substituído por ∆x/2, como mostra a Fig.2.2.
Figura 2.2 – Curva para outra forma de dedução intuitiva da aproximação centrada da derivada.
Nestas condições, a fórmula da derivada em diferenças finitas por aproximação
centrada será:
ƒ ' (x 0 ) ≅
ƒ (x 0 + ∆x / 2) − ƒ (x 0 − ∆x / 2)
∆x
(2.2)
Como essa aproximação ocasiona um erro menor que as aproximações adiantada e
atrasada, então a aproximação por derivada centrada foi escolhida para a implementação do
método das diferenças finitas na solução das equações de Maxwell, neste trabalho.
2.3 - Aplicação do Método das Diferenças Finitas às Equações Rotacionais de Maxwell
As equações de Maxwell são apresentadas, considerando o sistema internacional de
unidades, na forma rotacional para campo variante no tempo, para um meio linear,
isotrópico (µ, ε, σ são escalares, ou seja, não variam com a direção ) e não-dirpersivo. Tais
7
equações são suficientes para caracterizar o deslocamento espacial da onda eletromagnética
provocada por sua variação temporal.
Lei de Faraday:
∂H
1
1
= − ∆*E − M
∂t
µ
µ
(2.3)
∂E 1
1
= ∆*H − J
∂t ε
ε
(2.4)
Lei de Ampère:
Para as considerações acima, as relações entre a densidade de fluxo elétrico (ou
magnético) e o vetor densidade de campo elétrico (ou magnético) podem ser descritas pelas
relações constitutivas abaixo:
D = εE = ε r ε 0 E
(2.5)
B = µH = µ r µ 0 H
(2.6)
Os vetores M e J podem agir como fontes independentes de geração de energia
associados aos campos H e E , e atenuação, ocasionando perdas elétrica e magnéticas,
devido a característica, citada acima, do meio onde esses campos se propagam. Portanto,
pode-se escrever:
M = M fonte + σ* H
(2.7)
J = J fonte + σ E
(2.8)
Para a formulação do algoritmo as componentes em relação a fonte são
consideradas nulas. Dessa forma, obtem-se as seguintes relações:
∂H
1
σ*
= − ∆*E − H
∂t
µ
µ
(2.9)
∂E 1
σ
= ∆*H − E
∂t ε
ε
(2.10)
Portanto, a representação das equações de Maxwell em coordenadas cartesianas,
nessas condições, resultará em um sistema escalar de seis equações diferenciais acopladas:
8
∂H x 1  ∂E y ∂E z  * 
 − σ Hx 
= 
−
∂t
µ  ∂z
∂y 

∂H y
 * 
 − σ Hy 


(2.11b)
∂H z 1  ∂E x ∂E y  * 
 − σ Hz 
= 
−
∂t
µ  ∂y
∂x 

(2.11c)

∂E x 1  ∂H z ∂H y 
 − σE x 
= 
−
∂t
ε  ∂y
∂z 

(2.12a)
∂t
=
1  ∂E z ∂E x
−

µ  ∂x
∂z
(2.11a)
∂E y
1  ∂H
∂H z 

=  x −
 − σE y 
∂t
ε  ∂z
∂x 

∂E z 1  ∂H y ∂H x
= 
−
∂t
ε  ∂x
∂y


 − σE z 


(2.12b)
(2.12c)
Esse sistema de equações diferenciais acopladas é a base para o desenvolvimento do
*
algoritmo da técnica FDTD em três dimensões. A grandeza σ não existe fisicamente, ela
foi incluída nas equações porque é importante na implementação das condições de contorno
absorventes.
A análise 2D pode ser considerada para problemas da onda viajante num meio
infinito que não sofre alterações constitutivas numa determinada direção e, por isso, não
provoca variações espaciais na propagação eletromagnética neste sentido, ou seja, as
derivadas das componentes eletromagnéticas na direção em questão são nulas. Assim, os
grupos de equações (2.11) e (2.12) podem ser agrupados de maneiras diferentes de acordo
com a direção em questão. Supondo-se que isso ocorra na direção x, então, têm-se
caracterizados os modos TMx e TEx, mostrados nos grupos de equações (2.13) e (2.14):
TMx:
∂E x 1  ∂H z ∂H y
= 
−
∂t
ε  ∂y
∂z
∂H y
∂t
=


 − σE x 


1  ∂E x  * 
−
 − σ Hy 
µ  ∂z 

(2.13a)
(2.13b)
9
∂H z 1  ∂E x
= 
∂t
µ  ∂y
 * 
 − σ H z 


(2.13c)
TEx:
∂H x 1  ∂E y ∂E z  * 
 − σ Hx 
= 
−
∂t
µ  ∂z
∂y 

∂E y
(2.14a)
1  ∂H 

=  x  − σE y 
∂t
ε  ∂z 

(2.14b)

∂E z 1  ∂H x 
 − σE z 
=  −
∂t
ε  ∂y 

(2.14c)
Este mesmo raciocínio pode ser aplicado para as direções y e z, produzindo-se
assim os modos TMy e TEy e os modos TMz e TEz.
Para a análise 1D, o meio não provoca variações espaciais na propagação
eletromagnética em duas direções. Então, supondo-se que isso ocorra na direção y e z, os
grupos (2.11) e (2.12) tornam-se:
∂H x 1
= − σ* H x
∂t
µ
[
]
∂E y
1  ∂H z 

=  −
 − σE y 
∂t
ε  ∂x 

(2.15b)
∂H z 1  ∂E y  * 
 − σ Hz 
=  −
∂t
µ  ∂x 

(2.15c)
∂E x 1
= [− σE x ]
∂t
ε
(2.16a)
∂H y
∂t
=
1  ∂E z  * 

 − σ Hy 
µ  ∂x 


∂E z 1  ∂H y 
 − σE z 
= 
∂t
ε  ∂x 

A mesma lógica é usada para os casos das direções x,y e x,z.
2.4 - O algoritmo de Yee.
(2.15a)
(2.16b)
(2.16c)
1
0
Considerando um espaço tridimensional continuo representado em coordenadas
retangulares pelas direções x, y e z, para representar esse espaço de forma discreta as
variáveis x, y e z serão representadas por i∆x, j∆y e k∆z, onde i, j e k representam as
respectivas posições em uma determinada direção e ∆x, ∆y e ∆z definem os incrementos
espaciais nas direções x, y e z. Uma função do espaço e do tempo ƒ(x,y,z,t), nesta região,
será representada por Fn(i,j,k), onde o tempo t é substituído por n∆t, sendo n inteiro e ∆t o
incremento temporal. A parti desse raciocínio representam-se as equações de Maxwell
nesse espaço discretizado de acordo com a lei de Faraday e Ampère, formando um volume
elementar com uma configuração básica conhecida como célula de Yee.
É possível definir dois tipos de célula de Yee, separadas por metade dos
incrementos no tempo e no espaço. Uma é denominada célula primaria, Fig.2.3, que têm as
seis componentes do campo elétrico nas metades de suas arestas e as seis componentes do
campo magnético nos centros de suas faces, a outra é denominada célula secundaria e
possui as componentes de campo magnético nas metades de suas arestas e as componentes
de campo elétrico nos centros de suas faces, Fig.2.4
Figura 2.3 – Célula primária de Yee com componentes elétricas no instante n.
1
1
Figura 2.4 – Célula secundaria de Yee com componentes magnéticas no instante n + ½.
Podemos verificar nas figuras acima que as componentes do campo elétrico estão
associadas com o fluxo de corrente de deslocamento do laço fechado pelo campo
magnético, assim como as componentes do campo magnético estão associadas com fluxo
magnético do laço fechado campo elétrico, ou seja, essa geometria espacial mostra o
arranjo de entrelaçamento dos contornos da lei de Faraday e da lei de Ampère. Deve-se
observar, também, que as componentes dos campos elétrico e magnético, além de serem
perpendiculares entre si, afastam-se de meio incremento espacial e de meio incremento
temporal, como mostra a Fig.2.5. Isso acontece por causa da dependência entre os campos
elétrico e magnético, que não devem ser calculados ao mesmo tempo. Portanto, numa
mesma iteração, um é calculado antes para atualizar o outro em seguida, caracterizando-se
numericamente o fenômeno da propagação da onda magnética. Além disso, com essa
disposição no espaço a continuidade, das componentes tangenciais, se mantêm na interface
de dois materiais diferentes, se essa interface for paralela a um dos eixos coordenados.
Dessa forma, não há necessidade de se implementar condições de contorno na interface,
basta especificar a permissividade e a permeabilidade de cada material e as componentes de
campo locais serão naturalmente atualizados. Na Fig.2.5 abaixo é mostrado como são
atualizadas as componentes dos campos elétrico e magnético: todos os cálculos das
componentes do campo elétrico no espaço modelado são completados e armazenados na
memória para um instante de tempo utilizando os dados do campo magnético armazenados
anteriormente. Em seguida, todas as componentes do campo magnético são recalculadas e
1
2
armazenadas na memória utilizando os resultados do campo elétrico calculados
anteriormente. Esse ciclo recomeça para as componentes de atualizadas, tal processo
continua ate que os passos de tempo sejam concluídos.
Figura 2.5 – Gráfico do espaço-tempo do algoritmo de Yee para a propagação de uma onda em uma
dimensão.
Pose-se representar qualquer grandeza dependente do tempo e do espaço pela
seguinte função:
Fin, j,k = F(i∆x , j∆y, k∆z, n∆t ) = F(i, j, k , n )
(2.17)
n
Portanto, ƒ i será uma quantidade calculada no espaço xi = i∆x no instante ou passo
de tempo tn = n∆t cuja a derivada em relação à variável x será representada por:
∂ ƒ (i∆x, j∆y, k∆z, n∆t )
=
∂x
ƒn 1
i + , j,k
2
- ƒn 1
∆x
i − , j, k
2
(2.18)
O incremento ±1/2 no índice corresponde à coordenada x significa a diferença finita
[-∆x/2, +∆x/2]. Essa notação foi usada para explicitar a intercalação em intervalos de
∆x/2(ou ∆y/2 ou ∆z/2) entre os campos E e H no espaço e será usada para os eixos y e z,
representados pelos índices j e z, respectivamente.
1
3
Analogamente, para o cálculo da derivada temporal em um ponto fixo de
coordenada (i, j, k) poderá ser usado:
n+
1
n−
1
∂ ƒ (i∆x, j∆y, k∆z, n∆t ) ƒ i , j, k2 - ƒ i , j, 2k
=
∂t
∆t
(2.19)
Com esta formulação é possível calcular em cada passo de tempo, as componentes
de campo elétrico e magnético em todas as células do domínio espacial da estrutura. Para
calcular-se uma determinada componente de campo de uma célula qualquer, num instante
de tempo, utiliza-se esta componente e as componentes que realizam a rotação em torno
desta, calculadas no passo de tempo anterior (no caso das componentes de H) ou no passo
atual (no caso das componentes do E) e devidamente armazenadas na memória do
computador.
A partir dessas idéias pode-se escrever as equações de Maxwell em FDTD-3D, 2D e
1D. Para efeito de entendimento considere os grupos de Eq.2.11 e 2.12, aplicando as idéias
apresentadas nas Eqs.2.18 e 2.19 e considerando que não existam perdas na região de
análise, isto é, σ = σ* = 0. Desse modo, tem-se:
H nx (+i , 2j+ 1 2 ,k + 1 2 ) − H nx −(i , 2j+ 1 2 ,k + 1 2 )
1
1
∆t
H ny +(i +21 2 , j, k + 1 2 ) − H ny −(i +212 , j,k + 1 2 )
1
1
∆t
H zn(+i +21 2 , j+ 1 2, k ) − H nz (−i +21 2 , j+ 1 2 ,k )
1
n
n
n
n
1  E y( i , j+ 12 , k +1) − E y (i , j+ 1 2, k )   E z ( i , j+1, k + 1 2 ) − E z ( i, j,k + 1 2 ) 
= 
−

 
 (2.20a)
µ 
∆z
∆
y
 


n
n
n
n
1  E z (i +1, j, k + 12 ) − E z (i , j, k + 1 2 )   E x (i + 1 2 , j, k +1) − E x (i + 1 2, j,k ) 
= 
−

 
 (2.20b)
µ 
∆x
∆
z
 


1
∆t
E nx (+i1+ 12 , j, k ) − E nx (i + 1 2 , j,k )
∆t
E ny (+i1, j+ 1 2 ,k ) − E ny (i , j+ 1 2 ,k )
∆t
E zn(+i1, j,k + 1 2 ) − E zn(i, j, k + 1 2 )
∆t
=
n
n
n
n
1  E x (i + 12 , j+1, k ) − E x (i + 12 , j, k )   E y (i +1, j+ 1 2 , k ) − E y (i , j+ 1 2 ,k ) 

−

 
 (2.20c)
µ 
∆y
∆
x
 


n+ 1
n+ 1
n+ 1
n+ 1
1  H z (i +212 , j+ 12 , k ) − H z (i +212 , j− 1 2 ,k )   H y (i +21 2 , j, k + 1 2 ) − H y(i +212 , j, k − 1 2 ) 

= 
−
 
 (2.21a)
ε 
∆y
∆
z
 


n+ 1
n+ 1
n+ 1
n+ 1
1  H x (i , 2j+ 1 2 ,k + 1 2 ) − H x ( i, j2+ 1 2, k − 1 2 )   H z (i +21 2 , j+ 1 2 ,k ) − H z (i −21 2, j+ 1 2, k ) 

= 
−
 
 (2.21b)
ε 
∆z
∆
x
 


n+ 1
n+ 1
n+ 1
n+ 1
1  H y(i +21 2, j, k + 1 2 ) − H y (i −21 2 , j,k + 1 2 )   H x (i , 2j+ 12 , k + 12 ) − H x (i , 2j− 12 ,k + 12 ) 

= 
−
 
 (2.21c)
ε 
∆x
∆
y

 

1
4
Como se pode observar a célula primaria de Yee, Fig.2.3, facilita o cálculo do
rotacional do campo elétrico no instante n, o que gera as equações de atualização temporal
das componentes magnéticas Hn+1/2 (2.22a-c). A célula secundaria de Yee, Fig.2.4, é muito
útil para o cálculo do rotacional do campo magnético no instante n+1/2, gerando as
equações de atualização temporal das componentes elétricas En+1(2.23a-c). No entanto, no
desenvolvimento do método FDTD as posições físicas dos campos já estão inerentemente
vinculadas pela aproximação da derivada centrada. Assim, não há necessidade de se
explicitar, nas equações de atualização das componentes de campo da região de análise,
índices fracionários para definir na célula a posição a qual pertencem [13]. Por isso, a
componente Ex(i+1/2,j,k) será definida como E x(i,j,k), pois pertence à célula (i,j,k), assim como,
a componente Ex(i+3/2,j+1,k+1) será definida como Ex(i+1,j+1,k+1), porque pertence à célula (i+1,
j+1, k+1), e assim por diante. Como, em códigos baseados em FDTD, os índices dos
vetores de armazenamento das componentes dos campos são inteiros, isso simplifica a
implementação computacional, pois não há a necessidade de se definir as coordenadas
espaciais das componentes de campo com valores fracionários. Portanto, os grupos de Eqs
2.22 e 2.23 poderão ser reescritos como:
H nx +(i , 2j, k ) = H nx −(i , 2j, k ) +
H
1
1
n + 12
y ( i , j,k )
n − 12
y ( i , j, k )
=H
n
n
n
n
∆t  E y (i , j, k +1) − E y (i , j, k )   E z ( i, j+1, k ) − E z (i , j, k )  
−

 
 
µ 
∆z
∆
y
 

n
n
n
n
∆t  E z (i +1, j,k ) − E z ( i , j,k )   E x (i , j, k +1) − E x (i , j, k )  
+ 
−
 
 
µ 
∆x
∆z
 

H nz (+i , j2,k ) = H nz (−i , j2,k ) +
n
n
n
n
∆t  E x (i , j, k +1) − E x (i , j,k )   E y (i +1, j, k ) − E y (i , j, k )  
−

 
 
µ 
∆y
∆
x
 

1
1
E
n +1
x ( i , j,k )
=E
n
x ( i , j, k )
n+ 1
n+1
n+1
n+ 1
∆t  H z (i , j2, k ) − H z (i , j2−1, k )   H y (i , j2, k ) − H y( i , j2,k −1) 
+ 
−

 

ε 
∆y
∆
z
 


E
n +1
y ( i , j, k )
=E
n
y ( i , j,k )
n+ 1
n+ 1
n+ 1
n+1
∆t  H x (i , 2j, k ) − H x (i , j2, k −1)   H z (i , j2, k ) − H z ( i −21, j, k ) 
+ 
−

 

ε 
∆z
∆
x
 


E
n +1
z ( i , j, k )
=E
n
z ( i , j, k )
n+1
n+ 1
n+1
n+1
∆t  H y (i , j2, k ) − H y (i −21, j, k )   H x (i , j2,k ) − H x ( i , 2j−1, k ) 
+ 
−

 

ε 
∆x
∆
y
 


(2.22a)
(2.22b)
(2.22c)
(2.23a)
(2.23b)
(2.23c)
1
5
A análise 2D pode ser considerada para problemas da onda viajando num meio
infinito que não sofre alterações constitutivas numa determinada direção, como
conseguinte, não provoca variações espaciais na propagação eletromagnética neste sentido.
Matematicamente, significa dizer que as derivadas das componentes eletromagnéticas na
direção em questão são nulas. Considerando-se essas restrições, os conjuntos (2.22) e (2.23)
serão reduzidos de acordo com a direção onde não há variação de campo. Caso supunha
que na direção x a configuração do meio permanece a mesma, então, os grupos de equações
acima serão reescritos assim, que podem ser agrupados para caracterizar os modos
transversais eletromagnéticos em relação à x da seguinte forma:
Modo TMx:
E
n +1
x ( j, k )
=E
n
x ( j,k )
H
n+ 1
n+ 1
n+ 1
n+1
∆t  H z ( j,k2 ) − H z ( j−21, k )   H y ( j, k2 ) − H y ( j,k2 −1) 
+ 
−

 

ε 
∆y
∆z





n + 12
y ( j, k )
H
=H
n + 12
z ( j, k )
n − 12
y ( j,k )
=H
n − 12
z ( j, k )
(2.24a)
n
n
∆t   E x ( j,k +1) − E x ( j,k ) 
+ −

µ  
∆z

(2.24b)
n
n
∆t  E x ( j+1,k ) − E x ( j, k ) 
+ 

µ 
∆y

(2.24c)
Modos TEx:
H nx +( j,k2 ) = H nx −( j,2k ) +
1
1
E
E
n +1
y ( j,k )
n +1
z ( j,k )
n
n
n
n
∆t  E y ( j,k +1) − E y( j, k )   E z ( j+1,k ) − E z ( j, k ) 
−

 

µ 
∆z
∆
y
 

=E
=E
n+ 1
n+ 1
∆t  H x ( j,k2 ) − H x ( j,2k −1) 
+ 


ε 
∆z


(2.25b)
n+1
n+ 1
∆t   H x ( j, k2 ) − H x ( j−21,k ) 
+ −


ε  
∆y


(2.25c)
n
y ( j, k )
n
z ( j, k )
(2.25a)
Para a análise 1D, a onda não sofre variação em duas direções. Assim, as derivadas
das componentes eletromagnéticas nestas direções (ou suas aproximações algébricas) são
nulas. Por exemplo, considerando-se que a propagação eletromagnética não varia
espacialmente nas direções y e z. Assim, os grupos (2.22) e (2.23) ficam. Sendo que as
equações 2.26a e 2.27a não entram no algoritmo de Yee.
1
6
1
n−
 n + 12
 H x (i ) − H x ( i2)
µ
∆t


n+
1
n−
n
n
∆t  E z (i +1) − E z (i )

µ 
∆x
1
H y (i 2) = H y( i2) +
n+
1
n−
1
H z (i )2 = H z (i 2) +


=0


(2.26a)




n
n
∆t   E y (i +1) − E y (i ) 
− 

µ  
∆x

 E xn +(i1) − E xn −(i1) 
=0
ε


∆
t


E ny +(i1)
1
  n + 12
n+


∆t  H z (i ) − H z (i −21) 
n
= E y ( i ) + − 

ε
∆x




 
E nz (+i1)
1
 n + 12
n+

2 

H
−
H
∆
t
 y (i )
y ( i −1) 
n
= E z (i ) + 

ε 
∆x




(2.26b)
(2.26c)
(2.27a)
(2.27b)
(2.27c)
2.5 - Precisão e estabilidade do Método FDTD.
Para uma solução confiável e útil, o método numérico precisa ter precisão na
medida certa e dentro das condições de estabilidade bem definidas. Para um algoritmo ser
considerado estável ele tem que apresentar, em cada estágio do processo, um erro menor
produzido no estágio anterior, dessa forma ele estará convergindo para uma solução finita,
com o passar do tempo. A precisão significa o quanto mais perto da solução analítica a
solução numérica se encontra.
Os erros numéricos são basicamente decorrentes de três fatores:
•
Erro de modelagem: são causados pelas diversas suposições e aproximações feitas no
modelo do problema como aproximações equivocadas, desconsiderações dos
fenômenos físicos, entre outros.
•
Erro de truncagem: são causados pela necessidade de representarmos um numero finito
de termos descritos por series infinitas.
1
7
•
Erro de arredondamento (roundoff): causados pela aproximação inevitável feita pelo
sistema computacional (sistema computacional processa um tamanho limitado da
palavra de dado) aos resultados numéricos.
A Eq.2.28 mostra o máximo dimensionamento que as células de Yee podem ter,
essa equação mostra o compromisso entre o tamanho das células e a precisão que se
pretende para análise numérica de um problema, definindo-se, com isso, o nível de
discretizaçao da mesma, o que é feito através do numero de divisões por comprimento de
onda. Desse modo, as células devem ser suficientes pequenas para representar a
distribuição material e para fornecer resultados com o detalhamento desejado, evitando-se o
efeito da dispersão [].
∆ x ,y,z ≤
λ min
10
(2.28)
Na dispersão numérica, a velocidade de fase dos modos numéricos da onda, dentro
da malha FDTD, pode variar com o comprimento de onda modal, a direção de propagação
e o tamanho da discretização da malha, levando a resultados não-fisicos como distorção do
pulso, anisotropia artificial e pseudo-refração. As Figs.2.6 e 2.7 mostram o decaimento da
velocidade de fase normalizada em relação a velocidade de propagação da onda no espaço
livre (C), com a variação do ângulo de propagação da onda, para determinada resolução de
grade, e com a variação da resolução de grade, para um certo ângulo de propagação,
respectivamente [].
1
8
Figura 2.6 - Variação da velocidade de fase normalizada em relação a velocidade de propagação no espaço
livre (C), versus o ângulo de propagação da onda, provocada pela dispersão numérica.
Figura 2.7 - Variação da velocidade de fase normalizada em relação a velocidade de propagação no espaço
livre (C), com a resolução da malha para dado ângulo de propagação, causada pela dispersão numérica.
Para que o código FDTD mantenha a estabilidade numérica devem ser respeitadas
algumas condições. Umas delas é a condição de Courant que cria uma regra de dependência
entre os incrementos de posição e de tempo. As equações para os casos tridimensional,
bidimensionais e unidimensionais são, respectivamente:
n
∆t ≤
c0
1
1
1
+ 2+ 2
2
∆x
∆y
∆z
(2.29)
n
∆t ≤
c0
1
1
β 
+ 2 + z 
2
∆x
∆y  2 
2
(2.30)
n
∆t ≤
2
c0
1  βy   βz 
+  + 
∆x 2  2   2 
2
(2.31)
onde n = ε r e β é a constante de fase e βy e βz são suas componentes nas direções y e z [].
1
9
As Eqs.2.30 e 2.31 são utilizadas em análises das características de propagação em
guias de onda. Para os problemas de espalhamento eletromagnético em cristais fotônicos, a
constante de fase β é eliminada.
2.6 - Condições de fronteira Absorvente para o Algoritmo de Yee.
As condições de fronteira absorventes são necessárias para simular a propagação da
onda para o infinito e quanto menos reflexões essa técnica evitar os resultados serão mais
consistentes. Sem essa técnica seria impossível simular o método FDTD, pois o sistema
computacional não teria condição de armazenar uma quantidade ilimitada de dados. Entre
as técnicas de absorção a PML (Perfectly Matched Layers) de Berenger [], permiti a
absorção de resultados excelentes, sendo capaz de absorver ondas com ângulo de inclinação
entre 0º e 90º, qualquer polarização e freqüência. Na época do desenvolvimento desta
técnica não houve uma interpretação física para a mesma. Desta forma, Genney [8]
apresentou uma interpretação física e uma nova formulação para o problema, considerando
a região de absorção como uma região anisotrópica, dispersiva, finita, casada em
impedância com a região de análise, o resultado é absorção gradual da onda com excelente
eficiência, evitando ou reduzindo a inserção de erros nos cálculos dentro da região de
analise. Alem disso, a região é envolvida por uma parede elétrica para anular os pequenos
campos elétricos tangenciais que atingem essa região condutora. A figura abaixo mostra a
idéia da UPML e da parede elétrica.
Figura 2.8 – Malha FDTD mostrando o volume numérico formado pela região de propagação eletromagnética
em análise, circundada pela região de contorno absorvente UPML e pelo condutor elétrico perfeito.
2
0
CAPÍTULO 3: Modelagem de Estruturas Fotônicas por Diferenças Finitas 1D no
Domínio do Tempo.
3.1 - Introdução:
O estudo dos cristais possibilitou a compreensão das constituições e das
propriedades da matéria sólida. Em cristais perfeitos, a formação da estrutura atômica
apresenta disposição periódica de átomos ou moléculas agrupadas em rede. Usando essa
teoria, pode-se projetar estruturas periódicas com características particulares para diversas
utilizações. Estruturas PBG, Photonic Band Gap, são arranjos periódicas que atuam como
as bandas de energia existentes em uma rede cristalina de átomos. Esses arranjos periódicos
que podem ser de dielétricos e/ou metálicos podem ser em uma, duas ou três dimensões e
permitem manipular as bandas eletromagnéticas tanto nas faixas de microondas quanto nas
faixas óticas [14]. De acordo com as dimensões das estruturas periódicas, com os tipos de
matérias que as compõe e com as relações entre esses materiais pode-se controlar a
propagação de modos eletromagnéticos na estrutura de forma a permitir a propagação de
modos desejados e impedir a propagação de modos indesejados [15]. Isso é possível, pelo
fato dos materiais PBG apresentarem características que causam efeitos de reflexão,
difração e refração sobre as ondas eletromagnéticas que incidem sobre eles. Através desse
raciocínio, podem-se projetar guias de onda otimizados, filtros, acopladores, refletores,
antenas e uma série de dispositivos tanto na faixa ópticas freqüências quanto na de
microondas [16-18].
Criar matérias periódicos artificiais na tentativa de controlar as características de
propagação de ondas tem atraído os esforços de muitos pesquisadores. Em 1979 Ohtaka
utilizou o termo estrutura de bandas fotônica quando estudava analogias com a difração
de elétrons em baixas energias – LEED [19]. Apesar disso não abordou profundamente a
problemática que este termo abrangia. Em 1979 vários artigos foram publicados a respeito
desse assunto. Um deles, pelo Dr. Yablonovitch que Introduziu as bandas proibidas
fotônicas para controle da emissão espontânea e estimulada da luz . O outro pelo Dr. John
que introduzia as bandas para induzir a localização das ondas luminosas [20]. Mas a
primeira demonstração experimental de um cristal PBG tridimensional ocorreu em 1990
2
1
pelo Dr. Yablonovitch [21]. Alem disso, 1993, o mesmo pesquisador, introduziu a analogia
entre estruturas cristalinas eletrônicas e fotônicas [22].
A idéia fundamental é a de que os cristais fotônicos devem atuar sobre os fótons da
mesma forma que os cristais semicondutores atuam sobre os elétrons, ou seja, criando uma
situação em que fótons com energias em um determinado intervalo - as bandas proibidas sejam impedidos de propagar-se ao longo do cristal. Este ponto é conceitualmente muito
importante pois não se trata da geração de um fóton, sua reflexão num cristal e sua eventual
re-absorção, re-emissão e assim por diante. Trata-se da não emissão do fóton porque não
existe nível quântico disponível para ele. Essas estruturas em uma dimensão vêm sendo
estudadas para desenvolver redes dielétricas que possam ser usadas em filtros e espelhos.
Um exemplo disso e o espelho de Bragg, que consiste de camadas alternadas de materiais
com um alto e um baixo índice de refração alternados e de espessura igual a um quarto do
comprimento de onda, depositados em um substrato apropriado.
3.2 - Cristais Fotônicos
Um cristal é um arranjo periódico de átomos ou moléculas. Quando um pequeno e
básico bloco de átomos ou moléculas é repetido no espaço tem-se uma rede cristalina. Esta
rede pode introduzir gaps na estrutura de banda de energia do cristal, elétrons são
impedidos de propagarem-se com certas energias, em certas direções. Baseado nas redes
cristalinas as estruturas fotônicas, materiais artificiais periodicamente espaçados e
compostos por uma repetição de elementos e com propriedades elétricas especificas, são
usadas para controlar as características de propagação de ondas eletromagnéticas,
funcionando como redes de filtragem para bandas eletromagnéticas, isso ocorre porque se
percebe a existência de bandas proibidas de energia onde as ondas eletromagnéticas não se
propagam. Essa técnica alternativa na supressão de ondas de superfície é classificada como
cristais fotônicos ou estruturas PBG (Photonic Band Gap) quando essas estruturas afetam
as ondas eletromagnéticas na faixa óptica.
As estruturas PBG utilizando perfil de propriedades elétricas organizadas
periodicamente no espaço, ou seja, tem seus parâmetros constitutivos do meio, como a
permissividade, permeabilidade e/ou condutividade elétrica, repetindo-se pelo espaço ao
longo de direções bem determinadas e podendo ter periodicidade em uma, duas ou três
2
2
direções. Assim, podem ser classificadas em unidimensional, quando suas características
constitutivas variam em apenas uma direção, bidimensional, se tem periodicidade em duas
direções, ou tridimensional, quando sua estrutura é periódica nas três direções, como
mostram as figuras abaixo.
Fig.3.1 - Estruturas com periodicidade unidimensional.
Fig.3.2 - Estruturas com periodicidade bidirecional
Fig.3.3 - Estruturas com periodicidade tridimensional.
De acordo com esta classificação, os materiais PBG possuem aplicações para
diversos fins. Estruturas unidimensionais são usadas para aumentar o ganho de antenas de
circuito impresso [23,24], pela colocação, por exemplo, de um conjunto periódico de
múltiplas camadas dielétricas em cima de uma antena. Pode-se conseguir este mesmo efeito
usando-se estruturas bidimensionais [25]. Estruturas fotônicas bidimensionais, também, são
usadas em optoeletrônica, para aumentar a eficiência de LED’s e lasers através do
fenômeno da inibição da emissão espontânea [26]. Quanto às estruturas fotônicas
tridimensionais, existe uma alta potencialidade no uso das mesmas em microestruturas
ressonantes, atuando como uma cavidade do tipo Fabry-Perot, que reflete a radiação
propagante em todas as direções para dentro de si própria.
2
3
Criando-se imperfeições ou defeitos com a retirada, modificação ou troca de
elementos da rede cristalina de um cristal fotônicos é possível construir dispositivos
capazes de propagar, no defeito, os modos eletromagnéticos inicialmente proibidos.
Exemplos desta aplicação são guias de onda, trilhas de circuitos impressos, filtros PBG e
cavidades ressonantes. A Fig.3.4 mostra uma estrutura periódica conduzindo o feixe de luz
por um determinado caminho.
Figura 3.4 – Guia de onda com uma curva acentuada de 90ºC.
As propriedades ópticas de um cristal fotônico unidimensional, ou seja, a forma
com que a estrutura de bandas afeta a propagação dos fótons na estrutura são determinadas,
basicamente, pelas seguintes características: Contraste entre as constantes dielétricas (εr1,
εr2) e o fator de preenchimento.
A nomenclatura estruturas de banda fotônica, ou PBG – Photonic Band Gap induz,
involuntariamente, a idéia de que tais estruturas se aplicam somente à fótons operando no
regime óptico (freqüência de THz). Tal idéia é falsa, pois todo o modelamento das
estruturas PBG é feito considerando-se os fótons como ondas eletromagnéticas
propagando-se em um meio. Do ponto de vista prático, a única diferença entre estruturas
PBG operando no regime óptico e de microondas diz respeito ao seu tamanho (menores
comprimentos de onda) menores estruturas. Este fato justifica-se pela necessidade de que,
para que aconteça a interação entre os fótons e a estrutura PBG, exista similaridade entre a
ordem de grandeza do comprimento de onda do fóton e as dimensões das estruturas
fotônicas.
Tradicionalmente a faixa de microondas tem servido como um ótimo “campo de
testes” para estruturas PBG pois nesta faixa de freqüências estas estruturas possuem
dimensões da ordem de cm em contraste com µm, típico das estruturas operando no regime
óptico. Isto torna a fabricação, teste e caracterização das estruturas ou dispositivos mais
simples e barata. A aplicação da tecnologia PBG em dispositivos de microondas é um
2
4
prolongamento das pesquisas inicialmente feitas visando aplicações em fotônicas. De
maneira geral os cristais fotônicos são utilizados em microondas para: supressão de modos
indesejados de propagação; supressão de ondas superficiais; filtros e polarizadores.
Embora a aplicação de cristais fotônicos com banda completa seja uma realidade,
em microondas existe um predomínio de aplicações que utilizam cristais com bandas
parciais em determinadas direções e/ou modos de propagação. Um dos motivos pelo qual
isto acontece é porque os cristais de banda completa são necessariamente tridimensionais,
e, portanto, mais difíceis de serem projetados e fabricados. Já os cristais com banda parcial
podem ser bidimensionais ou unidimensionais, o que os torna adequados para utilização em
dispositivos planares de microondas.
3.3 - Os fenômenos físicos ligados aos materiais PBG
A explicação física para a teoria PBG está profundamente ligada à difração de
Bragg. Devido ao espalhamento coerente em cada conjunto de planos cristalográficos, pode
surgir um pico de difração de raios-X em certas freqüências relacionadas ao espaçamento
entre os planos. A difração de raios-X segue a lei de Bragg:
2d ( hkl ) sin θ = mλ ,
m = 1, 2, 3
(3.1)
onde d ( hkl ) é a distância entre os planos cristalinos identificados pelos índices de Miller
(hkl) , θ é o ângulo de incidência da radiação, m é a ordem da difração e λ é o
comprimento de onda dos raios-X.
Como resultado da interferência destrutiva, os fótons de raios-X nos picos de
difração de Bragg não podem propagar-se no cristal e são refletidos. Este efeito revela a
ausência de estados fotônicos para a direção determinada pela lei de Bragg. Os picos de
difração de Bragg aparecem na região dos raios-X devido aos parâmetros da rede cristalina
serem da ordem de vários ângstrons.
Um fenômeno similar acontece com os cristais fotônicos. Devido à existência de
planos cristalinos nestes cristais macroscópicos, fótons em algumas regiões de freqüência
serão difratados de acordo com a lei de Bragg na região óptica:
2d ( hkl ) . ε − sin 2 θ hkl = λ c
(3.2)
2
5
onde λ c é o comprimento de onda da radiação eletromagnética, d ( hkl ) é a distância
interplanar para a direção cristalográfica identificada por (hkl) , ε é a constante dielétrica
média no cristal e θhkl é o ângulo entre a radiação incidente e a normal aos planos
cristalinos determinados pelos índices (hkl) .
Uma diferença importante entre a difração dos raios-X em sólidos e a difração em
cristais fotônicos é a largura dos picos de Bragg. A largura dos picos resultantes da difração
−6
dos raios-X são extremamente estreitos (∆λ / λ ≈ 10 ) . Em cristais fotônicos, a condição
de difração em uma dada direção para um vetor de onda, é satisfeita para um amplo
−2
intervalo de freqüências (∆λ / λ ≈ 10 ) . Isto é devido, principalmente, ao contraste entre o
índice de difração nestas duas regiões bem diferentes em freqüência: no intervalo dos raiosX o índice de difração fica próximo de uma unidade, enquanto que para as freqüências
ópticas este índice é bem maior.
Eventualmente, os picos de Bragg em cristais fotônicos tornam-se tão largos que
podem se sobrepor a outros gerados por diferentes planos cristalográficos, como ocorre
para geometria triangular e não ocorre para geometria retangular. Conseqüentemente, pode
ser possível encontrar uma determinada região de freqüência em que não é possível a
propagação de fótons em nenhuma direção. Um material com esta característica é chamado
cristal fotônico com band gap completo.
Quando não ocorre a sobreposição dos picos de Bragg, a propagação de fótons na
estrutura pode ocorrer em determinadas direções para determinadas energias. Neste caso
diz-se que o cristal fotônico apresenta um band gap parcial.
3.4 - Caracterização da banda fotônica - Parâmetros de espalhamento.
A caracterização de um cristal fotônico visa determinar parâmetros ligados às suas
bandas proibidas tais como: freqüência central, profundidade, largura de banda e também se
sua banda proibida é total ou parcial. O procedimento de caracterização é realizado por
meio de medidas de transmissão e reflexão de ondas eletromagnéticas no cristal. Este
procedimento permite visualizar com clareza as bandas proibidas criadas pela estrutura
PBG. Em cristais que operam no espectro visível de freqüências, a caracterização é feita
2
6
medindo-se a transmitância e a reflectância do cristal para um feixe de luz incidente para
diferentes freqüências /comprimentos de onda em um intervalo.
Estruturas PBG para operar no regime de microondas são caracterizadas pela
medida de seus parâmetros de espalhamento - Parâmetros s. A matriz dos parâmetros s
descreve as intensidades relativas da radiação incidente e refletida em cada porta do
dispositivo. Para determinar os parâmetros de espalhamento faz-se incidir uma forma de
onda na rede e medem-se as formas de onda resultantes que a rede reflete e transmite.
Através dos parâmetros s podem-se determinar as formas de onda na saída através da
equação matricial dada por:
 v1−  S11S12   v1+ 
 − = 
 + 
 v 2  S21S22   v 2 
(3.3)
+
+
−
−
Onde V1 , V2 , V1 e V2 representam as ondas eletromagnéticas chegando e saindo
das portas 1 e 2, respectivamente. Considerando-se o dispositivo de duas portas mostrado
Figura 3.5, para uma fonte e instrumento de medida com uma mesma impedância
+
−
característica, o parâmetro s11 descreve a relação entre o sinal incidente V1 e refletido V1
−
+
na porta 1: s11 = V1 / V1 . De forma similar, s22 representa a mesma relação para a porta 2.
Figura 3.5 – Parâmetros s em um dispositivo de duas portas. O sobrescrito + representa onda incidente
(movendo-se na direção da rede) e o sobrescrito – indica uma onda saindo do dispositivo.
Os parâmetros s restantes, s21 e s12, descrevem a relação entre o sinal
incidente em uma porta e transmitido por outra: s21 =
V1− / V2+ (isto é, o sinal transmitido
−
+
pela porta 1 dividido pelo sinal incidente pela porta 2), e s21 = V2 / V1 (sinal transmitido
pela porta 2 dividido pelo sinal incidente na porta 1).
3.5 - Espelho de Bragg
Um dispositivo óptico largamente utilizado é o espelho dielétrico, a familiar “pilha
de quarto-de-onda” de camadas alternadas de diferentes materiais dielétricos. Luz de
2
7
comprimento de onda apropriada, em tal material em camadas, é completamente refletida.
O motivo é que a onda de luz é espalhada nas interfaces das camadas e, se o espaçamento
for ajustado corretamente, as ondas múltiplas espalhadas interferem-se destrutivamente
dentro do material. Este efeito é bem conhecido: ele forma a base de muitos dispositivos,
incluindo espelhos dielétricos, filtros dielétricos de Fabry-Perot e lasers com realimentação
distribuída. Todos contêm dielétricos com baixas perdas, que são periódicos em uma
dimensão, ou seja, pela nossa definição eles são cristais fotônicos unidimensionais.
Todavia, enquanto tais espelhos são bastante úteis, eles somente refletem luz com
incidência normal ou próxima da incidência normal para materiais em camada. Se, para
alguma faixa de freqüência, um cristal fotônico reflete luz com polarização qualquer e
ângulo de incidência aleatório, dizemos que o cristal tem um band gap fotônico completo.
Em tal cristal, nenhum modo luminoso pode propagar-se se eles tem uma freqüência dentro
desta faixa. Um espelho dielétrico simples não pode ter um band gap completo, pois o
espalhamento ocorre somente ao longo de um eixo. Desta maneira, criar-se um material
com band gap fotônico completo, deve-se organizar o contraste de dielétricos numa rede
que possua periodicidade ao longo dos três eixos.
Um grande número de dispositivos optoeletrônicos ativos e passivos utilizam
espelhos com alta refletividade, ou ainda, revestimentos anti-refletivos, baseados em
estruturas periódicas com camadas dielétricas, essas estruturas de multicamadas consistem
em varias sucessões de filmes finos e paralelos. Sob apropriadas condições essas estruturas
podem ser empregadas como um filtro que transmite (ou reflete) ondas somente em
determinadas regiões do espectro. As camadas analisadas neste trabalho são homogêneas,
isotrópicas, lineares e não-magnéticas.
Um refletor de Bragg convencional consiste de camadas alternadas de materiais
com um alto e um baixo índice de refração alternados (n1 e n2) e de espessura a, onde esta
espessura é igual a um quarto do comprimento de onda, depositados em um substrato
apropriado [27], conforme é mostrado na Figura 3.6, onde a e a constante de rede. Por
exemplo, o substrato pode ser de vidro ou metal depositado por evaporação de alto-vácuo.
A refletividade é então determinada pelo grau de variação dos índices (descasamento de
índices: ε 2 / ε1 ) em cada interface de separação e pelo número de células na estrutura.
Pose-se afirmar também, que o grau de simetria (simétrica ou assimétrica) da estrutura
2
8
estabelece de que maneira a mesma funcionará, se como um espelho caso a estrutura seja
assimétrica, ou ainda, como um AR-coating caso a estrutura seja simétrica.
Segundo [28], esses tipos de estruturas são chamados de espelhos simples de Bragg,
pois geram um único pico de reflectância. No nosso caso geram um único pico de band gap.
Deste modo, vamos analisar a influência no Band Gap devido à variação nos índices de
refração da estrutura, do número de pares de camadas e do índice de refração do substrato.
Fig.3.6 - Refletor de Bragg simples
Se inserirmos uma única camada com espessura de um quarto de comprimento de
onda entre os dois meios mostrados na Fig.3.6 poderemos gerar dois ou mais band gaps, a
Fig.3.7 mostra a nova estrutura periódica. Se a camada inserida possuir espessura de um
quarto de comprimento de onda e seja constituída por um material com índice de refração
igual à raiz quadrada do produto dos índices dos dois meios adjacentes, poderá funcionar
como cobertura anti-refletora [28].
Figura 3.7 – Estruturas periódica com uma camada de inserção de um quarto de comprimento de onda
inserida em pares alternados de índice de refração.
2
9
Esses tipos de estruturas geram vários band gaps. Deste modo, vamos analisar a
influência no Band Gap devido à variação de células básicas e da variação da posição da
camada de inserção e será mostrado que pode-se gerar mais de um pico de band gap sem
utilizar o espelho de Bragg. Com essas analises poderemos projetar estruturas com
revestimentos de anti-reflexão para minimizarem a perda de potência óptica, causada por
reflexões não desejáveis ou utilizar espelhos com alta refletividade para melhorarem a
performance de dispositivos optoeletrônicos através da filtragem de sinais ópticos. Por
exemplo, a utilização de tais espelhos em cavidades ressonantes resultam em dispositivos
bem mais eficientes, com uma larga seletividade de freqüência e uma alta velocidade de
operação.
CAPÍTULO 4: Metodologia e Análise dos Resultados
4.1- Introdução:
Neste capítulo, será mostrado como se configurou o programa Unidimen.f escrito
na linguagem Fortran. Com os dados de saída gerados por este programa, foi plotado o
coeficiente de transmissão referente a uma determinada estrutura periodica e através dele é
analisado o band gap. Foram feitas simulações da propagação eletromagnética nessas
estruturas utilizando-se o método FDTD e a técnica UPML, mostrados no capítulo 2.
A partir de uma determinada curva de dispersão referente a uma determinada
estrutura periódica configurou-se o programa. Depois, calculou-se o coeficiente de
transmissão referente a esta estrutura. Em seguida, analisou-se a influência neste
coeficiente devido à inserção de permissividades relativas na estrutura periódica e devido à
variação do preenchimento das permissividades εr =13 e εr=1. Com o intuito de validar o
programa comparou-se o Band Gap calculado pelo método FDTD e o método da Matriz de
Transferência. Por fim, analisaram-se as características do Espelho de Bragg.
4.2 - Fonte de Excitação:
O pulso Gaussiano foi escolhido como fonte de excitação porque ele possui um
espectro de freqüência também Gaussiano. Além disso, com ele é possível obter
informações do comportamento da estrutura numa determinada faixa de freqüências
simplesmente ajustando a sua largura. Pode-se definir um pulso Gaussiano no domínio do
tempo, com propagação na direção x, pela expressão:
3
0
 (t − t 0 )2 
 (x − x 0 )2 
ƒ (x, t ) = ƒ (x, t ) max * exp  * exp 
τ2 
τ 2x



As escolhas dos parâmetros τ τ x
(4.1)
t 0 e x 0 estão sujeitas às condições de
estabilidade e precisão numérica vistas no capitulo 2. A largura de banda, W, do pulso é
medida entre dois pontos simétricos que estão localizados a 5% do valor da amplitude
máxima de ƒ (x, t ) . Este máximo ocorre quando x = x0 e t = t0.
ƒ (x, t )
 (W / 2)2 
*
exp
= ƒ(x, t )
max
2 
(
ντ
)


max
* exp[- 3] ≈ 5% * ƒ(x, t )
max
(4.2)
Para garantir uma dispersão numérica mínima [1], defini-se:
W
W = 20∆X ⇒   = 10∆X
 2
(4.3)
com isto, τ é calculado como:
1 10∆X
*
υ
3
τ=
(4.4)
A freqüência máxima será calculada por:
ƒ max =
1
3 *υ
=
2τ 20dx
(4.5)
Onde υ é a velocidade do pulso no meio especificado, e vale:
υ=
c0
εr
(4.6)
Então o menor comprimento de onda pode ser calculado pela Equação (4.7):
λ min =
20∆x
3
(4.7)
A Equação (4.8) mostra a relação entre o comprimento de onda mínimo e a máxima
freqüência desejada:
λ min =
c0
ƒ max ε r
 (t − t 0 )2 
ƒ(t) = exp  −
 , onde t0 = 3τ
τ2 

Esta função na forma discretizada fica:
(4.8)
(4.9)
3
1
 (n∆t − 3τ ) 
ƒ (n ) = exp −

τ2

(4.10)
Então, é adicionada a componente de campo elétrico pertencentes as células de Yee
que se propaga na direção x:
E zn(+i1) = E zn(i ) +
n +1 2
n +1 2
∆t  H y(i ) − H y (i −1) 

 + ƒ(n )
ε 
∆x

(4.11)
4.3 - Geração das Curvas de Transmissão:
Para que se possa caracterizar as estruturas periódicas é preciso determinar as suas
bandas proibidas. O procedimento de caracterização foi realizado por meio de medidas do
coeficiente de transmissão. Este procedimento permite visualizar com clareza as bandas
proibidas criadas pela estrutura PBG. De acordo com a teoria explanada no item 3.4, podese obter o coeficiente de transmissão através da matriz dos parâmetros de espalhamento,
Parâmetros s. A matriz dos parâmetros s descreve as intensidades relativas da radiação
incidente e refletida em cada porta do dispositivo, a Figura 4.1 mostra o esquema utilizado
para coletar o coeficiente de transmissão. Para determinar o parâmetro S21 da matriz de
espalhamento faz-se incidir uma forma de onda, produzida por um pulso eletromagnético,
inc
na porta 2 sem a estrutura periódica, mede-se dessa forma o campo elétrico incidente, E(t ) .
Faz-se incidir a mesma forma de onda na estrutura periódica e mede-se na porta 2, após a
estrutura e na mesma posição onde se mediu o campo incidente, o campo elétrico
trans
transmitido, E(t ) . Essas portas onde são coletados os campos incidentes e transmitido são
denominadas de portas de acesso. Os campos foram coletados após um número de iterações
suficiente para que os mesmos atingissem o regime permanente.
3
2
Figura 4.1 – Esquema utilizado para coletar o coeficiente de transmissão
Para analisar o coeficiente de transmissão no domínio da freqüência utilizou-se a
transformada de Fourrier, como é mostrado na Equação (4.12).
s 21 =
{ }
ℑ{E }
ℑ E (trans
t)
inc
(t)
(4.12)
4.4 - Configuração do Programa e Resultados referentes a influência no coeficiente de
transmissão devido à inserção do número intermediário de permissividades relativas e
devido à variação do preenchimento das permissividades εr =13 e εr=1.
Para verificar a performance do programa, foram feitas simulações a partir de uma
determinada estrutura periódica determinada por [1]. Essa estrutura é constituída por
materiais não magnético, isotrópico e sem perda. Possui os seguintes valores de
permissividades e preenchimento na constante de rede: εr = 1 é 0.8a e εr = 13 é 0.2a, onde
“a” é a constante de rede, como mostra a Figura 4.2, do cristal fotônico unidimensional com
periodicidade na direção x. A curva de dispersão, referente a Figura 4.2, esta mostrado na
Figura 4.3. Esta curva mostra a característica de propagação da onda eletromagnética na
ωa
estrutura periódica, as faixas de cor amarela representam os band gaps e 2πc representa a
0
freqüência normalizada, eixo vertical, e
κa
representa o valor do número de onda
2π
percorrendo o contorno da zona irredutível de Brilouin, eixo horizontal.
3
3
Figura 4.2 cristal fotônico unidimensional com periodicidade na direção x
Figura 4.3 - Curva de dispersão referente a Figura 4.2.
A partir dessas informações configurou-se o programa Unidimen.f o qual foi
desenvolvido na linguagem Fortran. Considerando a constante de rede igual 0.045m e
sabendo-se que a velocidade da luz é 300000000 m/s, encontrou-se o ƒ max referente a
maior freqüência normalizada da Figura 4.3 através da Equação (4.13). A ƒ max representa a
maior freqüência do diagrama de dispersão e é a maior freqüência que queremos observar o
coeficiente de transmissão, vale 6.67GHz. O comprimento de onda mínimo foi calculado de
acordo com a Equação (4.8), considerando ε r como a maior permissividade da estrutura
periódica, como mostra Equação (4.14), que vale 0.0124m. Sabendo que o máximo
dimensionamento da célula de Yee, dx, é igual à décima parte do comprimento de onda
mínimo, encontrou-se dx igual a 0.000643m. Com os valores da constante de rede e do
dimensionamento da célula de Yee encontrou-se através da Equação (4.15) o número de
células de Yee necessária para uma constante de rede, calculou-se 70 células.
3
4
a=
λmin =
ƒ norm
* c0
ƒ max
c0
ƒ max ε r max
N cel =
a
dx
(4.13)
(4.14)
(4.15)
Usando a Equação (4.13) encontrou-se as faixas de freqüências onde devem ocorre
os gaps no coeficiente de transmissão: 1.4GHz e 3GHz, 4.4GHz e 4.53GHz e 5.8GHz e
6.67GHz. Essas freqüências referentes aos seguintes valores normalizados da Figura 4.3:
0.21 e 0.45, 0.66 e 0,68 e 0.87 e 1, respectivamente. O band gap ocorre quando a curva do
coeficiente de transmissão cai -10dB.
4.5 - Estruturas com célula primitiva de 2 camadas dielétricas isotrópicas.
A Figura 4.4 mostra o coeficiente de transmissão com os três band gaps, onde foram
necessárias 200000 iterações e 9 constantes de rede. As faixas de freqüência onde ocorreu
os band gaps são: 1.4GHz e 3,1GHz, 4.5GHz e 4.63GHz e 6GHz e 7.78GHz. Como
mostrou-se no gráfico o coeficiente de transmissão a 8GHz, então pode-se visualizar o
restante do terceira band gap referente a Figura 4.3
Figura 4.4 – Coeficiente de transmissão plotado para duas permissividades, εr =13 e εr=1.
3
5
Uma Este coeficiente de transmissão será a referência para as análises da influência
no coeficiente de transmissão devido à inserção do número intermediário de
permissividades relativas e devido à variação do preenchimento das permissividades εr =13
e εr=1.
4.5.1 - Estruturas com célula primitiva de 3 camadas dielétricas isotrópicas
Como um primeiro exemplo considerou-se a célula, da estrutura periódica,
constituída de três materiais representados na Figura 4.5, pelas três cores vermelha, amarela
e azul, com εr1 =1, εr2 = 2 até 12 e εr3 = 13, onde cada material tem espessuras de 0.1a, 0.2a
e 0.7a, respectivamente. As Figura 4.6 à 4.11 representam os coeficientes de transmissão
referentes a estrutura periódica abaixo.
Figura 4.5 - Esquema da configuração da estrutura periódica para três permissividades.
Figura 4.6 - Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias 2 e 3.
3
6
Figura 4.7 - Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias 4 e 5.
Figura 4.8 - Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias 6 e 7.
3
7
Figura 4.9 - Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias 8 e 9.
Figura 4.10 - Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias 10 e 11.
3
8
Figura 4.11- Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias 11 e 12.
Como pode ser observado, ao acrescentar uma permissividade intermediária na
estrutura periódica, os band gaps aumenta em largura e diminui em ganho e é obtido com
menos iterações, cinqüenta mil, e com menos constantes de rede, seis constantes de rede.
Ao variar as permissividades elétricas de forma crescente, ocorre uma compreensão no gap
mais inferior, o deslocamento dos gaps mais esternos para freqüências inferiores, com os
três band gaps ficam mais homogêneos.
4.5.2 - Estruturas com célula primitiva de 4 camadas dielétricas isotrópicas
Neste caso, foram introduzidas duas camadas intermediárias entre as duas camadas
já existentes no exemplo da Figura 4.4. As permissividades intermediárias variam aos
pares: 2 e 12, 3 e 11, 4 e 10, 5 e 9, 6 e 8. Formando cada célula com quatro camadas, onde
as camadas externas têm permissividades de 1 e 13. Para εr =13 tem-se uma espessura de
0.1a, εr=12, 11, 10, 9, 8 tem-se 0.2a, εr = 2, 3, 4, 5, 6 tem-se 0.3a e εr =1 tem-se 0.4a. As
Figuras 4.12, 4.11 e 4.14 mostram os coeficientes de transmissão referentes a essa estrutura
periódica.
3
9
Figura 4.12 - Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias 2 e 12; 3 e 11.
Figura 4.13 - Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias 4 e 10; 5 e 9.
4
0
Figura 4.14 - Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias 5 e 9; 6 e 8.
Assim, como no caso anterior, quando foi inserida as permissividades
intermediárias o band gap central foi obtido com menos iterações, quarenta mil, e com
menos constante de rede, quatro.
4.5.3 - Estruturas com célula primitiva de 5 camadas dielétricas isotrópicas.
Neste caso, considerou-se as situações do item 4.5.2 acrescentando-se uma camada
com εr = 7 no centro. Por exemplo: 1, 2, 7, 12 e 13. Para εr = 13 tem-se uma espessura de
0.1a, εr = 12, 11, 10, 9, 8 tem-se 0.1a, εr = 7 tem-se 0.1a e εr = 2, 3, 4, 5, 6 tem-se 0.3a e εr
= 1 tem-se 0.4a. As Figuras 4.15, 4.16 e 4.17 mostram os coeficientes de transmissão
referentes a essa estrutura periódica. .
4
1
Figura 4.15 - Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias 2, 7 e 12; 3, 7 e 11.
Figura 4.16 - Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias 4, 7 e 10; 5, 7 e 9.
4
2
Figura 4.17 - Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias 5, 7 e 9; 6, 7 e 8.
Pode-se observar que com o acréscimo da permissividade relativa 7, não ocorreram
mudanças significativas, nos band gaps, devido a variação das permissividades, em relação
ao caso anterior.
4.5.4 - Estruturas com célula primitiva de 6 camadas dielétricas isotrópicas
Neste caso acrescentou-se quatro camada entre εr = 13 e εr = 1, sendo que as
constantes dielétricas 12 e 2 são fixas e as demais variam aos pares. Considerou-se a célula
constituída de seis materiais representados na Figura 4.18 pelas seis azul, εr1 = 13, verde, εr2
= 13, lilás, εr3 = 8 até 11, cinza, εr4 = 3 até 6, violeta, εr5 = 2 e vermelha, εr1 = 1. Para εr = 13
e 12 tem-se uma espessura de 0.1a e para as demais constantes dielétricas tem-se 0.2a,
como pode ser observado na Figura 4.18. As Figuras 4.19 e 4.20 mostram os coeficientes
de transmissão referentes a essa estrutura periódica.
4
3
Figura 4.18 - Esquema da configuração da estrutura periódica para seis permissividades.
Figura 4.19 - Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias 2, 3, 11 e 12; 2, 4, 10 e
12.
Figura 4.20 - Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias 2, 5, 9 e 12; 2, 6, 8 e
12.
4.5.5 - Estruturas com célula primitiva de 7 camadas dielétricas isotrópicas
4
4
Neste caso, considerou-se as situações do item 4.5.4 acrescentando-se uma camada
com εr = 7 no centro e variou-se as demais constantes intermediárias. Por exemplo, 1, 2, 3,
7, 11, 12 e 13. Para εr = 13, 12, 11, 10, 9, 8 e 7 tem-se uma espessura de 0.1a e para εr = 1,
2, 3, 4, 5, 6 tem-se 0.2a. As Figuras 4.21e 4.22 mostram os coeficientes de transmissão
referentes a essa estrutura periódica.
Figura 4.21 - Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias 2, 3, 7, 11 e 12; 2, 4, 7,
10 e 12.
4
5
Figura 4.22 - Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias 2, 5, 7, 9 e 12; 2, 6, 7, 8
e 12.
Neste caso ocorre uma diminuição muito acentuada na largura dos band gaps. No
entanto, eles ficam mais uniformes tanto em relação ao ganho quanto em relação largura.
Além disso, ocorre o aparecimento de band gaps mais externos.
4.5.6 - Estruturas com célula primitiva de 8 camadas dielétricas isotrópicas
Para montar a estrutura periódica colocou-se εr =1, 2, 3, 11, 12 e 13 fixos e variouse as outras constantes dielétricas aos pares das mais distantes para as mais próximas. Por
exemplo: 13, 12, 11, 10, 4, 3, 2 e 1. Para εr =1 e 2 tem-se 0.2a e para as demais tem-se 0.1a.
As Figuras 4.23 e 4.24 mostram os coeficientes de transmissão referentes a essa estrutura
periódica.
Figura 4.23 - Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias 2, 3, 4,10, 11 e 12; 2,3,
5, 9, 11 e 12.
4
6
Figura 4.24 - Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias 2,3, 5, 9, 11 e 12; 2, 3,
6, 8, 11 e 12.
4.5.7 - Estruturas com célula primitiva de 9 camadas dielétricas isotrópicas
Neste caso, considerou-se as situações do item 4.5.6 acrescentando-se uma camada
com εr = 7 no centro. Para εr =1 1 tem-se 0.2ae para as demais tem-se 0.1a. As Figuras 4.25
e 4.26 mostram os coeficientes de transmissão referentes a essa estrutura periódica.
4
7
Figura 4.25 - Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias 2,3, 4, 7, 10, 11 e 12; 2,
3, 5, 7, 9, 11 e 12.
Figura 4.26 - Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias 2,3, 5, 7 9, 11 e 12; 2,
3, 6, 7, 8, 11 e 12.
4.5.8 - Estruturas com célula primitiva de 10 camadas dielétricas isotrópicas
Para montar a estrutura periódica colocou-se εr =1, 2, 3, 4, 10, 11, 12 e 13 fixos e
variou-se as outras constantes dielétricas aos pares das mais distantes para as mais
próximas. Todas as constantes tem uma espessura de 0.1a. A Figura 4.27 mostra os
coeficientes de transmissão referentes a essa estrutura periódica.
4
8
Figura 4.27 - Coeficientes de transmissão para as constantes dielétricas intermediarias 2,3,4, 5, 9, 10, 11 e 12;
2, 3,4, 6, 8, 10, 11 e 12.
4.6 - Análise da influência nos Band Gaps devido à variação do preenchimento das
permissividades relativas na constante de rede.
Variou-se as espessuras referentes as permissividades relativas εr =13 e εr =1, como
mostrado na Figura 4.28. Para as estruturas com mais de duas permissividades relativa,
“deslocou-se” as permissividades relativas intermediárias dentro da estrutura para variar o
preenchimento de εr =13 e εr =1.
4.6.1-Duas camadas dielétricas isotrópicas.
Variou-se o preenchimento das permissividades: Para a constante dielétrica 13
aumentou-se a porcentagem na constante de rede de 10% até 90%. Já para permissividade
relativa 1 ocorreu o inverso, como mostrado na Figura 4.28. As permissividades relativas εr
=13 e εr =1 são representadas pelas cores azul e vermelho, respectivamente. As Figuras
4.29 até 4.33 mostram os coeficientes de transmissão referentes a essa estrutura periódica.
4
9
Figura 4.28 - Esquema mostrando a variação do preenchimento da constante de rede para duas
permissividades.
Figura 4.29 - Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.1a e 0.2a.
5
0
Figura 4.30 - Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.3a e 0.4a.
Figura 4.31 - Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.5a e 0.6a.
Figura 4.32 - Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.7a e 0.8a.
5
1
Figura 4.33 - Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.8a e 0.9a.
Como se percebe, à medida que aumenta na constante de rede a percentagem
relativa à permissividade relativa 13 ocorre o deslocamento dos band gaps para freqüências
inferiores, a diminuição de suas larguras e o aparecimento de outros band gaps na banda de
freqüência em questão.
4.6.2 - Três camadas dielétrica isotrópicas.
Inseriu-se εr = 7 entre εr =13e εr =1. Para a constante dielétrica 13 aumentou-se a
porcentagem na constante de rede de 10% até 80%. Já para permissividade relativa 1
ocorreu o inverso, como mostrado na Figura 4.34. As permissividades relativas εr =13, εr =
7 e εr =1 são representadas pelas cores azul, amarela e vermelho, respectivamente. As
Figuras 4.35 até 4.38 mostram os coeficientes de transmissão referentes a essa estrutura
periódica.
5
2
Figura 4.34 – Esquema mostrando a variação do preenchimento da constante de rede para três
permissividades.
Figura 4.35 - Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.1a e 0.2a.
Figura 4.36 - Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.3a e 0.4a.
5
3
Figura 4.37 - Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.5a e 0.6a.
Figura 4.38 - Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.7a e 0.8a.
Ao acrescentar a permissividade relativa 7 e variar o preenchimento das constantes
dielétricas 1 e 13. Suavizou-se o deslocamento dos band gaps para freqüências inferiores.
Assim como, a diminuição dos mesmos.
5
4
4.6.3 - Quatro camadas dielétricas isotrópicas.
As permissividades relativas intermediárias utilizadas foram 5 e 9, cada uma com
um preenchimento de 0.1a na constante de rede. Para a constante dielétrica 13 aumentou-se
a porcentagem na constante de rede de 10% até 70%. Já para permissividade relativa 1
ocorreu o inverso. As Figuras 4.39 até 4.42 mostram os coeficientes de transmissão
referentes a essa estrutura periódica.
Figura 4.39 - Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.1a e 0.2a.
Figura 4.40 - Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.3a e 0.4a.
5
5
Figura 4.41 - Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.5a e 0.6a.
Figura 4.42 - Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.6a e 0.7a.
4.6.4 - Cinco camadas dielétricas isotrópicas.
As permissividades relativas intermediárias foram 4, 7 e 10, cada uma com 0.1a.
Para a constante dielétrica 13 aumentou-se a porcentagem na constante de rede de 10% até
5
6
60%. Já para permissividade relativa 1 ocorreu o inverso. As Figuras 4.43 até 4.45 mostram
os coeficientes de transmissão referentes a essa estrutura periódica.
Figura 4.43 - Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.1a e 0.2a.
Figura 4.44 - Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.3a e 0.4a.
5
7
Figura 4.45 - Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.5a e 0.6a.
4.6.5 - Seis camadas dielétricas isotrópicas.
As permissividades relativas intermediárias foram 3, 5, 9 e 11, cada uma com 0.1a.
Para a constante dielétrica 13 aumentou-se a porcentagem na constante de rede de 10% até
50%. Já para permissividade relativa 1 ocorreu o inverso. As Figuras 4.46 até 4.48 mostram
os coeficientes de transmissão referentes a essa estrutura periódica.
Figura 4.46 - Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.1a e 0.2a.
5
8
Figura 4.47 - Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.3a e 0.4a.
Figura 4.48 - Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.4a e 0.5a.
4.6.6 - Sete camadas dielétricas isotrópicas.
5
9
As permissividades relativas intermediárias foram 3, 5, 7, 9 e 11 cada uma com
0.1a. Para a constante dielétrica 13 aumentou-se a porcentagem na constante de rede de
10% até 40%. Já para permissividade relativa 1 ocorreu o inverso. As Figuras 4.49 até 4.50
mostram os coeficientes de transmissão referentes a essa estrutura periódica.
Figura 4.49 - Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.1a e 0.2a.
Figura 4.50 - Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.3a e 0.4a.
6
0
4.6.7 - Oito camadas dielétricas isotrópicas.
As permissividades relativas intermediárias foram 2, 4, 6, 8, 10 e 12 cada uma com
0.1a. Para a constante dielétrica 13 aumentou-se a porcentagem na constante de rede de
10% até 30%. Já para permissividade relativa 1 ocorreu o inverso. As Figuras 4.51 e 4.52
mostram os coeficientes de transmissão referentes a essa estrutura periódica.
Figura 4.51 - Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.1a e 0.2a.
Figura 4.52 - Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.2a e 0.3a.
6
1
4.6.8 - Nove camadas dielétricas isotrópicas.
As permissividades relativas intermediárias foram 2, 4, 6, 7, 8, 10 e 12 cada uma
com 0.1a. Para a constante dielétrica 13 aumentou-se a porcentagem na constante de rede
de 10% até 20%. Já para permissividade relativa 1 ocorreu o inverso. A Figura 4.53 mostra
os coeficientes de transmissão referentes a essa estrutura periódica.
Figura 4.53 - Coeficientes de transmissão para permissividade relativa 13 igual a 0.1a e 0.2a.
4.7 - Configuração do Programa e Resultados referentes a Comparação do Band Gap
calculado pelo método FDTD e o método da Matriz de Transferência.
O método da matriz de transferência relaciona o comportamento eletromagnético
em diferentes pontos escolhidos dentro da estrutura. Para uma dada freqüência, as equações
são resolvidas no plano perpendicular à superfície do cristal, o campo é então transferido
durante toda a estrutura sucessivamente aplicando as equações de Maxwell. Através deste
método pode-se calcular para ondas eletromagnéticas os diagramas de bandas dados pelos
autovalores da matriz de transferência e seus coeficientes de transmissão e reflexão que
podem ser propagados através dos cristais por sucessivas multiplicações matriciais [29].
Para todos os casos segui-se o seguinte raciocínio: Considerando que a constante de
rede vale 0.045m. A partir da freqüência normalizada da curva de dispersão freqüência
encontrou-se a máxima freqüência através da Equação (4.13). Utilizando a Equação (4.14)
6
2
calculou-se o comprimento de onda mínimo. Depois, discretizou-se este comprimento de
onda velando-se em conta a questão da precisão e estabilidade. Por fim, utilizando a
Equação (4.15) calculou-se a numero de células de Yee existente em uma constante e rede.
A maior permissividade relativa usada por [29] foi 13.
4.7.1 - Diagrama de banda para duas camadas dielétricas isotrópicas com iguais
espessuras.
Nesta primeira simulação, considerando a freqüência normalizada igual a 0.4,
calculou-se a freqüência máxima que vale 2,67GHz, o comprimento de onda mínimo vale
0.03116m, o comprimento da célula de Yee vale 0.0028125m e o número de célula por
constante de rede vale 16. Cada permissividade ocupa 50% da constante de rede.
Figura 4.54 - Estrutura periódica com alternados índices de refração n1 = 1 e n2 = 3.6056 freqüência ƒ1 = 0.15
na base e ƒ2 = 0.2566 no topo do gap.
6
3
Figura 4.55 - Coeficiente de transmissão correspondente a Fig.4.54.
As freqüências ƒ1 = 1.2 GHz e ƒ2 = 2.0528 GHz, Fig.4.54, representam os limites de
freqüência determinado pelo método da matriz de transferência, o que proporciona um band
gab de 0.8528 GHz. As freqüências ƒ1 = 1.65 GHz e ƒ2 = 2.470 GHz , Fig. 64, representam
os limites de freqüência determinado pelo método FDTD, o que proporciona um band gab
de 0.82 GHz.
4.7.2 - Diagrama de banda para duas camadas dielétricas isotrópicas com diferentes
espessuras.
Considerando a freqüência normalizada igual a 0.4, calculou-se a freqüência
máxima que vale 2,67GHz, o comprimento de onda mínimo vale 0.03116m, o
comprimento da célula de Yee vale 0.0028125m e o número de célula por constante de rede
vale 16.
6
4
Figura 4.56 - Estrutura periódica com alternados índices de refração n1 = 1 e n2 = 3.6056 com diferentes
espessuras L1 = 0.2a, L2 = 0.8a e freqüência ƒ1 = 0.1395 na base e ƒ2 = 0.17 no topo do gap.
Figura 4.57 - Coeficiente de transmissão correspondente a Fig.4.56.
As freqüências ƒ1 = 1.116 GHz e ƒ2 = 1.36 GHz, Fig.4.56, representam os limites de
freqüência determinado pelo método da matriz de transferência, o que proporciona um band
gab de 0.244 GHz. As freqüências ƒ1 = 1.50 GHz e ƒ2 = 1.75 GHz , Fig. 66, representam os
limites de freqüência determinado pelo método FDTD, o que proporciona um band gab de
0.250 GHz.
6
5
4.7.3 - Diagrama de banda para três camadas dielétricas isotrópicas com iguais
espessuras.
Considerando a freqüência normalizada igual a 0.5, calculou-se a freqüência
máxima que vale 3.33GHz, o comprimento de onda mínimo vale 0.025m, o comprimento
da célula de Yee vale 0.0025m e o número de célula por constante de rede vale 18.
Figura 4.58 - Estrutura periódica com índices de refração n1 = 1, n2 = 1,7321 e n3 = 3.6056 freqüência ƒ1 =
0.175 na base e ƒ2 = 0.290 no topo do gap.
6
6
Figura 4.59 - Coeficiente de transmissão correspondente a Fig.4.58.
As freqüências ƒ1 = 1.4 GHz e ƒ2 = 2.32 GHz, Fig.4.58 representam os limites de
freqüência determinado pelo método da matriz de transferência, o que proporciona um band
gab de 0.92 GHz. As freqüências ƒ1 = 1.925 GHz e ƒ2 = 2.825 GHz , Fig. 68, representam
os limites de freqüência determinado pelo método FDTD, o que proporciona um band gab
de 0.90 GHz.
4.7.4 - Diagrama de banda para três camadas dielétricas isotrópicas com diferentes
espessuras.
Considerando a freqüência normalizada igual a 0.4, calculou-se a freqüência
máxima que vale 2,67GHz, o comprimento de onda mínimo vale 0.03116m, o
comprimento da célula de Yee vale 0.0028125m e o número de célula por constante de rede
vale 16.
Figura 4.60 - Estrutura periódica com índices de refração n1 = 1, n2 = 1.7321 e n3 = 3.6056 com diferentes
espessuras L1 = 0.2 L, L2 = 0.4 L e L3 = 0.4 L. Freqüência ƒ1 = 0.1582 na base e ƒ2 = 0.26 no topo do gap.
6
7
Figura 4.61 - Coeficiente de transmissão correspondente a Fig.4.60.
As freqüências ƒ1 = 1.2656 GHz e ƒ2 = 2.08 GHz, Fig.4.60, representam os limites
de freqüência determinado pelo método da matriz de transferência, o que proporciona um
band gab de 0.8144 GHz. As freqüências ƒ1 = 1.9 GHz e ƒ2 = 2.25 GHz , Fig. 68,
representam os limites de freqüência determinado pelo método FDTD, o que proporciona
um band gab de 0.65 GHz.
4.8 - Configuração do Programa e Resultados ao Espelho de Bragg.
Os valores da maior e da menor permissividades são: 12,25 (GaAs) e 8,7025
(AlAs), respectivamente. Elas compõem a estrutura periódica determinada por [28]. O
comprimento de onda mínimo foi calculado de [28], 1,3µm e 1,55µm, é a média aritmética
dos mesmos e vale 1,425µm. Com a Equação (4.14) calculo-se
ƒ max , que representa a
freqüência onde se quer analisar o band gap e vale 60000GHz, Como a espessura é igual
um quarto do comprimento de onda mínimo, então a constante de rede a é igual a meio
comprimento de onda mínimo, logo a = 0.7125µm. Considerando o número de células de
Yee ncel = 8 células, então pela Equação (4.15) calculamos o dx que vale 0.0098025µm.
4.9 - Analise do Espelho simples de Bragg.
6
8
Abaixo serão feitas análises na largura e no ganho do band gap devido à influência
da variação do número de pares de camadas na estrutura mostrada na Figura 3.6, dos
índices de refração dos materiais escolhidos e dos índices de refração do substrato.
4.9.1 - Variação do número de pares de camadas.
Pode-se observar que quanto maior o número de pares de camadas, 12,25 (GaAs) e
8,7025 (AlAs), o ganho diminui e a faixa de freqüência do band gap não é alterada. Os
valores das freqüências onde ocorrem band gap são 55601,1GHz e 62224,1GHz. Usando a
Equação (4.14) calcula-se os comprimentos de onda referentes a essas freqüências que são
aproximadamente 1,54µm e 1,37µm, respectivamente. Esses valores são muito próximo dos
comprimentos de onda utilizados em [28] para analisar a reflectância, 1, 55µm e 1,3µm. Os
números de interações aumentam à medida que aumenta o número de camadas, por
exemplo, para cinco pares de camadas foram necessárias cinco mil interações e para
quarenta pares de camadas foram necessárias sessenta e três mil e quinhentas interações. O
índice de refração do substrato é um.
Figura 4.62 - Coeficientes de Transmissão para 5 e 10 pares de camadas.
6
9
Figura 4.63 - Coeficientes de Transmissão para 15 e 20 pares camadas.
Figura 4.64 - Coeficientes de Transmissão para 25 e 30 pares de camadas.
7
0
Figura 4.65 - Coeficientes de Transmissão para 35 e 40 pares de camadas.
4.9.2 - Variação dos índices de refração dos pares de camadas.
Os valores dos índices são calculados pela Equação (4.16), tirada de [28]. O índice
n1 vale 3,5 e variou-se o valor do índice de refração n2 para achar o índice diferencial
relativo. Para podermos utilizar esses resultados no programa foi necessário calcular a
permissividade relativa devido ao índice de refração n2.
∆n % =
n1 − n 2
*100
n1
(4.16)
Os valores das permissividades relativas para ∆n igual 3%, 7%, 9%, 11%, 13%,
15%, 17% e 19% são 11,526025, 10,595025, 10,144225, 9,703225, 9,272025, 8,850625,
8,439025 e 8,0337225, respectivamente. Pode-se observar que quando o índice diferencial
relativo aumenta ocorre uma diminuição do ganho no gap, pois ocorrem mais reflexões, e o
ganho fora do gap não é alterado. Além disso, ocorre um aumento, ou melhor, um
deslocamento da faixa à direita do band gap para freqüência maiores. Todas as simulações
foram feitas para quinze pares de camadas e foram necessárias quinze mil interações.
7
1
Figura 4.66 - Coeficientes de Transmissão para ∆n = 3 e 7%.
Figura 4.67 - Coeficientes de Transmissão para ∆n = 9 e 11%..
7
2
Figura 4.68 - Coeficientes de Transmissão para ∆n = 13 e 15%.
Figura 4.69 - Coeficientes de Transmissão para ∆n = 17 e 19%.
4.9.3 - Variação dos índices de refração do substrato.
Pode-se observar que à medida que se aumentou o índice de refração do substrato as
reflexões diminuíram, isto é, ocorreu um aumento no ganho do coeficiente de transmissão
fora do band gap, as reflexões diminuem, e não ocorreu nenhuma alteração no mesmo.
7
3
Figura 4.70 - Coeficientes de Transmissão para permissividade do substrato igual a 1 e 2.
Figura 4.71 - Coeficientes de Transmissão para permissividade do substrato igual a 3 e 4.
7
4
Figura 4.72 - Coeficientes de Transmissão para permissividade do substrato igual a 6 e 8.
Figura 4.73 - Coeficientes de Transmissão para permissividade do substrato igual a 12 e 14.
Nessas simulações utilizou-se os índices de refração do (GaAs) e do (AlAs) e trinta
e três pares de camadas dos mesmos e para todas as simulações foram necessária quarenta e
três mil interações.
4.10- Refletor de Bragg operando em duplo comprimento de onda.
7
5
Quando uma camada de inserção de um quarto de comprimento de onda é inserida,
em pontos apropriados, em uma estrutura periódica formada por pares alternados com
baixos e altos índices de refração, como mostrada na Figura 3.7, ocorre o deslocamento de
180º da fase refletida, ocorrendo o aparecimento de picos simultâneos de reflectância. Em
[28], usando a Equação (4.17), onde λ1 e λ 2 representam os comprimentos de onda onde se
quer gerar os picos simultâneos, determinou-se o valor de m, que representa o número de
camadas por células da estrutura. Isto significa que cada célula básica deverá ter (m-1)/2
pares de camadas de baixos e altos índices de refração, mais uma camada inserida em
pontos determinados para deslocar a fase refletida de 180º.
m=
λ 2 + λ1
λ 2 − λ1
(4.17)
Deste modo em um projeto para gerar picos simultâneos em 1,3 e 1,55µm são
necessários cinco pares de altos e baixos índices de refração, cada um com espessura de um
quarto de comprimento de onda, mais uma camada adicional, também, com espessura de
um quarto de comprimento de onda, como mostra a Figura 4.74. Calculando através da
Equação (4.14) as freqüências relativa aos comprimentos de onda, 1,3 e 1,55µm, onde vão
ocorrer os picos de reflectância, encontramos as freqüências onde vão ocorrer os band gaps
e são, respectivamente, 65934 e 55299 GHz.
Figura 4.74 - Uma célula básica do projeto de um espelho dual operando em 65934 GHz e 55299 GHz.
Abaixo serão feitas análises nas larguras e nos ganhos dos band gaps devido à
influência da variação do número de células básicas, da posição das camadas de inserção,
do valor da permissividade da camada de inserção, do valor de m (número de camadas por
7
6
células na estrutura) e mostrar que se podem obter dois picos sem utilizar a camada de
inserção. Além disso, será mostrado que pode-se obter na faixa de microondas os mesmos
resultados analisados aqui na faixa óptica.
4.10.1 - Variação do número de célula básica.
As variações dos números de células básicas analisadas em [28] vão até seis, ou
seja, a estrutura final consiste de trinta pares de camadas alternadas de GaAs e AlAs mais
seis camadas de inserção de AlAs, localizadas na posição 7, como mostra a Figura 4.74.
Como se poderá observar nas figuras abaixo, em todas as simulações, as freqüências 65934
GHz e 55299 GHz estão nas faixas dos band gaps. À medida que se aumentam os números
de células básicas surgem os dois band gaps, diminuem os ganhos na região onde estão
localizadas as freqüências citadas acima. Isso ocorre, pelo fato de melhorar a refletividade
na região desejada, 1,3 e 1,55µm. Além disso, as larguras do band gaps vão aumentando.
Os números de interações para essas simulações variaram de cinco mil até vinte e oito mil.
Figura 4.75 - Coeficientes de transmissão para uma e duas células básicas.
7
7
Figura 4.76 - Coeficientes de transmissão para três e quatro células básicas.
Figura 4.77 - Coeficientes de transmissão para cinco e seis células básicas.
As figuras abaixo mostram que acima de seis células básicas ocorrem os mesmos
fenômenos citados anteriormente. Além disso, ocorre o aparecimento de band gaps fora das
freqüências de 65934 GHz e 55299 GHz.
7
8
Figura 4.78 - Coeficientes de transmissão para seis e sete células básicas
Figura 4.79 - Coeficientes de transmissão para seis e oito células básicas.
7
9
Figura 4.80 - Coeficientes de transmissão para seis e nove células básicas.
Figura 4.81 - Coeficientes de transmissão para dez e nove células básicas.
4.10.2 - Variação da posição da camada de inserção.
Em todas as simulações utilizaram-se seis células básicas e vinte e oito mil
interações. Pode-se observar nas Figuras 4.82 e 4.83 que com a variação da posição da
camada de inserção os ganhos onde ocorrem os band gaps permanecem inalterados. No
entanto, os valores dos ganhos referentes aos coeficientes de transmissão intermediários
diminuíram, isso porque a refletividade nas regiões intermediarias aumenta.
8
0
Figura 4.82 - Coeficientes de transmissão para camada de inserção na posição 3 e 5.
Figura 4.83 - Coeficientes de transmissão para camada de inserção na posição 7 e 9.
4.10.3 - Variação do valor da permissividade da camada de inserção.
Em todas as simulações utilizaram-se seis células básicas e as interações variaram
de vinte até noventa mil. Á medida que variou-se o valor da permissividade da camada de
inserção 10 até 2, os valores dos ganhos referentes aos coeficientes de transmissão
intermediários aumentaram, os números de reflexões não se alteraram, no entanto, os
8
1
ganhos do coeficiente de transmissão em outras faixas de freqüência diminuíram até ocorrer
o aparecimento de band gaps fora das freqüência de de 65934 GHz e 55299 GHz..
Figura.4.84 - Coeficientes de transmissão para os valores das permissividades da camada de inserção igual a
11 e 10.
Figura 4.85 - Coeficientes de transmissão para os valores das permissividades da camada de inserção igual a 9
e 8,7025.
8
2
Figura 4.86 - Coeficientes de transmissão para os valores das permissividades da camada de inserção igual a 7
e 6.
Figura 4.87 - Coeficientes de transmissão para os valores das permissividades da camada de inserção igual a 4
e 5.
8
3
Figura 4.88 - Coeficientes de transmissão para os valores das permissividades da camada de inserção igual a 3
e 2.
4.10.4 - Variação dos números de camadas por célula básica na estrutura (m).
Para essas simulações utilizaram-se seis células básicas com a camada de inserção
sempre na posição 3. As interações variaram de vinte e quatro até cem mil. À medida que
se aumentaram os números de camadas por célula básica na estrutura ocorre a aproximação
dos band gaps e a diminuição do ganho dos mesmos. No entanto, os ganhos referentes aos
coeficientes intermediários aumentaram, mas os números de picos intermediários não são
alterados. Já os picos exteriores aos band gaps aumentam.
8
4
Figura 4.89 - Coeficientes de transmissão para os valores de m igual a 5 e 7.
Figura 4.90 - Coeficientes de transmissão para os valores de m igual a 9 e 11.
4.11 - Variação dos números de células básicas sem a camada de inserção.
Verificou-se ainda como pode-se obter resposta dentro da faixa de freqüência
considerada em
65934 e 55299 GHz sem a camada de inserção de um quarto de
comprimento de onda, utilizando apenas configurações simétricas na célula básica , ou seja,
configurações nas quais o índice de refração da primeira e da ultima camada são iguais,
como mostra a Figura 4.91.
Figura 4.91 - Célula básica sem a camada de inserção.
As variações dos números de células básicas analisadas sem a camada de inserção
vão até seis, ou seja, a estrutura final consiste de trinta pares de camadas alternadas de
8
5
GaAs e AlAs mais seis camadas de GaAs, localizadas ultima posição, como mostra a
Fig.4.91. Como se poderá observar nas figuras abaixo, em todas as simulações, as
freqüências 65934 GHz e 55299 GHz estão nas faixas dos band gaps. À medida que se
aumentam os números de células básicas surgem os dois band gaps, diminuindo os ganhos
dos mesmos. Isso ocorre, pelo fato de melhorar a refletividade na região desejada, 1,3 e
1,55µm. Além disso, as larguras do band gaps não se alteram apenas se deslocam e ocorre o
aparecimento de novos band gaps. Os números de interações para essas simulações
variaram de cinco mil até vinte e três mil.
Figura 4.92 - Coeficientes de transmissão para uma e duas células básicas.
8
6
Figura 4.93 - Coeficientes de transmissão para três e quatro células básicas.
Figura 4.94 - Coeficientes de transmissão para cinco e seis células básicas.
4.12 - Análise do item 4.6.2.1 na faixa de microondas.
Os valores da maior e da menor permissividades são: 12,25 (GaAs) e 8,7025
(AlAs), respectivamente. O comprimento de onda mínimo foi calculado a partir da média
aritmética de 9,022mm e 10,71 mm, o resultado foi 9,866 mm. Com a Equação (4.14)
calculo-se ƒ max , que representa a freqüência onde se quer analisar o band gap e vale 8,68
GHz; ε r max é o maior permissividade relativa e c0 é a velocidade da luz no vácuo. Como a
espessura é igual um quarto do comprimento de onda mínimo, então a constante de rede a é
igual a meio comprimento de onda mínimo, logo a = 4,933 mm. Considerando o número
de células de Yee Ncel = 8 células, então pela Equação (4.15) calculamos o dx que vale
0,616625 mm. Como se pode observar nas figuras abaixo os resultados são os mesmos em
relação aqueles observados na faixa óptica.
8
7
Figura 4.95 - Coeficientes de transmissão para uma e duas células básicas.
Figura 4.96 - Coeficientes de transmissão para três e quatro células básicas.
8
8
Figura 4.97 - Coeficientes de transmissão para cinco e seis células básicas.
CAPÍTULO 5: Conclusões
Pode-se observar que quando se acrescentou uma camada intermediária entre as
permissividades relativas 13 e 1 ocorreu um aumento na faixa do gap intermediário e uma
diminuição do ganho, uma compressão na freqüência e um aumento no ganho nos gaps
mais externos. À medida que se variou a permissividade relativa intermediária de 2 até 12
ocorreu um deslocamento dos gaps para freqüências inferiores, uma diminuição do ganho
do gap mais inferiores, uma diminuição da largura e um aumento do ganho do gap mais
externo. Já para o gap intermediário ocorreu uma diminuição na largura de faixa e um
aumento no ganho quando se variou a permissividade relativa intermediária de 2 até 6 e o
inverso o quando se variou de 7 até 12. Pode-se observar que quando se acrescentou duas
camadas intermediárias entre as permissividades relativas 13 e 1, ocorreu um aumento na
largura de faixa e uma queda mais acentuada no ganho do gap intermediário. À medida que
variou-se as permissividades relativas intermediarias das mais distantes, 2 e 12, para as
mais próximas, 6 e 8, ocorreu uma compressão na freqüência e no ganho do gap mais
inferior, uma expansão na freqüência nos gaps intermediário e superior. Para três
permissividades relativas intermediárias o comportamento dos gaps foi semelhante ao de
duas permissividades relativas intermediárias. Para quatro permissividades intermediarias
pede-se observar que a medida que varia-se as constantes dielétricas aos pares dos mais
8
9
distantes para os mais próximos o gap intermediário desloca-se para faixas inferiores e
diminui seu ganho, já os gaps externos ocorre o contrário. O mesmo aconteceu para cinco,
seis, sete, oito e nove permissividades intermediárias.
Para todos os casos, pode-se observar que a medida que o preenchimento referente a
permissividade relativa 13 aumenta na estrutura periódica ocorre o deslocamento dos gaps
para as faixas de freqüências mais inferiores e a diminuição da largura de faixa dos
mesmos, com isso ocorre o aparecimento de novos Band gaps. Além disso, os ganhos dos
gaps aumentam.
Já para a comparação entre os métodos da Matriz de Transferência e FDTD, os
resultados obtidos foram muito próximos, as faixas, onde as ondas não se propagam,
obtidas pelo método da Matriz de Transferência estão próximas das faixas obtidas pelo
método FDTD.
Os resultados obtidos no item 1 mostram que para o espelho de Bragg simples gera
apenas um band gap podendo-se aumentar a sua largura através da variação dos pares de
camadas. Os resultados obtidos no item 2 mostram que quando se insere uma camada de
um quarto de comprimento de onda no espelho simples de Bragg gera-se dois band gaps
podendo-se gerar outro band gaps através da variação do número de células básicas, da
variação da posição da camada de inserção e variação do valor da permissividade da
camada de inserção ou deslocá-los através da variação dos números de camadas por célula
básica na estrutura. Mostrou-se, ainda, que é possível criar mais de um band gap através da
variação dos números de células básicas sem a camada de inserção e , finalmente, foi
mostrado, que através do programa unidimensional é possível fazer analises tanto na faixa
de microondas quanto na faixa óptica.
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