CAP3: Distribuições Discretas

CAP3: Distribuições Discretas
Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relaciona o valor da variável com a
probabilidade de ocorrência daquele valor na população.
Exemplo 3.1
Os 125 diâmetro dos anéis de pistons (tabela 1.1) são uma amostra dos diâmetros que foi selecionada do
processo de produção. A população neste exemplo é o conjunto de todos os anéis de pistons produzidos por
este processo.
Com o uso de métodos estatísticos poderemos analisar a amostra dos diâmetros e tirar conclusões sobre o
processo que produz esses anéis.
Os diâmetros dos anéis de pistons são chamados de variável aleatória, porque assume diferentes valores na
população de acordo com algum mecanismo aleatório.
A distribuição de probabilidade dos diâmetros dos anéis descreve a probabilidade de ocorrência de qualquer
valor do diâmetro na população.
Distribuição Discreta é quando a variável só pode assumir certos valores, tais como os inteiros 0, 1,2,...
Exemplo 3.2
O número de pistons com diâmetro abaixo de determinado valor é uma variável discreta.
Já o diâmetro do piston é uma variável contínua, pois pode assumir qualquer valor num intervalo de números
reais.
Notação:
P(X=xi) = p(xi) significa a probabilidade da variável aleatória X assumir o valor xi.
A probabilidade é um valor entre 0 e 1.
No caso da distribuição de probabilidade, a soma das probabilidades sobre todos os valores possíveis da
variável aleatória é igual a 1.
Vamos estudar algumas distribuições discretas.
OBS:
Distribuição Hipergeométrica
Considere uma população finita composta de N itens. Algum número, digamos D (D≤N), destes itens pertence a
uma determinada classe de interesse. Uma amostra aleatória de n itens é retirada da população sem reposição e
o número de itens na amostra que se situa na classe de interesse, x, é observado.
Então x é uma variável aleatória hipergeométrica com distribuição de probabilidade como segue
, x=0,1,2,...,min(n,D)
A média e variância da distribuição são:
e
)
Exemplo 3.3
Um lote contém 100 itens, dos quais 5 não satisfazem os requisitos. Se 10 itens são selecionados aleatoriamente
sem reposição, então a distribuição de probabilidade do número de itens defeituosos, x, é:
A probabilidade de achar no máximo um item não-conforme é:
X=número de itens não conforme
No máximo um item não conforme: X≤1
Probabilidade:
P(X
= 0.9231433 = 0.923




Verifique que P(X>1) = 1-0.923 = 0.077, pois:
Esta probabilidade é a soma de p(2)+p(3)+p(4)+p(5)
A soma das probabilidades sobre todos os valores possíveis da variável aleatória é igual a 1
Os valores possíveis desta variável são 0,1,2,3,4,5
Logo p(0)+p(1)+ p(2)+p(3)+p(4)+p(5)=1
Note que dependendo da probabilidade a ser calculada temos mais de uma maneira de obtê-la. Veja:
A probabilidade de achar no mínimo três itens não conforme é:
X=número de itens não conforme
No mínimo três itens não conformes: X≥3
Probabilidade:
P(X
= 0.006637913 = 0.007
Ou ainda
1 – [0.923+
] = 1-[0.923 + 0.070] = 0.007
Atenção: antes de realizar os cálculos verifique a melhor maneira de obter o resultado. Lembre-se sempre que: A
soma das probabilidades sobre todos os valores possíveis da variável aleatória é igual a 1.
Distribuição Binomial
Considere um processo consistindo de uma sequencia de n provas independentes. Por provas independentes
queremos dizer que o resultado de cada prova não depende, de qualquer maneira, dos resultados das provas
anteriores. Quando o resultado de cada prova é ou “sucesso” ou “fracasso”, as provas são chamadas provas de
Bernoulli. Se a probabilidade de “sucesso” em qualquer prova, digamos p, é constante, então o número de
“sucessos” x em n provas de Bernoulli independentes tem distribuição binomial com parâmetros n e p como
segue:
, x=0,1,2,...,n
A média e variância da distribuição são:
e
Observe que na distribuição hipergeométrica a população é finita; já na distribuição binomial a população é
considerada infinitamente grande.
Exemplo 3.4
Um lote contém 1000 itens, dos quais 5 não satisfazem os requisitos. Se 10 itens são selecionados
aleatoriamente sem reposição, então a distribuição de probabilidade do número de itens defeituosos, x, é:
Hipergeométrica (população de 1000 itens):
Binomial (se pensarmos que 1000 itens é um número consideravelmente grande!), a verificação dos 10 itens é o
número de provas de Bernoulli e a probabilidade de encontrar “item não conforme” é 5/1000 = 0.005
A probabilidade de achar no máximo um item não-conforme é:
X=número de itens não conforme
No máximo um item não conforme: X≤1
Adotando a hipótese de população infinita, temos um modelo binomial
P(X
=
0.9511101 + 0.04779448= 0.9989046 = 0.999
Observe que tanto no modelo Binomial como no Hipergeométrico o objetivo é verificar número de itens não
conformes numa amostra. A diferença está na hipótese do tamanho da população. As probabilidades de ambos
os modelos se tornam muito próximas à medida que o tamanho da população tende a infinito.
Distribuição de Poisson
Muito usada no Controle de qualidade para modelar o número de defeitos por unidade de produto.
Qualquer fenômeno aleatório que ocorrem em base unitária (unidade de área, unidade de volume, unidade de
tempo, etc) é bem aproximado pela distribuição de Poisson.
A distribuição de Poisson é:
, x=0,1,...
A média e variância da distribuição são:
e
Exemplo 3.5
Suponha que estejamos interessados em modelar o número de circuitos defeituosos por semicondutor. Sabe-se
que em média cada semicondutor apresenta 4 circuitos defeituosos. Adotando um modelo de Poisson, temos
λ=4 com
A probabilidade de um semicondutor escolhido aleatoriamente conter no máximo dois circuitos defeituosos é:
No máximo dois circuitos defeituosos:
=
= 0.2381033 = 0.238
Exercícios:
3.1 Uma montagem mecatrônica é submetida a um teste final. Suponha que os defeitos ocorram aleatoriamente
nessas montagens de acordo com uma distribuição de Poisson com parâmetro λ = 0.02
a) Qual a probabilidade de uma montagem apresentar exatamente um defeito?
b) Qual a probabilidade de uma montagem apresentar um ou mais defeitos?
c)Suponha que você melhore o processo de modo que a taxa de ocorrência de defeitos seja reduzida pela
metade, λ = 0.01. Qual o efeito desta medida sobre a probabilidade de uma montagem apresentar pelo menos
um defeito?
Respostas: a) 0.01960397(p(1)) b) 0.01980133 (1-p(0))
metade)
c) 0.009950166 (a probabilidade fica reduzida pela
3.2 Um processo de produção opera a uma taxa de 2% de peças produzidas não conformes. A cada hora uma
amostra de 50 unidades do produto é retirada, e o número de não conforme é contado. Se uma ou mais
unidades fora das especificações são encontradas, o processo é interrompido e o técnico de controle de
qualidade tem que encontrar a causa para a produção de não conformes.
a) Estabeleça o modelo de probabilidade para o número de unidades não conforme.
b) Avalie a probabilidade do técnico de controle de qualidade ter que interromper o processo devido à produção
de não conformes.
c) Avalie o número médio de interrupções para encontrar a causa da produção de não conformes num período
de 10h de produção ininterruptas.
Respostas: a)Modelo binomial com n=50 e p=0.02 b)
c)10*0.6358 ; ou seja a cada 10 h em torno de 6 interrupções.
0.6358
3.3 Em um departamento de inspeção de recebimento, lotes de eixo de bomba são recebidos periodicamente.
Os lotes contêm 100 unidades, e o seguinte plano de amostragem de aceitação é usado: Seleciona-se uma
amostra de 10 unidades sem reposição. O lote é aceito se a amostra tiver, no máximo, um defeituoso. Suponha
que cada lote contenha 5 defeituosos.
a) Estabeleça o modelo de probabilidade para o número de defeituosos na amostra.
b) Avalie a probabilidade de a amostra conter todos os itens defeituosos do lote.
c) Avalie a probabilidade de o lote ser aceito.
Respostas: a)Modelo Hipergeométrico com N=100 e n=10 e D=5 b)
0.9231
0.000003 c)
3.4 Considere que uma amostra de 100 unidades é retirada de um processo de produção a cada meia hora. A
fração de peças não conformes produzidas é de 0.03.
a) Estabeleça o modelo de probabilidade para o número de peças não conformes da amostra.
b) Expresse a probabilidade de mais de três peças serem não conformes
c) Expresse a probabilidade de no máximo três peças serem não conformes
d) Expresse a probabilidade de menos de três peças serem não conformes
e) Expresse a probabilidade de pelo menos três peças serem não conformes
f) Obtenha os valores das probabilidades dos itens de b a e.
Respostas: a)Modelo Binomial com n=100 e p=0.03 b)
0.3527508; 0.6472492; 0.4197751; 0.5802249
. c)
d)
3.5 Considere um processo de Poisson com taxa de falha de 2/h. Expresse e avalie:
a) A probabilidade de mais de duas falhas no processo
b)A probabilidade de no máximo duas falhas no processo
c) A probabilidade de menos de duas falhas no processo
d) A probabilidade de pelo menos duas falhas no processo
e)
f)
Respostas: a)
=0.3233236 b)
=0.6766764 c)
=0.4060058 d)
3.6 Para uma distribuição de Poisson com parâmetro λ=4, identifique qual das alternativas representa
a.
b.
c.
d.
Resposta: c
3.7 Para uma distribuição de Poisson com parâmetro λ=4, identifique qual das alternativas representa
a.
b.
c.
d.
Resposta: d
3.8 Para uma distribuição de Poisson com parâmetro λ=4, identifique qual das alternativas representa
a.
b.
c.
d.
Resposta: a
3.9 Para uma distribuição de Poisson com parâmetro λ=4, identifique qual das alternativas representa
a.
b.
c.
d.
Resposta: c
3.10 Se
0.110674, avalie
Resposta: 0.889326
.
Após estes exercícios você deverá realizar o teste 3.
0.5939942