PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA
Cursos: EA, EACI, EEC, EI, EM
1o Teste
2o Semestre
2007/2008
Data: Sábado, 3 de Maio de 2008
Duração: 15h às 17h
Instruções:
1. Leia atentamente o teste antes de começar.
2. Justifique convenientemente todas as respostas.
3. Não deverá responder a diferentes questões numa mesma folha de resposta.
4. Somente poderá consultar as tabelas que lhe tenham sido fornecidas na ocasião pelos docentes.
5. É permitida a utilização individual de máquina de calcular.
6. O abandono da sala por desistência só deverá ocorrer depois de decorrida uma hora a partir do início da
prova. O abandono da sala implica a entrega definitiva do teste/exame.
Questões:
[1.5]
1. O circuito eléctrico da figura é constituído pelos relés A, B, C e D. A probabilidade de cada relé fechar é
dada por p.
C
A
B
L
S
D
Se todos os relés funcionarem independentemente, qual será a probabilidade de que passe corrente entre
os terminais L e S?
2. Seja X uma variável aleatória (v.a.) discreta com a seguinte função de probabilidade:
⎧
x=1
⎪
⎨ (1 − 3c)/3,
(1 + c)/3,
x=2
P (X = x) =
(1
+
2c)/3,
x
=3
⎪
⎩
0,
x 6= 1, 2, 3
[1.7] (a) Determine c.
(b) Considerando c = 1/4, calcule:
[1.3] i. O valor esperado e a variância de X.
[1.0] ii. P (X > 2|1 < X ≤ 4) .
3. Seja f a função densidade de probabilidade da v.a. X:
½ cos(x)
£ π π¤
2 , x ∈ £− 2 , 2 ¤
f (x) =
0,
x∈
/ − π2 , π2
[1.6] (a) Determine a função distribuição de X.
¤
£
[1.4] (b) Determine a ∈ − π2 , π2 , tal que P (X < a) = P (X > a) .
4. O conteúdo de certo tipo de embalagens de sumos tem distribuição normal de média 1 litro e desvio padrão
0.0201 litro.
[1.2] (a) Calcule a probabilidade da embalagem de sumo conter entre 0.95 litro e 1.03 litro (inclusive).
[1.3] (b) Se 3 embalagens forem despejadas para um recipiente, qual a probabilidade de este ficar com um
volume de líquido superior a 3.1 litros?
[2.0] (c) Determine, através de um método de aproximação adequado, a probabilidade de que pelo menos 25
das embalagens de um lote de 100, tenham um conteúdo de sumo inferior a 0.99 litro.
5. O número de navios que diariamente (24 horas) entram em cada um dos cais de um grande estaleiro
oceânico, segue uma distribuição de Poisson de média 6.
[1.5] (a) Determine a probabilidade de que o tempo entre chegadas consecutivas de navios num dos cais, seja
superior a 3 horas.
(b) Sabendo que o estaleiro é constituído por 12 cais com a mesma dimensão, que operam em simultâneo,
e que a capacidade de reparação no estaleiro é de 3 navios por hora, calcule:
[1.5] i. A probabilidade de entrarem no estaleiro, pelo menos dois navios nos últimos 20 minutos de um
dia.
[1.0] ii. O valor esperado e a variância do número de navios que entram por hora no estaleiro.
[2.0] iii. O número médio de navios reparados por hora no estaleiro.
[1.0]
6. Considere as v.a. independentes Xi (i = 1, 2) em que Xi ∼ B (ni , p). Determine, justificando, o valor
médio e a variância de X1 + X2 .
Fim
2
ESTSetúbal - DMat
PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA
Teste A - 03/05/2008
Tópicos de Resolução
[1.5]
1. O circuito eléctico da figura é constituído pelos relés A, B, C e D. A probabilidade de cada relé fechar é
dada por p.
C
A
B
L
S
D
Se todos os relés funcionarem independentemente, qual será a probabilidade de que passe corrente entre
os terminais L e S?
Res.:
Acontecimentos:
S - Passar corrente entre os terminais L e S;
A - Relé A fechar;
B - Relé B fechar;
C - Relé C fechar;
D - Relé D fechar;
P (S) = P ((A ∩ B) ∩ (C ∪ D)) =
= P (A ∩ B) P (C ∪ D) =
= P (A ∩ B) (P (C) + P (D) − P (C ∩ D)) =
= P (A) P (B) (P (C) + P (D) − P (C) P (D)) =
¡
¢
= p2 p + p − p2 = p3 (2 − p)
2. Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte função de probabilidade:
⎧
x=1
⎪
⎨ (1 − 3c)/3,
(1 + c)/3,
x=2
P (X = x) =
(1
+
2c)/3,
x
=3
⎪
⎩
0,
x 6= 1, 2, 3
[1.7] (a) Determine c.
Res.:
. f (x) ≥ 0
3
.
P
f (x) = 1
x∈DX
⎧
⎧
≤1
⎨ − 23 ≤ c ≤ 13
⎨ 0 ≤ 1−3c
3
1
1
−1 ≤ c ≤ 2 ⇔ − ≤ c ≤
0 ≤ 1+c
≤
1
⇔
0 ≤ f (x) ≤ 1 ⇔
3
⎩ −1 ≤ c ≤ 1
⎩
2
3
1+2c
0≤ 3 ≤1
2
X
x∈DX
f (x) = 1 ⇔
logo tem-se
1 − 3c 1 + c 1 + 2c
+
+
= 1 ⇔ 0c = 0 ⇔ c ∈ R
3
3
3
¶
µ
1
1
1
1
∧ (c ∈ R) ⇔ − ≤ c ≤
− ≤c≤
2
3
2
3
(b) Considerando c = 1/4, calcule:
[1.3] i. o valor esperado e a variância de X.
Res.:
Com c = 1/4 tem-se
f (x) =
E (X) = 1 ×
⎧
⎪
⎨
1
12 ,
5
12 ,
1
2,
⎪
⎩
x=1
x=2
x=3
x 6= 1, 2, 3
0,
1
5
1
29
+2×
+3× =
' 2.42
12
12
2
12
¡ ¢
1
5
1
75
E X 2 = 12 ×
+ 22 ×
+ 32 × =
12
12
2
12
V (X) =
75
−
12
µ
29
12
¶2
' 0.41
[1.0] ii. P (X > 2|1 < X ≤ 4) .
Res.:
P ({X > 2} ∩ {1 < X ≤ 4})
=
P (1 < X ≤ 4)
P (X > 2|1 < X ≤ 4) =
P (X = 3)
=
P (X = 2) + P (X = 3)
=
1
2
=
5
12
+
1
2
=
6
' 0.545
11
3. Seja f a função densidade de probabilidade da v.a. X:
½ cos(x)
£ π π¤
2 , x ∈ £− 2 , 2 ¤
f (x) =
0,
x∈
/ − π2 , π2
[1.6] (a) Determine a função distribuição de X.
Res.:
F (x) =
Z
x
f (t) dt
−∞
x < − π2 :
F (x) =
4
Z
x
0dt = 0
−∞
− π2 ≤ x ≤
π
2
:
Z
F (x) =
−π
2
0dt +
:
F (x) =
Z
−π
2
0dt +
F (x) =
[1.4] (b) Determine o número a ∈ − π2 ,
Res.:
¤
π
2
(
Z
π
2
−π
2
−∞
£
1
cos (t)
x
dt = [sen (t)]− π =
2
2
2
1
(sen (x) + 1)
2
=
π
2
x
−π
2
−∞
x>
Z
cos (t)
dt +
2
0,
1
2
(sen (x) + 1) ,
1,
Z
x
0dt = 1
π
2
x < − π2
− π2 ≤ x ≤
x > π2
π
2
, tal que P (X < a) = P (X > a) .
P (X < a) = P (X > a) ⇔
P (X < a) = 1 − P (X ≤ a) ⇔
visto que X é uma v.a. contínua:
F (a) = 1 − F (a) ⇔ F (a) =
1
(sen (a) + 1) =
2
1
⇔
2
1
⇔ sen (a) = 0 ⇒ a = 0
2
¤
£
visto que a ∈ − π2 , π2
4. O conteúdo de certo tipo de embalagens de sumos tem distribuição normal de média 1 litro e desvio padrão
0.0201 litro.
[1.2] (a) Calcule a probabilidade da embalagem de sumo conter entre 0.95 litro e 1.03 litro (inclusive).
Res.:
X− Conteúdo de uma embalagem de certo tipo de sumo.
X ∼ N (μ = 1, σ = 0.0201)
µ
¶
µ
¶
1.03 − 1
0.95 − 1
P (0.95 ≤ X ≤ 1.03) = Φ
−Φ
=
0.0201
0.0201
= Φ (1.49) − Φ (−2.48) =
= Φ (1.49) + Φ (2.48) − 1 =
= 0.9319 + 0.9934 − 1 = 0.9253
[1.3] (b) Se 3 embalagens forem despejadas para um recipiente, qual a probabilidade de este ficar com um
volume de líquido superior a 3.1 litros?
Res.:
Y = X1 + X2 + X3 − Conteúdo de 3 embalagens de certo tipo de sumo.
Atendendo a que as v.a. Xi (i = 1, 2, 3) são identicamente distribuídas e à aditividade da distribuição
Normal, tem-se:
5
√
¡
¢
Y ∼ N μ = 3 × 1 = 3, σ = 3 × 0.02012 ' 0.0348
P (Y > 3.1) = 1 − P (Y ≤ 3.1) =
= 1−Φ
µ
3.1 − 3
0.0348
¶
=
= 1 − Φ (2.87) =
= 1 − 0.9979 = 0.0021
[2.0] (c) Determine, através de um método de aproximação adequado, a probabilidade de que pelo menos 25
das embalagens de um lote de 100, tenham um conteúdo de sumo inferior a 0.99 litro.
Res.:
W - Número de embalagens, num lote de 100, com menos de 0.99 litro.
W ∼ B (n = 100, p = P (X < 0.99) = 0.3085)
visto que
µ
¶
0.99 − 1
p = P (X < 0.99) = Φ
=
0.0201
= Φ (−0.5) = 1 − Φ (0.5) =
= 1 − 0.6915 = 0.3085.
Sendo np = 30.85 > 5 e nq = 69.15 > 5 justifica-se a aproximação da distribuição Binomial à
distribuição Normal.
√
¡
¢
√
·
Deste modo W ∼ N μ = np = 30.85, σ = npq = 21.33 ' 4.62 , pelo que se tem:
PB (W ≥ 25) = 1 − PB (W ≤ 24) '
'
Aprox. à Normal c/ correcção p/ continuidade
1 − PN
µ
¶
24.5 − 30.85,
W ≤
= 1 − Φ (−1.37) =
4.62
= Φ (1.37) = 0.9147
5. O número de navios que diariamente (24 horas) entram em cada um dos cais de um grande estaleiro
oceânico, segue uma distribuição de Poisson de média 6.
[1.5] (a) Determine a probabilidade de que o tempo entre chegadas consecutivas de navios a um cais, seja
superior a 3 horas.
Res.:
X - tempo entre chegadas consecutivas de navios a um cais do estaleiro.
θ - tempo médio entre chegadas.
X ∼ E(θ = 24
6 = 4)
Atendendo a que
½
x
1 − e− θ , x ≥ 0
F (x) = P (X ≤ x) =
0,
x<0
então
P (X > 3) = 1 − P (X ≤ 3) =
³
´
3
= 1 − 1 − e− 4 =
3
= e− 4 ' 0.472
6
(b) Sabendo que o estaleiro é constituído por 12 cais com a mesma dimensão, que operam em simultâneo,
e que a capacidade de reparação no estaleiro é de 3 navios por hora, calcule:
[1.5] i. A probabilidade de entrarem no estaleiro, pelo menos dois navios nos últimos 20 minutos de um
dia.
Res.:o
Y - n de navios que entram nos 12 cais do estaleiro em 20 minutos
Em 24 × 60 minutos registam-se em média 6 × 12 entradas
Em 20 minutos registam-se em média λ entradas
λ=
6 × 12 × 20
=1
24 × 60
Y ∼ P o(λ = 1)
P (Y ≥ 2) = 1 − P (Y < 2) =
= 1 − [po (0; 1) + po (1; 1)] =
= 1 − 2 × 0.3679 =
= 0.2642
[1.0] ii. O valor esperado e a variância do número de navios que entram por hora no estaleiro.
Res.:
0
o
Y - n de navios que entram nos 12 cais do estaleiro por hora.
Em 20 minutos regista-se em média 1 entrada
Em 60 minutos registam-se em média λ0 = 3 entradas.
Y 0 ∼ P o(λ0 = 3)
logo
E (Y 0 ) = V (Y 0 ) = λ0 = 3
[2.0] iii. O número médio de navios reparados por hora no estaleiro.
Res.:
00
o
Y - n de navios reparados por hora no estaleiro.
Atendendo à existência de uma capacidade de reparação de 3 navios por hora, pode estabelecer-se
o seguinte relacionamento entre os domínios das v.a.’s Y 0 e Y 00 :
Y
Y
0
00
0
0
1
1
2
2
≥3
3
deste modo tem-se
E (Y
00
) = 0 × P (Y
= 0 × P (Y
00
0
= 0) + 1 × P (Y
= 0) + 1 × P (Y
00
0
00
= 1) + 2 × P (Y
= 1) + 2 × P (Y
0
= 2) + 3 × P (Y
00
= 3) =
= 2) + 3 × P (Y 0 ≥ 3)
{z
}
|
1−P (Y 0 ≤2)
= po (1; 3) + 2po (2; 3) + 3 [1 − po (0; 3) − po (1; 3) − po (2; 3)] =
= 0.1494 + 2 × 0.224 + 3 × [1 − 0.0498 − 0.1494 − 0.224]
' 2.33
[1.0]
6. Considere as v.a. independentes Xi (i = 1, 2) em que Xi ∼ B (ni , p). Determine, justificando, o valor
médio e a variância de X1 + X2 .
Res.:
Nas condições em que as v.a. Xi estão definidas tem-se, dada a aditividade da Binomial: X1 + X2 ∼
B (n1 + n2 , p)
7
logo
E (X1 + X2 ) = (n1 + n2 ) p
V (X1 + X2 ) = (n1 + n2 ) pq
8