Apontamentos Teóricas
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OS TERMOS NÃO LINEARES DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO ORIGEM DOS TERMOS A equação do movimento da coordenada x é: du P 2sen.v 2 cos .w F. atrito F. maré ..... dt x Por agora vamos esquecer as forças de maré. Com base em evidências experimentais verifica-se que para escoamentos não turbulentos, as forças de atrito estão relacionadas com derivadas espaciais da velocidade (hipótese colocada por Newton e verificada), por exemplo, 2u , multiplicado pelo y 2 coeficiente de viscosidade, que é uma propriedade do fluido. O termo de atrito na equação acima pode tomar a forma: u2 u2 u2 , onde é o z y x 2 2 2 coeficiente da viscosidade cinemática, (S,T,P). Um valor típico de para a água é 10 –6 m 2/s. A obtenção dos termos de atrito por esta forma foi feita por Navier e Stokes e a equação do movimento incluindo estes termos são chamadas as equações de “Navier - Stokes”. Representam uma parte importante da mecânica dos fluidos. - Outra não linearidade aparece através do termo du !!! dt Consideremos um caso geral. Seja a propriedade A, que varia com a posição (x, y, z) e com o tempo (t), ou seja: A = A (x, y, z, t). Então a derivada “total” de A, dA , escreve-se: dt dA A A A A u v w dt z t x y Fisicamente, isto quer dizer que a propriedade A varia com o tempo A na posição (x, y, z) e também varia conforme o fluido se move desse t ponto para outro ponto x x ; y y ; z z . A O termo é chamado t derivada “local” e os outros são os termos “advectivos”, porque estão relacionados como as componentes do escoamento, u, v e w (advecção). Consideremos um estado estacionário do escoamento: o valor de A não varia com o tempo em todos os pontos do domínio (escoamento). Matematicamente temos que A 0 . No entanto, A pode variar com a z posição. Assim, o fluido que se move através do campo de velocidades vai sofrer variações da sua propriedade A e portanto dA 0 , a menos que o valor dt de A seja o mesmo em todo o escoamento. A t é a derivada Euleriana: descreve-nos o comportamento da propriedade A do fluido em cada instante em diferentes pontos. dA é a derivada Lagrangeana: descreve-nos o comportamento da dt propriedade A do fluido à medida que vai percorrendo a trajectória. Na representação Lagrangeana estamos a representar “linhas de corrente”, que são tangentes aos vectores velocidade da representação Euleriana. Na equação do movimento que escrevemos, os termos no 2º membro estão escritos na forma Euleriana, mas o 1º membro está escrito na forma Lagrangeana. É mais fácil passar o 1º membro a Euleriano, que o 2º membro a Lagrangeano (o que também se pode fazer, mas não é tão cómodo!). Podemos escrever: u u u u du u v w dt z t x y taxa da variação local taxas de variação advectiva devido ao movimento Os termos advectivos são “não-lineares”, porque as suas velocidades u 1 u 2 ocorrem “ao quadrado” (por exemplo: u ) ou produtos entre x 2 x diferentes componentes da velocidade e suas derivadas (por exemplo: v u ). y Por causa destes termos não lineares, uma pequena perturbação pode crescer e tornar-se uma grande flutuação. Estes termos podem causar instabilidade e serem responsáveis pela presença de turbulência, que ocorre sempre que estes termos são suficientemente grandes quando comparados com os termos de atrito, os quais tendem a fazer diminuir as diferenças espaciais de velocidade. NÚMERO DE REYNOLDS Para analisar se os termos não lineares advectivos são grandes ou não, analisamos a razão: u u x 2u (termo não linear sobre o termo de atrito) x 2 Se considerarmos que quer u quer u são da ordem de U (velocidade típica no oceano) e x da ordem de L (distância típica em que a velocidade varia de U), esta razão é do ordem de: U2 L U UL L2 que é chamado “número de Reynolds” (Re) para o escoamento de um fluido. Mede a razão entre os termos não lineares e os termos de atrito. Este processo de “filtragem” das equações é muito utilizado em mecânica de fluidos porque não conseguimos resolver as equações completas. Podemos assim descobrir que podemos desprezar alguns termos, facilitando a solução. O Número de Reynolds (Re) não tem dimensões. O valor de Re dá-nos a indicação se o escoamento é turbulento ou laminar. Um escoamento não deverá ser turbulento enquanto Re < 1. Dai para cima, depende da geometria do escoamento e da estabilidade inicial. Re > 105 ou 106, indica escoamento turbulento, embora dependendo da geometria. Os termos não lineares são maiores que os termos de atrito. Utilizando a Corrente do Golfo como exemplo: U 1 m.s-1 ; L 100 Km = 10 5 m ; 10 –6 m 2 /s logo Re 1011 , logo a corrente do Golfo deve ser turbulenta. Deste exemplo verificamos que os efeitos não lineares são muito fortes comparados com o atrito. De facto podemos ignorar o atrito no oceano aberto. Ele só se torna importante muito perto de fronteiras sólidas ou como uma forma de remover energia de um escoamento turbulento em escalas pequenas, impedindo que elas cresçam infinitamente. Isto é, o atrito só é importante para pequenos valores de Re que ocorrem com valores baixos de U e/ou L. Nota: apesar do atrito molecular poder ser desprezado em muitas situações de dinâmica do oceano, devemos ter em conta a existência de forças que se opõem ao movimento e que originam a redistribuirão da energia e outras funções de estado dos fluidos em escoamento. Quando o movimento é turbulento, isto é, nele ocorrem flutuações rápidas que se adicionam ao movimento médio, então os termos não lineares originam termos na equação do movimento que têm as características dos termos de atrito, com veremos mais à frente (originam também termos similares nas equações de conservação de calor e sal). São chamadas “Tensões de Reynolds” (Reynolds Stresses) que aparecem nas equações do movimento médio de um fluido em escoamento turbulento. AS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO MÉDIO Devido à natureza do escoamento turbulento não parece sensato resolver as velocidades associadas a este escoamento. Procuremos antes equações para o movimento médio. A média será tomada no tempo, durante um período apropriado ao fenómeno que pretendemos estudar (alguns minutos a vários meses...). Seguindo Reynolds que sugeriu esta aproximação, as variáveis, u, v, w e são divididas numa parte média e numa flutuação, ou seja: u u u' , onde u é a média e u' é a flutuação em torno da média. Por definição u' 0 . Apliquemos então esta aproximação às equações do movimento (equações de Navier – Stokes). Atenção: equação do movimento como: u P u u u w F.Coriolis F.Atrito v u y z x x t A média de u será: t T u(T ) u(0) u 1 u dt T t T 0 t onde T é o período sobre o qual é feito a média. Quanto maior for o período T, mais negligível é este termo. Consideremos o gradiente da pressão. Virá: ' Px P' Px Px' P P ' ' ' x x 0 porque '0 P' 0 x porque P'0 Em geral, qualquer termo que contenha uma única flutuação é nulo quando se acha a P' média. O termo ' não desaparece porque x A diferença em cada instante entre a linha observada da grandeza A e a linha A é a flutuação A’. ' e P’ não são independentes. Regra: AB AB A ' B' este termo só é nulo se A e B não forem correlacionaveis (E(xy)=E(x)E(y)-cov(x,y)). Contudo, as variações de no oceano são muito pequenas comparadas com e por isso ' P' x é negligível quando comparado com P x P P x é da ordem da grandeza de x . Consideremos o termo de Coriolis: 2sen( v v ' ) 2sen( v v ') , pois a média de uma soma é igual à soma das médias e 2sen é constante. Mas v' = 0, logo o termo fica: 2sen v . O outro termo de Coriolis será, por semelhança: 2 cos w , quando achamos a média (em geral até é desprezado porque w é muito pequeno). O termo de atrito virá: 2 2 u 2 u' 2 (u u') u x 2 x 2 x 2 x 2 porque u' =0 e será idêntico para os outros termos. Consideremos agora os termos advectivos: u u' (ux u' ) v v' (uy u' ) w w' (uz u' ) Quando achamos a média deste termo temos: u u u u' u' u' u v w u ' v ' w ' x y z x y z Os termos que continham apenas uma flutuação são nulos, mas os termos com duas flutuações não, como já vimos atrás. Os primeiros três termos, combinados com u du , podem ser escritos como , a derivada total do dt t movimento médio. Reparemos que se juntarmos todos estes termos, temos: 2 u 2 u' 2 u' P du u' u' v' u' w ' u' 2sen v 2 cos w 2 2 2 x dt x y z y z x Ou seja, a equação de Reynolds para u é idêntica à equação do movimento para as quantidades totais, substituindo estas por quantidades médias e mais três novos termos que envolvem as flutuações da velocidade. Estes novos termos devem representar o efeito das flutuações da velocidade (ou seja, da turbulência) no movimento médio. Notemos que estes termos têm origem nos termos não lineares da equação de Navier-Stokes. A natureza não linear das equações e a possível existência de turbulência e os seus efeitos de atrito no movimento médio não são independentes. Quando especificamos os termos de atrito, temos também que especificar os termos de turbulência, pois ai também está “contido” atrito! Mas neste momento complicámos as coisas!!! Com a aproximação “à Reynolds” mostrámos como os termos não lineares originam turbulência no movimento médio. Inclusive obtivemos expressões para esses termos em função das flutuações da velocidade. Mas acabámos de acrescentar mais três incógnitas às nossas equações (u’, v’ e w’). Bom, podemos tentar observar estas grandezas. Na verdade isto é possível experimentalmente mas com grande grau de dificuldade. O “fecho” das equações, contendo o atrito e os termos advectivos, continuam a ser um problema no estudo da turbulência! Há sempre mais incógnitas que equações! Há agora que utilizar conhecimentos obtidos através da observação e intuição física para encontrar uma forma para “fechar” o problema. A seguir vamos tentar um esquema de fecho, simples, através de analogia com os efeitos do atrito molecular. TENSÕES DE ÕES DE REYNOLDS E VISCOSIDADE TURBULENTA (EDDY VISCOSITY) Vamos introduzir os conceitos de “eddy viscosity” ou “turbulent viscosity” por analogia com o atrito molecular, mas de magnitude muito maior que este. Notemos que, em princípio, no movimento médio, ou seja, no movimento descrito “à Reynolds”, os termos não lineares não devem ser dominantes. Se conseguirmos mostrar utilizando a analogia com o atrito molecular, que o atrito turbulento ou “eddy viscosity” tem poucos efeitos, talvez consigamos “resolver” as equações ignorando o atrito e mesmo assim poder esperar resultados realistas. Em princípio, quando um escoamento entra em turbulência, as derivadas espaciais do movimento médio sofrem uma redução porque o movimento linear é homogeneizado. Assim as equações do movimento médio deverão apenas ser “ligeiramente” não lineares. Se conseguirmos, por esta forma, “fechar” as equações podemos esperar resolver as equações por métodos numéricos, recorrendo a um computador, embora a solução analítica não seja única e seja difícil de conseguir. Consideremos a equação da continuidade para um fluido incompressível: u v w 0 x y z Ou seja div V 0 ou .V 0 . Decompondo em escoamento médio + flutuação: u u' v v ' w w ' 0 y z x Como : u v w u' v' w ' 0 , logo : 0 , ou seja, z x y z x y .V' 0 . Logo, quer a velocidade total, quer a velocidade média, quer a velocidade perturbada, satisfaz a equação da continuidade. Se adicionarmos u' .V aos termos turbulentos da equação de Reynolds, o seu valor não se altera, apenas altera a forma matemática porque u' .V 0 . Para a componente em x, por exemplo, temos: u' u' v' w' u' u' u' u' u' u' v' u' w' v' w' u' x y z x y z x y z 0 e a equação de Reynolds para a componente x da velocidade, u , vem: 2u 2u 2u P du α 2senΦv - 2cosΦw ν 2 2 2 u' u' u' v' u' w' dt y dx z x y z x 2u u u . Notemos que O termo 2 pode ser escrito como é x x x x a tensão (força por unidade de área) segundo x devido ao atrito molecular e à existência do gradiente u . x u Kg m2 m Kg.m ρν 2 2 que é uma força por unidade de área 3 x m s sm sm Notemos que -u’u’ também é uma tensão e que pode ser identificada como tensão devida à turbulência. As derivadas espaciais destas tensões produzem forças num elemento de volume de um fluido u' u' é força por unidade de volume . x Os mecanismos das tensões devido ao atrito molecular e devido à turbulência são similares, pois ambos proporcionam a troca de momento linear entre partes do fluido, embora as escalas sejam muito diferentes: os deslocamentos e as massas envolvidas são muito maiores nas tensões turbulentas. As tensões como -u’u’; -u’v’; -u’w’ ou os termos idênticos para os outros componentes (-v’u’; -v’v’; -v’w’ para a componente em y e -w’u’; - w’v’; -w’w’ para a componente em z) são as chamadas tensões de Reynolds (Reynolds stresses). Por analogia com o atrito molecular, podemos admitir que estas tensões estão relacionadas com os gradientes da velocidade média por uma espécie de viscosidade: a “eddy viscosity” ou viscosidade turbulenta. Assim (por exemplo): u' u' A x u u u ; u' v' A y ; u' w' A z x y z Os coeficientes Ax, Ay e Az são as “eddy viscosity” ou viscosidades turbulentas (cinemáticas se multiplicados por teremos os coeficientes dinâmicos, como veremos). Ao contrário do atrito molecular, aqui usamos diferentes valores da “eddy viscosity” para cada direcção, uma vez que devem ser diferentes, em particular entre as direcções horizontais e a vertical, por causa da estabilidade estática. Reparemos que as tensões de Reynolds não são simétricas: u' v' A y v u e v' u' A x x y não são necessariamente iguais. Mas isto é outro problema que deixamos para o futuro..... para a equação em v e w : v v' u' A x v ; v' v' A y v ; v' w' A z v x y z w w' u' A w ; w' v' A w ; w' w' A w x y z x y z Então, um termo como: u Ax . É comum colocar Ax u' u' virá x x x fora da derivada baseado no argumento que A x u é mesmo importante... e x x por analogia com o atrito molecular. Além do mais desprezar a variação espacial dos A’s em relação a outros termos é uma aproximação tão válida como outras que já fizemos. Por isso não há razão para não a fazer. Assim, os termos de atrito turbulento na direcção x, virão: 2u 2u 2u Ax Az 2 Ay z y 2 x 2 Os A’s têm unidades m2/s, por analogia com a viscosidade molecular. Reparemos que estes termos têm dimensões de força por unidade de massa, ou seja, aceleração (m/s2). Temos que multiplicar por os A’s para termos força por unidade de volume, tal como consta das equações de Reynolds. Temos neste caso a viscosidade turbulenta dinâmica e não a cinemática. Os coeficientes da viscosidade turbulenta são estranhos!!! Ao contrário da viscosidade molecular, não são constantes para um dado fluido, temperatura, salinidade e pressão, mas variam de local para local e de instante para instante e com o tipo de movimento. Os A’s são propriedade do escoamento e não propriedade do fluido! Os seus valores chegam a atingir 1011 vezes o valor da viscosidade molecular! Muitas tentativas têm sido feitas para expressar os A’s como função da velocidade média, sua derivadas, etc... mas não têm obtido resultados aplicáveis! A representação da turbulência através dos “eddy viscosity” é possível até que percebamos esta característica do escoamento de fluido suficientemente bem para o podermos representar de forma mais exacta e, certamente, mais correcta. De qualquer forma, a aproximação através dos “eddy viscosity” dá bons resultados em alguns casos: o escoamento do oceano junto ao fundo costuma ser tratado através desta forma. Introduzindo os “eddy viscosity” e incluindo neles a viscosidade molecular, as equações do movimento para a componente x e y vêm: du u u u u P 2u 2u 2u u v w 2senv 2 cos w A x 2 A y 2 A z 2 dt t x y z x x y z dv v 2v 2v 2v P v v v A A 2senu A x w v u y z dt t y z y x z 2 y 2 x 2 e para componente vertical: dw w P 2w 2w 2w w w w u v w 2 cos u g A x A A y z dt y z z x 2 y 2 z 2 t x onde u, v, w, e são quantidades medias. Assumimos que o que representamos são quantidades medias e por isso omitimos a “barra”. MAGNITUDE DOS TERMOS DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO: NÚMERO DE ROSSBY E DE EKNAM Já tinhamos feito a filtragem das equações do movimento na disciplina de Oceanografia Física. Na altura tínhamos apenas dito que os termos relacionados com o atrito eram pequenos comparados com outros termos das equações. Vejamos melhor agora a sua magnitude: os valores estimados para Ax e Ay variam entre 10 e 10 5 m2/s. Para Az as estimativas vão de 10-5 a 10 –1 m2/s. Verificamos por estas estimativas que as “eddy viscosity” variam muito. Isto deve-se ao facto da “eddy viscosity” ser uma propriedade do escoamento e não do fluido e também à forma como os A’s são obtidos. Podemos estimar este termo como termo residual das equações do movimento. Podemos ajustar o termo tão bem quanto possível a observações realizadas. Uma aproximação simples e possivelmente correcto, pelo menos num factor de 100, é considerar os termos não lineares da mesma ordem de magnitude da viscosidade turbulenta, tal como já tínhamos dito antes. Assim uma vez que os termos não lineares tem dimensões: du U2 , por exemplo , temos u dx L A x A y UL e A z temos: U U U U2 Ax 2 Ay 2 Az 2 L L L L Logo: H H2 A x . Com 10 3 vem A z 10 6 A x . O facto de 2 L L Az<<Ax ou Ay deve-se à estabilidade estática causada pela estratificação inibir a turbulência vertical e forçar o escoamento a ser quase horizontal (ou seja, a mesma razão porque W<<U e que provoca circulações onde H<<L). Notemos que Ax (ou Ay) = UL é equivalente a dizer que o número de Reynolds (termos não lineares sobre termos de atrito) baseado na viscosidade turbulenta é da ordem de 1. Com U = 0.1 m/s (10 e Ay = 10 5 –1 m/s) e L = 10 6 m temos Ax m2/s, o limite superior de estimativa destes valores. Só devem ocorrer valores mais baixos que estes porque a circulação associada à turbulência são de menor escala (quer L quer U) ou têm um número de Reynolds baseado no “eddy viscosity” maior que 1. Verifiquemos as magnitudes dos termos não lineares: u 1 du 10 1 du 8 4 10 10 1 10 8 10 10 ; wu 6 3 dz dx 10 10 e por ai fora… Verificamos que são pequenos quando comparados com outros termos, por exemplo, a Força de Coriolis. Verifiquemos as magnitudes dos termos de “eddy viscosity”: Por exemplo: 4 2w 5 10 10 11 A x 2 10 12 x 10 termos da equação vertical, em w 2 4 w 10 A z 2 10 1 6 10 11 z 10 1 2u 5 10 10 8 10 2 12 x 10 termos das equações horizontais, em u 2 1 u 1 10 8 10 A z 2 10 z 10 6 Ax (estamos a utilizar as maiores estimativas para os A’s!) Verificamos assim que para escoamentos de larga escala no oceano interior, quer os termos não lineares quer os termos de viscosidade turbulenta, são muito pequenos quando comparados, por exemplo, com os termos do gradiente de Pressão e de Coriolis. Mas atenção! Noutras regiões podem ser (e são...) importantes! Para classificar o escoamento noutras regiões é útil considerar as razões entre os termos não lineares e o termo de Coriolis e entre os termos de atrito e o termo de Coriolis: (números adimensionais) termo não linear U2 1 U R0 , termo de Coriolis L fU fL que é chamado Número de Rossby (R0). Ay Az termo de atrito U 1 Ax Ax 2 2 E x ou 2 E y ou Ez termo de Coriolis L fU fL fL fH2 que são os chamados Números de Ekman. No oceano interior Ex Ey, é por vezes chamado EH. No oceano interior R0 ≤ 10 –3 e Ez EH ≤ 10 –3 . Noutras regiões estes números são maiores, mas o seu limite superior é 1 para circulação de larga escala (ou seja, os termos não lineares e de atrito nunca são superiores ao termo de Coriolis, para circulação de larga escala). ESTABILIDADE DINÂMICA; NÚMERO DE RICHARDSON O que é que determina que o escoamento se torne instável e evolua para movimentos de pequena escala cujos efeitos de atrito são muito maiores que os efeitos do atrito molecular? (os efeitos do atrito turbulento são cerca de 107 a 1011 vezes maiores que os do atrito molecular nas componentes horizontais e 10 a 105 vezes maiores na componente vertical). Consideremos um fluido com estabilidade estática neutra: não há efeito de “flutuação” (buoyancy) porque qualquer parcela de água que seja deslocada tem a mesma densidade do que as águas vizinhas. Isto corresponde a dizer que a salinidade e temperatura potencial são constantes no domínio considerado, ou que, por exemplo, a salinidade é uniforme mas a temperatura e a densidade aumentam em profundidade o que será um exemplo realista. Neste caso simples será o Número de Reynolds que determina a estabilidade dinâmica (Re = termos não lineares / atrito molecular). Se Re > 10 6 é provável o escoamento ser turbulento. Suponhamos U = 0.01 m/s (1 cm/s), uma velocidade será relativamente baixa. Se tomarmos μ = 10 –6 m2/s, a distância característica para que Re = 10 6 é L = 100 m. Uma vez que a escala de distância nos oceanos é bem maior, tudo leva a crer que o regime turbulento deve acontecer por todo o lado (Re = U.L / μ). Contudo não é isso que se verifica, logo um Número de Reynolds elevado não é suficiente para fazer a turbulência crescer, ainda que a possa gerar! Para que a turbulência cresça, ou seja, para que as perturbações na velocidade cresçam, é necessário que exista uma fonte de energia! E não haverá fontes de energia se não houver gradientes no escoamento! Se o campo da velocidade for muito uniforme, não há fonte de energia para “fazer crescer” as perturbações e o atrito molecular (viscosidade molecular) acaba por “alisar” as perturbações. Claro está que junto às fronteiras sólidas, onde a velocidade é nula, há gradientes de velocidade e por isso é muito provável que a turbulência ocorra de preferencia junto às fronteiras. Outra hipótese que inibe a turbulência, assumindo que o número de Reynolds seja grande (10 7 ou maior) é um tipo de escoamento tal que os termos não lineares sejam pequenos e, por isso, a “passagem” para a turbulência não ocorre. Variações da densidade aumentam ou diminuem, por exemplo, a velocidade vertical. A estabilidade estática mede isso: se for positiva implica estabilidade, logo w diminui; se for negativa implica instabilidade, logo w aumenta. A turbulência tende a misturar o fluido, logo, a diminuir a variação vertical da densidade. Ao fazer isto faz subir fluido “mais pesado” e descer fluido “mais leve”. Logo, o centro de gravidade da parcela de fluido sobe, logo a energia potencial gravitica aumenta (trabalho realizado contra a força de gravidade). Este aumento da energia potencial vem da energia cinética da turbulência (energia cinética das perturbações), que por sua vez vem da energia cinética do escoamento médio. . O fluido turbulento também perde alguma energia para energia interna, através da viscosidade molecular. Se a taxa de perda de energia turbulenta é maior que o ganho, a turbulência morre! Também, se a estabilidade estática for grande, a turbulência envolvendo a coordenada vertical não será possível. Como podemos estabelecer um critério para avaliar a importância relativa da estabilidade estática e a tendência para a instabilidade dada pelos termos não lineares? Para isto construiu-se um outro número adimensional, o Número de Richardson: Ri N2 u z 2 1 σ t , que Onde N é a frequência de Brunt-Väisälä N2 gE, com E ρ z 2 u é uma medida da estabilidade estática, como já vimos. Usa-se em vez z de u porque a turbulência não depende do sinal de z u , mas sim da sua z existência e da sua magnitude. Com o quadrado tiramos o efeito do sinal. Se Ri < 0, as variações de densidade amplificam a turbulência. Se Ri > 0 tendem a reduzi-la. Se apenas ocorre variação vertical da velocidade horizontal, Ri torna-se bastante grande e a turbulência não é possível: o efeito estabilizador da distribuição da densidade ultrapassa a instabilidade potencial devido aos termos não lineares. O valor “critico” exacto de Ri é determinado experimentalmente para cada escoamento. No entanto, com Ri > ¼ é muito difícil gerar turbulência. Notemos que, em todas as equações que temos usado, o efeito das variações de densidade, em particular na vertical, é indirecto: actua sobre a turbulência modificando a “eddy viscosity”, mas não actua directamente no escoamento médio. De facto, não há derivadas de ρ (ou σt ou α) nas equações de Reynolds, ' e desprezamos os termos que continham α’ por exemplo, ' quando x deduzimos as equações de Reynolds! A razão disto é que as variações da densidade são pequenas, quer as variações dos valores médios quer as flutuações. Esta aproximação é aquilo que se chama “aproximação de Boussinesq”. Ou seja: se as variações da densidade são pequenas, numa primeira aproximação podemos desprezar o seu efeito na “massa” do fluido, mas manter o seu efeito no “peso”. Ou seja ainda: temos que manter o efeito das variações de densidade na “flutualidade” (buoyancy), através da estabilidade estática, por exemplo, mas podemos despreza-los nas acelerações laterais geradas por forças devidas a variações laterais de densidade (ou seja ainda: temos que considerar as variações de densidade quando estão associadas a “g” peso!). Assim, nas equações do movimento horizontal podemos usar uma densidade média da região considerada, mas na equação em z temos de usar os valores verdadeiros da densidade! (porque ela reduz-se à equação da equação hidrostática). CORRENTES COM ATRITO CIRCULAÇÃO INDUZIDA PELO VENTO A circulação no Atlântico Norte é no sentido dos ponteiros do relógio (Ciclónico) e no Atlântico Sul é no sentido contrario (Anticiclónico). Este facto é conhecido desde o tempo dos descobrimentos! Até que ponto esta circulação pode ser atribuída ao vento? Até finais do século XIX era assim que se pensava. A transferência de momento do vento para a água do oceano é um processo muito lento, caso não ocorra turbulência. Ou seja, se o escoamento induzido pelo vento for considerado laminar, utilizando então o coeficiente de viscosidade molecular, verifica-se que modificações na circulação na camada superior do oceano (tipicamente dezenas de metros) induzidas pela acção do vento demoram meses!!! No entanto o que se observa é que estas modificações ocorrem em horas ou poucos dias e não meses! Isto deve-se ao facto de o escoamento no oceano ser quase sempre turbulento e, neste tipo de escoamento, a transferência vertical de momento e energia ocorre a uma taxa na ordem de centenas ou milhares de vezes superiores à transferência que ocorre através da viscosidade molecular. Nos escoamentos turbulentos temos que utilizar a viscosidade turbulenta, ou seja o “eddy viscosity” que já tínhamos visto ser muito (muitíssimo!!!) superior à viscosidade turbulenta. Quer os efeitos causados pelo vento quer as variações de densidade lateral do oceano são muito importantes para definir a circulação oceânica. O vento é muito importante nos 1000 m superiores. No final do século XIX (1898) Nansen verificou que os icebergs no Árctico derivam não na direcção do vento, mas sim para a direita da direcção do vento à superfície. Porque seria? Solução de Nansen: força tangencial induzida pelo vento Ft direcção do movimento no estado estacionário V0 cubo de água do oceano FC força de Coriolis que aparece mal o cubo entra em movimento (estado inicial) inicial Fb força de atrito entre as faces submersas do cubo e a água do oceano VENTO FC força de Coriolis depois de atingido o estado estacionário O cubo começa por acelerar na direcção do vento, mas assim que entra em movimento roda para a direita por acção da Força de Coriolis. O estado estacionário é atingido quando Ft ,FC e Fb entram em balanço e nessa altura a velocidade V0 é constante (estado estacionário) e para a direita da direcção do vento. A determinação da direcção exacta do movimento relativamente ao vento, seria feita mais tarde (entre 1905 e 1932) por Ekman, com base em argumentos quantitativos, ao contrário de Nansen que utilizou apenas argumentos qualitativos. Ekman teve de recorrer à matemática! ( Nansen era biólogo... ) AS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO COM ATRITO INCLUÍDO Se pegarmos nas equações do movimento para o equilíbrio geostrófico e incluirmos o atrito, temos: du P Fx f .v x dt P dv f .u Fy y dt onde Fx e Fy são as componentes do atrito por unidade de massa. No estado estacionário: P 0 x P f .u Fy 0 y f .v Fx (Coriolis + atrito + Grad P = 0) Fgrad.P FCoriolis ou vectorialmente: a resultante é nula! Fatrito Assim, caso haja atrito, o Gradiente de Pressão e a Força de Coriolis já não são directamente opostas! O movimento será “ageostrófico”. Temos pois que encontrar soluções para estas equações (tal como já tínhamos feito para o caso do equilíbrio geostrófico). Foi isso que Ekman fez! A primeira coisa a fazer será escrever expressões para os termos Fx e Fy. Vejamos os argumentos qualitativos: se duas partes de um fluído se moverem relativamente uma à outra, deve ocorrer atrito. Estas duas partes podem mover-se em direcções opostas ou na mesma direcção com velocidades diferentes. Neste caso ocorre “shear” na velocidade. A quantificação do “shear” fazse: u 4 u 3 / z 4 z 3 u u . ou no limite z z Para um fluído Newtoniano, classe a que pertence a água do oceano, a tensão de atrito, , definida como uma força por unidade de área paralela ao escoamento, é dada por: u u z z conforme utilizemos o coeficiente dinâmico de viscosidade molecular ( 10 3 Kg.m 1.s 1 ) ou o coeficiente cinemático de viscosidade molecular ( 10 6 m 2 .s 1 ). A utilização do coeficiente dinâmico de viscosidade vai fazer com que as forças de atrito venham em Força / Unidade de volume. O coeficiente de viscosidade cinemático faz as forças virem em Força / Unidade de massa, que tem sido o que temos utilizado nas equações de Navier-Stokes já escritas. Estes são os valores “moleculares” que se usam nos escoamentos laminares, ou seja, escoamentos suaves, de pequeno diâmetro, com baixos números de Reynolds ( 10 3 ). No entanto, no oceano o movimento é em geral turbulento e o valor efectivo da viscosidade cinemática é a “eddy viscosity” cinemática, que já vimos, e que são Ax, Ay e Az, com Ax e Ay com valores até 10 5 m2 s 1 para o “shear” horizontal (por exemplo, u u v ; ; ; etc... ) x y x e Az com valores até 10 1m2s 1 para o “shear” vertical (por exemplo, u v ou ). z z As tensões de atrito turbulento (eddy friction stress, também chamado em português “tensões de corte”) escrevem-se portanto, por exemplo: xz A z u u ou xy A y z y e expressam a força que uma camada de fluído faz numa área da camada vizinha, acima ou abaixo. Para substituir na equação do movimento necessitamos dessa força mas feita na massa do fluído vizinho: perfil da velocidade: Na figura acima há “shear” segundo z. A força que actua no cubo é: 2 1 na direcção x. Como 2 1 z , logo: 2 1 s zs V , onde V é o z z z volume do cubo. No limite s e z 0, logo V 0. Portanto, representa uma força por unidade de volume. Para ser por z unidade de massa, virá: 1 τ τ u α α ρAz ρ z z z z utilizamos Az porque estamos a tratar “shear” vertical. No entanto, isto é válido para o “shear” em qualquer direcção. Se assumirmos que Az não varia com a profundidade: Força de atrito turbulento por unidade de massa A z 2u z 2 (Sabemos tão pouco sobre Az, que limitar a nossa análise ao caso de Az igual a uma constante em profundidade não será grande erro!!!) Verifiquemos que já tínhamos obtido esta expressão quando estudámos as “eddy viscosities” e tínhamos feito a decomposição “à Reynolds”: uma parte média mais uma parte perturbada. Também assumimos que uma variação de ρ com a profundidade é pequena comparado com A z u ! É uma aproximação consistente com a z aproximação de Boussinesq. Então os termos Fx e Fy podem ser escritos: x 2u Az 2 z z y 2v Fy Az 2 z z Fx e as equações do movimento horizontal: P 2u 2 x z 2 P v fu A z 2 y z fv A z A equação em z reduz-se ao equilíbrio hidrostático. Tínhamos visto que estes termos de atrito eram desprezáveis no oceano interior. Para que estes termos sejam significativos, eles têm que ter uma magnitude aproximada, por exemplo, ao termo de Coriolis, ou seja: Az Por exemplo, com U fU H2 A z 10 1 m 2 / s e f 10 4 s 1 , temos A z 10 1 H 4 10 3 m2 H 30 m ; com H 100m o termo de atrito será ainda f 10 2 10% do termo de Coriolis. Estamos, pois, à espera de ter que entrar em linha de conta com os termos de atrito dentro destas distâncias, quer do fundo quer da superfície. Isto corresponde a dizer que, dentro destas distâncias da A superfície ou do fundo, o número de Ekman vertical E z z2 deve ser da fH ordem da unidade. A SOLUÇÃO DE EKMAN A dificuldade com estas equações é que ficamos com duas causas para o movimento: a distribuição da massa (ou seja, a densidade) que dá origem ao termo do Gradiente de Pressão e o termo do Atrito, que na solução de Ekman é o atrito do vento. Podemos separar estas duas acções forçadoras e resolver separadamente a influência do vento e a influência do gradiente de pressão e depois juntá-las. Esta separação só é possível se assumirmos que as expressões são lineares. Se os efeitos não lineares se tornarem importantes esta separação já não pode ser feita (tivemos um exemplo disso quando fizemos a decomposição “à Reynolds”, em que, ao achar medias de perturbações não pudemos considerar nulos os termos que continham o produto de duas perturbações não independentes!). Mas enfim, são lineares!!!! Uff!!!! Então podemos fazer: fv f v g v E onde: fv g P x P 2u Az 2 x z v g é a velocidade geostrófica e fv E A z 2u vE é a z 2 velocidade de Ekman, associada ao “shear” vertical. A solução de Ekman é para v E apenas, ou seja, admitiu v g 0 , ou seja, admitir a não existência de declive da superfície livre do oceano. Para facilitar o problema, Ekman admitiu ainda: - não existência de fronteiras no oceano; - um oceano de profundidade infinita (para evitar o atrito no fundo, ou seja, limitou-se a estudar o efeito da tensão do vento); - Az constante em profundidade; - um vento estacionário soprando durante um período longo; - P P 0 e 0 , ou seja, condições barotrópicas. x y As equações de Ekman são, então: 2u 0 z 2 2v fu A z 2 0 z fv A z ou seja, Coriolis + Atrito = 0 E agora a matemática (um passe de mágica!) !!! Se o vento soprar segundo a direcção y (não esquecer), mostra-se que a solução para as equações de Ekman são: π π u v 0cos 4 DE π π v v 0 sen 4 DE π D z z . e E π D z z . e E (sinal + para o Hemisfério Norte, sinal – para o Hemisfério Sul) onde v 0 2.. y / D E .. f é a corrente à superfície, com f sendo o módulo de f, y a magnitude de tensão do vento na superfície do oceano e DE 2A z a profundidade de Ekman, ou seja, a profundidade até onde a f influencia do atrito à superfície se faz sentir. Podemos agora interpretar as soluções: - À superfície, z 0 , temos: u v 0 cos( 45º ) e v v 0sen( 45º ) ou seja, a corrente à superfície flui fazendo um ângulo de 45º para a direita da direcção para onde sopra o vento (para a esquerda no H. Sul). - A velocidade da corrente à superfície é proporcional à tensão do vento à superfície, y , e depende também inversamente da latitude, densidade da água e do coeficiente de viscosidade de turbulento (“eddy viscosity”), Az (Está incluído na definição de DE ). - A magnitude da corrente diminui exponencialmente com o aumento da profundidade (z cada vez mais negativo!). A corrente total é: v 0 e z DE , a que depois se acrescenta o cos (...) ou o sen (...) para achar a projecção u ou v. Logo, a magnitude decresce exponencialmente com a profundidade. - A velocidade roda linearmente para a direita com o aumento de profundidade (z cada vez mais negativo...) no Hemisfério Norte (para a esquerda no Hemisfério Sul), ou seja, roda segundo os ponteiros do relógio no H. Norte, ou seja, anticiclónicamente. A tangente do ângulo entre a velocidade da corrente e o eixo dos x é dada por: v π Tg(45º Z) . Com a profundidade a aumentar (z cada vez mais u DE negativo), a tangente é cada vez menor, logo o ângulo cada vez menor, ou seja, o vector velocidade vai rodando para a direita. (se fosse no Hemisferio Sul existiria um sinal (-) atrás da Tg…). A diminuição da velocidade em velocidade à superfície y profundidade em conjunto com a V0 rotação para a direita (no H. Norte) v forma a espiral de Ekman (figura 45 π z DE abaixo). - À profundidade z = DE: -π uDE = V0 e -π vDE = V0 e vento cos (45º- π) sen (45º- π) u x A esta profundidade a velocidade diminuiu para e- π (0.04=1/23) daquilo que era à superfície (u= V0 cos 45º e v= V0 sen 45º) e é oposta do que era à superfície ( pois cos(45º- π) = - cos45º e sem (45º- π)=-sen45º). Neste modelo, a velocidade tende assintóticamente para zero quando z mas de longe os efeitos mais importantes estão circunscritos à camada superficial à espessura DE. Ekmam chamou DE a “profundidade de influência do atrito (“depth of frictional influence”). Também se chama frequentemente “camada de Ekman” (Ekman layer) a esta camada. É curioso notar que DE não depende do atrito do vento (y), embora aumente com viscosidades turbulentas crescentes e latitudes decrescentes. No equador D , logo o modelo de Ekman falha nessas regiões (ou melhor, as condições do modelo não se verificam, pois nesta região nem num oceano infinitamente profundo se verifica u = 0 e v = 0 para z . Para sucessivos valores de z verificamos que o vector velocidade, além de diminuir de intensidade vai rodando para a direita no Hemisfério Norte (esquerda no Hemisfério Sul). A extremidade dos vectores forma assim uma espiral logarítmica, conhecida como a “espiral de Ekman”. dir o ent ov d ão ecç Profundidade (-z) corrente à superfície Espiral de Ekman Analisar exemplos do Pond e Pickard, pag. 88-89 ESTIMATIVAS PARA A RELAÇÃO ENTRE A VELOCIDADE DA CORRENTE À SUPERFICIE, V0, A VELOCIDADE DO VENTO, W, E PROFUNDIDADE DA CAMADA DE EKMAN, DE: ρ a densidade do ar ( 1,3 Kg/m 3 ) τ η ρ a C D W 2 W velocidade do vento C " drag coef." ( 1,4 10-3 sem dimensão) D Logo: τ η 1,3 1,4 10 3 W 2 e : V0 W2 2π 1,8 10 3 W 2 0,79 10 5 m/s D f DE 1025 f E ρ da água do mar As observações mostram que a seguinte estimativa é válida para fora das regiões equatoriais ( fora de +/- 10º latitude): V0 0.0127 W sen Se substituirmos na expressão acima: DE 4 .3 W sen Então se medirmos a velocidade do vento, W, e sabendo a latitude, temos uma estimativa de DE e dai podermos estimar a velocidade da corrente à superfície, V0, e depois a qualquer profundidade abaixo da superfície. Reparemos que na equação acima DE depende do W ( mas na solução das equações de Ekman não dependia de !). Como na solução das equações de Ekman DE depende de Az (DE = 2Az f ), logo, em princípio, Az aumenta com W… Bom, se tivermos medições de DE podemos estimar Az. Valores numéricos (do Pond e Pickard): 10º 45º 80º V0 / W 0,030 0,015 0,013 W = 10 m/s DE 100 m 50 m 45 m W = 20 m/s DE 200 m 100 m 90 m Analisar estes valores!!!! NOTA: Reparemos que substituímos DE na expressão da V0 obtemos: V0 2π η DEρ f 2π η 2π Az ρf f η ρ Az f Problema: Para um vento de 18 Km/h que sopre sobre o oceano a 40ºN, qual a velocidade da corrente induzida à superfície. → Fazer pela estimativa → Fazer pelas equações assumindo: CD= 1.4x10-3; Az = 10-1 kg/ms ρar = 1.3 kg/m3; ρágua =103 kg/m3 Comparar os valores! → Qual a velocidade induzida pelo vento a 50m de profundidade? Comentários: → Muitas vezes compara-se (e por vezes confunde-se) a camada de mistura com a camada de Ekman, o que não é correcto na maioria das vezes: - a camada de mistura depende da história passada do vento no local. - a camada de Ekman depende da velocidade do vento na altura. - a camada de mistura depende da estabilidade da água subjacente, dos perfis de salinidade e temperatura. → A teoria de Ekman assume Az constante em profundidade e que o vento é constante, sabe-se que nenhuma destas premissas se verifica! Embora os resultados fundamentais desta teoria sejam para levar a sério, (como o desvio para a direita da camada superficial relativamente ao vento, ou o seu decréscimo exponencial em profundidade) os pormenores da teoria não são para levar a sério! Ainda hoje há poucas medições para confirmar a teoria de Ekman!!! (embora os resultados fundamentais estejam correctos e confirmados). → Também há uma camada de Ekman atmosférica e ai há mais medições a confirmar a teoria. O problema com a teoria de Ekman tem sobretudo a ver com efeitos que dependem das variações temporais tais como o vento. TRANSPORTE E AFLORAMENTO A corrente de Ekman induzida pelo vento é máxima à superfície e decresce em profundidade à medida que vai rodando para a direita no Hemisfério Norte! Vamos ver que o transporte integrado na camada de Ekman faz-se com 90º para a direita relativamente à direcção do vento. Na ausência de gradiente de pressão, uma das formas das equações do movimento, que já tínhamos escrito, era: τ x 0 ρfvdz dτ x z τ ρfu y 0 ρfudz dτ y z ρfv Analisemos o que significa ρvdz : representa a massa que flui por unidade de tempo na direcção y através de uma área de profundidade dz e largura uma unidade (1 metro...) na direcção x, perpendicular ao escoamento → o mesmo para ρudz!!! 0 Logo vdz será a massa total passa desde a profundidade –z até à z superfície numa “unidade de largura” do escoamento, perpendicular a esse escoamento, ou seja, é a massa total transportada por unidade de largura na direcção y. Se escolhermos a profundidade -z bem funda, então o transporte irá incluir toda a corrente induzida pelo vento. Seja então –z = -2DE, onde a velocidade da corrente será e 2 0.002 , da corrente à superfície, logo virtualmente nula. Então os transportes de Ekman (ou seja, os transportes induzidos pelo vento), serão: 0 fM yE f fM XE f vdz 0 d 2DE 2D E 0 0 udz 2DE x d 2D E y x sup x( 2DE ) y sup y( 2DE ) Mas x( 2DE ) e y( 2DE ) serão aproximadamente nulos porque à profundidade -2DE, as velocidades e consequentemente as tensões, serão quase inexistentes. Logo fM XE y sup e fM yE x sup ou em transporte de volume em vez de massa : M XE Q xE e M yE Q yE , temos: fQ xE y sup e fQ yE x sup . Continuando a considerar o vento soprando segundo y, então: x sup 0 e M yE 0 , mas M XE 0 porque y sup 0 , mostrando que o transporte total induzido pelo vento faz-se para a direita e com um ângulo de 90º em relação à direcção de onde sopra o vento! (vice-versa no Hemisfério Sul). Notas: “upwelling” A equação da continuidade impõe que haja substituição de água que é transportada para a direita relativamente à direcção do vento. Essa água terá então que vir da esquerda (isto tudo no Hemisfério Norte). Contudo, se o vento soprar paralelamente a uma linha de costa, deixando a costa à esquerda (no Hemisfério Norte) de onde virá a água? ( para o oceano infinito de Ekman isto não seria problema!!). O que ocorre na natureza é que essa água de substituição vem das camadas subsuperficiais. Este comportamento é conhecido como “afloramento costeiro” ou “upwelling” em inglês. As regiões de upwelling são por isso regiões de divergência. Este fenómeno ocorre com frequência ao longo das fronteiras Este dos oceanos. No Hemisfério Norte, o vento tem que soprar para Sul ao longo da costa, o que ocorre com frequência em especial no Verão, devido ao estabelecimento de baixas pressões de origem térmica. No Hemisfério Sul o transporte é para a esquerda em relação ao vento e o vento tem que soprar para Norte ao longo de fronteira Este para ocorrer upwelling (o que ocorrer com frequência). Ou seja, o upwelling ocorre quando o vento sopra para o Equador ao longo de uma fronteira Leste do oceano ou para o Pólo ao longo de uma fronteira Oeste (situação muito menos comum…) De que profundidades vêm as águas afloradas? Não mais de 200 300 m de profundidade. O upwelling tem grandes implicações biológicas. ”Downwelling”: o vento sopra deixando a linha de costa à direita (no Hemisfério Norte). Correntes geostróficas asociadas ao Upwelling / Downwelling: Estas correntes ao longo da costa têm em geral velocidades muito maiores que as correntes para o largo ou para a costa induzidas directamente pelo vento, via teoria de Ekman, tornando estas ultimas muito difíceis de medir. Muitas vezes estas correntes geostróficas associadas ao upwelling não são “bem” geostróficas!: perto das costas e/ou em águas pouco profundas, o atrito no fundo pode ser importante e o balanço entre o gradiente de Pressão e a Força de Coriolis não funciona! A um dado nível, perto da superfície, a água junto à costa será mais densa que a água ao largo. Esta diferença de densidades vai diminuindo em profundidade, logo a corrente geostrófica associada ao afloramento vai diminuindo em profundidade, sendo portanto baroclínica. Por vezes há uma “sobre compensação” e o gradiente de pressão muda de sinal, gerando-se uma “ undercurrent” (corrente de sub-superfície) para o Pólo (para norte no Hemisfério Norte). UPWELLING E DOWNWELLING LONGE DAS COSTAS A teoria de Ekman assume que o vento é uniforme, o que não é verdade. Por exemplo, se considerarmos um vento que é constante na direcção e sentido, mas varia na intensidade, irá gerar zonas de convergência e de divergência, que serão acompanhadas de movimentos de “downwelling” e “upwelling” respectivamente, nas camadas superficiais do oceano: Nesta situação há convergência, logo “downwelling” Caso do Atlântico Norte: Nas altas latitudes o vento sopra para leste e nas baixas latitudes para oeste: Subida “Ekman pumping”: Assim regiões de convergência são regiões de subida do nível do mar (regiões de downwelling). Regiões de divergência são regiões de descida do nível do mar (regiões de upwelling) logo “Ekman pumping”: Upwelling Equatorial: Um vento a soprar para oeste ao longo da região equatorial irá causar divergência e upwelling no equador, porque o transporte será para a direita no hemisfério norte e para a esquerda no hemisfério sul (assumindo que a teoria de Ekman funciona no equador...). ATRITO NO FUNDO E EFEITOS PARTICULARES EM ÁGUAS POUCO PROFUNDAS: Quando a corrente flui junto ao fundo do oceano, o atrito induz uma espiral de Ekman de fundo, de forma análoga espiral induzida pelo vento, com a diferença que as espirais são opostas! A demonstração matemática pode ser vista no Pond e Pickard!!!! Vejamos os resultados e a análise qualitativa: A corrente roda da sua direcção geostrófica para a esquerda de um ângulo de 45º enquanto a velocidade se torna zero no fundo: Análise qualitativa Longe do fundo a corrente é geostrófica → força de Coriolis, equilíbra a força do gradiente de pressão, com a força de Coriolis a actuar para a direita e a força do gradiente de pressão para a esquerda da corrente geostrófica. Com a aproximação do fundo, a corrente diminui de velocidade devido ao atrito. Logo a força de Coriolis diminui, porque é proporcional à velocidade. Então a força do gradiente de pressão não é compensada e o escoamento roda para a esquerda até que haja balanço entre a força de Coriolis, a força do gradiente de pressão e a força de atrito no fundo, o que ocorre quando a velocidade rodou 45º para a esquerda. Mas também nessa altura a velocidade é nula!! Por isso não chega a rodar 45º... velocidade geostrófica Fgrad.P corrente Fatrito fundo do mar FCoriolis equilíbrio perto do fundo rodou para a esquerda Coisas interessantes: → Esta mesma solução aplica-se ao vento, ou seja à interface Atmosfera – Terra (ou Oceano). Assim o vento à superfície, no hemisfério Norte, sopra 45º para a esquerda do vento geostrófico e a corrente de superfície é 45º para a direita do vento à superfície. Assim, a corrente à superfície terá a mesma direcção do vento geostrófico, ou seja, do vento acima da camada de Ekman atmosférica. Contudo, estes resultados não são para ser levados muito a sério, porque fizemos muitas aproximações ao escolher a forma de Az.... Assim, o que se verifica na prática é que o vento à superfície roda menos que 45º , em geral entre 10º e 20º, isto também porque o vento não sopra de forma constante, é dependente do tempo e também a factores de estabilidade. Da mesma forma, a corrente à superfície induzida pelo vento também não chega a rodar 45º para a direita em relação ao vento à superfície, mas neste caso aproxima-se bastante. → A 10 m de altitude o vento é cerca de 60 a 70% do vento geostrófico. A redução para vento igual a zero ocorre muito perto da superfície. A espessura da camada de Ekman atmosférica é tipicamente 10 vezes a do oceano. → Se olharmos para o oceano real, verificamos que é possível pensar na seguinte combinação: uma corrente geostrófica devido a um forçamento termohalino, uma espiral de Ekman nas camadas superiores, uma espiral de Ekman no fundo que se sobreporá à da superfície se o oceano for pouco profundo (junto à costa, sobre a plataforma) e ainda uma corrente de maré. A descrição do movimento torna-se assim muito complicada. Por isso é muito difícil analisar o movimento nas suas três componentes: geostrófica, induzida pelo vento e de maré, em particular se todas estiverem a variar no tempo. → À medida que a água se torna pouco profunda, na ordem de DE ou menos, as espirais de Ekman de superfície e de fundo sobrepõem-se. As duas espirais tendem a cancelar-se e o transporte total dá-se sobretudo na direcção do vento à superfície e não perpendicularmente a ele. Quando a profundidade decresce para cerca de DE/10, o transporte dá-se na direcção do vento, sendo o efeito de Coriolis “abafado” pelo atrito → é o que acontece nas praias. LIMITAÇÕES DA TEORIA DE EKMAN: A teoria de Ekman é bem fundamentada, é bonita, mas na realidade nunca ninguém observa uma espiral de Ekman bem desenhada no oceano! O que não quer dizer que a teoria esteja errada! A espiral de Ekman é bem observada em laboratório, onde a viscosidade é molecular e não turbulenta. E há evidencia que os seus efeitos integrados ocorrem, como é o caso do upwelling. Contudo, o problema resolvido por Ekman é ideal: - Não existem fronteiras: não é realista, mas não é uma má aproximação longe da costa e as consequências junto ás costas suportam a solução obtida. - Oceano de profundidade infinita: não é exacto mas é uma pequena fonte de erro: DE ≈ 100 – 200 m e a profundidade média do oceano é ≈ 4000 m. - Az constante → O mais certo é não ser verdade, mas o nosso conhecimento sobre isto é tão pouco que não se sabe se é ou não uma grande fonte de erro. - Vento estacionário, o que leva a uma solução apenas para o estado estacionário → Provavelmente a maior fonte de erro, pois nem o vento nem o oceano são estacionários. - Água homogénea (o que implica condições barotrópicas) → Não é manifestamente verdade. Sverdrup tentou corrigir esta “falha” na teoria de Ekman, como veremos a seguir. A SOLUÇÃO DE SVERDRUP PARA A CIRCULAÇÃO INDUZIDA PELO VENTO As equações do movimento para um movimento uniforme e desprezado o atrito devido aos gradientes horizontais da velocidade, são: P fv x z x y P fv y z 2u z 2 2v Az 2 z Az (F.grad P = F. Coriolis + F. Atrito) Ekman assumiu um oceano “horizontal” e por isso ignorou os termos à P P . Aqui apenas estamos a ignorar os gradientes e esquerda y x horizontais da velocidade num movimento uniforme. Ou seja, a solução que vamos encontrar não será própria para descrever movimentos onde esses gradientes sejam importantes (nas correntes muito fortes!). O que Sverdrup fez foi fazer constar da equação os gradientes de pressão e abandonou qualquer tentativa de descrever o comportamento da velocidade em profundidade. Ou seja, apenas procurou descrever o transporte total nas direcções x e y em toda a camada afectada pelo vento (ou seja, Mx e My em termos de transporte de massa). Assim, integrou as equações desde z = - h, que será uma profundidade onde o efeito do vento já não se faz sentir. Por isso h >> DE. Logo: 0 0 0 0 P h x dz hfvdz xsup fMy xsup P h y dz hfudz xsup fM x xsup z2 Lembrar que: ρvdz , é o transporte de massa na direcção y entre as camadas z1 z1 e z2 (My). x sup e y sup representam a tensão do vento à superfície (quando integramos os limites – h e 0 o valor da tensão do vento em –h é nula. Como o valor do integral é determinado pela diferença entre o valor da função nos dois limites só fica o valor da função à superfície, ou seje x sup e y sup ). Se construirmos o “eliminante” entre as duas equações, derivando a primeira em ordem a y e a segunda em ordem a x, temos: M y x sup P f dz M f y xy y y y h 0 M x y sup P f dz M f x xy x x x h 0 Subtraindo as duas equações: My pois f x sup y sup 0 y y x f 0 porque f não varia com x (é constante ao longo de um paralelo) e x M y M x f x y 0 pela equação da continuidade (na horizontal....). Logo o transporte de massa é descrito pelas equações: My f y sup x sup y x y M y M x 0 y x O interessante nestas equações é que o que aparece são os gradientes horizontais da tensão do vento à superfície e não a tensão do vento ela mesmo! A expressão M y y M x é a componente vertical do rotacional da x tensão do vento rot z sup sup . sup î x x sup ĵ y y sup k̂ y sup z sup y z z z sup x sup zsup î z x y sup x sup ĵ x y Esta última componente é a única não nula para o vento horizontal. k̂ Sverdrup pretendeu determinar o escoamento como resposta à tensão do vento e ao gradiente de pressão horizontal, sacrificando a descrição vertical do movimento, procurando apenas fluxos integrados na vertical. Assim: M y rot z sup é a equação de Sverdrup. f como já vimos a aproximação y tensão do vento reparemos que o que gera “rotacional” é rot < 0 o “shear” da tensão do vento: Tensão rot > 0 segundo y a variar com x e tensão segundo x a variar com y. A equação de Sverdrup mostra que só há transporte norte – sul quando há rotacional da tensão do vento. As quantidades My e Mx (que se obtém pela equação da continuidade a partir de My) são os transportes totais de massa na camada de influenciada pelo vento: 0 0 h h M x udz e M y vdz Dividindo no transporte de Ekman e nos transportes geostróficos: M x M xE M x geost M y M yE M y geost Podemos escrever: 0 fM yE f v E dz x sup (solução de Ekman) h 0 0 P dz x h f M y geost f v geost dz h E o mesmo para Mx. Sverdrup mostrou que o transporte total meridional no oceano é proporcional ao rotacional da tensão ao vento: My 1 rot z sup mas a constante da proporcionalidade não é constante, é de variação meridional do parâmetro de Coriolis. 1 f y , ou seja, a taxa Mais tarde Stommel “aperfeiçoou” a teoria de Sverdrup e explicou a intensificação das correntes nas fronteiras oeste dos oceanos, como é o caso da corrente do Golfo. VORTICIDADE VORTICIDADE RELATIVA “Vorticidade” em cinemática de fluidos quer expressar a tendência de uma porção de fluido para rodar. Está directamente associada com a quantidade, “shear da velocidade” (como aliás vimos na equação de Sverdrup). u 0 y >0 (ciclónica) u 0 y =0 (ñ há vorticidade relativa porque não há shear da velocidade do fluido) u 0 y <0 (anticiclónica) Neste caso, a “rotação do fluido”, ou seja a vorticidade, é medida por u . Quando a vorticidade é medida relativamente à Terra é a “Vorticidade y Relativa” (). Quando é medida relativamente a um sistema de eixos fixos é a “Vorticidade Absoluta” ( + f). No caso geral, a vorticidade relativa no plano horizontal, ou seja a componente vertical da vorticidade (que é um vector!) é dada por: v u rot z V k̂ x y VORTICIDADE PLANETÁRIA Para um objecto sólido a rodar, a vorticidade é duas vezes a velocidade angular. Assim, devido à rotação da Terra, qualquer ponto à superfície do planeta tem 2sen de vorticidade em torno do ^k sen eixo da Terra, pois a velocidade angular de cada ponto é sen. Assim, “ f ” (2sen) é a “vorticidade planetária”. Qualquer partícula de água imóvel relativamente ao planeta, tem esta vorticidade. Reparemos que esta vorticidade planetária varia com a latitude, logo qualquer partícula de água que se mova meridionalmente varia a sua vorticidade planetária. VORTICIDADE ABSOLUTA ( + f) As equações para o movimento horizontal, não considerando o atrito, são: P du fv dt x dv P fu dt y Vamos construir o “eliminante” dos termos da gradiente de pressão, fazendo a derivação cruzada das equações: (desprezando as derivadas de em x e y aproximação de Boussinesq) du dv du dv fu fv fu fv y y dt x dt x y dt x dt O segundo membro é: f u f v v f , pois f não varia com x. Será y x y u v f df f f f f df f então : f v . Mas v , pois : w u v y dt x y z y dt t x y 0 0 0 u v df Logo o segundo membro será: f x y dt Vejamos agora o primeiro membro: u u u v du dv u v v v u v w u v w y z x t x x y z y dt x dt y t u v Os termos w e w são claramente desprezáveis, porque w é muito z z pequeno e também não estamos a considerar o “shear” vertical. Temos então: u u u v v v u v u v y t y x y y x t x x x y e fazendo as derivadas: v v v v u v u v u v u u u u v u v u x y x x x y y y x t x x y x y y y t y x e agora reordenando os termos para que possamos entender alguma coisa, após termos alterado a ordem da diferenciação em alguns termos, o que é possível porque todos são derivadas locais e dada a natureza das funções a derivar: u u u v v v u u v u u v v v u v u v t y y x y y t x x x x y y x y y x x x y 1 1 3 2 v u u v u v d u d v ; 2 ; 3 dt y dt x x y x y x y Temos então que o primeiro membro é: u v d v u u v dζ d u d v u v ζ ζ ζ dt x y x y dt dt y dt x x y x y ζ Reconstruindo agora a equação e notando que u v não é mais que a x y divergência da velocidade horizontal, div VH ou .VH : d df div VH fdiv VH , ou seja : dt dt d ( f ) ( f )div VH dt (+f) é a soma da vorticidade relativa com a vorticidade planetária e é a “vorticidade absoluta”. Esta equação expressa o Principio da conservação da Vorticidade Absoluta. Numa região de divergência, div VH 0 , logo a magnitude de vorticidade absoluta, (+f), diminui. Numa região de convergência acontece o contrário. No Hemisfério Norte “ f ” é positivo e, em geral, “ f ” é bem maior que “”, por isso os valores de (+f) são em geral positivos no Hemisfério Norte. Assim, com div VH 0 e ( f) 0 o tempo, mas se ( f) 0 d ( f ) 0 ,logo (+f) diminui com dt d ( f ) 0 , ou seja, (+f) vai-se tornando cada dt vez menos negativo, ou seja, diminui em magnitude. Sugere-se que seja feita a análise para o caso de haver convergência. convergência vista lateral no final, depois de “esticar” f+ζ vista de topo Imaginemos um cilindro de água, no Hemisfério Norte, parado relativamente à Terra, portanto apenas com vorticidade planetária, f: se o fluido começa a convergir para o centro, o cilindro tem f no início, antes de “esticar” “esticar” produz “+ζ” volume. Mas como há convergência, div VH 0 , divergência vista lateral no início, antes de “achatar” f que se alongar e encolher para conservar o vista de topo logo a vorticidade absoluta tem que aumentar ( d ( f ) 0 ). Como o cilindro está na mesma dt posição à superfície da Terra, “f” = cte, logo a água vai adquirir vorticidade relativa, , positiva. f-ζ no final depois de “achatar” Na situação oposta, há divergência. Se a “achatar” produz “-ζ” vorticidade inicial for apenas “f”, como d ( f ) dt tem que ser < 0, logo vai ser gerada vorticidade negativa, ou seja, vorticidade anticiclónica. VORTICIDADE POTENCIAL ζf D Consideremos uma camada do oceano onde ocorram condições barotrópicas. Seja “D” a espessura dessa camada. Esta camada pode ser, por exemplo, a camada de mistura ou a camada desde a base da picnoclina até ao fundo (mas não a camada da picnoclina, porque ai as condições não são barotrópicas, pois a densidade não é uniforme!) Mostra-se que a equação da continuidade do volume para esta camada é: 1 dD u v 0 D dt x y Acreditemos... mas podemos ver que fisicamente não é absurdo: u v quando há convergencia ( 0 ) a espessura tem que aumentar x y ( dD 0 ). dt Se combinarmos a equação da conservação da vorticidade absoluta com a equação da continuidade, construindo o eliminante de divVH , temos: 1 d 1 dD d f dD ( f ) ( f ) 0 ( f ) dt D dt dt D dt multiplicando por D ou: 1 : D 1 d 1 f dD ( f ) 0 D dt D D dt d dD ( ζ f) ζ f dt dt d ζ f 0 (...relembrar a regra da derivação de um 2 D dt D quociente...) Logo: f cte para o movimento de uma massa de água, desde que D não haja adição de vorticidade do exterior, por exemplo do vento ou outro atrito. f À quantidade chama-se vorticidade potencial. D Podemos assim saber o que ocorre à vorticidade quando uma massa de água se desloca no oceano: Se D = cte, se a partícula se mover zonalmente, não ganha nem perde vorticidade. Se se mover meridionalmente para o pólo Norte, f aumenta e diminui, ou seja adquire vorticidade anticiclónica (negativa). Se se mover para o pólo Sul, f diminui e aumenta, logo adquire vorticidade ciclónica (positiva). Se D aumenta, (+f) aumenta se inicialmente o seu valor for positivo. Neste caso se f = cte (movimento zonal), aumenta; se f aumenta (movimento para o polo Norte) e pode ter qualquer valor; se f diminui (movimento para o polo Sul) aumenta. E se inicialmente (+f) for negativo? Ver... Se D diminui, (+f) diminui se o seu valor inicial for positivo...etc. Podemos então fazer uma série de interpretações e explicar muitos dos movimentos observados no oceano. No oceano interior, longe das fronteiras, é negligivel quando comparado com f. Podemos então dizer que f cte no oceano interior. Assim, D se uma coluna de água advectada passar sobre uma montanha submarina, D diminui e f tem que diminuir, logo a água desloca-se para o equador. “Viceversa” quando passa num vale. À “deplecção” causada no escoamento devido à conservação da vorticidade potencial chama-se “control topográfico” (topographic steering). INTENSIFICAÇÃO DA CIRCULAÇÃO NA FRONTEIRA OESTE DOS OCEANOS – EXPLICAÇÃO ATRAVÉS DA CONSERVAÇÃO DA VORTICIDADE POTENCIAL Vamos considerar o Hemisfério Norte. Consideremos que a profundidade da circulação, D, é constante, logo (+f) = constante. O padrão do vento no Hemisfério Norte é para Oeste a Sul e para Leste a Norte. Logo, a circulação na camada superficial será no sentido dos ponteiros do relógio (velocidade angular negativa). No lado Oeste do oceano, a circulação será para Norte perca de vorticidade relativa, porque (f + ) = constante e f , logo e há também perca de vorticidade relativa devido à tensão do vento, que fornece vorticidade negativa, no sentido dos ponteiros do relógio. Logo há perca de vorticidade relativa. -p- < 0 devido a (ζ+f)=cte devido ao vento No lado Este do oceano, o escoamento á para Sul, logo há ganho de vorticidade relativa, porque (f + ) = constante e perca de vorticidade relativa devido à tensão do vento (+ p ; - ) e + p - 0. Assim, para completar a circulação será necessário “fornecer” vorticidade, para fazer face à perca de vorticidade a oeste, e manter a vorticidade total constante. A maneira de o fazer é “introduzir” atrito na fronteira oeste, de tal forma que a perca de vorticidade relativa devido a (f + ) = constante e devido ao vento é compensado pelo ganho de vorticidade devido ao “shear” lateral devido às correntes. Assim - p - + shear - 0. Para que este balanço no oceano é necessário que ocorram correntes fortes com muito “shear” a oeste do oceano e correntes fracas com pouco “shear” a leste. escoamento com “shear” vorticidade imposta pelo “shear”, que equilíbra as vorticidades negativas da tensão do vento () e planetária (p) ventos de oeste ventos de oeste p p p p ventos de leste A leste a vorticidade planetária (p) e da tensão do vento () equilíbram-se, mas a oeste não. ventos de leste Tem que ocorrer “shear” no lado oeste para induzir vorticidade para ocorrer o balanço. ONDAS NO OCEANO Associamos as ondas no oceano à ondulação de superfície do mar ou de um lago. Menos evidente é a ocorrência de ondas abaixo da superfície do oceano, em regiões de interface. Essas não as vemos, mas são muito importantes (podem ser um perigo para os submarinos!). As principais classes de ondas, associadas às suas causas, são: “ripples” (mareta?), ondas de vento (wind waves) e “swell” (ondulação de largo) – devem-se aos efeitos do vento na interface ar-água. ondas internas – ocorrem quando há fortes variações verticais de densidade. Têm várias causas, como “shear” na corrente, perturbações à superfície. “tsunamis” – devido a perturbações sísmicas no fundo marinho. ondas giroscópicas de gravidade – que podem ser de superfície ou internas, de período longo de tal forma que a força de Coriolis é importante. Têm várias causas, como por exemplo, variações na pressão atmosférica ou na tensão do vento. ondas planetárias ou de Rossby – ondas de larga escala e longo período, que são detectáveis nas variações temporais das correntes. Têm várias causas, como variações temporais da tensão do vento e instabilidade das baroclínicas e barotrópicas, talvez ...? ondas de maré – devido à flutuação das forças gravitacionais do Sol e da Lua. Em mecânica de fluidos consideram-se as ondas sinusoidais. Mas o que observamos nos oceanos raramente é sinusoidal. Isto porque o que observamos é a composição de diversas ondas. A análise do espectro, permite distinguirmos diversas ondas presentes. Se representarmos o quadrado da amplitude das ondas (que é proporcional à é energia) contra a frequência, temos o espectro da energia da onda. Somando os diversos espectros, temos o “comportamento” da superfície do oceano e vice-versa. A velocidade de propagação de uma onda é: c c.d.o. L período T Exemplo de períodos e c.d.o na classificação das ondas: período 0 – 0,2 s 0,2 – 9 s 9 – 15 s 15 – 30 s 30 s – horas 12,5 h, 25 h, etc... c.d.o cm “ripples” até 100 m ondas de vento centenas de m “swell” mtas centenas de m “swell” longo até milhares de Km ondas de longo período milhares de Km ondas de maré As ondas são energia em movimento. É energia que é transmitida através de movimentos cíclicos (ou sinusoidais). O meio onde as ondas se propagam não se move na direcção da energia que passa através de si! As partículas do meio oscilam num movimento para a frente e para trás ou para cima e para baixo, ou num movimento orbital transmitindo a energia de partícula para partícula. Temos assim as ondas progressivas: Longitudinais ondas de “puxa-empurra” na direcção da propagação. Há compressão – expansão. Transversais as partículas vibram numa direcção e a energia propaga-se perpendicularmente à vibração. As ondas longitudinais e transversais são muitas vezes chamadas “ondas de corpo” pois propagam-se através de um corpo de matéria. Quando as ondas se propagam na interface entre dois corpos, como por exemplo na interface oceano/atmosfera, têm características de ambos os tipos de onda e são “ondas orbitais” ou ondas de interface. Ocorrem também entre dois fluidos de densidades diferentes, dois líquidos ou dois gases. L Se a profundidade for superior à base da onda temos “ondas de água profunda”. Assim, na propagação destas ondas não há interferência do fundo. A velocidade de propagação é encontrada pelo c.d.o. Temos “ondas de água pouco profunda” quando a profundidade é menor que 1/20 do c.d.o. (por vezes chama-se também “ondas longas”). Neste caso a onda “toca o fundo” ou rente ao fundo” no movimento orbital. O movimento orbital das partículas nestas ondas é quase plano e a orbita aproxima-se da horizontal. A componente vertical da orbita decresce com a profundidade. A velocidade da propagação da onda é controlada pela profundidade. As “ondas de transição ”ocorrem quando L L profundidade . A sua 20 2 velocidade de propagação é controlada parcialmente pela profundidade e parcialmente pelo c.d.o. No que respeita à circulação oceânica, as ondas de longo c.d.o. e período são as mais importantes. Destas, vejamos as ondas de Kelvin e de Rossby. As ondas de Kelvin são ondas de grande c.d.o. e período que são “guiadas” por uma fronteira. Imaginemos uma perturbação que se move para Norte no Hemisfério Norte, com uma fronteira à sua direita. Se o c.d.o. e período forem grandes, a força de Coriolis actua puxando a perturbação para a direita, ou seja contra a costa (fronteira). A água acumula-se contra a costa originando um gradiente horizontal de pressão para fora (esquerda), que equilibra a força de Coriolis. A costa actua assim como um guia para estas ondas, chamadas de Kelvin. Estas ondas podem ser de superfície (barotrópicas) ou baroclinicas, distorcendo o campo vertical da densidade (evolução ondulatória de uma perturbação da picnoclina ou termoclina). Propagam-se deixando a costa à direita, no Hemisfério Norte (à esquerda no Hemisfério Sul). As ondas de Kelvin são ondas de gravidade: a força restauradora do movimento é a gravidade. Mas estas ondas têm a sua amplitude máxima junto à costa, decaindo exponencialmente para o largo. São por isso ondas “aprisionadas” (trapped) dentro de uma certa distância junto à costa. A distância a partir da qual já não se faz sentir a onda de Kelvin é a chamada “Raio de Rossby de disformação” que se calcula como: R R c , sendo f o f parâmetro de Coriolis e c a velocidade de propagação de onda. Para uma onda de Kelvin a propagar-se na Termoclina, c é tipicamente entre 0.5 e 3 m/s. Nas latitudes médias RR 25 Km. Outro tipo de ondas de c.d.o. muito longo são as ondas de Rossby. São ondas de planetárias que se propagam zonalmente com c.d.o. na ordem de algumas centenas de Km. São geradas devido ao facto da vorticidade potencial precisar de ser conservada.
