Aula 6 - Introdução à probabilidade

Métodos Estatísticos Básicos
Aula 6 - Introdução à probabilidade
Prof. Regis Augusto Ely
Departamento de Economia
Universidade Federal de Pelotas (UFPel)
Maio de 2014
Prof. Regis Augusto Ely
Métodos Estatísticos Básicos
Experimento
Experimento aleatório (E ):
é um experimento que pode ser
repetido indenidamente sob condições essencialmente inalteradas.
Embora não possamos descrever um resultado particular do
experimento, podemos descrever o conjunto de todos os possíveis
resultados e as probabilidades associadas a eles. Isso porque
repetindo o experimento um grande número de vezes, uma
regularidade surgirá.
A descrição de um experimento envolve um procedimento a ser
realizado e uma observação a ser constatada.
Ex 1: Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima.
Ex 2: Jogue uma moeda 4 vezes e observe o número de caras obtido.
Ex 3: Receba duas cartas de um baralho e observe quantos ases
foram obtidos.
Ex 4: Um míssil é lançado. Em momentos especícos
altura do míssil acima do solo é registrada.
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t1 t2 , ..., tn ,
a
Espaço Amostral
Espaço amostral (Ω):
é o conjunto de todos os resultados
possíveis de um experimento
E.
Note a semelhança do espaço amostral com o conjunto fundamental
U.
Um espaço amostral está sempre associado a um experimento e
este conjunto nem sempre é composto de números.
Ex 1:
Ex 2:
Ex 3:
Ex 4:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Ω = {0, 1, 2, 3, 4}.
Ω = {0, 1, 2}.
Ω = {h1 , h2 , ..., hn |hi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n}.
Ex 5: Jogue uma moeda 2 vezes e obtenha a sequência de caras e
coroas obtidas.
Ω = {(H, H), (H, T ), (T , H), (T , T )}.
O número de elementos de um espaço amostral pode ser nito,
innito enumerável ou innito não-enumerável. Todo resultado
possível de um experimento corresponde a um, e somente um ponto
w ∈ Ω,
sendo que resultados distintos correspondem a pontos
distintos.
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Eventos
Evento:
um evento
experimento
E,
A⊂Ω
é um conjunto de resultados possíveis do
mas não necessariamente todos.
A = {2, 4, 6}.
A = {2}.
Ex 3: Obtemos apenas um Ás, A = {1}.
Ex 5: Obtemos pelo menos uma cara, A = {(H, H), (H, T ), (T , H)}.
Qualquer um desses eventos é um subconjunto de Ω. O evento Ω é
Ex 1: Um número par ocorre,
Ex 2: Duas caras ocorrem,
chamado
evento certo ; o evento Ø é chamado evento impossível, e o
elementar.
evento {ω } é dito
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Operações com eventos
Eventos compostos: A ∪ B
A e B e
Se
A
A1 , ..., An
é o evento A ou B,
A∩B
é o evento
é o evento não A.
for qualquer coleção nita de eventos, então
∪ni=1 Ai
será o evento que ocorrerá se, e somente se, ao menos um dos
eventos
Ai ocorrer.
Já
∩ni=1 Ai
somente se, todos os eventos
será o evento que ocorrerá se, e
Ai
ocorrerem.
Os mesmos resultados se estendem para coleções innitas
enumeráveis
A1 , A2 , ..., An , ...,
sendo
∪∞
i=1 Ai
e
∩∞
i=1 Ai
os respectivos
conjuntos.
Dependência: A ⊂ B
signica que a ocorrência do evento A
implica a ocorrência do evento B.
Eventos mutuamente excludentes: A ∩ B = Ø
signica que A e
B são eventos que nunca ocorrem juntos, ou disjuntos.
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Características dos eventos
Produto cartesiano de eventos:
E
se executarmos um experimento
duas vezes, então nosso espaço amostral será
n
AxA. Isso pode ser estendido para
Proposição:
ΩxΩ
e os eventos
vezes.
n elementos,
Ω, ou seja, eventos.
Ex: lançar uma moeda e vericar o resultado. Ω = {H, T }. Número
2
de subconjuntos é 2 = 4, sendo eles {Ø},{H},{T},{H,T}.
se o espaço amostral
entao existirá exatamente 2
Dica:
n
Ω
for nito, com
subconjuntos de
para enumerar subconjuntos de um espaço amostral basta
pensar em termos matemáticos quais são os subconjuntos de
Não pensem em termos dos resultados do experimento.
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Ω.
Denição clássica de probabilidade
A
denição clássica de probabilidade
aplica-se apenas se o espaço
amostral é nito e os resultados do experimento,
ω ∈ Ω,
são
igualmente verossímeis:
P(A) =
nº
de resultados favoráveis à
nº
de resultados possíveis
A
=
nº
nº
de elementos de
de elementos de
A
.
Ω
Esta denição de probabilidade é aplicável apenas a um número
restrito de problemas (que envolvem escolha ao acaso e resultados
nitos do experimento).
Exemplo
E = jogar um dado e observar o número de cima ⇒ Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6};
A = obter um número par ⇒ A = {2, 4, 6} ;
P(A) = 36 = 12 = 50%.
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.
Denição frequentista de probabilidade
E , podemos denir a frequência
nA
. Se repetirmos muitas vezes E ,
n
Repetindo n vezes um experimento
relativa do evento A como
de modo que
n → ∞,
probabilidade.
P(A) =
lim
n→∞
fA =
teremos a
denição frequentista de
nA
.
n
Apenas podemos utilizar esta denição quando temos a possibilidade
de realizar o experimento muitas vezes, sendo o resultado suscetível
ao valor de n.
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Probabilidade geométrica
A
denição de probabilidade geométrica
nos diz que dois eventos
tem a mesma probabilidade se, e somente se, eles têm a mesma área.
P(A) =
área de A
área de
Ω
.
Exemplo
E = escolher um ponto ao acaso no círculo unitário;
Ω = {(x, y ) ∈ R|x 2 + y 2 ≤ 1};
A = 1ª coordenada do ponto escolhido é maior que a 2ª;
A = {(x, y ) ∈ Ω|x > y };
π/2
1
P(A) =
= . (Lembre que a área de um círculo é A = π × r 2 ).
π
2
Essa probabilidade é mais utilizada com espaços amostrais innitos
não-enumeráveis.
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Denição matemática de probabilidade
A probabilidade de um evento
A⊂Ω
associado à
E,
e denotada por
P(A), é um número real que satisfaz as seguintes propriedades:
≤ P(A) ≤ 1;
1
0
2
P(Ω) = 1;
3
Se
4
Se
A ∩ B = Ø (eventos mutuamente
P(A ∪ B) = P(A) + P(B);
excludentes), então
A1 , A2 , ..., An , ..., forem, dois a dois, eventos mutuamente
∞
P(Ui=
1 Ai ) = P(A1 ) + ... + P(An ) + ...
excludentes, então
A propriedade 3 também vale para um número nito de uniões,
n
P(Ui=
1 Ai ) =
Pn
i=1
P(Ai ).
Da propriedade 3 decorre que P(Ø)=0,
P(A ∪ Ø) = P(A) + P(Ø) = P(A).
pois
Das propriedades 2 e 3 decorre que P(Ā) = 1 − P(A),
P(A ∪ Ā) = P(A) + P(Ā) = P(Ω) = 1.
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pois
Probabilidade da união de eventos
Teorema
Se A e B forem dois eventos quaisquer, não necessariamente excludentes,
então:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Demonstração.
Note que A ∪ Ā = Ω e A ∪ B = (A ∪ B) ∩ (A ∪ Ā) = A ∪ (B ∩ Ā),
A e (B ∩ Ā) eventos excludentes, de modo que
P(A ∪ B) = P(A) + P(B ∩ Ā) (1). Analogamente,
B = B ∩ (A ∪ Ā) = (B ∩ A) ∪ (B ∩ Ā), de modo que
P(B) = P(A ∩ B) + P(B ∩ Ā) (2). Juntando (1) e (2), temos
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
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sendo
Probabilidade da união de eventos
Teorema
Se A, B e C forem 3 eventos quaisquer, então:
P(A ∪ B ∪ C ) =
P(A) + P(B) + P(C ) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C ) − P(B ∩ C ) + P(A ∩ B ∩ C ).
Demonstração.
Escreva
A∪B ∪C
na forma
(A ∪ B) ∪ C
e aplique o resultado do
teorema anterior, de modo que
P((A ∪ B) ∪ C ) = P(A ∪ B) + P(C ) − P((A ∪ B) ∩ C ). Note que
P((A∪B)∩C ) = P((A∩C )∪(B∩C )) = P(A∩C )+P(B∩C )−P(A∩B∩C ),
e P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Logo, P((A ∪ B) ∪ C ) =
P(A)+P(B)−P(A∩B)+P(C )−P(A∩C )−P(B ∩C )+P(A∩B ∩C ).
O teorema acima pode ser estendido para n eventos.
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Probabilidade de subconjuntos
Teorema
Se A ⊂ B , então P(A) ≤ P(B).
Demonstração.
A ∪ B = B , podemos decompor B em
B = A ∪ (B ∩ Ā), de modo que
P(B) = P(A) + P(B ∩ A) ≥ P(A).
Como
dois eventos mutuamente
excludentes,
Note que quaisquer das denições de probabilidade vistas
anteriormente devem respeitar as propriedades matemáticas que
desenvolvemos.
Quando atribuímos uma probabilidade a um evento A chamamos ele
de
evento aleatório.
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Álgebra de eventos aleatórios
Uma
álgebra de eventos
subconjuntos de
1.
2.
3.
Ω
A,
aleatórios,
é a coleção (classe) de
que possui algumas propriedades básicas:
Ω ∈ A;
B ∈ A ⇒ B̄ ∈ A;
A ∈ A e B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A.
As seguintes propriedades decorrem de 1, 2 e 3:
∈ A;
∀n e ∀B1 , B2 , ...Bn ∈ A,
4. Ø
5.
temos
n
∪ Bi ∈ A
i=1
e
n
∩ Bi ∈ A
i=1
.
Dizemos que a álgebra é fechada para um número nito de
aplicações das operações
∪
e
∩.
Se estas propriedades forem válidas para um número innito
enumerável de aplicações de
∪
e
∩,
então chamamos
σ − álgebra.
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A
de
Espaço de probabilidades
modelo probabilístico estará situado
de probabilidade (Ω, A, P), constituído de:
O nosso
1
Um conjunto não-vazio
Ω
dentro de um
espaço
de resultados possíveis do experimento
chamado espaço amostral;
2
Uma álgebra de eventos aleatórios
subconjuntos de
3
A,
composta por todos os
Ω;
Uma probabilidade P denida sobre os conjuntos de
A,
com as
propriedades matemáticas vistas anteriormente.
É nesse espaço que trabalharemos, sendo sempre importante
identicar
Ω, A
e P.
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E,