Circunferência Trigonométrica, Redução ao 1º Quadrante e

Circunferência Trigonométrica, Redução ao
Notas de Aula 03 –
1º Quadrante e Relações Fundamentais
Semestre 2 - 2010
Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática –
Osasco -2010
Circunferência Trigonométrica
É uma circunferência de raio unitário orientada de tal forma que o sentido
positivo é o sentido anti-horário. Associamos a circunferência (ou ciclo)
trigonométrico um sistema de coordenadas cartesiana, fixando o ponto A (de
coordenadas (0,1) como origem dos arcos.
Os eixo x e y dividem a circunferência em quatro partes congruentes chamadas
quadrantes, numeradas de 1 a 4 conforme figura abaixo:
Na circunferência de raio 1, a medida do comprimento do arco de
circunferência coincide com a medida do arco e consequentemente com a
medida do ângulo que o define. Se o ponto P está associado à medida x,
dizemos que P é a imagem de x no ciclo. Assim para a figura acima temos, por
exemplo, que a imagem de
é B; a imagem de
é B’; a imagem de
é B’.
1
Circunferência Trigonométrica, Redução ao
Notas de Aula 03 –
1º Quadrante e Relações Fundamentais
Semestre 2 - 2010
Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática –
Osasco -2010
Arcos Congruos
Note que se P é a imagem de um arco
pontos que pertencem ao conjunto
então também é a imagem dos
.
Dizemos que dois arcos são côngruos ou congruentes quando suas medidas
diferem de um múltiplo de
. Todos os arcos cuja imagem coincide com um
mesmo ponto P sobre a circunferência são côngruos.
Seno e Cosseno e Tangente no Ciclo Trigonométrico
Se tomarmos a circunferência de raio unitário, os valores das coordenadas de
um ponto P no primeiro quadrante que é a imagem de um arco de medida
sobre o circulo trigonométrico coincidira com os valores do
e do
,
conforme ilustra a figura abaixo:
Tomado a relação da tangente, concluímos que
.
Note que esta idéia funciona quando estamos com ângulos posicionados no
primeiro quadrante (onde todos os triângulos formados são retângulos). Porém
baseados nesta idéia, vamos definir as relações de seno, cosseno e tangente
no círculo trigonométrico, expandindo estas relações para todos os quadrantes.
Definimos:
2
Circunferência Trigonométrica, Redução ao
Notas de Aula 03 –
1º Quadrante e Relações Fundamentais
Semestre 2 - 2010
Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática –
Osasco -2010
Assim, podemos agora expandir nossa tabela para valores notáveis de seno,
cosseno e tangente.
Valores Notáveis de seno e cosseno
Expandindo a nossa tabela de valores notáveis para o seno pela circunferência
trigonométrica temos:
3
Circunferência Trigonométrica, Redução ao
Notas de Aula 03 –
1º Quadrante e Relações Fundamentais
Semestre 2 - 2010
Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática –
Osasco -2010
Expandindo a nossa tabela de valores notáveis para o cosseno pela
circunferência trigonométrica temos:
4
Circunferência Trigonométrica, Redução ao
Notas de Aula 03 –
1º Quadrante e Relações Fundamentais
Semestre 2 - 2010
Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática –
Osasco -2010
Ampliando a nossa tabela de valores notáveis e usando a relação
, obteremos:
Medida do
âgulo (em
graus)
Seno
cosseno
tangente
Não há
Não há
Relações Trigonométricas para ângulos de medidas opostas
Na circunferência trigonométrica um ângulo terá medida positiva se resultar na
construção de um arco na sentido horário, e será negativo caso contrário.
Usando esta convenção, verificamos na circunferência trigonométrica que:
Redução ao 1º quadrante
Da forma como definimos os sinais do seno e do cosseno de um ângulo, e
consequentemente da tangente de um ângulo, tem sinais que dependem do
quadrante em que se encontram. Podemos determinar o valor do seno e do
cosseno, e, consequentemente da tangente, de qualquer ângulo em qualquer
quadrante se conhecermos seus valores no primeiro quadrante. A isto
chamamos de redução ao 1º quadrante.
5
Circunferência Trigonométrica, Redução ao
Notas de Aula 03 –
1º Quadrante e Relações Fundamentais
Semestre 2 - 2010
Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática –
Osasco -2010

Se temos um ângulo
no 2º quadrante
, então
no 3º quadrante
, então
Neste caso ainda

Se temos um ângulo
Neste caso ainda
6
Circunferência Trigonométrica, Redução ao
Notas de Aula 03 –
1º Quadrante e Relações Fundamentais
Semestre 2 - 2010
Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática –
Osasco -2010

Se temos um ângulo
no 4º quadrante
, então
Neste caso ainda
Se nos detivermos ao 1º quadrante veremos que o seno de um ângulo é igual
ao cosseno de seu complementar, e que o cosseno de um ângulo é igual ao
seno de seu complementar. Ou seja,
e
Esta propriedade continua válida se considerarmos todos os outros quadrantes.
Resumindo, para todo
sempre valem as seguintes igualdades:
I)
II)
III)
e
IV)
e
e
e
Com isso é possível simplificar expressões trigonométricas que envolvem a
soma de ângulos dados com ângulos que são múltiplos de . Por exemplo:
7
Circunferência Trigonométrica, Redução ao
Notas de Aula 03 –
1º Quadrante e Relações Fundamentais
Semestre 2 - 2010
Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática –
Osasco -2010
A idéia geométrica da tangente
Vamos considerar no ciclo trigonométrico uma reta tangente à circunferência
de raio 1 no ponto , com a mesma orientação do eixo . Nas figuras abaixo
consideramos os casos onde o ponto é correspondente a ângulos em cada
um dos quatro quadrantes:
Em todos os casos ,
e
Ou seja, geometricamente a
são semelhantes. Então:
é a medida do segmento
.
Da mesma forma, podemos situar geometricamente a cotangente na reta
tangente à circunferência de raio 1 no ponto , com a mesma orientação do
eixo .
8
Circunferência Trigonométrica, Redução ao
Notas de Aula 03 –
1º Quadrante e Relações Fundamentais
Semestre 2 - 2010
Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática –
Osasco -2010
Cícunferência Trigonométrica com Valores de Seno, Cosseno e Tangente
de alguns ângulos notáveis
9
Circunferência Trigonométrica, Redução ao
Notas de Aula 03 –
1º Quadrante e Relações Fundamentais
Semestre 2 - 2010
Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática –
Osasco -2010
Relações Trigonométricas Fundamentais
I)
Para todo
, vale a relação:
II)
Para
, desde que
III)
Para
, desde que
IV)
A relação secante
vale a relação:
vale a relação:
A secante de um ângulo de medida (denotada por
é definida,
na circunferência trigonométrica, como o segmento de reta que liga o
centro do círculo ao ponto de intersecção do eixo dos cossenos com
a reta tangente ao círculo no ponto P (definido pelo ângulo ). Na
figura abaixo a secante do ângulo é o comprimento do segmento
.
Os
e
são semelhantes pois ambos são retos e possuem
um dos ângulos agudos em comum. Então, pela semelhança vale a
relação:
De onde temos a relação
10
Circunferência Trigonométrica, Redução ao
Notas de Aula 03 –
1º Quadrante e Relações Fundamentais
Semestre 2 - 2010
Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática –
Osasco -2010
V)
A relação cossecante
A cossecante de um ângulo de medida (denotada por
é
definida, na circunferência trigonométrica, como o segmento de reta
que liga o centro do círculo ao ponto de intersecção do eixo dos
senos com a reta tangente ao círculo no ponto P (definido pelo
ângulo ). Na figura abaixo a cossecante do ângulo
é o
comprimento do segmento
.
Os
e
são semelhantes pois ambos são retos e possuem
um dos ângulos agudos em comum. Então, pela semelhança vale a
relação:
De onde temos a relação
Relações Trigonométricas decorrentes das fundamentais
Temos, se
Então
11
Circunferência Trigonométrica, Redução ao
Notas de Aula 03 –
1º Quadrante e Relações Fundamentais
Semestre 2 - 2010
Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática –
Osasco -2010
Temos,
Então
Temos,
Então
Temos,
Então
Temos
Então
12
Circunferência Trigonométrica, Redução ao
Notas de Aula 03 –
1º Quadrante e Relações Fundamentais
Semestre 2 - 2010
Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática –
Osasco -2010
Identidades trigonométricas
Toda igualdade entre expressões que envolvem relações
trigonométricas que se verifica para todos os valores do “domínio das funções
trigonométricas envolvidas” é chamada de Identidade trigonométrica.
Igualdades que se verificam apenas para alguns valores particulares não são
identidades. Neste caso dizemos que se trata de uma equação trigonométrica.
Exemplos:
A igualdade
é uma identidade trigonométrica.
Note que, tanto para a
quanto para a
, os valores de x para os quais
o cosseno se anula fica “fora do domínio das referidas funções”. Portanto a
expressão
só tem sentido em se estudar para valores de x
tais que
. Para estes valores temos
Se tomarmos porém a igualdade
, não teremos uma
identidade pois ela não é válida para todos os valores de x. Basta tomar, por
exemplo
para verificar que não se verifica a igualdade. Neste caso
dizemos que a igualdade representa uma equação trigonométrica.
Temos algumas estratégias das quais podemos lançar mão para demosntrar
uma identidade:
I)
Partir de um dos membros da igualdade (normalmente o mais
complexo) e, usando as relações fundamentais e seus
desdobramentos, transformá-lo no outro membro.
Exemplo:
Mostrar
.
que
,
Temos:
13
Circunferência Trigonométrica, Redução ao
Notas de Aula 03 –
1º Quadrante e Relações Fundamentais
Semestre 2 - 2010
Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática –
Osasco -2010
II)
Transformar o 1º membro em uma outra expressão, e transformar
separadamente o 2º membro até chegar na mesma expressão que
se conseguiu a partir do 1º membro.
Exemplo: Mostrar que
.
Temos:
Por outro lado
III)
Fazemos a subtração entre os dois membros e mostramos que o
resultado é igual a zero, baseados no fato de que se
, então
necessariamente
.
Exemplo: Mostrar que
.
14
Circunferência Trigonométrica, Redução ao
Notas de Aula 03 –
1º Quadrante e Relações Fundamentais
Semestre 2 - 2010
Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática –
Osasco -2010
Temos:
15
Circunferência Trigonométrica, Redução ao
Notas de Aula 03 –
1º Quadrante e Relações Fundamentais
Semestre 2 - 2010
Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática –
Osasco -2010
Exercícios
Circunferência Trigonométrica
1) Divide-se a circunferência trigonométrica em 12 partes, utilizando-se A
como um dos pontos divisores. Determinar os
cujas imagens
são os pontos divisores.
Resposta:
2) Divide-se a circunferência trigonométrica em 12 partes, utilizando-se A
como um dos pontos divisores. Determinar os
cujas imagens
são os pontos divisores.
16
Circunferência Trigonométrica, Redução ao
Notas de Aula 03 –
1º Quadrante e Relações Fundamentais
Semestre 2 - 2010
Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática –
Osasco -2010
3) Associar as medidas dos arcos dados abaixo com as respectivas
imagens desenhadas:
a.
I.
b.
II.
c.
III.
d.
IV.
e.
f.
V.
4) Indicar no ciclo trigonométrico a imagem dos seguintes números
reais: ,
,
,
,
,
,
e
.
5) Representar, no ciclo trigonométrico a imagem dos seguintes conjuntos
de números:
a.
b.
c.
d.
17
Circunferência Trigonométrica, Redução ao
Notas de Aula 03 –
1º Quadrante e Relações Fundamentais
Semestre 2 - 2010
Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática –
Osasco -2010
Redução ao 1º quadrante
6) Determine
a.
(Resposta
)
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
7) Determine
Resposta:
, tal que
e
8) Determine
Resposta:
, tal que
e
9) Simplifique as seguintes expressões:
a.
(Resposta:
)
b.
c.
d.
e.
10) Mostre que
18
Circunferência Trigonométrica, Redução ao
Notas de Aula 03 –
1º Quadrante e Relações Fundamentais
Semestre 2 - 2010
Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática –
Osasco -2010
Relações
11) Se
, com
Resposta:
12) Se
, determine
e
.
e
, com
Resposta:
, determine
e
.
e
13) Determine o valor de m para que se tenha simultaneamente
,e
.
Resposta: m=2.
14) Simplifique a expressão
, considerando
.
Resposta:
15) Se
, com
, determine
.
Resposta:
16) Simplifique as expressões:
a.
Resposta:
b.
Resposta:
17) Dado
, calcule o valor da expressão
.
Resposta:
18) Sendo
Resposta:
, calcule os possíveis valores para
.
19
Circunferência Trigonométrica, Redução ao
Notas de Aula 03 –
1º Quadrante e Relações Fundamentais
Semestre 2 - 2010
Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática –
Osasco -2010
19) Se
, escreva a expressão
em função de u. (Sugestão: fatore o numerador e o denominador da
expressão).
20) Dado
, calcule o valor da expressão
.
Resposta:
21) Calcular
, sabendo que
com
, sabendo que
com
.
Resposta:
22) Calcular
.
Resposta:
23) Sabendo que
, calcular o valor da expressão
.
Resposta:
.
Identidades
24) Demonstre que
25) Demonstre que
, para todo
.
, para todo
.
26) Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
20
Circunferência Trigonométrica, Redução ao
Notas de Aula 03 –
1º Quadrante e Relações Fundamentais
Semestre 2 - 2010
Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática –
Osasco -2010
h.
i.
j.
27) Mostre que
28) Mostre que
.
29) Mostre que se
, então
.
Referências
Dante, L. Roberto. Matemática: Contexto e aplicações. Volume 1. Ed. 3.
Impressão 1. Editora Ática. São Paulo.2003.
Iezzi, Gelson (e outros). Fundamentos de Matemática Elementar. Volume
3. Ed Atual. São Paulo. 1977.
21