Rodrigo Melo

CONJUNTOS
PROFESSOR RODRIGO MELO
TEORIA DOS CONJUNTOS
Um conjunto é apenas uma coleção de entidades, chamadas de
elementos.
EXEMPLO:
-
Conjuntos dos números pares positivos: p={ 2,4,6,8,10,12,....}.
-Conjuntos das vogais: { a , e , i, o , u}
-Conjuntos dos números primos positivos: { 2, 3, 5, 7, 11 , ......}
CLASSIFICAÇÃO DE CONJUNTOS
Conjunto vazio
O conjunto que não possui elementos e é representado por 0 ou {}.
Conjunto Unitário
O conjunto que possui apenas um elemento.
Exemplo:
- Conjunto dos números primos pares : { 2 }
Conjunto Universo
O conjunto ao qual pertence todos os envolvidos em um determinado
assunto , representado pelo símbolo U.
SUBCONJUNTO
Um conjunto A é um subconjunto de B se , e somente se, todo
elemento A pertencente também a B. A notação, A está contido
em B, indica que A é subconjunto de B.
Exemplo:
A={ 3,4 }
São subconjuntos de A: 0 , {3} , {4} , { 3,4}
OBSERVAÇÃO:
- Se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m
subconjuntos.
- O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto
RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
ENTRE ELEMENTO E CONJUNTO
- ∊= “pertence a”
- ∉= “não pertence a”
ENTRE CONJUNTO E CONJUNTO
-
⊂= “está contido”
⊄=“não está contido”
⊅=“contém”
⊃=“não contém”
Dado o conjunto Q = { a, b, c} , associe V e F em cada sentença.
iØ∊Q
ii b ∊ Q
iii c ∉ Q
iiii {a} ∊
iiiii {a,b} ⊂ Q
A)
B)
C)
D)
E)
FFFFF
FFVVF
FVFFV
FFFFV
VVVVF
OPERAÇÃO COM CONJUNTOS
- União (U)
É formado pelos os elementos a pelo menos um dos conjuntos A
e B. É representado pelo símbolo:
Exemplo:
A = { 0,1,2 }
B = { 2,3,4 }
O conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A e
conjunto B
- Interseção (⋂)
É formado pelos que pertencem aos dois conjuntos
simultaneamente. É representado pelo símbolo:
Exemplo:
A ={ 0,2,4,5 }
B ={ 4,6,7 }
A⋂B = {0,2,4,5} ⋂ { 4,6,7 } = {4}
- Diferença ( - )
É formado pelos elementos que
pertencem ao primeiro
conjunto, mas não pertencem
ao segundo. É representado
pelo símbolo: Exemplo:
A = { 0,5,9 }
B = { 0,9,3 }
A-B={ 0,5,9} – {0,9,3} = {5}
- Complementar
-É um caso particular da
diferença entre dois conjuntos.
Dados dois conjuntos A e B,
com a condição de que B ⊂ A, a
diferença A – B chama-se ,
nesse caso, complementar de B
em relação a A.
Representação: CBA = A - B
(CESPE) – Numa pesquisa de mercado, foram
entrevistados consumidores sobre suas preferências
em relação aos produtos A e B. Os resultados da
pesquisa indicaram que:
- 310 pessoas compram o produto A;
- 220 pessoas compram o produto B;
- 110 pessoas compram os produtos A e B;
- 510 pessoas não compram nenhum dos dois
produtos.
- É correto afirmar que o números de consumidores
entrevistados, dividido por 10 é superior a 93
X e Y são dois conjuntos não vazio. O conjunto X
possui 64 subconjuntos. O conjunto Y , por sua
vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, também,
que o conjunto Z= X ⋂ Y possui dois elementos.
Desse modo , conclui-se que o número de
elementos do conjuntos P = Y – X é igual a :
a) 4
b) 6
c)8
d) vazio
e) 1
Rodrigo Melo
FUNDAMENTOS
DA LÓGICA
Professor Rodrigo Melo
Rodrigo Melo
PRIMEIROS CONCEITOS
O primeiro conceito que iremos estudar será a
proposição.
• Toda proposição deve:
- ser uma oração, que tenha sujeito e
predicado;
- possuir apenas dois valores lógicos:
verdadeiro (V) ou falso (F).
- ser declarativa, ou seja, não pode ser
interrogativas, exclamativas e nem imperativa.
Rodrigo Melo
Exemplo:
1) Qual dos itens abaixo é uma proposição?
• a) “Caramba!” ; “Feliz aniversário!”
( R: não é proposição, é uma sentença exclamativa)
• b) “como é o seu nome?”;“o jogo foi de quanto?”
( R: não é proposição, é uma sentença interrogativa)
• c) “Estude mais.” ; “Leia aquele livro”.
( R: não é proposição, é uma sentença imperativa)
• d) “Feliz ano novo!”
( R: não é proposição, é uma sentença exclamativa)
• e) A Terra é maior que a Lua.
( R: é proposição, pois é uma oração, tem sujeito e predicado)
Rodrigo Melo
Representação
• As proposições, geralmente são representadas por
letras minúsculas (p, q, r, s etc).
São outros exemplos de proposições:
Pedro é médico. = p
5 < 8 (Cinco é menor que oito.)
=q
=r
Luíza foi ao cinema ontem à noite
Rodrigo Melo
LEIS FUNDAMENTAIS DO PENSAMENTO
LÓGICO
• PRINCÍPIO DA IDENTIDADE
Se uma proposição for verdadeira ela será verdadeira; uma
proposição falsa é falsa.
• PRINCÍPIO DA NÃO-CONTRADIÇÃO
Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao
mesmo tempo.
• PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO
Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há
outra possibilidade
Rodrigo Melo
NEGAÇÃO ( ~ )
Dada uma proposição
qualquer “p”, a negação dessa
proposição é “não-p”.
Representa-se essa negação
como: “~”
Se atribuirmos que essa
proposição seja verdadeira a
negação será falsa. Agora, se
atribuirmos que p for falsa a sua
negação será verdadeira. Com
isso pode-se concluir que
a negação de qualquer
proposição atribui o valor lógico
oposto.
p
V
F
~p
F
V
Equivalências de
Negação
Não é verdade que A.
É falso que A.
Rodrigo Melo
PROPOSIÇÕES
Existem dois tipos de proposições: simples e composta.
• SIMPLES
Serão proposições simples ou proposição atômica aquelas que
vêm sozinhas, desacompanhadas de outras orações.
Exemplos:
Todo homem é mortal. (Só existe uma oração)
• COMPOSTA
Se duas (ou mais) proposições vêm conectadas entre si, formando
uma só sentença, estaremos diante de uma proposição
composta ou proposição molecular.
Rodrigo Melo
Exemplos de proposição composta:
•
João é médico e Pedro é dentista.
( 1ª oração: João é médico e 2ª Pedro é dentista)
•
•
•
Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo.
Ou Luís é baiano, ou é paulista.
Se chover amanhã de manhã, então não irei à
praia.
Rodrigo Melo
CONECTIVOS LÓGICOS
Para dizer que uma proposição composta é verdadeira ou falsa, isso
dependerá de duas coisas:
1º) do valor lógico das proposições componentes;
2º) do tipo de conectivo que as une.
Tipos de conectivos lógicos que estudaremos:
Rodrigo Melo
PROPOSIÇÃO COMPOSTA
Conjunção
Disjunção
pvq
Disjunção
exclusiva
Condicional
Bicondicional
p
q
p^q
V
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
F
F
F
F
V
V
Rodrigo Melo
EXERCÍCIOS
1) Considere os seguintes enunciados:
16 é múltiplo de 2
V
15 é múltiplo de 7
F
8 é número primo
F
A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é:
a) se 15 é múltiplo de 7 ou 16 é múltiplo de 2 então 8 é número primo.
F
ou
V
V
então
então
F
F
F
b) se 16 é múltiplo de 2 ou 8 é número primo então 15 é múltiplo de 7.
c) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo.
d) se 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo então 16 é múltiplo de 2.
e) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é número primo.
Rodrigo Melo
EXERCÍCIOS
1) Considere os seguintes enunciados:
16 é múltiplo de 2
V
15 é múltiplo de 7
F
8 é número primo
F
A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é:
b) se 16 é múltiplo de 2 ou 8 é número primo então 15 é múltiplo de 7.
V
ou
V
F
então
então
F
F
F
c) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo.
d) se 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo então 16 é múltiplo de 2.
e) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é número primo.
Rodrigo Melo
EXERCÍCIOS
1) Considere os seguintes enunciados:
16 é múltiplo de 2
V
15 é múltiplo de 7
F
8 é número primo
F
A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é:
c) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo.
V
então
V
então
F
e
F
F
F
d) se 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo então 16 é múltiplo de 2.
e) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é número primo.
Rodrigo Melo
EXERCÍCIOS
1) Considere os seguintes enunciados:
16 é múltiplo de 2
V
15 é múltiplo de 7
F
8 é número primo
F
A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é:
d) se 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo então 16 é múltiplo de 2.
F
e
F
F
então
então
V
V
V
e) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é número primo.
Rodrigo Melo
EXERCÍCIOS
1) Considere os seguintes enunciados:
16 é múltiplo de 2
V
15 é múltiplo de 7
F
8 é número primo
F
A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é:
e) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é número primo.
V
então
V
então
F
ou
F
F
F
Rodrigo Melo
02. Uma sentença lógica equivalente a
“Se Pedro é economista, então Luisa é solteira.” é:
p
então
V
F
q
Temos que encontrar essa
sequência de valores lógicos
p
q
~p
~q
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
V
p
V
v
q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
a) Pedro é economista ou Luisa é solteira.
p
v
q
Resultado
F
Rodrigo Melo
• b) Pedro é economista ou Luisa não é solteira.
p
v
~q
p v ~q
p
q
~p
~q
V
V
F
V
F
F
F
Resultado
V
F
V
V
F
v
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
São equivalentes????
Não!!!!!!
Rodrigo Melo
• c) Se Luisa é solteira , Pedro é economista.
q
então
p
q
p
V
V
V
V
Resultado
p
q
~p
~q
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
São equivalentes????
Não!!!!!!
Rodrigo Melo
• d) Se Pedro não é economista, então Luisa não é solteira.
~p
então
~p
p
q
~p
~q
V
V
F
V
F
F
F
~q
~q
Resultado
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
V
V
F
V
V
São equivalentes????
Não!!!!!!
Rodrigo Melo
• e) Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista.
~q
então
~p
~q
~p
F
F
V
V
Resultado
p
q
~p
~q
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
F
V
F
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
V
F
F
V
V
São equivalentes????
SIM!!!!!!
Rodrigo Melo
Sentenças abertas com uma variável
TAUTOLOGIA
• Uma proposição composta formada por duas ou mais
proposições será dita uma Tautologia se ela for sempre
verdadeira, independentemente dos valores lógicos das
proposições que a compõem.
Exemplo:
.
Rodrigo Melo
• CONTRADIÇÃO
Uma proposição composta formada por duas ou mais
proposições será dita uma contradição se ela for sempre falsa,
independentemente dos valores lógicos das proposições que a
compõem.
Exemplo:
• CONTIGÊNCIA
Uma proposição composta será dita uma contingência sempre
que não for uma tautologia nem uma contradição.
Rodrigo Melo
1) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre
verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a
compõem. Um exemplo de tautologia é:
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é
gordo
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e
Guilherme é gordo
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo
Rodrigo Melo
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo
Rodrigo Melo
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é
gordo
Rodrigo Melo
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo
Rodrigo Melo
Negação
Rodrigo Melo
Negação de uma proposição composta
CONJUNTIVA: ~(p e q)
Para negarmos uma proposição no formato de conjunção
(p e q), faremos o seguinte:
1º) Negaremos a primeira (~p);
2º) Negaremos a segunda (~q);
3º) Trocaremos e por ou.
Rodrigo Melo
Negação de uma proposição composta
DISJUNTIVA: ~(p ou q)
Para negarmos uma proposição no formato de disjunção (p ou q),
faremos o seguinte:
1º) Negaremos a primeira (~p);
2º) Negaremos a segunda (~q);
3º) Trocaremos ou por e.
Rodrigo Melo
CONDICIONAL: ~(p → q)
1º) Mantém-se a primeira parte ou afirma; e
2º) Nega-se a segunda.
BICONDICIONAL: ~(p ↔ q)
Rodrigo Melo
1) A negação da afirmativa “Me caso ou compro
sorvete.” é
a) me caso e não compro sorvete.
b) não me caso ou não compro sorvete.
c) não me caso e não compro sorvete.
d) não me caso ou compro sorvete.
e) se me casar, não compro sorvete.
Rodrigo Melo
2) Negando a sentença “ Se a Nanci está feliz então está
alegre e bonita.”
a) Se a Nanci não está feliz então não está alegre e nem
bonita.
b) Se a Nanci está alegre e bonita então está feliz.
c) Se a Nanci não está feliz então está alegre e bonita.
d) Se a Nanci não está alegre e nem bonita então está feliz.
e) A Nanci está feliz e não alegre ou não bonita.
Rodrigo Melo
3) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e
Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer
que é verdade que:
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.
d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.
e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.
Rodrigo Melo
1. Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, o mordomo e o
jardineiro. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou
por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não.
Sabe-se, ainda, que:
•se o cozinheiro é inocente, então o mordomo é culpado;
•ou o jardineiro é culpado ou o mordomo é culpado, mas não os dois;
•o jardineiro não é inocente.
Logo:
a) o mordomo e o jardineiro são os culpados
b) o cozinheiro e o jardineiro são os culpados
c) somente o mordomo é culpado
d) somente o cozinheiro é inocente
e) somente o jardineiro é culpado
Rodrigo Melo
2. Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica. Por outro
lado, se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Daí seguese que, se Artur gosta de Lógica, então:
a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil.
b) Lógica é fácil e Geografia é difícil.
c) Lógica é fácil e Geografia é fácil.
d) Lógica é difícil e Geografia é difícil.
e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil.
Rodrigo Melo
3. Se A é alegre então B é boa, se B é boa então C é calma. Sabe-se
que C não é calma, nestas condições pode-se concluir que:
a) A não é boa.
b) B não é alegre.
c) A não é calma.
d) C não é alegre.
e) A não é alegre.
Rodrigo Melo
4. Considere as seguintes proposições:
p: Eduardo é estudante.
q: Carina é bailarina.
A proposição composta ~(~p  q) em linguagem corrente é
a) “Não é verdade que Carina não é bailarina e Eduardo não é
estudante”.
b) “Carina não é bailarina ou Eduardo é estudante”.
c) “Carina não é estudante ou Eduardo é bailarino”.
d) “Não é verdade que Carina é bailarina ou Eduardo é estudante”.
e) “Carina não é bailarina e Eduardo não é estudante”.
Rodrigo Melo
5. Considere a sentença “Se os juros baixarem, haverá crescimento
econômico”.
A CONTRAPOSITIVA dessa sentença é
a) Se os juros não baixarem, não haverá crescimento econômico.
b) Se não houver crescimento econômico, os juros não baixam.
c) Se os juros não baixarem, haverá crescimento econômico.
d) Se houver crescimento econômico, os juros baixam.
e) Se os juros não baixarem, haverá recessão.
Rodrigo Melo
6. A NEGAÇÃO da sentença: “Hortelino saiu sem avisar e foi ao cinema”
é
a) “Hortelino saiu sem avisar e não foi ao cinema”.
b) “Hortelino não saiu sem avisar e não foi ao cinema”.
c) “Hortelino não saiu sem avisar ou não foi ao cinema”.
d) “Hortelino não saiu sem avisar e foi ao cinema”.
e) “Hortelino saiu sem avisar ou não foi ao cinema”.
Rodrigo Melo
7. Sejam as declarações:
Se ele me ama então ele casa comigo.
Se ele casa comigo então não vou trabalhar.
Ora, se vou ter que trabalhar podemos concluir que:
a) Ele é pobre mas me ama.
b) Ele é rico mas é pão duro.
c) Ele não me ama e eu gosto de trabalhar.
d) Ele não casa comigo e não vou trabalhar.
e) Ele não me ama e não casa comigo.
Rodrigo Melo
8. Sejam as declarações:
Se o governo é bom então não há desemprego.
Se não há desemprego então não há inflação.
Ora, se há inflação podemos concluir que:
a) A inflação não afeta o desemprego.
b) Pode haver inflação independente do governo.
c) O governo é bom e há desemprego.
d) O governo é bom e não há desemprego.
e) O governo não é bom e há desemprego.
Rodrigo Melo
9. Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em
um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade;
e Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz:
“Tânia é quem está sentada no meio”. A que está sentada no meio diz:
“Eu sou Janete”. Finalmente, a que está sentada à direita diz: “Angélica é
quem está sentada no meio”. A que está sentada à esquerda, a que está
sentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente:
a) Janete, Tânia e Angélica
b) Janete, Angélica e Tânia
c) Angélica, Janete e Tânia
d) Angélica, Tânia e Janete
e) Tânia, Angélica e Janete
10. Se Bia briga com Lara, então Lara vai ao teatro. Se Lara vai ao teatro,
então Sandra fica em casa. Se Sandra fica em casa, então Bruno briga
com Sandra. Ora, Bruno não briga com Sandra. Logo...
a) Sandra não fica em casa e Bia não briga com Lara.
b) Sandra fica em casa e Lara vai ao teatro.
c) Sandra não fica em casa e Lara vai ao teatro.
d) Lara vai ao teatro e Bia briga com Lara.
e) Lara não vai ao teatro e Bia briga com Lara.
11. Rafael quer ir ao teatro assistir a peça “Noviça Rebelde”, mas não
tem certeza se a mesma está sendo exibida. Seus amigos, Luana, Luis e
Ivan têm opiniões discordantes sobre se a peça está ou não em cartaz.
Se Julia estiver certa, então Ivan está enganado. Se Ivan estiver
enganado, então Luis está enganado. Se Luis estiver enganado, então a
peça não está sendo exibida. Ora, ou a peça “Noviça Rebelde” está
sendo exibida, ou Rafael não ira ao teatro. Verificou-se que Julia está
certa. Logo,
a) A peça “Noviça Rebelde” está sendo exibida.
b) Luis e Ivan não estão enganados.
c) Ivan está enganado, mas Luis não.
d) Luis está enganado, mas Ivan não.
e) Rafael não irá ao teatro.
12. Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu,
Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta
sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo,
a) Nestor e Júlia disseram a verdade
b) Nestor e Lauro mentiram
c) Raul e Lauro mentiram
d) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade
e) Raul e Júlia mentiram.
(CESPE) Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que
pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não, como
ambas. Assim, frases como “Como está o tempo hoje?” e “Esta frase
é falsa” não são proposições porque a primeira é pergunta e a
segunda não pode ser nem V nem F. As proposições são
representadas simbolicamente por letras maiúsculas do alfabeto —
A, B, C etc. Uma proposição da forma “A ou B” é F se A e B forem F,
caso contrário é V; e uma proposição da forma “Se A então B” é F se
A for V e B for F, caso contrário é V. Um raciocínio lógico considerado
correto é formado por uma seqüência de proposições tais que a
última proposição é verdadeira sempre que as proposições
anteriores na seqüência forem verdadeiras.
Considerando as informações contidas no texto acima, julgue os
itens subseqüentes.
13) ( ) É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições
seguintes:
Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no
concurso.
Maria é alta.
Portanto José será aprovado no concurso.
14) ( ) É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições
seguintes:
Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um emprego.
Ela conseguiu um emprego.
Portanto, Célia tem um bom currículo.
Rodrigo Melo
Aula 4
Rodrigo Melo
Proposições categóricas
São quatro proposições categóricas possíveis. As
proposições categóricas serão classificadas em:
- Universais
- Particulares
Rodrigo Melo
As proposições universais são aquelas em que o
predicado refere-se à totalidade do conjunto.
Exemplo:
“Todos os homens são inteligentes.”
Na proposição acima observamos que é universal onde
englobam todos os homens sem exceção, e que pode
ser representado como:
“Todo S é P”
Rodrigo Melo
As proposições particulares são aquelas em que o
predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto.
Exemplo:
“Alguns homens são inteligentes.”
Já nesta outra proposição acima, não são incluídos todos os
homens, só uma parte deles, que pode ser representado
como:
“Alguns S é P.”
Esses tipos de proposições também podem ser classificados
em:
- afirmativas (exemplo anterior)
- negativas
No caso da negativa podemos ter:
“Nenhum homem é inteligente”
Na proposição acima ela é universal negativa e simbolizamos
por:
“Nenhum S é P.”
- Outro exemplo:
“Alguns homens não são inteligentes.”
Ela é particular e negativa que poder ser representada por:
“Algum S não é P.”
Rodrigo Melo
• Com isso podemos resumir essas
Afirmativa
Negativa
Universal (A) Todo S é P
(E) Nenhum S é P.
(I) Algum S é P
(O) Alguns S não é
P.
Particular
Rodrigo Melo
Diagrama
(A) Todo S é P.
(E) Nenhum S é P.
(I) Algum S é P.
(O)Algum S não é P.
Rodrigo Melo
Lógica da Argumentação
Argumento
É um conjunto de proposições com uma estrutura
lógica que podem ter como conseqüência outra
proposição. Ou seja, conjunto de proposições p1, p2, p3, ...,
pn que tem como conseqüência outra proposição r.
As proposições p1, p2, p3, ..., pn serão chamados de
premissas do argumento, e a proposição r de conclusão do
argumento.
Rodrigo Melo
Exemplo:
p1: Se eu passar no concurso então irei trabalhar.
p2: Passei no concurso.
r: Irei trabalhar
Rodrigo Melo
Validade ou Invalidade
Validade de um argumento
Para um argumento ser válido a verdade das premissas
deve garantir a verdade da conclusão do argumento.
Significa dizer que jamais deverá ter uma conclusão falsa,
independente da validade de suas premissas.
Exemplo:
Todos os peixes tem asas. (F)
Todos os pássaros são peixes. (F)
Todos os pássaros tem asas. (V)
Rodrigo Melo
Invalidade de um argumento
Para um argumento inválido, quando há possibilidade de
suas premissas serem verdadeiras e sua conclusão falsa, ou
seja, a verdade de suas premissas não é suficiente para
garantir a verdade da conclusão.
Exemplos:
Todos os cachorros são animais. (V)
Todos os gatos animais. (V)
Todos os cachorros são gatos. (F)
Rodrigo Melo
Todos os alunos do curso passaram.
Daniel não é aluno do curso.
Portanto, Daniel não passou.
Rodrigo Melo
ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOS
Os argumentos também podem ser classificados em:
- dedutivos
- indutivo
O argumento dedutivo será quando suas premissas
fornecerem prova conclusiva da veracidade da conclusão.
Já o argumento indutivo quando possui informações que
ultrapassam as fornecidas nas premissas.
Rodrigo Melo
ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOS
Exemplos:
Argumento dedutivo
Todo ser humano tem pai.
Todos os homens são humanos
Todos os homens têm pai.
Argumento indutivo
O Botafogo é um ótimo time de futebol.
O Vasco é um ótimo time de futebol.
O Fluminense é um ótimo time de futebol.
Todos os times brasileiros são ótimos times de futebol.
Rodrigo Melo
ARGUMENTO DEDUTIVO VÁLIDOS
Lembrando que argumentos válidos ou inválidos aplicase apenas aos argumentos dedutivos, e que a
validade depende apenas da forma do argumento e
não dos valores das premissas.
Afirmação do antecedente ou Modus ponens
Se eu passar no concurso então irei trabalhar.
Passei no concurso.
Irei trabalhar
Rodrigo Melo
ARGUMENTO DEDUTIVO VÁLIDOS
Negação do conseqüente ou Modus tollens
Uma equivalência específica vista anteriormente de
uma condicional é chamada de contra positiva.
p→q = ~q→ ~p
Exemplo:
Se ela me ama, então casa comigo.
Não casa comigo.
Então ela não me ama.
Dilema
Este argumento ocorre quando alguém é forçado a escolher entre duas
alternativas indesejáveis.
Exemplo:
Maria inscreveu-se no concurso do TRT, porém não gostaria de sair do Rio
de Janeiro, e seus colegas de trabalho estão torcendo por ela.
Eis o dilema de Maria:
- Se Maria passar no concurso vai ter que ir embora do Rio de Janeiro.
- Se Maria não passar no concurso ficará com vergonha diante dos colega
de trabalho.
Portanto: Ou Maria vai embora do Rio de Janeiro ou Maria ficará com
vergonha diante dos colegas de trabalho
Podemos reescrever esses argumentos como:
ARGUMENTO DEDUTIVO INVÁLIDO
É a combinação da verdade com falsidade das premissas de
qualquer maneira com a verdade ou falsidade da
conclusão. Lembrando que as premissas não sustentam a
conclusão.
Exemplo:
Todos os mamíferos são mortais.(V)
Todos os cachorros são mortais.(V)
Todos os cachorros são mamíferos.(V)
Este argumento tem a seguinte forma:
Todos os A são B.
Todos o C são B.
Todos os C são A.
ARGUMENTO DEDUTIVO INVÁLIDO
Podemos observar que é um argumento inválido, pois
suas premissas não sustentam a conclusão. Então
todos os argumentos inválidos chamaremos de
falácias. Para compreender melhor basta substituir:
A por humanos, B por mortais e C por cachorros.
Logo teremos:
Todos os humanos são mortais.(V)
Todos o cachorros são mortais.(V)
Todos os cachorros são humanos.(F)
SILOGISMO
É o argumento formado por duas premissas e uma
conclusão. No silogismo teremos três termos:
- Termo menor: sujeito da conclusão
- Termo médio: é o termo que aparece uma vez em cada
premissa e não aparece na conclusão.
- Termo maior: predicado da conclusão
Adotaremos a premissa maior a que contém o termo maior
e a premissa menor a que contém o termo menor
SILOGISMO
Exemplo:
• Todas as mulheres são bonitas.
• Todas as princesas são mulheres.
• Todas as princesas são bonitas
- Termo menor: as princesas
- Termo médio: mulheres
- Termo maior: bonitas
- Premissa menor: todas as princesas são mulheres
- Premissa maior: todas as mulheres são bonitas
Regras para a validade de um Silogismo
1) Todo silogismo deve conter apenas três termos;
2) O termo médio deve ser universal pelo menos uma vez;
3) O termo médio não pode constar na conclusão;
4) Nenhum silogismo que tenha suas premissas negativas é
válido;
5) De duas premissas particulares não poderá ter uma
conclusão;
6) Se há uma premissa particular a conclusão será
particular;
7) Se há uma premissa particular negativa a conclusão será
particular .negativa
EXERCÍCIOS
1.Verifique a validade das seguintes argumentações. Se ela for
válida indique por “v”, se for não válida indique por “nv”.
a) Toda pessoa persistente acaba vencendo. Ora, você
certamente vencerá. Logo, você é persistente. nv
b) Todo alemão é inteligente. Ora, Fritz é alemão. Logo, ele é
inteligente.v
c) Todo macaco é animal. Ora, homem é animal. Logo,
homem é macaco.nv
d) Você é um patinho. Ora, a mãe do patinho é uma pata.
Logo, a sua mãe é uma pata.v
2.(CESPE) Considerando que uma argumentação é correta
quando, partindo-se de proposições presumidamente
verdadeiras, se chega a conclusões também verdadeiras,
julgue o próximo item. Suponha-se que as seguintes
proposições sejam verdadeiras.
I Todo brasileiro é artista.
II Joaquim é um artista.
Nessa situação, se a conclusão for “Joaquim é brasileiro”,
então a argumentação é correta.( E )
3.Se é verdade que “Alguns A são R” e que “Nenhum G é R”,
então é necessariamente verdadeiro que:
*a) algum A não é G
b) algum A é G.
c) nenhum A é G
d) algum G é A
e) nenhum G é A
4.Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se,
também, que todo B é C. Segue-se, portanto,
necessariamente que
a) todo C é B
b) todo C é A
*c) algum A é C
d) nada que não seja C é A
e) algum A não é C
5.Todos os médicos são obesos. Nenhum obeso sabe nadar. Segue-se
que:
a) Algum médico não é obeso
b) Algum médico sabe nadar
c) Nenhum médico sabe nadar
d) Nenhum médico é obeso
e) Algum obeso sabe nadar
6.(CESPE) – Das premissas:
A: “Nenhum herói é covarde.”
B: Alguns soldados são covardes.”
Pode-se corretamente concluir que:
a) alguns heróis são soldados.
b) alguns soldados são heróis.
c) nenhum herói é soldado.
*d) alguns soldados não são heróis.
e) nenhum soldado é herói.
7.Em uma pequena comunidade, sabe-se que: "nenhum
filósofo é rico" e que "alguns professores são ricos". Assim,
pode-se afirmar, corretamente, que nesta comunidade
a) alguns filósofos são professores
b) alguns professores são filósofos
c) nenhum filósofo é professor
*d) alguns professores não são filósofos
e) nenhum professor filósofo
8.(CESPE) A forma de uma argumentação lógica consiste de
uma seqüência finita de premissas seguida por uma
conclusão. Há formas de argumentação lógica consideradas
válidas e há formas consideradas inválidas. No quadro abaixo,
são apresentadas duas formas de argumentação lógica, uma
de cada tipo citada, em que “~” é o símbolo de negação.
A respeito dessa classificação, julgue os itens seguintes.
a) A seguinte argumentação é inválida.
Premissa 1:Todo funcionário que sabe lidar com orçamento
conhece contabilidade.
Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabilidade.
Conclusão: João não sabe lidar com orçamento.E
b) A seguinte argumentação é válida.
Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos.
Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos.
Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta.E
9.Se é verdade que “Alguns B são R” e que “Nenhum Z é R”, então é
necessariamente verdadeiro que:
a) algum B não é Z
b) algum B é Z
c) nenhum B é Z
d) algum Z é B
e) nenhum Z é B
10. Se for verdade que “Nenhum hexágono é icoságono” e que
“Nenhum eneágono é icoságono”, então é necessariamente verdadeiro
que:
a) algum hexágono não é eneágono
b) algum hexágono é eneágono
c) nenhum hexágono é eneágono
d) algum eneágono é hexágono
e) não se pode tirar conclusão
Rodrigo Melo
Aula 5
Fatorial e o Principio
Fundamental da Contagem
Professor Rodrigo Melo
Fatorial
Sendo n um número natural maior que um (1), podemos definir como fatorial
de n (n!) o número:
Lembrando que n  N (n pertence aos números naturais) e
n  1 ( n maior que 1 ).
O símbolo n! (lê-se: fatorial de n ou n fatorial.)
Exemplos:
7! =
6! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040
3! =
6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1= 720
Observação:
3.2.1=6
Por definição, para 0!=1 e 1! = 1
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Por este meio pode-se determinar quantas vezes, de modo
diferente, um acontecimento pode ocorrer. Ou seja, é um princípio
combinatório que indica de quantas formas se pode escolher um
elemento de cada um de n conjuntos finitos. Se o primeiro conjunto
tem k1 elementos, o segundo tem k2 elementos, e assim
sucessivamente, então o número total T de escolhas é dado por:
T = k1 . k2 . k3 . ... kn
Princípio da Multiplicação
Se uma decisão d1 pode ser tomada de x maneiras e uma decisão
d2 puder ser tomada de y maneiras então as decisões d1 e d2 podem
ser tomadas de (x.y) maneiras.
Exemplos:
1) Uma homem possui quatro camisas e três calças. De quantos modos
diferentes ele poderá se vestir?
Solução
Escolha de uma calça: 3 possibilidades
Escolha de uma camisa: 4 possibilidades
Total: 3 x 4 = 12 combinações
A escolha de uma calça poderá ser feita de três maneiras diferentes, onde cada calça
poderá ser combinada com as quatro camisas.
Exemplo 2:
Para fazer uma viagem Rio - São Paulo - Rio, posso usar como meio de
transporte o trem, o ônibus ou o avião. De quantos modos posso
escolher os transportes se não desejo usar na volta o meio de
transporte usado na ida?
Solução
Há três modos de escolher o transporte de ida. Depois disso, há
duas alternativas para a volta. A resposta é 3 x 2= 6 modos.
Princípio da Adição
Se A e B são eventos disjuntos com n1 e n2 possibilidades,
respectivamente, então o número de possibilidades para o evento A
B é n1 + n2.
Exemplo:
1) Quantos números de quatro dígitos começam com 4 ou 5?
Solução
Podemos considerar dois casos disjuntos:
- números que começam por 4 =1x10x10x10 possibilidades
- números que começam por 5 = 1x10x10x10 possibilidades e
Então temos um total de 2x10x10x10 possibilidades, pois (1x10x10x10) + (1x10x10x10
2x10x10x10.
PERMUTAÇÃO
São agrupamentos com n elementos, de forma que os n
elementos sejam distintos entre si pela ordem. As permutações
podem ser simples, com repetição ou circulares.
Permutação Simples
Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos
formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros
pela ordem de seus elementos.
Pn = n!
PERMUTAÇÃO
Exemplo:
Quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar com os
algarismos 1,2,3,4,5?
Solução
P5=5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
Logo, podemos formar 120 números
Permutação com Repetição
Se entre os n elementos de um conjunto existem a elementos
repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim
sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar
dado por:
Exemplo:
Quantos são os anagramas da palavra:
a) ELEGER
b) CANDIDATA
Permutação Circular
Chamamos de Permutação Circular a disposição dos elementos de
um conjunto ao redor de um circulo. Para determinarmos o número de
disposições possíveis basta utilizar a expressão abaixo:
Pc = (n-1)!
Exemplo:
1) De quantas formas podemos colocar quatro pessoas em uma mesa
circular?
Solução
Pc = (4-1)! = 3! = 3 . 2 . 1 = 6 arrumações possíveis
Arranjo Simples
- não há repetição de elementos;
- a ordem dos elementos é considerada um novo agrupamento;
- Lê-se: arranjo de n elementos tomados p a p.
An , p
n!

(n  p)!
OBS: Todos os problemas de Arranjo Simples também poderão ser resolvi
pelo Princípio Multiplicativo.
Exemplo:
Seja o conjunto A ={1,2,3}. Quantos números com 2 algarismos distintos
podemos formar com os elementos de A?
Combinação Simples
-
não há repetição de elementos;
a ordem dos elementos não é considerada um novo agrupamento;
Lê-se: combinação de n elementos tomados p a p.
Cn, p 
n!
( n  p)! p!
Exemplo:
Quantas duplas distintas podemos formar com 3 pessoas A, B , C?
Arranjo com Repetição
- há repetição de elementos;
- a ordem dos elementos é considerada um novo agrupamento;
Exemplo:
Seja o conjunto A ={1,2,3}. Quantos números com 2 algarismos
distintos podemos formar com os elementos de A admitindo
repetições?
Combinação com Repetição
-
há repetição de elementos;
a ordem dos elementos não é considerada um novo agrupamento;
Combinação com Repetição
Exemplo:
1) Um menino está em um parque de diversões e resolve comprar dois
bilhetes. No parque há 4 tipos de brinquedos:
C -- chapéu mexicano
F -- trem fantasma
M – montanha russa
R – roda gigante
O menino pode comprar dois bilhetes do mesmo tipo, se ele quiser ir duas
vezes no mesmo brinquedo. Nessas condições, qual é o número total de
possibilidades de compra dos bilhetes?
O que é probabilidade?
É a chance de um experimento
aleatório tem de acontecer
Num experimento aleatório, sendo n(U)
O número de elementos do espaço amostral U
e n(A) o número de eventos do elemento A, a
probabilidade de que ocorra o evento A, é
dada por:
n(A)
P (A) =
n(U)
Espaço Amostral (U)
Espaço Amostral é o conjunto de todos os
resultados possíveis de ocorrer em um experimento
aleatório.
Exemplo:
- Lançamento de um dado: E = { 1,2,3,4,5,6} = 6
resultados
- Lançamento de uma moeda: E = { cara , coroa} = 2
resultados
Evento (A)
- É o conjunto de todos os resultados que
interessam.
Exemplo:
No lançamento de um dado , o evento obter o
número maior ou igual a 4:
A= { 4,5,6} = 3 resultados que interessam do
subconjunto de U ={ 1,2,3,4,5,6}.
Propriedades
- Se A = Ø, n(A) = 0 logo, P(A) = 0.
- Se A = U, n (A) = n (U) logo, P (A) = 1.
Observação:
A probabilidade d qualquer evento varia sempre
entre 0 e 1 .
0 ≤ P(A) ≤ 1
Probabilidade Complementar
A probabilidade de ocorre um evento mais a
probabilidade de ele não ocorrer é sempre
igual a 1 , ou seja:
“ A probabilidade de não ocorrer um evento é
igual a 1 menos a probabilidade dele ocorrer.”
P (A) + P (Ã) = 1
Adição de Probabilidade
Como já se observou anteriormente, a
probabilidade da união dos eventos é
semelhante a adição das probabilidade. Outro
exemplo de adição das probabilidades é
quando não há evento em comum entre os
conjuntos. Logo não é preciso retirar sua
intercessão .
P(A U B) – P(A) + P(B)
Multiplicação da Probabilidade
Se A é evento de probabilidade p e, em seguida
ocorrer o evento B de probabilidade q, então a
probabilidade é p.q:
P (A∩ B) = P(A) . P(B) = p.q
Exemplo 1: A probabilidade de sair o número 5 em
dois lançamentos sucessivos de um dado, sendo A o
evento obter o 5 no primeiro lançamento e B obter 5
no segundo lançamento.
- Exemplo 2: Uma urna possui 3 bolas brancas e
2 pretas; Retirando-se 2 bolas desta urna,
determine a probabilidade das duas serem
brancas, se as bolas tiverem sido retiradas:
a)Com reposição
b)Sem reposição
- Exemplo 3: Uma urna possui 5 bolas brancas e
4 pretas. Retirando-se 3 bolas desta urna sem
reposição, determine a probabilidade de pleo
menos uma ser branca.
Observação:
*Em probabilidade a ordem importa
*É mais fácil calcular o que não queremos para depois calcularmos o que
queremos.
*A expressão “pelo menos um” significa que a única coisa que não interessa é
“nenhum”.
Probabilidade Condicional
O cálculo de probabilidades condicionais está
relacionado ao cálculo da probabilidade de
um evento ocorrer sabendo-se que um outro
evento já ocorreu. A probabilidade de ocorrer
o evento A sabendo que o evento B com
certeza ocorreu é.
P( A  B)
P(A/B) =
P( B)
Considerando-se apenas o primeiro
lançamento, qual a probabilidade de João
marcar 3 pontos (sair a face 3 do dado),
sabendo-se que ele obteve pelo menos um
dos dois dados uma face 4?
Progressão Aritmética
É toda a sequência de números na qual a diferença a
cada termo ( a partir do segundo ) e o termo anterior é
constante, essa diferença constante é chamada de
razão da progressão.
Exemplo:
(3,6,9,12) é uma PA finita de razão r=3
(2,2,2,2,2,2,2,2,......) é uma PA infinita de razão r=0
(10,8,6,4,......) é uma PA infinita de razão r= -2
Classificação
Tipos
-Uma PA pode ser :
a. crescente: (r>0) – ( 2,4,6,8,10...)- r=2
b. decrescente: (r<0) – (7,5,3,1,-1,-3,...)-r=-2
c. constante: (r=0) – ( 9,9,9,9......)
Representação Matemática
(a1,a2,a3,a4,a5,...an-1,an,an+1....)
r= a2 – a3
r= a3 – a2
r= an- an-1
r= an+1 - an
TERMO GERAL DE UMA P.A.
(a1,a2,a3,....an-1,na)
a2=a1+r
a3=a2+r=a1+2r
an = a1 + ( n-1)r
Observação:
an=termo geral
n =n-ésimo termo
a1 =primeiro termo
r= razão
PROPRIEDADES DE UMA P.A.
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A.
1) Determine o 1º termo de uma P.A., onde se
conhecem :
a6= 17 e r=-4
2) Calcule a soma dos elementos da P.A. (-8,-1
,6,.....,41).
Um estacionamento cobra R$ 1,50 pela primeira hora.
A partir da segunda, cujo valor é R$ 1,00 até a décima
segunda, cujo valor é R$ 0,40 , os preços caem em
progressão aritmética. Se um automóvel ficar
estacionado 5 horas nesse local, quanto gastará seu
proprietário?
a) R$ 4,58
b) R$ 5,41
c) R$ 5,14
d) R$ 4,85
e) R$ 5,34
Progressão Geométrica
Progressão Geométrica
Uma progressão geométrica(P.g. ou P.G.) é uma sequência numérica em que
cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por
uma constante. Esta constante é chamada de razão da progressão
geométrica. A letra q foi escolhida por ser inicial da palavra quociente.
Exemplo:
(1, 2 ,4 ,8 ,16 ,32 ,64 ,128 ,256 , 512, 1024, 2048,....) onde q=2
1 1
2 4
( 1, ,
1
8
, ,
1
1
1
1
1
, ,
, , ,
16 32 64 128 256
..... ) onde q=
( -3,9,-7,81,243,729, - 2187,......) onde q=-3
( 7,7,7,7,7,7,7,........) onde q= 1
( 3,0,0,0,0, 0, 0 , ....) onde q= 0
1
2
Fórmula do termo geral
Costuma-se denotar por 𝑎𝑛 n-ésimo termo de uma progressão geométrica.
Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial 𝑎1 . É fácil
demonstrar:
𝑎𝑛 = 𝑎1 , n=1
𝑎𝑛= 𝑎1 . 𝑞 𝑛−1
𝑎𝑛 + 1 = q. 𝑎𝑛 , n= 2,3,4....
Soma dos termos de uma P.G. finita
A soma dos termos de uma P.G. , a partir do primeiro , é definida
Sn-a1 + a1 q + ...+ a1 qn-1
q Sn-a1 q + a1
q2
+ ...+ a1
q Sn – Sn = a1 qn - a1
( q – 1) Sn= a1 ( qn - 1 )
qn
Sn =
= a1 ( q n − 1 )
𝑞−1
Propriedades de uma P.G.
1) Em toda P.G. , qualquer termo em módulo excetuando-se os
extremos, é média geométrica entre os seus antecedentes e
o seu consequente.
Ex.: ( 3,6,12,24......)=== é 6 =
2) Em outra P.G. limitada o produto de dois termos
equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos.
Ex.: ( 1,2,4,8,16,32) === é 2.16 = 1.32
3) Em uma P.G. de número impar de termos, o termo central em
módulo é média geométrica entre os extremos
Ex.: ( 1,2,4,8,16) = = = é 4 = √1.16.
1) Uma PG de razão 3, o 7º termo é 1458.
Calcule a1 .
2) Calcule a soma dos 10 primeiros termos da
PG ( 2, 4, 8,16,....).
3) Na PG de termos positivos ( a,b,c) , termos:
a+b+c= 91
a*c = 441
Assim, (a+c) é superior a 70.
Soma dos infinitos termos de uma P.G.
A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada geométrica e está bem definida
quando | q |< 1 . Sua soma é :
S∞=
∞
𝑛−0
𝑎1 q
n
𝑎1
=
1 −𝑞
Classificação das progressões geométricas
•
•
•
•
•
P.G. ( 1,1,1,1,1,1,1,1,1,...)
P.G. ( 1, 2,4, 8, 16,32,64,128,256,...)
P.G. ( -1,-2,-4,-8,-16,-32,-64,-128,-256,...)
P.G. ( 3,-6,12,-24,48, -96, 192,-384,768....)
P.G. (8,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,....)
razão q = 1 constante
razão q = 2 crescente
razão q = 2 decrescente
razão q = -2 oscilante
razão q = 0 quase nula
4) Determine a soma da seguinte P.G. infinita
( 10 , 4 , 8/5, ....).