Física Aplicada - UFMS-CPCS

MECÂNICA
A Mecânica é a área da Física que estuda o movimento dos objetos. Por razões de organização do
conhecimento, a Mecânica é separada em duas sub-áreas: a Cinemática e a Dinâmica.
Na Cinemática, analisamos os conceitos utilizados para descrever o movimento: velocidade,
aceleração e trajetória. Na Dinâmica, estudamos as leis do movimento, isto é, as leis que determinam
que tipo de movimento terá um objeto, conhecidas as forças que atuam sobre ele.
Partiremos do estudo da Dinâmica.
1. Força e Movimento
Vimos que parte da Física é um estudo do movimento, incluindo acelerações, que são variações em
velocidades. A Física é também um estudo do que pode causar a aceleração de objetos. Esta causa é uma
força, que é, vagamente falando, um empurrão ou um puxão no objeto. Dizemos que a força age sobre o
objeto para mudar sua velocidade. Por exemplo, quando um carro de Fórmula 1 acelera na largada de um
grande prêmio, uma força da pista atua nos pneus traseiros provocando a aceleração do veículo. Quando
um jogador de defesa segura um atacante do time adversário, uma força do primeiro atua sobre o segundo
para provocar a desaceleração deste. Quando um carro colide com um poste, uma força do poste sobre o
carro provoca sua parada.
A dinâmica é a parte da mecânica que trata o estudo do movimento e suas causas.
A relação entre uma força e a aceleração que ela provoca foi primeiramente entendida por Isaac
Newton (1642-1727), e é o assunto que trataremos aqui. O estudo desta relação, como Newton a
apresentou, é chamado de mecânica newtoniana. Estaremos focalizados aqui em suas três leis mais básicas
do movimento.
1.1 Conceitos iniciais
Forças são grandezas vetoriais. Seus módulos são definidos em termos da aceleração que elas
provocariam no quilograma padrão. Uma força que acelera o quilograma padrão a exatamente 1m/s 2 tem
módulo definido como de 1N. O sentido de uma força é o sentido da aceleração que ela provoca. Forças são
combinadas de acordo com as regras da álgebra vetorial.
A força resultante sobre um corpo é a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre o corpo.
Inércia é uma propriedade dos corpos. Todo corpo que não tem motivo para alterar seu estado de
movimento, não vai alterá-lo. Sabemos que os corpos mais pesados têm maior inércia do que os mais leves.
Assim, é mais difícil movimentar um corpo pesado do que um corpo leve, porque o mais pesado exige muito
mais força.
Podemos dizer que peso de um corpo é a resultante da atração da gravidade sobre esse corpo
(força), enquanto massa de um corpo é a quantidade de matéria desse corpo. Na verdade, definir massa
como quantidade de matéria não é adequado. "Quantidade de Matéria" é uma grandeza distinta, cuja
unidade SI é o mol. Massa é uma grandeza relacionada à inércia, cuja unidade SI é o quilograma. Porém,
como a inércia está intimamente relacionada com a matéria, e para simplificar as coisas, podemos na prática
aceitar aquela definição como válida. A definição formal de massa dá-se como segue: “a massa de um
corpo é a característica desse corpo que relaciona sua aceleração com a força resultante que a provoca.”
Massas são grandezas escalares.
1.2 PRIMEIRA LEI DE NEWTON (Lei da Inércia)
Considerando o conceito de força, podemos enunciar a primeira lei de Newton:
“Se não há força resultante sobre um corpo, o mesmo permanece em repouso se ele estiver
inicialmente em repouso, ou em movimento retilíneo com velocidade constante se ele estiver inicialmente
em movimento.”
Podem existir múltiplas forças sobre o corpo, mas se a resultante dessas forças for nula, o corpo não
pode acelerar.
1
Referencial inercial é o sistema de referência no qual vale a mecânica de Newton.
Para a grande parte dos problemas da Dinâmica, envolvendo movimentos de curta duração na
superfície terrestre, podemos considerar um sistema de referência fixo na superfície da Terra como inercial.
Muito embora, a Terra não seja um perfeito referencial inercial por causa da sua rotação e
translação curvilínea.
1.3 SEGUNDA LEI DE NEWTON
Quando uma força resultante está presente em uma partícula, esta adquire uma aceleração na
mesma direção e sentido da força, segundo um referencial inercial. A relação, nesse caso, entre a causa
(força resultante) e o efeito (aceleração adquirida) constitui o objetivo principal da segunda lei de Newton,
cujo enunciado pode ser simplificado assim:
“A força resultante sobre um corpo é igual ao produto da massa do corpo pela sua aceleração.”
Na forma de equação, temos:


Fres  ma
(01)
A segunda lei indica que em unidades do SI
1N = 1kg . m/s2.
Para resolver problemas com a segunda lei de Newton, freqüentemente desenhamos um diagrama
de corpo livre no qual o único corpo mostrado é aquele para o qual estamos somando as forças. Tal corpo
é representado por um ponto ou um esboço. As forças externas sobre o corpo são desenhadas, em um
sistema de coordenadas superposto, orientado de forma conveniente para simplificar a solução.
Exemplo: Nas figuras abaixo (a a c), uma ou duas forças atuam sobre um disco que se move sobre o gelo
sem atrito ao longo do eixo x, em um movimento unidimensional. A massa do disco é m = 0,20kg. As forças



F1 e F2 são dirigidas ao longo do eixo e tem módulo F1 = 4,0N e F2 = 2,0N. A força F3 está dirigida
segundo um ângulo  = 300 e tem módulo F3 = 1,0N. Em cada situação, qual é a aceleração do disco?
Exemplo: Duas forças horizontais, perpendiculares entre si e de intensidades 6 N e 8 N, agem sobre um
corpo de 2 kg que se encontra sobre uma superfície plana e horizontal. Desprezando os atritos, calcule o
módulo da aceleração adquirida por esse corpo.
Exemplo: Um corpo de 8 kg desloca-se em uma trajetória retilínea com velocidade de 3 m/s quando, sobre
ele, passa a agir uma força de intensidade 24 N na direção e sentido de seu movimento. Após 5s da ação
dessa força, qual será a velocidade do corpo?
2
1.3.1 Algumas forças particulares

(a) A força gravitacional: uma força gravitacional Fg sobre um corpo é uma força atrativa
exercida por um outro corpo. Em muitas situações, consideramos o outro corpo como sendo a Terra. Para a
Terra a força é dirigida para baixo em direção ao solo, o qual é considerado um referencial inercial. Com

esta aproximação, o módulo de Fg é
Fg  mg
(02)
em que m é a massa do corpo e g é o módulo da aceleração de queda livre.
(b) A força peso: o peso P de um corpo é o módulo da força para cima necessária para equilibrar a
força gravitacional sobre o corpo. O peso de um corpo está relacionado com sua massa por:
P  mg .
(03)

(c) A força normal: uma força normal FN é a força sobre um corpo exercida pela superfície sobre
a qual o corpo pressiona. A força normal é sempre perpendicular à superfície.
(d) A força de atrito: uma força de atrito f é a força sobre um corpo exercida por uma superfície
através da qual o corpo desliza ou tenta deslizar. Esta força é sempre paralela à superfície e dirigida de
modo a se opor ao deslizamento do corpo. Sobre uma superfície sem atrito, a força de atrito é desprezível.
(e) A força de tensão: quando uma corda está presa a um corpo e esticada, ela puxa o corpo com

uma força T cujo sentido está ao longo da corda e se afasta do corpo, com sua origem no ponto de
aplicação. Esta força é freqüentemente chamada de força de tensão porque a corda está em um estado de
tensão (ou sob tensão), o que significa que ela está sendo esticada. A tensão na corda é o módulo T da
força sobre o corpo. Para uma corda sem massa (uma corda de massa desprezível), os puxões em suas
extremidades têm o mesmo módulo T, mesmo que a corda passe por uma polia sem massa e sem atrito
(uma polia de massa e atrito desprezíveis em seu eixo).
3
Exemplo: A figura abaixo mostra um bloco D (o bloco que desliza) com massa M = 3,3kg. O bloco está livre
para se mover ao longo de uma superfície horizontal sem atrito e está conectado, por uma corda que passa
por uma polia sem atrito, a um segundo bloco P (o bloco pendurado), de massa m = 2,1kg. A corda e a
polia têm massas desprezíveis comparadas às dos blocos (elas não têm massa). O bloco pendurado P cai e o
bloco que desliza D acelera para a direita. Encontre:
(a)
a aceleração do bloco D;
(b)
a aceleração do bloco P;
(c)
a tensão na corda.
Exemplo: Na figura abaixo, um bloco B de massa M = 15,0kg está pendurado por uma corda a partir de
um nó N de massa mN, o qual está pendurado em um teto por intermédio de duas outras cordas. As cordas
têm massas desprezíveis, e o módulo da força gravitacional sobre o nó é desprezível comparado com a força
gravitacional sobre o bloco. Quais são as tensões sobre as três cordas?
Exemplo: Na figura abaixo, uma corda prende um bloco de 15kg, mantendo-o estacionário sobre um plano
sem atrito, inclinado e um ângulo  = 270.


(a)
Quais são os módulos das forças T da corda sobre o bloco e da normal FN do plano sobre o bloco?
(b)
Agora cortamos a corda. O bloco acelera ao escorregar para baixo ao longo do plano? Caso sim, com
que aceleração?
4
1.4 TERCEIRA LEI DE NEWTON (Lei da ação e reação)
A terceira lei de Newton afirma que:
“Quando dois corpos interagem, as forças exercidas por um sobre o outro são sempre iguais em
módulo e têm sentidos opostos.”
Dizemos que dois corpos interagem quando eles empurram ou puxam um ao outro, ou seja, quando
uma força atua em cada corpo devido ao outro corpo. Podemos chamar as forças entre dois corpos
interagentes como um par de forças da terceira lei.

Podemos enunciar a terceira lei de Newton da seguinte maneira: se uma força FBC atua sobre um

corpo B devido a um corpo C, então existe uma força FCB sobre o corpo C devido ao corpo B. Essas forças
são iguais em módulo e têm sentidos opostos, assim:


FBC   FCB .
(04)

Exemplo: Na figura abaixo, uma força horizontal constante Fapl de módulo 20N é aplicada ao bloco A de
massa mA = 4,0kg, que empurra o bloco B de massa mB = 6,0kg. Os blocos deslizam sobre uma superfície
sem atrito, ao longo de um eixo-x.
(a)
Qual é a aceleração dos blocos?
(b)
Qual é a força (horizontal) FAB que o bloco A exerce sobre o bloco B?

1.4 Mais sobre Forças
1.4.1 Atrito

Quando uma força F aplicada a um corpo tende a deslizá-lo ao longo de uma superfície, uma força
de atrito é exercida pela superfície sobre o corpo. Se o corpo não deslizar, a força de atrito é a força de


atrito estático f e . Se o corpo deslizar, a força de atrito é a força de atrito cinético f c .
Podemos destacar três propriedades do atrito:


(a) Se o corpo não se move, a força de atrito estático f e e a componente da força F paralela à

superfície são iguais em intensidade, e f e possui sentido oposto ao dessa componente. Se essa

componente da força aumenta, f e também aumenta.

(b) A intensidade da força f e tem um valor máximo f e max dado por:
f e max   e FN
(05)
em que  e é o coeficiente de atrito estático e FN é a intensidade da força normal.

Se a componente da força F paralela à superfície exceder a f e max , o corpo deslizará sobre a
superfície.
(c) Se o corpo começa a deslizar sobre a superfície, a intensidade da força de atrito rapidamente

decresce para um valor constante f c dado por:
f c   c FN
(06)
em que  c é o coeficiente de atrito cinético.
5
Exemplo: O recorde de comprimento de derrapagem em uma via pública foi estabelecido em 1960 por um
Jaguar na rodovia M1 na Inglaterra, as marcas tinham 290m de comprimento. Supondo  c  0,60 e que a
aceleração do carro foi constante durante a frenagem, a que velocidade estava o carro quando as rodas
travaram?
Exemplo: Na figura abaixo, uma mulher puxa um trenó carregado de massa m = 75kg ao longo de uma
superfície horizontal com velocidade constante. O coeficiente de atrito cinético  c entre os patins do trenó
a neve é igual a 0,10, e o ângulo  vale 420.

(a)
Qual é a intensidade da força T que a corda exerce sobre o trenó?
(b)
Se a mulher aumentar a força com que puxa o trenó, de maneira que T seja maior do que 91N, o
módulo da força de atrito f c será maior, menor ou igual ao valor obtido em (a)?
1.4.2 Força de arrasto e Velocidade Terminal
Quando há movimento relativo entre o ar (ou algum outro fluido) e um corpo, o corpo sofre a ação

de uma força de arrasto FR que se opõe ao movimento relativo e aponta na direção em que o fluido

escoa em o fluido escoa em relação ao corpo. A intensidade de FR está relacionada com a velocidade
relativa v através de um coeficiente de arrasto C determinado experimentalmente de acordo com a
expressão
FR 
1
C  Av2
2
(07)
em que  é a densidade do fluido (massa por unidade de volume) e A é a área da seção transversal

efetiva do corpo (a área de uma seção reta tomada perpendicularmente à velocidade relativa v ).
Velocidade Terminal: Após um objeto rombudo (sem ponta) ter caído por uma distância suficiente


através do ar, as intensidade da força de arrasto FR e da força gravitacional Fg que atuam sobre o corpo
tornam-se iguais. O corpo então passa a cair com uma velocidade terminal v t constante, dada por:
vt 
2 Fg
C A
.
(08)
6
Exemplo: Se um gato em queda alcança uma primeira velocidade terminal de 97km/h enquanto ele está
encolhido, e então estira-se dobrando a área A, quão rápido estará caindo quando ele atingir a nova
velocidade terminal?
Exemplo: Uma gota de chuva com raio R = 1,5mm cai de uma nuvem que está a uma altura h = 1200m
acima do solo. O coeficiente de arrasto C para a gota é igual a 0,60. Suponha que a gota permanece
esférica durante toda sua queda. A densidade da água  a é igual a 1000kg/m3 e a densidade do ar  ar é
igual a 1,2kg/m3.
(a)
Qual é a velocidade terminal da gota?
(b)
Qual seria a velocidade da gota imediatamente antes do impacto com o chão se não existisse a
força de arrasto?
1.4.3 Força Centrípeta
Se uma partícula se move em um círculo ou um arco circular de raio R com uma velocidade escalar
constante v, dizemos que a partícula está em movimento circular uniforme. Ela possui então uma

aceleração centrípeta a com módulo dado por
a
v2
.
R
(09)
Esta aceleração é devida a uma força centrípeta resultante que atua sobre a partícula com
intensidade dada por
F
mv2
,
R
(10)


em que m é a massa da partícula. As quantidades vetoriais a e F estão dirigidas para o centro da
curvatura da trajetória da partícula.
Uma força centrípeta acelera um corpo modificando a direção de sua velocidade, sem no entanto
alterar o módulo da velocidade do corpo.
Observação: A força centrípeta não é um novo tipo de força. O nome simplesmente indica a direção e o
sentido da força.
Exemplo: Suponha um loop em círculo com raio de R = 2,7m. Ao realizar uma acrobacia de dirigir uma
bicicleta dando uma volta completa em um loop vertical, qual é a menor velocidade que o ciclista deve ter
no topo do loop para permanecer em contato com o mesmo nesta parte?
7
Exercícios
1. Na figura abaixo, um bloco de massa m = 5,0kg é puxado ao longo de um piso horizontal sem atrito por
uma corda que exerce uma força de módulo F = 12N em um ângulo  = 250. Qual é o módulo da
aceleração do bloco?
2. Um foguete de 500kg pode ser acelerado constantemente do repouso até 1600km/h em 1,8s. Qual é o
módulo da força média necessária para isso?
3. Sobre um plano horizontal perfeitamente polido está apoiado, em repouso, um corpo de massa m=2 kg.
Uma força horizontal de 20N, passa a agir sobre o corpo. Considerando a aceleração constante, qual a
velocidade desse corpo após 10 s?
4. Um corpo de massa 2 kg passa da velocidade de 7 m/s à velocidade de 13 m/s num percurso de 52 m.
Calcule a força que foi aplicada sobre o corpo nesse percurso, considerando a aceleração constante.
5. A figura abaixo mostra um sistema em que quatro discos estão suspensos por cordas. A mais comprida
no topo passa por uma polia sem atrito e exerce uma força de 98N sobre a parede à qual está presa. As
tensões nas cordas menores são T1 = 58,8N, T2 = 49,0N e T3 = 9,8N. Quais são as massas:
(a) do disco A;
(b) do disco B;
(c) do disco C; e
(d) do disco D?
6. Os corpos A e B encontram-se apoiados sobre uma superfície horizontal plana perfeitamente lisa. Uma
força F de 40 N é aplicada em A conforme indica a figura. Dados: m A= 2kg e mB= 8kg. Determine:
(a) aceleração dos corpos A e B;
(b) a força que A exerce em B.

F
B
A
7. Dois corpos A e B, de massas mA= 6 kg e mB= 4 kg estão interligados por um fio ideal. A superfície de
apoio é horizontal e perfeitamente lisa. Aplica-se em B uma força horizontal de 20 N, conforme indica a
figura abaixo. Determine:
(a) a aceleração do conjunto;
(b) a tensão no fio.
A
T
B

F
8
8. Dois corpos A e B de massas respectivamente iguais à 5 kg e 3 kg, interligados por um fio de massa
desprezível, são puxadas sobre um plano horizontal liso por uma força horizontal F, no mesmo esquema
da ilustração do exercício anterior. A aceleração do conjunto é de 6 m/s2. Determine:
(a) a força F;
(b) a tensão no fio.
9. Na figura abaixo, três blocos conectados são puxados para a direita sobre uma mesa horizontal sem
atrito por uma força de módulo T3 = 65N. Se m1 = 12kg, m2 = 24kg e m3 = 31kg, calcule:
(a) o módulo da aceleração do sistema;
(b) as tensões T1 e T2.
m1
T1
m2
T2
m3
T3
10. Um bloco de massa 8 kg é puxado por uma força horizontal de 20N. Sabendo que a força de atrito entre
o bloco e a superfície é de 2N, calcule a aceleração a que fica sujeito o bloco
11. Um sólido de massa 5kg é puxado sobre um plano horizontal por uma força horizontal de 25N. O
coeficiente de atrito cinético entre o sólido e o plano é 0,2.
(a) Qual a força de atrito?
(b) Qual é a aceleração do corpo?
12. Um pequeno bloco de massa 20kg, em movimento com a velocidade de 20m/s, atinge uma superfície
áspera onde a força de atrito vale 8N. Determine a distância percorrida pelo bloco até parar.
13. O bloco na figura abaixo pesa 711N. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a mesa é 0,25; o
ângulo  é de 300; suponha que o cordão entre o bloco e o nó é horizontal. Encontre o peso máximo do
bloco A para o qual o sistema permanece estacionário.
14. O bloco A na figura abaixo possui massa mA = 4,0kg e o bloco B possui massa mB = 2,0kg. O coeficiente
de atrito cinético entre o bloco B e o plano horizontal é  c  0,50 . O plano é inclinado de um ângulo 
= 300 e não possui atrito. A polia serve apenas para mudar a direção do fio que conecta os blocos. O fio
possui massa desprezível. Encontre:
(a) a tensão no fio;
(b) o módulo da aceleração dos blocos.
9
15. A figura abaixo mostra uma moeda de massa m em repouso sobre um livro que está inclinado de um
ângulo  em relação à horizontal. Experimentando, você verifica que quando  é aumentado até 130, a
moeda fica na iminência de deslizar sobre o livro, o que significa que mesmo um ligeiro acréscimo do
ângulo além de 130 produz deslizamento. Qual é o coeficiente de atrito estático e entre a moeda e o
livro?
16. Calcule a razão entre a força de arrasto sobre um avião a jato voando a 1000km/h em uma altitude de
10km e a força de arrasto sobre um avião de transporte voando com metade da velocidade e com
metade da altitude. A densidade do ar é igual a 0,38kg/m 3 a 10km e igual a 0,67kg/m3 a 5,0km.
Suponha que os aviões possuem a mesma área de seção transversal efetiva e o mesmo coeficiente de
arrasto.
17. A velocidade terminal de um sky diver (pára-quedista durante o salto livre no ar sem pára-quedas) é
de 160km/h na posição de vôo de águia e de 310km/h na posição de mergulho de cabeça. Supondo
que o coeficiente de arrasto C deste mergulhador do ar não se modifique de uma posição para outra,
encontre
a
razão
entre
a
área
da
seção
transversal
efetiva
A
na
posição
de menor velocidade e a área correspondente à posição mais rápida.
18. Considere um rotor, que consiste essencialmente em um cilindro grande e oco que gira rapidamente em
torno do seu eixo central, conforme a figura dada. Antes de começar um “passeio” a pessoa entra no
cilindro por uma porta lateral e fica em pé sobre o poso encostada numa parede recoberta com lona. A
porta é fechada, e quando o cilindro começa a girar, a pessoa, a parede e o piso se movem juntos.
Quando a velocidade da pessoa atinge um valor predeterminado, o piso é removido repentina e
alarmantemente. A pessoa, em vez de cair, fica presa à parede enquanto o cilindro gira, como se um
agente invisível estivesse pressionando seu corpo contra a parede. Algum tempo depois, o piso retorna à
posição de contato com os pés da pessoa, o cilindro reduz a sua velocidade e a pessoa cai alguns
centímetros até voltar a pisar firmemente sobre o piso.
Suponha que o coeficiente de atrito estático
e
entre a roupa da pessoa e a lona vale 0,40 e que o raio
do cilindro R é igual a 2,1m.
(a) Qual a menor velocidade v que o cilindro e a pessoa devem ter para que ela não caia quando o piso
for removido?
(b) Se a massa da pessoa é 49kg, qual é a intensidade da força centrípeta que age sobre ela?
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19. Os trechos curvos de uma rodovia são sempre elevados (inclinados) para evitar que os carros derrapem
para fora da pista. Quando a pista está seca, a força de atrito entre os pneus e a superfície da pista
pode ser suficiente para evitar o deslizamento. Entretanto, quando a pista está molhada, a força de
atrito pode ser desprezível e a elevação torna-se então essencial. A figura abaixo representa um carro
de massa m que se move com velocidade escalar constante v de 20m/s em torno de uma elevação
circular da pista de raio R = 190m. Se a força de atrito exercida pela pista for desprezível, que ângulo de
elevação  evitará o deslizamento?
Respostas
1. 2,17m/s2
2. 1,2x105N
3. 100m/s
4. 2,3N
5. (a) 4,0kg
(b) 1,0kg
6. (a) 4m/s
2
(b) 32N
7. (a) 2m/s
2
(b) 12N
8. (a) 48N
(d) 1,0kg
(b) 30N
9. (a) 0,97m/s
10. 2,25m/s
(c) 4,0kg
2
(b) T1=34,92N e
T2=11,64N
2
(b) 3,04m/s2
11. (a) 9,8N
12. 13. 80m
13. 102N
14. (a) 13N
(b) 1,6m/s2
15. 0,23
16. 2,3
17. 3,75
18. (a) 7,2m/s
19. 12
(b) 1200N
0
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