Série 1 - Feis

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA – UNESP
FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA – FEIS
PRIMEIRA SÉRIE DE EXERCÍCIOS DE ONDAS E LINHAS DE COMUNICAÇÃO
I – Fasores
1) Considerar as seguintes questões:
a) Expressar e  10sen(t  Kz) xˆ  20 cos(t  Kz) yˆ na forma de fasor.
R:
Eˆ  ( j10 xˆ  20 yˆ )e  jkz
0

b) Expressar H  (4  j3) sen x x̂ 
e j10
ẑ na forma instantânea.
x
R:
cos(t  10º )
Hˆ  [4 cos(t )  3sen(t )]sen( x) xˆ 
zˆ
x
 
2) Dado o vetor a  [ e  Kz cos(t )]x̂  [( x  y)e(  / 2) z sen(t )]ŷ  [x. cos(t   / 4)]ẑ , obter o vetor complexo
6
associado.

   jkz
z
2
R: A  e
xˆ  j ( x  y )e 2 yˆ  x
(1  j ) zˆ
6
2
II – Equações de Maxwell e equações de onda
3) Calcular a normal unitária a superfície xy 3 z 2  4 no ponto P=(-1, -1, 2).
R:
nˆ  
1
11
xˆ 
3
11
yˆ 
1
11
zˆ
4) Dado as propriedades do operador Re{.} dadas em sala de aula mostrar que


a)   Re{E e jt }  Re{(   E )e jt }


b)   Re{E e jt }  Re{(  E )e jt }
5) A partir das equações de Maxwell na forma instantânea e as propriedades do operador Re{.} deduzir as equações de
Maxwell na forma fasorial.

6) A partir da lei de Faraday mostrar que   B =0, para o caso de ondas harmônicas no tempo. O que acontece se essas
ondas não forem harmônicas ?

7) A partir da lei de Ampére, com =0 e na ausência de fontes, mostrar que   D =0, no caso de ondas harmônicas no
tempo. O que acontece com a densidade de cargas  ?

8) Mostrar que a equação da continuidade (   j   / t ) está implícita nas equações de Maxwell.

Sugestão: Usar a propriedade   xf  0 e a lei de Ampére.
9) Mostrar que a equação de onda não homogênea considerando-se fontes é dada por (meio homogêneo):



 2 H  j(  j ) H    J F .
10) Mostrar que num meio não homogêneo, a equação de onda em termos de campo elétrico é



1
   
 2 E  j (  j ) E  j J F      E 

 
 

11) Partindo-se das equações de Maxwell fasoriais mostrar que


H  ˆ  (  j ) E .
12) Mostrar que as equações de Maxwell para uma onda plana monocromática propagando-se na direção +r num meio
ilimitado e com perdas são


ˆ x E  jH


ˆ x H  (  j)E

ˆ  D  

ˆ  B  0
III – Ondas eletromagnéticas planas
13) Uma onda de 60 Hz percorre uma distância de 100 m no ar. Qual a variação de fase percebida por esta onda? E se
tal onda oscilasse em 60 MHz ? Discutir esses resultados em termos de circuitos com parâmetros concentrados e
distribuídos.
R:
  125,7 x10 6 rad ,   125,7rad

14) Dado o vetor campo elétrico no vácuo e  [4x̂  5ŷ  ẑ]e(5x  2 y 10z) cos[t  (5x  2y  10z)] V/m, obter o vetor
campo magnético correspondente a partir da lei de Faraday.
R:
 48 xˆ  45 yˆ  33zˆ (5 x  2 y 10z )
h
e
sen[t  (5 x  2 y  10 z )] A/m


15) Considere uma onda eletromagnética no espaço livre tendo E  e j 3y xˆ V/m.

a) Encontrar o campo magnético H a partir da lei de Faraday;
R:
 3 j 3
H
e zˆ A/m

b) Quais são os comprimentos de onda  e a direção de propagação da onda?


c) Esboçar os valores de e ( y, t ,0) e h ( y, t ,0) em função da posição ao longo do eixo y.
R: λ = 0,6667 m, direção
ŷ
16) Obter a velocidade de fase de uma onda eletromagnética propagando-se num meio não-magnético (r=1) com
a) r=1 (ar)
R: c = 3x108 m/s
b) r=12 (silício)
R: c = 86,6x106 m/s
c) r=81 (água)
R: c = 33,33x106 m/s
Obs: Usar que a velocidade da luz é dada por c  1 /  0  0  r  r m/s.
17) A lua está a aproximadamente 400 000 Km da terra. Quanto tempo levaria uma onda de rádio para percorrer esta
distância? Assumir que o espaço entre a terra e a lua é essencialmente o vácuo.
R: t = 1,33 s
18) Determinar o comprimento de onda de um sinal propagando-se em um meio onde r=9 , r=1 e f= 10 GHz, para
/ igual a 0,01; 0,1 e 1.
R: λ = 9,9999 mm, λ = 9,9875 mm, λ = 9,1018 mm
IV – Propagação em meios materiais
19) Dada uma amplitude de campo elétrico E=1 kV/mm pede-se para calcular
a) O valor da densidade de corrente de condução (A/m2) num metal onde =107 S/m;
2
R: Jc = 1010 A/m2
b) O valor da densidade de corrente de deslocamento(A/m ) na frequência de 60 Hz;
2
R: Jd = 3,33x10-6 A/m2
c) O valor da densidade de corrente de deslocamento(A/m ) na frequência de 60 Mz;
2
R: Jd = 3,33A/m2
d) O valor da densidade de corrente de deslocamento(A/m ) na frequência de 6 GHz;
R: Jd = 333,33 A/m2
20) Partindo-se da expressão geral para a constante de propagação meio linear, isotrópico, homogêneo e com perdas)
mostrar que     j tal que:
2

  
 


1 

1


2 
  

1/ 2
2

  
 

e 
1 

1


2 
  


1/ 2

21) Calcular a profundidade oceânica na qual uma amplitude campo elétrico de 1V/m é obtida, com E na superfície
igual a 1 V/m, para as frequências de 1 kHz, 10 kHz, 100 kHz e 1 MHz. Neste aspecto, qual dessas frequências é mais
adequada para comunicações sem fio entre a superfície e uma embarcação submarina ? Dados da água do mar: r=80,
r=1 e =4 mho/m.
R: h=109,94 m, h=34,766 m, h=10,995 m, h=3,478 m
22) Trace a curva “constante de atenuação versus frequência” para uma onda plana propagando-se em água salgada
entre 10 kHz e 100 kHz, assumindo-se r=81, r=1 e =4 S/m. Comente sobre as implicações dos resultados no
problema das comunicações submarinas.
23) Define-se permissividade complexa efetiva por
 eff    j

    j 

a) Escrever a Lei de Ampére em termos de ' e '',
b) Denomina-se tangente de perdas, tg, a tangente do ângulo entre ' e '' no plano complexo. Qual sua expressão em
termos de e  ?
c) Mostrar que as expressões de e  em termos de tgsão

1/ 2
1/ 2
 2 
 2 
e 
1  tg 2  1
1  tg 2  1
2


2


d) Mostrar que e  para dielétricos perfeitos são

 
2
 1

tg e     1  tg 2 
8


24) De um avião sobrevoando o oceano são enviados sinais a um submarino submerso. Quando o submarino se
encontra a 10 m de profundidade, o sinal recebido é atenuado de 21,7 dB e apresenta um deslocamento de fase de 2,5
rad relativamente ao seu valor ao nível do mar, cuja água apresenta =4,3 S/m, r=1 e r=81. Determinar:
a) A profundidade em que se encontra o submarino quando a intensidade da onda recebida é 0,1% do seu valor na
superfície.
R: h=27,63 m
b) A frequência dos sinais emitidos pelo avião.
R: f=3,682 kHz
c) A frequência em que a água do mar se apresenta como um meio onde a densidade de corrente de deslocamento é
igual à densidade de corrente de condução.
R: f = 955,55 MHz
Obs: 1 Np = 8,686 dB
25) Partindo-se da expressão geral para a impedância intrínseca meio linear, isotrópico, homogêneo e com perdas)
j
mostrar que    e
tal que:
 
 /
2 1 / 4
  
1  
 
    
e
1
 
arctg

2
  
 

26) Dado E  E 0 e j onde =00 e E 0  E 0 x̂ , e,
   e j , calcular as expressões dos campos elétrico e magnético
instantâneos, sabendo-se que a frequência é  e que ˆ  ẑ .

 E0
 
R: e  E0 cos(t ) xˆ h 
cos(t   ) yˆ
| |
27) As medidas das intensidades dos campos elétrico e magnético, associados a ondas planas que se propagam
harmonicamente num dado meio isotrópico, são 20 kV/m e 200 A/m, respectivamente. Qual o valor da permissividade
desse meio ?
R: ε = 14,2122 ε0
28) A impedância efetiva (Zef) de uma antena GPR (ground penetrating radar) é igual a 101 exp( j1,8 0 ) . Qual deve
ser sua frequência de operação CW (continuous wave), sabendo-se que esta antena está casada com a impedância
característica () do solo. Dados do solo: r=14, r=1 e =10-2 mho/m.
R: f=204 MHz
Obs: O radar de penetração no solo é um instrumento preciso e não destrutivo que permite mapear o subsolo. Usando as
antenas de GPR, é fácil localizar alvos de interesse e camadas da sub-superfície, em tempo real, até profundidades de 30
ou mais metros. Geólogos e empresas especializadas necessitam de informação sobre a rocha básica ( bedrock ) para
planejar construções e identificar rotas possíveis para o fluxo da água no subsolo. Os hidrogeólogos usam o GPR para
determinar a profundidade de lençóis freáticos e prever rotas possíveis para o fluxo da água no subsolo. Arqueólogos de
todo o mundo usam os sistemas GPR e para localizar áreas a serem escavadas. Patrulhas de fronteiras, agências de
segurança e forças policiais em geral usam o radar de penetração no solo para localizar e rastrear túneis ilegais.
29) A componente de campo magnético de uma onda plana propagando-se num meio dielétrico é dada por

h( x, t )  30. cos(10 8 t  6 x)zˆ mA/m
a)
Determinar a direção e o sentido de propagação da onda.
R: direção
x̂ , sentido + x̂
b) O comprimento de onda.
R: λ =
c)

m
3
A velocidade da onda. É igual a velocidade da luz ?
R: Não
d) A permissividade relativa do meio.
R: εr=324
e)
A expressão do campo elétrico.
R:

e  0,628 cos(t  6 x) yˆ V/m
30) Considere que uma onda plana e uniforme, que se propaga no espaço vazio, tenha campo elétrico

E( z )  1000.e  j 0 z x̂ V/m
e frequência 20 MHz.
a) Qual sua direção de propagação ? Sua amplitude ? A direção do vetor no espaço ?
R: direção da propagação ẑ , Amplitude 1000 V/m, direção do vetor x̂


b) Encontrar o campo B associado, bem como o H equivalente.
c)
 

Expressar E , B e H na forma instantânea.
R:
R:

B  7,96 x10 6  0 .e  j0 z yˆ


e  1000 cos(40x10 6 t   0 z ) xˆ , b  7,96 x10 6  0 cos(40x10 6 t   0 z ) yˆ ,

h  76,33 0 cos(40x10 6 t   0 z ) yˆ
d) Encontrar o fator de fase 0, a velocidade de fase e o comprimento de onda.
R: 0 = 0,4189 rad/m, c = 3x108 m/s, λ = 15m

31) Uma onda plana e uniforme no vácuo tem um campo elétrico dado por E  e j 2y xˆ V/m

a) Encontrar o campo magnético H ;
R:

1 j 2y
H
e zˆ A/m
377
b) Qual o comprimento de onda e a direção de propagação desta onda?


R: λ = 1 m, direção y
c) Para t=0 esboçar e e h ao longo de y;
d) Quantos volts por metro podem ser medidos quando esta onda tem um campo magnético comparável ao da terra, ou
seja, 0.5 gauss (1 T = 10 000 gauss).
R: E=0,01885 V/m