semelhança de figuras

SEMELHANÇA DE FIGURAS
O objectivo desta unidade consiste na exploração do conceito de
semelhança recorrendo a um módulo computacional interactivo que
permite a visualização gráfica do efeito da aplicação a figuras planas de
diferentes razões de semelhança. Através da manipulação do
comprimento dos lados de rectângulos semelhantes e do factor de
escala, este módulo ajuda a compreender de que forma os
comprimentos dos lados, os perímetros e as áreas de dois rectângulos
semelhantes estão relacionados entre si. Serão sugeridas actividades
que tirem partido dos itens estudados. Apresentam-se ainda no ponto 4
uma breve descrição sobre polígonos e em 5 far-se-á um estudo mais
rigoroso do Teorema de Thales.
1. Figuras semelhantes
1.1 Ampliação e redução de figuras
1.2 Polígonos semelhantes
1.3 Perímetro e área de polígonos semelhantes
2. Aplicações
2.1 Como medir a altura de uma bandeira
2.2 Demonstração do Teorema de Pitágoras usando semelhança de
triângulos
3. Construção do módulo interactivo razao-semelhança.xls
4. Polígonos
5. Teorema de Thales
2
1. Figuras semelhantes
1.1 Ampliação e redução de figuras
O conceito de semelhança de figuras está associado à sua forma e
dimensão:
Figuras semelhantes são aquelas que têm a mesma forma mas não
necessariamente o mesmo tamanho.
Este conceito não é exclusivo das figuras planas. Aplica-se também a
objectos sólidos.
Em qualquer par de figuras semelhantes com tamanhos diferentes,
cada uma constitui uma cópia da outra com outra escala.
Mais precisamente, se uma figura F’ é semelhante a uma figura F,
então F’ é uma ampliação de F, ou F’ é uma redução de F. O factor
de ampliação ou redução constitui a razão de semelhança (ver
figuras 1 e 2).
Se k é a razão de semelhança de F’ para F então 1/k é a razão de
semelhança de F para F’. Duas figuras com a mesma forma e o
mesmo tamanho, isto é, com razão de semelhança igual a 1, dizem-se
congruentes
Figura 1 – Figuras semelhantes - Ampliação (razao-semelhança.xls).
Figura 2 – Figuras semelhantes - Redução (razao-semelhança.xls)
F’ é uma redução de F, sendo 1/3
a razão de semelhança de F para
F'.
F é uma ampliação de F’, sendo 3
a razão de semelhança de F' para
F.
Como F’’ é uma cópia de F, F e
F’’ dizem-se congruentes
3
1.2 Polígonos semelhantes
Facilmente se reconhece que todos os polígonos regulares com o
mesmo número de lados são semelhantes (sendo a razão de
semelhança obtida através da razão entre os comprimentos dos
lados). Todos os círculos são semelhantes (sendo a razão de
semelhança obtida através da razão entre os comprimentos dos raios).
Todos os cubos são semelhantes (sendo a razão de semelhança obtida
através da razão entre os comprimentos das arestas) e todas as esferas
são semelhantes (sendo a razão de semelhança obtida através da
razão entre os comprimentos dos raios).
Com auxílio das aplicações tri_equilátero_v1.xls e poli_reg_v2.xls
poderá experimentar a propriedade acima referida para vários
polígonos regulares (figuras 3 e 4).
L
Figura 3 – Triângulos equiláteros são semelhantes. (tri_equilátero_v1.xls).
Figura 4 – Pentágonos regulares são semelhantes. (poli_reg_v2.xls).
kL
4
Com os polígonos irregulares que tenham o mesmo número de lados,
a propriedade acima referida não se verifica, nem com os prismas ou
pirâmides com o mesmo número de faces, nem com os cilindros ou
cones. Abra as aplicações computacionais rectangulos-LE_v3.xls e
quadri_v3.xls e confirme a afirmação anterior para polígonos
irregulares com o mesmo número de lados.
Figura 5 – Polígonos irregulares apenas com os ângulos correspondentes
geometricamente iguais podem não ser semelhantes. (rectangulos-LE_v3.xls).
Figura 6 – Polígonos irregulares apenas com os lados correspondentes
geometricamente iguais podem não ser semelhantes. (quadri_v3.xls).
Com auxílio das aplicações apresentadas nas figuras 5 e 6 podemos
concluir que:
Polígonos apenas com os ângulos correspondentes geometricamente
iguais podem não ser semelhantes.
Polígonos apenas com os lados correspondentes proporcionais podem
não ser semelhantes.
5
Com base nos resultados anteriores, podemos então concluir que
Dois polígonos são semelhantes quando
simultaneamente as duas condições seguintes:
se
verificam
Os ângulos correspondentes são geometricamente iguais e
Os lados correspondentes são proporcionais
No caso tridimensional, facilmente se reconhece que os dois prismas
quadrangulares regulares A e B representados não são semelhantes.
Com efeito, a medida da aresta da base é a mesma mas a altura
duplicou, pelo que as faces laterais não são semelhantes. Já o prisma
C resulta de A por duplicação da aresta da base e da altura. O prisma
C é pois uma ampliação do prisma A: são sólidos semelhantes, sendo
a razão de semelhança, de C para A, igual a 2.
A
B
C
Triângulos semelhantes
É interessante notar que, quando queremos saber se dois triângulos
são semelhantes, não é necessário verificar as duas condições acima
apresentadas.
Qual a razão de semelhança do
triângulo A''B''C'' para o triângulo
A'B'C'?
E do triângulo ABC para o
triângulo A''B''C''?
Figura 7 – Triângulos semelhantes.
Observando os triângulos da figura 7 podemos constatar que, como têm a
mesma forma, os ângulos são necessariamente iguais dois a dois.
Neste caso, ∠A = ∠A’ , ∠B = ∠B , ∠C = ∠C’ .
Como consequência do Teorema de Thales, pode-se demonstrar que a razão
entre as medidas dos lados correspondentes, isto é, a razão entre os lados
6
que se opõem a ângulos iguais (razão de semelhança), é constante.
AB
BC
AC
=
=
= 2 , pelo que o triângulo A’B’C’ é
A ' B ' B'C ' A 'C '
a expansão do triângulo ABC pelo factor 2 (isto é, a razão de
semelhança do triângulo ABC para o triângulo A’B’C’ é igual a 2) e
o triângulo ABC é a contracção de A’B’C’ pelo factor 2.
Neste caso
Assim:
I – Dois triângulos com os três ângulos iguais são semelhantes.
No que respeita à semelhança de triângulos temos ainda os seguintes
resultados que se demonstram com base no teorema de Thales:
II – Dois triângulos que têm os três lados proporcionais são
semelhantes. (*)
III – Dois triângulos que têm dois lados proporcionais e os
ângulos por eles formados iguais são semelhantes
Estes três resultados são usualmente denominados critérios de
semelhança de triângulos.
(*)
Note-se
que
a
proporcionalidade entre os lados
garante também a semelhança
entre pares de rectângulos.
Mais
precisamente,
dois
rectângulos são semelhantes se as
razões entre os lados maiores e
menores forem iguais. Esta
observação é óbvia já que nos
rectângulos todos os ângulos são
iguais.
1.3 Perímetros e áreas de figuras planas semelhantes
Analisemos o comportamento dos perímetros e áreas de figuras
planas semelhantes.
Com auxílio da aplicação computacional área+perimetro_v1.xls
(figura 8) é possível introduzir os valores das dimensões a e b de um
rectângulo (neste caso rectângulo A) e alterando o factor de escala
pode-se visualizar o rectângulo B que resulta da ampliação do
rectângulo A.
Alterar os valores de a e de b do
rectângulo A, e actuando sobre a
barra de deslocamento associada
ao factor de escala, observar o que
acontece ao perímetro e à área do
rectângulo B.
Figura 8 – Perímetro e área de rectângulos semelhantes. área+perimetro_v1.xls
7
A partir da figura 8 podemos verificar que o perímetro do rectângulo
B é três vezes o perímetro do rectângulo A, mas a área não é três
vezes a área do rectângulo A mas sim nove vezes.
Os rectângulos A e B são semelhantes logo a razão entre os
comprimentos dos lados do rectângulo B (por exemplo) e os
comprimentos dos lados do rectângulo A corresponde à razão de
semelhança.
• A razão dos perímetros dos dois rectângulos é igual à razão
de semelhança.
• A razão das áreas dos dois rectângulos é igual ao quadrado da
razão de semelhança.
Com auxílio da aplicação apresentada na figura 9, é possível variar as
dimensões do rectângulo A. Em seguida variando a razão de
semelhança observa-se o rectângulo B, ampliado, reduzido ou
congruente relativamente a A. No lado direito é possível visualizar a
razão entre os perímetros e as áreas dos rectângulos.
Figura 9 – Perímetro e área de rectângulos semelhantes (area-perimetro.xls).
8
Veremos em seguida que estas relações também são válidas para
triângulos semelhantes.
Sendo o perímetro de um triângulo a soma do comprimento dos seus
lados, se cada lado de um triângulo é multiplicado por uma constante
k então o perímetro do triângulo também é multiplicado por k.
Mais geralmente, se tivermos uma figura plana F com fronteiras
curvas, ela pode ser aproximada interiormente e exteriormente por
polígonos.
Se os polígonos aproximantes tiverem um número crescente de lados,
os seus perímetros podem tornar-se arbitrariamente próximos entre si
e, consequentemente, arbitrariamente próximos do perímetro de F.
Assim, se F sofre uma ampliação ou contracção através de uma
constante k, transformando-se numa figura semelhante F’, os
polígonos aproximantes sofrem a mesma ampliação ou contracção e
os seus perímetros são multiplicadas pela constante k. Como os
perímetros dos polígonos interiores e exteriores se podem aproximar
arbitrariamente do perímetro P de F, os polígonos transformados têm
perímetros arbitrariamente próximos de kP, pelo que o perímetro de
F’ é igual a kP.
Quanto às áreas:
Se um triângulo T’ é o transformado de T mediante uma razão de
semelhança k, então
sendo
b×h
a área de T,
2
a área de T’ será
pelo que a razão entre as áreas de T’ e T
kb × kh
2
kb × kh
2
b×h
2
é igual a k2.
Se cada lado de um polígono é
multiplicado
por
uma
constante k então o perímetro
do polígono também é
multiplicado por k.
9
Figura 10 – Área de triângulos semelhantes. Tri_área.xls
Como todo o polígono (regular ou não) é decomponível num número
finito de triângulos conforme ilustrado na figura ao lado, resulta
facilmente que se um polígono P’ é o transformada de um polígono
P mediante uma razão de semelhança k, ele pode ser decomposto à
custa dos transformados dos triângulos em que P foi decomposto.
Então a área A de P pode ser expressa como soma das áreas Ai dos
triângulos.
No caso da figura
A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5+ A6
e a área de P’ é dada por
k2A1 + k2A2 + k2A3 + k2A4 + k2A5 + k2A6,
isto é, a área de P’ é k2.
O comportamento do volume de sólidos semelhantes é uma
consequência do anteriormente estudado para as áreas de figuras
semelhantes:
Se um sólido S é transformado num sólido S’ semelhante e se a razão
de semelhança de S’ para S é k, então o volume V’ de S’ é igual ao
produto do volume V de S por k3.
Exemplifiquemos esta situação no caso dos dois cilindros
semelhantes C e C’ representados na figura ao lado, com volumes V
e V’ respectivamente.
Tem-se que
V = πr2 h e V’ = π k2r2 kh = k3πr2 h e assim
V’= k3V.
r
kr
h
kh
10
2. Aplicações
2.1 Como medir a altura de uma bandeira
A propriedade de saber se dois triângulos são semelhantes
verificando apenas se eles têm de um para o outro dois ângulos
iguais, foi descoberta vários séculos antes de Cristo e é de grande
utilidade prática.
Conta-se que cerca do ano 600 A.C., o sábio Thales de Mileto já a
usava para medir a altura das pirâmides do Egipto ou de outros
objectos de grande altura.
Com auxílio da aplicação computacional pode verificar que para
medir a altura de uma bandeira basta utilizar a semelhança de
triângulos. Coloca-se uma estaca no chão da qual se conheça a altura.
Os raios do Sol incidem sobre a bandeira provocando sombra. Os
raios do Sol, a bandeira vertical e a sua sombra formam um triângulo
rectângulo que é semelhante ao triângulo formado pelos raios do Sol,
a estaca e a sua sombra.
Então uma vez que os triângulos são semelhantes:
Altura da estaca
Altura da bandeira
=
Comprimento da sombra da estaca Comprimento da sombra da bandeira
Figura 11 – Os raios solares incidem paralelamente sobre a estaca e a bandeira.
Sombra_v1_protegido.xls
Usando a aplicação Sombra_v1_protegido.xls (figura 11) e os
conhecimentos sobre triângulos semelhantes determine a altura do
pau da bandeira.
Haverá algum momento em que, o problema se resolve sem
nenhum cálculo auxiliar? Justifique.
11
2.2 Demonstração do Teorema de Pitágoras usando semelhança
de triângulos
Teorema de Pitágoras
“Num triângulo rectângulo, o quadrado do comprimento da
hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos
catetos.”
Este teorema é um dos muitos resultados cuja descoberta é atribuída a
Pitágoras, embora ele já fosse conhecido num caso particular: um
texto chinês, escrito cerca de 1100 a. C., contém uma demonstração
para o caso em que as dimensões dos lados do triângulo rectângulo
são 3, 4 e 5, demonstração essa que é válida para qualquer triângulo
rectângulo.
Como demonstrar o Teorema de Pitágoras?
Geometricamente este teorema pode traduzir-se na forma seguinte:
A soma das áreas dos quadrados A e B construídos sobre os catetos
de um triângulo rectângulo é igual à área do quadrado C construído
sobre a hipotenusa.
Utilizando
a
aplicação
Pitagoras.xls (figura 11) é possível
fazer variar os comprimentos dos
catetos de um triângulo rectângulo,
e em seguida clicando no botão
"Decomposição"
cobrir
exactamente o quadrado construido
sobre a hipotenusa, com as cinco
partes.
(a)
(b)
Figura 12 – Pitagoras.xls
12
O Teorema de Pitágoras pode ser demonstrado analiticamente
utilizando a semelhança de triângulos:
Consideremos um triângulo rectângulo ABC representado na figura
12 e designemos por a e b as medidas dos catetos CB e CA
respectivamente e por c o comprimento da hipotenusa AB. Tracemos
a altura CP relativa à hipotenusa e designemos por x e y os
comprimentos dos segmentos em que a hipotenusa é dividida.
Figura 13 – Triângulo ABC é semelhante aos triângulos BCP e ACP
Como os triângulos ABC e CBP são semelhantes, temos que
x/a = a/c, pelo que a 2 = cx .
Como os triângulos ABC e CAP são semelhantes, temos que
y/b = b/c, pelo que b 2 = cy .
Então, a 2 + b 2 = cx + cy = c(x + y ) e, como x + y = c , resulta que
a2 + b2 = c2 .
Proposta de trabalho:
De acordo com o teorema de Pitágoras, a soma das áreas dos quadrados
construídos sobre os catetos de um triângulo rectângulo é igual à área do
quadrado construído sobre a hipotenusa.
E se em vez de quadrados tivermos triângulos equiláteros?
Será que esta propriedade se mantém, isto é, será que a área do triângulo
equilátero C á a soma das áreas dos triângulos equiláteros A e B? (fig. 14).
E se os triângulos não forem equiláteros?
E se forem rectângulos?
Figura 14 – T.PIT-TRI.xls
13
3. Construção da aplicação Razao-semelhança.xls
Embora estejam actualmente disponíveis nos circuitos comerciais
módulos animados cuja utilização para a compreensão da matemática
pode ser vantajosa, defende-se que as vantagens serão acrescidas se
esses módulos computacionais forem construídos pelo próprio
utilizador como resultado do domínio que vai adquirindo dos
conceitos matemáticos, o que sugere em particular a possibilidade de
adopção de metodologias de ensino que se apoiem em técnicas básicas
de programação, técnicas essas que serão exemplificadas em seguida.
O exemplo escolhido consiste no desenvolvimento de uma aplicação
em Excel que permita desenhar uma figura qualquer, e variando a
razão de semelhança, observar a ampliação, redução ou congruência
obtida, a partir da figura inicial.
Será então objecto de estudo a aplicação razao-de-semelhança
apresentada no ponto 1.
Em Excel, para se construir o desenho da estrela, é necessário
começar por construir uma tabela com as coordenadas dos vértices da
figura.
Para construir um referencial cartesiano que permita desenhar a
figura através das suas coordenadas deverá escolher-se o botão
Assistente de gráficos da barra de ferramentas-padrão, seleccionando
em seguida o tipo de gráfico e o subtipo. Neste caso deverá escolherse o gráfico XY-Dispersão.
Com as duas colunas da tabela
preenchidas o gráfico é construído
facilmente seleccionando todos os
dados das células e clicando no botão
do
Assistente
de
Gráficos
escolher o tipo de gráfico XY e o
subtipo indicado a preto
Figura 15 – Tabela com as coordenadas dos vértices da estrela e respectivo gráfico.
Em seguida na célula D3 escreve-se um valor correspondente à
razão de semelhança e inclui-se uma barra de deslocamento para fazer
variar este valor.
Para incluir na aplicação um botão do tipo “Scrollbar” que controle
14
o valor da razão de semelhança (que está na célula D3), teremos de
começar por inserir a barra de “Control Toolbox”, a partir do menu
Tools – Customize.
Código para a barra de deslocamento:
Escolhendo o botão View Code ter-se-á acesso ao código que estará
associado ao Scrollbar1.
Private Sub ScrollBar1_scroll()
ScrollBar1.Min = 0
ScrollBar1.Max = 30
Cells(3, 4) = ScrollBar1.Value / 10
End Sub
Figura 16 – Barra de deslocamento correspondente à razão de semelhança.
Finalmente basta construir uma nova tabela que corresponde à
multiplicação dos primeiros valores pela razão de semelhança e
contruir novo gráfico (Figura 17).
Botão Design Mode. Quando activado
permite programar o botão Scrollbar. Para
activar o Scrollbar é necessário desactivar o
botão de Design Mode
Figura 17 – Figura ampliada, reduzida ou congruente.
15
4. Polígonos
Chama-se polígono a qualquer figura plana limitada por uma linha
fechada constituída por segmentos de recta consecutivos, isto é, por
uma linha poligonal fechada. Esses segmentos são os lados do
polígono e os vértices são os pontos comuns a dois lados
consecutivos.
ângulo interno
Chamam-se ângulos internos do polígono ou, mais simplesmente,
ângulos do polígono, aos ângulos formados por cada par de lados
consecutivos.
Chamam-se ângulos externos do polígono aos ângulos formados
por cada lado com o prolongamento do lado contíguo.
Um polígono diz-se convexo se o segmento de recta que une
qualquer dois dos seus pontos está totalmente contido no polígono.
Um polígono diz-se côncavo se não é convexo. Na figura o polígono
A é convexo e o polígono B é côncavo.
Polígono convexo
ângulo externo
Um polígono diz-se regular se tem todos os lados e todos os
ângulos iguais.
Polígono côncavo
Assim:
•
de entre todos os triângulos, só o triângulo equilátero é um
polígono regular;
•
o losango não é um polígono regular (porque os ângulos
não são todos iguais);
•
um rectângulo não é um polígono regular (porque não tem
todos os lados iguais).
Em qualquer polígono convexo, a soma dos seus ângulos é igual a
tantas vezes dois ângulos rectos quanto o número dos seus lados
menos dois.
Figura 18 – Soma dos ângulos internos de alguns polígonos.
16
Assim, no caso dos polígonos regulares com n lados, a medida de
n−2
cada um dos seus ângulos é igual a
π e a medida de cada
n
2
ângulo externo é igual a π .
n
17
Teorema de Thales
Um feixe de rectas paralelas determina em duas rectas
transversais
segmentos
correspondentes
directamente
proporcionais.
AB BC AC
=
=
DE EF DF
Figura 19 – Feixe de rectas paralelas determina em duas rectas segmentos
correspondentes proporcionais.
É habitualmente sob esta forma que surge o denominado Teorema
de Thales, um dos teoremas centrais no estudo da geometria plana
(Fig. 19). Este teorema, que teve como origem a resolução de
problemas envolvendo paralelismo e proporcionalidade, tem um
papel fundamental na teoria da semelhança e, consequentemente, na
trigonometria plana: é o teorema de Thales que permite definir as
funções trigonométricas como razões entre medidas de lados de
triângulos rectângulos.
Como demonstrar este teorema?
É frequentemente apresentada uma demonstração do Teorema de
Thales baseada na decomposição de AB e BC num número inteiro de
segmentos com o mesmo comprimento.
Esta decomposição pressupõe que os segmentos AB e BC são
comensuráveis, isto é, que existe um segmento AX e dois inteiros
positivos m e n tais que AB = mAX e BC = nAX.
18
Na figura 20 ilustra-se uma decomposição com m = 7 e n = 3.
Conduzindo rectas paralelas a AD pelos pontos da subdivisão,
determinamos um ponto Y no segmento DE tal que DE = m DY e EF
= n DY.
Então
logo
AB m AX m
=
=
BC n AX n
DE m AY m
=
=
EF n AY
n
e
AB DE
=
ou, de forma equivalente,
BC EF
AB BC
=
.
DE EF
Figura 20 – Os segmentos AB e BC são comensuráveis
Tendo em conta que AC = (m+n) AX e DF = (m+n) AY, resulta que
m AX
AB
m
=
=
AC (m + n ) AX m + n
Então
AB DE
=
, isto é,
AC DF
e
m AY
DE
m
=
=
.
DF (m + n ) AY m + n
AB AC
=
e, finalmente,
DE DF
AB BC AC
=
=
DE EF DF
Vamos seguidamente libertar-nos desta limitação, demonstrando o
teorema de Thales através de áreas de triângulos. Trata-se de uma
demonstração engenhosa mas elementar, já que envolve apenas a
determinação de áreas de triângulos.
Demonstração:
Retomando a figura inicial, tracemos a partir de A uma paralela a DF
(Fig. 21).
Como AB’ = DE e B’C’ = EF, o teorema fica demonstrado se
provarmos que
19
AB BC
=
AB' B' C'
A partir de B tracemos uma perpendicular a AB’ e seja G o pé dessa
perpendicular. Analogamente, a partir de B’ tracemos
uma
perpendicular a AB e seja H o pé dessa perpendicular.
Figura 21 – Paralela a DF, a partir de A.
A área do triângulo ABB’ pode ser expressa por
AB . B' H
AB'. BG
ou por
.
2
2
Então AB. B’H= AB’.BG e, consequentemente,
AB BG
=
AB' B' H
(1)
Unindo B com C’ e B’ com C obtemos os triângulos BB’C e BB’C’.
BC . B' H
A área do triângulo BB’C pode ser dada por
2
B' C'. BG
e a do triângulo BB’C’ por
.
2
Então BC .B’H = B’C’. BG e, consequentemente
BC
BG
=
B' C' B' H
De (1) e (2) resulta que
AB BC
=
como pretendíamos.
AB' B' C'
(2)
20
Resulta desta igualdade que
AB AC
=
.
AB' AC'
Com efeito, AC = AB +BC e AC’ = AB’ + B’C’.
Então
AC
BC
AC'
B' C'
= 1+
e
= 1+
.
AB
AB
AB'
AB'
AB BC
BC B' C
AC AC'
=
decorre que
=
, pelo que
=
ou, de
AB' B' C'
AB AB'
AB AB'
AB AC
=
como pretendiamos.
forma equivalente,
AB' AC'
De
De acordo com o Teorema de Thales, três rectas paralelas
determinam sobre duas secantes segmentos correspondentes
proporcionais. O resultado que demonstramos em seguida refere-se
às posições relativas das rectas que originam segmentos
proporcionais.
(i) Se três rectas determinam em duas transversais segmentos
correspondentes proporcionais e duas daquelas rectas são
paralelas a outra também o é.
Observemos a figura 22 em que AD, BE e CF são três rectas
que determinam em duas transversais segmentos proporcionais,
AB BC AC
isto é,
=
=
.
DE EF DF
Suponhamos que AD é paralela a BE.
Justifiquemos que CF também é paralela a AD e a BE.
Figura 22 – A partir de C, tira-se uma paralela a BE.
21
Suponhamos que CF não é paralela às outras duas rectas. Nessas
condições, a partir de C poderíamos tirar uma paralela CM a BE.
Tendo em conta a hipótese, as rectas BE, CF e CM determinam
BC BC
=
. Então EF = EM, sendo
segmentos proporcionais, isto é,
EF EM
F e M coincidentes, pelo que a recta CF é paralela a AD e a BE.
Em particular:
(ii) Se uma recta AD divide dois lados de um triângulo em
segmentos proporcionais entre si, ela é paralela ao terceiro lado
do triângulo.
Com efeito, se pelo vértice O, oposto a este terceiro lado, traçarmos
uma recta paralela a AD, como se assinala na figura 23, teremos três
rectas, sendo duas delas paralelas, que determinam sobre duas
transversais segmentos proporcionais. Por (i), AD também é paralela
ao terceiro lado, BC, do triângulo.
Figura 23 – Pelo vértice O traça-se uma recta paralela a AD.
Demonstremos as seguintes consequências do Teorema de Thales,
usualmente denominadas critérios de semelhanças de triângulos:
I – Dois triângulos com os três ângulos iguais são semelhantes.(*)
(*) É consequência de I que:
Demonstração:
Cortando um triângulo por meio
de uma recta paralela a um dos
seus lados, os dois triângulos
obtidos são semelhantes
Consideremos dois triângulos ABC e A’B’C’ em que ∠A = ∠A’,
∠B = ∠B’, ∠C = ∠C’ (Figura 24).
Este resultado foi descoberto por
Thales
e
é
habitualmente
enunciado na forma:
Se duas paralelas intersectam
duas secantes os triângulos
obtidos são semelhantes.
22
Figura 24 – Triângulos com os ângulos correspondentes iguais.
A' B' A' C' C' B'
=
=
.
AB
AC
CB
Nestas condições, os dois triângulos serão semelhantes.
e verifiquemos que também se tem
Sobre o lado AC marquemos um ponto D tal que CD = A´C´ e, a
partir de D, tracemos uma paralela a AB. Seja E o ponto de
intersecção dessa recta com CB (Figura 25).
Figura 25 – Recta paralela a AB.
Então temos que
CD CA
=
CE CB
ou, de forma equivalente,
(3)
CD CE
=
.
CA CB
Uma vez que C’A’ = CD e C’B’=CE, temos que
C' A' C' B'
=
.
CA
CB
A partir de D tracemos uma paralela a CB e seja F o seu ponto de
intersecção com AB (Figura 26).
Figura 26 – Recta paralela a CB.
23
Obtemos assim duas paralelas, DF e BC, e duas transversais AC e
AF FB
AB, pelo que
=
ou, tendo em conta que DE = FB,
AD DC
AF DE AB
DE DC CE
=
=
e, por (3),
=
=
.
AD DC AC
AB AC CB
Resta agora ter em conta que DE = A’B’, DC = A’C’ e CE = C’B’: a
A' B' A' C' C' B'
dupla igualdade anterior toma a forma
=
=
.
AB
AC
CB
Concluímos assim que os dois triângulos, além de terem os ângulos
iguais, têm os lados correspondentes proporcionais, pelo que são
semelhantes.
II – Dois triângulos que têm os três lados proporcionais são
semelhantes
Demonstração:
Sejam ABC e DEF dois triângulos tais que
AB AC BC
=
=
(Figura
DE DF EF
27).
Figura 27 – Triângulos ABC e DEF.
Marquemos E’ em AB tal que AE’ = DE e F’ em AC tal que
AF’ =DF (Figura 28).
Figura 28 – AF' = DF e AE' = DE
24
AB AC BC
AB AC
=
=
, temos que
=
e, por (ii),
DE DF EF
AE' AF'
E’F’ é paralela a BC.
Então os triângulos ABC e AE’F’ são semelhantes. pelo que
AB BC
=
.
AE' E ' F'
Uma vez que
Sendo AE’=DE, esta igualdade toma a forma
Tendo mais uma vez em conta que
AB BC
=
.
DE E ' F'
AB AC BC
=
=
, resulta que
DE DF EF
BC BC
=
e, consequentemente, EF = E’F’.
EF E ' F'
Então os triângulos AE’F’ e DEF são iguais e, sendo o triângulo
AE’F’ semelhante ao triângulo ABC, podemos concluir que os
triângulos ABC e DEF são semelhantes.
III – Dois triângulos que têm dois lados proporcionais e os
ângulos por eles formados iguais são semelhantes
Demonstração:
Consideremos dois triângulos ABC e A’B’C’ em que ∠C = ∠C’ e
A' C' C' B'
=
(Figura 29).
AC
CB
Figura 29 – Triângulos com dois lados proporcionais e os ângulos por eles
formados iguais.
Sobre o lado AC marquemos um ponto D tal que CD = A´C´ e um
ponto E tal que CE =B’C’ e tracemos o segmento DE. Os triângulos
DEC e A’B’C’ são iguais (Figura 30).
25
Figura 30 – Os triângulos DEC e A'B'C' são semelhantes.
A' C' C' B'
DC CE
=
=
temos que
e, por (ii), DE é paralela a
AC
CB
AC CB
AB. Então, os triângulos ABC e DEC são semelhantes, uma vez que
têm todos os ângulos iguais (critério I). Como os triângulos DEC e
A’B’C’ são iguais, os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes.
Como