Lista 1.1

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ – UNIFAP
PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO - PROGRAD
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS-DCET
CURSO DE FÍSICA
Disciplina: Física Estatística
Prof. Dr. Robert R. M. Zamora
LISTA DE EXERCÍCIOS I
1 - Os conceitos de média e densidade podem ser usados em qualquer sistema, não apenas os formados por átomos e
moléculas. Veja a foto abaixo, que mostra vários grãos de arroz espalhados sobre uma folha de papel. Como você faria
para estimar o número de grãos nessa foto usando o conceito de densidade?
Foto: Observamos quadrados com 2 cm de lado (linha preta) e com 1 cm de
lado (linha amarela). Área total da foto é 103,8 cm2
2 - Quais das quantidades abaixo é extensiva? Explique como obteve sua resposta.
(a) O preço de N folhas de papel A4.
(b) A energia eletrostática de uma esfera de raio R, dada por
=
5
3
4
onde ε0 é a permissividade elétrica do vácuo, V é o volume da esfera e ρ a densidade de carga.
(c) A energia cinética total de um gás monoatômico com N moléculas.
3 - Encontre os microestados, macroestados e suas multiplicidades para um paramagneto uniaxial com N = 4 ( N é o
numero de átomos).
4 - Calcule a dispersão relativa para as distribuições mostradas na figura abaixo.
Figura: PN(M) para diferentes valores de N. Na linha superior N = 40,
e na inferior, N = 20. Na coluna da esquerda p = q = 0, 5, a distribuição é
simétrica com relação ao ponto de máximo, que ocorre para M = <M> = 0.
Na coluna da direita um dos resultados é bem mais provável, p = 0, 9 e
q = 0, 1, levando a uma distribuição assimétrica, cujo máximo ocorre para
M = 0, 8N. Note que, para N = 40, embora M esteja definido entre −40 e
40, a distribuição é bem concentrada em torno de M = 0.
5 - Energia do elétron
A densidade de probabilidade P(E) de localizar um elétron com energia E em uma certa posição é:
P ( E ) = 0.2δ ( E + E0 ) ⇔ E < 0
1
P ( E ) = 0.8 e − E / b ⇔ E > 0
b
onde Eo = 1.5 eV e b = 1.0 eV
a) Qual é a probabilidade que E seja maior que 1.0 eV?
b) Qual é a energia media do elétron, isto é
ou ⟨ ⟩?
6 - Há uma rede unidimensional com constante de rede a, como é mostrado na figura abaixo. Um átomo transita de um
sitio para um local vizinho mais próximo a cada τ segundos. A probabilidade de transitar para a direita ou esquerda
são p e q = p-1 respectivamente.
(a) Calcular a posição media <x> do átomo em um tempo de t = Nτ, onde N >> 1;
(b) Calcular o desvio quadrático médio ⟨
− ⟨ ⟩ ⟩ no tempo t.
NOTA: O exercício (2) pode ser colocado também da seguinte maneira;
Seja uma cadeia unidimensional de átomos, sendo a a separação entre eles. A cada segundos um átomo “pula” de
um sítio para o outro. A probabilidade do pulo ser para a direita é p, e para esquerda q, onde p + q = 1 .
(a) Calcule a posição média, <
> de um átomo em um instante t = N , onde
(b) Calcule o valor médio quadrático <
>
N
1.
x > no instante t.
7 - Problema 1.19 - Cap. 1, F. REIF
8 - Estatística de Bose - Einstein
Sabemos que o campo eletromagnético numa cavidade pode ser decomposto (uma série de Fourier 3-dimensional) por
um número infinito contável de modos, cada um com seu próprio vetor de onda
e direção de polarização . Em
Física Moderna aprendemos que a energia de cada modo é quantizado em unidades de ℏ
onde
= c|k|. Cada
unidade de energia é chamado de fóton e se diz que existem n fótons em um determinado modo. Mais tarde no
decorrer do curso seremos capazes de derivar o resultado de que, em equilíbrio térmico, a probabilidade de que um
dado modo terá n fótons é
n = 0, 1, 2, 3.........
! " = 1 − $ $%
onde a <1 é uma constante dimensional a qual depende de ω e a temperatura T. Esta é chamada pelos Físicos como
densidade de Bose - Einstein.
(a) Calcular ⟨"⟩.
(b) Calcular a variância e expressar teu resultado em termos de ⟨"⟩. Para uma determinada média, a densidade de
Bose-Einstein tem uma variância que é maior do que a da de Poisson por um factor. Qual é esse fator?
9 - Considere a distribuição Poissoniana
$% *'
&' " =
)
"!
(a) Demonstre que a distribuição de Poisson é normalizada.
(b) Calcule o valor médio da distribuição e sua variância.
10 - A variável aleatória + obedece à distribuição de probabilidade
(a) Encontre ⟨ ⟩ ./
(b) Dois valores
0
f (x) = e*e
(0 < x <
)
são escolhidos independentemente. Encontre 2222222222
e 222222
0+
0
(c) Qual a distribuição de probabilidade &($ da variável aleatória $ = (
(3/4)56ã.: 8/9:$:. ;.< .5 :.<í"9.5 :) 9"6)4=$çã.!
0
+
)/2
11 - Mostre que a função característica para a distribuição gaussiana é
∅
= ) ?@-̅ ) *@
BCB/
(Veja que o fator gaussiano em φ(k) faz com que apenas valores de k da ordem de 1/E sejam importantes, pois φ (k)
é muito pequeno para k ≫ 1/ E. É possível traçar uma analogia com o princípio da incerteza?)
12 - Em 0.30 mg de ²³⁸U temos 7.6 × 100J átomos. A probabilidade de que um núcleo se desintegre por segundo
(emitindo uma partícula K) é 4.9
10*0L. Então, para t = 1s, p = 4.9
10*0L. Estamos supondo que os decaimentos
de diferentes átomos não sejam correlacionados.)
(a) Argumente por que a distribuição de Poisson é uma boa aproximação para o decaimento estatístico do ²³⁸U ,
supondo que a distribuição binominal descreve bem o processo.
(b) Escreva a distribuição de Poisson que dá a probabilidade de que em 1 s, n núcleos decaiam e construa o
histograma &' (n ≤ 15).
(c) Qual a probabilidade de que em 1 s nenhum átomo decaia?
(d) Qual a probabilidade de que em 1 s pelo menos 5 átomos decaiam?
13 - No caso da distribuição gaussiana o desvio padrão tem um significado estatístico bem definido. No caso em que
&(x) =
0
√ OC
exp P−
-*Q B
CB
R
(a) Qual a probabilidade de observarmos um evento num intervalo ST − E, T + EV?
(b) E em ST − 3E , T + 3EV? (observação: o resultado será em termos da função erro. O valor numérico pode
ser obtido consultando uma tabela – recomenda-se Abramowitz e Stegun, Handbook of Mathematical
Functions (Dover, New York)
14 - Um modelo simples de um polímero consiste de N ≫ 1 hastes de comprimento a, juntadas pelas pontas,
formando uma cadeia. As hastes são orientadas aleatoriamente e pode se cruzar, de tal modo que o modelo
efetivamente descreve um passeio aleatório em três dimensões com um total de N passos. (Usualmente, N = 10W e a =
2Å)
(a) Qual é a posição média ⟨=⟩ de um aponta de polímero se a outra ponta encontra-se fixa na origem?
(c) Qual é a flutuação típica E da distância linear entre as pontas do polímero?
(E = Y⟨= ⟩ − ⟨=⟩ )
Lembre-se do teorema do limite central. Deve ser útil o seguinte lembrete a respeito de integrais sobre uma superfície
esférica de raio a
Z
:Ω
:Ω
:Ω $
= Z[
= Z\
=
3
4
4π
4π
15 - Os momentos de uma variável aleatória são dados por <
%
> = (1/A % , onde A é uma constante. Encontre a
função de distribuição de X.
16 - Um bêbado, tentando andar em uma linha reta, tem igual probabilidade de ir para frente ou para trás uma
distância – $ ≤
<
<
≤ $ em cada passo. Após N passos, qual será seu deslocamento médio
x
, e qual a variância,
> ? Qual o significado da variância?
15 - Um oscilador harmônico clássico de massa m e constante de força k possui energia total E, mas inicia seu
movimento em um instante completamente desconhecido. Encontre a probabilidade p(x), da massa ser controlada em
um intervalo entre x e x+dx.
18 - Suponha que uma colônia possua dois tipos de bactéria: as vermelhas e verdes. Cada bactéria se reproduz
assexuadamente dividindo-se ao meio: vermelha
vermelha + vermelha e verde
verde + verde, com um tempo de
reprodução de 1 hora. A colônia, contendo 5000 vermelhas e 5000 verdes é permitida se alimentar e se reproduzir. A
fim de manter o tamanho da colônia fixo, um predador é introduzido de modo que o número total de bactérias é
mantido igual a 10 000. O predador não distingue o tipo de bactéria
(a) Após um longo tempo, qual a distribuição de probabilidades do número de bactérias vermelhas?
(b) Qual seria o efeito 1% de preferência do predador para comer a bactérias vermelhas?
19 - Considere um gás com N moléculas contido num volume
. Considere um certo subvolume V, como
esquematizado na figura abaixo.
(a) Calcule a probabilidade de que exatamente n moléculas estejam em V, não interessando quais sejam.
(b) Calcule a dispersão relativa R =E /< " > e explique o comportamento de R quando V≪
eV≈
20 - Um sólido contém N núcleos que não interagem entre si. Cada núcleo pode estar em qualquer um dos três estados
quânticos, rotulados pelo número quântico m, que pode ter os valores 0 e ±1. Devido a interações elétricas com
campos internos ao sólidos, núcleos nos estados m = 1 ou m = −1 tem a mesma energia
do estado m = 0 é zero. Calcule a multiplicidade g( E, N) do macroestado de energia E.
> 0, enquanto que a energia
21 - Directed Random Walk
The motion of a particle in three dimensions is a series of independent steps of length ι. Each step makes an angle θ
with the z axis, with a probability density P b = 2 cos b/2 / ; while the polar angle φ is uniformly distributed
between 0 and 2π. (Note that the solid angle factor of sinθ is already included in the definition of P(θ), which is
correctly normalized to unity.) The particle (walker) starts at the origin and makes a large number of steps N.
(a) Calculate the expectation values <z>, <x>, <y>, <z>2, <x>2, and <y>2, and the covariances <xy>, <xz>,
and <yz>.
(b) Use the central limit theorem to estimate the probability density p(x; y; z) for the particle to end up at the
point (x, y, z).
22 - A teoria estatística de reações nucleares de núcleo composto, uma secção de choque típica é dada por
E g = hi
?
j?
h
g − g? − 9Γ? /2
Onde a soma é feita sobre muita ressonâncias, cada uma delas correspondendo a uma energia
? uma
largura parcial j?
e uma largura total Γ? . Para o núcleo composto existe um regime onde as seguintes hipóteses são válidas:
(i) todos Γ? são reais e iguais à constante ;
(ii) os j? são números reais distribuídos gaussianamente com
(iii) os g? são igualmente espaçados, com espaçamentos D e
(iv) D≤
222=
jk 0
222
jk = $ = cte
. (Caso você esteja interessado na física do problema, consulte K.S.Krane, Introductory Nuclear Physics)
22222222 e 2222222222222222222
E
E +
e mostre que:
Usando as aproximações acima calcule 2222222
E g ,E
2222222
C l B
222222222
CB l
=
0
e
222222222222222222222222
SC l *C l m n VB
22222222
CB l
=
nB
n B mΓB