MatBas04 - Potenciação

MÓDULO IV
Exercício Proposto
POTENCIACÃO
EP.02) Determine o valor de:
3
a) 5 =
1. Definição
Quando um número é multiplicado por ele mesmo,
dizemos que ele está elevado ao quadrado, e
escrevemos:
2
a.a=a
Se um número é multiplicado por ele mesmo várias
vezes, temos uma potência:
a
.
a
.
a = a 3 (a elevado ao cubo)
3 fatores
a
a
. a
. a = a 4 (a elevado a quarta)
.
4 fatores
De uma forma geral, se um número a aparece
multiplicado por ele mesmo n vezes, então reescrevemos
n
esse número como a .
Exemplos:
2
a) 3 . 3 = 3
5
b) 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 2
c) 7
.
... .
7 = 7 20
20 fatores
Assim, em uma potenciação, sendo a ∈ ℜ* , b ∈ ℜ ,
n ∈ N* , definimos:
expoente
4
b) 3 =
2
c) (– 4) =
2
d) – 4 =
3. Potência de expoente inteiro negativo
Sendo a um número real não-nulo e n um número
inteiro positivo, define-se:
a −n =
EP.03) Determine o valor de:
–3
a) 2 =
–2
b) 5
=
c) (–3)
–4
–4
a =b
potência
base
Casos particulares:
0
a) para a ∈ R * , temos a = 1
b) para a ∈ R , temos a = a
n
c) para n ∈ N* , n ≠ 0, temos 0 = 0
1
d) para n ∈ N , n = 0, temos 0 = 0 = não existe
n
0
Exercício Proposto
EP.01) Em uma certa colônia, cada bactéria se reproduz
dividindo-se em quatro bactérias a cada minuto. Partindo
de uma só bactéria, quantas serão produzidas em 5
minutos?
an
Exercício Proposto
d) – 3
n
1
3
e)  
5
=
=
−2
=
4. Propriedades da potenciação
As propriedades a seguir podem ser aplicadas para
potências com expoentes inteiros e não-nulos e com as
bases sendo números reais também não-nulos.
Satisfeitas essas condições de existência, temos
que:
Propriedade 1:
am . an = am + n
Exemplo:
a3 . a2 = a
.
a
.
a . a
.
a
= a5
3 fatores
2 fatores
5 fatores
2. Potência de expoente inteiro positivo
Sendo a um número real e n um número inteiro
maior que 1, a enésima potência de a é definida por:
an = a
.....
a
n fatores
Exercício Proposto
EP.04) Simplifique a expressão:
3n + 4 − 3n.3
3.3 n + 3
Matemática Básica IV 1
am : an = am−n
Propriedade 2:
Propriedade 5:
Exemplo:
fatores
6
a
a.a.a.a.a.a
=
=a
.
a
. a
. a = a 4 = a6 − 2
2
a
.a
a
4 fatores
6
2 fatores
10
a) 7
1
d)
7
− 10
Propriedade 3:
20
b) 7
c)
1
710
– 20
Exemplo:
(a3 )4 = a3 . a3 . a3 . a3 = a3+3+3+3 = a12 = a3.4
Exercício Proposto
Propriedade 4:
(a . b )
bn
4
a a a a a × a × a × a a4
a
=
× × × =
=
 
b b b b b × b × b × b b4
b 
−3
2
3
EP.08) Sendo a =  
e b =   , podemos afirmar
3
2
corretamente que:
a) a é um número inteiro e b é um número fracionário.
b) a é um número fracionário e b é um número inteiro.
c) a > b.
b) a < b.
c) a = b.
5. Potenciação com números decimais
(am ) n = am . n
3
an
−3
e) 7
3
=
Exercício Proposto
710 + 7 20 + 730
é igual a:
7 20 + 730 + 7 40
EP.06) Sendo x =  22  , y = 22


valor de x . y . z.
n
Exemplo:
Exercício Proposto
EP.05) A expressão
a
 
b 
2
e z = 23 , calcule o
As potenciações de números decimais são
efetuadas da mesma maneira que com números inteiros.
Devemos observar com cuidado a quantidade de casas
decimais que terá a potência.
Exercício Resolvido
ER.01) Desenvolver as potências:
3
a) (0,2)
2
b) (1,2)
2
c) (0,03)
0
d) (3,27)
1
e) (1,3)
Resolução:
3
a) (0,2) = (0,2) ,(0,2) . (0,2) = 0,008
(o resultado terá 3 casas decimais)
2
n
n
= a .b
n
b) (1,2) = (1,2) . (1,2) = 1,44
(o resultado terá 2 casas decimais)
2
Exemplo:
(a.b )3 = a.b × a.b × a.b = a × a × a × b × b × b = a 3 .b3
1
EP.07) Qual é o valor da expressão
4
0
d) (3,27) = 1
(Todo número, não nulo, com expoente zero, equivale a 1)
Exercício Proposto
a . b − 2 .  a − 1. b 2  .  a . b − 1 

 

−3
2
−1  −1


a . b . a . b . a . b 



–3
–2
quando a = 10 e b = 10 ?
c) (0,03) = (0,03) . (0,03) = 0,0009
(o resultado terá 4 casas decimais)
2
e) (1,3) = 1,3
(todo número com expoente um, equivale a ele mesmo)
Exercício Proposto
EP.09) Desenvolva as potências em cada item:
2
a) (0,4)
4
b) (0,04)
2
c) (0,11)
3
d) (1,5)
Matemática Básica IV 2
6. Expressões numéricas com potências
As regras para expressões numéricas que envolvem
potenciação são as mesmas utilizadas para números
inteiros, frações e números decimais.
As operações são efetuadas na seguinte ordem:
1º) Potenciação e Radiciação (Raízes) na ordem em que
aparecem;
2º) Multiplicação e Divisão, na ordem em que aparecem;
3º) Adição e subtração, na ordem em que aparecem.
Parênteses, colchetes e chaves devem ser
efetuadas do interior para o exterior, assim:
{
[
(
)
]
Exercício Resolvido
ER.02) O valor da expressão abaixo é igual a:
 2  2  1   1  1    2  −3
 − 1 −  −  ÷  −  −   +  − 
 2   4  3    3 
 3 
Resolução:
2
−3
 2


  1   1  1    2 
=
−
1
−
−
÷
−
−
+
−
        

3
2
4
3
3













 2 − 3   1   4  1    3 3
 −  −  ×  −  −   +  −  =

 3   2   1  3    2 
 1 2  1   4 ÷ 2  1    27 
×−
 −  +  −  =
 −  −  −
 3   2 ÷ 2   1  3    8 
 1  1   2  1   27
=
 −  −  ×  −  −   −
 9  1   1  3   8
 1  (− 1) × (− 2) 1   27  1  1   27
− −
=  − 2− −
=
 −


3   8
 9  1× 1
9  3  8
 1  6 − 1  27  1 5  27 1 − 15  27
=  − −
= 
=
 −
−
 −
9 3  8
 9  8
9  3  8
2
=
=
=
=
=
=−
14
9
−
27
8
=
− 112 − 243
72
= −
Exercícios Complementares
}
1º) Parênteses
2º) Colchetes
3º) Chaves
As regras de sinais são as mesmas obedecidas
para números inteiros.

EP.11) (UNIMEP) Segundo Sir Arthur Eddington, o
número de elétrons que existe em todo o Universo é
256
136.2 . Por um lapso de memória, um curioso esqueceu
o valor do primeiro fator e em lugar de 136 escreveu 128.
256
Desse modo, o número apareceu como 128. 2 . O valor
que mais se aproxima deste número é:
256
a) 256 .
256
b) 200 .
200
c) 200 .
80
d) 10 .
200
e) 10 .
355
72
Exercícios Propostos
EP.10) Determine o valor das expressões numéricas em
cada alternativa abaixo:
2
 2 3 2

3
 +  − 4 ÷  5 
 1 1
5
 +  .(1,6 − 0,4 )
 3 2 
 6
2 3

a) 
b) 
−1
2

 3  − 1 3 
2  7  1 2  
− − + 
  + 
3 9  6 3  
4
 4 



EC.01) Reduza a uma única potência:
4
2
a) 7 . 7
b) 3 . 3
8
3
7
9
2
2
c) 2 . 2 . 2
d) 5 : 5
e)
f)
310
34
a6
, com a ≠ 0
a
( )
h) (2 )
g) 25
3
6 x
i)
27.2 3
2− 4
( )
j) 3 4.3
−2
EC.02) Assinale as sentenças abaixo com V caso sejam
verdadeiras e com F caso sejam falsas:
2
2
2
6
( )4 .4 .4 =4
3
( ) (1,5) : (1,5) = 2,25
2 3
3 2
( ) (10 ) = (10 )
(
3
) 10 2 = 10 3
2
EC.03) Aplique as propriedades de potenciação em cada
uma das alternativas abaixo, reduzindo a uma única
potência:
12
–3
a) 7 . 7
–1
–2
5
b) 6 . 6 . 6
x
x
2x
c) a . a . a
4
–3
d) (0,2) : (0,2)
x3
e)
x5
–3 –2
f) (10 )
7
7
g) 5 . 4
EC.04) Determine o valor de cada uma das expressões
abaixo:
2
a) (2 x 3 – 4) + 10 : 5
5
b) 21 : 7 + (5 x 1 – 2 x 2) + 10
Matemática Básica IV 3
5
 1
 1
c)   .  
2
2
 1  −3 
d)   
 3  
−2
−3
 1
.  
2
 1
×  
3
8
 1
:  
2
EC.09) Classificar em verdadeiro (V) ou falso (F):
9
−5
3 –2
(
)(5)
(
)2
(
)
–4
(
3
= 16
7− 2
7
 1 
−2 
e)  −  + 2 −3 + (− 2) 
 2 

−5
1
–6
= 5
–3
=7
)л +л
–1
=1
EC.10) Simplificar as expressões:
 1  2  2   1
f) − .  −  −  .  − 
 2  11  11  2 
a) a 2n + 1.a1 − n .a 3 − n
50
EC.05) Quanto é a metade de um quarto de 2 ?
b) a 2n + 3 . a n − 1
EC.06) Simplifique cada uma das expressões:
c)
2
3 2
3
an+ 4 − a 3 .a n
a 4 .a n
2 3
a) (a . b ) . (a . b )
(a .b )
(a.b )
2 3
4
b)
3
3
2 2 3
c) [(a . b ) ]
EC.07) Calcule:
–1
g) (0,25)
a) 3
–3
n
b) (– 2)
–1
h) (– 0,5)
–1
c) – 3
2
2
e)  
3
–1
j)
−1
 3
f)  − 
 2
k)
−3
EC.12) Para todo n, (2 + 2
n
a) 6
b) 1
c) 0
n
d) 2 . 3 + 2 . 3n
n
n–1
n
n
e) 2 . 3
+ 2 .3
n–1
n
).(3 –3
n–1
) é igual a:
1
(0,2)− 2
EC.13) Efetue
1
(0,01 . 0,12 ) + (0,14 )2 + 0,04
3
1
(0,01)− 2
−3
EC.14) (FUVEST) O valor da expressão
 1 1
1−  − 
6 3
2
3
 1 1
 +  +
2
6 2
EC.08) Calcular o valor das expressões:
a)
–3
1
i)
d) – (– 3)
2
EC.11) (FUVEST) O valor de (0,2) + (0,16) é:
a) 0,0264
b) 0,0336
c) 0,1056
d) 0,2568
e) 0,6256
2 2
2 − 1 − (− 2)2 + (− 2)− 1
22 + 2 − 2
2
 1  1
 −  . 
2 2
b) 
3
 1  2 
 −  
 2  
3
1
2
3
b)
4
7
c)
6
3
d)
5
a)
e) −
3
5
Matemática Básica IV 4
é:
GABARITO
− x 2 + xy
para os
y
EC.15) Calcule o valor numérico de
Exercícios Propostos
valores x = – 0,1 e y = 0,001.
5
EC.16) Simplificando o quociente
2n + 4 − 2.2n
2.2
n+3
, obtemos:
1
8
n
b) – 2 + 1
n
c) 1 – 2
7
d)
8
e) 14
a) 2n + 1 −
EP.01) 4
EP.02) a) 125 b) 81
1
1
EP.03) a)
b)
8
25
26
EP.04)
27
EP.05) C
23
EP.06) 2
–9
EP.07) 10
EP.08) C
EP.09) a) 0,16
c) 0,0121
EP.10) a) 3
EC.17) (Fuvest)
22
a) Qual a metade de 2 ?
b) Calcule
2
3
8
e)
12
7
Exercícios Complementares
+ 9 0,5 .
−5
−2
e b = 0,004.10 , então
a
b
é equivalente a:
a) 0,3125%.
b) 3,125%.
c) 31,25%.
d) 312,5%.
e) 3.125%.
9
EC.01) a) 7
b) 3
5
15
f) a
g) 2
EC.02) V – V – V – F
9
2
EC.03) a) 7
b) 6
–2
6
e) x
f) 10
EC.04) a) 6
b) 14
12
c) 2
6x
h) 2
7
d) 5
14
i) 2
4x
6
e) 3
– 10
j) 3
7
c) a
d) (0,2)
7
g) 20
1
1
1
1
c)
d)
e) −
f)
2
3
8
2.662
47
 1 1
EC.19) (UEL) A expressão  + 
x y
equivalente a:
a) x + y
b) x − 1 + y − 1
xy
c)
x+y
− 1
, para x ≠ −y ≠ 0, é
x−y
xy
EC.05) 2
13 12
EC.06) a) a .b
1
EC.07) a)
3
1
d)
3
g) 64
1
j)
25
1
EC.08) a) −
17
EC.09) V – F – F – F
5
EC.10) a) a
1 1
−
x y
2x
25
9
EP.11) D
EC.18) (UEL) Se a = 0,125.10
e) −
d) – 16
1
d) −
81
b) 0,00000256
d) 3,375
b)
6
d)
c) 16
1
c)
81
−x
EC.20) (Osec) Se 10 = 25, então 10 é igual a:
a) 5
1
b)
5
c) 25
1
d)
125
e) − 5
EC.11) B
EC.12) A
EC.13) 0,22
EC.14) D
EC.15) – 10,1
EC.16) D
21
EC.17) a) 2
EC.18) B
EC.19) C
EC.20) B
10
2
b) a .b
1
b) −
2
3
e)
2
h) – 8
1
k)
10.000
18
12
c) a .b
1
c) −
3
8
f) −
27
i) 8
b) 2
3n + 2
b) a
c)
a −1
a
b) 7
Matemática Básica IV 5