2 - Unifal-MG

Profa. Andréa Cardoso
UNIFAL-MG
MATEMÁTICA-LICENCIATURA
2015/1
Aula 24:

A contribuição dos
Europeus
01/06/2015
2
Fórmula de Cardano-Tartaglia

𝑥 3 + 𝑝𝑥 = 𝑞
3
𝑥=
01/06/2015
𝑞
− +
2
𝑞
2
2
𝑝
+
3
3
3
+
𝑞
− −
2
𝑞
2
2
𝑝
+
3
3
3
Primeiro Problema

 Como lidar com números negativos e raízes de
números negativos na resolução da equação cúbica?
 Exemplo:
Resolver
 Por inspeção,
𝑥=4
𝑥 3 + 15𝑥 − 4 = 0
é uma solução para a cúbica.
 A equação tem mais duas soluções positivas
e
𝑥 = −2 + 3
𝑥 = −2 − 3
01/06/2015
4
Primeiro Problema

𝑥 3 + 15𝑥 − 4 = 0
 Pela fórmula de Cardano-Tartaglia
𝑥=
3
2 + −121 +
3
2 − −121
Número
desconhecido
01/06/2015
5
Um problema que não podia ser ignorado

 No método hindu desconsiderava-se as soluções que
apareciam números negativos.
 E agora?
 As soluções eram positivas mas envolviam
manipulações de raízes de números negativos!
01/06/2015
6
Exemplo
𝑥 3 + 15𝑥 − 4 = 0

𝑥 =
𝑥 =
3
3
2 + −121 +
2 + −1
3
+
3
3
2 − −1
 𝑥 = 2 + −1 + 2 − −1
𝑥 = 4
01/06/2015
L’Algebra
(Bombelli, 1530)
2 − −121
3
2 + −1
3
=
2
= 2 + −1 2 + −1
= 2 + −1 3 + 4 −1
= 2 + 11 −1
= 2 + −121
7
Mais Problemas

 O método hindu para resolução de equações
quadráticas exibe duas raízes.
 Porque a fórmula de Cardano-Tartaglia fornece
somente uma solução para a cúbica?
 Qual é a relação do grau da equação polinomial com
o número de raízes?
01/06/2015
8
Quantas soluções pode ter uma cúbica?

 Seja uma cúbica com três soluções reais 𝑎, 𝑏 e 𝑐.
(𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)(𝑥 − 𝑐) = 0
𝑥 3 − 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑥 2 + (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐)𝑥 − 𝑎𝑏𝑐 = 0
01/06/2015
9
Quantas soluções pode ter uma cúbica?

𝑥 3 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0
 Para escrever da forma
 Devemos ter
𝑎+𝑏+𝑐 =0
𝑐 = −(𝑎 + 𝑏)
 Assim,
𝑥 3 + 𝑎𝑏 − 𝑎 + 𝑏
01/06/2015
𝑝
2
𝑥 + 𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏) = 0
𝑞
10
Quantas soluções pode ter uma cúbica?

𝑥 3 = + 𝑎𝑏 − 𝑎 + 𝑏
2
𝑥 + 𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏) = 0
 Aplicando a fórmula de Cardano-Tartaglia
3
𝑥=
𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏)
−
+
2
+
01/06/2015
3
𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏)
2
𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏)
−
− Δ
2
2
𝑎𝑏 − 𝑎 + 𝑏
+
3
2 3
Δ
11
Quantas soluções pode ter uma cúbica?

Δ =
−4𝑎6 −12𝑎5 𝑏+3𝑎4 𝑏2 +26𝑎3 𝑏3 +3𝑎2 𝑏4 −12𝑎𝑏5 −4𝑏6
108
Δ =
− 𝑎−𝑏 2 2𝑎𝑏 2 𝑎+2𝑏 2
108
<0
 Para se ter 3 raízes reais para equação polinomial de
grau três, devemos ter
Δ<0
01/06/2015
12
Implicações da Resolução da Cúbica

 É imperioso ter uma aritmética para trabalhar com
números negativos imaginários!
 Os números que a Matemática vinha trabalhando há
séculos não eram mais suficientes para o estudo da
Álgebra.
01/06/2015
13
Conjuntos Numéricos
antes do século XVI

Naturais
Desde a Pré-história
(10000 a.C.).
Para contagem
1, 2, 3, ...
Racionais
Antigos egípcios
(3000 a.C.), números
fracionários.
𝑎
Da forma 𝑏 com
𝑎, 𝑏 ∈ ℕ
Irracionais
Da descoberta do
Pitagóricos (IV a.C.)
até a compreensão de
Eudoxo (2 séculos)
Números que não
podem ser escritos
como fração.
01/06/2015
14
Números no século XVI

 Números negativos eram aceitos nos cálculos, mas não
como solução de uma equação.
 Cardano foi o primeiro a operar com as quantidades
fictícias.
Os objetos matemáticos só eram admitidos
como grandezas geométricas.
 A Álgebra ainda estava profundamente vinculada à
Geometria.
01/06/2015
15
Números nos séculos XVII e XVIII

 Foram necessários 200 anos para que o problema
fosse esclarecido.
01/06/2015
16
As bases da Teoria dos Números
Complexos

2 + −1
2 − −1
3
3
= 2 + −121
= 2 − −121
 Com as seguintes regras:
1) −𝟏 ∙ −𝟏 = −𝟏
2) − −𝟏 ∙ −𝟏 = 𝟏
3) − −𝟏 ∙ − −𝟏 = −𝟏
01/06/2015
17
Números Complexos

 René Descartes (1596-1650)
 Em La Géométrie (1637).
 Introduz o termo
número imaginário para designar os números complexos.
 Atribuiu esse nome pelo objetivo inicialmente pejorativo:
na época, acreditava-se que tais números não existissem.
01/06/2015
18
Números Complexos

 Jean le Rond d’Alembert (França, 1717-1783).
 Diz que um número que envolve uma raiz de
um número negativo pode ser escrito da
forma
𝑎 + 𝑏 −1
é denominado número complexo.
 𝑖 2 = −1 ⇒ 𝑖 = −1, se 𝑏 = 0 então o número é real.
 Se a = 0 então é um número imaginário, não mais no
01/06/2015sentido de Descartes.
19
Contribuições de D’Alembert

 Para resolução de equações, demonstrou o
Teorema Fundamental da Álgebra:
Toda equação polinomial a uma variável de
grau n tem exatamente n soluções.
 Junto com Denis Diderot ficou conhecido por
reunir todas as descobertas científicas da época em
um livro denominado Enciclopédia.
Conjuntos Numéricos

 Leonard Paul Euler (Suíça, 1707-1783)
 Define as operações básicas com os números
complexos e mostra que
𝑎 + 𝑏 −1
 Compreende todas as quantidades reais.
01/06/2015
21
Conjuntos Numéricos
depois do século XVIII

ℂ
1 − 2𝑖
2−𝑖
𝑖 = −1
2+𝑖
01/06/2015
1 + 2𝑖
ℝ
22
Referências

 GARBI, G. O romance das equações algébricas. 2003.
 GUELLI, O. Equação: o idioma da álgebra. Contando a
história da matemática. São Paulo: Ática, 2003.
 ROQUE, T.; CARVALHO, J.B.P. Tópicos de história da
matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2012.