Geometria Métrica Espacial

1. Prismas
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Geometria Métrica Espacial
Chama-se prisma a reunião de todos os
segmentos paralelos e congruentes a XY que têm
uma extremidade num ponto qualquer do polígono e
que estão situados num mesmo semi-espaço
determinado por α.
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
4
Geometria Métrica Espacial
1.1. Elementos do prisma
1.Prismas
2.Pirâmides
3.Cilindros
4.Cones
'
5.Esfera
'
'
'
'
'
Vértices: São os pontos A, B, C, …, A’, B’, …
Bases: São os polígonos ABCDEF e A’B’C’D’E’F’. As
bases são congruentes e estão contidas em planos
paralelos.
Altura: É a distância dos planos que contêm as
bases do prisma.
1. Prismas
5
1.1. Elementos do prisma
'
'
'
'
'
'
Arestas das bases: São os lados das bases. Ou
seja, AB , BC , … A'B ', B 'C ' , …
Considere um polígono qualquer contido num
plano α e seja r uma reta qualquer, secante a α em
um ponto X. Em r, considere também um ponto Y
distinto de X.
Arestas laterais: São os segmentos que unem os
vértices correspondentes das bases. Isto é, AA' ,
3
BB ,' CC .'
6
1
1.1. Elementos do prisma
1.3. Classificação
'
prisma
prisma
reto
oblíquo
'
'
'
'
'
Faces laterais: São os paralelogramos ABB’A’,
BCC’B’, CDD’C’, … Genericamente, tanto as faces
laterais como as bases são denominadas faces do
prisma.
Diagonal: É qualquer segmento que une dois
vértices não pertencentes a uma mesma face.
Um prisma é denominado reto se suas
arestas laterais são perpendiculares aos planos das
bases. Caso contrário, o prisma é denominado
oblíquo.
7
1.2. Nomenclatura
Note que as faces laterais de um prisma
10
reto são retângulos.
1.3. Classificação
prisma
prisma
triangular
pentagonal
Paralelepípedo reto
retângulo
Dentre os prismas retos convém destacar o
Conforme as bases de um prisma sejam
triângulos, quadriláteros, pentágonos … o prisma é
denominado triangular, quadrangular, pentagonal, …,
respectivamente.
paralelepípedo reto retângulo, no qual todas as
faces, incluindo as bases, são retângulos.
8
1.2. Nomenclatura
11
1.4. Prisma regular
paralelepípedo
Dentre os prismas quadrangulares convém
destacar os paralelepípedos. São aqueles cujas
bases são paralelogramos.
Um prisma reto cuja base é um polígono
regular é denominado prisma regular.
9
12
2
1.4. Prisma regular
1.5. Área lateral e área total
Exercício 1: Calcular o comprimento de uma
diagonal de um paralelepípedo reto retângulo,
sabendo que as arestas de base medem 4 cm e 3
cm e que sua altura é igual a 2 cm.
Um prisma reto cuja base é um polígono
regular é denominado prisma regular.
13
1.4. Prisma regular
16
1.5. Área lateral e área total
Exercício 2: Calcular a área total de um prisma
triangular regular, cuja aresta da base mede 4 m e
cuja altura é igual a 6 m.
Dentre os prismas regulares devemos
destacar o cubo ou hexaedro regular. No cubo, as
6 faces são quadrados.
14
1.5. Área lateral e área total
17
1.5. Área lateral e área total
Chama-se área lateral de um prisma a soma
das áreas de todas as suas faces laterais. A área
lateral será denominada por Sl.
Exercício 3: De um cubo de aresta a, calcule: a) a
área total e b) a diagonal.
A área total de um prisma é a soma de sua
área lateral com as áreas de suas bases. A área de
uma base e a área total de um prisma serão
denotadas por SB e St, respectivamente.
Assim sendo:
St = Sl + 2 ⋅ SB
15
18
3
1.5. Área lateral e área total
1.5. Área lateral e área total
Exercício 4: A área total de um cubo é igual a 54
cm2. Qual é a medida de sua diagonal?
Exercício 7: A figura abaixo mostra um prisma
hexagonal regular. Calcule: a) a área lateral; b) a
área de uma base; c) a área total e d) a diagonal D.
19
1.5. Área lateral e área total
22
1.6. Volume do prisma
Exercício 5: As dimensões de um paralelepípedo
reto retângulo são a, b e c. Calcule a área total e a
diagonal, ambos em função de a, b e c.
O volume de um paralelepípedo reto
retângulo é o produto de suas três dimensões.
V = a⋅b⋅c
20
23
1.6. Volume do prisma
1.5. Área lateral e área total
Exercício 6: Num prisma triangular reto as
arestas da base medem 5 cm, 6 cm e 7 cm, e uma
aresta lateral mede 10 cm. Calcule a área total
desse prisma.
Se a e b são as dimensões da base do
paralelepípedo e c é sua altura, observe que o
produto a . b é a área da base desse sólido. Assim,
V = SB ⋅ H
21
O volume de um paralelepípedo reto
retângulo é igual ao produto da área da base pela 24
altura.
4
1.7. Secção transversal
1.8. Princípio de Cavalieri
Chama-se secção transversal de um prisma a
intersecção, não-vazia, desse prisma com qualquer plano,
paralelo às suas bases.
Considere dois sólidos e um plano α. Suponha que
todo plano paralelo a α, que intercepte um dos sólidos,
intercepte também o outro e determine secções
transversais de áreas iguais. Nessas condições os dois
28
sólidos têm volumes iguais.
25
1.7. Secção transversal
1.9. Volume do prisma
Note que, num prisma qualquer, todas as secções
transversais são congruentes às bases.
Vamos considerar um prisma qualquer e um
paralelepípedo reto retângulo, ambos com altura H,
cujas bases têm a mesma área SB.
Como já vimos, o volume do paralelepípedo é
dado por:
V = SB ⋅ H
26
1.7. Secção transversal
29
1.9. Volume do prisma
O volume de um prisma qualquer é igual ao
produto da área da base pela sua altura.
O conceito de secção transversal se estende a
outros tipos de sólidos.
27
V = SB ⋅ H
30
5
1.9. Volume do prisma
1.9. Volume do prisma
Exercício 10: Calcule a área total e a diagonal de
um cubo cujo volume é igual a 125 cm3.
Por outro lado, as secções transversais
desses dois sólidos também têm áreas iguais, pois
essas secções são congruentes às respectivas
bases dos sólidos. Então, pelo princípio de
Cavalieri, os dois sólidos têm volumes iguais. Logo,
o volume do prisma é dado por:
V = SB ⋅ H
31
1.9. Volume do prisma
34
1.9. Volume do prisma
Exercício 8: Uma certa peça tem a forma de um
paralelepípedo reto retângulo e é transpassada por
um furo triangular, conforme mostra a figura
abaixo. Qual é o volume dessa peça?
Exercício 11: Um aquário tem a forma de um
paralelepípedo reto retângulo e contém água até
uma certa altura. As medidas internas da base do
aquário são 40 cm por 25 cm. Uma pedra é
colocada dentro do aquário, ficando totalmente
submersa e fazendo com que o nível da água suba
0,8 cm. Calcule o volume dessa pedra.
32
1.9. Volume do prisma
35
1.9. Volume do prisma
Exercício 9: Qual é o volume de um cubo de
aresta a?
Exercício 12: Calcule o volume de um prisma
hexagonal regular sabendo que o perímetro de sua
base é igual a 24 cm e que sua altura é igual a 8 cm.
33
36
6
1.9. Volume do prisma
2.1. Elementos da pirâmide
Exercício 13: A base de um prisma reto é um
losango cujo lado mede 13 cm e cuja diagonal mede
24 cm. Se a área lateral desse prisma é igual a 104
cm2, determine o seu volume.
Arestas laterais: São os segmentos que unem P a
cada vértice da base. Ou seja, PA, PB , PC , …
Faces laterais: São os triângulos PAB, PBC, PCD, …
37
2. Pirâmides
40
2.2. Nomenclatura
Uma pirâmide é denominada triangular,
quadrangular, pentagonal, etc …, conforme sua
Considere um polígono qualquer contido num
plano α e um ponto P, também qualquer, fora desse
plano. Chama-se pirâmide a reunião de todos os
segmentos que têm uma extremidade em P e a
outra num ponto qualquer do polígono.
base seja, respectivamente, um triângulo, um
quadrilátero, um pentágono, etc …
38
2.1. Elementos da pirâmide
As pirâmides triangulares
denominadas tetraedros (4 faces).
são
também
41
2.3. Área lateral e área total
Área lateral de uma pirâmide é a soma das
áreas de todas as suas faces laterais. Área total é
a soma da área lateral com a área da base.
Vértice da pirâmide: É o ponto P.
Base: É o polígono ABCDEF.
St = Sl + SB
Altura: É a distância de P ao plano da base.
Arestas da base: São os lados do polígono de
39
base.
42
7
2.4. Pirâmide regular
2.5. Apótema
Uma pirâmide é regular se, e somente se,
sua base é um polígono regular e a projeção
ortogonal do vértice sobre o plano da base é o
centro da base.
Note que, por ser a mediana relativa à base
de um triângulo isósceles, o apótema é também a
altura relativa à base desse triângulo.
43
2.4. Pirâmide regular
46
2.5. Apótema
É de imediata verificação que as arestas
laterais de uma pirâmide regular são congruentes
entre si. Consequentemente, todas as suas faces
laterais são triângulos isósceles congruentes.
Além do apótema da pirâmide há também o
apótema da base. Esse último é o segmento que une
o centro de um polígono regular ao ponto médio de
qualquer um de seus lados.
44
2.5. Apótema
47
2.5. Apótema
Altura
Apótema da pirâmide
Apótema da base
Chama-se apótema de uma pirâmide regular
o segmento que une o vértice da pirâmide ao ponto
médio de qualquer um dos lados do polígono da
base.
ab = r
r = raio do círculo inscrito
45
ap 2 = ab 2 + h 2
48
8
2.5. Apótema
2.5. Apótema
Exercício 14: Calcule a área
tetraedro regular de aresta a.
total
de
um
Altura
Aresta lateral
Raio do círculo
circunscrito
al 2 = h 2 + R 2
49
52
2.5. Apótema
2.5. Apótema
Exercício 15: Numa pirâmide quadrangular regular
todas as arestas (da base e laterais) são
congruentes entre si e medem 2 m cada uma.
Calcule: (a) a altura; (b) o apótema da base; (c) o
apótema; (d) a área lateral e (e) a área total.
Apótema da pirâmide
Aresta lateral
l/2
l 
al 2 = ap 2 +  
2
2
53
50
2.5. Apótema
2.5. Apótema
Exercício 16: A figura seguinte mostra um
tetraedro triretângulo em O. Isto é, OA, OB e OC
são perpendiculares dois a dois. Calcule a área
total dessa pirâmide sabendo que OA = OB = OC =
a.
Dentre as pirâmide regulares convém
destacar o tetraedo regular. Nele, as 6 arestas
são congruentes e, consequentemente, todas as
faces, incluindo a base, são triângulos equiláteros
congruentes.
51
54
9
2.5. Apótema
2.6. Secção transversal
Exercício 17: A figura seguinte mostra uma
pirâmide quadrangular inscrita num cubo de aresta
2a. O vértice da pirâmide é o centro da face
ABCD. Calcule: (a) a aresta lateral e (b) a área
lateral.
Assim, com relação à figura, tem-se:
∆A'B 'C ' ∼ ∆ABC
' '
A'B ' B 'C ' AC
h
=
=
=
AB
BC
AC H
55
2.6. Secção transversal
58
2.6. Secção transversal
Secção transversal de uma pirâmide é a
intersecção dessa pirâmide com qualquer plano
paralelo à sua base.
Como o plano que gera a secção transversal
é paralelo ao plano da base, é de imediata
verificação que os lados do triângulo A’B’C’ são
paralelos aos correspondentes lados do triângulo
ABC. Logo,
56
2.6. Secção transversal
59
2.6. Secção transversal
A'B ' // AB ⇒ ∆PA'B ' ∼ ∆PAB
∴
A'B ' PA' PB '
=
=
AB
PA PB
(1)
B 'C ' // BC ⇒ ∆PB 'C ' ∼ ∆PBC
∴
Toda secção transversal de uma pirâmide triangular
é um triângulo semelhante ao triângulo da base. Além disso,
se a altura da pirâmide é H e a distância de seu vértice ao
plano da secção transversal é igual a h, então a razão de
semelhança desses triângulos é:
h
k=
H
57
B 'C ' PB '
=
BC
PB
(2)
' '
' '
AC
// AC ⇒ ∆PAC
∼ ∆PAC
∴
' '
AC
PA'
=
AC
PA
(3)
60
10
2.6. Secção transversal
2.6. Secção transversal
Então é imediato que ∆PA’D’ R ∆PAD. Logo,
De (1), (2) e (3), conclui-se que:
' '
A'B ' B 'C ' AC
=
=
AB
BC
AC
PA' A'B '
A' B ' h
=
⇒
=
PA
AB
AB H
61
2.6. Secção transversal
64
2.6. Secção transversal
Logo, pelo critério L.L.L. de semelhança de
triângulos, temos:
Porém, de (1) sabemos que
PA' PD '
PA' h
=
⇒
=
PA PD
PA H
∆A'B 'C ' ∼ ∆ABC
62
2.6. Secção transversal
65
2.6. Secção transversal
Para demonstrar que a razão de semelhança
é igual a h/H, por P traçamos a reta perpendicular
aos planos dos triângulos A’B’C’ e ABC, a qual
intercepta essses planos nos pontos D’ e D.
Esse teorema pode ser facilmente estendido
para pirâmides de bases quaisquer. Daqui em
diante vamos admitir que ele é válido para qualquer
tipo de pirâmide. Assim, supondo que A’B’C’D’E’ seja
uma secção transversal da pirâmide acima, temos:
63
66
11
2.6. Secção transversal
2.5. Apótema
Exercício 19: A uma distância x do vértice de uma
pirâmide, um plano paralelo à base determina uma
secção transversal cuja área é igual a 1/9 da área
da base. Calcule x em função da altura H dessa
pirâmide.
PA' PB '
A'B ' B 'C '
h
=
=…=
=
=…=
PA PB
AB
BC
H
67
2.6. Secção transversal
70
2.5. Apótema
Exercício 20: Na figura, a área da secção
transversal é igual a 75 cm2. Qual é a área da base
da pirâmide?
Além disso, como a razão entre as áreas de
polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão
de semelhança, se Sb e SB representam a área da
secção transversal e a área da base, temos:
Sb h 2
=
SB H 2
68
71
2.7. Volume da pirâmide
2.5. Apótema
Exercício 18: A área da base de uma pirâmide é
igual a 100 cm2 e sua altura é H. Calcule H, sabendo
que uma secção transversal dessa pirâmide, feita a
9 cm do vértice, tem área igual a 36 cm2.
'
69
Suponha que as duas pirâmides da figura
acima tenham a mesma altura H e que suas bases
tenham a mesma área SB. Sejam Sb e S’b as áreas
das secções transversais determinadas por um
plano situado a uma distância h dos vértices das
pirâmides.
72
12
2.7. Volume da pirâmide
2.7. Volume da pirâmide
'
Então, da pirâmide 1, temos:
Sb h 2
=
SB H 2
(1)
e da pirâmide 2, temos:
S 'b h 2
=
SB H 2
(2)
O volume de uma pirâmide triangular
qualquer é igual a um terço do produto da área de
sua base pela sua altura.
V =
73
2.7. Volume da pirâmide
1
SB ⋅ H
3
76
2.7. Volume da pirâmide
'
Inicialmente vamos considerar um prisma
triangular que tenha a mesma base e a mesma
altura da pirâmide.
De (1) e (2) conclui-se que
Sb S 'b
=
⇒ Sb = S 'b
SB SB
74
2.7. Volume da pirâmide
Agora, vamos decompor esse prisma em três
pirâmides (1, 2 e 3), conforme a figura seguinte, e
provar que essas três pirâmides têm volumes 77
iguais.
2.7. Volume da pirâmide
'
A última igualdade mostra que as secções
transversais, determinadas por um mesmo plano paralelo
às bases, têm áreas iguais. Logo, pelo princípio de
Cavalieri, as duas pirâmides têm volumes iguais.
A partir dessa propriedade é possível estabelecer
a fórmula que permite calcular o volume de uma pirâmide.
75
78
13
2.7. Volume da pirâmide
2.7. Volume da pirâmide
As pirâmides 1 e 2 têm volumes iguais, pois
as suas bases ABC e DEF têm áreas iguais (elas são
congruentes) e ambas as pirâmides possuem a
mesma altura (a própria altura do prisma). Logo,
V1 = V2
(1)
De (1) e (2), vem:
V1 = V2 = V3
79
2.7. Volume da pirâmide
82
2.7. Volume da pirâmide
Agora, observe as pirâmides 2 e 3.
Considere como bases os triângulos FEC e BCE. A
área de cada um desses triângulos é a metade da
área da face BCFE do prisma. Logo, essas bases
têm áreas iguais.
Logo, o volume de cada uma dessas
pirâmides é um terço do volume do prisma.
Particularmente, como a pirâmide 1 tem a mesma
base e a mesma altura do prisma, conclui-se que
V =
80
2.7. Volume da pirâmide
1
⋅ SB ⋅ H
3
83
2.7. Volume da pirâmide
Além disso, as pirâmides 2 e 3 têm a mesma
altura (distância do vértice D ao plano da face
BCFE do prisma). Então,
V2 = V3
(2)
81
Essa
fórmula
pode
ser
facilmente
generalizada para pirâmides com quaisquer tipos
de bases. Para tanto, suponha que, na figura acima,
a pirâmide qualquer e a pirâmide triangular tenham
a mesma altura H e que suas bases tenham a
mesma área SB.
84
14
2.7. Volume da pirâmide
2.7. Volume da pirâmide
Exercício 21: Calcule o volume de um tetraedro
regular de aresta a.
Ver slide 67.
Aula: Geometria Plana I
Nessas
condições,
conforme
já
demonstramos, as duas pirâmides têm volumes
iguais.
V1 = V2
85
88
2.7. Volume da pirâmide
2.7. Volume da pirâmide
Exercício 22: Numa pirâmide quadrangular
regular, a área lateral é igual a 260 cm2 e a aresta
da base mede 10 cm. Qual é o volume dessa
pirâmide?
Porém, já sabemos que o volume da pirâmide
triangular é
V1 =
1
SB ⋅ H
3
89
86
2.7. Volume da pirâmide
2.7. Volume da pirâmide
Exercício 23: As arestas da base de uma pirâmide
triangular medem 5 cm, 7 cm e 8 cm. Calcule a
altura dessa pirâmide sabendo que ela é
equivalente (isto é, tem o mesmo volume) a um
cubo de aresta a = 6 cm.
Logo,
V1 = V2 ⇒ V2 =
1
SB ⋅ H
3
87
90
15
2.7. Volume da pirâmide
3.1. Elementos do cilindro
Exercício 24: A figura mostra uma pirâmide que,
seccionada por um plano paralelo à base, fica
decomposta em duas partes; uma pirâmide menor e
um sólido denominado tronco de pirâmide. Se a
área da base da pirâmide primitiva é igual a 54
cm2, calcule o volume: (a) da nova pirâmide e (b) do
tronco de pirâmide.
Bases: São os dois círculos considerados na
definição.
Eixo: É a reta e, que passa pelos centros das
bases.
91
3. Cilindros
94
3.1. Elementos do cilindro
Considere dois círculos de mesmo raio r
contidos em planos paralelos e seja e a reta que
passa pelo seus centros.
Geratriz: É qualquer segmento paralelo ao eixo,
cujas extremidades pertencem às circunferências
das bases. Em todo cilindro, as geratrizes são
congruentes entre si.
92
3. Cilindros
Altura: É a distância dos planos que contêm as
bases.
95
3.2. Secções do cilindro
Chama-se cilindro circular, ou simplesmente
cilindro, a reunião de todos os segmentos paralelos
A intersecção, não-vazia, de um cilindro com
qualquer plano que seja paralelo às bases é uma
secção transversal do cilindro. A intersecção de
um cilindro com qualquer plano que contém seu eixo
é chamada secção meridiana do cilindro.
à reta e, cujas extremidades pertencem cada uma
a um dos círculos considerados.
93
96
16
3.2. Secções do cilindro
3.3. Classificação dos cilindros
Verifica-se que qualquer secção transversal
de um cilindro é um círculo congruente às bases,
enquanto
toda
secção
meridiana
é
um
paralelogramo.
Todo cilindro reto pode ser definido como
sendo o sólido gerado pela rotação completa de um
retângulo em torno de um de seus lados. Por isso, o
cilindro reto também é chamado cilindro de
revolução.
97
3.3. Classificação dos cilindros
100
3.4. Área lateral e área total
Um cilindro é denominado reto se o seu eixo
é perpendicular aos planos das bases. Um cilindro
não-reto é denominado oblíquo.
98
3.3. Classificação dos cilindros
Imagine que a superfície lateral de um
cilindro circular reto seja feita de papel.
Cortando-se essa superfície segundo uma geratriz,
podemos planificá-la, obtendo um retângulo, cuja
base tem o comprimento da circunferência da base
do cilindro e cuja altura é a própria altura do
101
cilindro.
3.4. Área lateral e área total
A área desse retângulo é a própria área da
superfície lateral do cilindro reto. Logo,
Dentre os cilindros retos devemos destacar
o cilindro equilátero, no qual as geratrizes são
congruentes aos diâmetros das bases.
Sl = 2π r ⋅ H
99
102
17
3.4. Área lateral e área total
3.5. Volume do cilindro
Para obter a área total do cilindro reto,
basta somar as áreas das duas bases com a área
lateral.
St = Sl + 2 ⋅ SB
St = 2π r ⋅ H + 2 ⋅ π r 2
V = SB ⋅ H
St = 2π r ( H + r )
V = πr 2 ⋅H
103
3.5. Volume do cilindro
106
3.5. Volume do cilindro
Exercício 25: Calcule o volume do sólido gerado
pela rotação completa do retângulo abaixo em
torno do eixo e.
VCilindro = VPrisma
Tal como o volume do prisma, o volume do
cilindro é dado pelo produto da área de sua base
pela sua altura.
104
3.5. Volume do cilindro
107
3.5. Volume do cilindro
Exercício 26: Um cano de drenagem é um tubo
cilíndrico com 2,0 m de comprimento. Os diâmetros
externo e interno são respectivamente iguais a 52
cm e 46 cm. Calcule o volume de argila, em litros,
necessário para fabricar um tubo. Utilize π = 3,14.
Com o auxílio do princípio de Cavalieri,
podemos facilmente constatar que um cilindro e um
prisma, cujas alturas são iguais e cujas bases têm a
mesma área, têm volumes iguais.
105
108
18
3.5. Volume do cilindro
4.1. Elementos do cone
Exercício 27: A embalagem de um certo produto
era uma lata cilíndrica de 4 cm de altura e 12 cm
de diâmetro de base. O fabricante substituiu essa
embalagem por uma outra lata cilíndrica do mesmo
material e com o mesmo volume da antiga. Se o
diâmetro da base da nova embalagem é de 6 cm,
calcule: (a) a sua altura e (b) o percentual de
economia de material na fabricação da nova
embalagem.
Geratriz: É qualquer segmento com uma
extremidade no vértice e outra num ponto qualquer
da circunferência da base.
Altura: É a distância do vértice ao plano que
contém a base.
109
4. Cones
112
4.2. Secção transversal, secção meridiana e classificação
Considere um círculo contido num plano e um
ponto P fora desse plano. Chama-se cone circular,
ou simplesmente cone, a reunião de todos os
segmentos que têm uma extremidade em P e a
outra num ponto qualquer do círculo.
Os conceitos de secção transversal e secção
meridiana e a classificação dos cones são
estabelecidos de modo análogo aos sólidos já
estudados.
110
4.1. Elementos do cone
113
4.2. Secção transversal, secção meridiana e classificação
Altura
Geratriz
Raio
Vértice: É o ponto P da figura.
g 2 = h2 + r 2
Base: É o círculo considerado na definição.
Eixo: É a reta que passa pelo vértice e pelo centro
da base.
111
114
19
4.2. Secção transversal, secção meridiana e classificação
4.4. Área lateral e área total
Se l é o comprimento do arco AB da figura,
então a medida θ, em radianos, do ângulo central
AOB é:
Verifica-se que qualquer secção transversal
de um cone circular é um círculo. Para essa secção,
vale a propriedade análoga à que demonstramos
para as pirâmides.
2
Sb h
=
SB H 2
l
R
comprimento do arco
θ=
raio
θ=
115
4.3. Observações
118
4.4. Área lateral e área total
• No cone reto todas
congruentes entre si.
as
geratrizes
A área do setor circular AOB, para θ em
radianos, é dada por:
são
• Cone equilátero é todo cone reto em que as
geratrizes são congruentes ao diâmetro da base.
g = 2r
Sset =
116
4.3. Observações
θ
R2
⋅ π R 2 ⇒ Sset = θ ⋅
2π
2
119
4.4. Área lateral e área total
Agora, considere um cone circular reto de
geratriz g e cujo raio da base é r. Planificando-se a
superfície lateral desse cone, obtém-se um setor
circular de raio g e cujo arco correspondente tem
comprimento igual a 2πr (comprimento da
circunferência da base do cone). A área desse
setor é a área lateral do cone.
• Todo cone reto pode ser definido como sendo o
sólido gerado pela rotação de um triângulo
retângulo em torno de um dos catetos. Assim, o
cone reto é também chamado cone de revolução.
117
120
20
4.4. Área lateral e área total
4.5. Volume do cone
Para θ em radianos, temos:
θ=
Sset
2π r
g


2π r g 2
⋅
 ⇒ Sset =
g
2
g2 
=θ ⋅
2 
Empregando-se o princípio de Cavalieri,
verifica-se que um cone e uma pirâmide, cujas
alturas são iguais e cujas bases têm áreas iguais,
têm volumes iguais.
Vcone = Vpirâmide
121
4.4. Área lateral e área total
124
4.5. Volume do cone
Efetuando as simplificações, obtemos:
Sset = π rg
Assim, a área da superfície lateral do cone
reto é dada por:
Sl = π rg
Desse modo, podemos concluir que o volume
de um cone qualquer é igual a um terço do produto
da área de sua base pela sua altura.
122
4.4. Área lateral e área total
125
4.5. Volume do cone
Para calcular a área total do cone reto,
basta somar a sua área lateral com a área da base.
V=
St = Sl + SB
St = π rg + π r 2
St = π r (g + r )
123
(
)
1
1
⋅ SB ⋅ H ⇒ V = ⋅ π r 2 ⋅ H
3
3
1
V = π r 2H
3
126
21
4.5. Volume do cone
4.5. Volume do cone
Exercício 28: Com um cartão em forma de setor
circular, cujo ângulo central mede 216o e cujo raio
mede 15 cm, constrói-se um cone circular. Qual é o
volume desse cone?
Exercício 31: No exercício abaixo, calcule o
volume do sólido gerado pela rotação da figura em
torno do eixo indicado.
127
4.5. Volume do cone
130
5. Esfera
Exercício 29: Calcular o volume do sólido gerado
pela rotação completa do tiângulo isósceles ABC,
em torno do lado AB.
Dados um ponto O e uma distância R, chamase esfera o conjunto de todos os pontos do espaço
cujas distâncias ao ponto O são menores ou iguais
a R.
O ponto O é o centro da esfera e R é o seu
128
raio.
131
5. Esfera
4.5. Volume do cone
Exercício 30: Num cone reto, de altura H = 8 cm,
a área de uma secção meridiana é igual a 48 cm2.
Calcule: (a) a área lateral; (b) a área total e (c) o
volume.
Além
da
esfera,
definimos
também
a
superfície esférica como sendo o conjunto de
todos os pontos do espaço situados a uma mesma
distância R de um ponto fixo O.
129
132
22
5. Esfera
5.1. Área
esférica
Os conceitos de esfera e de superfície
esférica podem também ser formulados por meio
de rotações de figuras.
A esfera é gerada pela rotação de um
semicírculo em torno de seu diâmetro.
de
uma
secção
Observe que, sendo S a área da secção,
temos:
S = πr 2
Por outro lado, pelo teorema de Pitágoras,
obtemos:
r 2 + d 2 = R2 ⇒ r 2 = R2 − d 2
133
5. Esfera
5.1. Área
esférica
de
uma
secção
Logo,
A superfície esférica é gerada pela rotação
de um semicircunferência em torno de seu
diâmetro.
S = π r 2 ⇒ S = π (R 2 − d 2 )
134
5.1. Área
esférica
de
uma
secção
137
5.1. Área
esférica
Um plano e uma esfera que têm um único
ponto comum são denominados tangentes. Nesse
caso, o raio que tem uma extremidade no ponto de
tangência é perpendicular ao plano.
135
136
de
uma
secção
Esse resultado, que expressa a área da
secção em função do raio R da esfera e da
distância d, será de grande valia para determinar o
volume da esfera. Desde já, é importante você
observar que
S = π (R 2 − d 2 )
138
23
5.1. Área
esférica
de
uma
secção
5.2. Volume da esfera
é também a área de uma coroa circular de raios R e
d.
Scoroa = π (R 2 − d 2 )
Nesse sólido, vamos considerar uma secção
transversal determinada por um plano situado a
uma distância d do vértice dos cones.
139
5.2. Volume da esfera
142
5.2. Volume da esfera
O volume da esfera será obtido com o
auxílio do princípio de Cavalieri. Para tanto, vamos
utilizar o seguinte sólido conhecido como
anticlepsidra.
Essa secção é uma coroa circular. Nela, é
imediato que o raio da circunferência menor é igual
à distância d. O raio da circunferência maior é o
próprio raio R da base do cilindro. Assim, a área da
secção é:
2
2
(
S =π R −d
140
5.2. Volume da esfera
)
143
5.2. Volume da esfera
Então, o princípio de
nos
permite
concluir que o volume da
anticlepsidra é igual ao
volume de uma esfera de
raio R.
Cavalieri
Trata-se de um cilindro equilátero, do qual
foram “eliminados” dois cones retos cujas bases
são as próprias bases do cilindro e cujas alturas
são iguais à metade da altura do cilindro. O centro
do cilindro é o vértice dos dois cones.
141
144
24
5.2. Volume da esfera
5.2. Volume da esfera
Exercício 33: Uma pequena bola de borracha, de
3,5 cm de raio, é colocada dentro de um vaso
cônico. A abertura do vaso tem 7 cm de raio e sua
profundidade é de 24 cm. Calcular a distância da
bola ao fundo do vaso.
Por outro lado, o volume da anticlepsidra é
fácil de ser determinado. Para isso, basta subtrair
os volumes dos dois cones do volume do cilindro
equilátero.
145
148
5.2. Volume da esfera
5.2. Volume da esfera
Exercício 34: Calcule o volume de uma esfera
inscrita num cubo de 6 cm de aresta.
1
V = π R 2 ⋅ 2R − 2 ⋅ ⋅ π R 2 ⋅ R
3
2
V = 2π R 3 − ⋅ π R 3
3
4
V = ⋅π R3
3
5.2. Volume da esfera
Exercício 32: Calcular o volume da
circunscrita a um cubo de aresta a = 2 cm.
149
146
5.2. Volume da esfera
esfera
147
Exercício 35: Uma esfera, cujo volume é igual a
256π/3 cm3, está inscrita num cilindro equilátero,
conforme mostra a figura. Calcule, do cilindro: (a)
a área lateral e (b) o volume.
150
25
5.2. Volume da esfera
5.3. Área da superfície esférica
Exercício 36: Calcule o volume da esfera inscrita
num cone equilátero, cujo raio da base é 3 .
151
5.2. Volume da esfera
Essa igualdade é válida para qualquer x > 0.
Agora, imagine que x diminua assumindo valores
positivos infinitamente pequenos. Conforme x
tende a zero, o prisma tende a tornar-se uma
superfície, cuja área continua sendo dada por
V
154
x
5.3. Área da superfície esférica
Exercício 37: Calcule o volume do sólido gerado
pela rotação da figura em torno do eixo e.
S=
V
x
Desde que x seja suficientemente pequeno,
esse raciocínio pode também ser aplicado para
figuras não-planas. Assim, ele será utilizado para
determinar a área da superfície esférica.
152
5.3. Área da superfície esférica
155
5.3. Área da superfície esférica
Considere um prisma cuja altura x seja
bastante pequena.
Para tanto, considere duas esferas
concêntricas: uma de raio R e outra de raio R + x.
Se S é a área da base desse prisma, então
seu volume é: V = S ⋅ x
e, portanto, V = S
153
x
A região do espaço compreendida entre as
duas superfícies esféricas é chamada concha
esférica.
156
26
5.3. Área da superfície esférica
5.3. Área da superfície esférica
Se V é o volume da concha e S a área da
superfície esférica de raio R, então V/x é
aproximadamente igual a S.
V
≅S
x
157
5.3. Área da superfície esférica
(
4
π R 3 + 3R 2 x + 3Rx 2 + x 3 − R 3
3
4
V = π 3R 2 x + 3Rx 2 + x 3
3
4
V = π ⋅ x 3R 2 + 3Rx + x 2
3
V=
(
)
)
(
)
160
5.3. Área da superfície esférica
Quanto menor for o valor de x, mais a
expressão V/x se aproxima de S, isto é, se x
tender a zero, V/x tende a S.
Vamos calcular o volume V da concha e
analisar o que ocorre com a expressão V/x quando
158
x → 0.
5.3. Área da superfície esférica
Logo,
(
V 4
= π 3R 2 + 3Rx + x 2
x 3
)
Quando x tende a zero, os termos 3Rx e x2
também se aproximam de zero. Desse modo,
161
5.3. Área da superfície esférica
O volume da concha é a diferença dos
volumes das esferas. Isto é,
4
3
4
V = π (R + x ) − π R3
3
3
4
3
V = π ( R + x ) − R 3 

3 
159
(
V
4
→ π 3R 2
x
3
V
→ 4π R 2
x
)
162
27
5.3. Área da superfície esférica
5.3. Área da superfície esférica
Exercício 40: No exercício abaixo, calcule a área
total do sólido gerado pela rotação da figura em
torno do eixo e.
E já que V/x tende a S, conclui-se que
S = 4π R 2
163
166
5.3. Área da superfície esférica
Exercício 38: Calcule a área da superfície de uma
esfera cujo volume é 36π cm3.
164
5.3. Área da superfície esférica
Exercício 39: A figura mostra um cone reto, cuja
base tem área igual a 144π cm2, inscrito numa
esfera cuja superfície tem área igual a 900π cm2.
Calcule o volume do cone.
165
28