Figuras Geométricas

Biobibliografia
José vieira Cabral nasceu no dia 25 de agosto de 1.960 em Xambrê, Paraná. Viveu ali
até os seus oito anos de idade e depois os seus pais se mudaram para Maringá, no
mesmo Estado. E aos 19 anos mudou-se para são Caetano do sul, região do grande
abc, são Paulo, onde permanece até o presente momento.
O autor foi comerciante a maior parte de sua vida, mas também atuou como
funcionário em algumas empresas, como: administrativo e encarregado de obras
civis, tendo como formação (mestria em construção civil): inscrito pela a empresa
“SINDOSCON” Sindicato da indústria de construção civil do estado de São Paulo,
região abc, Santo André, 16 de Outubro de 2.001, sob o nº 118-01/0299153.092/00453-01-01 (Também concluiu mais de 100 cursos de diversas áreas) ...
O Editor/autor já escreveu diversas obras: profissionalizantes, literária e didáticas, e
mantém o seu escritório editorial em sua residência, onde produz e disponibiliza os
seus livros e cursos, online e digitais: Livraria/Editora Virtual Cabral Veríssimo –
CNPJ: 17.698.240/0001-04, São Caetano do Sul – São Paulo – Brasil. CEP:09572450 (Tel.:5511-2376-8206).
APRESENTAÇÃO:
JOSÉ VIEIRA CABRAL – CPF: 031395948-01
ENCARREGADO DE OBRAS CIVIS:
MESTRE DE OBRA
CERTIFICADO
Nº 118-01/0299-153.092/00453-01-01
INSCRITO PELA A EMPRESA “SINDOSCON”
SINDICATO DA INDÚSTRIA DE CONSTRUÇÃO CIVIL
DO ESTADO DE SÃO PAULO REGIÃO ABC,
CONVÊNIO DO SINDICATO DA INDÚSTRIA
DA CONSTRUÇÃO CIVIL DO ESTADO DE SÃO PAULO
SANTO ANDRÉ, 16 DE OUTIBRO DE 2.001
ESCOLA SENAI JACOB LAFER
AV. SANTOS DUMONT, 300 – SANTO ANDRÉ - SP
RECONHECIDA PELA PORTARIA CEE Nº 10/80
A Geometria nasceu das necessidades e das observações do homem.
Os conhecimentos Geométricos começaram a serem utilizados muitos séculos antes de
Cristo. No Egito, por exemplo, as cheias do Rio Nilo destruíam as cercas que demarcavam
os campos de plantação. Quando as águas voltavam ao nível normal, os escribas egípcios
dividiam novamente as terras, baseando-se em registros feitos antes das cheias. Foi a partir
de procedimentos como esse dos Egípcios que nasceu a Geometria experimental. Também
a origem da palavra Geometria está associada a esse fato: geo Significa terra e métrica
significa medida.
Outros povos também estudaram a Geometria, como os assírios, os babilônios, os chineses
e os gregos. Os gregos fizeram muitas descobertas a respeito de figuras geométricas.
A Geometria que estudamos hoje é conhecida como euclidiana, em homenagem ao grego
Euclides, o primeiro matemático a apresentar a Geometria de forma organizada. Por quase
dois séculos, todos os estudos Geométricos se basearam em seu famoso livro, “Os
Elementos”.
Ponto e Reta
A geometria é construída a partir de três ideias: a idéia de ponto, reta e plano.
Podemos ter a idéia de ponto observando marcas de lápis:
Podemos ter a idéia de reta se pudermos imaginar um fio, sem começo nem fim,
bem esticado:
______________________________________________
Agora, se considerarmos apenas um pedaço desse fio e o mantivermos bem
esticado, temos a idéia de um segmento de reta:
_____ . _________________________________ . ________
Para indicar retas, usamos letras minúsculas do alfabeto (a, b, c, ...... r, s, t ...) ou dois
pontos dessas retas. Veja o segmento de reta abaixo:
_._______________.__a
A
B
__
a = reta AB = AB
Os segmentos de reta serão indicados através dos pontos que representam as
extremidades desses segmentos:
._______________.
A
B
__
segmento AB = AB
Na geometria, consideramos a reta como um conjunto de pontos. Assim, dada
uma reta r, dizemos que há pontos que pertencem(A, C) e pontos que não
pertencem (B, F) a essa reta. Veja:
.B
___._____________._____ r
A
C
.F
Plano
Observe, agora, a região externa de uma garrafa ou de uma bola, ou, ainda a parte
superior de uma mesa, ou do piso de uma sala.Essas regiões nos dão idéia de superfície.
Se pudermos imaginar que é possível prolongar o tampo de uma mesa em todas as
direções, teremos a idéia de plano:
Semi-Reta
Como já vimos, na geometria, a reta é considerada um conjunto de pontos. Considere um
ponto A que pertence a uma reta r. Podemos dizer que esse ponto A separa a reta em dois
conjuntos de pontos. Cada um desses conjuntos de pontos é denominado semi-reta.
O ponto A é chamado origem das semi-retas.
Na reta abaixo, o ponto A divide a reta r nas semi-retas
indica a semi-reta de origem em A e que passa por M;
indica a semi-reta de origem em M e que passa por A.
e
:
Pontos Colineares e Segmentos Consecutivos
Pontos que pertencem a uma mesma reta são chamados de pontos colineares.
__________________________r___
M
N
P
M, P e N são pontos colineares.
Dois segmentos que possuem uma extremidade em comum são chamados de segmentos
consecutivos:
__ __
AB e BC são segmentos consecutivos.
Dois segmentos consecutivos podem ser:
Colineares:
_________________________r___
A
B
C
__ __
AB e BC são segmentos consecutivos e colineares, pois estão contidos numa mesma reta
r.
Não Colineares:
__ __
AB e BC são segmentos consecutivos e não colineares, pois não estão contidos em uma
mesma reta.
Congruência de Segmentos
Dois segmentos que possuem a mesma medida, são chamados congruentes.
Exemplo:
A________________________B
C________________________D
__ __
__
__
A B = C D, se lê A B congruente ao C D.
Ângulos
Considere três pontos não-colineares (que não pertencem a uma mesma reta) A, O e B.
Ângulo geométrico AÔB é a figura formada pelas semi-retas AO e OB:
Na figura:
*O ponto O é o vértice do ângulo;
*As semi-retas AO e OB são os lados do ângulo.
Instrumento para medir ângulo
O instrumento mais usado para medir ângulos é o transferidor. O transferidor tem como
unidade o grau Indicamos um grau assim: 1º.
Classificação de Ângulos
A medida do ângulo é classificada assim:
Medida do
Ângulo:
Igual a 90º
Maior que 90º
Menor que 90º
Nome do
Ângulo:
Reto
Obtuso
Agudo
Curvas
Veja os tipos de curvas:
*Curva aberta simples: É uma curva aberta onde as linhas não se cruzam.
* Curva aberta não-simples: É uma curva aberta, porém as linhas se cruzam.
*Curva fechada simples: É uma curva fechada onde as linhas não se cruzam.
*Curva fechada não-simples: É uma curva fechada onde as linhas se cruzam.
Polígonos
As curvas fechadas simples formadas por segmento de reta recebem o nome de
polígonos.
Classificação de polígonos
Os polígonos são classificados da seguinte maneira, em relação ao número de lados:
Número de lados:
Nome:
3..................................Triângulo
4..................................Quadrilátero
5..................................Pentágono
6..................................Hexágono
7..................................Heptágono
8..................................Octógono
9..................................Eneágono
10................................Decágono
11................................Undecágono
12................................Dodecágono
15................................Pentadecágono
20................................Icoságono
Os polígonos que não constam na relação acima, são chamados de polígono de treze
lados, polígono de quatorze lados, polígono de dezenove lados, etc...
Elementos do Polígono
__ __ __ __ __ __
Os segmentos A B, B C, C D, D E, E F e F A são os lados do polígono.
Os pontos A, B, C, D, E e F, pontos comuns a dois lados são os vértices do polígono.
Unindo as vértices A e C do polígono, você construí uma diagonal do polígono. As
diagonais são obtidas ligando-se dois vértices não consecutivos do polígono.
No polígono A B C D E F, notamos que:
*Os ângulos formados por dois lados consecutivos são chamados de ângulos internos do
polígono.
*Os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado consecutivo são os
ângulos externos do polígono.
Obs.: Os prolongamentos dos lados são sempre ordenados.
Num polígono o número de lados, de vértices, de ângulos internos e externos é igual.
Em todo polígono o número de lados é igual ao número de vértices, que, por sua vez é
igual ao número de ângulos internos e ângulos externos.
Perímetro do Polígono
Para calcular o perímetro de um polígono, temos de calcular a soma das medidas de seu
lado.
Primeiro, somamos os 10cm com os outros 10cm, depois somamos o resultado (20cm)
com os 5cm e o resultado (25cm) com os outros 5cm, e achamos o resultado 30cm. O
perímetro desse retângulo é 30cm.
10+10+5+5= 30 cm.
Figuras Geométricas
Quadrado: Quadrilátero retangular cujos lados são iguais entre si e cujos ângulos são retos.
Retângulo: Quadrilátero cujos ângulos são retos e os lados opostos são iguais.
Paralelogramo: Quadrilátero plano cujos lados opostos são paralelos.
Triângulo Equilátero: O que tem três lados iguais e, portanto, os três ângulos iguais.
Triângulo Isósceles: O que tem dois lados iguais e, portanto, dois ângulos iguais.
Triângulo Retângulo: Triângulo que tem um ângulo reto.
Triângulo Escaleno: O que tem todos os ângulos e lados desiguais.
Trapézio: Quadrilátero com dois planos paralelos.
Trapézio Isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são iguais.
Trapézio Retângulo: Trapézio que tem dois ângulos retos.
Losango: Quadrilátero plano que tem os lados iguais, dois ângulos agudos e dois obtusos.
Círculo: Região de um plano limitado por uma circunferência.
Eclipse: Lugar Geométrico dos pontos de um plano cujas distâncias a dois pontos fixos desse plano
tem soma constante.
Conjuntos
Veja o conjunto de brinquedos de Fábio:
A bola, o peixe e o trator são elementos do conjunto.
Agora veja o conjunto A de números naturais maiores que 6 e menores que 7:
Veja que o conjunto é vazio.
Conjunto unitário é aquele que possui um só elemento, exemplo:
1) O conjunto de bolas de Fábio.
2) Conjunto de números naturais maiores que 10 e menores que 12.
Conjunto finito é aquele que possui quantidade determinada de elementos, exemplo:
1) Conjunto de brinquedos de Fábio.
2) Conjuntos de números pares menores que 8.
Conjunto infinito é aquele cujo número de elementos não pode ser determinado,ex:
1) Conjunto de números naturais.
Representação de conjuntos
Podemos representar o conjunto por um diagrama (curva fechada):
Escrevemos entre chaves o nome dos elementos do conjunto, separados por vírgula:
Conjunto dos Três primeiros meses do ano.
{Janeiro, fevereiro, março}
O conjunto vazio pode ser representado assim: {
}
Este tema é complexo para os alunos, uma vez que têm grande dificuldade
em reduzir à mesma unidade de medida, os valores dados para o cálculo de
áreas e volumes. Vai ser dividido em três partes, na primeira apresenta-se
um esquema que os alunos podem ter sempre presente, quando necessitarem
de reduzir as unidades de medida. Na segunda e terceira parte apresentamse as fórmulas para o cálculo de áreas e volumes de figuras geométricas
mais utilizadas.
Áreas de Sólidos;
1. Volumes de Sólidos.
1. .
Explicar aos alunos que para calcular áreas e volumes, os valores dados têm
que estar sempre na mesma unidade de medida e que quando tal não
acontece temos de efetuar a redução à mesma unidade. Relembrar, como tal
se efetua, recorrendo ao seguinte esquema:
Unidades de Área:
Unidades agrárias:
Unidades de Volume:
Unidades de Capacidade:
Lembrar aos alunos que quando se calcula a área de uma figura geométrica
a sua unidade de medida aparece sempre ao quadrado (por exemplo,
em metros quadrados).
2.
Áreas de Sólidos;
Começar por explicar aos alunos as fórmulas das figuras planas (quadrado,
retângulo, paralelogramo, triângulo e circunferência), recorrendo ao
formulário que se apresenta a seguir:
Figuras Planas:···.
Para explicar aos alunos o cálculo de áreas de figuras geométricas podemos
pedir que visualizassem as seguintes figuras:
a) Explicar aos alunos que as figuras representam as planificações de um
prisma e de um cilindro;
b) Apontar que nas figuras geométricas que são constituídas por duas figuras
planas, para calcular a sua área, tem que se calcular a área lateral e a área
da base, para isso podemos pedir aos alunos para identificarem quais são
as figuras planas que representam a área da base e a área lateral das
figuras.
c) Explicar que a área lateral do prisma e do cilindro é dada por
;
d) Explicar que a área total vai ser a soma da área lateral mais duas vezes a
área da base e explicar porque razão somou duas vezes a área da base;
Dar aos alunos o formulário seguinte, das figuras geométricas que se
calculam da mesma forma que as acima apresentadas:
Figuras Geométricas: