Probabilidade – parte 2

Probabilidade – parte 2
Robério Satyro
Definição de probabilidade
Vamos analisar o fenômeno aleatório lançamento de
uma moeda perfeita.
Nesse caso, temos:
•  = {C, C}  p() = 1
• Os subconjuntos de  são , {C}, {C} e {C, C}.
Assim:
p() = 0
p(C) =
𝟏
𝟐
p(C) =
𝟏
𝟐
p(C, C) = 1
Vemos que p(A)  0, para todo A  .
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2
Definição de probabilidade
Considerando A = {C} e B = {C}, vemos que:
A  B =  e p(A  B) = p({C}  {C}) = p(C, C)
1
1
= p() = 1 = + = p({C}) + p({C}) = p(A) +
2
2
p(B).
Assim, podemos teoricamente considerar
probabilidade como uma função definida nas
partes de um conjunto () com valores reais.
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3
Propriedades
Podemos então
propriedades:
definir
as
seguintes
P1: p(A)  0, para qualquer A  ;
P2: p() = 1;
P3: p(A  B) = p(A) + p(B), quando A  B = .
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4
Consequências
Como consequências da definição de probabilidade,
temos as seguintes propriedades:
• 1ª propriedade: Impossibilidade ou p() = 0
Como um evento qualquer A (A  ) pode ser
escrito como A   e como A   = , podemos
aplicar a propriedade P3 e temos:
p(A) = p(A  ) = p(A) + p()  p() = 0
p() = 0
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5
Consequências
• 2ª propriedade: Probabilidade do evento
complementar
Observe que, sendo A a notação para
“complementar de A”, temos:
AA=eAA=
Logo:
p() = p(A  A )
Aplicando P2 e P3, temos:
1 = p(A) + p(A)  p(A) = 1 - p(A)
p(𝐀) = 1 - p(A)
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6
Consequências
• 3ª propriedade: Probabilidade da união
de dois eventos
Admitiremos sem justificativas que:
p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B) probabilidade da união de dois eventos
quaisquer.
p(A  B) = p(A) + p(B), quando A 
B=
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7
Vamos praticar...
No lançamento simultâneo de dois dados
perfeitos
distinguíveis,
qual
é
a
probabilidade de não sair soma 5?
Nesse caso, o espaço amostral tem 36
elementos:
 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ...,(6, 5), (6, 6)}
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8
Vamos praticar...
Seja A o evento “sair soma 5”;
A = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)}  n(A) = 4
n(A)
4
1
p(A) =
 
36
9
n()
1
9
p(A) = 1 - p(A)  1 - =
9 −1
9
=
𝟖
𝟗
A probabilidade de não sair soma 5 é
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𝟖
.
𝟗
9
Vamos praticar...
Ao retirar uma carta de um baralho de 52
cartas, qual é a probabilidade de que essa
carta seja vermelha ou um ás?
Evento V: “a carta é vermelha”;
Evento A: “a carta é ás”
Evento (V  A): “a carta é vermelha ou ás”
p(V  A) = p(V) + p(A) – p(V  A)
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10
Vamos praticar...
Num baralho de 52 cartas, há 26 cartas vermelhas e
26 cartas pretas. Há também 4 ases, dos quais 2 são
vermelhos.
Logo:
p(V) =
p(A) =
26
52
4
52
=
=
p(V  A) =
Assim:
1
2
1
13
2
52
1
2
=
p(V  A) = +
1
26
1
13
-
1
26
=
14
26
=
7
13
A probabilidade de a carta ser vermelha ou ás é de
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𝟕
.
𝟏𝟑
11
Vamos praticar...
Uma máquina produz 50 parafusos dos quais 5 eram
defeituosos. Ao pegar ao acaso 3 parafusos, qual é a
probabilidade de que:
a) Os três sejam perfeitos?
50
3
50!
3!47!
50 . 49 . 48 . 47!
3 . 2 . 47!
45
3
45! 45 . 44 . 43 . 42!
3!42!
3 . 2 . 42!
n() =
=
=
= 50 . 49 . 8
Evento A: os três parafusos são perfeitos, como são
perfeitos retiramos os 5 defeituosos dos 50 e
combinamos 3 a 3.
n(A) =
p(A) =
=
15 . 22 . 43
50 . 49 . 8
= 15 . 22 . 43
 0,72398  72%
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12
Vamos praticar...
b) Os três sejam defeituosos
Evento B: os três parafusos são
5
defeituosos, que pode ocorrer de 3
maneiras. Logo:
n(B) =
p(B) =
5 . 4 . 3!
=
=
= 10
3! . 2
10
1
=
 0,0005
50 . 49 . 8
1960
5
3
5!
3!2!
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 0,05%
13
Vamos praticar...
c) Pelo menos um seja defeituoso?
Evento C: “pelo menos um é defeituoso”,
que é o complementar do evento A: “os três
são perfeitos” (que é o mesmo que “nenhum
é defeituoso”). Logo:
p(E) = p(A) = 1 – p(A)  1 – 0,72398 
0,27602  28%
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14
Probabilidade Condicional
Analisemos a seguinte situação:
Uma moeda é lançada três vezes. Nesse caso
o espaço amostral é:
 = {CCC, CCC, CCC, CCC, CCC, CCC, CCC,
CCC}
Consideramos o evento A: sair cara
exatamente duas vezes.
Então:
A = {CCC, CCC, CCC}  p(A) =
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3
8
15
Probabilidade Condicional
Agora, consideremos que, ao ser lançada a
moeda três vezes, “o resultado do primeiro
lançamento foi cara”. Qual é a probabilidade de
sair cara exatamente duas vezes?
O espaço amostral passa a ser B com:
B = {CCC, CC C, CCC, C CC} e A’ = {CCC,
CCC} em que A’ = A  B e a probabilidade
pedida é:
n(A’) 2 𝟏
p(A’) =
= =
n(B) 4 𝟐
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16
Probabilidade Condicional
Observe que a probabilidade do evento “sair
cara em ambos os lançamentos” foi modificada
pela presença do evento condicionante “o
resultado do primeiro lançamento foi cara”.
Definimos:
• Evento A: exatamente dois dos três
lançamentos dão cara.
A = {CCC, CCC, CCC}
• Evento B: o primeiro lançamento dá cara.
B = {CCC, CCC, CCC, CCC}
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17
Probabilidade Condicional
Denotamos por A/B o “evento A
condicionado ao fato de que o evento B já
ocorreu” e por p(A/B) a probabilidade
condicional de ocorrer A, tendo ocorrido B.
p(A/B) é a probabilidade de sair cara
exatamente duas vezes, tendo saído cara
no primeiro lançamento.
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18
Probabilidade Condicional
Vimos que:
1
p(A/B) = p(A’) =
2
Então:
n(A’) n(A B)
p(A/B) =
=
n(B)
n(B)
Dividimos ambos os termos da fração por n()  0, temos:
n(A  B)
p(A  B)
n()
p(A  B)
p(A/B) =
=

p(A/B) = p(B)
n(B)
p(B)
n()
Logo:
p(A  B) = p(A/B) . p(B)
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19
Vamos praticar...
Uma família planejou ter 3 crianças. Qual é
a probabilidade de que a família tenha 3
homens, já que a primeira criança que
nasceu é homem?
Nesse caso, chamando M: mulher e H:
homem, temos:
 = {HHH, HHM, HMM, MMM, MMH, MHH,
HMH, MHM}  n() = 8
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20
Vamos praticar...
Evento A: a família tem 3 homens  A =
(HHH)
Evento B: a primeira criança é homem  B
= {HHH, HHM, HMH, HMM}
A  B = {HHH}; p(A  B) =
p(A  B)
p(A/B) =
=
p(B)
1
8
1
2
=
1
;
8
4
8
p(B) = =
1
2
𝟏
𝟒
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21
Vamos praticar...
As pesquisas de opinião apontam 20% da
população é constituída de mulheres que
votam no partido X. Sabendo que 56% da
população são mulheres, qual a probabilidade
de que uma mulher selecionada ao acaso da
população toda vote no partido X?
B: pessoa escolhida mulher
A: a pessoa vota no partido X
A  B: mulher que vota no partido X
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22
Vamos praticar...
Procuramos p(A/B).
p(B) = 0,56, que é equivalente a dizer que 56%
da população são mulheres.
p(A  B) = 0,2, que é equivalente a dizer que
20% da população são mulheres que votam no
partido X.
0,2
0,56
Portanto, p(A/B) =
= 0,35, que é
equivalente a dizer que 35% das mulheres
votam no partido X.
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23
Eventos Independentes
A independência de eventos é muito
importante em probabilidade. Após analisar
um exemplo,
definiremos o que são
eventos independentes.
Consideremos o experimento “lançar dois
dados perfeitos de cores diferentes”. Seja A
o evento “sair o 6 no 1º dado” e B, “sair o 3
no 2º dado”.
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24
Eventos Independentes
Observemos que:
n() = 36
A = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
B = {(1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3)}
p(A) =
p(B) =
6
36
6
36
=
=
1
6
1
6
A  B = (6, 3) = p(A  B) =
p(B  A)
p(B/A) =
=
p(A)
1
36
1
6
=
1
36
1
6
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25
Eventos Independentes
1
6
Assim, p(B) = p(B/A) =
, ou seja, a
probabilidade de “sair 3 no 2º dado” não foi
afetada pelo fato de “sair 6 no 1º dado”, ou,
ainda a probabilidade de ocorrer B não
dependeu da ocorrência de A.
Nesse caso, dizemos que A e B são
eventos independentes. A probabilidade
de ocorrer um deles não depende do fato de
ter ou não ocorrido o outro.
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26
Eventos Independentes
Dessa forma, também é verdade que p(A) =
p(A/B).
p(A  B)
Assim, como p(A/B) =
, temos:
p(B)
p(A  B) = p(A/B) . p(B) = p(A) . p(B)
Logo, o fato de A e B serem eventos
independentes é equivalente a dizer que p(A
 B) = p(A) . p(B).
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27
Eventos Independentes
Poderíamos, então, dar a definição:
Dois eventos A e B de um espaço amostral  (com p(A)  0 e
p(B)  0) são independentes se, e somente se, p(A/B) = p(A),
ou de modo equivalente:
p(A  B) = p(A) . p(B)
Com isso, podemos afirmar que dois
eventos A e B são dependentes quando
p(A  B)  p(A) . p(B)
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28
Vamos praticar...
Consideremos um cria de cachorros com 3
filhotes. Sejam os eventos A: obtenção de
pelo menos dois machos e B: obtenção de
pelo menos um de cada sexo. Os eventos A
e B são independentes?
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29
Vamos praticar...
m: macho; f: fêmea
 = {mmm, mmf, mfm, fmm, mff, fmf, ffm, fff}
1
A = {mmm, mmf, mfm, fmm}  p(A) =
2
B = {mmf, mfm, fmm, mff, fmf, ffm }  p(B) =
A  B = {mmf, mfm, fmm}  p(A  B ) =
3
8
1
2
3
.
4
3
8
3
4
Vemos que = .
Como p(A  B) = p(A) . p(B), temos que A e B
são independentes.
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30
Método Binomial
• O método do produto probabilidades é
usado, por exemplo, quando se quer
saber qual a probabilidade de, numa
família, todas as crianças serem meninos
ou todas serem meninas. Se uma casal
planejou ter 4 filhos, a probabilidade de
que todos sejam meninos é:
1 1 1 1
1
   
2 2 2 2
16
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31
Método Binomial
• Quando há mistura de sexos, por exemplo
3 meninos e 1 menina, 2 meninas, etc. e
não se especifica a ordem de ocorrência,
podemos usar o método binomial.
• Vejamos agora por meio de exemplos, no
que consiste o método binomial e quando
podemos usa-los.
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32
Método Binomial
• 1º) Consideremos uma família com duas
crianças.
Se
representarmos
o
nascimento de um menino por M e o
nascimento de uma menina por F, temos:
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33
Método Binomial
1
p( M )  p  ;
2
1
p( F )  q  ;
2
 p  q 1
  {MM , MF , FM , FF }
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34
Método Binomial
• Como sabemos que cada nascimento é
independente de nascimentos anteriores,
temos:
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35
Método Binomial
1
p(MM) p( M )  p( M )  p  p  p² 
4
1 1 1
p(MF)  p( M )  p( F )  p q   
2 2 4
1 1 1
p(FM)  p( F )  p( M )  q  p   
2 2 4
1 1 1
p(FF)  p( F )  p( F )  q²   
2 2 4
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36
Método Binomial
• Observe que a probabilidade total é igual
a 1:
1 1 1 1
   1
4 4 4 4
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37
Método Binomial
• Se não considerarmos a ordem em que
ocorrem os nascimentos, podemos
escrever:
p²  2 pq  q²  1
• Onde p² é a probabilidade de nascerem
meninos, 2pq é a probabilidade de
nascerem 1 menino e 1 menina e q² é a
probabilidade de nascerem 2 meninas.
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38
Método Binomial
• p² é a probabilidade
meninos, ou seja:
de
nascerem
1 1 1
 
2 2 4
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39
Método Binomial
• A probabilidade de nascerem 1 menino e
1 menina( desconsiderando a ordem) é
2pq, ou seja:
1 1 1
2  
2 2 2
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40
Método Binomial
• A probabilidade de nascerem
meninas é q², ou seja:
2
1 1 1
 
2 2 4
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41
Método Binomial
• Observemos que:
1 p²  2 pq  1q²   2  p ²   2  pq   2 q ² 
0
 1
2
( p  q)²  1²  1
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42
Método Binomial
• Em uma família, a probabilidade de
nascerem n crianças, das quais k sejam
meninos e n-k sejam meninas, é dada
por:
p(k meninos, n  k meninas)   n  p k q nk
k
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43
Método Binomial
• Quando usamos essa fórmula, dizemos
que estamos aplicando o método
binomial.
• Essa probabilidade é um termo da
n
(
p

q
)
expansão binomial
n
k nk


p(k meninos, n  k meninas)    p q
k
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44
Método Binomial
• 1º) uma casal pretende ter 5 filhos e
deseja saber qual é a probabilidade de ter:
• a) 5 meninos;
• b) 2 meninos e 3 meninas;
• c) 1 menino e 4 meninas;
• d) 3 meninos e 2 meninas
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45
Método Binomial
• a) qual é a probabilidade de ter 5
meninos?
p(k meninos, n  k meninas)   n  p k q nk
k
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46
Método Binomial
 5  p 0 q 50   5  p1q 51   5  p ² q 52 
0
 1
2
 5  p 3q 53   5  p 4 q 54   5  p 5 q 55 
 3
4
5
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47
Método Binomial
5!
5!
5!
0 5
1 4
3
pq 
pq 
p²q 
0!(5  0)!
1!(5  1)!
2!(5  2)!

 4 1 
5!  3 2 
5!
5!  5 0

 p q  
 p q  
 p q 
 3!(5  3)! 
 4!(5  4)! 
 5!(5  5)! 
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48
Método Binomial
1 p q  5 p q  10 p² q 
0
5
1 4
3
10 p q  5 p q  1 p q 
3
2
4 1
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5
0
49
Método Binomial
• a) qual é a probabilidade de ter 5
meninos?
p(k meninos, n  k meninas)   n  p k q nk
k
5
p;
1
p
2
5
1
1
  
 2  32
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50
Método Binomial
• b) qual é a probabilidade de ter 2 meninos
e 3 meninas?
p(k meninos, n  k meninas)   n  p k q nk
k
2
3
1 1
5
1

10 p ² q ; p  q   10     
2
 2   2  16
3
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51
Método Binomial
• c) qual é a probabilidade de ter 1 menino
e 4 meninas?
p(k meninos, n  k meninas)   n  p k q nk
k
1 4
5p q ;
1
pq
2
1
4
5
1 1
 5     
 2   2  32
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52
Método Binomial
• d) qual é a probabilidade de ter 3 meninos
e 2 meninas?
p(k meninos, n  k meninas)   n  p k q nk
k
2
3
1 1
5
1

10 p q ; p  q   10     
2
 2   2  16
3
2
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53