Teste 1

1º teste Mecânica Geral MEFT
28 de Março de 2015, 10h00
Duração: 1h30
Prof. Responsável: Eduardo V. Castro
É permitido o uso de calculadora, mas não de outros dispositivos com esta aplicação (telemóveis,
etc). Não são permitidos formulários. No verso pode encontrar algumas fórmulas úteis.
Deve indicar os cálculos intermédios que realiza ao resolver cada questão. Resolver cada grupo numa
folha separada (mas não separar/desagrafar).
Atenção:
1. [8.0 val] Considere uma moeda de raio r e massa m, e um cone oco de altura h e com ângulo 2α no
vértice, como representado na Fig. 1 à esquerda. O cone tem massa M , raio da base R e posição do
centro de massa (CM) à altura h/3 da base.
(a) [1.0 val] Admita que a moeda rola sem deslizar numa trajectória rectilínea, sendo v a velocidade
do seu centro de massa no referencial do laboratório. Determine o vector velocidade angular, em
função de v e r , no referencial do laboratório.
(b) [2.0 val] Admita que o cone rola sem deslizar numa superfície plana, como representado na Fig. 1 à
esquerda. Seja vP o valor da velocidade linear do ponto P no referencial do laboratório. Escolhendo
como referencial do laboratório um que tem origem no vértice, eixo Oz vertical e, instantaneamente,
eixo Ox ao longo da linha de contacto, determine o vector velocidade angular instantânea ω
~ nesse
referencial.
(c) [2.0 val] Usando o referencial da alínea anterior, determine o vector momento angular instantâneo
~ do cone relativamente à origem, e mostra que, contrariamente ao caso da moeda na alínea (a),
L
~ eω
os vectores L
~ não são colineares. Se não resolveu a alínea (b) use, se necessário, ω
~ = (ω, 0, 0).
(d) [3.0 val] Juntemos a moeda e o cone. Considere que o cone está xo e suportado pelo seu vértice,
com o eixo de simetria alinhado com a vertical, tal como ilustrado na Fig. 1 ao centro (θ ≡ α).
Assuma que a moeda rola sem deslizar na superfície interior do cone. Assuma que as condições
iniciais usadas permitiram estabelecer um movimento tal que (1) o ponto de contacto entre a
moeda e o cone descreve uma trajectória circular de raio R0 à altura h0 , e (2) o plano da moeda é
em todos os instantes perpendicular à linha que une o vértice ao ponto de contacto (ver Fig. 1 ao
centro). Faça uso da aproximação r R0 .
i. [2.0 val] Mostre que a frequência angular deste movimento circular é
1
Ω=
tan α
r
2g
.
3h0
ii. [1.0 val] Sabendo que a moeda perde velocidade linear a uma taxa v̇ = −0.1 m/s2 , estime o
tempo que leva a chegar ao vértice. Considere, se necessário, R0 = 25 cm, α = 45◦ e r = 2.5 cm.
2. [8.0 val] O cone oco do problema anterior foi colocado a rodar em torno do seu eixo de simetria
com velocidade angular de spin ωs . De seguida, suportou-se o cone pelo seu vértice, actuando na parte
interior do cone com uma vareta na vertical, como representado na Fig. 1 à direita. Considere h = 30 cm
e α = 45◦ (ver Fig. 1 à esquerda). Note que o centro de massa (CM) do cone se encontra à altura h/3
da base deste.
1
ωs
CM
suporte
eixo de
simetria
Figura 1: Esquerda: cone que rola sem deslizar. Centro: moeda rola sem dislizar no interior do cone. Direita:
cone suportado por uma vareta, rodando em torno do eixo de simetria.
(a) [1.0 val] Determine o valor do momento angular de spin do cone sabendo que ωs = 2π × 10 rad/s
e massa M = 500 g.
(b) [2.0 val] Admita que se estabelece um movimento de precessão uniforme em torno da vertical com
~.
velocidade angular Ω. Indique, justicando, a direcção e sentido do vector Ω
(c) [3.0 val] Calcule a força F~ que a vareta exerce sobre o cone. Considere que o ângulo entre a vareta
e o eixo de simetria é β = 30◦ e que Ω ωs .
(d) [2.0 val] Se a força que calculou na alínea anterior ultrapassar um valor crítico, a vareta parte.
~ depois disso acontecer? Justique.
Que movimento descreve o vector momento angular L
3. [4.0 val] Uma partícula está sujeita a um movimento oscilatório que tem origem na sobreposição de
duas oscilações harmónicas, y = y1 + y2 , com
y1 = A cos(11πt) ,
y2 = A cos(13πt) ,
[t em segundos].
(a) [1.0 val] Determine y(t) e mostre que o movimento é do tipo batimento.
(b) [2.0 val] Calcule o período do batimento.
(c) [1.0 val] Mostre que a oscilação é periódica e determine a frequência com que o movimento (posição
e velocidade) da partícula se repete.
Formulário:
Momentos de inércia
Disco
Cone oco
(referencial do CM)
Fórmulas trigonométricas
eixo de simetria
eixo perpendicular ao de simetria
Ik = mr2 /2
Ik = M R2 /2
I⊥ = mr2 /4
I⊥ = M (R2 /4 + h2 /18)
2
sin(a+b) = sin a cos b+cos a sin b
cos(a+b) = cos a cos b−sin a sin b