Segredos, Intrigas e Equações Cúbicas Série Mátema

Segredos, Intrigas e Equações
Cúbicas
Série Mátema
Objetivos
1. Apresentar a história das equações cúbicas
e de seus protagonistas;
2. Mostrar alguns fatos marcantes no
polêmico processo de desenvolvimento
das equações cúbicas.
Segredos,
Intrigas e
Equações
Cúbicas
Série
Mátema
Conteúdos
História da matemática.
Duração
Aprox. 10 minutos.
Objetivos
1. Apresentar a história das
equações cúbicas e de seus
protagonistas;
2. Mostrar alguns fatos
marcantes no polêmico
processo de desenvolvimento
das equações cúbicas.
Sinopse
Durante o programa de hoje a
professora conta a Joãozinho e
Sofia a intrigante história do
desenvolvimento das equações
cúbicas. A professora comenta
sobre as principais polêmicas
protagonizadas pelos
matemáticos Nicolau Tartaglia e
Girolamo Cardano durante o
processo de desenvolvimento das
equações cúbicas.
Material relacionado
Áudios: Ópera complexa, Mundos
imaginários;
Softwares: Movimentos
complexos;
Vídeos: Um sonho complexo, O
sonho continua;
Experimento: Caixa de papel.
Introdução
Sobre a série
A série Mátema levanta aspectos históricos dos fundamentos da
matemática. O contexto da ficção tem o objetivo de tornar o programa
interessante para o ensino médio e para adolescentes, uma vez que
faz uso do estereótipo do Joãozinho, da Sofia e da professora. Em
geral, os assuntos são mais elaborados do que os que são vistos nos
programas de ensino médio. No entanto, o programa traz ricas
informações e tem o devido cuidado com as definições e conclusões
matemáticas.
Sobre o programa
Aqui reproduzimos parte de uma versão do roteiro original do prof.
Dicesar Fernandes que deu origem ao programa.
Primeira Parte:
Oi, gente, estamos novamente com vocês, com Joãozinho, aquele
menino terrível, com So a, aquela aluna aplicada, e nossa gentil e
simpática professora para contar mais uma das muitas histórias da
matemática.
Desta vez eles vão discutir a história das equações cúbicas. Era a
época dos intrépidos navegadores que descobria novas terras.
Também na matemática aparecem personagens que fizeram grandes
descobertas. Nossos heróis principais são Nicolau Tartaglia e Girolamo
Cardano. Tartaglia e Cardano, matemáticos maiores, se envolveram em
disputas e intrigas, tudo por causa da coisa. A coisa. O que seria a
coisa? Logo veremos. O título de nossa história de hoje é: Segredos,
Intrigas e Equações Cúbicas.
Professora: Com o desenvolvimento da trigonometria pelos árabes,
voltou a tona um antigo problema grego que apareceu 400 anos antes
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de Cristo. Dividir um ângulo arbitrário em três partes iguais. Lá pelos
anos 1.000, depois de Cristo, um célebre matemático árabe conseguiu
reduzir o problema à solução de uma equação cúbica.
A solução foi dada em termos geométricos e não se sabia
exatamente o que era essa solução. Os árabes não trabalhavam com
os números negativos e sua matemática era dissertativa. Símbolos só
para os números naturais.
Sofia:
O que é esse negócio de matemática dissertativa?
Professora: Os símbolos levaram mais 500 anos para começarem a
serem criados. Uma equação do terceiro grau era enunciada do
seguinte forma: cubo e raiz igual a número ou cubo igual a raiz e
número. Enunciadas desta forma existem catorze tipos diferentes de
equações cúbicas. Todas foram resolvidas por métodos geométricos.
Mas os árabes não conseguiam expressar essas soluções em números.
Assim, os árabes tiveram que deixar para outros esses estudos. E
situação permaneceu quase inalterada até os tempos de Cabral.
Joãozinho:
Puxa professora, pra você tudo começou com Cabral!
Professora: Claro que não. Acabei de dizer que mesmo as equações
cúbicas já preocupavam os árabes nos anos 1.000. Em 1.200 a
matemática árabe foi introduzida na Europa. Tanto na forma de
traduções como livros escritos por europeus baseados no saber árabe.
No entanto, muita coisa importante começou a acontecer na época de
Cabral. Era o tempo dos anos 1500.
Sofia:
Bom, eu aprendi que naquele tempo Colombo descobriu a
América...
Professora: Pois é, e naquele tempo viveu uma pessoa muito
importante: Leonardo da Vinci. Vocês já ouviram falar dele. Leonardo
Da Vinci foi pintor, escultor, inventor e tinha muito interesse pela
matemática.
Sofia:
Esse Da Vinci não aquele pintor que pintou o retrato de uma
mulher com um sorriso esquisito?
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Joãozinho:
Agora lembrei. Não é aquela mulher que ficou sem
graça porque soltou um...
Professora:
Não vou sequer responder! Seu malcriado.
Joãozinho:
Desculpe professora, mas essa escapou.
Professora: Vamos continuar. Leonardo da Vinci é uma das maiores
figuras da história da humanidade. O quadro chama-se La Gioconda.
Mas o que nos interessa aqui é a matemática. Não é mesmo Joãozinho?
Um fato interessante para a história da matemática é que ele fez dois
amigos. É claro que deve ter feito muitos. Mas nos interessa de modo
especial dois deles. Um chamava-se Luca Pacioli e o outro Facio
Cardano. Pacioli e Cardano são dois nomes que vocês vão ouvir várias
vezes em nossas histórias. Facio Cardano era professor de Geometria
na Universidade de Pavia, uma das mais antigas da Itália. Facio
Cardano teve um filho que veio a ser uma das figuras mais excêntricas
da história: Girolamo Cardano. E é o Cardano filho que é a figura que
nos interessa. Foi médico, matemático, astrólogo e um jogador
compulsivo. Ficou famoso por ter curado um bispo inglês de uma
doença estranha, mas foi um fiasco como astrólogo: previu vida longa
para um rei inglês que morreu no ano seguinte. Cardano estudou
avidamente a Summa Arithmetica, um denso livro de matemática
escrito por Luca Pacioli, o outro amigo de Da Vinci. Podemos notar que
Cardano é uma personagem muito forte.
Joãozinho:
Se Cardano era médico e não sei quantas outras coisas,
por que estudou o livro de matemática de Pacioli?
Professora:
gostava.
Estudava matemática por influência do pai e porque
Joãozinho:
Duvido!
Nossa, estudar matemática porque gosta. Eu, heim!
Professora: Naquela época, que é a de Cabral, vários matemáticos
italianos estavam estudando as equações cúbicas. Como era difícil
estudar o caso geral das equações do terceiro grau, dividiam em casos
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especiais. Um desses matemáticos era Nicolau Tartaglia, que nasceu
justamente em 1500.
Sofia:
Tartaglia é um nome engraçado.
Professora: Na realidade Tartaglia era apenas um apelido, um tanto
maldoso. Tartaglia em italiano significa gago. Quando era criança,
Tartaglia recebeu uma facada de um soldado francês. Essa facada
atingiu-lhe as cordas vocais. Tartaglia sobreviveu milagrosamente, mas
ficou gago.
Sofia:
Então esse Tartaglia também vai entrar na história?
Professora: Sim, Tartaglia e Cardano são personagens de várias
histórias. Por exemplo, Tartaglia e Cardano descobriram o triângulo de
Pascal cem anos antes de Pascal. Na Itália, em todos os livros de
matemática, o triângulo de Pascal é chamado de triângulo de Tartaglia.
Mas esta é uma outra história.
Joãozinho:
Esses dois sabiam um monte de coisas!
Professora:
descobriam!
É verdade, mas guardavam segredo das coisas que
Joãozinho:
Ué, mas por que guardar segredo?
Professora:
Para usar em disputas!
Naquele tempo os sábios italianos eram quase todos sustentados
por ricos senhores e tinham que mostrar serviço. Uma forma de
demonstrar sabedoria era desafiar outras pessoas propondo
problemas para serem resolvidos e resolvendo problemas que lhe
eram propostos. O vencedor de uma disputa ganhava fama e uma
certa quantia em dinheiro. O perdedor caia em desgraça.
Professora: Um desses segredos e uma disputa interessam a nossa
história. Um matemático italiano, anterior a época de Cabral, tinha
descoberto a solução de um caso crucial das equações cúbicas e a
manteve em segredo. Mas, pouco antes de sua morte, contou o
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segredo para um de seus alunos. Esse aluno, de posse do segredo,
desafiou Tartaglia para uma disputa. Mas o que o aluno ignorava era o
segredo de Tartaglia: ele também tinha descoberto a solução desse
caso crucial. Tartaglia venceu a disputa e sua fama chegou aos ouvidos
de Cardano.
Quem diria que algumas equações poderiam ser armas de duelo?
Após um breve intervalo para uma discussão veremos as
conseqüências dessa disputa.
Segunda Parte:
Sofia:
E esse Tartaglia ficou famoso vencendo disputas?
Professora: Sim. E foi assim que Cardano ficou sabendo de
Tartaglia. Além disso, Cardano soube que Tartaglia tinha resolvido um
caso crucial de equação cúbica. Mas tinha guardado segredo, para usar
em outras disputas.
Sofia:
Já sei, Cardano, para conhecer o segredo, desafiou Tartaglia
para uma disputa.
Professora: Cardano era muito esperto e não entrava em disputa,
principalmente porque não era professor. E assim, Cardano convidou
Tartaglia para uma conversa e insistiu muito para que ele contasse o
segredo. Tartaglia se recusou. Mas Cardano continuou insistindo.
Tartaglia então concordou, mas com a condição de Cardano jurasse
guardar segredo. Cardano assim o fez, jurou segredo a Tartaglia sobre
o método de resolução da equação.
Sofia:
Já vi tudo. Cardano não guardou segredo. Ninguém guarda.
Professora: É verdade, Cardano não guardou segredo. Mas a intriga
é mais complicada. Tartaglia passou para Cardano o modo de solução
usando versos enigmáticos. Assim, ouçam:
Quando o cubo junto com as coisas se iguala a algum número,
descobre dois outros que diferem do conhecido e faz como é usual
que o produto seja sempre igual ao cubo da terça parte das coisas
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então a diferença dos seus lados cúbicos bem subtraídos valerá a tua
coisa principal.
Joãozinho:
Não entendi coisa nenhuma!
Professora: Mas a coisa que Tartaglia fala nos versos era o nome
que era dado para a incógnita ou raiz de uma equação.
Joãozinho:
Que coisa medonha! Mas mesmo assim não entendi.
Professora: Pois Cardano estudou duro e conseguiu entender.
Depois que entendeu, continuou a estudar duro e resolveu todos os
casos de equações cúbicas. Estes estudos levaram seis anos para
serem concluídos.
Joãozinho:
Sofia:
Seis anos! Esse Cardano devia ser meio louco.
Mas e aí, ele contou o segredo de Tartaglia?
Professora: Bom, enquanto ele trabalhava nos outros casos de
equações cúbicas, Cardano ficou sabendo que um outro matemático
italiano, do qual já falamos, já sabia como resolver o tipo de equação
cúbica análoga a de Tartaglia. Sentiu-se então desobrigado com o
juramento feito a Tartaglia. A seguir publicou um importante livro em
latim com o título Ars Magna, ou Arte Maior. No livro ele descreve a
solução de todos os caso de equações, incluindo o caso crucial
descoberto por Tartaglia. Um ponto importante é que Cardano incluiu
no livro também as soluções das equações de quarto grau descobertas
por seu assistente Ludovico Ferrari. O livro Arte Maior de Cardano é
um dos marcos da história da Matemática.
Sofia:
E o que aconteceu quando Tartaglia soube que seu segredo
tinha sido revelado?
Professora: Ficou furioso. Denunciou Cardano em público por
quebra de juramento e o desafiou para uma disputa.
Sofia:
Como acontece sempre, acho que ninguém deu bola.
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Professora: É verdade Cardano ignorou os protestos de Tartaglia e
tudo ficou por isso mesmo. Mas ficou a questão: atitude de Cardano
foi ética ou não?
Joãozinho:
Sei lá dona, mas daí o que aconteceu?
Professora: Então, instigado por Cardano, seu aluno Ludovico
Ferrari desafiou Tartaglia para uma disputa.
Sofia:
Nossa! Esse Cardano era uma pessoa maldosa!
Professora: É difícil julgar. Mas como já foi dito, era uma pessoa
extremamente excêntrica.
Joãozinho:
Isto eu já sabia. Qualquer pessoa que
matemática porque gosta tem que ser meio fora dos eixos!
Sofia:
estuda
Mas, Tartaglia aceitou ou não o desafio?
Professora: Achando que Ferrari era uma pessoa sem importância,
ele não se interessou pelo desafio. A menos que o próprio Cardano
participasse.
Sofia:
Não é?
Pelo rumo da história, me parece que Cardano não aceitou.
Professora: De fato. Mas em 1.548 ofereceram para Tartaglia um
cargo de professor em uma importante universidade, com a condição
de que aceitasse o desafio do aluno de Cardano, Ludovico Ferrari.
Sofia:
Aí o Tartaglia ganhou? Já estou começando acha-lo simpático.
Professora: Pois não ganhou. Lembrem que Cardano tinha colocado
em seu livro as soluções das equações de quarto grau, que foram
descobertas justamente por Ferrari. Como Tartaglia não tinha
absorvido esse assunto, Ferrari insistiu nesse ponto e ganhou a
disputa. Tartaglia ficou ressentido com Cardano pelo resto da vida.
Sofia:
Fiquei com pena do Tartaglia!
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Professora: Pois é. Mas de qualquer maneira a fórmula de resolução
das equações do terceiro grau é chamada de fórmula de CardanoTartaglia. Além disso, tanto Cardano como Tartaglia são conhecidos
por terem estudados outros temas importantes. Mas isso é assunto
para outra história.
Joãozinho:
matemática!
Puxa professora, quantas histórias tem a história da
Muitas, muitas Joãozinho. Falamos aqui da história das equações,
mas somente das contribuições de Tartaglia, Cardano e Ferrari.
Observe que também só falamos das equações de terceiro e quarto
grau. Como seria a história das equações de quinto grau? Mas esta
também é outra história.
Sugestões de atividades
Antes da execução
Sugere-se ao professor que antes da execução do áudio revise com
seus alunos os conceitos básicos da resolução de equações do
segundo grau.
Uma equação quadrática ou do segundo grau é a equação que
possuí a seguinte forma geral:
ax 2 + bx + c = 0
onde:
a – coeficiente quadrático, a ≠ 0
b – coeficiente linear
c – termo independente
Para se determinar as duas raízes da equação recorresse à fórmula
geral para equação polinomial do segundo grau, conhecida também
como fórmula de Bhaskara.
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x =
− b ± b 2 − 4ac
2a
Através do gráfico da função do segundo grau: y = x 2 − x − 2 pode-se
perceber o formato parabólico que a equação do segundo grau possui.
Na figura percebe-se ainda as duas raízes da equação (x = −1) e (x = 2) ,
ou seja, os pontos onde a equação corta o eixo das abscissas.
Depois da execução
Após a execução do áudio, sugere-se ao professor exemplificar a
utilização da fórmula de Cardano-Tartaglia para a obtenção das raízes
de uma equação de terceiro grau.
Dada uma equação geral do terceiro grau na forma:
z 3 + az 2 + bz + c = 0
para utilização da fórmula de Cardano-Tartaglia para a determinação
das raízes é necessária reduzi-la a forma:
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x 3 + px + q = 0
para a redução faz-se a substituição de: z = x −
a
3
, uma vez de posse
da equação na forma cúbica reduzida, tem-se que a fórmula de
Cardano-Tartaglia para a raízes é dada por:
x =3−
q
2
±
q2
4
+
p3
27
Exemplo:
Dada a equação: y = z 3 − 6z 2 + 11z − 6 , achar as raízes:
Os coeficientes da equação são: a=1, b=-6, c=11 e d=-6
Para a obtenção da forma cúbica reduzida faz-se:
z =x −
b
−6
=x −
⇒z =x +2
3a
3 ⋅1
substituindo o valor de z na equação original e fazendo a expansão
dos termos temos que: x 3 − x = 0
com os coeficientes, p e q da fórmula de Cardano-Tartaglia dados por:
p = 11 −
( −6)2
= −1 ;
3
q =
2( −6)3 ( −6)11
−
−6 = 0
27
3
as raízes da equação reduzidas são, segundo a fórmula de CardanoTartaglia:
x =3−
q
2
±
q2
4
+
p3
27
⇒
x 1 = 0 , x 2 = 1 e x 3 = −1
Fazendo a transformação para a variável original temos as raízes da
equação de terceiro grau:
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z1 = 2 , z 2 = 3 e z 3 = 1
O gráfico a seguir mostra a curva descrita pela equação cúbica
y = z 3 − 6z 2 + 11z − 6 .
Na figura nota-se as três raízes da equação cúbica, ( x = 1) , (x = 2) e
(x = 3) .
Desafio
Considere a equação
(x − 1)n + x n = (x + 1)n
quando n=2 ou n=3 e x é um número natural. Mostre a solução para o
caso n=2 e mostre que não existe solução para caso n=3.
Solução
Para n=2 basta desenvolver a equação
(x − 1)2 + x 2 = (x + 1)2 ⇔ x(x − 4) = 0
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E assim obtemos as duas possíveis soluções x=0 ou x=4. Essa última
fornece o famoso trio de Pitágoras, 3, 4, 5 que de fato satisfaz a
igualdade 32 + 4 2 = 52 .
Para n=3 temos
(x − 1)3 + x3 = (x + 1)3 ⇔ x 2 (x − 6) = 2
Mas esta última equação indica que o produto de dois números
naturais deve ser dois. Por um lado x > 6 para que seja positivo, isto é,
x ≥ 7 . Mas isto implica que x 2 ≥ 49 . E dessa forma o produto jamais será
apenas 2. Observe que estamos restritos a x natural.
Sugestões de leitura
Eves, H., (2004). Introdução à história da Matemática. Editora
Unicamp, Campinas.
Boyer, C. B., (1996). História da Matemática, Edgar Bluncher Ltda, São
Paulo.
Ficha técnica
Autor William Martins Vicente
Revisão Samuel Rocha de Oliveira
Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva
Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira
Universidade Estadual de Campinas
Reitor Fernando Ferreira Costa
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Diretor Caio José Colletti Negreiros
Vice-diretor Verónica Andrea González-López
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