Seja V o volume de um cubo de aresta xe V` o - MTM

Os obstáculos epistemológicos
Breve epistemologia dos números complexos
 Problema 1
Dividir um segmento de comprimento 10cm em duas partes de tal
modo que o produto dos comprimentos dessas partes seja 40cm2.
Equacionando o problema temos o sistema seguinte:
x  y  10

xy  40
sendo x e y os comprimentos dos pedaços.
Isolando y na primeira equação e substituindo na segunda, obtemos
a equação:
x2 – 10x + 40 = 0
cuja solução é x  5   15 .
Para os antigos, aparecer a raiz quadrada de um número negativo não
causava muito embaraço, pois o problema que dava origem a esta
situação não tinha solução: com um comprimento de 10cm não se
pode cortar em dois pedaços e obter o produto 40cm2 com os seus
comprimentos !
 Problema 2
Seja V o volume de um cubo de aresta x e V’ o volume de um
paralelepípedo retângulo cuja área da base é 3 e cuja altura é igual a
aresta do cubo. Determinar x de modo que V = V’ + 1.
Como V = x3 e V’=3x, o problema leva a seguinte equação
x3 = 3x + 1
Usando a fórmula de Cardano ou Tartaglia para equações do tipo
x3 + ax = b,
2
3
2
b
b a
b
b a
x  3      3      
2
 2  3
2
 2  3
3
Obtém-se:
x3
1
3
3
1
  3   
2
4
4
2
Como no caso anterior, a resposta poderia ser a mesma se não fosse
a constatação seguinte:
Para x = 1,
V = 1 e V’ + 1 = 4,
( V < V’ + 1)
Para x = 2,
V = 8 e V’ + 1 = 7,
( V > V’ + 1)
Portanto, para algum x entre 1 e 2, deveremos ter
equação deve ter pelo menos uma raiz.
V = V’ + 1 e a
A contrário do que aconteceu no caso anterior, em que a raiz
quadrada de um número negativo era encarada como a inexistência
da solução prática, os algebristas se dão conta de que precisavam
manipular com estes objetos que os consideravam tão sutis quanto
inúteis.
 Foi por causa de uma situação embaraçosa deste tipo que
surgiram os números complexos...
Raphael Bombelli (1526-1573)
Vejamos como procedeu Bombelli para a equação x3 – 15x = 4
encontrando (usando a fórmula de Cardano)
x=
3
2   121  3 2   121
2
Bombelli verifica através de uma substituição que x = 4 é solução da
equação.
Ele admite a possibilidade de que exista uma expressão da forma
(a +
 b ) 3  2   121 (*)
Ele supõe que
3
2   121  a   b
e
3
2   121  a   b
Como 4 é raiz da equação, necessariamente
a  b + a  b = 4
o que dá a = 2.
Substituindo a = 2 em (*) e aplicando a fórmula
(X + Y)3 = X3 + 3 X2Y + 3XY2 + Y3,
Bombelli encontra
8 + 12  b - 6b - b  b = 2 +
 121
 8 + 12 b  1 - 6b - b b  1 = 2 + 11  1
8  6b  2
 
12 b  b b  11
cuja solução é b = 1.
Portanto,
3
2   121  2   1 e
3
2   121  2   1 ,
mostrando que
3
2   121  3 2   121 = 2   1 + 2   1 = 4
3