SEGUNDO ANO - analise combinatoria e probabilidade 442,6 KB

SEGUNDO ANO
ANÁLISE COMBINATÓRIA
1) Uma empresa tem 4 executivos. De quantas formas podem ser escolhidos o
presidente e o seu vice?
Resolução
São 4 executivos, mas só dois podem ser escolhidos, a ordem importa, por isso esse é
um problema de arranjo.
4!
24
𝐴4,2 =
→
= 12
(4 − 2)!
2
Podem ser escolhidos de 12 formas diferentes.
2) Uma empresa tem 4 executivos. De quantas formas podem ser escolhidos 2
executivos para formar uma comissão?
Resolução
São 4 executivos, 2 podem ser escolhidos, a ordem não importa, por isso é
combinação.
Há 2 formas de escolher os dois membros, por isso, basta dividir o número de arranjos
por 2!
4!
1
4!
24
24
𝐶4,2 =
. → 𝐶4,2 =
→ 𝐶4,2 =
→
=6
(4 − 2)! 2!
(4 − 2)! 2!
2.2
4
Podem ser escolhidos de 6 formas diferentes.
3) Uma loteria é feita da seguinte forma: de 50 números existentes ( de 01 a 50), devese acertar 6 números na ordem em que são sorteados. De quantas formas os números
podem ser sorteados? Como aumentar a motivação dos jogadores?
Resolução
50!
50!
50.49.48.47.46.45.44!
𝐴50,6 = (50−6)! → 44! →
= 11.441.304.000 formas de os números
44!
serem sorteados.
Para torna-la mais atraente é só tirar a exigência da ordem. Faremos isso mudando de
arranjo para combinação.
50!
50!
50.49.48.47.46.45.44!
11.441.304.000
𝐶50,6 = (50−6)!6! → 44!6! →
→
= 15.890.700 formas de
44!6!
720
os números serem sorteados.
4) De um baralho de 52 cartas, retiram-se 5 sem repetição. De quantas formas isso
pode ser feito?
Resolução
A ordem não importa!
52!
52!
52.51.50.49.48.47!
311.875.200
𝐶52,5 = (52−5)!5! → 47!5! →
→
= 2.598.960 formas de ser
47!5!
120
feito.
5) Quantas diagonais há em um heptágono?
Resolução
Seja n o número de lados de um polígono, cada diagonal é
determinada por um par não ordenado de dois vértices
̅̅̅̅ = 𝐵𝐴
̅̅̅̅), o número total de segmentos é a combinação
(𝐴𝐵
𝑛
de n, 2 a 2: ( )
2
Retirando do total o número de lados n:
𝑛!
𝑛(𝑛 − 1)
𝑛2 − 𝑛
𝑛
( )−𝑛 =
−𝑛=
−𝑛 =
−𝑛
2
(𝑛 − 2)! 2!
2
2
𝑛2 − 𝑛 − 2𝑛 𝑛2 − 3𝑛 𝑛(𝑛 − 3)
=
=
=
2
2
2
Logo o número de diagonais é dado por:
𝑁=
𝑛(𝑛−3)
2
→
7(7−3)
2
→
7.4
2
=
28
2
= 14 diagonais
6) Uma prova consta de 12 questões, das quais o aluno deve resolver 7. De quantas
formas ele pode fazer a prova? (observe que a ordem não importa)
Resolução
Resolver as questões {1,2,3,4,5,6,7} é o mesmo que resolver as questões
{7,6,5,4,3,2,1}, assim a ordem do agrupamento não importa.
De 12 são escolhidas 7 questões:
12!
12!
12.11.10.9.8.7!
95040
12
𝐶12,7 = ( ) = (12−7)!7! = 5!7! =
= 120 = 792 formas
5!7!
7
7) Em um campeonato de futebol em que cada time jogou uma vez com todos os
outros times, houve 325 jogos. Quantos times havia no campeonato?
Resolução
Só houve um jogo a cada 2 times, logo, a ordem não importou. Seja x o número de
times no campeonato:
𝑥
𝑥!
𝐶𝑥,2 = ( ) = (𝑥−2)!2! como foram 325 jogos no campeonato:
2
𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)!
𝑥(𝑥 − 1)
= 325 →
= 325 → 𝑥 2 − 𝑥 − 650 = 0
(𝑥 − 2)! 2!
2!
−(−1) ∓ 51
∆= 2601 →
→ 𝑥´ = 26 𝑒 𝑥´´ = −25
2
Sendo válido o valor positivo, teremos 26 times.
PROBABILIDADE
SEGUNDO ANO ENSINO MÉDIO
1) No lançamento de uma moeda, qual é a probabilidade de obter a face cara?
Resolução
Indicando C por cara e K por coroa, o espaço amostral desse experimento é: E={C,K}
em que n(E)=2, o evento que esperamos ocorrer é A={C}, em que n(A)=1
𝑛(𝐴) 1
𝑃(𝐴) =
→ = 50%
𝑛(𝐸) 2
A probabilidade é de 50%.
2) No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de obter, na face voltada para
cima, um número de pontos menor que 3?
Resolução
O espaço amostra desse experimento são as faces de um dado, logo E={1, 2, 3, 4, 5, 6},
em que n(E)=6, o evento que esperamos ocorrer é B={1, 2}, em que n(B)=2
𝑛(𝐵) 2 1
𝑃(𝐵) =
→ =
𝑛(𝐸) 6 3
A probabilidade é de 1/3.
3) No lançamento de duas moedas, qual é a probabilidade de obter, nas faces voltadas
para cima, pelo menos uma cara?
Resolução
O espaço amostral desse experimento é E={(C,C);(C,K);(K,C);(K,K)}, em que n(E)=4, o
evento que esperamos ocorrer é G={ C,C);(C,K);(K,C)}, em que n(G)=3
𝑛(𝐺) 3
𝑃(𝐺) =
→ = 0,75 → 0,75.100 = 75%
𝑛(𝐸) 4
A probabilidade de se obter ao menos uma cara é de 75%.
4) No lançamento de dois dados, qual é a probabilidade de obter, nas faces voltadas
para cima, a soma dos pontos igual a 5?
Resolução
O espaço amostral desse experimento é:
… (1,6)
(1,1) (1,2) (1,3)
… (2,6)
(2,1) (2,2) (2,3)
𝐸 = (3,1) (3,2) (3,3)
… (3,6) ou seja n(E)=6.6 ou n(E)=36
…
…
…
…
…
… (6,6)}
{(6,1) (6,2) (6,3)
O evento que esperamos ocorrer é H={(1,4);(2,3);(3,2);(4,1)}, em que n(H)=4
𝑛(𝐻)
4
1
𝑃(𝐻) =
→
=
𝑛(𝐸) 36 9
A probabilidade é de 1/9, ou de uma em nove jogadas.
5) Para a rifa de um computador, foram vendidos mil bilhetes, numerados de 1 a 1000,
dos quais apenas um será premiado por sorteio. Carlos comprou os bilhetes de
números 324, 325, 326, 327, 328, 329 e 330. Qual é a probabilidade de um dos bilhetes
de Carlos ser sorteado?
Resolução
O espaço amostral desse experimento é E={1, 2, 3, 4, ..., 1000}, em que n(E)=1000, o
evento esperado é T={324, 325, 326, 327, 328, 329, 330}, em que n(T)=7
𝑛(𝑇)
7
𝑃(𝑇) =
→
= 0,007 = 0,007.100 = 0,7%
𝑛(𝐸) 1000
A probabilidade de Carlos ser sorteado é de 0,7%.
6) Com o objetivo de avaliar a eficiência de vitaminas na alimentação das crianças de
determinada região, foram examinadas 800 crianças, constatando-se que entre elas:
385 apresentavam deficiência de vitamina A, 428 apresentavam deficiência de
vitamina C e 47 não apresentavam deficiência dessas vitaminas. Selecionando, ao
acaso, uma dessas crianças, qual é a probabilidade de ela ter deficiência das duas
vitaminas, A e C?
Resolução
O conjunto U é o universo de crianças examinadas.
O conjunto A são as crianças com deficiência de vitamina A.
O conjunto C são as crianças com deficiência de vitamina C.
A intersecção dos dois conjuntos, A e C, nos dará a quantidade de crianças com
deficiência das duas vitaminas, por isso, o conjunto A será dado por 385 menos as
crianças da intersecção, o mesmo acontecerá com o conjunto C, que será formado por
428 menos os elementos da intersecção. Não podemos desprezar as 47 crianças que
não apresentavam nenhuma das deficiências.
A expressão a seguir é a soma das partes, igualada ao todo, para que possamos
encontrar o valor de x.
(385-x)+x+(428-x)+47=800
385+428+47-x+x-x=800
860-x=800
860-800-x=0
60-x=0
-x=-60 (-1)
x=60
𝑃(𝐴) =
60
6
3
→
=
= 7,5%
800 80 40
7) A figura a seguir representa o mapa de uma cidade, no qual uma pessoa se encontra
na origem do sistema cartesiano ortogonal. Essa pessoa deseja ir ao ponto P(6,5) e,
para isso, só pode dar um passo de cada vez, para norte (N) o para leste (L). Quantos
caminhos diferentes essa pessoa pode escolher para alcançar seu objetivo?
Resolução
Como o par ordenado é dado por (6,5), essa pessoa terá de dar 6+5 passos, logo,
alcançará seu destino com 11 passos.
O eixo x representa o deslocamento para leste, pois este é na horizontal, já o eixo y
representará o deslocamento para o norte, pois este é na vertical, sendo assim, serão
6 passos para leste e 5 para o norte, para alcançar seu objetivo.
6,5
Dessa forma, os caminhos possíveis serão dados por 𝑛(𝑡) = 𝑃11
𝑃11
11!
𝑛(𝑡) = 𝑃6𝑃5 → 6!5! →
11.10.9.8.7.6!
6!5!
→
55440
120
= 462 caminhos possíveis.
8) O número de permutações da palavra ECONOMIA que não começam nem terminam
com a letra O é?
Resolução
Há seis escolhas para a 1ª letra, e consequentemente 5 para a última, pois já usamos
uma. As demais seis letras que incluem o “O” duas vezes, pode ser encontrada com
6!
= 360
2!
Assim, as opções de letra para o início da palavra, vezes as possibilidade de
combinações para o meio da palavra, vezes as opções de letras para o final da palavra
será: 6.360.5=10800
O número de permutações da palavra ECONOMIA que não começam nem terminam
com O é de 10800.
9) Oito garotas chegam de férias a uma pequena cidade do litoral norte. Dirigem-se a
um hotel onde somente estão disponíveis dois quartos triplos e um quarto duplo.
a) De quantos modos diferentes elas podem alojar-se no hotel?
b) As ruas da cidade interceptam-se em ângulos retos, como mostra a figura. Certo dia
elas decidem almoçar no único restaurante da cidade. Quantos caminhos diferentes
elas podem escolher par ir do hotel ao restaurante? Elas caminham somente para o
norte ou para o leste. A figura indica um possível caminho.
a) C8,3 - 1 quarto triplo para 8; serão acomodadas 3 meninas neste quarto, restando 5
para serem acomodadas.
C5,3 – 1 quarto triplo para 5; serão acomodadas 3 meninas neste quarto, restando 2
para serem acomodadas.
C2,2 – 1 quarto duplo para 2; serão acomodadas 2 meninas neste quarto.
8!
8!
8.7.6.5! 336
𝐶8,3=
→
→
=
= 56
(8 − 3)! 3! 5! 3!
5! 3!
6
5!
5!
5.4.3! 20
𝐶5,3=
→
→
=
= 10
(5 − 3)! 3! 2! 3!
2! 3!
2
2!
2
𝐶2,2=
→ =1
(2 − 2)! 2! 2
Como as meninas podem se revezar na ordem de distribuição nos quartos temos:
56.10.1=560 modos.
b) O restaurante encontra-se nas coordenadas (6,4), logo serão dados 6+4=10 passos.
6,4
𝑛(𝑡) = 𝑃10
𝑃10
11!
𝑛(𝑡) = 𝑃6𝑃4 → 6!4! →
10.9.8.7.6!
6!4!
→
5040
24
= 210 caminhos possíveis.