Matemática 5

Matemática 5
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
1.
Módulo 1
3.
Considere os ângulos adjacentes α e β, cuja soma é 82°:
PARA SALA
Observe que:
O ângulo formado pelas bissetrizes é
α
β
+ , portanto:
2
2
α
β
α+β
82°
+
=
=
= 41o
2
2
2
2
Resposta correta: 41º
Traçando a bissetriz do ângulo B .
4.
Os ângulos α, β e x são ângulos internos de um triângulo. Desta maneira x + α + β = 180o (I)
Observe agora o desenho sem as retas m e n:
O quadrilátero ABEC é um paralelogramo, o que nos
garante que CE = AB = 7, enquanto isso o ângulo
B E D e F B A são congruentes (Alternos Internos). Portanto o triângulo BED é equilátero e DE = BD = 12.
Desta maneira CD = CE + ED = 7 + 12 = 19.
Como os ângulos 2α e 2β são colaterais internos, então
são suplementares:
2α + 2β = 180o ( ÷2)
Resposta correta: 19
Os lados AB e CD são paralelos; além disso os ângulos A e D são colaterais internos assim como B e C :
5.
α + β = 90o (II)
Substituindo (II) em (I)
x + α + β = 180 o
x + 90o = 180o
x = 90o
α + 130º = 180º
α = 50º
I)
Resposta correta: 90º
2.
II) β + 25º = 180º
β = 155º
Observe:
• Ângulo ⇒ α
• Complemento do ângulo ⇒ 90° – α.
Como o ângulo é igual a
Resposta correta: A
3
do seu complemento, então:
5
3
(90° – α)
5
5α = 270° – 3α
8α = 270°
α = 270°
α = 33,75°
α = 33° + 0,75°
α = 33° + 0,75° . 60’
α = 33°45’
6.
Traçando mais duas retas paralelas
α=
O ângulo α é formado por dois ângulos de 50o, então
α = 100o.
Resposta correta: 30º 45´
Resposta correta: 100º
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1
7.
Sendo α e β os ângulos suplementares, onde α é o menor, então:
β
I. 2α = 90° –
5
10 α
450° − β
=
5
5
β = 450° – 10α
2.
II. α + β = 180°
α + 450° – 10α = 180°
–9α = –270°
α = 30°
8.
Traçando mais uma paralela:
O menor ângulo é 30°, enquanto o maior 150°.
Observe que 2α, 3α e 100o formam uma volta completa:
2α + 3α + 100o = 360o
5α = 260o
α = 52o
Resposta correta: 30º e 150º
Resposta correta: 52º
Como os ângulos são proporcionais a 2, 3, 4, 5 e 6, então vamos considerá-los como sendo 2k, 3k, 4k, 5k e 6k:
3.
Sendo r a razão da PA, teremos:
10° + 10° + r + 10° + 2r = 180°
30° + 3r = 180°
3r = 150°
r = 50°
A maior medida é 10° + 2r = 10o + 2 . 50° = 110°
Resposta correta: C
6k + 5k + 4k + 3k + 2k = 360°
20k = 360°
k = 18°
O maior ângulo é 6k = 6 . 18° = 108°, enquanto o menor
é 2k = 2 . 18° = 36°.
A diferença entre eles é 108° – 36° = 72°.
4.
Traçando uma reta paralela
Resposta correta: D
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
1.
Traçando mais duas retas paralelas:
Observe que o ângulo 112º é formado pelos ângulos de
40º e x, então:
40o + x = 112o ⇒ x = 72º
Resposta correta: 72º
5.
Os ângulos 30° – α e β – 70° são alternos internos, então:
30° – α = β – 70°
30° + 70° = α + β
α + β = 100°
Os ângulos que medem 130° e 100° + α são alternos
internos, por isso são congruentes.
100° + α = 130°
α = 30°
I.
Resposta correta: C
2
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2
=
3
AC
Sabemos que 10º e β formam o ângulo de 30º, que β
e γ formam o ângulo de 40º e que α e γ formam o ângulo de 90º.
• 10º + β = 30º
β = 20º
3 AC = 6
•
β + γ = 40º
20º + γ = 40º
γ = 20o
•
α + γ = 90º
α + 20 = 90º
α = 70º
II. tg 30° =
AB
AC
6 x 3
AC =
3 x 3
AC =
6 3
3
AC = 2 3
Resposta correta: C
8.
Resposta correta: B
6.
Observe a figura sem o segmento BF:
Observe apenas as retas r, u e t:
mede α + 40o, agora observe a figura
O ângulo ABC
sem BG .
y + 20º = 120º
y = 100º
Observe agora que x e y são O.P.V por isso são iguais.
e FBC
são
O segmento BF é bissetriz, então ABF
o
= 100 . Sendo
iguais, 50º cada, desta maneira ABC
assim:
α + 40o = 100o ⇒
α = 60o
Resposta correta: 60º
x=y
x = 100º
9.
Traçando uma reta paralela às retas a e b:
Desta maneira 2x + 3y = 2 • 100 + 3 • 100 = 500º
Resposta correta: B
7.
Traçando três retas verticais, vamos obter vários ângulos
alternos internos (iguais).
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Os ângulos correspondentes são iguais, além disso o
ângulo é ângulo externo do triângulo que está acima, então β = 30o + 40o = 70o, já o ângulo γ é ângulo
externo do triângulo que está abaixo, então γ = 50o +
20o = 70o. Observe ainda que α = β + γ = 70o + 70o =
140o.
Veja agora a figura 2:
Resposta correta: 140º
10. Temos que:
• Ângulo ⇒ x
• Replemento do ângulo ⇒ 360° – x
•
Quinta parte do replemento do ângulo ⇒
360° − x
.
5
Como 20% da quinta parte do replemento do ângulo é
12°, então:
360° − x
20% de
= 12
5
20
360 − x
.
= 12
100
5
1 360° − x
.
= 12
5
5
360° − x
= 12°
25
360° – x = 300°
x = 60°
Com ΔABC em destaque, temos:
120º
Logo,
Resposta correta: 60º
BC = 600 3 m
Resposta correta: E
11. Observe a figura 1:
A 3 = 900
A = 300 3 m
Daí,
2A = 600 3 m
4
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