2 AULA 1 Conjuntos Numéricos 1. Conjunto dos Números

AULA 1
valor absoluto ou módulo de um número
associado a esse ponto.
Conjuntos Numéricos
Por exemplo: o valor absoluto do número +4
é 4 (a distância do ponto 4 à origem é 4).
1. Conjunto dos Números Naturais
Os números naturais são usados para
indicar uma contagem, uma ordem ou um
código. A sequência dos números naturais
é: 0, 1, 2, 3, ..., e o conjunto que representa
esta sequência de números é denotado por:
Da mesma forma, o módulo de -3 é 3 (a
distância do ponto -3 à origem é 3)
Notação de módulo: |-a| = a
Conjunto dos Números Racionais
= {0,1, 2, 3, 4, 5, 6,
}
Os números racionais são todos os
números que podem ser colocados na forma
de
fração,
com
o
numerador
e
denominador
, ou seja, o conjunto
Conjunto dos Números Inteiros
Com o passar dos tempos os números
naturais tornaram-se insuficientes para a
resolução
de
todos
os
problemas
matemáticos e, na busca de suprir essas
necessidades, foi criado o conjunto dos
números inteiros, que é composto pelos
números naturais (inteiros positivos e o zero)
e os números inteiros negativos.
dos números racionais é a união do
conjunto dos números inteiros com as
frações positivas e negativas.
Pode ser representado por:
= {x | x =
Exemplos:
,
}
,
O conjunto dos números naturais é denotado
por:
={
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,
}
Podemos representar os números inteiros em
uma reta numérica. Veja:
Módulo, ou valor absoluto de um número
inteiro
Podemos determinar na reta numérica, a
distância de qualquer ponto em relação à
origem (representada pelo zero).
Assim, a distância entre qualquer ponto e a
origem da reta numérica é chamanda de
Conjunto dos Números Irracionais
Os números irracionais são decimais
infinitas não periódicas, ou seja, são números
que não podem ser escrito na forma de
fração.
Exemplos: Os números abaixo têm uma
representação decimal não periódica com
infinitas ordens decimais.
= 1,41421356
= 1,73205080
= 3,14155926
2
Conjunto dos Números Reais
conjunto dos números inteiros negativos:
O conjunto dos números reais é a união
entre o conjunto dos números racionais com
o conjunto dos números irracionais.
conjunto dos números racionais:
Pode ser representado por:
conjunto dos números racionais não nulos:
=
= {x | x é racional ou irracional}
conjunto dos
negativos:
Diagrama geral
números
racionais
não
conjunto dos números racionais positivos:
conjunto dos
positivos:
números
racionais
não
conjunto dos números racionais negativos:
De onde temos:
conjunto dos números reais:
e
conjunto dos números reais não nulos:
Resumo das notações utilizadas para os
conjuntos numéricos
conjunto dos números reais não negativos:
conjunto dos números naturais:
conjunto dos números reais positivos:
conjunto dos números naturais com exceção
do zero:
conjunto dos números inteiros:
conjunto dos números inteiros não nulos:
conjunto dos números reais não positivos:
conjunto dos números reais negativos:
conjunto dos números inteiros não negativos:
Intervalos reais
conjunto dos números inteiros positivos:
conjunto dos números inteiros não positivos:
São
subconjuntos
definidos
por
desigualdades.
Para
observarmos
os
diferentes
tipos
de
intervalos
reais,
consideramos os números reais a e b, tal que
a < b.
3
Intervalo fechado:
ou
a
Intervalo aberto à esquerda e ilimitado à
direita:
ou
b
a
Intervalo aberto:
ou
a
b
Intervalo fechado à esquerda e aberto à
direita:
ou
a
OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
Estudaremos agora, as quatro operações
possíveis no conjunto dos números naturais.
Praticamente, toda a matemática é
construída a partir dessas operações: adição,
subtração, multiplicação e divisão.
b
Adição de Números Naturais
Intervalo aberto à esquerda e fechado à
direita:
ou
a
b
A primeira operação fundamental na
matemática é a adição. Onde esta operação
esta ligada a ideia de juntar, acrescentar
algo.
Exemplo:
Intervalo ilimitado à esquerda e fechado à
direita:
ou
Propriedades da Adição
a
Intervalo ilimitado à esquerda e aberto à
direita:
ou
a
Intervalo fechado à esquerda e ilimitado à
direita:
ou
Fechamento: A adição no conjunto dos
números naturais é fechada, pois a soma
de dois números naturais resulta em um
número natural.
a + b = c, onde a, b, c
Exemplo: 19 + 3 = 22
Associativa: A adição no conjunto dos
números naturais é associativa, pois na
adição de três ou mais parcelas de
números naturais quaisquer, é possível
a
4
associar de quaisquer modos, conforme
ilustrado a seguir.
(a + b) + c = a + (b + c)
Exemplo: (2 + 6) + 1= 9 = 2 + (6 +1)
O conjunto
operação de subtração, pois 4
pertence a .
O conjunto
Exemplo: 5 + 0 = 5
Comutativa: No conjunto dos números
naturais, a adição é comutativa, pois a
ordem das parcelas não altera a soma.
Assim:
a+b=b+a
5 não
não possui elemento
neutro, em relação à operação
subtração:
6 0 = 6 Entretanto: 0 6 6
Logo: 0
Elemento Neutro: No conjunto dos
números naturais, existe o elemento
neutro que é o zero, pois tomando um
número natural qualquer e somando com
o elemento neutro (zero), o resultado
será o próprio número natural. Assim,
a+0=a
não é fechado em relação à
6
6
de
0
A subtração no conjunto
não admite a
propriedade comutativa, pois: 4
4.
A subtração no conjunto
5
5-
não aceita a
propriedade associativa, pois (10
10 (4 -2)
4)
2
Multiplicação de Números Naturais
É a operação que tem por finalidade
adicionar o primeiro número denominado
multiplicador ou parcela, tantas vezes
quantas são as unidades do segundo número
denominado multiplicador.
Exemplo: 4 vezes 9 é somar o número 9
quatro vezes:
Exemplo: 6 + 10 = 16 = 10 + 6
Subtração de Números Naturais
A subtração é o ato ou efeito de subtrair
algo, ou seja, tirar ou diminuir alguma
coisa. O resultado obtido através dessa
operação e denominado diferença.
Exemplo:
O
resultado
da
multiplicação
é
denominado produto e os números dados
que geram o produto, são chamados fatores.
para representar a
multiplicação.
Propriedades da Multiplicação
Fechamento: A multiplicação é fechada
no conjunto dos números naturais , pois
Diante da operação de subtração, são
retiradas algumas propriedades.
realizando o produto de dois ou mais
números naturais, o resultado estará em
.
5
Associativa: Na multiplicação, podemos
associar 3 ou mais fatores de modos
diferentes. Assim,
(a b) c = a (b c)
Por exemplo:
(3 4) 5 = 3 (4 5) = 60
Elemento Neutro: No conjunto dos
números naturais existe um elemento
neutro para a multiplicação que é 1.
Qualquer que seja o número natural n,
tem-se que: 1 n = n 1 = n
Por exemplo: 1 7 = 7 1 = 7
Comutativa: Quando multiplicamos dois
números naturais quaisquer, a ordem dos
fatores não altera o produto, Assim,
a b=b a
Por exemplo: 3 4 = 4 3 = 12
Distributiva: Multiplicando um número
natural pela soma de dois números
naturais, é o mesmo que multiplicar o
fator, por cada uma das parcelas e a
seguir adicionar as resultados obtidos.
Assim,
a (p + q) = a p + a q
Por exemplo: 6 (5 + 3) = 6 5 + 6 3 = 48
No conjunto dos números naturais, a divisão
não é fechada, pois nem sempre é possível
obter um número natural como resultado na
divisão de outros dois números naturais.
Por exemplo: 8
3 = 2,66
pertence ao conjunto
Logo 2,66 não
.
Relação essencial numa divisão de
números naturais
1. Em uma divisão exata de números
naturais, o divisor deve ser menor que o
dividendo.
Por exemplo: 35 : 7 = 5
2. Em uma divisão exata de números
naturais, o dividendo é produto do divisor
pelo quociente.
Por exemplo: 35 = 5 x 7
3. A divisão de um número natural n por
zero
não
é
possível
pois,
se
admitíssemos que o quociente fosse q,
então poderíamos escrever:
n 0=q
Divisão de Números Naturais
e isso significaria que: n = 0 x q = 0
Dados dois números naturais, às vezes
necessitamos saber quantas vezes o
segundo está contido no primeiro. O primeiro
número que é o maior é denominado
dividendo e o outro número que é menor é o
divisor. O resultado da divisão é chamado
quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo
quociente obteremos o dividendo.
o que não é correto! Assim, a divisão de n
por 0 não tem sentido ou ainda é dita
impossível.
EXERCÍCIOS
Aula 1
01) Pensei em dois números pares cuja soma
é 184. Um deles é o dobro do outro mais
4 unidades. Em que números pensei?
6
02) A diferença entre dois números é 103.
Quais podem ser esses números? (tente
encontrar pelo menos 5)
03) Um fazendeiro tem 1394 vacas. Se
vender 484 delas para seu compadre,
ambos ficarão com a mesma quantidade
de vacas. Quantas vacas o compadre
possui?
04) Responda: Quantas unidades há em 43
dúzias de bananas? Quantos dias há em
50 meses? (considere um mês com 30
dias)
05) Em um trem com 8 vagões de
passageiros, cada vagão tem 28
poltronas de dois lugares cada uma.
Além disso, permite-se que, em cada
vagão, até 20 pessoas possam viajar em
pé. Qual é a lotação máxima permitida
nesse trem?
06) Compare e escreva igualdades aplicando
a
propriedade
distributiva
da
multiplicação em relação à adição (ou à
subtração):
a) 6.(10 + 5) =
b) 4.(8 7 ) =
c) 5.(a + 8) =
d) 3.4 + 3. 7 =
07) Em uma semana, Juca vendeu 65 caixas
completas de picolés e 8 picolés avulsos.
Cada caixa completa contém uma dúzia
de picolés.
a) Quantos picolés ele vendeu nessa
semana?
b) Se sua cota semanal de vendas é de
80 caixas completas, quantos picolés
faltam para ele atingi-la?
08) Marcos pensou em um número e, em
seguida, dividiu-o por 8. A divisão foi
exata e o quociente foi 15. Em qual
número ele pensou?
09) Numa divisão, o quociente é 18, o resto é
7 e o divisor é 45. Calcule o dividendo.
10) Uma loja de produtos de limpeza possui
em seu estoque 130 caixas de
detergente. Cada caixa contém duas
dúzias de frascos. Um cliente fez uma
encomenda de 1200 frascos. Quantas
caixas restaram no estoque dessa loja?
11) Célia e Maria colecionam papéis de carta.
Célia tem o triplo da quantidade de
papéis de Maria. As duas juntas possuem
244 papéis de carta. Quanto tem cada
uma?
12) Três amigos brincavam de adivinhar
quantas figurinhas havia na coleção de
Anne. Seus palpites foram 294, 363 e
356. Um deles errou por 33 figurinhas,
outro errou por 36 e outro por 29,
quantas figurinhas Anne tem?
a) 323
b) 261
c) 352
d) 327
e) 341
13) A professora Daniela deseja presentear
os 22 alunos da sua classe com lápis e
canetas. Ela dispõe de 49 lápis e 32
canetas. Sabendo que nenhum aluno
ficou sem receber presentes e que todos
os presentes foram distribuídos, o que
podemos afirmar com certeza?
(a) Algum aluno ficou sem lápis.
(b) Todos os alunos receberam pelo
menos duas canetas.
(c) Algum aluno recebeu mais de três
itens.
(d) Nenhum aluno recebeu 10 lápis.
(e) todos receberam o mesmo número
de itens.
14) Uma cidade ainda não tem iluminação
elétrica, portanto, nas casas usam-se
velas à noite. Na casa da Joana, usa-se
uma vela por noite, sem queimá-la
totalmente, e com quatro desses tocos
de velas, Joana fabrica uma nova vela.
Durante quantas noites Joana poderá
iluminar sua casa dispondo de 39 velas?
(a) 10
(b) 48 (c) 51 (d) 39 (e) 50
15) Responda:
a) Qual é o menor número natural?
b) Existe o maior número natural?
c) Quantos números naturais existem? É
possível responder?
16) Responda:
a) Existe o menor número inteiro?
7
b) Quais os números naturais entre -3 e 5?
c) Quais os números inteiros entre -5 e 5?
17) Pedro pensou em um número inteiro.
Multiplicou o valor absoluto por 10 e
obteve 250.
Em que número Pedro
pensou?
18) O antecessor de -100 é:
a) 99
b) 101
c) -99
19) Complete usando
a) -20 ___ ;
ou um número:
b) 67 ___ ; c) -22 ___
20) O que ocorre com os módulos de dois
números opostos ou simétricos?
21) Responda:
a) Qual é o valor de (-35)?
b) Qual é o oposto do oposto de -86?
22) Qual é o valor destas expressões?
a) |+27| + |+35| =
b) |-81| + |-35| =
c) |-13| - |-15| =
d) |-21| - |+35| =
23) As letras m e n representam números
inteiros. Se m = |-49| e n = |+66|, então:
a) Qual é o valor de m? E o valor de n?
b) Qual é o valor da expressão m n?
24) Responda:
a) Que número está mais distante da
origem: -900 ou -1000?
b) Que número está mais próximo da
origem: -60 ou 200? Qual deles é o
maior?
25) Calcule:
a) (+12) + (-8) =
b) (-25) + (-3) =
c) (+ 34) (-56) =
d) (-320) (-320) =
e) (+2) . (-3) =
f) (-4) . (-3) =
26) As letras a, b, x e y represntam números
naturais.
a) Se o produto (x.y) é 30, então qual é o
valor de 2.(x.y)?
b) Se a soma (a + b) é 10, então qual é o
valor de 7.(a + b)?
c) Se a diferença (x y) é 50, então qual é
o valor de 6.(x y)?
27) O produto de dois números é 40.
a) Multiplicando-se um dos fatores por 3,
qual será o novo produto?
b) Multiplicando-se os dois fatores por 3,
qual será o novo produto?
c) Multiplicando-se um dos fatores por 2 e o
outro por 5, qual será o novo produto?
28) A soma de dois números é 80.
Multiplicando-se
cada
um
desses
números por 6, qual será a nova soma?
29) Considere que as letras a e b
representam números naturais e que a +
b = 45 Responda:
a) Qual é o valor de (a + b) + 100?
b) Qual é o valor de (a + b) - 100?
30) Quatro
números
naturais
são
consecutivos. Um deles é 99. Nessa
situação podemos afirmar que a soma
desses números:
a) Pode ser maior que 400.
b) É sempre maior que 400
c) É sempre menor que 400.
d) Nenhuma das anteriores é verdadeira.
31) Nesta figura, as letras x, y e z
representam números naturais. Podemos
afirmar que:
y
402
x
1000
z
a) x, y e z são escritos com 4 algarismos.
b) y< x < 1000
c) x < y < z
d) x + y + 402 = z
32) Luis tem uma coleção de bolinhas de
gude. Ontem ele ganhou 24 bolinhas
novas de seu primo e ficou com 150.
8
Desse modo, podemos afirmar que, antes
de ganhar esse presente de seu primo,
Luís tinha:
a) 124 bolinhas
b) 125 bolinhas
c) 174 bolinhas
33) As letras a e b representam números
naturais e a+b=500. Então, podemos
afirmar que (a + b) 20 é igual a:
a) 5000
20;
b) 25;
c) 2500; d) 250
34) Represente cada conjunto escrevendo
seus elementos entre chaves.
a)
b)
c)
d)
35) Represente geometricamente:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
36) Escreva o intervalo correspondente a
cada representação geométrica:
a)
-3
4
-5
Gabarito:
1) 60 e 124
2) 176 e 73; 183 e 80, etc
3) 426 vacas
4) 516; 1500 dias
5) 608 pessoas
6)
7) 788; 172
8) 120
9) 817
10) 80 caixas
11) Célia: 183 e Maria:61
12) 327
13) c
14) 48
15) a) 0; b) não; c) infinitos; não
16) a) não; b) 0,1,2,3,4,5; c) -5,-4,...,5
17) -25 ou 25
18) -99
19) a) ; b) ; c)
20) são iguais
21) a) 35; b) -86;
22) a) 62; b) 116; c) -2; d) -14
23) a) 49;66 b) -17
24) a) -1000 e b) -60;200
25) a) 4; b) -28; c) 90; d) 0; e) -6; d) 12
26) a) 60; b) 70; c) 300
27) a) 120; b) 360; c) 400
28) 480
29) a)145; b)
10
30) a
31) b
32) c
33) b
34) ; 35)
36)a) [3,4], b) ]- ,10]; c) ]2,11]; d) ]-15,
11
0[;e) [-23, -5[;
b)
c)
2
-23
d)
Links videoaulas: aula 1
-15
e)
0
Videoaula 1 Conjuntos Numéricos
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