O Velho e o Novo no Ensino de Matemática: Reflexões

Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciência e Tecnologia - PPGECT
O Velho e o Novo no Ensino de Matemática:
Reflexões Epistemológicas acerca do Ensino de
Matemática
Learcino dos Santos Luiz
Resumo
Neste trabalho procuro fazer uma breve abordagem do ensino tradicional
procurando mostrar sua relação com a teoria epistemológica do empirismo. Ao
tecer estas relações, tento evidenciar as falhas do ensino tradicional ao não
propiciar ao aluno a possibilidade de ser um agente ativo de sua aprendizagem e
como este fato acaba prejudicando o ensino desta disciplina. Em contraponto,
apresento a teoria construtivista como alternativa para um ensino baseado na
ação do sujeito da aprendizagem: o aluno.
Palavras-chave: Ensino de Matemática, Epistemologia, Empirismo,
construtivismo.
Abstract
The old and the new of mathematics teaching: Epistemological
reflections on the teaching of this discipline
This work briefly considers traditional teaching methods of mathematics
and attempts to establish their relationships with the epistemological theory of
empiricism. On bringing together these relationships, I attempt to show the
failures of traditional teaching in not allowing the student to be an active agent in
his own learning and how this prejudices the teaching of this discipline. As a
counter argument I present constructivist theory as an alternative for teaching
based on the actions of the subject of learning: namely, the student.
Keywords:
Mathematics
teaching;
Epistemology;
Empiricism;
Constructivism.
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Introdução
Muito se tem falado ultimamente sobre novas metodologias para o ensino de
Matemática. O uso da informática e jogos, a Modelagem matemática, a Etnomatemática, entre
outras, são comumente pesquisadas e relatadas em congressos e encontros educacionais sobre o
ensino desta Ciência. Também, os cursos de formação de professores vêem trazendo à tona estas
metodologias, a fim de capacitar os novos professores no uso destas ferramentas pedagógicas.
As metodologias são apresentadas, em geral, como a “salvação” do ensino de
Matemática. São apresentadas como ferramentas poderosas que possibilitam uma nova prática
para o processo de ensino-aprendizagem dos conceitos matemáticos.
Porém, esta é uma idéia ingênua. O simples acesso e uso destas metodologias não
garantem o tão esperado sucesso pedagógico deslumbrado pela comunidade educacional, onde
um panorama em que nossos alunos tornem-se autônomos e agentes ativos da construção do seu
conhecimento e sujeito crítico da realidade e do mundo que o cerca, tem sido almejado e muitas
vezes visto como utópico, devido às evidências relatadas em nossa educação básica.
Pouco se á falado sobre Epistemologia nos cursos de formação de professores de
Matemática. Os futuros mestres encaram uma Universidade que prima pela transferência e
fixação de informações e, de grosso modo, o professor recém formado acaba repetindo este
esquema em suas futuras classes. O que é epistemologia? Qual a concepção epistemológica do
Ensino tradicional? Quais as concepções alternativas?
Como se dá a construção do
conhecimento? Ou até mesmo, o que é o “conhecimento”? Seriam, em meu ponto de vista,
reflexões indispensáveis que todo professor deveria sair de sua graduação com uma opinião
formada.
O conhecimento de Epistemologia, conforme Fernández (2000 apud CACHAPUZ,
2005) e Gil-Peres (2000 apud CACHAPUZ, 2005), tornam os professores capazes de compreender
que ciência estão a ensinar e dá um significado mais claro e credível à metodologia de ensino
adotada ao explicitar quais princípios epistemológicos subjacentes à construção do conhecimento
científico está apoiada.
Por Epistemologia, no sentido amplo do termo, podemos considerar o
estudo metódico e reflexivo do saber, de sua organização, de sua formação, de seu
desenvolvimento, de seu funcionamento e de seus produtos intelectuais.
De acordo com Japiassu (1934, pg 16), há três tipos de epistemologia:
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Epistemologia geral, quando tratamos do estudo do saber globalmente
considerado, com a virtualidade e os problemas do conjunto de sua organização, estes
que podem ser de caráter “especulativos” ou “científicos”.
Epistemologia particular, quando se trata de levar em consideração um campo
particular do saber, quer seja “especulativo” ou “científico”.
Epistemologia específica, quando tratamos de levar em conta uma disciplina
intelectualmente constituída em unidade bem definida do saber, e de estudá-la de modo
próximo, detalhado e técnico, mostrando sua organização, seu funcionamento e as
possíveis relações que ela mantém com as demais disciplinas.
Porém, a realidade, na maioria dos cursos de formação de Professores de
Matemática, é que se tem pouco se falado e discutido sobre epistemologia. As discussões e
pesquisas centram-se nas metodologias, sem levar em conta que estas são vazias em si mesmas
se não levarmos em conta como o professor entendo o processo de construção do conhecimento
pelo aluno. Podemos repetir uma aula tradicional usando um moderníssimo laboratório de
informática, ou uma sala de aula dotada de lousa digital. Em contrapartida, podemos possibilitar a
construção de conhecimentos pelo aluno usando uma lousa tradicional, giz e um bom diálogo.
Podemos notar que as novas Metodologias, principalmente o uso da informática,
são “vendidas” como algo inovador e que possibilitará ao aluno um diferencial em relação àqueles
que não têm acesso a elas. Desejamos mostrar neste artigo que o diferencial não está nas
metodologias em si, mas sim na concepção epistemológica que o Professor adota ao fazer uso
destas.
Ao longo deste texto iremos discutir um pouco sobre a principal concepção
adotada pelo ensino tradicional e como ela está presente no ensino de Matemática, ajudando-nos
a compreender melhor as relações entre o saber a ser ensinado, os professores e a construção
destes saberes pelo aluno. Completando o texto apresentaremos os pressupostos teóricos do
construtivismo e uma breve fala sobre o papel do erro no ensino baseado na teoria dos
obstáculos epistemológicos.
Conhecimento x Informação
Aqui, faz necessário discutir as diferenças entre três termos que serão muito
citados neste trabalho: informação, conhecimento e saber. Para Micotti (1999, p. 154),
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informação, conhecimento e saber, são distintos, apesar de serem inter-relacionados, e o
entendimento entre estas diferenças ajudam a compreender melhor as diversas concepções de
ensino e aprendizagem, ajudando assim a identificar alguns problemas pedagógicos.
A informação é um elemento presente no mundo objetivo, exterior ao individuo. A
informação é todo dado inteligível de qualquer natureza. Ela possui um suporte e uma semântica.
A semântica é conduzida pelo suporte até um sistema de tratamento, por exemplo, o corpo
humano, e assim é submetida a uma série de tratamentos pelo individuo. Para chegar até o corpo
humano, a informação percorre por dois canais diferentes: ótico e/ou acústico.
Conhecimento é algo pessoal, subjetivo e não lingüístico em sua origem, e é o resultado
de uma experiência pessoal do indivíduo com a informação. Ele nasce das experiências e
atividades individuais de cada pessoa em relação ao objeto de conhecimento. Deste modo,
podemos afirmar que conhecimento é o tratamento dado à informação, pelo individuo, sendo
que este tem uma experiência interior, e, portanto, uma interpretação individual.
Assim, conhecimento e informação são coisas distintas. A informação pode estar presente
no meio ambiente, armazenada em livros, revistas, computadores e em muitas outras formas. No
entanto, se o sujeito não interagir com ela, ou ainda, se esta informação não for significativa para
este individuo, ela não se transformará em conhecimento. Deste modo, dizemos que não houve
aprendizagem por parte do sujeito.
Já o saber, compreende informação e conhecimento num aspecto social. É um produto e
resultado da produção intelectual e coletiva humana através dos tempos. O saber é um conjunto
de informações e conhecimentos que passaram por processos coletivos de produção, organização
e difusão.
Japiassu (1934,), define o saber da seguinte forma:
“É considerado saber, hoje em dia, todo um conjunto de
conhecimentos metodicamente adquiridos, mais ou menos
sistematicamente
organizados
e
suscetíveis
de
serem
transmitidos por um processo pedagógico de ensino”.( pg 15)
Deste modo, uma das funções fundamentais da educação escolar é a de assegurar a
propagação do saber, ou seja, é papel da escola propiciar a seus alunos uma relação com os
saberes, o que chamamos de cultura. Esta cultura é geralmente organizada na escola através das
disciplinas, e cabe ao professor fazer um elo entre o aluno e a cultura, propiciando a apropriação
por parte do aluno, dos saberes correspondentes a cada área de conhecimento.
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O ensino tradicional e sua base empirista
As referências sobre algo novo trazem sempre a pressuposição da existência de algo
anterior, diferente ou velho. Pensando nos significados e no peso atribuído às novas propostas
metodológicas para o ensino de matemática, uma reflexão sobre a forma com que o ensino
tradicional vê e trabalha esta disciplina torna aqui, imprescindível. Uma análise das concepções e,
principalmente, dos limites do ensino tradicional seria uma tentativa de melhor situar as novas
propostas de ensino/aprendizagem da matemática que têm surgido nas últimas décadas
(Fiorentini, 1994).
O ensino tradicional vigente na maioria das escolas brasileiras aproxima-se do aluno
através de uma aula expositiva em que o professor passa para o quadro negro aquilo que julga
importante. O aluno, por sua vez, copia do quadro para o seu caderno e, em seguida procura fazer
exercícios de aplicação, que nada mais são do que uma repetição da aplicação de um modelo de
solução apresentado pelo professor.
Existem variações: ao invés do quadro negro, pode se usar retro-projetores ou slides, ou
até mesmo outros recursos. No entanto, o que importa não são os recursos e sim o método que
acaba preso a uma única concepção: transferência de informações. Um processo bastante linear e
hierárquico, onde o aluno ocupa o lugar daquele que não sabe, e o professor seria o detentor do
conhecimento.
Este tipo de ensino é baseado numa concepção de conhecimento conhecida como
empirismo. O Empirismo neste sentido, Segundo Becker (1994) é a doutrina segundo a qual todo
o conhecimento tem sua origem no domínio sensorial, na experiência.
Em contraponto ao racionalismo, teoria na qual a fonte do conhecimento é a razão, o
pensamento, o Empirismo (de empeiría, experiência) diz que a única fonte do conhecimento
humano é a experiência. Podemos verificar este fato em Hessen (1999):
“Segundo o empirismo, a razão não possui nenhum
patrimônio apriorístico. A consciência cognoscente não retira
seus conteúdos da razão, mas exclusivamente da experiência.
Por ocasião o espírito humano está vazio de conteúdos, é uma
tabula rasa, uma folha em branco sobre a qual a experiência irá
escrever”. ( pg. 54)
Esta teoria considera que a mente do aluno acaba sendo reduzida a uma “tabula rasa”
(uma tábua que ainda não recebeu inscrições), ou seja, nada contém e, portanto, é passiva e
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receptiva. O conhecimento, nesta concepção, viria do objeto, e o aluno apenas o recebe
passivamente através das sensações ou experiências. Todos os novos conceitos, mesmo os mais
universais e abstratos, provêm da experiência.
A grande maioria dos empiristas vieram das ciências naturais, visto que nestas ciências a
experiência desempenha um papel decisivo, pois o que vale aí é o estabelecimento de fatos por
meio da observação cuidadosa. O pesquisador é completamente dependente da experiência.
Já na antiguidade encontramos concepções empiristas, primeiro nos sofistas e, depois,
nos estóicos1 e epicuristas2. Nos estóicos, encontramos pela primeira vez a comparação da alma
com uma tábua na qual nada está escrita. Porém, é na Idade moderna, com a filosofia inglesa dos
séculos XVII e XVIII, que o empirismo chegará pela primeira vez a um desenvolvimento
sistemático.
Seu verdadeiro fundador é John Locke3. Locke não parte, realisticamente, do ser, e sim,
fenomenisticamente, do pensamento e para ele, no nosso pensamento acham-se apenas idéias
(no sentido genérico das representações): qual é a sua origem e o seu valor? Locke exclui
absolutamente as idéias e os princípios que deles se formam, derivam da experiência; antes da
experiência o espírito é como uma folha em branco, uma tabula rasa.
1
O estoicismo é considerado o primeiro projeto de uma filosofia sistemática. Fundada por Zenão
de Cício em Atenas, por volta de 300 a.C., a escola se propôs, pela primeira vez na história, a pensar o
mundo em sua totalidade orgânica e contínua. Os principais temas desenvolvidos pelos estóicos foram os
de justiça natural e direito natural, baseados na própria essência do homem e na sua ligação com a
divindade.
2
Escola de pensamento formada a partir do pensamento de Epicuro, que seguiu e complementou
os ensinamentos de seu mestre. Mais do que uma instituição de investigação filosófica, a comunidade
fundada por Epicuro consistia em um grupo devotado à vida em comum, no cultivo da amizade e da
virtude.
João Locke nasceu em Wrington, em 1632. Estudou na Universidade de Oxford filosofia, ciências naturais
e medicina. Em 1665 foi enviado para Brandenburgo como secretário de legação. Passou, em seguida, ao
serviço de Loed Ashley, futuro conde de Shaftesbury, a quem ficou fiel também nas desgraças políticas. Foi,
portanto, para a França, onde conheceu as personalidades mais destacadas da cultura francesa do "grand
siècle". Em 1683 refugiou-se na Holanda, aí participando no movimento político que levou ao trono da
Inglaterra Guilherme de Orange. De volta à pátria, recusou o cargo de embaixador e dedicou-se inteiramente
aos estudos filosóficos, morais, políticos. Passou seus últimos anos de vida no castelo de Oates (Essex), junto
de Sir Francisco Masham. Faleceu em 1704.
3
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No entanto, a experiência é dúplice: externa e interna. A primeira realiza-se através da
sensação, e nos proporciona a representação dos objetos (chamados) externos: cores, sons,
odores, sabores, extensão, forma, movimento, etc. A segunda realiza-se através da reflexão, que
nos proporciona a representação das próprias operações exercidas pelo espírito sobre os objetos
da sensação, como: conhecer, crer, lembrar, duvidar, querer, etc. Nas idéias proporcionadas pela
sensibilidade externa, Locke distingue as qualidades primárias, absolutamente objetivas, e as
qualidades secundárias, subjetivas(objetivas apenas em sua causa).
Para
Becker
(1993),
epistemolgicamente,
o
empirismo
caracteriza-se
pela
unidirecionalidade nas relações sujeito-objeto, onde é admtida como determinante a
interferência do objeto sobre o sujeito e não o contrário. O sujeito torna-se passivo, e a atividade
é propriedade do objeto. O objeto aqui é constituído pelo meio social que, por sua vez,
subassume o meio físico.
Neste sentido, o ensino tradicional acentua a transmissão de conhecimento já construída,
e estruturada pelo professor. Neste caso, a aprendizagem é vista como uma impressão, na mente
dos alunos, de informações apresentados nas aulas. Para Micotti:
“O trabalho didático escolhe um caminho “simples”:
transferir para o aprendiz os elementos extraídos do saber criado
e sistematizado, ao longo da história das ciências, fruto do
trabalho de pesquisadores.” ( p. 1 56)
Do ponto de vista do ensino tradicional, basta que o professor tenha o domínio dos
conteúdos a serem ensinados para ensinar bem. E ainda, as falhas no processo de aprendizagem
são, na maioria das vezes, justificadas pela pouca atenção, capacidade ou interesse do aluno.
Ainda segundo este Becker(1993), nas relações de ensino e aprendizagem escolares,
dificilmente as coisas acontecem com a radicalidade própria do empirismo aqui descrito, isto é, na
sua forma pura. Porém podemos rastrear nas práticas escolares, concepções epistemológicas
docentes que tendem a atribuir ao mundo do objeto ou meio social os fatores determinantes do
processo de aquisição do conhecimento e da aprendizagem. Em pesquisa realizada com
professores de vários níveis de ensino, Becker identificou nos discursos dos docentes, seis
componentes sociais (mundo do objeto) que estão presentes em uma atividade docente com raíz
epistemológica empirista:
a) Determinação social: Os fatores determinantes das condições prévias dos alunos para
aprenderem uma determinada disciplina são vistos como produtos sociais.
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b) Sentido da imagem: O conhecimento só ocorre se o professor alimentar os sentidos
do aluno com imagens visuais e auditivas; a ação do aluno que é o sujeito da
aprendizagem não entra em questão
c) Motivação/desmotivação: a desmotivação do aluno é produzida socialmente e esta
produção incide sobre o aluno determinando-o. A desmotivação é vista como uma
qualidae nata do aluno e é culpada do fraco rendimento.
d) Conhecimento-transmissão: o ensino é visto como simples
informações;
transmisão de
e) Pré-requisitos: o aluno só aprende determinado conceito se possuir pré-requisitos
suficientes.
f)
Dificuldades de aprendizagem: as dificuldades de aprendizagem são orignadas na
pouca motivação, atenção e preparo do aluno.
Podemos verificar todos os tópicos anteriores nas práticas pedagógicas de muitos
professores de Matemática na atualidade. Falamos isso por conhecimento de causa obtido em 10
anos de convivência escolar nos vários níveis de ensino, tanto de escolas particulares quanto
públicas.
Um estudo mais apronfundado do discurso de professores de Matemática a cerca de
como eles entende questões como condições prévias dos alunos, motivação para estudar, genese
do conhecimento, origens das dificulades de aprendizagem, entre outras, poderia render uma ba
tese de doutorado. Porém neste artigo iremos apenas discorrer sobre observações e memórias de
nosa prática que concordam com os tópicos descritos por Becker.
De acordo com D’Ambrósio (1989, pg. 14), algumas conseqüências dessa prática
educacional tem sido debatidas pela comunidade de pesquisadores em Educação Matemática.
Primeiro, observa-se que os alunos passam a acreditar que a aprendizagem da matemática se dá
através de um acúmulo de fórmulas e algoritmos. Cria-se a idéia de que fazer matemática é seguir
a aplicação de regras que foram transmitidas pelo professor; desvinculando-se assim a
matemática dos problemas do dia-a-dia.
Segundo, os alunos passam a considerar que a matemática é um corpo de conceitos
verdadeiros e estáticos, do qual não se duvida ou questiona, nem mesmo há a preocupação em
compreender por que funcionam. E ainda, de maneira geral, existe o senso comum de que esses
conceitos foram descobertos ou criados por gênios. Estes fatos fazem com que o aluno,
acreditando e super valorizando o potencial da matemática formal, acabe desvinculando o
conhecimento matemático de situações reais. Assim, por falta de oportunidades para elaborarem
e manifestarem sua compreensão sobre os conteúdos, os aluno perdem sua autoconfiança e seu
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bom-senso matemático e também acabam relacionando o aprendizado de Matemática como
sendo algo que faz parte da natureza de “algumas” pessoas.
Estes problemas são criados por uma série de crenças, por parte de professores, sobre o
ensino e aprendizagem da matemática. Estas “crenças” são geradas por interpretações
equivocadas sobre o ensino, pela falta de uma formação profissional qualificada, por restrições
ligadas às condições de trabalho, ou ainda, pela precariedade das políticas educacionais em nosso
país.
Um exemplo de uma destas crenças, que faz parte do senso comum, é a idéia de que os
conteúdos matemáticos devem ser ensinados somente pela sua utilidade futura. Desta forma, os
professores tentam convencer os alunos que ele terá que estudar certo conteúdo, pois precisará
dele no próximo bimestre, ano ou grau de estudo. Mas este tipo de motivação é pouco
convincente para o aluno, que acaba sentindo-se desmotivado para estudar e, não raramente,
ouvimos de algum aluno a seguinte pergunta: onde eu vou usar isto em minha vida? Esta
desmotivação é ainda maior num país como o Brasil, onde somente uma pequena parte dos
alunos que iniciam seus estudos chega ao ensino médio.
Nota-se que há uma preocupação demasiada em relação à quantidade de conteúdo a ser
trabalhado e na sua organização linear e baseada em pré-requisitos. Na concepção de muitos
professores, a melhor forma do aluno aprender matemática é resolver uma grande quantidade de
exercícios. Nesta perspectiva, o conteúdo trabalhado é a prioridade de sua ação pedagógica, ao
invés da aprendizagem do aluno. Neste sentido, D’Ambrósio completa:
“É difícil o professor que consegue se convencer de que o
objetivo principal do processo educacional é que os alunos
tenham o maior aproveitamento possível, e que esse objetivo
fica longe de ser atingido quando a meta do professor passa a
ser cobrir a maior quantidade possível de matéria em aula”( p.
15).
Nesta concepção de ensino, em nenhum momento no processo de ensino/ aprendizagem
de matemática, o aluno é o agente ativo da construção do seu conhecimento ou onde ele esteja
motivado a solucionar um problema. Em geral, na matemática escolar, os alunos não vivenciam
situações onde se possa explorar, investigar e lançar hipóteses sobre algum conceito matemático.
Observa-se também que os professores, em geral, mostram a matemática como um corpo de
conhecimentos acabado e polido. Deste modo, cabe ao aluno ser um mero “recipiente” de
informações. Concepção que além de não oferecer oportunidades ao aluno para compreender e
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participar do processo de construção do conhecimento o exclui de qualquer tentativa de
questionar este mesmo conhecimento, ou sua possível aplicabilidade em sua vida cotidiana.
Para Rosseto (1999), o principal problema deste método de ensino viria do fato de que
tanto o conhecimento matemático quanto seu aprendizado se tornam excluídos de uma
perspectiva maior de transformação pedagógica e política. Tratar-se-ia portanto de uma
abordagem ideologicamente construída, que concebe o conhecimento matemático como
objetivo, universal, científico e despolitizado; que ignora completamente que a Matemática é um
corpo de conhecimentos, que foi construído social, política e historicamente através dos tempos.
Esta perspectiva que exclui qualquer possibilidade de uma Educação matemática que trabalhe a
favor da construção da cidadania.
Com a complexificação das relações econômicas e sociais e conseqüentemente do saber,
que gera tecnologia, o gerenciamento do saber foi tornando-se cada vez mais, um instrumento de
poder e dominação. Nas sociedades contemporâneas, com o saber universalizado via meios de
comunicação, o poder e o sucesso não estão mais vinculados ao conhecimento em si. O que está
em jogo em nossos dias é o que podemos fazer com esse saber, como selecionar informações
úteis para concretizarmos nossos objetivos, sejam eles em nível individual ou coletivo. Para tanto,
o que pode ser relativizado não é o conhecimento, mas sim o tratamento que se dá a ele. Neste
sentido, busca transformar o ensinar entendido tradicionalmente como transmissão de
conhecimentos, numa relação de construção dos saberes.
Deste modo, parece relevante estudarmos novas formas de tratar o processo de
ensino/aprendizagem da matemática que não privilegiem simplesmente a transmissão de
conhecimento, e verificar o que estas metodologias trazem de significativo para este processo e
para o desenvolvimento cognitivo do aluno.
Novas propostas
matemática
metodológicas
para
o
ensino
de
A concepção tradicional que aborda os aspectos relativos ao que é matemática escolar,
como ela pode ser abordada, assim como sua aprendizagem tem sido alvo de estudos e também
de intensas críticas. E é dentro desse panorama que novas propostas e reivindicações vêm sendo
encaminhadas pela comunidade internacional de Educação Matemática. Na opinião de Moura
(1999, p.74), os Congressos de Educação Matemática contribuíram para uma visão desarticulada
dos problemas do ensino de matemática. Para esse autor, outras discussões (UBIRATAN
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D’AMBRÔSIO, 1986), (J. M. MATOS, 1 989), e (FIORENTINI, 1994) sobre a evolução do conceito de
educação matemática, mostram que os problemas de ensino desta disciplina, até meados dos
anos 70, foram estudados tomando apenas aspectos isolados de elementos que constituem esse
ensino.
Nesta perspectiva, o “fracasso da matemática” era invariavelmente procurado, ora nos
objetivos, ora nos métodos, ora nos conteúdos. Essas discussões têm mostrado, principalmente,
que o ensino da Matemática requer contribuições de outras áreas de conhecimento, como a
Psicologia, ou da Antropologia e, sobretudo, a consideração de que o processo educativo é em si
mesmo multifacetado. Isto é, estas tendências indicam a necessidade de reflexões sobre novas
propostas de ensino, para que venhamos a considerar os múltiplos e variados elementos
presentes na ação pedagógica do professor, seja ele da área da Matemática ou não.
No ensino de Matemática, alguns pesquisadores já vêm dando exemplos das muitas
possibilidades de trabalhar os conceitos dessa disciplina levando em consideração outras
propostas de trabalho. Nesse processo, o ensino revela-se como uma experiência onde o aluno
torna-se o centro do processo educacional. A resolução de problemas como uma proposta
metodológica, assim como a abordagem Etnomatemática, o uso de tecnologias, a modelagem
matemática e o uso de jogos matemáticos no ensino constituem abordagens que também
acabam valorizando o aluno como um ser ativo, participando do próprio processo de construção
do conhecimento matemático.
Neste ponto, fica claro que as propostas citadas no parágrafo anterior têm em comum a
negação da idéia de transmissão de conhecimento e da ênfase nas habilidades memorização e
reprodução, sem que se evidencie um verdadeiro entendimento. Em contraponto ao empirismo,
essas propostas estão em consonância com uma concepção de aprendizagem numa abordagem
construtivista, que vincula o conceito de aprendizagem ao de saber, relacionando a questão da
aprendizagem ao nível de funcionamento cognitivo do aprendiz, mais que aos seus produtos e
resultados.
O Construtivismo
Numa abordagem construtivista do ensino, baseada na teoria do desenvolvimento
cognitivo de Jean Piaget (1974), a aprendizagem depende fundamentalmente de ações
coordenadas do sujeito, quer sejam de caráter concreto ou abstrato. E, ainda, de acordo com esta
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teoria, o conhecimento é construído a partir de percepções e ações do sujeito, constantemente
mediadas por estruturas mentais já construídas ou que vão se construindo ao longo do processo.
Os estudos de Piaget (1974) evidenciam já nos primeiros anos de vida os primórdios
dessas habilidades. Sua teoria procura explicar o complexo processo através do qual se dá o
desenvolvimento das funções cognitivas da inteligência. Através de suas cuidadosas observações
e entrevistas clínicas, procurou os diversos estágios desse processo, mostrando a contínua
evolução das estruturas mentais, cujo estado mais avançado se caracteriza pelo pensamento
formal abstrato.
Para melhor entendimento do processo evolutivo das estruturas cognitivas, Piaget (1974)
destacou três estágios básicos. Na construção dos primeiros esquemas de natureza lógicomatemático, as crianças se apóiam em ações sensório-motoras sobre objetos materiais e, através
de exercícios de repetição espontânea, chegam ao domínio e generalização da ação (estágio préoperatório). O segundo estágio caracteriza-se pelo aparecimento das operações, as ações em
pensamento; mas nesta fase as crianças ainda dependem dos objetos concretos para que as
ações se constituam em conceitos (estágio operatório concreto). E, finalmente, atingem o estágio
das operações sobre objetos abstratos, já não dependendo mais de ações concretas ou de objetos
concretos: é a constituição do pensamento puramente abstrato.
O que quer destacar é o quanto o processo de aprendizagem se baseia na ação do sujeito:
inicialmente, as ações concretas sobre objetos concretos respondem pela constituição dos
esquemas, e no último estágio, as ações abstratas (operações) sobre os objetos abstratos é que
respondem pela constituição dos conceitos. Neste sentido:
“...só falaríamos de aprendizagem na medida em que um
resultado (conhecimento ou atuação) é adquirido em função
da experiência , essa experiência podendo ser do tipo físico
ou do tipo lógico ou os dois.” ( PIAGET, 1974, p.37)
Os desequilíbrios entre experiência e estruturas mentais é que fazem o sujeito avançar no
seu desenvolvimento cognitivo. O novo objeto de conhecimento é assimilado pelo sujeito através
das estruturas já constituídas. O ‘novo’ produz conflitos internos, que são superados pela
acomodação das estruturas cognitivas, e o objeto passa a ser percebido de outra forma. E é nesse
processo dialético que seria construído o conhecimento.
Na formação matemática dos alunos, além de pretender-se a construção de uma sólida
base de conhecimento na área, deve-se estar atento para a riqueza intelectual que decorre do
constante desenvolvimento cognitivo do sujeito quando a ele propicia-se imersão no processo do
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‘fazer matemática’, que nada mais é do que o processo dinâmico ‘assimilação versus
acomodação’ de construção simultânea de conhecimento matemático e de estruturas mentais.
Para Micotti (1999, p.158), as atuais propostas pedagógicas, ao invés de transferência de
conteúdos prontos, acentuam a interação do aluno com o objeto de estudo, a pesquisa, a
construção dos conhecimentos para o acesso ao saber. As aulas são consideradas como situações
de aprendizagem, onde são valorizados o trabalho dos alunos (pessoal e coletivo) na apropriação
do conhecimento e a orientação do professor para o acesso ao saber.
O Papel do erro no ensino e teoria dos obstáculos epistemológicos
O ensino Tradicional tende a punir o erro dos alunos. A grande parte do professores de
Matemática vê o erro como algo indesejável, e têm como objetivo levar o aluno a cometer o
menor número de erros na resolução de problemas.
SOUZA (1997,) faz a seguinte afirmação:
“...dificuldades de parendizagem ou erros cometidos
pelos alunos são informações que, usualmente, resultam em
apreciações negativas por parte do professor, interpretados não
como evidências do estágio do desenvolvimento do aluno, mas
com algo a ser evitado.( p. 129)
Segundo SFARD (1991), para a Matemática Escolar o erro desempenha um importante
papel de indicador didático e pedagógico:
“ Os erros, antes de se reduzirem a uma simples
manifestação de desconhecimento ou de fracasso, podem ser
entendidos como um indicador didático-pedagógico,
Referindo-se simultaneamente ao aluno e ao saber a ensinar,
o estudo dos erros é peça fundamental no trabalho de
planejamento das atividades de ensino escolar.” (pág. 32)
Ainda sobre os erros os autores dizem que uma das vertentes de análise de erros que
interessa diretamente à Matemática Escolar é a que trata dos misconceptions, fenômeno da
internalização de conceitos numa forma considerada inadequada, que induzem a erros ou
limitações no uso de conceitos matemáticos.
SFARD (1991) resumem a importância do erro para a Matemática Escolar e para a
Matemática Acadêmica da seguinte forma:
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“ Na Matemática Escolar, o erro desempenha um papel
positivo importante: fornece elementos para o planejamento
e a execução das atividades pedagógicas em sala de aula.
Para a Matemática Científica, por outro lado, a função do
erro, embora também muito importante, é essencialmente
negativa: indica a inadequação ou a falsidade de resultados,
formas de argumentação etc.” (pág. 34)
Foi a partir da Teoria dos obstáculos epistemológicos que a idéia de erro como
algo positivo, que possibilita a identificação das dificuldades dos alunos, surgiu. A noção de
“obstáculo epistemológico” foi criada por Gaston Bachelard (1884-1962) e importada por Guy
Brousseau para a didática da Matemática. Bachelard viveu como estudante, cientista, filósofo e
professor numa época em que a concepção positivista de constatação dos modelos e teorias
científicos pelos dados objetivos e experimentais foi abalada com os novos modelos da microfísica e da teoria da relatividade. A partir das conclusões retiradas de sua vivência durante esse
rico período da história da ciência, apresentou em seu livro A formação do espírito científico, de
1938, uma periodização da história das ciências que a divide em três estados: o estado concreto,
o estado concreto-abstrato e o estado abstrato.
Para Bachelard, o conhecimento científico ocorre por meio da superação dos “obstáculos
epistemológicos”, ou seja, obstáculos surgidos no ato de conhecer na forma de conflitos e
lentidões que causam a estagnação e até a regressão no progresso da ciência, causados por
conhecimentos antigos, que resistem às novas concepções para manter a estabilidade intelectual,
sendo que um obstáculo de origem epistemológica é verdadeiramente constitutivo do
conhecimento e pode ser encontrado na história do conceito. (Bachelard, p. 169).
A noção de obstáculo epistemológico foi ampliada e introduzida na didática da
Matemática por Brousseau com a conferência “Os obstáculos epistemológicos e os problemas em
Matemática”, realizada no XXVIII encontro do CIEAEM em 1976 e publicada em 1983 no seu
artigo de mesmo título. Em tal ampliação, ele caracteriza obstáculo epistemológico como um
conhecimento utilizado pelo aluno para produzir respostas que se adaptam a certo contexto que
o aluno encontra com freqüência, mas que usado fora desse contexto gera respostas incorretas.
Como o aluno resiste às contradições produzidas pelo obstáculo epistemológico e ao
estabelecimento de um conhecimento novo, é preciso identificar o obstáculo encontrado e
incorporar a negação desse conhecimento anterior ao novo saber, sendo que mesmo depois de
ter notado seu erro o aluno ainda pode manifestá-lo de forma esporádica (Brousseau, 1983, p.
175,176).
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A História da Matemática permitiria identificar os obstáculos epistemológicos superados
na construção histórica de um conceito e os transformar em situações-problemas que
permitissem a reconstrução do conhecimento matemático, ou seja, seria uma fonte de busca de
problemas. (Brousseau, 1983, p. 191, 192).
A importância de estudar os Obstáculos Epistemológicos está no fato de que muito destes
obstáculos que são demonstrados pela maioria dos estudantes, pode ser explicado
historicamente, pois se buscado o surgimento de tal conceito na História, pode-se então
estabelecer um paralelo com os obstáculos os quais estes alunos enfrentam ao estudar este
conceito e a sua aceitação na História. Estes obstáculos podem ser facilmente identificados com
os erros que os alunos cometem ao resolver expressões e problemas. Segundo Brousseau, o erro
não é somente o efeito da ignorância, da incerteza, do acaso, como se crê nas teorias empíricas
ou behavioristas da aprendizagem, mas o efeito de um conhecimento anterior que tinha seu
interesse, seus sucessos, mas que agora se revela falso, ou simplesmente mal adaptado.
Considerações Finais
Novas proposta metodológicas requerem novas atitudes por parte tanto dos alunos,
como dos professores, ou seja, devemos repensar a relação do aluno com o conhecimento, a sua
participação em sala de aula, o papel do professor no processo de ensino/aprendizagem e o
enfoque dado à matemática.
Segundo a revista Nova Escola (2001) em um de seus artigos, descreve experiências
positivas do ensino da Matemática no qual os alunos são o centro do processo educacional e com
isso conseguem obter melhores níveis de aprendizagem. Nesse artigo está bastante explícita a
postura do professor em sala de aula, ou seja, seu dever em participar do aprendizado e não
apenas apresentar conteúdos. Assim, numa aula de matemática onde o professor pretenda
romper com os paradigmas impostos pelo ensino tradicional, e adotar uma proposta de uma
aprendizagem ativa da Matemática, esse mesmo professor deverá tentar desenvolver as
seguintes habilidades:
1. Ser um mediador: promover em sala de aula debates sobre os procedimentos adotados e
as diferenças encontradas; orientar reformulações e valorizar as soluções mais
adequadas.
2. Ser um facilitador: fornecer informações (textos e material didático) que o aluno não tem
condições de obter sozinho.
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3. Ser um avaliador: estar sempre atento à aprendizagem dos alunos e observando se os
objetivos estão sendo atingidos ou se é necessário reorganizar a atividade pedagógica
para que isso aconteça.
4. Ser um organizador: conhecer quem são seus alunos (as condições socioculturais, as
expectativas e o nível de conhecimento deles) e escolher problemas, atividades e novas
metodologias que possibilitem atingir os objetivos no decorrer das atividades.
Nesse ponto de vista, não basta ao professor ter o total domínio dos conteúdos
matemáticos, mas sim, além disso, ter um profundo conhecimento daquele a quem deseja
transmitir o saber e ter o domínio das várias possibilidades metodológicas de transpor tal saber
ao aluno. Neste sentido terminamos nosso artigo com a frase da Professora Maria Cecília de
Oliveira Micotti:
[...]A renovação do ensino não consiste, apenas, em
mudança de atitude do professor diante do saber científico,
mas, ainda e especialmente, diante do conhecimento do
aluno: é preciso compreender como ele compreende, constrói
e organiza o conhecimento. (MICOTTI ,1999, p. 164)
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