motivando o ensino de geometria

UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE – UNESC
CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO ESPECIALIZAÇÃO EM EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA
LEOCADIA FIGUEREDO MARTINS
MOTIVANDO O ENSINO DE GEOMETRIA
CRICIÚMA, DEZEMBRO DE 2008
LEOCADIA FIGUEREDO MARTINS
MOTIVANDO O ENSINO DE GEOMETRIA
Monografia apresentada à Diretoria de
Pós-Graduação da Universidade do
Extremo Sul Catarinense – UNESC, para
a obtenção do título de especialista em
Educação Matemática.
Orientadora: Profª. MSc. Adriane Brogni
Uggioni.
CRICIÚMA, DEZEMBRO DE 2008
Esta monografia é dedicada
a alunos em curso de formação de professores,
a professores do ensino fundamental,
a professores que lecionam com compreensão, alegria e prazer,
a professores interessados em despertar em seus alunos
o gosto pela Geometria,
e a todos que acreditam que Educação é o instrumento transformador do mundo.
AGRADECIMENTOS
A Deus por o dom da vida e por consentir mais esta vitória.
A minha mãe Ana e ao meu pai Manoel pelo apoio, na medida do
possível, em todas as minhas realizações.
Ao meu filho Paulo Henrique que mesmo sem entender os motivos das
ausências soube compreender com seu carinho e paciência.
Ao meu namorado Eduardo pela companhia nos momentos difíceis, pelo
auxílio nos momentos decisivos e pelo incentivo de coragem em mais uma etapa
concluída.
As minhas amigas companheiras desde o curso de graduação pelo
aprendizado compartilhado, principalmente minha amiga Patrícia, que nos últimos
anos esteve presente em muitas realizações.
A minha orientadora Profª. MSc. Adriane o auxilio com competência,
sabedoria e paciência, alicerces fundamentais para esta jornada.
A todos os professores de Matemática da E. E. B. João Frassetto pela
contribuição para realização deste trabalho.
E a todos que contribuem para a mudança social, política e cultural,
acreditando na melhoria da qualidade de ensino em nosso país.
“Não há ramo da Matemática, por mais abstrato
que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado
aos fenômenos do mundo real”.
Lobachevsky
RESUMO
A educação sugere muitas metodologias para o ensino e aprendizagem de
Matemática, cada professor elabora sua metodologia de trabalho. O presente estudo
verifica a prática pedagógica dos professores de Matemática da Escola de Educação
Básica João Frassetto no Município de Criciúma/SC. Objetiva analisar a metodologia
utilizada por estes professores, constatar o ensino de Geometria e verificar a
utilização do Número de Ouro nas aulas de Matemática. A realização deste estudo
visa destacar as dificuldades enfrentadas por estes professores para acompanharem
as mudanças sofridas pela educação, as tentativas de estarem em constantes
atualizações para que possam atender as diferenças culturais dos seus alunos. A
metodologia da pesquisa realizada utilizou contribuições teóricas de vários autores
conhecedores do assunto: Educação Matemática e Geometria, uma pesquisa
quantitativa auxiliou na coleta das informações a cerca da metodologia utilizada
pelos professores de Matemática desta escola. Os resultados adquiridos neste
processo mostraram professores preocupados com inovações no ensino e com a
aprendizagem. Para suprir as necessidades dos alunos, estes professores utilizam
em suas aulas as várias tendências que influenciam a educação, as diversificações
dos métodos de ensino auxiliam um maior entendimento e leva o aluno a construir o
seu conhecimento. Conclui-se que o ensino completo e eficiente da Geometria ainda
está longe de acontecer, apesar de alguns professores procurarem motivar os
alunos para o aprendizado da Geometria ainda se esbarram em alguns obstáculos:
a quantidade excessiva de alunos por classe; número reduzido de horas/aula para
uma quantidade grande de conteúdos. Verifica-se que o Número de Ouro também
não esta tendo a devida atenção, o símbolo de beleza, proporcionalidade e simetria
está esquecido pelos professores que ensinam Geometria. Para mudar esta
situação o professor pode utilizar em suas aulas de Geometria o material concreto,
onde se pode estar visualizando os conceitos e propriedades. A experimentação
auxilia no entendimento do que antes era abstrato.
Palavras-chave: Educação; Ensino; Geometria; Metodologia.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 01 – Concepção da Terra pelos Hindus .........................................................24
Figura 02 – Concepção da Terra pelos Egípcios ......................................................24
Figura 03 – Isaac Newton ..........................................................................................24
Figura 04 – Planeta Terra ..........................................................................................24
Figura 05 – As Pirâmides de Gizé .............................................................................35
Figura 06 – A Grande Pirâmide de Gizé ...................................................................35
Figura 07 – Paternon .................................................................................................36
Figura 08 – Retângulo Áureo ....................................................................................36
Figura 09 – Triângulo Áureo ......................................................................................37
Figura 10 – Quadro de Mona Lisa .............................................................................37
Figura 11 – Homem Vitruviano ..................................................................................37
Figura 12 – Medidas da mão .....................................................................................38
Figura 13 – Sequência de Fibonacci .........................................................................39
Figura 14 – Espiral da folha da Bromélia ..................................................................39
Figura 15 – Flor do Girassol ......................................................................................39
Figura 16 – Distribuição das sementes do Girassol ..................................................39
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1 – Idade dos professores ............................................................................44
Gráfico 2 – Motivo pela falta de utilização dos meios tecnológicos ..........................45
Gráfico 3 – Matemática e realidade do aluno.............................................................46
Gráfico 5 – O ensino de Geometria ...........................................................................47
Gráfico 6 – A razão da perfeição ...............................................................................48
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO........................................................................................................10
1.1 Objetivo Geral......................................................................................................11
1.2 Objetivos Específicos...........................................................................................11
2 EDUCAÇÃO MATEMÁTICA....................................................................................13
2.1 O ensino da matemática hoje...............................................................................13
2.2 Matemática escolar x matemática prática............................................................15
2.3 Tendências que influenciam a educação matemática ........................................16
2.3.1 Tendência Formalista Clássica ........................................................................17
2.3.2 Tendência Empírico-Ativista .............................................................................17
2.3.3 Tendência Formalista Moderna ........................................................................18
2.3.4 Tendência Tecnicista ........................................................................................18
2.3.5 Tendência Construtivista ..................................................................................18
2.3.6 Tendência Socioetnocultural ............................................................................19
2.4 É ensinando que se aprende................................................................................20
3 GEOMETRIA...........................................................................................................23
3.1 História da Geometria...........................................................................................23
3.2 Razões para ensinar Geometria...........................................................................27
3.3 Ausência da Geometria na escola........................................................................29
4 A RAZÃO DA PERFEIÇÃO.....................................................................................31
5 METODOLOGIA......................................................................................................40
5.1 Descrição da metodologia ...................................................................................40
5.2 Dados utilizados...................................................................................................41
5.2.1 Apoio Pedagógico da Escola............................................................................41
5.2.2 Objetivo Geral da Escola...................................................................................42
5.2.3 Objetivos Específicos da Escola.......................................................................42
5.2.4 Proposta Pedagógica........................................................................................43
5.2.4.1 Metodologia da Escola.................................................................................. 43
5.2.4.2 Missão da Escola ..........................................................................................43
9
5.3 Obtenção dos dados............................................................................................43
6 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS.........................................................44
7 CONCLUSÃO..........................................................................................................50
8 RECOMENDAÇÕES E SUGESTÕES................................ ...................................53
REFERÊNCIAS..........................................................................................................55
APÊNDICE.................................................................................................................57
Apêndice 01 – Questionário.......................................................................................58
10
1 INTRODUÇÃO
“A Matemática é componente importante na construção da cidadania, na
medida em que a sociedade se utiliza, cada vez mais, de conhecimentos e recursos
tecnológicos, dos quais os cidadãos devem se apropriar”. (PCNs1, 1998, pág. 19)
Todos
sabem
que
a
sociedade
mundial
está
em
contínuas
transformações culturais, sociais e econômicas. Todos os dias surgem novas
tendências e com a mesma rapidez que surgem elas também desaparecem.
Estamos na “Era da Informação e Comunicação”.
Estas constantes transformações fazem com que os indivíduos se
capacitem para conviver e dominar as muitas novas informações que aparecem
quase que diariamente.
Tendo acesso a informação e educação o cidadão saberá utilizar de todos
os seus conhecimentos de forma adequada, possibilitando a sua adaptação na
sociedade. Cada vez fica mais necessário direcionar a educação para mudanças de
consciências, demonstrando que ela está presente na vida de todas as pessoas.
A educação hoje tem outros valores, outros conceitos. Antes o aluno só
precisava aprender as fórmulas e regras que o professor repassava, agora ele tem
que aprender antes de tudo a importância de deter tais informações e para que
assim possa construir o seu conhecimento.
A educação também está inserida neste contexto de mudanças e
transformações, e o presente trabalho tem como alvo principal a metodologia
utilizada pelos professores de Matemática da Escola de Educação Básica João
Frassetto do Município de Criciúma/SC. Descobrir as dificuldades enfrentadas por
eles para estarem em constante atualizações e assim acompanharem as mudanças
e a posterior análise dos dados recolhidos através de uma pesquisa quantitativa
aplicada à estes professores.
É de fundamental importância toda e qualquer forma de mudança da
Educação Matemática, pois a maioria dos alunos não gostam de matemática por
não entendê-la e talvez por não serem motivados a isso.
1
PCNs - Parâmetros Curriculares Nacionais.
11
O primeiro capítulo é voltado à uma breve apresentação das intenções
deste trabalho.
No segundo capítulo é feito uma abordagem sobre a Educação
Matemática, o ensino da Matemática ao longo da história e nos dias atuais; as
tendências que influenciam até hoje a forma metodológica dos professores de
Matemática; os tipos de Matemática: a formal e a informal; prática e experiência do
professor.
O terceiro capítulo traz concepção sobre a Geometria bem como uma
breve apresentação da sua história, fala das causas pelas quais os professores a
deixam de lado na sala de aula e faz ênfase nos motivos que tornam a Geometria de
extrema importância para a aprendizagem do aluno.
O quarto capítulo é dedicado a Razão Áurea, proporção que está presente
em muitos elementos da natureza, aparece em muitas construções antigas e em
pinturas famosas com valores históricos bem relevantes.
No quinto capítulo são sintetizadas as respostas dos professores de
Matemática entrevistados através do questionário aplicado no decorrer do terceiro
trimestre de 2008.
A apresentação das análises partir das respostas dos professores a cerca
do tema escolhido é feita no sexto capítulo.
No sétimo capítulo são feitas as considerações finais deste trabalho.
Para finalizar este trabalho no oitavo capítulo são feitas algumas
recomendações e sugestões para que os professores de Matemática possam
estimular os alunos para a construção do conhecimento.
1.1 Objetivo Geral:
•
Analisar a metodologia utilizada pelos professores de Matemática da Escola
de Educação Básica João Frassetto do Município de Criciúma - SC.
1.2 Objetivos Específicos:
•
Levantar a produção bibliográfica a respeito da Educação Matemática nos
dias atuais;
12
•
Verificar o comportamento dos professores na aprendizagem de Matemática
nos dias atuais;
•
Analisar a metodologia utilizada pelos professores de Matemática da Escola
de Educação Básica João Frassetto do Município de Criciúma – SC;
•
Constatar como a disciplina de Geometria está sendo ensinada por estes
professores;
•
Verificar a utilização do Número de Ouro com a aplicação nas aulas de
Matemática da Escola de Educação Básica João Frassetto do Município de
Criciúma – SC.
13
2 EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
2.1 O ENSINO DA MATEMÁTICA HOJE
Vivemos em uma sociedade em constantes avanços tecnológicos, onde
as pessoas têm cada vez mais ferramentas que auxiliam os cálculos matemáticos.
A metodologia utilizada nos anos anteriores já não dá mais conta de
atender a demanda do século XXI, por estar nesta nova realidade, o mundo
informatizado. O professor hoje se preocupa com a busca de mais conhecimentos,
está sempre em constante atualização.
A moda pode estar presente nos costumes, nas crenças, nos
rituais e nos usos. Na educação, ela manifesta-se através de
conhecimento, linguagens, tecnologias de ensino – informática
-, cursos – psicopedagogias -, vocações – medicina -,
modalidade de pesquisa – quantidade, etc. (Lorenzato, 2006,
pág. 7)
A matemática já não é ensinada com um enorme número de fórmulas
prontas, é dado ao aluno condições para que ele busque alternativas para chegar ao
resultado correto. O aluno está assim construindo o seu conhecimento.
De certa forma, estes constantes avanços na educação têm mostrados
novos valores sobre o ensino, forçando os professores e toda a sociedade educativa
à busca de alternativas para que a escola acompanhe tais mudanças.
Segundo Lorenzato (2006, pág. 8) “Cabe a cada professor a análise dos
modismos, sempre tendo em vista a procura do que pode ser melhor para seus
alunos”. É o professor que busca nova metodologia para acompanhar as mudanças
da sociedade, tirar o que é velho e se preparar para o que novo, o professor sabe
que uma simples mudança na sua metodologia faz com que os alunos se sintam
motivados para a busca do conhecimento.
A matemática ainda é uma das disciplinas que mais reprova, os alunos
que nas séries iniciais não se sentem atraídos pelos números e cálculos,
consequentemente não terão sucesso na vida escolar nesta disciplina. Há tempos
atrás a Matemática selecionava pessoas, os alunos que tinham habilidades com a
disciplina eram destaques, e consequentemente tinham as melhores oportunidades
no mercado de trabalho. A insatisfação pela Matemática era resultado do ensino
14
mecanizado, sem contextualização e sem significado para o aluno. Segundo
Lorenzato (2006, pág. 09), uma das formas de acabar com esse preconceito em
relação à Matemática seria ensiná-la de maneira a formar cidadãos conscientes para
sua utilização no cotidiano de cada um.
Uma das grandes dificuldades encontradas pelos alunos nos dias atuais
na resolução de problemas está na interpretação do enunciado. O aluno não
consegue entender o problema, ou ainda faz a interpretação diferente da idéia do
elaborador da questão.
Isso ocorre quando o aluno não está preparado para resolver tais
questões, ou porque o problema não está bem formulado. Sabe-se que um
problema bem formulado muitas vezes contém a própria solução.
É de fundamental importância no ensino da Matemática à exposição por
parte do professor das finalidades da aprendizagem dos conteúdos, ela não é uma
disciplina isolada, e visa principalmente, segundo os PCNs (1998, pág. 19), a
formação de cidadãos conscientes de seus deveres e obrigações, pessoas críticas e
que não só apenas qualificados em resolver cálculos, mas de elaborar novas
situações-problemas.
Os jovens alunos além de memorizarem a tabuada, precisam saber o
motivo da importância de deter os conhecimentos matemáticos.
A sociedade em geral conceitualiza aprender como uma ação feita
necessariamente na escola, e que o pensar matemático está pronto e acabado na
cabeça dos alunos, não tendo mais nada a construir a respeito da aprendizagem, e
que ser capacitado matematicamente é deter definições memorizadas para se
passar nos exames escolares.
Estes conceitos a respeito da Educação Matemática já não fazem mais
parte da aprendizagem. Um indivíduo detentor de conhecimento matemático
constrói, reconstrói, faz descobertas com manipulações, ou melhor, redescobertas,
experimenta, encontra o seu próprio caminho para a solução das situaçõesproblemas colocadas pela sociedade educadora.
15
2.2 MATEMÁTICA ESCOLAR X MATEMATICA PRÁTICA
A escola ensina a Matemática formal, repassa esta disciplina através de
muitas fórmulas e regras, onde o aluno muitas vezes não consegue obter total
compreensão.
A Matemática informal se aprende com a prática do dia-a-dia, e é mais
significativa para o aluno que a Matemática escolar, por estar inserida no seu
cotidiano, na sua realidade.
Em muitas situações uma forma de aprendizagem não se aplica a outra,
para se chegar a alguma resposta na escola pode não ser o mesmo método
utilizado para obter a solução na vida do aluno, ou ainda, não existir a relação da
Matemática escolar com o seu sentido prático.
A associação da Matemática formal com a informal faz com que o aluno se
aproprie do conhecimento real e o leva a refletir sobre as definições matemáticas e
seus significados.
Da mesma forma a Etnomatemática2, sustentada pelo matemático
Ubiratan D’Ambrosio, que requer o ensino da matemática pelo contexto que o aluno
está inserido, preservando a sua cultura. D’Ambrosio defende as diferentes culturas
em diferentes formas de conhecimento.
Criar motivação e interesse nos alunos do mundo atual com uma ciência
criada e desenvolvida há muito tempo atrás é realmente uma situação difícil e
delicada. Muito mais produtivo é estar ligando o ensino da matemática com
situações atuais. Sabe-se que para se justificar feitos matemáticos o professor
recorre ao passado, o conhecimento é gradativo, alguns pontos da história da
matemática servem de embasamento para certos contextos de hoje.
O professor mesmo usando o passado, usa linguagens modernas para
sua exposição, sabe que alguns argumentos de aprendizagem já estão
ultrapassados.
Hoje a matemática vem passando por uma grande
transformação. Isso é absolutamente natural. Os meios de
observação, de coleção de dados e de processamento desses
dados, que são essências na criação matemática, mudaram
profundamente. Não que se tenha relaxado o rigor, mas, sem
2
Etnomatemática surgiu na década de 70 com o matemático Ubiratan D’Ambrosio, e defende o ensino da
matemática em diferentes contextos culturais.
16
dúvida, o rigor científico hoje é de outra natureza. (D’Ambrosio,
2001, pág. 58).
A educação hoje está voltada à construção de conhecimento pelo aluno, o
professor é o mediador, ele mostra o rumo, mas o caminho quem faz é o próprio
aluno.
Existe uma grande diversidade cultural em nossa sociedade, e é esta
diversidade que influência nesta escolha pela forma e maneira mais apropriada para
cada indivíduo.
Esta construção do conhecimento na sala de aula é o momento de
interação entre a matemática formal, da escola, e a matemática como atividade
humana. Mesmo que a matemática formal não deixe usar demonstrações indutivas,
a aprendizagem se dá a partir de observações de eventos no mundo.
2.3 TENDÊNCIAS QUE INFLUENCIAM A EDUCAÇÃO MATEMATICA
Ao longo da história da Educação existiram alguns modos de conceber o
ensino, maneiras ou técnicas de repassar o saber matemático. Tais modos de
ensino chamam-se ‘Tendências’. A cada nova Tendência que surgia, existia a
preocupação pela redução das reprovações, relacionar ensino e o cotidiano dos
alunos, e outras se preocupavam ainda com a boa formação de cidadãos. Em todas
elas o conceito de ensino se modifica com determinações políticas, sócio-culturais e
com as transformações dos valores da sociedade.
Hoje, cada professor constrói com uma ou mais tendências o seu modo de
ensino, o seu ideário pedagógico, e sempre com pressupostos de reflexão da sua
prática de ensinar, nos valores e na finalidade do ensino matemático, na relação
professor/aluno e principalmente da sua visão que tem da sociedade.
Para Fiorentini (1995, pág. 05) as categorias descritivas das tendências
são:
[...] a concepção de matemática; a crença de como se dá o
processo de obtenção/produção/descoberta do conhecimento
matemático; as finalidades e os valores atribuídos ao ensino da
matemática; a concepção de ensino; a concepção de
aprendizagem; a cosmovisão subjacente; a relação professor
aluno e sobretudo, a perspectiva de estudo/pesquisa com
vistas à melhoria do ensino da matemática.
17
Fiorentini (1995, pág. 05) cita algumas tendências que fizeram e ainda
fazem parte da metodologia utilizada no ensino da Matemática no Brasil:
2.3.1 Tendência Formalista Clássica
Nesta tendência o professor é o centro da aprendizagem, ele é o
transmissor, o expositor dos conteúdos, o aluno por sua vez absorve e repete os
procedimentos repassados pelo professor. Não se constrói conhecimentos, se
memorizam as regras. O professor dá ao aluno tudo “pronto e acabado” de forma
sistematizada.
O professor não precisa deter total conhecimento dos conteúdos, ele copia
do livro didático, o aluno retém, copia e repete até aprender e devolve em forma de
prova da mesma maneira que recebe.
2.3.2 Tendência Empírico-Ativista
O professor não é o centro do ensino, ele é o facilitador da aprendizagem.
O centro é o aluno. O currículo escolar é mudado para atender os interesses e o
desenvolvimento dos alunos. É utilizado um rico material didático, jogos e
experimentos nas aulas.
O que marca esta tendência é que as idéias matemáticas são “obtidas”
por descobertas, o aluno já não recebe tudo pronto, ele busca através do mundo
físico o conhecimento. Foi com esta tendência que começou a Modelagem
Matemática3, pois com ela se desenvolve a criatividade a partir dos interesses dos
alunos.
A visualização e a manipulação é a grande fonte de construção de
conhecimento.
3
Modelagem matemática é a transformação de um problema em situações reais, em fenômenos da vivência do
indivíduo.
18
2.3.3 Tendência Formalista Moderna
Visa formação de especialistas em Matemática. Esta tendência não tem
muitas mudanças em relação com a Formalista Clássica, o ensino continua centrado
no professor, que expõe o conteúdo e o aluno copia e repete.
Os significados dos conceitos matemáticos continuam sem importância
para o aprendizado do aluno.
A melhoria da qualidade nesta tendência está na importância da estrutura,
a capacidade do aluno em aplicar as fórmulas, que é o pensamento inteligente das
idéias matemáticas.
2.3.4 Tendência Tecnicista
Ensino introduzido pelo regime militar na década de 60, tornando a escola
mais eficiente e organizada, sua finalidade é preparar o aluno para o mercado de
trabalho. Os conteúdos matemáticos são ensinados em passos seqüenciais, onde o
aluno aprende repetindo exercícios, com um ensino mecanizado com regras e
técnicas sem fundamentar os procedimentos.
Esta tendência não enfatiza a compreensão e análise dos conteúdos,
apenas no desenvolvimento de atitudes e na memorização de conceitos,
capacitando o aluno para resolver exercícios. Na Tendência Tecnicista não há
preocupação em formar cidadãos conscientes e críticos, mas em indivíduos
competentes para o mundo capitalista.
O centro da aprendizagem não está no professor e nem no aluno, mas no
conteúdo, nos materiais, nos instrumentos e nas técnicas de ensino.
Ela acredita que a qualidade da aprendizagem está voltada ao ensino de
regras e princípios lógicos, ou “macetes” como é conhecido pelos alunos.
2.3.5 Tendência Construtivista
Nasceu a partir das idéias de Piaget4, mesmo não sendo construída por
ele, esta tendência pedagógica influência positivamente as inovações do ensino, ela
4
Jean Piaget formado em biologia e dedicou sua vida a psicologia, epistemologia e educação. Escreveu cerca de
100 livros e 600 artigos. Famoso por organizar o desenvolvimento cognitivo da criança.
19
defende maior entendimento dos conteúdos matemáticos, tomou lugar do ensino
mecanizado e memorização dos procedimentos.
Esta tendência é fortemente ligada ao ensino pelo uso de materiais
concretos, e a construção do conhecimento pelo aluno. Segundo Freitag (1992,
apud, Fiorentini, 1995, pág. 19) “o pensamento não tem fronteiras: que ele se
constrói, se desconstrói, se reconstrói”.
No construtivismo, a matemática é uma construção humana, é mais
importante o desenvolvimento, o processo do que a resposta. A matemática é dita
como construção do conhecimento, leva a desenvolver o pensamento lógico.
Nesta tendência o erro cometido pelo aluno é motivo de investigação por
parte do professor, ele deve descobrir os motivos que levaram o aluno a cometer o
erro e não a simples correção da resposta.
O conhecimento é construído a partir da pesquisa pelo próprio aluno.
2.3.6 Tendência Socioetnocultural
O ensino é voltado para a realidade do aluno, está fortemente ligado a
Etnomatemática, que defende a aprendizagem voltada aos contextos culturais do
aluno. É o ensino pela matemática informal produzida pelo aluno fora da escola. O
conhecimento matemático é relacionado com o saber prático, não sistematizado,
produzido pelas diferentes práticas sociais.
Esta tendência tenta compreender a realidade para a sua transformação
através da troca de conhecimentos entre professor/aluno, com a problematização e
a modelagem matemática. Este método de ensino consiste na pesquisa e discussão
de problemas da realidade dos alunos. Ele fará desta forma, a construção do
conhecimento a partir da compreensão dos conteúdos repassados em sala de aula
com o seu cotidiano, a aprendizagem será significativa à sua realidade.
Cada escola constrói o seu próprio currículo escolar, e é elaborado a partir
das necessidades de cada região e do contexto cultural da escola e de seus alunos.
Cada professor tem o seu modo de pensar sobre o ensino matemático, e
ele pode seguir totalmente uma tendência como pode também ter um pouco de cada
uma delas.
O desejável seria o professor tomar conhecimento da
diversidade de concepções, paradigmas e/ou ideologias para,
então, criticamente, construir e assumir aquela perspectiva que
20
melhor atenda as suas expectativas enquanto educador e
pesquisador. (Fiorentini, 1995, pág. 30)
Quando um professor constrói novos significados e isso atinge outros
professores, pode estar ai surgindo outras tendências pedagógicas.
2.4 É ENSINANDO QUE SE APRENDE
Com o passar dos anos o professor adquire experiência, passa a
reconhecer elementos fundamentais para a construção do conhecimento por parte
dos alunos, começa a perceber quais metodologias tem maior entendimento dos
seus alunos. Ele verifica então, o tipo de aula, exemplos que surtem mais efeito
entre os alunos, a didática ideal a ser utilizada no contexto dos seus alunos.
Não há curso superior para professores que proporcione essa
riqueza de situações didáticas. Aqui está um paradoxo do qual
nenhum professor escapa e que pode ser assim resumido: ao
tentar ensinar, inevitavelmente ele aprende com seus alunos.
(Lorenzato, 2006, pág. 9)
Não se pode prever o futuro, nem tão pouco saber quais conteúdos
matemáticos serão mais importantes, ou que serão mais úteis para as pessoas. Mas
pode-se ter certeza de que não importa a quantidade de conteúdos que um cidadão
possui, e sim com que facilidade, ele manipula e utiliza tais conhecimentos.
O professor tem muitas propostas para o ensino de matemática, e todas
visando à construção do conhecimento pelo aluno, fazendo com que ele fique
estimulado para a busca deste conhecimento. E isto já não está só nos livros
didáticos, está no ambiente de vida do aluno, no seu dia-a-dia, na natureza que o
cerca.
O ser humano evolui5 a partir de conhecimentos adquiridos pelos seus
antepassados, ou seja, o que é descoberto de novo é passado de geração em
geração, fazendo com que estes últimos têm um aproveitamento seletivo oferecidos
pelo meio ambiente.
5
Evoluir do latim “evolvere”, significa desenvolver gradualmente, por etapas.
21
Todo este processo de evolução se dá a partir da experimentação ao meio
em que se vive como garantia da sobrevivência do ser humano. Com a experiência
e contextualização já vivenciada, o ser humano constrói o conhecimento e o
raciocínio.
A experimentação é própria da natureza humana, por isso que crianças se
expõem ao perigo mais facilmente do que os adultos, elas estão formando o seu
conhecimento do mundo que as rodeia.
Na sala de aula experimentar, manipular o concreto, fazer descobertas e
socializar com os colegas, faz com os alunos se envolvam com a disciplina. Tendo
assim, valorização do que esta sendo ensinado pelo professor. Com a manipulação,
os alunos observam, comparam, montam, desmontam e criam seus próprios
conceitos sobre aquele conteúdo.
Guimarães Rosa (apud Lorenzato, 2006, pág. 72) diz que “mesmo quando
nada acontece, há um milagre que não estamos vendo”. O poder da experimentação
está na maneira com que ela provoca o raciocínio lógico. E isto ocorre em todas as
etapas da construção do conhecimento.
A experimentação facilita que o aluno levante hipóteses,
procure alternativas, tome novos caminhos, tire dúvidas e
constate o que é verdadeiro, válido, correto ou solução.
Experimentar é valorizar o processo de construção do saber
em vez do resultado dele, pois na formação do aluno, mais
importante que conhecer é saber como encontrá-la. Enfim,
experimentar é investigar. (Lorenzato, 2006, pág. 72).
Experimentar ajuda na compreensão das disciplinas, possibilita a
redescoberta, integra os diferentes assuntos, e é um grande auxilio na verificação e
memorização dos resultados. Com as descobertas, ou melhor, as redescobertas
feitas pelos alunos através das manipulações com materiais concretos, fazem surgir
nestes alunos o gosto pela Matemática. Cabe ao professor propiciar ambiente de
redescobertas, incentivando os alunos a fazerem tentativas, ele pode apresentar
exemplos e situações que levem os alunos nesta busca por conhecimento.
É necessário o reconhecimento que incentivar as redescobertas pode por
o professor diante de algumas dificuldades, os alunos podem apresentar situações
que não estão no planejamento do professor, e até mesmo nem serem do seu
conhecimento. O professor estando atento a estes acontecimentos aprende com
22
seus alunos. Pois ser professor é estar em constante aprendizado, e é “ensinando
que se aprende”6.
Com essa visão enfatiza-se ter prazer em descobrir, em
investigar, em ter curiosidade, em construir e reconstruir o
conhecimento. Aprender a conhecer implica aprender a
aprender, compreendendo a aprendizagem como um processo
que nunca está acabada. (Moran, Masetto, Behrens, 2006,
pág. 79)
A matemática tem sido trabalhada de maneira abstrata e sem
contextualização. Não está tendo a devida consideração com a vida prática.
A construção do conhecimento esta relacionada com materiais concretos
do cotidiano, com a visualização do que é material. Existindo uma correlação entre
prática, vivência e atividades reais despertam interesses e desenvolve o raciocínio
lógico dos alunos.
A produção do conhecimento com autonomia, com criatividade,
com criticidade e espírito investigativo provoca a interpretação
do conhecimento e não apenas a sua aceitação. Portanto, na
prática pedagógica o professor deve propor projetos que
provoquem um estudo sistemático, uma investigação
orientada, para ultrapassar a visão de que o aluno é produto e
objeto, e torná-lo sujeito e produto do próprio conhecimento.
(Moran, Masetto, Behrens, 2006, pág. 87)
Uma das maneiras de construção de conhecimento por parte do aluno é
através da modelagem matemática, onde o aluno busca o seu próprio modelo
matemático, o caminho, isso facilita a aprendizagem por estar fortemente ligado com
o seu cotidiano.
Um dos desafios principais da Educação Matemática é desenvolver nos
alunos a criatividade, o ser crítico e ético, para que compreendam e transformem o
mundo em que vivem.
6
Ditado popular brasileiro.
23
3 GEOMETRIA
Geometria é o ramo da Matemática que estuda as formas geométricas, e é
a mais antiga amostra conhecida da Matemática, tendo data de nascimento próximo
a 3.000 a.C.
As formas geométricas estão em todo lugar, basta observar em volta com
curiosidade
que
encontraremos muitos objetos.
Verificando
estes objetos,
constatamos muitos quesitos, como o tamanho, o peso, de que material é feito, mas
o que chama mais atenção é o formato.
Desde muito tempo o homem observando a natureza começou a perceber
que identificar estas diferentes formas torna mais fácil a sua vida.
E como se sabe, todas as coisas criadas pelo homem partiram da
necessidade de resolver problemas e dificuldades que eram enfrentados pela
sociedade, e com a Geometria não foi diferente.
Diversos estudos e descobertas foram feitos a respeito das formas
geométricas. Muito tempo se passou e as formas ganharam nomes: quadrado,
triângulo, retângulo, círculo e muito mais.
“Deus é o grande geômetra. Deus geometriza sem cessar”. Disse Platão7
3.1 HISTÓRIA DA GEOMETRIA
No início o homem dizia que a Terra teria a forma de um plano reto. E por
este motivo eles não navegavam muito longe da costa, pois acreditavam que
poderiam despencar com seus barcos no momento em que a Terra terminasse.
Esta era a concepção dos povos da Antiguidade, tal concepção fazia parte
das suas crenças religiosas.
Uma destas crenças pertencia aos Hindus, cuja concepção de que a Terra
era sustentada por elefantes, e que estes estavam sobre uma enorme tartaruga, o
deus Vishnu, e que este estava sobre uma cobra, que simbolizava a água.
7
Platão, seu verdadeiro nome era Aristocles, viveu nos séculos IV e III a.C. pertencia a família tradicional de
Atenas. Tinha o nome Platão, que segundo historiadores, palavra deriva de platos que significa largura dos
ombros, e foi homenageado pelos acontecimentos atléticos da sua juventude.
24
Figura 01
Figura 02
Concepção da Terra pelos Hindus
Concepção da Terra pelos Egípcios
(Fonte: Formas num mundo de formas)
(Fonte: Formas num mundo de formas)
Mas era dos Egípcios a concepção mais espetacular. Este povo dizia que
a Terra era um deus reclinado, o Keb, com uma deusa encurvada que era o céu, por
sua vez sustentada pelo deus da atmosfera. Em dois barcos, estava o deus Sol, que
navega fazendo o dia e a noite.
Só após muitos séculos de observação e estudos que se chegou a
concepção que temos hoje da Terra. Uma forma arredondada e achatada nas
pontas, esta afirmação se dá ao Físico e Matemático Isaac Newton, no final do
século XVII.
Figura 03
Figura 04
Isaac Newton (Fonte: Wikipédia)
Planeta Terra (Fonte: Wikipédia)
25
Com a observação dos acontecimentos do cotidiano o homem obteve as
primeiras formas da geometria, isto ocorre pela capacidade que se tem em comparar
e reconhecer as formas, chamada de Geometria do Subconsciente8, como o
contorno da Lua e do Sol, o arco-íris, o corte transversal do tronco de uma árvore, as
sementes de plantas e flores. E ainda o arremesso de uma pedra lembra uma
parábola, uma corda enrolada forma uma espiral, os círculos formados em um lago
por uma pedra jogada nele. E sobre as conchas do mar, que com seus desenhos
formam famílias de curvas.
Com a forma de alguns ovos de pássaros e de frutas que lembram as
elípses. A idéia de simetria esta nas folhas e flores, nos animais, em algumas
conchas e cristais e até nos homens. Nos recipientes para guardar líquidos está a
idéia de volume.
Esta geometria do subconsciente era empregada pelo homem
primitivo para fazer ornamentos decorativos e desenhos, e
provavelmente é correto dizer-se que a arte primitiva preparou
em grande escala o caminho para o desenvolvimento
geométrico posterior. (Eves, 1992, pág. 02).
Geometria, palavra que veio do grego geometrein, quer dizer “medir a
terra” e teve seu surgimento inevitável por causa de problemas práticos, aconteceu
da necessidade que os homens tinham em medir suas terras, construir suas casas e
também na observação dos astros podendo assim prever seus movimentos.
Teve sua origem muito modesta, mas avançou gradualmente através dos
tempos e hoje ocupa uma enorme dimensão.
Eles diziam que o Rei Sesóstris dividia a terra entre os egípcios
de modo a dar a cada um deles um lote quadrado de igual
tamanho e impondo-lhes o pagamento de um tributo anual.
Mas qualquer homem despojado pelo rio de uma parte de sua
terra teria de ir a Sesóstris e notificar-lhe o ocorrido. Ele então
mandava homens seus observarem e medirem quanto a terra
se tornara menor, para que o proprietário pudesse pagar sobre
o que restava proporcionalmente ao tributo total. Dessa
maneira parece-me que a Geometria teve origem. Heródoto
(ano, apud Eves, 1992, pág. 03)
Um dos primeiros conceitos geométricos que se desenvolveu foi a noção
de distância, com a necessidade da civilização egípcia e babilônica em dividir as
terras férteis às margens dos rios Nilo no Egito, o rio Tigre e o Eufrates na
8
Geometria do Subconsciente é observação e comparação, é a mesma evolução das formas utilizadas pelos
bebês de hoje.
26
Mesopotâmia, e com isso mais tarde levou a noção de figuras geométricas, como o
retângulo, o quadrado e o triângulo. Com a construção de casas e muros surgiu a
noção de paralela, perpendicular e vertical. Estes povos construíram grandes
estruturas, como edifícios, que requeria a geometria prática.
A concepção de curvas, superfícies e sólidos vieram mais tarde com as
observações que faziam no seu cotidiano.
O marco culminante do desenvolvimento da Geometria como ramo da
Matemática, se deu com as obras de Euclides9 os “Elementos” do século III a.C.,
contendo 13 volumes teve fundamental importância para os estudiosos da época. O
autor sintetizou axiomas, postulados e definições por via de deduções introduzidas
na Geometria por Tales de Mileto10. Euclides, com estes princípios e definições
organiza de maneira sistemática as matérias e continua o desenvolvimento por
dedução. Este trabalho era tão amplo que historiadores desconfiaram de que se
tratava de um só autor. Mas mesmo assim Euclides não perdeu o mérito de ter sido
o primeiro autor a propor um estudo da Matemática Lógica.
A Geometria Euclidiana foi, durante muito tempo, um modelo para os
outros ramos da Matemática e até mesmo para outras ciências como a Física. O
físico Isaac Newton para exposição da sua Teoria da Gravitação usa “Os Elementos”
como referência de seus “Principia”11
Os papiros de Moscou, com 25 problemas matemáticos, e Rhind com 85,
são as principais informações da origem da Geometria, com data aproximada 1850
a.C. e 1650 a.C. respectivamente. Está no Museu de Berlim o instrumento mais
antigo de agrimensura ou astronomia, criado no Egito em 1850 a.C. Se encontra no
mesmo museu o Relógio de Sol mais antigo, do ano de 1.500 a.C.
Antes todo problema de Geometria era resolvido com papel,
lápis, esquadro, régua, etc, e – após o desenvolvimento da
Geometria Analítica – tudo se transformar em fórmulas das
figuras. A princípio, como as equações são complexas, os
cálculos numéricos substituíram o papel, e os computadores
vieram agilizar os cálculos mais complexos. (Compagner
Disponível
em:
http://educacao.uol.com.br/matematica/
ult1705u33.jhtm. Acesso em 28 de julho de 2008).
9
Euclides era mestre na escola de Alexandria, viveu entre os séculos IV e III a.C. e é o mais importante
geômetra de todos os tempos.
10
Tales de Mileto viveu no ano de 625 a.C., nasceu em Mileto na antiga Ásia menor, era geômetra, filósofo e
astrônomo. Tales fez várias descobertas matemáticas. Estudou a geometria do círculo e do triângulo isósceles, e
a mais importante demonstração de Tales foi o cálculo da altura de uma pirâmide, baseado no comprimento de
sua sombra.
11
“Principia”, primeira obra sobre a teoria da Física, publicada em 1687 em três volumes.
27
A Geometria evidencia-se com a história que sempre esteve presente nas
civilizações, e que ela nasceu também da necessidade do desenho, e continua até
hoje, na era dos computadores. Segundo Compagner “um dos primeiros
computadores da história da informática, o Eniac (1946), tinha como uma das suas
tarefas produzir tabelas de tiro de canhões”.
3.2 RAZÕES PARA ENSINAR GEOMETRIA
Até pouco tempo a Geometria era vista como sem importância por parte
de alguns professores. Era ensinada de maneira a demonstrar os teoremas,
deixando a interpretação das propriedades das figuras geométricas de lado.
Mas esta visão está se modificando, a geometria agora é entendida como
uma disciplina que desenvolve o raciocínio.
Os conceitos geométricos constituem parte importante do
currículo de Matemática no Ensino Fundamental, porque
através deles, o aluno desenvolve um tipo especial de
pensamento que lhe permite compreender, descrever e
representar, de forma organizada, o mundo em que vive”.
(PCNs, 2000, pág. 55)
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (200, pág. 55), a
Geometria tem um amplo campo para se ensinar situações-problemas onde os
alunos se mostram muitos interessados, e estimula-os a observar, explorar, perceber
e identificar as diferenças e semelhanças.
A Geometria sempre esteve e sempre vai estar presente no cotidiano das
pessoas que sem perceberem aplicam seus conhecimentos geométricos para
exercer suas atividades. O carpinteiro e pedreiro, por exemplo, nas construções de
casas, usam sem saber os conceitos da Geometria escolar, e tendo as suas
concepções de Geometria prática bem definidas. No momento de saber quanto de
pisos ou ladrinhos é preciso para cobrir uma calçada ou parede, estes profissionais
sabem fazer o cálculo corretamente, mesmo não tendo freqüentado a sala de aula, e
pra espanto de muitos, o cálculo é feito com muita rapidez e precisão.
Um pintor sabe calcular a quantidade de tinta que é necessário para pintar
uma casa, ele só precisa saber quantos metros quadrados tem de paredes. Da
28
mesma forma a costureira, tendo as medidas da pessoa ela sabe calcular quantos
metros de tecidos é necessário para confeccionar uma roupa. Para preparar
algumas receitas caseiras, a dona de casa possui alguns conceitos de medidas.
E isso tudo é possível, pois a Geometria esta presente em muitos objetos
e acontecimentos ao nosso redor. Na natureza encontramos diferentes formas,
curvas, relações geométricas. Estão nos frutos das árvores, nas mais diversas
flores, nas folhas das plantas, e até em alguns animais, como nos chifres, nas
presas dos elefantes e até em caramujos.
Por estar em muitos ramos de atividades, e de estar presente no cotidiano,
a Geometria é sem dúvida uma das disciplinas da Matemática mais importante, o
seu entendimento faz com que o indivíduo raciocine diferente do ramo aritmético e
do algébrico, e favorece o desenvolvimento da percepção visual e também o
raciocínio geométrico e lógico.
O estudo da Geometria auxilia a compreensão do espaço físico, oferece
às crianças oportunidades de serem criativas espacialmente, facilita a aprendizagem
de inúmeros tópicos aritméticos ou algébricos, esclarecendo abstrações e
integrando a aritmética e a álgebra, é um campo fértil para a aprendizagem por
descobertas e para fazer conjecturas, desenvolve habilidades que favorecem a
construção do pensamento lógico e é importante instrumento à resolução de
problemas.
Sem a Geometria na escola, as pessoas não poderão desenvolver o
pensamento Geométrico e nem o raciocínio visual. E por não possuírem tais
habilidades, não conseguirão resolver situações em que necessite o pensar
geométrico, já que este é facilitador para o entendimento de muitas questões
práticas. Além de que a Geometria é uma importante auxiliadora às outras
disciplinas, para interpretar um mapa, um gráfico estatístico e até mesmo alguns
conceitos de medidas.
Até Einstein12 dizia que a Geometria facilitava a comunicação das suas
idéias com a evolução de seus pensamentos, ele atribuía importância à visão que
tinha da Geometria, e que sem ela não teria formulado a teoria da relatividade.
12
Albert Einstein físico alemão, nascido em 1879, famoso por ter desenvolvido a Teoria da Relatividade.
Tornou-se por este motivo sinônimo mundial de gênio.
29
Existe uma forte conexão entre a Geometria, a Aritmética e a Álgebra, pois
seus objetos e relações se interligam uma com as outras. Os conceitos e
propriedades da Aritmética e da Álgebra são traduzidos pela Geometria.
3.3 AUSENCIA DA GEOMETRIA NA ESCOLA
Em pesquisa realizada por Lorenzato (1995, pág. 03) constatou-se,
infelizmente, que o professor não entende a Geometria, a maioria dos professores
de Matemática não domina, e nem mesmo possui os conhecimentos geométricos,
não sabem se quer algumas definições mais simples.
Uma pesquisa realizada com 255 professores de 1ª a 4ª séries
com cerca de 10 anos de experiência de magistério:
submetidos a 8 questões (propostas por alunos) referentes à
Geometria plana euclidiana (conceitos de ângulos, paralelismo,
perpendicularismo, círculo, perímetro, área e volume) foram
obtidas 2.040 respostas erradas, isto é, o máximo possível de
erros. E mais, somente 8% dos professores admitiram que
tentavam ensinar Geometria aos alunos (Lorenzato, 1995, pág.
3).
E como ensinar algo que não se sabe? E por não saber acaba por não
gostar da matéria. O estudante de Licenciatura não dá a devida atenção a
Geometria, pois não teve introdução a esta disciplina quando deveria, no ensino
fundamental. Quando chega à graduação não se interessa pela Geometria por não
entendê-la e isso segue por toda a jornada de sua carreira.
O conteúdo de Geometria está geralmente no final do livro didático e isso
prejudica a aprendizagem por não existir a correlação com a Álgebra. E também, o
tempo das aulas de Matemática não é suficiente para chegar aos conteúdos do final
do livro, onde se encontra a Geometria.
Há ainda pouca importância nos currículos de cursos de formação de
professores, a geometria possui uma fragilíssima posição, quando aparece. Como
ninguém pode ensinar bem aquilo que não conhece, está aí mais uma razão para o
atual esquecimento geométrico. Até mesmo nos cursos de Licenciatura os alunos
apresentam grande dificuldade na compreensão e demonstração dos processos
geométricos, não sabem usar e nem representar os conceitos básicos.
A geometria é colocada como um complemento e de modo fortemente
fragmentado, por assunto ou por série. A geometria é para ser trabalhada junto com
30
a aritmética e a álgebra não como algo que não faz sentido com os demais
conteúdos.
A ausência do material concreto, do experimental no ensino da Geometria
é um dos principais motivos da falta de entendimento da disciplina por parte dos
alunos. É preciso oferecer situações onde eles visualizem, comparem e desenhem
formas, é o momento de dobrar, recortar, moldar, deformar, montar, fazer sombras.
Pode parecer um passa tempo, mas é uma etapa de fundamental importância para a
aprendizagem das formas geométricas.
13
No sistema bourbakista a geometria não existe. Nas revistas
de crítica bibliográfica o que se inclui sob a denominação de
geometria compreende menos de 5% do total dos artigos de
pesquisa registrados. Nos programas universitários do mundo
todo, a palavra geometria é apenas mencionada e os
pesquisadores que poderiam chamar-se a si mesmos
“geômetras” evitam o termo por parecer fora de moda. (Parra &
Saiz, 1996, pág. 239)
A idéia de conhecimento tem ligação com a de significado, pois conhecer
é cada vez mais, entender o significado, e o processo de atribuições de significados
depende das experiências de vida de cada um.
A aprendizagem se constitui por um processo de construção de significados e
reelaboração dos conhecimentos. As atribuições desses significados ainda seguem
um processo que difere de cada pessoa.
Nessa construção do conhecimento é necessário oferecer ao aluno
curiosidades e desafios para que com isso cada um possa encontrar seu próprio
caminho para o significado e o conhecimento. Essas situações devem ter a maior
proximidade entre o cotidiano e o aluno.
O professor precisa mostrar o interesse pela aula, pelo conteúdo e também o
domínio sobre o assunto.
Ninguém é capaz de motivar o aluno para o aprendizado, se
não possuir motivação. Se você não gosta de um assunto,
dificilmente fará com que seu aluno se interesse por ele. O
interesse e entusiasmo do professor pelo que ensina são,
portanto, indispensável, juntamente, é claro, com o
conhecimento teórico de sua matéria: ninguém pode ensinar o
que não sabe. (George Polya,1953, pág.12).
13
Sistema bourbakista refere-se ao método de ensino pela intuição matemática. Elaborado por Nicolas Bourbaki,
que é um pseudônimo de um grupo de matemáticos, e escreveram vários livros sobre a Matemática.
31
4 A RAZÃO DA PERFEIÇÃO
Uma forma de mudar a idéia de que a Geometria é complicada de
entender e difícil de ensinar é a Razão Áurea.
Desde os tempos da antiguidade, a Razão Áurea tem sido estudada, pois
o homem sempre está ligando a busca das origens do mundo com crenças
religiosas, tentando assim encontrar sua história.
A Razão Áurea ou Número de Ouro, como também é conhecido,
representa a proporção entre dois segmentos ou duas medidas. No retângulo
perfeito, a medida maior é dividida pela medida menor tem-se como resposta
1,618034... Tornando-se assim um Retângulo de Ouro, como foi chamado pelos
matemáticos. Chamaram esta razão de Phi (φ), a vigésima primeira letra do alfabeto
grego, e recebeu este nome em homenagem ao seu inventor, Fidias, escultor e
arquiteto do Parténon em Atenas. O Phi é encontrado através de deduções
algébricas ou geométricas.
O que influenciou esta construção foi à característica interessante do
Retângulo Áureo, este pode ser dividido em um quadrado e em outro Retângulo de
Ouro, isto pode ser dividido infinitamente, sempre com a razão constante.
Esta proporção tem influência nos modelos arquitetônicos até nos dias
atuais, pois o homem vive em busca da perfeição, da beleza desejada e admirada
por todos. O arquiteto Le Corbusier mostra uma nova forma da arquitetura baseada
em muitos edifícios antigos usando a Razão Áurea.
Por estar em muitos lugares, objetos, plantas, aparecer frequentemente, o
Número de Ouro, para muitos, parece mágico, por isso, que ele é usado por
pesquisadores, artistas e escritores, não podendo esquecer que ele é encontrado
através do desenvolvimento matemático.
Este Número é considerado por muitos estudiosos como sendo um
presente de Deus ou uma proporção divina, por simbolizar a perfeição e beleza, e é
utilizado ao longo da historia para tal efeito.
No Egito, foi construída a Pirâmide de Gizé, o quociente entre a altura de
uma face e a metade do lado da base é quase 1.618...
A “Era Áurea” da matemática teve ênfase a partir do século III a. C., mas a
grandiosa obra, a Pirâmide de Gizé, construída a 2.900 a. C. já mostrava os
conhecimentos práticos de proporção, simetria e beleza.
32
Em Atenas, Fidias, arquitetou e construiu o Parténon Grego, o templo
representativo do Século de Péricles, usando o Retângulo de Ouro na base e
fachada, na planta baixa está nas distâncias entre colunas e nos seus ambientes
internos, isso para realizar uma bela e perfeita obra.
Na literatura Matemática a Razão Áurea foi tema de discussões entre os
vários filósofos matemáticos em diversas obras, uma delas a obra de Euclides “Os
Elementos”. O autor usa o Número de Ouro para construir o primeiro pentágono
regular e os sólidos regulares mais complexos, o dodecaedro (12 faces pentagonais)
e o icosaedro (20 faces triangulares).
O papiro de Rhind, fala de uma “razão sagrada” que se acredita em ser o
Phi.
O Número de Ouro recebeu este nome de fato, somente dois mil anos
depois, dizem ser um dos primeiros números irracionais conhecido. Os Pitagóricos
não conseguindo mostrar um quociente entre dois números inteiros, chamaram de
irracional, não acreditavam que podiam existir números que não escrevesse em
forma de fração. Ficaram muito impressionados, pois iam de contra a toda lógica
que até então conheciam, daí tal denominação.
O Número de Ouro está mais presente e mais próximo do que se imagina.
Esta razão é muito utilizada em pinturas, obras de arte. É encontrada na proporção
em conchas (o Nautilus, como é chamado), nos seres humanos ela aparece em
muitas relações do corpo, a razão entre a altura de uma pessoa e a distância
umbilical, na proporção da palma da mão e o tamanho dos dedos, no campo de
visão a distância dos olhos até o objeto é um Retângulo de Ouro.
Outros objetos também se relacionam com o Retângulo de Ouro, a
carteira de identidade, cartões de créditos, capas de livros, são alguns exemplos.
Os
aparelhos
de
TV
e
os
monitores
de
computadores
têm
aproximadamente a proporção áurea entre a altura e largura da tela.
A Razão Áurea esta presente em quase tudo no mundo que vivemos e
principalmente em áreas da Matemática pouco aplicada nas salas de aula, devido ao
grau de dificuldade dos professores em conseguirem disponibilidade de tempo e
vontade de aplicá-lo, que está inserida na Geometria.
Através de exemplos práticos a Razão Áurea pode ser demonstrada,
muitos dos grandes pensadores, gênios das artes e da arquitetura que desde a
33
antiguidade o vem utilizando de forma a alcançarem a perfeição absoluta, a beleza
tão almejada e que nos enche os olhos quando vemos e admiramos sua beleza.
Porém como surgiu a razão áurea?
Ao tomar um segmento qualquer AB, tal que a medida (AB) = x unidade
(etapa 1). Será encontrado um ponto D (etapa 2), que poderá estar em infinitos
lugares (etapa 3), porém somente irá existir uma posição também chamada posição
de ouro que dividirá o segmento AB em dois segmentos proporcionais (etapa 4).
Conforme demonstração abaixo:
Etapa 1
Etapa 2
Etapa 3
Etapa 4
Algebricamente, assim ocorre:
34
Ao tomar
x
a
=
e utilizar a propriedade fundamental da proporção que
a x−a
afirma que x(x – a) = a2, e aplicar a propriedade distributiva, chega-se numa
equação algébrica de 2º grau:
x 2 − ax − a 2 = 0
Conduzir esta dedução de forma que os alunos percebam que se atribuir
um valor para a igual a 1 e resolver a equação pela forma de Bhaskara, chega-se a
dois valores: um positivo e outro negativo. Por convenção anula-se o valor negativo
e efetua-se a divisão somente do resultado positivo.
x=
1 ± 12 + 4.1.1
1± 5
⇒ x=
2.1
2
x' =
Ao efetuar a divisão
1+ 5
1− 5
e x '' =
2
2
1+ 5
, encontra-se o Número de Ouro, também
2
conhecido pela letra φ (Phi) do alfabeto grego, cujo valor é de 1,618... Nome este
que lhe foi dado em homenagem ao seu descobridor Fidias.
Deve-se ressaltar que o Número de Ouro φ tornou-se de extrema
importância, chegando a ser considerado pelos seus estudiosos como uma oferta de
Deus a humanidade, tamanha a sua aplicação em diversas áreas e criações
humanas e de Deus, desde a criação do mundo. Se somar 1 a φ , obteremos o seu
quadrado ( φ 2); e se diminuirmos 1 de φ , encontrará o seu inverso.
Em obras importantes para o mundo, como as pirâmides de Gizé, no
Egito, o Partenon, na Grécia a razão áurea também está presente.
35
Figura 05 - As Pirâmides de Gizé (Fonte: Wikipédia)
As pirâmides de Gizé, localizadas na cidade de Gizé, no Egito. Elas são as
únicas das antigas maravilhas ainda de pé e que ainda nos encantam. De natureza
mística, para a construção dessas pirâmides, usou-se uma série de conhecimentos
de Geometria, e principalmente a proporcionalidade do Número de Ouro, voltados as
dimensões da Terra redonda e projeções celestiais. Elas têm paredes triangulares
numa base quadrada.
Figura 06 - A grande Pirâmide de Gizé (Fonte: Wikipédia)
36
Figura 07 – Paternon (Fonte: Wikipédia)
O nome Paternon deriva da monumental estátua de Atena Partenos, que
está no salão leste da construção. É símbolo duradouro da democracia da Grécia, e
é um dos maiores monumentos culturais do mundo.
No mundo atual a Razão Áurea encontra-se em cartões de créditos, em
carteiras de identidade. Estes documentos são do formato de um Retângulo Áureo
cuja razão é igual 1, 618. Na Geometria, mais precisamente nos polígonos regulares
a Razão Áurea tem maiores aplicações na Matemática. O Retângulo Áureo é o que
mais frequentemente aparece.
Figura 08 – Retângulo de Ouro (Fonte: Wikipédia)
Triângulo Áureo, o Pentágono que unindo os seus vértices formam a
Estrela de Pitágoras e o Decágono que na divisão formam no seu interior dez
triângulos áureos, com um de seus vértices medindo 36º.
37
Figura 09 – Triângulo de Ouro (Fonte: Wikipédia)
Na arte, Leonardo D’Vinci, utiliza a proporcionalidade, a Razão Áurea nas
relações entre tronco e cabeça, na sua mais importante obra, a “Mona Lisa”, a utiliza
também entre alguns elementos do rosto. É por este motivo que os apreciadores
desta obra dizem se tratar de uma obra divina, pois existe neste quadro os maiores
conceitos de beleza e perfeição. O pintor ainda utilizou esta razão na obra “Homem
Vitruviano”, onde ele estudou profundamente as proporções do corpo humano e
deixa bem claro todas as proporcionalidades inserido no círculo onde ele chama de
“círculo ideal” e mostra estas proporções no “quadrado”.
Figura 10 - Mona Lisa
Figura 11 – Homem Vitruviano
(Fonte: Wikipédia)
(Fonte: Wikipédia)
38
Em 1496 o matemático Luca Pacioli utilizou o quadro do “Homem
Vitruviano” em seu artigo “De Divina Proporcione”, que referenciava o Número de
Ouro.
Esta proporção também foi utilizada pelo pintor Botticelli na obra O
Nascimento de Vênus, e mais na obra O Sacramento da Ultima Ceia, Salvador Dali
usou tal proporcionalidade em suas dimensões.
No corpo humano pode-se obter a Proporção Áurea com as medidas do
tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta. A medida da dobra
central até a ponta dividido e da segunda dobra até a ponta.
Figura 12 – Medidas da mão (Fonte: Wikipédia)
A altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão. A altura do
crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça. A medida da cintura até a
cabeça e o tamanho do tórax. A medida do ombro à ponta do dedo e a medida do
cotovelo à ponta do dedo. A medida do seu quadril ao chão e a medida do seu
joelho até ao chão. A medida do cotovelo até o pulso e a medida do seu pé.
Na natureza o Número de Ouro pode ser encontrado, por exemplo, no
ananás, ele tem 8 diagonais num sentido e 13 no outro, as margaridas têm 34, 55 ou
89 pétalas, exatamente. As sementes do girassol (figura 15 e 16) estão “colocadas”
sem intervalos, que quem as olha, vejam espirais tanto para a esquerda quanto para
a direita.
A quantidade de espirais para um lado e para o outro são números
vizinhos da “Seqüência de Fibonacci”, seqüência em que cada elemento, a partir do
terceiro, é obtido somando-se os dois anteriores, cuja divisão de qualquer um dos
números desta seqüência pelo seu antecessor resulta sempre em uma razão
próxima a 1.618...
39
Seqüência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 233, 377, 610...
Obtém-se assim: 1+1 = 2; 1+2 = 3; 2+3 = 5; 3+5 = 8; 5+8 = 13...
Figura 13 - Sequência de Fibonacci
demonstrada no Retângulo de Ouro.
(Fonte: Wikipédia)
Figura 14 - Na espiral formada pela
folha de uma bromélia.
(Fonte: Wikipédia)
Flor de girassol e a visualização da distribuição das suas sementes:
Figura 15 – Flor do Girassol
Figura 16 – Sementes do Girassol
(Fonte: Wikipédia)
(Fonte: Wikipédia)
40
5 METODOLOGIA
5.1 DESCRIÇÃO DA METODOLOGIA
A metodologia consiste na maneira de captação dos dados para sua
posterior análise e avaliação, ou seja, os caminhos percorridos para se chegar aos
objetivos pretendidos. Método vem da palavra grega méthodos, que significa chegar
ao fim, e metodologia são as etapas da produção de conhecimento a partir de
experiências adquiridas no decorrer da busca por informações. Este trabalho é
dividido em várias etapas até chegar ao seu objetivo principal.
As fontes bibliográficas auxiliam no entendimento dos conceitos, e na
apropriação do tema. Teve-se o cuidado da escolha do material consultado, o
mesmo apresenta o assunto escolhido pela autora deste trabalho. Sendo que a
opinião da bibliografia utilizada tem fundamental importância no momento da análise
dos resultados.
O processo metodológico utilizado para obtenção dos dados para este
trabalho é uma pesquisa quantitativa, que consiste na elaboração e na posterior
aplicação de um instrumento estruturado dirigido aos professores de Matemática da
Escola de Educação Básica João Frassetto. Por ser quantitativa, esta pesquisa
apura as opiniões e atitudes dos professores entrevistados através de um
questionário com questões que norteiam a metodologia utilizada por eles. No
momento da elaboração das perguntas do questionário teve-se o cuidado de não
deixar ambigüidade para que as respostas destes professores não tomassem rumo
diferente dos objetivos deste trabalho.
Após a coleta dos dados foi feita a análise dos resultados obtidos, a
exposição de opiniões e alguns comentários dos professores entrevistados.
41
5.2 DADOS UTILIZADOS
Os entrevistados foram os professores de Matemática do ensino
fundamental e médio da Escola de Educação Básica João Frassetto. A escolha do
público alvo se deu em consideração à escola ser uma das mais antigas em ensino
fundamental e médio do Município de Criciúma/SC, ter um grande número de
matriculados e também de atender alunos pertencentes a vários bairros.
A Escola de Educação Básica João Frassetto, fica situada no Bairro Santa
Luzia, Avenida Monte Negro s/nº, Criciúma/SC.
Ela iniciou seu funcionamento no ano de 1919 com denominação de
Escola Mista Pública Santa Augusta. Em 07 de julho de 1937, passou a chamar-se
Escola Pública Mista de Margem da Estrada Geral. Em 09 de julho de 1967, através
do Decreto nº. SE/5458/67, passou de Escola Isolada para Escola Reunida João
Frassetto. Em 1984, foi transformada em Grupo Escolar, pela portaria E0045/34. Em
03 de julho de 1985, passou a ser denominada Escola Básica João Frassetto, pela
portaria nº. 238/85 e do parecer nº. 271/85. E finalmente no ano de 2000, segundo a
Portaria E/017 SED, de 28 de março de 2000 no D. O. E. nº. 16387, de 05 de abril
de 2000 passa a denominar-se Escola de Educação Básica João Frassetto.
Atualmente atende 1300 alunos no Ensino Fundamental e Médio,
distribuídos em três turnos: Matutino, Vespertino, Noturno. A escola conta com o
apoio do Conselho Deliberativo Escolar, da Associação de Pais e Professores, 1
especialista, 1 diretor geral e 1 adjunto, 2 secretários, 5 bolsistas, 56 professores, 1
vigia e 7 serventes. Atende alunos de vários bairros, como: Vila Manaus, São
Sebastião, Nova Esperança, Santa Luzia, Santa Libera, Cidade Mineira e outros. A
crença predominante é a Religião Católica. O grau de instrução dos pais é
diversificado e o nível sócio-econômico é baixo.
As informações que se seguem foram obtidas do Projeto Político
Pedagógico da Escola de Educação Básica João Frassetto:
5.2.1 Apoio Pedagógico da Escola:
A educação, hoje, passa por um processo de mudança às quais estão
exigindo do docente muito mais conhecimento pedagógico do que antes.
42
À escola cabe dar suporte para que o professor aperfeiçoe seus
conhecimentos, oferecendo espaço para a troca de experiências e reflexão da
pratica pedagógica.
E para os alunos que vêm para a escola esperando muito mais do que ela
oferece. Daí um desafio: orientar e motivar os alunos com aprendizagem lenta, sem
esquecer aqueles que apresentam bom rendimento. Temos que proporcionar muito
mais oportunidades e diferentes atividades para que os alunos com aprendizagem
lenta possam desenvolver sua criatividade e aumentar sua auto-estima.
A escola está situada numa região de periferia onde os alunos são
oriundos de famílias de baixa-renda. Sabemos que, provenientes disso, muitos
outros problemas são trazidos para a escola, desde a falta de acompanhamento da
família até a falta de alimentação. Diante desse quadro faz-se necessário o serviço
de apoio pedagógico na escola, que irá organizar atividades e criar oportunidades
para amenizar, diminuir os problemas relacionados ao ensino-aprendizagem.
5.2.2 Objetivo Geral da Escola
Disponibilizar de profissionais para coordenar e orientar o trabalho
docente e discente, visando a melhoria do processo ensino-aprendizagem.
5.2.3 Objetivos Específicos da Escola
•
Atender aos alunos com dificuldades por meio de recuperação, com alvo aos
alunos de 1ª à 4ª série e 5ª à 6ª séries;
•
Propiciar a vinda dos pais na escola para o acompanhamento do
desempenho escolar de seus filhos;
•
Promover, incentivar e evidenciar o bom relacionamento e cidadania entre
docente e discente, por meio de encontros, atividades extra-classe, jogos,
grupo de estudos;
•
Promover palestras e cursos para o docente de acordo com os temas e
projetos estudados;
•
Desenvolver projetos que levem o aluno a ter consciência de seus direitos e
deveres;
43
•
Organizar grupo de estudos com participação de pais, professores e alunos;
•
Fornecer materiais de apoio ao professor, sugestões de filmes, livros. Textos
e outros tipos de materiais;
•
Organizar momentos de reflexão e estudo da prática pedagógica que
promovem a ação-reflexão-ação.
5.2.4 Proposta Pedagógica
5.2.4.1 Metodologia da Escola:
Fundamentados na teoria sócio-interacionista procuramos criar condições
para o aluno desenvolver os processos de construção do conhecimento,
possibilitando o desenvolvimento das estruturas do pensamento, para organizar o
mundo e transformar sua realidade.
5.2.4.2 Missão da Escola:
A Escola de Educação Básica João Frassetto, juntamente com a
Associação de Pais e Professores (APP), o Conselho Deliberativo e a comunidade,
têm como filosofia proporcionar meios pelos quais os alunos possam tornar-se
ativos, críticos, participantes e criativos, formando assim, homens contextualizados
com senso de justiça e agentes de transformações.
5.3 OBTENÇÃO DOS DADOS
Para obtenção dos dados relevantes para este trabalho, foi então
elaborado um questionário (apêndice 01) com 16 perguntas fechadas, com espaços
para justificativa das respostas e 01 pergunta aberta, para que os entrevistados
pudessem expor as suas idéias e terem a oportunidade de contribuir com sugestões
para melhoria da educação escolar.
O questionário foi entregue pessoalmente aos professores para que os
mesmos colocassem suas respostas por escrito.
44
6 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS
Os professores de Matemática da Escola de Educação Básica João
Frassetto, em sua totalidade, ou seja, 100% deles são formados em Licenciatura em
Matemática, importante comentar que foram encontrados em anos anteriores
(Martins & Serafim, 2005) outros profissionais, como por exemplo, licenciados em
Química, Física e até Engenheiros Civis lecionando a disciplina de Matemática em
escolas desta cidade. 80 % destes professores se formaram aqui mesmo neste
município, na Unesc14 e 20% na Unisul15 que fica no município vizinho, Tubarão/SC.
Os anos de formação são bem variados, o professor com mais tempo de
serviço se formou no ano de 1988 e o mais recente em 2002, assim como a idade
deles também é bem variada, 40% deles têm idade menor que 30 anos, 40% têm
entre 30 e 40 anos e apenas 20% têm mais que 40 anos, como mostra o gráfico 1.
Quanto ao sexo destes professores, a maioria ainda continua sendo formado por
profissionais do sexo feminino, 80%, e apenas 20% deles são do sexo masculino.
Gráfico 1. Referente a idades dos professores entrevistados.
Idade dos professores de Matemática da E. E. B. João
Frassetto
20%
40%
Menos de 30 anos
Entre 30 e 40 anos
Mais de 40 anos
40%
Fonte: Pesquisa direta realizada na E. E. B. João Frassetto em Criciúma/SC em 2008.
14
UNESC – Universidade do Extremo Sul Catarinense
15
UNISUL – Universidade do Sul de Santa Catarina
45
Quando questionados sobre o motivo que os influenciou sobre a escolha
da profissão e em particular a escolha da disciplina de Matemática, todos (100%)
responderam que tem haver com a facilidade que eles tinham e continuam tendo
com a Matemática.
O livro didático é utilizado por todos os professores na sala de aula e em
seus planejamentos, apenas 20% admite utilizar televisão/vídeo e outros meios
tecnológicos, como exemplos foram citados o computador e calculadora cientifica
(esta é utilizada apenas com as turmas do ensino médio) e ainda 40% deles
responderam que utilizam compasso, régua, esquadros e jogos para repassar os
conteúdos em suas aulas.
O fato da não utilização dos meios tecnológicos foi atribuído aos motivos
de falta de tempo para elaborar aulas para uso dos meios tecnológicos (25%), não
possuir computador em casa (25%) que é onde são feitos os planejamentos de aula
e metade deles (50%) afirmam que a escola não possui meios tecnológicos para
serem utilizados nas aulas de Matemática. Dados no gráfico 2:
Gráfico 2. Motivos da falta de utilização dos meios tecnológicos
Motivos da falta de utilização dos meios tecnológicos
nas aulas de Matemática
50%
40%
30%
20%
A escola não possui meios
tecnológicos
O professor não possui
computador em casa
falta de tempo do professor
10%
0%
Fonte: Pesquisa direta realizada na E. E. B. João Frassetto em Criciúma/SC em 2008.
Para se atualizarem, 100% dos professores entrevistados responderam
que fazem cursos de aperfeiçoamento em Matemática, ainda 20% deles fazem
46
cursos de especialização em Educação, 80% dos professores lêem livros e revistas
para a busca de novos conhecimentos.
Os professores mostraram que estão empenhados na busca por
novidades para as aulas de Matemática, 100% deles pesquisam em outras fontes
bibliográficas, não utilizam apenas os livros adotados pela escola. E ainda 60%
buscam materiais na Internet e apenas 20% respondeu que é em cursos de
especializações que encontram novas metodologias para aplicar em suas aulas.
Mas mesmo com tanta busca por novas metodologias apenas 40% dos
professores responderam que costumam referenciar os conteúdos matemáticos com
a realidade e com o cotidiano dos alunos, os outros 60% responderam que a maioria
dos conteúdos não há modo de estar fazendo as devidas menções.
Dados no
gráfico 3.
Gráfico 3. Matemática e realidade dos alunos
Matemática X Realidade
60%
50%
Fazem referência das aulas
com o cotidiano
40%
30%
20%
10%
responderam que os
conteúdos matemáticos
não fazem referências com
a realidade
0%
Fonte: Pesquisa direta realizada na E. E. B. João Frassetto em Criciúma/SC em 2008.
Quanto ao tipo de avaliação feita pelos professores com seus alunos, as
provas escritas individuais continuam sendo aplicadas, (100%), os trabalhos em
grupo também estão na mesma proporção (100%), 80% dos professores
pesquisados fazem trabalhos individuais e 40% deles fazem alguma outra forma de
avaliação, por exemplo, foram citados os testes orais, onde os alunos podem estar
explicando o que estão entendendo do conteúdo e existem professores que fazem
47
teste oral da tabuada, que é a única forma de fazer com que os alunos estudem a
operação de multiplicação.
Para desapontamento de muitos adeptos da Geometria, a questão que se
refere ao ensino deste conteúdo obteve resultado negativo, mesmo já se sabendo,
de outras pesquisas realizadas (Lorenzato, 1995, pág. 3) que os professores de
Matemática não ensinam a Geometria.
E desta vez também não foi diferente, apenas 20% dos professores
entrevistados responderam que em todas as séries que lecionam repassam a
Geometria, e o restante (80%) ensinam com pouquíssima freqüência.
Gráfico 4. O ensino de Geometria
O ensino de Geometria entre os professores de
Matemática da E. E. B. João Frassetto
20%
Ensinam pouco
Ensinam sempre
80%
Fonte: Pesquisa direta realizada na E. E. B. João Frassetto em Criciúma/SC em 2008.
E o motivo desta ausência da Geometria na sala de aula também continua
os mesmos já apontados, 25% dos professores responderam que não incluem a
Geometria em seus planejamentos de aula, 50% responderam que a Geometria está
sempre no final do livro didático, e que por causa da pouca carga horária de
Matemática não dá tempo de se chegar até lá. 25% não responderam qual o motivo
que os levam a não ensinar a Geometria aos seus alunos. E nenhum professor
entrevistado confessou que não sabe os conteúdos geométricos assinalando esta
opção.
48
Quanto a pergunta sobre o Número de Ouro, aquele que referencia a
beleza, a perfeição, e que foi muito utilizado em construções antigas, em pinturas
famosas para que ficassem simétricas e perfeitas e que é encontrada em muitos
elementos na natureza, apenas 20% dos professores entrevistados responderam
que conhecem e ensinam aos seus alunos a Razão Áurea, ou o número da “beleza”
como é chamada pelos alunos, comentou um dos professores entrevistados. 40%
dos professores responderam que conhecem o Número de Ouro, mas que não
repassam aos seus alunos e os outros 40% confessaram que nunca ouviram falar
da tal proporção áurea.
Gráfico 5. A razão da perfeição
A razão da perfeição entre os professores de
Matematica da E. E. B. João Frassetto
40%
30%
Conhecem e aplicam nas
aulas
20%
Conhecem mas não
aplicam
Não conhecem
10%
0%
Fonte: Pesquisa direta realizada na E. E. B. João Frassetto em Criciúma/SC em 2008.
E quanto às tendências no ensino da Matemática, os professores tiveram
respostas bem variadas, 20% deles responderam que se utilizam da Tendência
Empírica Ativista, onde o professor é o facilitador da aprendizagem e o aluno
aprende fazendo; 20% preferem a Tendência Socioetnocultural, onde existe a troca
de conhecimentos entre professor/aluno e aluno/professor; 60% dos professores
responderam que utilizam-se de várias tendências para ministrarem suas aulas: 50%
destes professores usam a Tendência Construtivista, onde se prioriza a construção
do conhecimento pelo aluno, o professor é o facilitador desta construção; 50%
também exercem a Tendência Socioetnocultural; e ainda 100% deles além destas
49
duas citadas usam também a Tendência Empírica Ativista como metodologia das
suas aulas.
Neste processo de interpretação e análise dos dados é importante
considerar todas as contribuições oferecidas pelos professores entrevistados.
Apenas 20% destes professores “ousaram” em contribuir para este
trabalho com comentários e/ou recomendações, que neste momento cabe
apresentá-los:
“Quem quer ser professor tem que saber que não pode parar de estudar”.
“Tem que aprender a dar bons exemplos com suas atitudes”.
“Seja professor só se tiver vocação e amor a esta profissão”.
50
7 CONCLUSÃO
Auxiliar o aluno na compreensão dos conceitos e na construção da
aprendizagem é um dos mais importantes deveres do professor. Existem muitos
caminhos para essa tarefa, e não é fácil, o professor tem que cumprir esta missão
com a grande diversidade cultural entre seus alunos.
O aluno constrói o conhecimento por si só, com suas experiências
matemáticas, mas sem o intermédio do professor isso ficará muito mais difícil.
Esta pesquisa contou com a colaboração de todos os professores da
disciplina de Matemática da Escola de Educação Básica João Frassetto do
Município de Criciúma/SC, alguns com muita satisfação em estar respondendo as
perguntas, fazendo justificativas das suas respostas e recomendações para os
novos professores, outros apenas responderam as questões fechadas.
Pode-se constatar que a postura do professor está mudando. Ele já não é
o centro da aprendizagem como na Tendência Formalista, agora o professor é o
mediador do conhecimento que será construído pelos seus alunos. O professor está
preocupando pela utilização de metodologias e estratégias que façam o aluno
buscar a construção do conhecimento.
Os professores de Matemática da E. E. B. João Frassetto são maduros e
experientes, sabem das necessidades dos seus alunos, tentam utilizar muitas
metodologias em suas aulas para que todos eles possam ter total compreensão dos
conteúdos.
Os meios tecnológicos, que inevitavelmente chegam a nossas vidas, são
utilizados pelos alunos desta escola em poucas situações. Isso ocorre por que a
disciplina tem pouca carga horária e uma exposição dessas tomaria muito tempo,
além de que o currículo de Matemática é muito amplo, com muitos conteúdos, o
professor tem que repassar todos até o final do ano letivo. O uso dos meios
tecnológicos ainda não é algo comum no cotidiano das aulas de Matemática.
Os professores estão preocupados com as mudanças da Educação, e é
de grande importância a constante busca por cursos de aperfeiçoamento. Nestes
cursos eles buscam novas técnicas, novas metodologias e muitas novidades para
repassarem aos seus alunos na sala de aula. E estes professores não buscam
novidades só em cursos de aperfeiçoamento, eles estão dando credibilidade aos
51
professores pesquisadores em Educação Matemática, estão lendo seus livros e
revistas, e contam ainda com a ajuda dos muitos artigos publicados na rede de
computadores.
Mesmo com esta diversidade de informação a grande maioria dos
professores de Matemática da E. E. B. João Frassetto continua repassando aos
seus alunos somente a Matemática Formal. Estão esquecendo de comparar e
referenciar os conteúdos matemáticos da escola com os acontecimentos do dia-adia dos seus alunos. Os professores por seguirem o livro didático adotado pela
escola, não referenciam os conteúdos com o cotidiano, apesar de alguns
professores mencionarem que exercem a Tendência Socioetnocultural em suas
aulas.
Quando se fala em Geometria, alguns professores deixam claro que não
ensinam aos seus alunos de forma como deveriam. A maioria deles “as vezes”
repassa este conteúdo.
Existe ainda a pouca importância da Geometria nos currículos escolares, a
falta de conhecimento vem de longe, o elaborador dos currículos não exige, além do
básico, o que não tem total compreensão.
Com o Número de Ouro não é diferente, e desta vez os professores
confessam não conhecer a Razão Áurea. Mesmo esta proporção sendo uma ótima
maneira de estar compreendendo simetria e proporcionalidade, não é ensinada pela
maioria dos professores que ousam repassar os conteúdos geométricos em suas
aulas.
Esta situação pode mudar. O professor introduzindo o ensino da
Geometria com a utilização do material concreto, auxiliará os alunos para a
compreensão total das propriedades e definições. Experimentando e manipulando o
aluno tem entendimento dos conteúdos. A visualização faz com que os alunos
comparem as formas dos objetos e construam o pensamento geométrico.
O professor não precisa apoiar-se apenas em uma metodologia de ensino,
ele pode experimentar diferentes maneiras de estar repassando os conteúdos
matemáticos, desta forma os alunos que não conseguiram um entendimento do
assunto podem estar obtendo-o no segundo momento da exposição.
Os alunos gostam e se interessam pelo novo, quando é mostrado a eles
algo diferente do que estão acostumados na sala de aula existe maior interação
52
entre professor e aluno. Esta ação acaba por contribuir para a aprendizagem do
aluno.
A Geometria é fácil de ser ensinada, é gostoso de aprender e fica ainda
mais fácil quando lhe é apresentada utilizando o material concreto. Manipular os
materiais, fazer experiências faz com que os alunos fiquem empolgados e motivados
na busca pela construção do conhecimento.
53
8 RECOMENDAÇÕES E SUGESTÕES
Os professores podem estar fazendo com alunos das séries iniciais, até
mesmo com alunos de 5ª e 6ª séries, curtos passeios pelo pátio da escola e até
mesmo fora dela, e incentivar a observação em tudo que os rodeiam. De volta a sala
de aula, os alunos devem descrever individualmente e mais tarde em duplas as
formas observadas. E desta forma eles podem estar percebendo as diferenças e as
semelhanças entre alguns objetos.
Deve-se estar atento aos detalhes para incentivar os alunos nas
descrições, fazer perguntas do tipo: era baixo ou alto? Era largo ou estreito? Parecia
com uma bola? Ou com a porta da sala? Com isso, os alunos poderão estar tendo
maior percepção dos detalhes dos objetos observados.
No correria do dia a dia é necessário dar um espaço para a leitura, e é
fundamental que se adquira este hábito, pela importância de se manter atualizado e
as informações fazem melhorar a prática pedagógica de cada um.
Existe atualmente no Brasil uma grande diversidade de materiais que
podem ser utilizados pelos professores para estarem se aprofundando sobre o
ensino da Matemática. Filmes, vídeos reportagens, jogos e materiais manipuláveis,
propostas governamentais, como os PCNs, programas de TV, revistas, como
exemplo a Nova Escola e Zetetiké e ainda uma infinidade de livros.
Livros extra-classe que auxiliam no embasamento dos conteúdos
matemáticos, cita-se como exemplo alguns autores: Sérgio Lorenzato, Dário
Fiorentini, Malba Tahan, todos bem fáceis de encontrar nas bibliotecas e na rede de
computadores.
O ensino pelo concreto, o “ver” com as mãos está muito mais presente nas
vidas das pessoas do que se pode imaginar, e muitas vezes não se percebe tal
ação.
Quando se faz compras no supermercado, por exemplo, ninguém compra
frutas e legumes sem pegá-las nas mãos para verificar se estão boas para o
consumo. Em uma loja de roupas as pessoas não compram apenas olhando para as
peças, tem-se a necessidade de pegá-las nas mãos e experimentá-las.
E com o ensino da Geometria não é diferente, o ver, o fazer e o tocar é
muito mais forte do que apenas ouvir. Os materiais didáticos manipuláveis podem e
54
devem ser utilizados para todas as idades e não apenas para alunos das séries
iniciais. O resultado desta prática é sempre de grande sucesso entre os alunos,
todos conseguem visualizar com muita facilidade os conceitos e as propriedades dos
conteúdos geométricos.
Todo esforço de busca pelo ensino eficiente é bem recompensado se for
aproveitado para a aprendizagem do aluno.
55
REFERÊNCIAS
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existir. 8ª ed. Campinas: Papirus, 2005. 120 p.
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CÂNDIDO, Suzana Laino. Formas num mundo de formas. 4ª ed. São Paulo:
Moderna, 2002. 79 p.
COMPAGNER, Carlos. História da Geometria. Uol Educação, Pedagogia &
Educação. Disponível em: http://educacao.uol.com.br/matematica/ult1705u33.jhtm.
Acesso em 28 de julho de 2008.
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Campinas: Papirus, 2001. 120 p.
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FAINGUELENT, Estela K. Educação Matemática: representação e construção em
geometria. Porto Alegre: Artes Medicas Sul, 1999. 227 p.
FIORENTINI, Dario. Alguns modos e ver e conceber o ensino da Matemática no
Brasil. Revista Zetetiké, Campinas, nº. 04 ano 03. novembro /95.
FIORENTINI, Dario; LORENZATO, Sérgio. Investigação
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em
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FROTA, Paulo R. de O. (org). Pesquisa no ensino Fundamental e Médio.
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GODOTTI, Moacir. Perspectivas atuais da educação. Porto Alegre: Artes Medicas,
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LORENZATO, Sérgio. Para aprender Matemática. Campinas: Autores Associados,
2006. 139 p.
LORENZATO, Sérgio. Porque ensinar Geometria? Educação Matemática em
Revista, Florianópolis: SBEM, Nº. 04, 1995.
56
LOURENÇO, Leila; SIQUEIRA, Regina; et alli. Projeto Político Pedagógico da
Rede Municipal de Educação de Criciúma. Criciúma: Unesc, 2004. 188 p.
MORAN, José Manoel; MASETTO, Marcos T.; BEHRENS, Marilda Aparecida.
Novas tecnologias e mediação pedagógica. Campinas: Papirus, 2006. 172 p.
PARRA, Cecília; SAIZ, Irma. Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas.
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POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1953.
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TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro. Didática da Matemática: como dois e dois – a
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57
APÊNDICE
58
APÊNDICE 01
Questionário aplicado aos professores de Matemática da E.E.B.João Frassetto.
Prezado professor,
A sua colaboração no preenchimento deste questionário é de suma importância para a
verificação da prática de ensino de matemática e a posterior conclusão do curso de
Especialização em Educação Matemática – Unesc.
Agradeço a sua colaboração.
1 – Em qual curso, instituição e ano em que você se formou?
__________________________________________________________________________
2 – Sexo: ( ) Feminino
( ) Masculino
3 – Idade: ( ) menos de 20 anos
( ) de 41 à 50 anos
( ) de 20 à 30 anos ( ) de 31 à 40
( ) de 51 à 60 anos ( ) mais de 61 anos
4 – A quantos anos leciona? _____________
5 – Por que escolheu este curso?
( ) Facilidade com a disciplina
( ) Indicação de familiares
( ) Gostava da metodologia usada por alguns dos seus antigos professores
( ) Outros. Qual? ______________________________________________________
6 – Qual destas tendências matemática você utiliza em suas aulas? Marque mais de uma
alternativa se necessário.
( ) Formalista Clássica: professor expositor com conteúdos prontos e aluno apenas
receptor;
( ) Empírico Ativista: professor facilitador da aprendizagem e o aluno aprende fazendo;
( ) Formalista Moderna: alunos reproduz o raciocínio exposto pelo professor;
( ) Tecnicista: a matemática é um conjunto de regras, técnicas para um ensino
profissionalizante;
( ) Construtivista: prioriza a construção do conhecimento pelo aluno, professor é o
facilitador;
( ) Socioetnocultural: troca de conhecimentos entre professor/aluno e/ou aluno/professor.
Justifique sua resposta: _____________________________________________________
7 – O que você usa em suas aulas? Marcar mais de um item se necessário.
( ) Quadro e giz
( ) retro projetor ( ) data show
( ) tv e vídeo ( ) Livro
didático
( ) Outros. Quais? _________________________________________
Justifique sua resposta:______________________________________
8 - Você usa meios tecnológicos em suas aulas?
( ) Sim
( ) Não. Assinale o motivo: ( ) Não tem tempo para elaborar aulas para estes meios;
( ) Os conteúdos não necessitam destes meios ;
( ) A escola não possui meios tecnológicos.
Justifique sua resposta: _____________________________________________
59
9 – Onde você busca materiais para suas aulas?
( ) Na biblioteca da escola ( ) em outras bibliotecas
( ) seus livros em casa
( ) Na Internet
Justifique sua resposta:_____________________________________________________
10 – Você costuma trazer novidades para a sala de aula?
( ) Sempre
( ) as vezes
( ) Nunca ( ) A disciplina não necessita de
novidades.
Justifique sua resposta: _____________________________________________________
11 – Você faz referências dos conteúdos com o cotidiano dos alunos?
( ) Sempre
( ) As vezes
( ) Nunca ( ) A disciplina não faz referências com o
cotidiano.
Justifique sua resposta: _____________________________________________________
12 – Como são suas avaliações? Marcar mais de um item se necessário.
( ) Provas escritas individuais ( ) Trabalhos escritos individuais
( ) Trabalhos escritos em grupo ( ) Outros. Quais?______________________________
Justifique sua resposta: _____________________________________________________
13– Você ensina Geometria em suas aulas?
( ) Sempre
( ) as vezes ( ) normalmente sim ( ) normalmente não ( )
Nunca
Justifique sua resposta: _____________________________________________________
14 – Indique o motivo se por acaso não ensina:
( ) O conteúdo de Geometria está no final do livro didático e não se chega até lá;
( ) Não aprendeu Geometria na graduação, e por isso não repassa aos alunos;
( ) Não gosta de Geometria, e não ensina o que não gosta;
( ) O currículo da disciplina não inclui a Geometria;
( ) O aluno vem da série anterior sem aprender, e por isso não continua;
( ) Outro. Qual?__________________________________________________________
Justifique sua resposta: _____________________________________________________
15 – Você tem conhecimento sobre o “Número de Ouro”?
( ) Conhece e aplica na aulas
( ) Conhece mas não aplica ( ) Não conhece
Justifique sua resposta: _____________________________________________________
16 – Como você se atualiza dos seus conhecimentos?
( ) Cursos de especialização ( ) lendo livros e revistas ( ) A disciplina não necessita
de atualizações
Justifique sua resposta: ______________________________________________________
17 – Este espaço é para você fazer comentários e/ou recomendações.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________