PRINCIPIANDO O PRINCIPIA – Parte I

O PROBLEMA INVERSO DAS
FORÇAS CENTRAIS NO
PRINCIPIA
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PRINCIPIANDO O
PRINCIPIA – Parte I
A TEORIA DAS
PROPORÇÕES
COMO NEWTON DE
FATO ESCREVEU O
PRINCIPIA?
PRINCIPIANDO O
PRINCIPIA – Parte II
Na seção 3 do Livro 1, “De motu
corporum in conicis sectionibus excentricis”,
Newton discute o que hoje chamamos
‘problemas inversos’.
Proposição
XI.
Problema VI. Um corpo se
move numa elipse: achar a lei
da força centrípeta tendendo
ao foco da elipse.
DE MOTU CORPORUM
O PROBLEMA INVERSO
DAS FORÇAS CENTRAIS
NO PRINCIPIA
LIBER I, SECTIO VI,
LEMMA XVIII
DE MUNDI SYSTEMATE
NEWTON DEMONSTROU
QUE ÓRBITAS SÃO
ELÍPTICAS?
REFERÊNCIAS
LINKS
Proposição
XII.
Problema VII. Suponha que
um corpo se mova numa
hipérbole: achar a lei da
força centrípeta tendendo ao
foco dessa figura.
Proposição
XIII.
Problema VIII. Um corpo
se move no perímetro de uma
parábola: achar a lei da
força centrípeta tendendo ao
foco dessa figura.
Newton
então
‘resolve’
problemas, após o que vem o
Corolário I. Das últimas
três proposições segue que
um corpo com qualquer
velocidade, sob a ação de
uma
força
centrípeta
‘quadrado-inversa’,
se
moverá numa das cônicas.
Pois, dados o foco, o ponto de
esses
contato, e a posição da
tangente, uma cônica pode
ser descrita que tenha nesse
ponto uma dada curvatura.
Mas a curvatura é dada pela
força
centrípeta,
e
a
velocidade é dada: e duas
órbitas
tocando-se
mutuamente não podem ser
descritas pela mesma força
centrípeta e pela mesma
velocidade.
Nas Proposições 11, 12 e 13 do Livro 1
Newton mostra que se um ‘corpo’ orbita ao
longo de uma cônica e a lei da área vale para
o foco S então o corpo é acelerado por uma
força
inversamente
proporcional
ao
quadrado da distância a S.
No Corolário 1 das Proposições acima
Newton estabelece que o inverso é verdade,
isto é, se a força é ‘quadrado-inversa’ então
as trajetórias são cônicas, cujo um dos focos
é o centro de força. Esse Corolário é um
exemplo de problema inverso de forças
centrais: a força central F e o centro de força
S são dados, e o problema é achar a
trajetória, dadas a posição e velocidade
iniciais.
Na Proposição 17 Newton apresenta
uma técnica geométrica construtiva para
determinar a cônica que responde as
condições iniciais quando o valor absoluto da
força ‘quadrado-inversa’ F e o centro de força
S são conhecidos. A Proposição 17 se baseia
no fato de que a posição inicial, velocidade,
massa do corpo e valor absoluto da força
central num ponto determinam a tangente e
o raio de curvatura nesse ponto. Como um
dos focos é dado, as condições do Corolário 1
determinam unicamente a órbita cônica. Das
Proposições 11-13 sabe-se que tal cônica é
uma possível órbita para a força F. Para
invocar as Proposições 11-13, Newton assume
implicitamente que o movimento Kepleriano
ao longo da cônica existe e é único.
Em 1709, depois dos artigos de Keill
(1708) e antes das criticas de Johann
Bernoulli (1710) Newton notou que o
Corolário 1 precisava ser ampliado. Esta
ampliação foi publicada na segunda edição
(1713) do Principia. Com estas novas linhas,
o Corolário 1 adquire um significado mais
claro. Para uma dada força central
‘quadrado-inversa’, qualquer condição inicial
determina unicamente a cônica (identificada
construtivamente na Proposição 17). Das
Proposições 11 e 13, sabemos que o
movimento Kepleriano ao longo dessa cônica
satisfaz a equação do movimento para a força
e condições iniciais dadas. Nas linhas finais
um teorema de unicidade é invocado: duas
órbitas diferentes que satisfaçam as mesmas
condições iniciais e que ‘tocam uma a outra’
(que têm a mesma tangente e a mesma
curvatura nesse ponto inicial) não podem
existir. Portanto cônicas são as únicas órbitas
possíveis para uma força ‘quadrado-inversa’.