Problemas Interessantes em F sica: O Quebra

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Revista Brasileira de Ensino de Fsica vol. 20, no. 4, Dezembro, 1998
Problemas Interessantes em Fsica:
O Quebra - Molas
Vanderlei S. Bagnato
Instituto de Fsica de S~
ao Carlos - USP
Caixa Postal 369 - CEP 13560 - 970 - S~
ao Carlos / SP.
Recebido 26 de abril, 1997
E comum notarmos a exist^encia de quebra-molas ou
lombadas em ruas e estradas. Normalmente o quebramolas e constitudo por uma sali^encia com variac~ao
contnua que tem por objetivo evitar que carros passem
por ela com velocidade excessiva. A tentativa de ultrapassar estas barreiras com grande velocidade podem
causar abruptas variac~oes no molejo do veculo, podendo mesmo quebra-lo, dao nome de quebra-molas
(gura 1). Esta e, sem duvida, uma situac~ao fsica
bastante interessante e, por isto, vamos analisa-la segundo as leis da mec^anica. Dadas as caractersticas
do veculo e geometria da lombada, pretendemos determinar o intervalo de velocidade onde a barreira e
ultrapassada com seguranca. Se o veculo fosse um sistema rgido (como e o caso da maioria das bicicletas,
por exemplo) a passagem rapida por um quebra-molas
poderia ter consequ^encias extremamente tragicas. Mas
um veculo automotor n~ao pode ser visto desta forma.
Nele est~ao presentes o amortecedor e o sistema de molas, agindo em conjunto de modo a evitar que o carro
se chacoalhe muito ao enfrentar as irregularidades das
vias. O molejo do carro e um elemento elastico que
atua em paralelo com o amortecedor, um elemento viscoso para amortecimento. Este ultimo tem a func~ao de
limitar as oscilac~oes do veculo que seriam naturais ao
molejo. Assim, e natural olharmos a parte oscilatoria
do veculo como um sistema massa mola amortecido. A
lombada, que apresenta uma variac~ao suave, pode ser
vista como tendo uma variac~ao representada por uma
porc~ao de uma func~ao senoidal. O modelo que construiremos para o sistema de um veculo passando por um
quebra-molas esta mostrado na gura 2.
O carro de massa M desloca-se com velocidade v
na direc~ao x. O corpo massivo do veculo esta ligado
as rodas por um sistema elastico de constante de mola
K associado em paralelo a um sistema amortecedor de
constante de amortecimento .
A lombada e parte de uma func~ao do tipo y =
y0 sen(2 Lx ) ou seja: altura y0 e extens~ao L=2, como
indicado na gura 2.
Ao percorrer a via, encontrando a lombada, o ponto
de apoio do auto e forcado a acompanhar o perl
mostrado na gura 2, de modo que a mola sofrera uma
distens~ao que depende em que posic~ao da lombada o
carro se encontre. Como resultado de todos os elementos que comp~oem o sistema, a equac~ao de movimento
vertical para o centro de massa do carro (onde subtraimos da coordenada vertical do centro de massa do
carro (y), a altura da lombada y ).
0
0
(1)
M ddty2 = ;K (y ; y ) ; dy
dt
ou substituindo y :
2
x
M ddt2y = ;Ky ; dy
(2)
dt + Ky0 sen2 L
Como o carro desloca-se na direc~ao x com velocidade v, x = vt e a equac~ao (2) pode ser reescrita na
forma:
2
0
0
2y
d
dy
2
vt
M dt2 + Ky + dt = Ky0 sen L
(3)
Assim, o carro passando pela lombada e exatamente
um oscilador harm^onico amortecido e forcado e, desta
maneira, o carro comporta-se segundo este bem conhecido sistema fsico.
A grandeza ! = 2 Lv representa a frequ^encia oscilatoria que a lombada procura imprimir ao carro
quando este tem a velocidade v.
A soluc~ao para a equac~ao (3) pode ser encontrada
nos livros textos convencionais de mec^anica para o curso
basico 1,2], sendo escrita como y(t) = Asen(!t + '),
que substituda na equac~ao (3) permite obter A. A
posic~ao inicial do centro de massa do carro, ao iniciar
Vanderlei S. Bagnato
a lombada, permite determinar a fase '. Como a fase
' n~ao e importante para nossa analise, n~ao nos preocuparemos com ela. Apos estas considerac~oes, o deslocamento do centro de massa, enquanto viajando pela
lombada, tem a forma:
Ky
2
t
0 =M
Y = rh; i2 ; 2 2 sen L + '
2 2 ; K
L
M + M L
(4)
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Vemos facilmente que a amplitude com que o centro
de massa do carro ira oscilar depende das caractersticas
do molejo e do amortecedor do carro, das caractersticas
geometricas da lombada, mas principalmente da velocidade do veculo.
Figura 1. Fotograa mostrando uma lombada convencional encontrada nas vias p
ublicas. A lombada e normalmente suave,
procurando forcas a reduc~ao da velocidade dos ve
culos.
Figura 2. Modelo onde o ve
culo e visto como um sistema massa mola amortecido e a lombada como a porc~ao positiva de
uma func~ao seno.
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Quando o veculo passa pela lombada em baixa velocidade, a amplitude de oscilac~ao ou do deslocamento
do seu centro de massa ca reduzida a y0 , pois os termos dependentes da velocidade no denominador s~ao desprezados. Neste caso, o carro acompanha suavemente
a lombada, subindo e descendo em sincronismo com a
mesma.
Quando o veculo tem velocidade ao redor de:
2v = K ; 2 1=2
(5)
L
M M
a amplitude de oscilac~ao atinge seu maior valor (caso
ressonante) causando consideravel desconforto aos passageiros, que se n~ao estiverem atentos, correm o risco de
baterem suas cabecas no teto. Para evitar esta situac~ao
e importante que a velocidade esteja fora do regime de
resson^ancia, ou seja, fora dos pontos onde a amplitude
do deslocamento supere 50% de seu valor maximo. Assim, da express~ao (4) podemos tirar que para a passagem pela lombada n~ao ser traumatica para os passageiros, devemos ter velocidade tal que:
"
#1=2
r
2v < K ; 2 ; 4 + 12 2 K
L
M M
M
M M
(6)
Por outro lado, quando a velocidade supera muito o
valor acima mencionados em (5), a amplitude tambem
comeca a cair consideravelmente , mesmo que o ponto
de apoio tenha que superar a lombada. Nesta situac~ao
o sistema de molejo sofre todo deslocamento, enquanto
o centro de massa do veculo n~ao se desloca. A compress~ao sofrida no sistema de molejo pode ser demasiadamente rapida, causando danos permanentes ao sistema (molas s~ao \quebradas"). Para velocidades no
intervalo tal que
"
#1=2
r
2 > K ; 2 + 4 + 12 2 K
L
M M
M
M M
(7)
a passagem pela lombada n~ao sera muito desconfortavel
para os passageiros, mas podera ser dramatica para o
carro.
Apos termos entendido como funciona o quebramolas, ca como exerccio para o leitor considerar os
valores numericos de K , M e , bem como a geometria
das lombadas obtendo-se os varios limites de velocidade
mencionados neste trabalho
Refer^encias
1.
Cole Publish. Co,
California - USA, 1994.
2. \Fsica" por D. Halliday e R. Resnick, Livros
Tecnicos e Cientcos, Ed., Rio de Janeiro, 1976.
\Physics" por Eugene Hecht,