Aula 1 - POTI = Produtos Notáveis

Aula 1 - POTI = Produtos Notáveis
O que temos a seguir são as demonstrações algébricas dos sete principais produtos
notáveis e também a prova geométrica dos três primeiros.
1)
Quadrado da Soma
(a + b)2 = (a + b)*(a + b) = a2 + ab+ ab+ b2 = a2 + 2ab + b2
2)
Quadrado da Diferença
(a − b)2 = (a − b)*(a − b)= a2− ab − ab+ b2= a2 − 2ab + b2
Como observação segue que:
(b − a)2 = [(−1)*(a − b)]2 = (−1)2(a − b)2 = (a − b)2
3)
Produto da Soma pela Diferença
(a − b)*(a + b) = a2 + ab − ab − b2 = a2 − b2
4)
Cubo da Soma
(a + b)3 = (a + b)*(a + b)*(a + b) = (a + b)*(a2 + 2ab + b2) =
= a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + 3ab(a + b) + b3
5)
Cubo da Diferença
(a - b)3 = (a - b)*(a - b)*(a - b) = (a - b)*(a2 - 2ab + b2) =
= a3 - 2a2b + ab2 - ba2 + 2ab2 - b3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = a3 - 3ab(a - b) - b3
6)
Soma de dois Cubos
(a + b).(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = 𝑎3 + 𝑏 3

Prova: Considerando
2
(a + b).(𝑎 − 𝑎𝑏 + 𝑏

7)
2)
3
2
2
2
temos:
= 𝑎 −𝑎 𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑎 𝑏 − 𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 = 𝑎3 + 𝑏 3
Exemplo:
Diferença de 2 Cubos
(a - b).(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = 𝑎3 - 𝑏 3

Prova: Considerando
temos:
Provas Geométricas
1)
Quadrado de Lado “a + b” e o Quadrado da Soma
Observe a figura 1 em que temos um quadrado de lado “a + b” dividido de forma
conveniente em quatro retângulos de áreas A1, A2, A3 e A4:
Figura 1: Quadrado de lado a + b dividido em quatro retângulos.
Repare que a área A do quadrado é igual a soma A1 + A2 + A3 + A4. Ou seja:
A= A1 + A2 + A3 + A4
Vemos da própria figura que:
A= (a + b)2; A1 = a*b ; A2 = b2 ; A3 = a2 ; A4 = a*b
Substituindo teremos:
A= a*b + b2 + a2 + a*b ⇒ (a + b)2 = a2 + 2*a*b + b2
2)
Quadrado de Lado “a” e o Quadrado da Diferença
Observe a figura 2 em que temos um quadrado de lado a dividido de forma conveniente
em quatro retângulos de áreas A1, A2, A3 e A4:
Repare que a área A do quadrado é igual a soma A1 + A2 + A3 + A4. Ou seja:
A = A1 + A2 + A3 + A4
Vemos da própria figura que:
A = a2; A1 = (a − b)*b ; A2 = b2; A3 = (a − b)2; A4 = (a − b)*b
Figura 2: Quadrado de lado a dividido em quatro retângulos.
Substituindo teremos:
A = (a−b)*b+b2 +(a−b)2 +(a−b)*b ⇒ a2 = a*b−b2 +b2 +(a−b)2 +a*b−b2
De onde vem que:
a2 = 2ab + (a − b)2− b2⇒ (a − b)2 = a2− 2ab + b2
3)
Um Retângulo e o Produto da Soma Pela Diferença
Considere a figura 3 em que temos um retângulo de lados a e a + b e área A.
Figura 3: Retângulo dividido em quatro retângulos.
Vemos da figura que as áreas A1, A2, A3 e A4 são:
A = a*(a + b); A1 = a*(a − b); A2 = b*(a − b); A3 = a*b; A4 = b2
Assim:
A = A1 + A2 + A3 + A4
Logo: a*(a + b) = a*(a − b) + b*(a − b) + a*b + b2 ;
Daí: a2 + a*b = (a + b)*(a − b) + a*b + b2 <=> a2 = (a + b)*(a − b) + b2 <=> a2− b2 = (a + b)*(a − b)
Testes de Vestibulares, para esquentar...:
01.
(CPM – 2010). Efetuando as operações indicadas, simplifique a fração
(𝑎−𝑏)2 +(𝑎+𝑏)2 −2𝑎2
. Qual fração você obterá?
(𝑎+𝑏)2 −(𝑎−𝑏)∗(𝑎+𝑏)
(𝑎−𝑏)+1+2𝑎2
𝑏
𝑏
𝑎
𝑎
a)
b)
c)
d)
e)
𝑏−𝑎
𝑎+𝑏
𝑎+𝑏
𝑏−𝑎
1−(𝑎+𝑏)
02.
(CEFET 2008). Se x + y = 5 e x – y = 3, o valor numérico da expressão (𝑥 2 + 2𝑥𝑦 +
2 )+(𝑥 2
𝑦
− 𝑦 2 )+ (𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 ), será: A) 15
B) 34
C) 49
D) 60
E) 72
03.
(CEFET) Assinale a afirmativa INCORRETA:
a) (−a − b) 2 = (a + b)2;
b) (−a + b)2 = (a − b)2;
c) (a − b)2 + 4ab = (a + b)2;
d) (a + b)2 − 4ab = (a − b)2 + ab;
e) Das anteriores, uma está errada.
Treinamento OBMEP 2014
A professora Lorena ensinou a seus alunos o seguinte produto notável: Para quaisquer
números reais a e b, a2 - b2 = (a + b)*(a - b)
Por exemplo, 42 - 32 = 16 - 9 = 7. Por outro lado, (4+3)*(4 - 3) = 7*1 = 7. Usando este
ensinamento da professora Lorena, calcule:
a) 1002 - 992 + 982 - 972 + 962 - 952 +... + 22 - 12:
b) Encontre dois números inteiros maiores do que 1 cujo produto é 999991.
Treinamento OBMEP 2009. Quais são os números? –
Descubra quais números inteiros positivos x e y satisfazem a equação x4 = y2 + 71.
Prove o Teorema de Brama Gupta que diz: Se e A e B são naturais e cada um deles é a
soma de dois quadrados perfeitos, então A *B também é uma soma de dois quadrados
perfeitos!
Solução: Considere A = a2 + b2 e B = c2 + d2; então:
A*B = (a2 + b2)*(c2 + d2) = a2c2 + a2d2+ b2c2 + b2d2; daí podemos somar e subtrair 2*a*b*c*d,
onde teremos:
A*B = a2c2 +2abcd+ b2d2 + b2c2 - 2abcd + a2d2= (ac + bd)2 + (bc– ad)2
Fatoração de Expressões Algébricas:
Fatorar significa transformar uma soma algébrica em um produto de pelo menos dois fatores.
1º caso: Fator Comum em Evidência
Quando todos os termos da soma (polinômio) tem um fator comum, coloca-se em
evidência este fator (ele fica para fora de um parênteses) e o multiplicamos pela soma dos
fatores restantes:
Exemplo: 36a3b5 – 8a2b7 + 12a5b10 = 4*9*a2*a*b5 – 4*2*a2*b5*b2 + 4*3*a2*a3*b5*b5 =
4a2b5*(9a - 2b2 + 3a3b5)
OBMEP 2015 (Nível 2 – 1ª fase): Os números naturais x e y são tais que x2 – x*y = 23. Qual é
o valor de x + y ?
A) 24
B) 30
C) 34
D) 35
E) 45
Solução: Ao fatorar a expressão 𝑥 2 − 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑥 ∗ (𝑥 − 𝑦) (I) = 23 = 23.1 (II)
Perceba que (I) é um produto de números inteiros, e como 23 é número primo ele
somente pode ser escrito como o produto de dois fatores como 23*1, como está em (II).
Como (I) = (II), então as únicas alternativas possíveis para produto de inteiros são:
{
𝑥 = 23
𝑥=1
𝑥 = −1
𝑥 = −23
;{
;{
ou {
𝑥 − 𝑦 = 1 𝑥 − 𝑦 = 23 𝑥 − 𝑦 = −23
𝑥 − 𝑦 = −1
Apenas o 1º sistema de equações dá soluções Naturais (x = 23 e y = 22), os demais
sistemas dão soluções com inteiros negativos, fugindo do enunciado do problema.
Logo x + y = 23 + 22 = 45. Alternativa E.
2º caso: Agrupamento
Aplicamos aos polinômios da forma:
𝒂𝒙 + 𝒃𝒙 + 𝒂𝒚 + 𝒃𝒚
Devemos proceder da seguinte maneira:
1º) Em cada grupo, colocamos o fator comum em evidência;
2º) Todos os grupos apresentarão de novo um fator comum, que deve ser posto em evidência
para completar a fatoração.
Resumindo: 𝒂𝒙 + 𝒃𝒙 + 𝒂𝒚 + 𝒃𝒚 = 𝒙 ∗ (𝒂 + 𝒃) + 𝒚 ∗ (𝒂 + 𝒃) = (𝒂 + 𝒃) ∗ (𝒙 + 𝒚)
15𝑎𝑥 + 10𝑎𝑦 − 12𝑏𝑥 − 8𝑏𝑦 = 𝟓. 3. 𝒂. 𝑥 + 𝟓. 2. 𝒂𝑦 – 𝟒. 3. 𝒃. 𝑥 −
𝟒. 2. 𝒃. 𝑦 = 𝟓𝒂 ∗ (3𝑥 + 2𝑦) − 𝟒𝒃 ∗ (3𝑥 + 2𝑦) = (3𝑥 + 2𝑦) ∗ (5𝑎 − 4𝑏).
Exemplo:
3º caso: Diferença de dois Quadrados e outros inversos dos produtos
notáveis
Aplicamos aos polinômios da forma:
𝒂 𝟐 − 𝒃𝟐
Devemos proceder da seguinte maneira:
1º) Verificamos a raiz quadrada de cada termo;
2º) Escrevemos o produto da soma pela diferença dessas raízes.
Resumindo: 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = (𝒂 + 𝒃) ∗ (𝒂 − 𝒃)
Exemplo: 25𝑥 2 − 16𝑏2 .
1º) √25𝑥 2 = 5𝑥 ;
√16𝑏 2 = 4𝑏
2º) Escrevemos o produto: 𝟐𝟓𝒙𝟐 − 𝟏𝟔𝒃𝟐 = (𝟓𝒙 + 𝟒𝒃) ∗ (𝟓𝒙 − 𝟒𝒃)
Perceba que a volta dos demais Produtos Notáveis também transformam uma Soma em
um Produto:
Quadrado da Soma ou da Diferença: a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 = (a ± b)*(a ± b)
Soma ou Diferença de dois Cubos: a3 ± b3 = (a ± b)*( a2 ∓ 2ab + b2)
4º caso: Expressões do tipo: 𝒂𝟒 + 𝟒𝒃𝟒
Este tipo de expressão é bem comum em Olimpíadas, e nos valemos de um artifício de
somar e subtrair um mesmo valor para completar um quadrado perfeito e depois temos uma
diferença de quadrados, veja o exemplo abaixo:
𝐚𝟒 + 𝟒𝐛𝟒 = (𝐚𝟐 )𝟐 + (𝟐𝐛𝟐 )𝟐 = (𝐚𝟐 )𝟐 + 𝟐 ∗ 𝐚𝟐 ∗ 𝟐𝐛𝟐 + (𝟐𝐛𝟐 )𝟐 − 𝟐 ∗ 𝟐𝐚𝟐 𝐛𝟐 =
(𝐚𝟐 + 𝟐𝐛𝟐 )𝟐 − 𝟒𝐚𝟐 𝐛𝟐 = (𝐚𝟐 + 𝟐𝐛𝟐 )𝟐 − (𝟐𝐚𝐛)𝟐 = (𝐚𝟐 + 𝟐𝐛𝟐 + 𝟐𝐚𝐛) ∗ (𝐚𝟐 + 𝟐𝐛𝟐 − 𝟐𝐚𝐛)
5º caso: Expressões do tipo: 𝐚𝐛 + 𝐚 + 𝐛 + 𝟏 ; ou 𝐚𝐛 − 𝐚 − 𝐛 + 𝟏
Repare que: a*b + a + b + 1 = (a + 1)*(b + 1) e que a*b − a − b + 1 = (a − 1)*(b − 1)
Problema Resolvido. Determine o número de pares ordenados (m, n) de números inteiros
4
2
positivos que são soluções da equação: + = 1
m
n
4
2
Solução: A equação + = 1 é equivalente a m*n−2m−4n+8 = 8 ⇔ (m−4)(n−2) = 8. Ora,
m
n
como m e n são inteiros positivos, então (m - 4) e (n - 2) também deverão ser inteiros.
m−4=1 m−4=2 m−4=4
m−4=8
;{
;{
ou {
, ou seja, os
n−2=8
n−2=4
n−2 =2
n−2=1
pares ordenados (m, n) são (5, 10); (6, 6); (8, 4); (12, 3).
As possibilidades são: {
Testes de Vestibulares, para esquentar...:
04.
(UTFPR) Simplificando a expressão
6x4 𝑦 3 −4x3 y4
12x4 y2 −8x2 y3
, obtém-se:
A)
𝑥 2 ∗𝑦 2
B) 2
2
C) 0
D) 3𝑥 − 2𝑦
E)
x2 −1
𝑥∗𝑦
2
(UTFPR) Simplificando a expressão
, obtém-se:
2x+2
𝑥−1
𝑥−1
𝑥
𝑥−1
𝑥+𝑦
A)
B)
C)
D)
E)
4
2
2
3
𝑥
a2 +ab−a−b
06.
(UTFPR) Simplificando a expressão ( 2
), obtém-se:
(𝑎 −1)∗(𝑎+𝑏)
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
1
1
A)
B)
C)
D)
𝑎−1
𝑎+1
𝑎−1
𝑎+1
05.
Problemas Olímpicos e de pegar fogo! 
Treinamento: Sabendo que x +
a) x2 +
1
𝑥2
b) x3 +
1
1
𝑥
𝑥3
= 3, calcule:
c) x4 +
1
𝑥4
d) x5 +
1
𝑥5
1
... e) x9 + 𝑥 9
1. (OBM 2011 – 1ª fase) O número n  999999 tem 2011 algarismos e todos iguais a 9.
Quantos algarismos 9 tem o número n 2 ?
A) nenhum B) 11
C) 2010
D) 2011
E) 4022
2. (OBM 2004 1ª Fase Nível 2). Se x + y = 8 e x*y= 15, qual é o valor de x2 + 6xy + y2?
A) 64
B) 109
C) 120
D) 124
E) 154
𝑥 2 𝑦2
2
2
3. (OBM 2002 1ª Fase Nível 2) Se x*y = 2 e x + y = 5, então : 2 + 2 + 2 vale:
𝑦
𝑥
A)
5
B)
2
25
4
C)
5
4
D)
1
E) 1
2
4. (OBM 2011 - Nível 2) Qual é o valor da expressão: 201120112 + 201120032 – 16*20112007
A) 2*201120072
B) 2*201120032
C) 2*20112007
E) 2*201120112
D) 2*20112003
5. (OIM 2013 - 2ª Fase) Qual o algarismo das dezenas de 1² +2² + 3² + 4² +...+2012² +2013²?
Dica: Nos próximos dois exercícios, vamos utilizar um fato útil de pensar que um número com
todos os dígitos 1s, como 11...1, pode ser escrito na forma
𝟗𝟗𝟗…𝟗
𝟗
. Se o número possuir apenas
o dígito 4, por exemplo, como 44...4, então o escrevemos na forma 4
n
𝟗𝟗𝟗…𝟗
*
𝟗
. A vantagem
dessas alterações é saber que 99999...99999 = 10 -1 (verifique esse fato para quantidades
pequenas de 9s).
n vezes
6. (OBM 2002 - 1ª Fase Nível 2). O resto da divisão por 9 de √1111111111 − 22222 é:
A) 0
B) 1
C) 3
D) 6
E) 8
7. (IME) Mostre que os números 49, 4489, 444889, 44448889, ..., obtidos colocando-se 48 no
meio do número anterior, são quadrados de números inteiros.
8. (OBM 2001 - 1ª Fase Nível 2) Quantos dígitos tem o menor quadrado perfeito cujos quatro
últimos dígitos são 2001?
A) 9
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
9. (OBM 2005 1ª Fase Nível 2). Os inteiros positivos x e y satisfazem a equação
√𝑥 +
√𝑦
2
-√ 𝑥 −
A) 5
√𝑦
2
= 1. Qual das alternativas apresenta um possível valor de y?
B) 6
10. (OBM 2005 1ª Fase Nível 2).
C) 7
D) 8
E) 9
Quantos são os pares (x, y) de inteiros positivos tais que x2 – y2 = 22010?
A) 1000
B) 1001
C) 1002
D) 1003
E) 1004
11. (OBM 2006 1ª Fase Nível 2) Simplificando a expressão:
2  3 . 2  2  3 . 2  2  2  3 . 2  2  2  3 , obtemos:
A)
B)
2
3
C)1
D) 2 + 2
E) 2 + 3
12. (OBM 2012 1ª Fase Nível 2) Se 𝑥 e 𝑦 são números reais tais que
x2  y2  4
e
A) 4
x 3  y 3  5x  y  ,
x  y  0 , determine o valor de 𝑥𝑦.
B) 3
C) 1
D) 0
E) –1
13. (OBM 2013 1ª Fase Nível 2) Determine x + y, onde x e y são reais, sabendo que x  y  9
3
e
3
xy 2  x2 y  6.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
14. (OBM 2014 1ª Fase Nível 2) Se x, y, a e b são reais positivos tais que
x y a e
x  y  b , determine o valor de √𝑥𝑦.
b4  a 4
A)
4b 2
a2
B)
b
b2  a 2
C)
b
1
D)
b
E) a
2
15. (OBM 2014 2ª Fase Nível 2) Determine o número de soluções com x e y inteiros positivos
2
2
da equação: x  y  36 .
16. (OBM 2004 - 2ª Fase - Nível 2) Qual é a soma dos algarismos do número
√2004 ∗ 2002 ∗ 1998 ∗ 1996 + 36 ?
17. (OBM 2005 - 2ª Fase - Nível 2)
(a) Fatore a expressão: x2 − 9xy + 8y2.
(b) Determine todos os pares de inteiros (x; y) tais que: 9xy − x2 − 8y2 = 2005.
18. (Treinamento OBMEP 2011 - Nível 2) Diferença de Quadrados
(a) De quantas formas é possível escrever o número 105 como diferença de dois quadrados
perfeitos?
(b) Mostre que não é possível escrever o número 106 como diferença de dois quadrados
perfeitos.
19. (Treinamento OBMEP 2007 - Nível 2) As medidas em centímetros dos lados de cada um
dos dois quadrados são números inteiros. Se o menor quadrado tivesse 2001 cm2 a mais de
área, os dois quadrados seriam iguais. Quanto pode medir o lado do maior quadrado?
20. (Treinamento OBMEP 2011 - Nível 2) Primos Não!
(a) Prove que o número 3.999.991 não é primo.
(b) Prove que o número 1.000.343 não é primo.
2
2
21. (EUA) Determine a soma dos dígitos na base 10 de (104n +8 + 1) , sendo n um inteiro
positivo.
22. (EUA) Calcule
(104 +324)∗(224 +324)∗(344 +324)∗(464 +324)∗(584 +324)
(44 +324)∗(164 +324)∗(284 +324)∗(404 +324)∗(524 +324)
.
23. Um quadrado é cortado em 49 quadrados menores. Todos esses quadrados têm as
medidas de seus lados, em centímetros, expressas por números inteiros positivos. Há
exatamente 48 quadrados com área igual a 1cm 2. Determine o número de resultados possíveis
para expressar, em cm2, a medida da área do quadrado original.
24. (Semana Olímpica 2016) Calcule:
10
1+√5
( 2 )
1−√5
+ (
2
10
) .
25. Determine todos os números inteiros tais que a soma e o produto são iguais.
26. (Leningrado) Prove que:
(23 −1)∗(33 −1)∗(43 −1)…(1003 −1)
(23 +1)∗(33 +1)∗(43 +1)…(1003 +1)
=
3367
5050
.