Métodos Topológicos e Variacionais em Problemas Não Lineares

Métodos Topológicos e Variacionais em
Problemas Não Lineares com Valores na
Fronteira
Feliz Manuel Minhós
Universidade de Évora
March 12, 2010
ii
Índice
Prefácio
1
Notações
5
I Problemas Periódicos em Ressonância e Não Ressonância
7
Introdução
9
1 Soluções Homoclínicas Positivas
11
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Soluções Homoclínicas Positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Simetria de Soluções Homoclínicas Positivas . . . . . . . . . . 21
2 Problema Periódico de 2a Ordem
33
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Resultados Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Soluções Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Problema Periódico de 3a Ordem
53
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Notações e Resultados Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Existência de Solução Periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
iii
iv
ÍNDICE
II Sub e Sobre-Soluções em Problemas de Ordem n
com dependência em n 1 Derivadas
65
Introdução
67
4 Prob. 2a Ordem Tipo Ambrosetti-Prodi
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Condição de Nagumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Teorema Geral de Existência . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
69
70
73
4.4 Existência e Não Existência de Solução . . . . . . . . . . . . . 80
4.5 Multiplicidade de Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5 Problemas com Valores na Fronteira
93
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2 Condição de Tipo Nagumo e De…nições . . . . . . . . . . . . . 94
5.3 Existência e Localização de Solução . . . . . . . . . . . . . . . 97
6 Prob. Ordem n Tipo Ambrosetti-Prodi
107
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2 Existência de Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.3 Multiplicidade de Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Referências
128
Prefácio
Ao longo desta dissertação apresentam-se resultados originais no âmbito
do estudo de problemas periódicos de segunda e terceira ordem e da existência e multiplicidade de solução para problemas não lineares com valores na
fronteira.
O texto divide-se em duas partes, evidenciando cada uma um denominador comum aos vários capítulos que a compõem: o tipo de problemas
estudado. Na Parte I abordam-se problemas periódicos, envolvendo situações de ressonância e não ressonância. Na Parte II estudam-se problemas
com valores em dois pontos da fronteira. Cada uma das Partes é composta
por três capítulos, que correspondem aos diferentes problemas abordados.
A primeira secção de cada capítulo, Introdução, contextualiza o problema
estudado face a resultados já obtidos, por forma a evidenciar a contribuição
original da abordagem apresentada.
Os argumentos utilizados repartem-se por métodos variacionais, com recurso aos Teoremas da Passagem da Montanha (Cap. 1) e do Ponto Sela
(Cap. 2), e, para problemas que não possuem um enquadramento variacional,
por métodos topológicos, onde são utilizados o grau de Leray-Schauder, o
grau de coincidência e o método de sub e sobre-soluções. Sublinha-se que
no problema periódico de terceira ordem do Capítulo 3, apesar de não possuir formulação variacional, tira-se partido de hipóteses características dos
métodos variacionais, concretamente, condições sobre o potencial da não linearidade.
Os resultados obtidos nas Partes I e II são de natureza diferente. Apresentam-se teoremas em que apenas é garantida a existência de solução (Capítulos 1, 2 e 3), outros em que a existência, não existência e multiplicidade
de solução são discutidas em função de um parâmetro, problemas do tipo
2
PREFÁCIO
Ambrosetti-Prodi, (Capítulos 4 e 6), e casos em que, além da existência, é
possível estimar a localização de, pelo menos, uma solução (Capítulos 4, 5 e
6) e até de algumas derivadas da solução (Capítulos 5 e 6).
Os problemas com valores em dois pontos da fronteira, que compõem a
Parte II, são apresentados numa generalização progressiva. Assim, apesar
de o problema do tipo Ambrosetti-Prodi de ordem n do Capítulo 6 englobar
as situações estudadas nos Capítulos 4 e 5, optou-se também pela inclusão
dos casos particulares contidos nestes capítulos. Tal opção deve-se ao facto
de estes possuírem maior clareza e simplicidade na explicação, permitindo
pôr em evidência na passagem ao Capítulo 6 os aspectos mais complexos
decorrentes do facto de se envolverem as n 1 derivadas na não linearidade.
O problema do tipo Ambrosetti-Prodi de segunda ordem do Capítulo 4 é
estudado em pormenor não só porque generaliza os resultados existentes em
[Co] mas também porque, quer os teoremas de existência quer o de multiplicidade de solução, são obtidos com condições mais simples que as referidas
no Capítulo 6. Por outro lado, um estudo comparativo dos argumentos utilizados no Capítulo 4 e no Capítulo 6 sugere uma possível abordagem para o
estudo de problemas de ordem superior à segunda com condições na fronteira
semelhantes.
Para o valor nulo do parâmetro utilizado nos problemas do tipo AmbrosettiProdi, estuda-se no Capítulo 5 um problema de ordem n com valores na fronteira, não só porque ele próprio apresenta contribuições originais e inovadoras
em relação aos resultados existentes, mas também com o intuito de fornecer
um resultado de existência de solução a utilizar no Capítulo 6.
Finalmente quero manifestar o meu reconhecimento a todas as pessoas e
instituições que, de uma ou outra forma, me auxiliaram na execução desta
dissertação.
Destaco a Professora Maria do Rosário Grossinho, a quem agradeço não
só pela orientação prestada ao longo da investigação, mas também pelo contributo decisivo na minha formação pós-licenciatura.
Um agradecimento especial ao Professor Stepan Tersian, pelos trabalhos
de colaboração realizados e pelos comentários e sugestões úteis e oportunos.
Estou também grato ao Departamento de Matemática da Universidade
de Évora e ao Centro de Investigação em Matemática e Aplicações da Universidade de Évora, pelas condições de trabalho e apoio proporcionados durante
a realização da tese.
PREFÁCIO
3
Por último, o meu apreço ao Centro de Matemática e Aplicações Fundamentais da Universidade de Lisboa, pela utilização das suas instalações
permitindo-me as indispensáveis consultas bibliográ…cas.
Évora, Setembro de 2001
5
Notações
As notações utilizadas são introduzidas oportunamente ao longo do texto.
Contudo, por comodidade de leitura, apresenta-se uma síntese da notação
empregue.
identicamente igual.
k:kp
norma no espaço Lp (a; b), com 1
k:kE
norma num espaço E no contexto.
C(X; Y)
espaço das funções contínuas de X emY.
p
+1.
C k (X; Y) espaço das funções de X em Y com as primeiras k derivadas
contínuas.
C k (E)
C k (E; E)
k
Cloc
(E)
funções de C k (E) localmente contínuas.
Wm;p (I)
espaço de Sobolev formado pelas funções cujas m primeiras
derivadas pertencem a Lp (I):
Wm;p
2 (I)
espaço das funções de Wm;p (I) que são 2 -periódicas.no
intervalo I
H1 (I)
espaço de Sobolev W1;2 (I):
H10 (I)
espaço de Sobolev composto pelas funções de H1 (I) que se
anulam na fronteira de I:
6
NOTAÇÕES
H1loc (I)
espaço de Sobolev composto pelas funções que
localmente pertencem a H1 (I):
H12 (I)
espaço das funções de H1 (I) que são 2 -periódicas.
N
conjunto dos números naturais 1; 2; 3; :::
N0
conjunto dos números inteiros não negativos 0; 1; 2; 3; :::
u+
parte não negativa da função u; isto é, u+ = maxfu; 0g:
(f 0 (x); v)
valor da derivada f 0 (x) no vector v:
*
convergência fraca.
h:; :i
produto interno num espaço de Hilbert no contexto.
h:; :i2
produto interno em L2
z
número complexo conjugado de z:
X
Y
soma ortogonal entre os espaços X e Y.
.
relação com o signi…cado de
mas com desigualdade
estrita num subconjunto de medida positiva.
Em
espaço próprio correspondente ao valor próprio m:
q.t.p.
em quase todos os pontos (referente à medida de
Lebesgue).
spanfug
subespaço gerado por u:
d(T; ; 0)
grau topológico de Leray-Schauder do operador T no
conjunto e no ponto 0:
dL (L + N; ; 0) grau de coincidência do operador L + N , relativamente
ao operador L; em ; no ponto 0 (ver [M1]):
Parte I
Problemas Periódicos em
Ressonância e Não Ressonância
7
Introdução
Na Parte I são abordados problemas periódicos de segunda e terceira
ordem. Nos dois primeiros capítulos, que envolvem equações diferenciais
ordinárias de segunda ordem, utilizam-se técnicas de carácter variacional.
No terceiro capítulo obtem-se um resultado de existência de solução para um
problema periódico de terceira ordem, utilizando a teoria do grau topológico.
No Capítulo 1, estuda-se a existência de soluções homoclínicas positivas
para a equação
u00 (t)
a(t) u(t) + b(t) u2 (t) + c(t) u3 (t) = 0
para t 2 R e a(t); b(t) e c(t) funções não negativas, periódicas e contínuas. O
tipo de forma quadrática relacionada com o operador linear e a não linearidade envolvida permitem associar ao problema um funcional que se enquadra
na geometria do Teorema da Passagem da Montanha, pelo que as soluções
são obtidas como pontos críticos desse funcional associado.
No Capítulo 2 é obtida a existência de soluções periódicas para a equação
u00 (t) + a(t) u(t) + g(t; u(t)) = 0
em que a(t) é uma função contínua, positiva e periódica, sendo a não linearidade g : [0; 2 ] R ! R uma função mensurável L1 -Carathéodory.
Consideram-se duas situações que se relacionam com a variação de a(t): o
caso em que a(t) 1; veri…cando-se a desigualdade estrita num subconjunto
de [0; 2 ] de medida não nula, e a situação, geralmente referida como de dupla
ressonância, em que a(t) pode interferir com valores próprios consecutivos
do operador linear associado. Associa-se ao problema um funcional de…nido
num espaço em que se considera uma decomposição ortogonal e aplica-se o
Teorema do Ponto Sela.
9
10
No Capítulo 3 estuda-se a existência de solução periódica da equação
u000 (t) + a u00 (t) + g(u0 (t)) + c u(t) = p(t);
com p : [0; 2 ] ! R uma função de L1 (0; 2 ) e em que a função contínua
g : R ! R é tal que o quociente g(u)
está compreendido entre m2 e (m + 1)2
u
para juj su…cientemente grande.
Sublinha-se o facto peculiar de, embora serem admitidas hipóteses sobre
o potencial de g, a demonstração não se basear em métodos variacionais.
CAPÍTULO 1
Soluções Homoclínicas
Positivas para Equações
Diferenciais de Segunda Ordem
1.1
Introdução
Neste capítulo estuda-se a existência de soluções positivas do problema
u00 (t)
a (t) u(t) + b (t) u2 (t) + c (t) u3 (t) = 0; t 2 R;
u ( 1) = u0 ( 1) = 0;
(P )
vulgarmente designadas por soluções homoclínicas.
Sejam a (t) ; b (t) e c (t) funções contínuas, periódicas, com período 2 ;
e tais que existem constantes positivas A1 ; B1 ; B2 ; C1 e C2 que veri…cam as
condições
0 < A1
a (t) ; 0
B1
b (t)
B2 ; 0 < C1
c (t)
C2 :
(1.1)
Em [R2] e [KL] é garantida a existência de órbitas homoclínicas para equações
que constituem um caso particular de (P ), mais concretamente com b(t) 0:
Ao longo do capítulo estudar-se-á o caso em que b(t) é uma função limitada
e não negativa, sendo apresentados dois tipos de resultados.
No primeiro, admitindo-se que a(t), b(t) e c(t) são funções periódicas,
com período 2 , prova-se a existência de uma solução homoclínica positiva
não trivial para (P ) para
4A1 C1 > B22
11
B12 :
(1.2)
12
CAPÍTULO 1. SOLUÇÕES HOMOCLÍNICAS POSITIVAS
Observe-se que esta condição é trivialmente veri…cada se a função b(t) for
identicamente nula (com B1 = 0 = B2 ); pelo que o actual resultado é uma
generalização do contido em [R2] para o caso escalar. Este problema foi sugerido pelo artigo de Grossinho e Sanchez [GS], onde é estudada a existência
de soluções periódicas para a equação diferencial de (P ).
No segundo resultado, supõe-se que a (t) ; b (t) e c (t) são funções pares,
diferenciáveis e tais que
t a0 (t) > 0; t b0 (t)
0; t c0 (t) < 0; 8t 2 R;
e demonstra-se a existência de uma única solução homoclínica, par e positiva, do problema (P ). Este resultado generaliza o teorema de existência
apresentado em [KL], onde b(t) é identicamente nula. Note-se ainda que as
condições de sinal exigidas anteriormente são também assumidas em [KL],
com a hipótese t b0 (t) 0 trivialmente veri…cada.
Os teoremas de existência apresentados são obtidos por via variacional,
tendo como base os trabalhos de Grossinho, Minhós e Tersian, [GMT1] e
[GMT2], seguindo argumentos sugeridos por [GT]. No primeiro resultado,
o Teorema da Passagem da Montanha permite estabelecer a existência de
soluções positivas un de uma sucessão de problemas periódicos auxiliares,
(Pn ), como pontos críticos de funcionais associados. Através da caracterização variacional dos respectivos valores críticos obtem-se uma estimação
uniforme e a solução homoclínica u é construída como limite de extensões
periódicas das referidas soluções positivas un .
No segundo teorema de existência aplica-se uma técnica similar utilizando
problemas de valor na fronteira como problemas auxiliares e recorrendo a um
lema referido em [KO], (veja-se também Gidas, Ni e Nirenberg, [GNN]), cuja
demonstração, apesar de em linhas gerais seguir a metodologia de [KO], inclui
algumas modi…cações, sugeridas por L. Sanchez, que a tornam mais clara.
Este tipo de argumentação tem sido utilizado por vários autores no estudo
da existência de homoclínicas, nomeadamente no caso de sistemas Hamiltonianos. Re…ra-se, como exemplos, Rabinowitz [R2], Ambrosetti e Bertotti
[AB], aplicado a um sistema autónomo, Korman e Lazer [KL] e Arioli e
Szulkin [AS]. Contudo, estes resultados não se aplicam à equação do problema (P ), não só porque a parte não linear, aqui considerada, não satisfaz
as hipóteses admitidas nos trabalhos anteriores, mas também porque [AB],
[AS] e [R2] não se referem a soluções positivas.
1.2. SOLUÇÕES HOMOCLÍNICAS POSITIVAS
1.2
que
13
Soluções Homoclínicas Positivas
Seja B um espaço de Banach e considere-se
2 C 1 (B; R):
: B ! R um funcional tal
De…nição 1.1 Diz-se que o funcional veri…ca a condição de Palais-Smale,
(PS), se qualquer sucessão un B tal que (un ) é limitada e 0 (un ) ! 0 contem uma subsucessão convergente.
Teorema 1.1 (Teorema da Passagem da Montanha) Suponha-se que
o funcional satisfaz a condição (PS). Se existirem constantes positivas ; r1
e r2 , com r1 > r2 e tais que
(0) = 0 ;
(u)
; se kukB = r2 ;
(!) 0, para algum ! tal que k!kB
então
tem um valor crítico c
, caracterizado por
c = inf max
2
em que
r1 ;
t2[0;1]
[ (t)] ;
é a classe de caminhos ligando 0 a !, isto é,
= f 2 C([0; 1]; B) : (0) = 0 e (1) = !g :
Para n 2 N, considere-se o problema periódico
u00 (t)
a (t) u(t) + b (t) u2 (t) + c (t) u3 (t) = 0; t 2]
u ( n ) = u (n ) :
n ; n [;
Seja In = [ n ; n ] e Hn o espaço de Sobolev de…nido por
Hn = u 2 H1 (In ) : u ( n ) = u (n ) ;
munido da norma
0
kukHn = @
Z
In
11=2
u02 (t) + u2 (t) dtA
:
(Pn )
14
CAPÍTULO 1. SOLUÇÕES HOMOCLÍNICAS POSITIVAS
Para os espaços Lp , representa-se por kukn;p a norma referente a Lp (In ); isto
é,
11=p
0
Z
ju(t)jp dtA :
kukn;p = @
In
No caso de L1 (In ); ter-se-á
kukn;1 = sup ju(t)j :
t2In
Para obter uma estimação uniforme para as soluções dos problemas (Pn ), cuja
existência é garantida pelo Teorema da Passagem da Montanha, utiliza-se o
seguinte resultado de [KO]:
Lema 1.1 Seja u 2 H1loc (R) : Então:
(i) Para T 2 R e t 2 [T 1; T + 1];
max
0
2@
ju (t) j
t2[T 1;T +1]
11=2
T +1
Z
u02 (s) + u2 (s) dsA
T 1
:
(1.3)
(ii) Para qualquer u 2 Hn ; tem-se
kukn;1
2 kukHn :
Demonstração. (i) Sejam t; s 2 [T
u (t)
u (s) =
1; T + 1] : Como
Zt
u0 ( ) d ;
Zt
ju0 ( ) j d :
s
então
ju (t) j
ju (s) j +
s
(1.4)
1.2. SOLUÇÕES HOMOCLÍNICAS POSITIVAS
15
Integrando em ordem a s e aplicando a desigualdade de Hölder tem-se
2 ju (t) j
T +1Z t
T +1
Z
Z
ju0 ( ) j d ds
ju (s) j ds +
T 1
T 1 s
0
11=2 T +1 T +1
T +1
Z
Z Z
p
2
ju0 ( ) j d ds
2@
u (s) dsA +
T 1T 1
T 1
20
11=2 3
11=2 0 T +1
T +1
Z
Z
p 6
7
u02 ( ) d A 5
2 2 4@
u2 (s) dsA + @
T 1
T 1
0
4@
T +1
Z
T 1
11=2
u02 (s) + u2 (s) dsA
(ii) Seja u 2 Hn : Uma vez que Hn
que, pela alínea anterior,
kukn;1 = supju (t) j =
t2In
:
C ([ n ; n ]) ; existe T 2 [ n ; n ] tal
max
ju (t) j
t2[T 1;T +1]
0 T +1
11=2
Z
2@
u02 (s) + u2 (s) dsA
T 1
0
2@
Z
In
provando-se (1.4).
11=2
u02 (s) + u2 (s) dsA
= 2 kukHn ;
Veri…que-se em seguida se o problema (Pn ) satisfaz a “geometria” do
Teorema da Passagem da Montanha:
Lema 1.2 Suponha-se que as funções a (t) ; b (t) e c (t) satisfazem (1.1).
Então, para n 2 N, o problema (Pn ) tem uma solução positiva un (t): Além
disso, existe uma constante K > 0; tal que
kukHn
independentemente de n:
K;
(1.5)
16
CAPÍTULO 1. SOLUÇÕES HOMOCLÍNICAS POSITIVAS
Demonstração. Considere-se o problema modi…cado
u00 (t)
a (t) u(t) + b (t) u2 (t) + c (t) u3+ (t) = 0; t 2 ]
u ( n ) = u (n )
n ; n [;
; (Pn+ )
sendo u+ = maxfu; 0g.
As soluções de (Pn+ ) são soluções não negativas de (Pn ). Caso contrário,
se u (t) fosse solução de (Pn+ ) com um mínimo negativo em t0 2] n ; n [;
obtinha-se a contradição
0 = u00 (t0 )
a (t0 ) u (t0 ) + b (t0 ) u2 (t0 ) > 0:
Portanto u (t) 0; para todo o t 2] n ; n [: Como u3+ = u3 ; se u for solução
de (Pn+ ) então também será solução de (Pn ).
Para provar a existência de solução do problema (Pn+ ), considere-se o
funcional fn : Hn ! R; de…nido por
fn (u) =
Z
1 02
u + a (t) u2
2
1
b (t) u3
3
1
c (t) u4+
4
dt:
In
Os pontos críticos de fn são soluções fracas de (Pn+ ), provando-se pela teoria
de regularidade que são mesmo soluções clássicas.
De seguida justi…ca-se que o funcional fn veri…ca as condições do Teorema
1.1.
Passo 1 . fn satisfaz a condição de Palais Smale (PS).
Considere-se uma sucessão uj Hn e suponha-se que existem constantes
k1 > 0 e j0 tais que para j j0 se tem
jfn (uj )j =
Z
1 02
u + a (t) u2j
2 j
1
b (t) u3j
3
1
c (t) u4j;+
4
dt
k1
2
(1.6)
In
e
jfn0 (uj )j
=
Z
In
2
u02
j + a (t) uj
b (t) u3j
c (t) u4j;+ dt
jjuj jjHn :
(1.7)
1.2. SOLUÇÕES HOMOCLÍNICAS POSITIVAS
17
De…na-se A^ := minf1; A1 g: Então, por (1.6) e (1.7), tem-se que
Z
Z
1
1
3
b (t) uj dt +
c (t) u4j;+ dt
k1 + jjuj jjHn
3
2
In
In
Z
1
b (t) u3j + c (t) u4j;+ dt
3
In
e
A^ jjuj jj2Hn
Z h
k1
A^
^
1 u02
j + A
a (t) u2j
In
+
Z
i
dt+
1
2
b (t) u3j + c (t) u4j;+ dt
3
2
In
Z
Z
1
2
3
b (t) uj dt +
c (t) u4j;+ dt
3
2
In
In
Z
2
b (t) u3j + c (t) u4j;+ dt 2 (k1 + jjuj jjHn ) :
3
In
Assim obtem-se
A^ jjuj jj2Hn
2 jjuj jjHn
e
jjuj jjHn
1+
3 k1
0
p
^ 1
1 + 3Ak
:
A^
Portanto (uj ) é uma sucessão limitada e (uj ) tem uma subsucessão convergente em Hn , pela inclusão compacta Hn C (In ) :
Passo 2 . Condições geométricas.
Para o funcional fn tem-se fn (0) = 0 e, por (1.1),
fn (u)
Z
A^
A1
2
jjujjHn + u2
4
4
1
B2 juj
3
1
C2 u2
4
In
Para
p
4B22 + 9A1 C2
juj =
3C2
2B2
>0
dt:
(1.8)
18
CAPÍTULO 1. SOLUÇÕES HOMOCLÍNICAS POSITIVAS
obtem-se fn (u)
tem-se
^
A
jjujj2Hn :
4
Por (1.4), se jjujjHn =
:=
p
4B22 +9A1 C2 2B2
;
6C2
A^ 2
> 0:
4
Considere-se u1 (t) 2 H1 tal que u1 ( 1) = u1 (1) = 0 e u1 (t) > 0 para
t 2] 1; 1[: De…na-se a função
fn (u)
u
b1 (t) =
u1 (t) se
t 2 [ 1; 1]
:
0
se t 2 [ n ; n ]n[ 1; 1]
Para su…cientemente grande é fácil veri…car que fn (b
u1 ) < 0:
Então, pelo Teorema da Passagem da Montanha, há uma solução un 2 Hn
que é ponto crítico de fn e cujo valor crítico dn é caracterizado por
dn = fn (un ) = inf max fn ( ( )) e fn0 (un ) = 0;
2
n
2[0;1]
(1.9)
sendo
n
= f (t) 2 C ([0; 1] ; Hn ) :
(0) = 0; (1) = u^1 (t)g :
Utilizando a caracterização variacional (1.9), pode-se concluir que
dn
A^ 2
> 0:
4
Portanto, un é uma solução clássica de (Pn ), não trivial e positiva.
Passo 3 Estimações uniformes.
Sejam m e n tais que m n 1: Recorrendo a prolongamentos contínuos
por constantes, tem-se Hn
Hm e n
m : Pela condição (1.9) obtem-se
dm dn d1 , pelo que
Z
1
1
1 02
un ) + a (t) u2n
b (t) u3n
c (t) u4n dt d1 :
(1.10)
dn =
2
3
4
In
Multiplicando a equação diferencial
u00n (t)
a (t) un (t) + b (t) u2n (t) + c (t) u3n (t) = 0
por un e integrando por partes, tem-se
Z
Z
02
2
un + a (t) un dt =
In
In
b (t) u3n + c (t) u4n dt:
1.2. SOLUÇÕES HOMOCLÍNICAS POSITIVAS
Então, por (1.10),
Z
1
2
u02
d1 >
n + a (t) un dt
2
In
=
1
6
Z
2
u02
n + a (t) un dt
In
obtendo-se (1.5) com K =
q
1
3
Z
19
b (t) u3n + c (t) u4n dt =
In
A^
jjun jj2Hn ;
6
6 d1
^ :
A
Teorema 1.2 Suponha-se que as funções a (t) ; b (t) e c (t) veri…cam as condições
(1.1) e (1.2). Então o problema (P ) tem uma solução homoclínica positiva.
Demonstração. Para n 2 N arbitrário, considere-se a solução un do
problema (Pn ), cuja existência é garantida pelo Lema 1.2.
Por (1.5) e pela imersão de Hn em C (In ), existe uma constante k2 tal
que kun kC k2 : Assim, pela equação de (Pn ), tem-se que ku00n kC k3 ; o que
implica que kun kC 2 k4 ; sendo k2 ; k3 e k4 constantes positivas independentes
de n:
Considere-se a extensão periódica de un a R e representemo-la pela mesma
notação. Então un é uma solução periódica de (P ), de período 2n :
Pelas estimações já obtidas, existe uma subsucessão de un que converge
2
(R) para uma solução u de (P ), que veri…ca
em Cloc
Z+1
u02 (t) + u2 (t) dt < +1:
(1.11)
1
Falta, pois, provar que u é não nula e que u( 1) = u0 ( 1) = 0:
Tome-se tn 2 In um ponto onde un atinge o seu valor máximo. Como
un (tn ) 0 e u00n (tn ) 0; pela equação de (P ),
0
u00n (tn ) = un (tn ) a(tn )
b(tn )un (tn )
c(tn )u2n (tn )
e, pelas condições (1.1) e (1.2), o factor de segundo grau será não positivo
para
p
b2 (tn ) + 4 c(tn ) a(tn ) b(tn )
un (tn )
2 c(tn )
p
2
B1 + 4C1 A1 B2
:= k5 > 0;
(1.12)
2C2
20
CAPÍTULO 1. SOLUÇÕES HOMOCLÍNICAS POSITIVAS
com k5 uma constante positiva independente de n.
Represente-se por Hn o espaço das extensões periódicas das funções de
Hn e por fn o funcional de…nido em Hn por fn (u) = fn (u jIn ): Observe-se
que, como as funções coe…cientes a(t); b(t) e c(t) são funções periódicas com
período 2 , se un (t) for uma solução periódica de (P ), com período 2n ,
então un (t + 2j ) será também uma solução periódica com o mesmo período
2n , para qualquer j 2 Z.
Além disso, com uma mudança conveniente de variável, veri…ca-se que o
funcional fn (u) é invariante pela translação de t para t + 2j ; isto é,
fn (u(t + 2j )) = fn (u(t)) = fn (u(t)):
Assim, substituindo, se necessário, un (t) por um certo un (t + 2jn ) obtêm-se
ainda soluções de (P ), 2n -periódicas, que satisfazem as estimações obtidas
anteriormente por via variacional, e tais que os seus maximizantes tn estão
no intervalo [ ; ] :
Portanto, pode considerar-se uma sucessão tn tal que tn ! t0 em [ ; ] :
Pela convergência uniforme de un no intervalo [ ; ] e por (1.12), tem-se
que u(t0 ) k5 > 0: Então, a solução u(t) de (P ) é positiva e não trivial.
Aplicando o Lema 1.1 e (1.11), obtem-se
lim
max
T ! 1 t2[T 1;T +1]
ju(t)j
lim 2
T ! 1
T +1
Z
u02 (t) + u2 (t) dt = 0;
(1.13)
T 1
pelo que u( 1) = 0:
Para justi…car que u0 ( 1) = 0; observe-se que, pelas condições sobre as
funções coe…cientes dadas por (1.1), existe M > 0 tal que ju00 (t)j M para
t 2 R.
Suponha-se então, por contradição, que u0 (+1) 6= 0 (o caso em que
u0 ( 1) 6= 0 é análogo).
Então, existe " > 0 e uma sucessão n ! +1 tal que ju0 ( n )j "; para
"
todo o n: Pelo Teorema de Lagrange, para t 2] n ; n + [; com 2 0; 2M
;
obtem-se
ju0 (t)j
ju0 (
"
n )j
ju0 (
ju00 ( n )j j
n)
n
u0 (t)j
tj
"
M
"
> :
2
1.3. SIMETRIA DE SOLUÇÕES HOMOCLÍNICAS POSITIVAS
Assim
Zn +
u02 (t) dt
21
"2
;
2
n
o que está em contradição com a igualdade dada por (1.13).
Observe-se que no caso de a(t); b(t) e c(t) serem funções constantes positivas, a condição (1.2) veri…ca-se trivialmente e existe uma solução homoclínica
positiva para a equação
u00 (t)
au(t) + bu2 (t) + cu3 (t) = 0:
Obviamente que, neste caso de coe…cientes constantes, o problema (P ) pode
também ser estudado utilizando o plano de fase.
Porpexemplo, para a = b = c = 1; existe uma solução positiva estacionária
u0 = 52 1 , no interior das órbitas periódicas (u; u0 ) e tendendo para uma
solução homoclínica positiva.
1.3
Simetria de Soluções Homoclínicas Positivas
Aplicando o método apresentado na secção anterior, consegue-se provar
a existência de soluções homoclínicas, positivas e simétricas do problema (P ),
desde que as funções coe…cientes satisfaçam hipóteses adequadas.
Com o objectivo de utilizar um lema técnico devido a Korman e Ouyang,
[KO], de…ne-se de seguida sub e sobre-soluções do problema de Dirichlet
u00 (t) + f (t; u(t)) = 0; t 2]a; b[;
u (a) = u (b) = 0;
com f 2 C ([a; b]
(1.14)
R).
De…nição 1.2 (i) Uma função
sobre-solução de (1.14) se
00
(t) 2 C 2 (]a; b[) \ C ([a; b]) diz-se uma
(t) + f (t; (t)) 0; t 2 ]a; b[ ;
(a) 0; (b) 0:
(1.15)
22
CAPÍTULO 1. SOLUÇÕES HOMOCLÍNICAS POSITIVAS
(ii) Uma função
(t) 2 C 2 (]a; b[) \ C ([a; b]) é uma sub-solução de (1.14) se
00
(t) + f (t; (t)) 0; t 2 ]a; b[ ;
(a) 0; (b) 0:
(1.16)
Para estabelecer uma “relação de ordem”entre a sub e sobre-solução pode
recorrer-se, por exemplo, a Bernfeld e Lakshmikantham [BL].
Lema 1.3 Sejam
mente, tais que
(t) e
(t) sub e sobre-soluções de (1.14), respectiva(t)
(t) , 8t 2]a; b[;
(1.17)
e (t) 6
(t) : Se pelo menos uma das inequações diferenciais, (1.15) ou
(1.16), for estrita então (t) > (t), para t 2 ]a; b[ :
Demonstração. Considere-se 00 (t) + f (t; (t)) < 0; para t 2 ]a; b[ ; e
suponha-se que existe t 2 ]a; b[ tal que (t) = (t).
De…na-se
min [ (t)
(t)] := (t0 )
(t0 ) :
t2]a;b[
Assim, por (1.17),
0
(t0 ) = 0 (t0 ) e
(t0 ) =
(t0 ) e, pelo facto de t0 ser um ponto interior,
00
(t0 )
00
(t0 )
(1.18)
0:
Então, pela De…nição 1.2,
00
(t0 ) <
f (t0 ; (t0 )) =
f (t0 ; (t0 ))
00
(t0 ) ;
o que está em contradição com (1.18). Portanto (t) > (t) ; 8t 2]a; b[:
O caso em que 00 (t) + f (t; (t)) > 0; com t 2 ]a; b[ ; é demonstrado de
modo análogo.
Particularizando o problema (1.14), considere-se
u00 (t) + f (t; u(t)) = 0; para t 2]
u ( T ) = u (T ) = 0;
com f 2 C 1 ([ T; T ]
T; T [;
(1.19)
R+ ) e
f ( t; u) = f (t; u) ; para t 2] T; T [ e u > 0;
f (t; 0) = 0; para t 2] T; T [;
t ft0 (t; u) < 0; para t 2] T; T [nf0g e u > 0:
(1.20)
(1.21)
(1.22)
1.3. SIMETRIA DE SOLUÇÕES HOMOCLÍNICAS POSITIVAS
23
Lema 1.4 ([KO]) Considere-se uma função f 2 C 1 ([ T; T ] R+ ) que veri…que as condições (1.20), (1.21) e (1.22). Então toda a solução positiva
u(t) do problema (1.19) é uma função par tal que u0 (t) < 0; para t 2]0; T ]:
Demonstração. Seja u(t) uma solução positiva de (1.19).
Passo 1 : u(t) tem um único máximo (que é máximo absoluto) em ] T; T [:
Suponha-se, por contradição, que u(t) admite mais que um máximo relativo. Então u(t) terá alguns pontos de mínimo relativos.
Considere-se que existem minimizantes não negativos (para o caso de
serem todos negativos o processo é idêntico) e designe-se por t0 o maior
minimizante em [0; T [: Tome-se t1 2]t0 ; T [ tal que u(t0 ) = u(t1 ) e seja t o
maximizante em ]t0 ; t1 [:
A função u(t) é decrescente em [t; T ] (porque se o não fosse existiria outro
mínimo relativo), isto é,
u0 (t)
0; 8t 2 [t; T ]:
(1.23)
Observe-se que, pelo Lema 1.3, u(t) é estritamente decrescente em [t; T ]; ou
seja, u0 (t) < 0; para todo o t 2 [t; T ]: De facto, como u(t) é solução de (1.19) e
f 2 C 1 ([ T; T ] R+ ) ; derivando ambos os membros da equação diferencial
em ordem a t; obtem-se, por (1.22),
u000 (t) + fu0 (t; u) u0 (t) =
ft0 (t; u) > 0; para t > 0:
(1.24)
De…nindo w(t) := u0 (t) e considerando o problema
w00 (t) + fu0 (t; u) w(t) = 0; para t 2]t; T [;
w t = w (T ) = 0
(1.25)
obtem-se que (t)
0 é uma sobre-solução de (1.25) e (t) = u0 (t) é uma
sub-solução do problema (1.25), porque
u000 (t) + fu0 (t; u) u0 (t) > 0, por (1.24),
u0 (t) = 0, pois t 2]0; T [ é maximizante,
u0 (T ) 0; por (1.23).
Como u(t) não é constante no intervalo t; T então u0 (t) 6 0 e pelo Lema
1.3, u0 (t) < 0; para t 2]t; T ]:
Justi…cada a injectividade de u(t) para t 2 [t; T ]; estude-se agora a invertibilidade de u(t) em [t0 ; t]:
24
CAPÍTULO 1. SOLUÇÕES HOMOCLÍNICAS POSITIVAS
Por de…nição de t0 e t; tem-se que u0 (t) 0; qualquer que seja t 2 [t0 ; t]:
Mesmo que exista um intervalo ]a; b[ ]t0 ; t[ em que u(t) seja constante, isto
é, u (t) u^ e u0 (t) = 0; para todo o t 2 [a; b], é possível considerar u0 (t) > 0;
para todo o t 2 t0 ; t n [a; b] :
Representando u0 := u(t0 ) = u(t1 ) e u := u(t); pode, sem perda de
generalidade, de…nir-se (u) como a função inversa de u(t) do seguinte modo:
1 (u) é a função inversa de u(t) em t0 ; t n[a; b]; de…nida por ramos,
1
e
(u) ; se u 2 [u0 ; u^]
u; u]
12 (u) ; se u 2]^
11
(u) =
a função inversa de u(t) em [t; T ]:
A função 1 (u) é seccionalmente contínua em [u0 ; u] e
2 (u)
1
(u) <
2
(u) ; 8u 2 [u0 ; u] :
(1.26)
Multiplicando a equação de (1.19) por u0 ; integrando em [t0 ; t1 ] e utilizando
uma mudança de variável conveniente obtem-se, por (1.22) e (1.26), a seguinte
contradição,
1 02
u (t1 ) =
2
0
Zt1
f (t; u) u0 dt =
t0
=
Za
f (t; u) u0 dt +
t0
=
Zt
f (t; u) u0 dt +
b
Zu^
f(
Zu
(f (
11
(u) ; u) du +
u0
=
Zt1
f (t; u) u0 dt =
t
Zu
f(
12
(u) ; u) du
u
^
1
(u) ; u)
f(
2
Zu
f(
2
(u) ; u) du =
u0
(u) ; u)) du > 0:
u0
Portanto, u(t) só pode ter um único máximo em ]
T; T [:
Passo 2 : Toda a solução positiva de (1.19) é uma função par.
Suponha-se, por contradição, que u0 (0) > 0: Então o valor máximo u(t)
é atingido em t > 0:
De…nindo a função v(t) := u( t); observe-se que v(t) satisfaz as seguintes
propriedades:
1.3. SIMETRIA DE SOLUÇÕES HOMOCLÍNICAS POSITIVAS
25
v(t) = u( t) é solução do problema (1.19), por (1.20).
v(t) tem, tal como u(t); o máximo u :=. Além disso, v 0 (0) =
v(0) = u(0) := u
e0 :
u0 (0) e
ju0 (T )j > jv 0 (T )j :
De facto, se se admitir que u0 (T ) v 0 (T ); como u(t) e v(t) têm o mesmo
máximo, então existe um intervalo [ ; T ] e uma função diferenciável
: [ ; T ] ! [ ; T ] veri…cando
(t) > t; 8t 2 ] ; T [ ;
( ) = ;
(T ) = T;
tais que u( ) = v ( ( )) e u(T ) = v ( (T )) :
Como u(t) e v(t) são soluções de (1.19), subtraindo membro a membro,
obtem-se, por (1.22),
u00 (t)
v 00 ( (t)) = f ( (t); u)
f (t; u) < 0; 8t 2 ] ; T [ :
(1.27)
Pelo teorema do valor médio de Lagrange, é possível encontrar um valor
2 ] ; T [ tal que 0 ( ) = 1 e 00 ( ) 0: Para este tem-se que
u00 ( ) = v 00 ( ( )) + v 0 ( ( ))
00
( )
v 00 ( ( )) ;
o que contradiz (1.27). Então u0 (T ) > v 0 (T ):
Existe um
2]t; T [ tal que
ju0 ( )j < ju0 (0)j = jv 0 (0)j :
(1.28)
A igualdade resulta directamente da de…nição de v(t): Para demonstrar
a desigualdade considere-se um ponto > t tal que u( ) = u(0) := u
e0 :
Represente-se por t1 (u) a função inversa de u(t); para t 2]0; t[; e por
t2 (u) a função inversa de u(t); para t 2]t; [: Multiplicando a equação
de (1.19) por u0 , integrando em [0; ] e aplicando uma mudança de
variável, tem-se
1 02
u ( )
2
02
u (0) +
Zu
u
e0
[f (t1 (u); u)
f (t2 (u); u)] du = 0:
26
CAPÍTULO 1. SOLUÇÕES HOMOCLÍNICAS POSITIVAS
Como t1 (u) < t2 (u) ; para todo o u 2 [e
u0 ; u] ; por (1.22), o integral é
02
02
estritamente positivo. Assim u ( ) u (0) < 0; provando-se (1.28):
Represente-se agora por t3 (v) a função inversa de v(t); para t 2]0; T [; e
por t4 (u) a função inversa de u(t); para t 2] ; T [: Multiplicando a equação de
(1.19) por u0 , integrando em [ ; T ] e com uma mudança de variável, obtem-se
1 02
u (T )
2
u02 ( ) +
Z0
f (t4 (u); u) du = 0:
u
e0
Aplicando o mesmo processo para v(t) solução de (1.19) e integrando em
[0; T ]; ter-se-á
1 02
v (T )
2
02
v (0) +
Z0
f (t3 (v); v) dv = 0:
u
e0
Subtraindo membro a membro estas duas expressões, obtem-se a contradição
1 02
u (T )
2
v 02 (T ) +
1 02
v (0)
2
u02 ( ) +
+
Zue0
[f (t4 ( ); )
f (t3 ( ); )] d = 0;
0
já que, pelas propriedades anteriores veri…cadas por v(t); as duas primeiras
parcelas são positivas, por (1.22) e pela relação t3 (v) < t4 (u) resulta que o
integral também é positivo.
Então u0 (0) 0:
Supondo agora u0 (0) < 0; o valor máximo u(t) é atingido para t < 0 e,
por um raciocínio análogo, obtem-se uma contradição semelhante.
Portanto, u0 (0) = 0, isto é, o único máximo de u(t) só pode ser atingido
para t = 0; pelo que a solução positiva u(t) coincide com v(t) := u( t), ou
seja, u(t) é uma função par, concluindo-se a demonstração do Passo 2.
Utilizando argumentos semelhantes aos aplicados no Passo 1, prova-se
que u0 (t) < 0; para t 2]0; T ].
1.3. SIMETRIA DE SOLUÇÕES HOMOCLÍNICAS POSITIVAS
27
Suponha-se agora que as funções coe…cientes do problema (P ), a(t); b(t)
e c(t) são funções diferenciáveis que satisfazem (1.1) e tais que
(1.29)
a (t) = a ( t) ; b (t) = b ( t) ; c (t) = c ( t)
e
t a0 (t) > 0; t b0 (t)
0; t c0 (t) < 0:
(1.30)
Tal como anteriormente, considere-se o problema aproximado
u00 (t)
a (t) u(t) + b (t) u2 (t) + c (t) u3 (t) = 0; se t 2 [ T; T ]
u ( T ) = u (T ) = 0:
(HT )
O objectivo é, pois, provar, utilizando métodos variacionais, a existência de
soluções para (HT ), com T > 0: Para tal são obtidas majorações uniformes
para essas soluções, passando-se depois ao limite quando T ! +1:
Lema 1.5 Suponha-se que as funções a (t) ; b (t) e c (t) satisfazem (1.1),
(1.29) e (1.30). Então, para qualquer T
1; o problema (HT ) tem uma
0
única solução positiva uT (t) : Além disso uT (t) < 0 para t 2 [0; T ] e existe
uma constante K > 0; independente de T; tal que
ZT
2
u02
T (t) + uT (t) dt
(1.31)
K.
T
Demonstração. Como são pretendidas soluções positivas, considera-se
o problema modi…cado
u00 (t)
a (t) u(t) + b (t) u2 (t) + c (t) u3+ (t) = 0; se t 2]
u ( T ) = u (T ) = 0;
T; T [;
e o funcional
fT (u) =
ZT
1 02
u + a (t) u2
2
1
b (t) u3
3
1
c (t) u4
4
dt;
T
de…nido no espaço de Sobolev
HT = H10 ( T; T ) = u 2 H1 ( T; T ) : u ( T ) = u (T ) = 0 ;
(H+
T)
28
CAPÍTULO 1. SOLUÇÕES HOMOCLÍNICAS POSITIVAS
RT
provido da norma jjujjT =
!1=2
(u02 (t) + u2 (t)) dt
T
:
Com argumentos idênticos aos utilizados nos Passos 1 e 2 do Lema 1.2
e pelo Teorema da Passagem da Montanha, pode concluir-se a existência de
uma solução uT 2 HT do problema (HT ) tal que
cT = fT (uT ) = inf max fT ( ( )) e fT0 (uT ) = 0;
2
T
2[0;1]
sendo T a habitual classe de caminhos em HT :
Utilizando a caracterização variacional de cT ; obtem-se a majoração (1.31),
seguindo a técnica indicada pelo Passo 3 do Lema 1.2.
Pelas condições (1.29) e (1.30) a função
f (t; u) =
a (t) u + b (t) u2 + c (t) u3 :
veri…ca as hipóteses do Lema 1.4. Então uT é estritamente positiva em [0; T [
e é uma função par com u0T (t) < 0; para t 2]0; T ]
Teorema 1.3 Se as condições (1.1), (1.29) e (1.30) forem válidas, então
o problema (P ) tem exactamente uma solução positiva. Além disso, essa
solução u(t) é uma função par tal que u0 (t) < 0; para t 0
Demonstração. Considere-se uma sucessão Tn tal que Tn ! +1: Pelo
Lema 1.5, para cada n; existe uma solução positiva un do problema (Pn ) e
existe um K > 0 tal que
ZTn
2
u02
n (t) + un (t) dt
K;
Tn
independentemente de n:
De…na-se a extensão de un a R, que toma o valor 0 em Rn [ Tn ; Tn ] e que
se representa pelo mesmo símbolo, isto é,
un (t) :=
un (t) se
t 2 [ Tn ; Tn ]
:
0
se t 2 Rn [ Tn ; Tn ]
Seguindo argumentos análogos aos utilizados na demonstração do Teorema
2
1.2, conclui-se que, pelo menos para uma subsucessão, un ! u em Cloc
(R):
1.3. SIMETRIA DE SOLUÇÕES HOMOCLÍNICAS POSITIVAS
29
Além disso, pelo Lema 1.4, t = 0 é um maximizante de un : Quanto ao valor
máximo, uma vez que
un (0)
a (0)
b (0) un (0)
c (0) u2n (0)
= u00n (0)
0,
pode concluir-se que
un (0)
b (0) +
p
b2 (0) + 4 a (0) c (0)
:=
2 c (0)
1
> 0:
Como as funções un (t) são funções pares que admitem um único máximo em
t = 0; então o mesmo sucede com a função u(t): Seguindo os argumentos
do Lema 1.4, por diferenciação da equação do problema (P ), obtem-se que
u0 (t) < 0; para t > 0:
Para provar a unicidade, suponha-se que u e v são duas soluções positivas
do problema (P ), pares e tais que u0 (t) < 0 e v 0 (t) < 0 se t > 0. Então,
multiplicando a equação de (P ) por u e por v e subtraindo termo a termo,
obtem-se
Z+1
uv b(t) (u v) + c(t) u2 v 2 dt = 0;
isto é,
1
Z+1
uv (u
(1.32)
v) [b(t) + c(t) (u + v)] dt = 0:
1
Atendendo a que u e v são positivas, b(t) 0 e c(t) > 0; por (1.32), conclui-se
que u e v não podem estar ordenados, isto é, o sinal de u v não pode ser
constante. Portanto, u e v têm de se intersectar.
Dois casos são possíveis: ou se intersectam em pelo menos dois pontos
positivos ou u(t) e v(t) têm um único ponto positivo em comum.
No primeiro caso, considerem-se 2 > 1 > 0 as abcissas consecutivas de
dois pontos comuns a u e v: Além disso suponha-se, sem perda de generalidade, que
u(t) < v(t); 8t 2] 1 ; 2 [:
(1.33)
Multiplicando a equação de (P ) por u0 e integrando de
1 02
u ( 2)
2
02
u ( 1) +
Z2
1
1
a
2;
tem-se
a (t) u u0 + b (t) u2 u0 + c (t) u3 u0 dt = 0:
30
CAPÍTULO 1. SOLUÇÕES HOMOCLÍNICAS POSITIVAS
Represente-se por t = t (u) a função inversa de u(t) em ] 1 ;
uma mudança de variável, obter-se-á
1 02
u ( 2)
2
u02 ( 1 ) +
Zu2
2 [:
Então, com
a (t (u)) u + b (t (u)) u2 + c (t (u)) u3 du = 0;
u1
onde u2 = u( 2 ) e u1 = u( 1 ): Analogamente para v(t); designando por
t = (v) a função inversa de v(t) em ] 1 ; 2 [; obtem-se a igualdade
1 02
v ( 2)
2
02
v ( 1) +
Zu2
a ( (v)) v + b ( (v)) v 2 + c ( (v)) v 3 dv = 0:
u1
Subtraindo termo a termo obtem-se
1 02
u ( 2)
2
1
v ( 2 ) + v 02 ( 1 )
2
02
Zu2
u ( 1 ) + ([a ( ( ))
02
a (t ( ))] ) d
u1
Zu2
+ ([b (t ( ))
b ( ( ))]
2
+ [c (t ( ))
c ( ( ))]
3
) d = 0;
u1
o que constitui uma contradição pelos seguintes factos:
as duas primeiras parcelas são negativas, pelo teorema de unicidade
para problemas de valor inicial e por (1.33);
como
u2 < u1 , pois 2 > 1 e u0 (t) < 0; para t
pelo que u( 2 ) < u( 1 );
( ) > t ( ); para todo
0; isto é, u(t) é decrescente,
2]u2 ; u1 [; por (1.33);
a ( ( )) > a (t ( )) ; b (t ( )) > b ( ( )) e c (t ( )) > c ( ( )) ; pois
para t > 0; por (1.30), a(t) é estritamente crescente, enquanto b(t) e
c(t) são estritamente decrescentes;
então os integrais são negativos.
No segundo caso, isto é, se 1 for o único ponto de intersecção, aplicam-se
os mesmos argumentos, integrando de 1 a +1 e obtendo-se uma contradição
semelhante.
1.3. SIMETRIA DE SOLUÇÕES HOMOCLÍNICAS POSITIVAS
31
Então não é possível estabelecer uma relação de ordem estrita entre u(t)
e v(t), nem os pontos de intersecção são pontos isolados. Portanto u e v são
coincidentes.
Para provar que u( 1) = u0 ( 1) = 0; utilizam-se argumentos análogos
aos aplicados na demonstração do Teorema 1.2.
32
CAPÍTULO 1. SOLUÇÕES HOMOCLÍNICAS POSITIVAS
CAPÍTULO 2
Problema Periódico de Segunda
Ordem em Ressonância Dupla
2.1
Introdução
Neste capítulo estuda-se a existência de soluções periódicas da equação
u00 (t) + a (t) u(t) + g(t; u(t)) = 0;
(E)
com a (t) uma função positiva, contínua e periódica, de período 2 : A não
linearidade g : [0; 2 ] R ! R é uma função mensurável que veri…ca as
“condições de Carathéodory”. São obtidos dois resultados que derivam das
diferentes condições assumidas para a variação da função-coe…ciente a (t) :
Inicialmente admite-se que a (t)
1, veri…cando-se a desigualdade estrita
num subconjunto de [0; 2 ] de medida não nula. Posteriormente considera-se
uma situação comummente designada como de dupla ressonância não uniforme, isto é, a função a (t) pode interferir com valores próprios consecutivos
do operador linear associado à equação (E).
A existência de soluções periódicas de (E) é garantida por um teorema do
Ponto Sela, devido a Silva [Si], e segue argumentos utilizados por Grossinho
e Tersian [GT] e por Grossinho, Minhós e Tersian [GMT1] e [GMT3].
O resultado apresentado generaliza Grossinho e Sanchez [GS], em que a
função a (t) não pode tocar os valores próprios do operador linear associado,
m2 e (m + 1)2 ; e cuja não linearidade assume a forma particular de
g(t; u(t)) =
b(t) u2 (t) + c(t) u3 (t):
33
34
2.2
CAPÍTULO 2. PROBLEMA PERIÓDICO DE 2A ORDEM
Resultados Preliminares
As soluções periódicas de (E) são obtidas como pontos críticos de um
funcional, recorrendo-se para tal ao conceito de derivada à Gâteaux e a um
Teorema do Ponto Sela, que se revêem em seguida.
De…nição 2.1 Um funcional f : E ! R; de…nido num conjunto aberto do
espaço normado E; diz-se derivável à Gâteaux no ponto u0 2 E se existe uma
aplicação linear contínua, f 0 (u0 ), de E para R, tal que
(f 0 (u0 ); v) = lim
f (u0 + v)
!0
f (u0 )
; 8v 2 E.
Teorema 2.1 (Teorema do Ponto Sela) Seja E = X1 X2 um espaço
de Banach real, com X1 um subespaço de dimensão …nita. Suponha-se que o
funcional f 2 C 1 (E; R) satisfaz:
(i) f (u) 0; para todo u 2 X1 ;
(ii) Existe > 0 tal que f (u) 0; para todo o u 2 X2 com jjujjE = ;
(iii) Existem 2 X2 e 2 R tais que jj jjX2 = 1 e f (u)
, para todo
+
u 2 X1 R :
Se f veri…ca a condição de Palais-Smale, (P S), então f tem um ponto crítico
não nulo em E.
Ao longo desta secção considera-se o espaço de Sobolev E := H12 (0; 2 );
formado pelas funções reais u absolutamente contínuas de…nidas em [0; 2 ],
tais que u(0) = u(2 ) e u0 2 L2 (0; 2 ): Considera-se E munido do produto
interno habitual
Z2
hu; vi = [u0 (t) v 0 (t) + u(t) v(t)] dt
0
e da correspondente norma
jjujj2E =
Z2
u02 (t) + u2 (t) dt:
(2.1)
0
Pelas igualdades de Euler e pelo desenvolvimento de u 2 E em série de Fourier
pode escrever-se
X
u(t) =
ck eikt
k2Z
2.2. RESULTADOS PRELIMINARES
com ck =
obtem-se
p1
2
R2
ikt
u(t) e
dt; c
35
= ck e
k
P
k2Z
0
jjujj22 =
X
k2Z
(1 + k 2 ) jck j2 < 1: Assim,
jck j2
e a norma considerada em E pode escrever-se na forma
X
jjujj2E =
1 + k 2 jck j2 :
k2Z
Proposição 2.1 (Desigualdade de Wirtinger) Seja u 2 H12 (0; 2 ) uma função
tal que
Z2
u(t) dt = 0:
0
Então
Z2
Z2
2
u (t) dt
0
u02 (t) dt
0
Demonstração. Pelo desenvolvimento de u em série de Fourier, como
R2
u(t) dt = 0 tem-se que
0
u(t) =
X
ck eikt e u0 (t) =
k2Znf0g
X
ik ck eikt :
k2Znf0g
Pela igualdade de Parseval resulta que
Z2
0
u2 (t) dt =
X
k2Znf0g
2
jck j
e
Z2
u02 (t) dt =
0
X
k2Znf0g
k 2 jck j2 ;
donde se conclui a desigualdade pretendida.
Para m 2 N0 de…nam-se os subconjuntos de E , X1 e X2 ; dados por
8
9
<
=
X
X1 =
u2E:u=
ck eikt ; c k = ck ,
(2.2)
:
;
2
2
k m
8
9
<
=
X
ikt
X2 =
u2E:u=
ck e ; c k = ck :
(2.3)
:
;
2
2
k
(m+1)
36
CAPÍTULO 2. PROBLEMA PERIÓDICO DE 2A ORDEM
Para cada m 2 N0 o espaço E pode ser decomposto na soma ortogonal
E = X1
X2 ;
pelo que qualquer u 2 E pode ser escrito na forma u = u1 + u2 com u1 2 X1
e u2 2 X2 :
Note-se que para m = 0 o conjunto X1 é formado por funções constantes,
isto é, pode identi…car-se X1 com R, sendo X2 constituído pelas funções
u 2 E de valor médio nulo, ou seja
8
9
Z2
<
=
X2 = u 2 E : u(t) dt = 0 :
:
;
0
Pela desigualdade de Wirtinger é possível considerar em X2 uma norma
equivalente a (2.1) dada por
ku2 kX2 =
Z2
u02
2 (t) dt:
(2.4)
0
Tome-se agora em linha de conta a localização da função a(t) em relação
aos valores próprios do operador linear Lu = u00 , com condições periódicas na
fronteira, a qual desempenha um papel importante nos argumentos a utilizar.
Recorrendo ao desenvolvimento de u 2 E em séries de Fourier, prova-se,
por processos usuais, que o problema linear de valores próprios
8 00
< u (t) = u(t)
u(0) = u(2 )
: 0
u (0) = u0 (2 )
admite uma sucessão de valores próprios m em que m = m2 ; com m 2 N0 .
Para m 1 o espaço próprio correspondente Em é gerado por
fcos (mt) ; sen (mt)g
e para m = 0 tem-se E0 = R:
Nos próximos resultados estudam-se duas situações para a localização da
função a(t): Em primeiro lugar estuda-se o caso em que a(t) veri…ca
a(t) . 1
2.2. RESULTADOS PRELIMINARES
37
em que a relação \ . " tem o sentido de \ " mas com desigualdade estrita
válida num subconjunto de [0; 2 ] com medida positiva, e, posteriormente, a
situação em que
m . a(t) . m+1 :
Num e noutro caso a relação “. " garante a invertibilidade do operador
linear
Lu = u00 + a(t)u;
com condições periódicas na fronteira.
Utilizando a decomposição do espaço E e a localização da função a(t)
aplicar-se-ão dois resultados sobre a coercividade de formas quadráticas em
H12 (0; 2 ); contidos em [GT], Lemas 4.2 e 4.3, (versões de carácter mais
geral podem ser encontradas em [M2], (Lemme II.2, Lemme II.3)), mas cujas
demonstrações se incluem de modo a autonomizar e a completar os resultados
preliminares deste capítulo.
Lema 2.1 Seja a(t) 2 L1 (0; 2 ) uma função tal que
1
a1 =
2
Z2
a (t) dt > 0
0
e, para t 2 [0; 2 ] ;
a(t) . 1:
Considere-se a decomposição E = R X2 ; em que
8
9
<
=
X
X2 = u 2 E : u =
ck eikt :
:
;
2
k
Então existe
0
1
> 0 tal que, para u 2 E; com u = c0 + u2 ; se tem
Q0 (u) := a1 c20 +
Z2
u02
2 (t)
a (t) u22 (t) dt
2
0 kukE :
0
Demonstração. Passo 1 . Q0 (u) = 0 () u = 0:
Se u = 0 é óbvio que Q0 (u) = 0:
Considere-se então u 2 E, com u = c0 + u2 ; tal que Q0 (u) = 0:
CAPÍTULO 2. PROBLEMA PERIÓDICO DE 2A ORDEM
38
Pela desigualdade de Wirtinger,
Z2
u02
2 (t)
u22 (t) dt
0
0
e, como a(t) . 1; obtem-se
a1 c20
0 = Q0 (u) =
+
Z2
u02
2 (t)
a(t) u22 (t) dt
0
a1 c20 +
Z2
u02
2 (t)
u22 (t) dt
a1 c20
0:
0
Como a1 > 0 então c0 = 0 e
Z2
u02
2
u22 (t)
(t)
dt = 0 =
0
Z2
u02
2 (t)
a (t) u22 (t) dt;
0
pelo que
ku02 k2 = ku2 k2 ;
ou seja
X
k2
1
k2 1
jck j2 = 0:
Então
u2 (t) = c1 eit + c 1 e
it
= A1 cos(t) + B1 sen(t)
o que implica
0=
=
Z2
0
Z2
u02
2 (t)
a (t) u22 (t) dt =
Z2
[1
a (t)] u22 (t) dt =
0
[1
a (t)] (A1 cos t + B1 sen t)2 dt
0
Logo A1 = B1 = 0; pelo que u2 (t) = 0 e então u(t) = 0:
0:
(2.5)
2.2. RESULTADOS PRELIMINARES
39
2
Passo 2 . Existe 0 > 0 tal que Q0 (u)
0 kukE :
Suponha-se, por contradição, que existe uma sucessão un em E tal que
1
:
n
un = c0;n + u2;n , kun kE = 1 e Q0 (un )
Passando, se necessário, a uma subsucessão pode considerar-se que
un * u em E e un ! u em C ([0; 2 ]) :
(2.6)
Representando por h:; :i2 o produto interno em L2 ; pela desigualdade de
Cauchy-Schwarz e por (2.4), obtem-se
hu02;n ; u02 i22 = ku2;n k2X2 ku2 k2X2
e, passando ao limite,
ku2 kX2
lim inf ku2;n kX2 :
(2.7)
Como Q0 (un ) ! 0 tem-se que, por (2.6),
ku2;n k2X2
=
Z2
u02
2;n (t) dt =
0
a1 c20;n +
= Q0 (un )
Z2
a (t) u22;n (t) dt
0
a1 c20 +
!
Z2
a (t) u22 (t) dt:
(2.8)
0
Então, pela desigualdade de Wirtinger e (2.7),
0
Q0 (u) =
=
Z2
a1 c20
u02
2 (t)dt
0
lim inf
+
2
Z2
u02
2 (t)
0
4 a1 c20 +
ku2;n k2X2
a (t) u22 (t) dt =
Z2
0
3
a (t) u22 (t) dt5
lim ku2;n k2X2 = 0:
CAPÍTULO 2. PROBLEMA PERIÓDICO DE 2A ORDEM
40
Assim Q0 (u) = 0 e, pelo Passo 1, u = 0; ou seja c0 = 0 e u2 = 0: Então, por
(2.8), ku2;n kX2 ! 0 e, pela equivalência entre as normas, kun kE ! 0 o que
está em contradição com kun kE = 1.
Lema 2.2 Considere-se m 2 N e a(t) 2 L1 (0; 2 ) tais que
m2 . a(t) . (m + 1)2 :
(2.9)
Admita-se o espaço E := H12 (0; 2 ) decomposto na soma ortogonal associada
a m, E = X1 X2 ; e escreva-se u 2 E na forma u = u1 + u2 com u1 2 X1 e
u2 2 X2 : Então existe m > 0 tal que, para u 2 E; se tem
Qm (u) :=
Z2
a (t) u21 (t)
u22 (t)
02
u02
1 (t) + u2 (t) dt
2
m kukE :
0
Demonstração. Passo 1 . Qm (u) = 0 () u = 0:
Como a condição su…ciente é imediata, justi…ca-se apenas a condição
necessária.
Considere-se u 2 E tal que Qm (u) = 0: Por (2.9) e pelo desenvolvimento
em séries de Fourier , obtem-se
Z2
a (t) u21 (t)
Z2
u02
1 (t) dt
0
m2 u21 (t)
u02
1 (t) dt =
0
=
X
m2
k2 m2
k 2 jck j2
0
e
Z2
u02
2 (t)
Z2
a (t) u22 (t) dt
0
0
=
u02
2 (t)
X
k2 (m+1)2
(m + 1)2 u22 (t) dt =
k2
(m + 1)2 jck j2
0:
2.2. RESULTADOS PRELIMINARES
41
Assim tem-se que
0 = Qm (u) =
Z2
a (t) u21 (t)
u22 (t)
02
u02
1 (t) + u2 (t) dt
0
Z2
m2 u21 (t)
(m + 1)2 u22 (t)
02
u02
1 (t) + u2 (t)
dt
0
0
pelo que
Z2
a (t) u21 (t)
u02
1 (t) dt = 0 =
0
e
Z2
Z2
u02
2 (t)
a (t) u22 (t) dt
0
m2 u21 (t)
u02
1 (t) dt = 0 =
0
Z2
u02
2 (t)
(m + 1)2 u22 (t) dt:
(m + 1)2
a (t) u22 (t) dt:
0
Subtraindo membro a membro obtem-se
Z2
a (t)
m
2
u21
(t) dt = 0 =
0
Z2
(2.10)
0
Destas duas últimas igualdades deduz-se que
u(t) = u1 (t) + u2 (t) =
= cm eimt + c m e imt + cm+1 ei(m+1)t + c (m+1) e i(m+1)t =
= Am cos (mt) + Bm sen (mt) +
+ Am+1 cos ((m + 1) t) + Bm+1 sen ((m + 1) t) ;
o que implica
Am = Bm = Am+1 = Bm+1 = 0;
ou seja, u(t) = 0:
2
Passo 2 . Existe m > 0 tal que, para u 2 E; se tem Qm (u)
m kukE :
Suponha-se, por contradição, que existe uma sucessão un em E tal que
kun kE = 1 e Qm (un )
1
:
n
(2.11)
CAPÍTULO 2. PROBLEMA PERIÓDICO DE 2A ORDEM
42
Passando, se necessário, a uma subsucessão pode considerar-se que
un * u em E e un ! u em C ([0; 2 ]) :
(2.12)
Como X1 tem dimensão …nita,
u1;n ! u1 e u01;n ! u01 em C ([0; 2 ]) :
(2.13)
Representando por h:; :i2 o produto interno em L2 obtem-se, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz e por (2.4),
hu02;n ; u02 i22 = ku2;n k2X2 ku2 k2X2
e, passando ao limite,
ku2 kX2
lim inf ku2;n kX2 :
(2.14)
Por (2.11), tem-se Qm (un ) ! 0 pelo que, por (2.12) e (2.13), se obtem
ku2;n k2X2
=
Z2
u02
2;n (t) dt =
0
Z2
= Qm (un )
a (t) u21;n (t)
u22;n (t)
u02
1;n (t) dt
0
Z2
!
a (t) u21 (t)
u22 (t)
u02
1 (t) dt:
(2.15)
0
Então, por (2.15), (2.4) e (2.14),
0
Qm (u) =
Z2
a (t)
u21
(t)
u22
(t)
u02
1 (t)
0
=
lim
lim
ku2;n k2X2
ku2;n k2X2
dt +
Z2
u02
2 (t)dt =
0
+
ku2 k2X2
+ lim inf ku2;n kX2 = 0:
Logo Qm (u) = 0 e, pelo Passo 1, u = 0: Pela equivalência entre as normas de…nidas em X2 e em E deduz-se que ku2;n kE ! 0: Então, por (2.13),
kun kE ! 0; o que está em contradição com kun kE = 1.
2.3. SOLUÇÕES PERIÓDICAS
2.3
43
Soluções Periódicas
Os resultados desta secção garantem a existência de solução periódica
da equação (E) como ponto crítico de um funcional, admitindo duas possibilidades para a localização da função coe…ciente a(t). No primeiro caso
supõe-se que a(t) veri…ca a(t) . 1 e no segundo teorema analisa-se a situação
em que
m . a(t) . m+1 ;
com m e m+1 dois valores próprios consecutivos do operador linear.
Represente-se por G (t; u) o potencial de g(t; u), isto é,
G (t; u) =
Zu
g (t; v) dv;
0
sendo g : [a; b] R ! R uma função L1 -Carathéodory, ou seja,
(i) g( ; u) é mensurável em [a; b] para cada u 2 R;
(ii) g(t; ) é contínua em R para quase todos os pontos (q.t.p.) t 2 [a; b];
(iii) para cada r > 0 existe uma função r 2 L1 (a; b) tal que
jg(t; u)j
r (t)
para q.t.p. t 2 [a; b] e todo o u 2 R com juj r:
Uma função u 2 E := H12 (0; 2 ) diz-se uma solução fraca 2 -periódica
da equação (E) se
Z2
[u0 (t)v 0 (t)
a (t) u(t)v(t)
g (t; u(t)) v(t)] dt = 0; 8v 2 E.
0
Considerando o funcional f : E ! R dado por
f (u) =
Z2
1 02
u
2
a (t) u2
G (t; u)
dt;
0
veri…ca-se que f 2 C 1 (E; R) : Representando por (:; :) o produto dual entre
E e E , tem-se, para v 2 E,
(f 0 (u); v) =
Z2
0
[u0 (t)v 0 (t)
a (t) u(t)v(t)
g (t; u(t)) v(t)] dt;
CAPÍTULO 2. PROBLEMA PERIÓDICO DE 2A ORDEM
44
pelo que os seus pontos críticos são soluções fracas 2 -periódicas da equação
(E).
Teorema 2.2 Considere-se a(t) 2 L1 (0; 2 ) uma função 2 -periódica tal que
Z2
a(t) . 1 e
a(t) dt > 0:
0
Suponha-se que a função g : [0; 2 ] R ! R veri…ca as seguintes condições:
(g1 ) g(t; v) é uma função L1 -Carathéodory tal que g(t; 0) = 0 para q.t.p.
t 2]0; 2 [;
(g2 ) existem constantes > 2 e r > 0 su…cientemente grande tais que
0<
v g (t; v) ; para jvj
G (t; v)
r e q.t.p. t 2]0; 2 [;
(g3 ) existem "1 ; "2 > 0 e v0 > 0 tais que
G (t; v)
G (t; v)
"1 v 2 ; para v 2 R e q.t.p. t 2]0; 2 [;
"2 v 2 ; para jvj < v0 e q.t.p. t 2]0; 2 [:
Então, se "1 e "2 forem su…cientemente pequenos, a equação (E) tem uma
solução 2 -periódica não trivial.
Demonstração. Considere-se a decomposição E := H12 (0; 2 ) = R X2 ;
em que
8
9
<
=
X
X2 := u 2 E : u =
ck eikt :
:
;
2
k
1
Para cada u 2 E escrito na forma u = c0 + u2 ; com c0 2 R e u2 2 X2 ;
considere-se o funcional
f (u) =
Z2
1 02
u
2
a (t) u2
0
Passo 1 . Para c0 2 R; f (c0 )
0:
G (t; u)
dt;
2.3. SOLUÇÕES PERIÓDICAS
45
Pelo Lema 2.1 e pela hipótese (g3 ) obtem-se que
c20
2
f (c0 ) =
Z2
a (t) dt
0
c20
a0 +
2
Z2
G (t; c0 ) dt
0
Z2
a0
+ 2 "1
2
"1 c20 dt =
c20
0;
0
com a0 > 0 e para "1 su…cientemente pequeno.
Passo 2 Existe > 0 tal que f (u2 ) 0; para u2 2 X2 e jju2 jjE
:
1
1
Representando por K1 a constante da imersão de H2 (0; 2 ) em L (0; 2 );
considere-se := Kv01 , com v0 dado pela condição (g3 ); e u2 2 X2 tais que
ku2 kE < : Então
ku2 k1 K1 ku2 kE < v0
e por (g3 ) tem-se que G(t; u2 ) "2 u22 :
Aplicando o Lema 2.1 para u = u2; isto é, com c0 = 0; tem-se
f (u2 ) =
Z2
1 02
u
2 2
a (t) u22
G (t; u2 )
dt
0
0
2
ku2 k2E
Z2
"2 u22 dt =
0
2
ku2 k2E
"2 ku2 k22
0
0
2
ku2 k2E
0
"2 K2 ku2 k2E =
2
"2 K2 ku2 k2E ;
com K2 > 0: Com "2 su…cientemente pequeno, f (u2 )
ku2 kE
; sendo := Kv01 > 0.
Passo 3 . Existe w(t) 2 X2 com jjwjjE = 1 e
f (u1 + w)
para u1 2 X1 e
De…na-se
;
0 arbitrários:
1
w (t) = p cos t
2
0 para u2 2 X2 e
2 R tais que
CAPÍTULO 2. PROBLEMA PERIÓDICO DE 2A ORDEM
46
e observe-se que w (t) 2 X2 e jjwjjE = 1:
Pela hipótese (g2 ) prova-se por integração que existem q1 ; q2 2 R+ tais
que
q1 juj
G (t; u)
(2.16)
q2 :
Considere-se o subespaço R span fwg e u = c0 + w; com
atendendo a que este subespaço tem dimensão …nita, obtem-se
f (u) =
Z2
1 02
u
2
Z2
1 02
u
2
a(t) u2
G (t; u)
0: Então,
dt
0
G (t; u) dt
1
kuk2E
2
G (t; u) dt
0
0
1
kuk2E
2
Z2
Z2
q1 juj
q2 dt
kuk22
q1 kuk + 2 q2
0
kuk22
q3 kuk2 + 2 q2 ;
com q3 2 R+ : Como 2 <
então existe
2 R tal que
f (u) = f (c0 + w)
:
Passo 4 . f satisfaz a condição (PS).
Considere-se uma sucessão un em E tal que
f (un ) é limitada e (f 0 (un ); v) ! 0; 8v 2 E; quando n ! +1:
Então existem k1 > 0 e
2]2; [ tais que, pela hipótese (g2 ), por (2.16) e
2.3. SOLUÇÕES PERIÓDICAS
47
para n su…cientemente grande, se obtem
1
k1 + jjun jjE
1
f (un )
1
2
=
1
(f 0 (un ) ; un ) =
Z2
u02
n
+
u2n
1
2
dt
1
0
Z2
G (t; un )
Z2
(a (t) + 1) u2n dt
0
1
un g (t; un ) dt
0
1
2
+
Z2
1
jjun jj2E
G (t; un ) +
1
1
2
2
jjun jj22 +
G (t; un ) dt
0
1
2
+
1
1
jjun jj2E
Z2
1
q1 jun j
2
jjun jj2E +
q2 dt
0
1
1
1 q1 jjun jj
jjun jj2E +
2
A1 jjun jj2E + A2 jjun jjE + A3
2 q2
com A1 ; A3 2 R e A2 2 R+ : Como > 2 então a sucessão un é limitada
em E: Passando se necessário a uma subsucessão, suponha-se que un * u
fracamente em E e un ! u fortemente em L2 (0; 2 ) : Logo
0 = lim (f 0 (un ) ; v) =
n!1
= lim
n!1
Z2
[u0n v 0
a (t) un v
g(t; un ) v] dt =
0
=
Z2
0
(u0 v 0
a (t) u v
g(t; u) v) dt = (f 0 (u) ; v) ; 8v 2 E,
CAPÍTULO 2. PROBLEMA PERIÓDICO DE 2A ORDEM
48
donde se conclui que u é um ponto crítico de f . Então
jjun jj2E
0
= (f (un ) ; un ) +
Z2
[a (t) + 1] u2n + un g (t; un ) dt
0
!
Z2
Z2
(a (t) + 1) u2 + u g (t; u) dt =
u02 + u2 dt = jjujj2E ;
0
0
pelo que un ! u fortemente em E.
Pelo Teorema 2.1, f tem um ponto crítico não trivial em E, ou seja, a
equação (E) tem uma solução 2 -periódica não trivial.
Teorema 2.3 Seja a(t) uma função mensurável e 2 -periódica tal que, para
m 2 N;
m2 . a(t) . (m + 1)2 :
Se a função g : [0; 2 ] R ! R veri…ca as hipóteses (g1 ); (g2 ) e (g3 ) então, para "1 e "2 su…cientemente pequenos, a equação (E) tem uma solução
periódica não trivial, com período 2 .
Demonstração. Considere-se a decomposição
E := H12 (0; 2 ) = X1
X2 ;
com X1 e X2 dados por (2.2) e (2.3), respectivamente.
Passo 1 . Para u1 2 X1 ; f (u1 ) 0:
Para u1 2 X1 tem-se, pelo Lema 2.2 e por (g3 );
f (u1 ) =
Z2
1 02
u
2 1
a (t) u21
G (t; u1 )
dt
0
m
2
ku1 k2E
Z2
G(t; u1 ) dt
m
2
ku1 k2E
+
0
m
2
ku1 k2E + "1 ku1 k2E =
para "1 su…cientemente pequeno.
Z2
"1 u21 dt
0
"1
m
2
ku1 k2E
0;
2.3. SOLUÇÕES PERIÓDICAS
49
Passo 2 Existe > 0 tal que f (u2 ) 0; para u2 2 X2 e jju2 jjE
:
1
1
Designe-se por K a constante da imersão de H2 (0; 2 ) L (0; 2 ); isto
é,
kuk1
K kukE :
Tome-se u2 2 X2 tal que ku2 kE <
Então, por (g3 ); tem-se que G(t; u2 )
f (u2 )
m
2
v0
,
K
sendo v0 dado pela condição (g3 ):
"2 u22 e
ku2 k2E
Z2
G(t; u2 ) dt
ku2 k2E
Z2
"2 u22 dt
0
m
2
m
2
"2 ku2 k2E :
0
Para "2 su…cientemente pequeno, f (u2 )
:= vK0 > 0.
0 com u2 2 X2 e ku2 kE
Passo 3 . Existe w(t) 2 X2 com jjwjjE = 1 e
f (u1 + w)
para u1 2 X1 e
Tome-se
; sendo
2 R tais que
;
0 arbitrários:
w (t) = q
1
1 + (m + 1)2
cos [(m + 1) t] 2 X2
(2.17)
e observe-se que jjwjjE = 1:
Considere-se u 2 X1 span fwg ; escrito na forma
u(t) = u1 (t) +
com
0; isto é,
u(t) =
X
k2
m2
w
ck eikt +
w:
(2.18)
CAPÍTULO 2. PROBLEMA PERIÓDICO DE 2A ORDEM
50
Então, por (2.16), obtem-se
Z2
f (u)
1 02
u
2
m 2 u2
G (t; u)
dt =
0
1 X
jck j2 k 2
=
2 2 2
k
2
2
m
2
2
w02
"
Z2
0
Z2
m2 w2 dt
(m + 1)2 m2
1 + (m + 1)2
2
w02
2
m2 w 2
G (t; u) dt
G (t; u) dt =
0
#
Z2
G (t; u) dt =
0
Z2
2
=
+
m
Z2
0
=
2
2m + 1
G (t; u) dt
2 1 + (m + 1)2
0
2
3
2
X
2m + 1 4
5
jck j2 +
2
2
1
+
(m
+
1)
2
2
k
2m + 1
kuk22
2
2m + 1
kuk22
2
com q3 2 R+ : Como 2 <
Z2
m
q1 kuk + 2 q2
q1 juj
q2 dt
0
;
q3 kuk2 + 2 q2 ;
então existe
2 R tal que
f (u) = f (u1 + w)
:
Seguindo o tipo de argumentos utilizados no Passo 4 do Teorema 2.2,
prova-se que f satisfaz a condição (PS) e, pelo Teorema 2.1, f tem um ponto
crítico não trivial em E, isto é, a equação (E) tem uma solução 2 -periódica
não trivial.
Nota: Os resultados apresentados foram obtidos em colaboração com o
autor da tese. Contudo generalizações posteriores podem ser encontradas em
[GT], onde a existência de soluções periódicas da equação (E) é estudada nos
2.3. SOLUÇÕES PERIÓDICAS
51
vários casos seguintes:
(i)
a (t)
(t) + "; com (t) . 0;
(ii)
a (t)
(t) + "; com (t) . 1 e
(iii)
(t)
"
R2
(t)dt > 0;
0
(t) + "; com m2 . (t) . (m + 1)2 ;
a (t)
(iv) a(t) = m2 :
para (t) 2 L1 (0; 2 ) e "
0.
Exemplo 2.1 Considere-se a equação relacionada com o modelo biomatemático de um aneurisma no polígono de Willis, [C],
u00 (t) + a (t) u(t)
b (t) u2 (t) + c (t) u3 (t) = 0;
(2.19)
com a (t) ; b (t) e c (t) funções periódicas contínuas, de período 2 , tais que
existem m 2 N e constantes positivas A1 ; A2 ; B; C1 e C2 veri…cando
jb (t) j
B; 0 < C1
c (t)
e
m2 < A1
a (t)
A2 < (m + 1)2 ; B 2
C2
9
A1
2
m2 C1 :
De…nindo
g(t; u) :=
obtem-se
G (t; u) =
Z2
b(t)u2 + c (t) u3
b(t)u2 + c (t) u3 dt;
0
pelo que se veri…cam as hipóteses (g1 ); (g2 ) e (g3 ): Então, pelo Teorema 2.3,
a equação (2.19) tem pelo menos uma solução periódica não trivial.
52
CAPÍTULO 2. PROBLEMA PERIÓDICO DE 2A ORDEM
CAPÍTULO 3
Problema Periódico de Terceira
Ordem com Condições no
Potencial
3.1
Introdução
Neste capítulo prova-se a existência de solução do problema periódico
não linear
u000 (t) + a u00 (t) + g (u0 (t)) + c u(t) = p(t)
(P)
u(0) = u(2 ); u0 (0) = u0 (2 ); u00 (0) = u00 (2 )
sendo g : R ! R uma função contínua, p : [0; 2 ] ! R uma função de
L1 (0; 2 ), a 2 R e c 2 R n f0g: Seja m um inteiro positivo. Assume-se que a
não linearidade g veri…ca as condições:
m2
lim inf
juj!+1
g(u)
u
lim sup
juj!+1
g(u)
u
(m + 1)2
e, designando por G a primitiva da função g, isto é, G(u) =
m2 < lim sup
u!+1
(g)
Ru
0
2 G(u)
2 G(u)
; lim inf
< (m + 1)2 :
2
u!+1
u
u2
g( ) d ;
(G)
Em [EO], Ezeilo e Omari analisam o problema (P) admitindo que g veri…ca a condição
m2 + h (juj)
g(u)
u
53
(m + 1)2
h+ (juj)
(3.1)
54
para juj
CAPÍTULO 3. PROBLEMA PERIÓDICO DE 3A ORDEM
r > 0; m 2 N e h (juj) : [0; +1[! R duas funções tais que
lim juj h (juj) = +1:
juj!+1
(3.2)
Note-se que estas condições implicam que, para juj su…cientemente grande,
g(u)
se situa estritamente entre m2 e (m + 1)2 : Além disso, os valores de
u
lim inf g(u)
ou de lim sup g(u)
poderão atingir m2 ou (m + 1)2 ; mas, caso o
u
u
juj!+1
juj!+1
façam, fá-lo-ão “lentamente”devido à condição (3.2).
No resultado deste capítulo, não é exigido que o valor de g(u)
permaneça
u
2
2
no intervalo m ; (m + 1) para valores de juj su…cientemente grandes, ao
contrário do que acontece sob as condições (3.1) e (3.2). Contudo são impostas condições, (g) e (G), sobre o comportamento assimptótico da função g
e do seu potencial, que irão garantir alguma “densidade”, tal como é referido
em [GO], [SO] e [OZ].
Utiliza-se a teoria do grau de Leray-Schauder; seguindo um tipo de argumentação sugerido em [GO], [HOZ] e [SO]. Os resultados obtidos estão
contidos em [Mi].
3.2
Notações e Resultados Preliminares
Para provar a existência de soluções periódicas do problema (P), considera-se o espaço de Sobolev W3;p
2 constituído pelas funções u que pertencem a
3;p
W e que satisfazem as seguintes condições de fronteira:
u(0) = u(2 ); u0 (0) = u0 (2 ) e u00 (0) = u00 (2 ):
Para p = 2 obtem-se o espaço de Hilbert H32 , com o produto interno
(u; v) = hu000 ; v 000 i2 + hu00 ; v 00 i2 + hu0 ; v 0 i2 + hu; vi2 ;
representando-se por h:; :i2 o produto interno em L2 (0; 2 ):
Relativamente ao problema de valores próprios generalizado
u000 (t) + a u00 (t) + c u(t) =
u0 (t)
u(0) = u(2 ); u0 (0) = u0 (2 ); u00 (0) = u00 (2 );
com a 2 R, c 2 R n f0g e
em [EO]:
(3.3)
um parâmetro real, recorda-se o resultado contido
3.3. EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO PERIÓDICA
55
(i) Se, qualquer que seja m inteiro e positivo, 6= m2 então não é um
valor próprio;
(ii) = m2 ; para um certo m inteiro e positivo, é um valor próprio se e
só se c = am2 :
Uma conclusão imediata das alíneas anteriores, é que o valor próprio,
quando existe, é único sendo o espaço próprio correspondente, representado
por Em ; formado pelas funções x(t) da forma
1
x(t) = p
2
cm eimt + c
com cm números complexos tais que c
[AOZ].
3.3
m
m
e
imt
;
= cm : Para mais pormenores veja-se
Existência de Solução Periódica
1
De…na-se o operador A : W3;1
2 (0; 2 ) ! L (0; 2 ) por
Au = u000 + au00 + cu:
Lema 3.1 Para todo o u 2 W3;2
2 (0; 2 ); tem-se
hAu + m2 u0 ; Au + (m + 1)2 u0 i
0:
Além disso, a igualdade é válida se e só se u = 0 ou então se ou m2 ou
(m+1)2 é valor próprio do problema (3.3) e, nesse caso, u 2 Em ou u 2 Em+1 ;
respectivamente.
Demonstração. Aplicando o desenvolvimento de u(t) em série de Fourier,
X
u(t) =
ck eikt
k2Z
com ck 2 C tal que c
k
= ck ; obtem-se
hAu + m2 u0 ; Au + (m + 1)2 u0 i
Xh
m2 k k 3 (m + 1)2 k
k
3
2 2
+ c
ak
k2 + c
ak 2
k2Z
=
Xh
k2Z
k 2 m2
k2
(m + 1)2
2
i
i
jck j2 =
jck j2
0:
CAPÍTULO 3. PROBLEMA PERIÓDICO DE 3A ORDEM
56
Além disso, a igualdade veri…ca-se se e só se ck = 0 excepto quando
k 2 = m2 ou k 2 = (m + 1)2 e c = a k 2 ;
isto é, se e só se u = 0 ou se ou m2 ou (m + 1)2 é valor próprio de (3.3) e
u 2 Em ou u 2 Em+1 ; respectivamente.
Fixe-se um número
tal que m2 <
< (m + 1)2 e de…na-se um operador
L : W23;1 (0; 2 ) ! L1 (0; 2 )
dado por
L u = u000 + au00 + cu + u0 :
Então L é invertível e represente-se o seu inverso por
K : L1 (0; 2 ) ! W3;1
2 (0; 2 ):
Pela inclusão compacta de W23;1 (0; 2 ) em C 1 (0; 2 ); ([A]), o problema (P)
pode ser reescrito como um problema de ponto …xo, recorrendo a um operador
compacto da forma
u = K [ u0 g(u0 ) + p(t)] ;
(3.4)
em C 1 (0; 2 ):
Para 2 [0; 1] ; considere-se a homotopia
u = K [ u0
g(u0 ) + p(t)] ;
(3.5)
e o problema associado
u000 (t) + a u00 (t) + c u(t) = (
1) u0 (t) + [p(t) g (u0 (t))]
u(0) = u(2 ); u0 (0) = u0 (2 ); u00 (0) = u00 (2 ):
(P )
Com o objectivo de aplicar a teoria do grau topológico de Leray-Schauder,
provar-se-á a existência de um conjunto , aberto e limitado em C 1 (0; 2 );
contendo a origem, tal que nenhuma solução de (P ), ou equivalentemente
de (3.5), pertence à fronteira de ; para qualquer 2 [0; 1].
Lema 3.2 Existem constantes 0 > 0 e K > 0 tais que toda a solução u de
(P ) que satisfaça kukC 1 > 0 veri…ca
kuk1
K ku0 k1 :
3.3. EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO PERIÓDICA
57
Demonstração. Integrando a equação diferencial de (P ) em [0; 2 ]
obtem-se
2Z
Z2
[p(t) g(u0 (t))] dt:
c u(t) dt =
0
0
Por (g), existem constantes a1 ; a2 2 R+ tal que jg(u0 )j a1 ju0 j + a2 : Então,
pelo Teorema do Valor Médio, existe t0 2 [0; 2 ] tal que
ju(t0 )j
1
2 jcj
Z2
jp(t)
g(u0 (t))j dt
k1 ku0 k1 + k2 ;
0
donde, pelo Teorema Fundamental do Cálculo Integral e pela Desigualdade
de Hölder,
Z2
ju(t)j
ju0 (t)j dt + ju(t0 )j k3 ku0 k1 + k4 ;
0
em que as constantes positivas k1 ; k2 ; k3 e k4 são independentes de u: Então
quando kukC 1 ! +1 conclui-se que ku0 k1 ! +1; obtendo-se a relação
pretendida.
Lema 3.3 Para cada n 2 N, seja un uma solução de
00
1) u0n (t) + n [p(t) g(u0n (t))]
u000
n (t) + aun (t) + cun (t) = ( n
un (0) = un (2 ); u0n (0) = u0n (2 ); u00n (0) = u00n (2 );
(P n )
com n 2 [0; 1] e m2 < < (m + 1)2 ; tal que ku0n k1 ! +1: Então, passando
se necessário a uma subsucessão, existe uma função v(t) 6= 0 de modo que
un (t)
ku0n k1
em W23;1 (0; 2 ); quando
Além disso, ou
n
! v(t)
! 1:
m2 é um valor próprio de A, v 2 Em e
ou
kg(u0n ) m2 u0n k1
ku0n k1
(m + 1)2 é um valor próprio de A, v 2 Em+1 e
kg(u0n )
! 0;
(m + 1)2 u0n k1
! 0:
ku0n k1
CAPÍTULO 3. PROBLEMA PERIÓDICO DE 3A ORDEM
58
Demonstração. Considere-se, tal como em [HOZ], (Prop. 2.1), a decomposição da função g na forma
g(x) = q(x) x + r(x)
com q e r funções contínuas tais que
m2
(m + 1)2 ; 8x 2 R
q(x)
(3.6)
e
r(x)
= 0:
jxj!+1 x
Aplicando esta decomposição e designando
lim
vn (t) :=
un (t)
;
ku0n k1
então vn satisfaz a equação
vn000 + a vn00 + c vn = (
n
1)
vn0
0
0
n q(un ) vn +
p(t) r(u0n )
n
ku0n k1
e as condições de fronteira
vn (0) = vn (2 ); vn0 (0) = vn0 (2 ); vn00 (0) = vn00 (2 ):
O segundo membro da equação é limitada em L1 (0; 2 ) e, passando se
necessário a uma subsucessão, converge fracamente em L1 (0; 2 ): Pela continuidade do operador inverso, tem-se que a sucessão vn converge fracamente
1
em W3;1
2 (0; 2 ) e, portanto, converge fortemente em C (0; 2 ) para uma
função v 6 0; uma vez que kv 0 k1 = 1: Pode-se ainda admitir que, eventualmente para uma subsucessão, n ! 0 2 [0; 1] e que q(u0n ) converge em
L1 (0; 2 ); em relação à topologia fraca ; para uma função q0 (t) 2 L1 (0; 2 )
que satisfaz a relação
m2 q0 (t) (m + 1)2 :
De…nindo
qe(t) := (
0
1)
0
q0 (t);
(3.7)
da continuidade fraca de L resulta que v veri…ca
v 000 (t) + a v 00 (t) + c v(t) = qe(t) v 0 (t)
v(0) = v(2 ); v 0 (0) = v 0 (2 ); v 00 (0) = v 00 (2 );
(3.8)
3.3. EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO PERIÓDICA
59
com
(m + 1)2
m2 :
qe
(3.9)
Pelo Lema 3.1 e pelas condições (3.8) e (3.9) obtem-se
0
hAv + m2 v 0 ; Av + (m + 1)2 v 0 i =
Z2
2
qe + (m + 1)2 (v 0 ) dt
qe + m2
=
0;
0
2 0
pelo que hAv + m v ; Av + (m + 1)2 v 0 i = 0:
Se c 6= am2 e c 6= a(m + 1)2 ; como v(t) 6 0 há uma contradição com a
desigualdade anterior; pelo Lema 3.1, veri…cando-se trivialmente o Lema 3.3.
Suponha-se que ou c = am2 ou c = a(m + 1)2 : Então ou
m2 é um valor próprio de A, v 2 Em e qe =
ou
(m + 1)2 é um valor próprio de A, v 2 Em+1 e qe =
m2 ;
(3.10)
(m + 1)2 :
(3.11)
Por (3.7), pode ainda concluir-se que 0 = 1 e q(u0n ) ! qe em L1 (0; 2 ) em
relação à topologia fraca : Assim se se veri…car (3.10), pela condição (3.6),
tem-se
Z2
Z2
q(u0n ) m2 1 =
q(u0n ) m2 dt =
q(u0n ) m2 dt ! 0:
0
0
Assim
g(u0n )
ku0n k1
m2 v 0
= q(u0n ) vn0 +
1
kq(u0n )k1 kvn0
r(u0n )
ku0n k1
v 0 k1 + q(u0n )
m2 v 0
1
m2
kv 0 k1 +
1
r(u0n )
ku0n k1
1
! 0:
No caso de se veri…car (3.11) os argumentos são análogos.
Lema 3.4 Existem constantes
solução de (P ), para um certo
1
> 0 e 0 < 1 < 1 < 2 tais que se u é
2 [0; 1] ; satisfazendo ku0 k1
1 ; então
(i) max u0 (t) min u0 (t) < 0;
max u0 (t)
(ii)
<
< 2:
1
min u0 (t)
CAPÍTULO 3. PROBLEMA PERIÓDICO DE 3A ORDEM
60
Demonstração. (i) Suponha-se, por contradição, que a primeira desigualdade não se veri…ca. Então, existe uma sucessão un de soluções de
(P n ) tal que ku0n k1 ! +1 e max u0n (t) min u0n (t) 0:
Pelo Lema 3.3,
un (t)
! v(t)
ku0n k1
e, por isso,
em
u0n (t)
! v 0 (t)
ku0n k1
W23;1 (0; 2 )
em
C(0; 2 );
sendo v 2 Em ou v 2 Em+1 : Além disso, é possível escrever
v 0 (t) = Am cos(mt) + Bm sen(mt)
ou
v 0 (t) = Am+1 cos((m + 1)t) + Bm+1 sen((m + 1)t)
e, em ambos os casos,
max
u0n (t)
u0n (t)
min
ku0n k1
ku0n k1
! max v 0 (t) min v 0 (t) < 0:
(ii) Para justi…car a desigualdade referente a 1 ; suponha-se, novamente por
contradição, que, para n 2 N; existe uma solução un de um certo problema
(P n ), com ku0n k1
1 e tal que
max u0n (t)
min u0n (t)
1
:
n
Então
max u0n (t)
! 0;
min u0n (t)
o que está em contradição com
max
min
Na demonstração para
2
u0n (t)
ku0n k1
u0n (t)
ku0n k1
!
max v 0 (t)
> 0:
min v 0 (t)
obtem-se uma contradição entre a hipótese
max v 0 (t)
min v 0 (t)
2
>1
3.3. EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO PERIÓDICA
e
u0n (t)
ku0n k1
u0n (t)
ku0n k1
max
min
61
!1
seguindo o mesmo tipo de argumentos.
O próximo lema recorre à condição sobre o potencial de g.
Lema 3.5 Suponha-se que as condições (g) e (G) são veri…cadas. Então
existe uma sucessão de números reais n , com n ! +1; tal que qualquer
que seja 2 [0; 1] e u solução de (P ), se tem
max u0 (t) 6=
n;
para todo o n:
Demonstração. Pela condição (G) é possível considerar uma sucessão
de números reais n , com n ! +1; tal que
lim
2 G(
n)
2
n
n !+1
2]m2 ; (m + 1)2 [:
=
(3.12)
Suponha-se, por contradição, que existe uma subsucessão de n ; que se representa também por n ; e uma sucessão n 2 [0; 1] tal que se un é solução do
problema (P n ) então veri…ca max u0n (t) = n : Portanto, por (3.12), existem
" > 0 su…cientemente pequeno e n su…cientemente grande tais que
2 G(
n)
> m2 + ";
2
n
donde,
2 G(
Mas ou
m
n)
2
0
kun k1
2 2
n
>"
2
n
ku0n k21
ku0n k1 = max u0n (t)
e então
ou
2
n
ku0n k21
ku0n k1 =
=1
min u0n (t)
:
CAPÍTULO 3. PROBLEMA PERIÓDICO DE 3A ORDEM
62
e, pelo Lema 3.4,
ku0n k1
<
max u0 (t)
:
1
Então tem-se que
2
n
ku0n k21
2
n
>
u0 (t)
max
2
=
2
1;
1
donde existe "1 > 0 tal que
2 G(
m
n)
2
0
kun k1
2 2
n
(3.13)
> "1 > 0:
Pela primeira parte do Lema 3.4, existem tn0 ; tn1 2 [0; 2 ] tais que
n
= max (u0n (t)) = u0n (tn1 ) e u0n (tn0 ) = 0:
Então
G(
n)
m2
2
2
n
= G(u0n (tn1 ))
G(u0n (tn0 ))
tn1
=
m2 h 0
2
(un (tn1 ))
2
Z
g(u0n (t))
m2 u0n (t) u00n (t) dt
Z2
g(u0n (t))
m2 u0n (t) ju00n (t)j dt:
2
(u0n (tn0 ))
i
=
tn0
0
Pelo Lema 3.3 e pela inclusão contínua de W23;1 (0; 2 ) em C 2 ([0; 2 ]) tem-se
que
2 G(
m
n)
2
ku0n k1
2 2
n
2Z
2
0
jg(u0n (t))
m2 u0n (t)j ju00n (t)j
dt
ku0n k21
g(u0n (t)) m2 u0n (t)
2
ku0n k1
1
kvn00 (t)k1 ! 0;
pois vn00 é uma sucessão limitada em L1 (0; 2 ); o que contradiz (3.13).
Finalmente, obtem-se a existência de solução para o problema inicial.
3.3. EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO PERIÓDICA
63
Teorema 3.1 Seja m inteiro e positivo, g : R ! R uma função contínua,
p : [0; 2 ] ! R uma função de L1 (0; 2 ); a 2 R e c 2 Rn f0g : Se g satisfaz
as condições (g) e (G) então o problema (P) tem, pelo menos, uma solução.
Demonstração. Seja ( n ) uma sucessão de números reais nas condições
do Lema 3.5 e considere-se n0 tal que n0 > maxf 0 ; 1 g; sendo 0 e 1 os
valores referidos nos Lemas 3.2 e 3.4, respectivamente. Considerem-se ainda
K > 0 e 0 < 1 < 1 dados nos Lemas 3.2 e 3.4. De…na-se o conjunto aberto
em C 1 ([0; 2 ]) ; que contém a origem,
=
x 2 C 1 ([0; 2 ]) :
n0
< x0 (t) <
n0
1
^ kxk1 < K
n0
1
; 8t 2 [0; 2 ] :
Seja u uma solução de (P ), para 2 [0; 1] ; tal que u 2 : Pelos Lemas 3.4,
3.5 e 3.2 conclui-se que u 2 : Então o grau topológico
d(I
está bem de…nido. Como para
K ; ; 0)
= 0; o operador é a identidade e
d(I; ; 0) = 1;
então, por invariância por homotopia, para
d(I
= 1;
K ; ; 0) = 1:
Ou seja, existe, pelo menos, uma solução de (P1 ), isto é, uma solução do
problema inicial (P).
Nota 3.1 A conclusão do Teorema 3.1 permanece válida se (G) for substituída por uma das seguintes condições:
m2 < lim sup
ou
u! 1
m2 < lim sup
u!+1
ou
2 G(u)
2 G(u)
; lim inf
< (m + 1)2 ;
2
2
u!+1
u
u
(G1 )
2 G(u)
2 G(u)
; lim inf
< (m + 1)2 ;
2
u! 1
u
u2
(G2 )
2 G(u)
2 G(u)
; lim inf
< (m + 1)2 :
(G3 )
2
2
u!
1
u
u
u! 1
De facto, admitindo a condição (G1 ), é possível demonstrar, tal como no
Lema 3.5, que as soluções do problema (P ) são limitadas em C 1 :
Se forem assumidas as condições (G2 ) ou (G3 ), podem ser obtidos resultados
semelhantes aos anteriores através da mudança de variável v := u:
m2 < lim sup
64
CAPÍTULO 3. PROBLEMA PERIÓDICO DE 3A ORDEM
Parte II
Sub e Sobre-Soluções em
Problemas de Ordem n com
dependência em n 1 Derivadas
65
Introdução
A Parte II é dedicada a problemas não lineares de ordem 2 e superior,
com valores na fronteira, utilizando-se a teoria do grau topológico e o método
das sub e sobre-soluções. Em primeiro lugar aborda-se um problema do tipo
Ambrosetti-Prodi de segunda ordem, cujos argumentos são posteriormente
generalizados com a obtenção de resultados de existência e multiplicidade de
solução para problemas de ordem n 2; com valores separados na fronteira
e que envolvem funções contínuas com a possibilidade de dependerem das
n 1 derivadas.
No Capítulo 4 estuda-se a família de equações
u00 (t) + f (t; u(t); u0 (t)) = s p(t)
em que f : [0; 1] R2 ! R e p : [0; 1] ! R+ são funções contínuas e s um
parâmetro real.
Para estas equações são obtidos três tipos de resultados, que correspondem a diferentes condições de fronteira. No caso geral, com condições do
tipo
a u(0) b u0 (0) = A;
c u(1) + d u0 (1) = B;
em que a; b; c; d; A; B 2 R tais que a2 + b > 0, c2 + d > 0 e b; d 0; garante-se
a existência e localização de pelo menos uma solução desde que existam sub
e sobre-soluções do problema.
Aplicando esse resultado para A = B = 0 e a; b; c; d 0 tais que a + b > 0
e c + d > 0; obtêm-se resultados de existência e não existência de solução do
problema em função do parâmetro s:
67
68
No caso mais restrito em que a; c > 0 e b = d = A = B = 0, é provada
a existência de pelo menos uma segunda solução, para certos valores do
parâmetro s.
Nos argumentos utilizados desempenham um papel fundamental a condição de Nagumo, para estimar a variação da primeira derivada, o método das
sub e sobre-soluções, para a existência e localização de solução, e o grau de
coincidência, para a existência e multiplicidade de solução.
No Capítulo 5 é estabelecido um resultado de existência e localização para
o problema constituído pela equação
u(n) (t) + f (t; u(t); :::; u(n
para n 2 e f : [0; 1]
fronteira
1)
(t)) = 0;
Rn ! R uma função contínua e pelas condições de
u(i) (0) = 0; para i = 0; :::; n
au
cu
(n 2)
(n 2)
(0)
(n 1)
(0) = A;
(n 1)
(1) = B;
bu
(1) + d u
3;
em que a; b; c; d; A; B 2 R tais que a2 + b > 0, c2 + d > 0 e b; d 0:
Sublinha-se que, ao contrário do que é frequente no estudo deste tipo de
problemas, não existe recurso a condições de monotonia sobre a não linearidade, exigindo-se apenas que a função f satisfaça hipóteses do tipo Nagumo
bem como certas condições de variação suplementares ( ver (5.2), (5.3) e
(5.10) ).
No Capítulo 6 generaliza-se os resultados dos dois capítulos anteriores
adaptando para o problema formado pela equação
u(n) (t) + f (t; u(t); :::; u(n
n
+
1)
(t)) = s p(t);
com f : [0; 1] R ! R e p : [0; 1] ! R duas funções contínuas e s 2 R, e
pelas condições de fronteira do Capítulo 5, os argumentos utilizados no Capítulo 4 para a segunda ordem. Os resultados são, contudo, mais complexos
na medida em que a dependência da não linearidade das n 1 derivadas leva
a que sejam assumidas hipóteses adicionais e a que a demonstração se torne
mais elaborada. Partindo-se de condições de fronteira mais gerais, para as
quais se obtem um resultado de existência e localização de solução, faz-se,
posteriormente, a aplicação à discussão da existência, não existência e multiplicidade de solução, em função do parâmetro s; a problemas com valores
na fronteira mais restritos.
CAPÍTULO 4
Problemas do Tipo
Ambrosetti-Prodi de Segunda
Ordem
4.1
Introdução
Ao longo deste capítulo serão apresentados resultados de existência e
multiplicidade de solução para problemas com valores na fronteira, constituídos pela equação diferencial
u00 (t) + f (t; u(t); u0 (t)) = s p(t);
(Es )
para t 2]0; 1[; s 2 R, f : [0; 1] R2 ! R e p : [0; 1] ! R+ duas funções
contínuas, sob diversos tipos de condições de fronteira.
Inicialmente, garante-se a existência de solução de (Es ) com as condições
de fronteira
a u(0) b u0 (0) = A;
(4.1)
c u(1) + d u0 (1) = B;
onde a; b; c; d; A; B 2 R tais que a2 + b > 0, c2 + d > 0 e b; d 0; desde que
seja possível encontrar sub e sobre-soluções do problema (Es )-(4.1).
Para o caso particular em que a; b; c; d
0 e A = B = 0; tais que
a + b > 0 e c + d > 0; discute-se, em função do parâmetro s; a existência
e não existência de solução do problema de Ambrosetti-Prodi composto por
(Es ) e pelas condições
a u(0) b u0 (0) = 0;
(4.2)
c u(1) + d u0 (1) = 0:
69
70
CAPÍTULO 4. PROB. 2A ORDEM TIPO AMBROSETTI-PRODI
Finalmente, para a; c > 0 e b = d = A = B = 0, discute-se, em função do
parâmetro s; a existência e multiplicidade de solução do problema formado
pela equação (Es ) e pelas condições de fronteira
(4.3)
u(0) = u(1) = 0:
Alguns casos particulares do problema (Es )-(4.1) modelam vários fenómenos físico-químicos (veja-se [AHS], [BSW], [BK], [DS] e [EW]), nomeadamente, a difusão de gases através de meios porosos, a in‡amação espontânea
de uma mistura de gases quimicamente activa num reservatório ( [CL]), teoria de catálises ([D]), sistemas de reacção química, processos adiabáticos em
reactores tubulares, entre outros.
O primeiro teorema de existência aqui apresentado generaliza o resultado
de Coster, [Co], onde é estudado o problema (Es )-(4.1) para s = 0: O método
seguido baseia-se na construção de um problema homotópico auxiliar, cuja
homotopia inclui os valores de fronteira e é construída de modo a que, para
um certo valor do parâmetro de homotopia ; é obtido um problema linear
homogéneo que admita apenas a solução nula.
Ambos os teoremas de existência generalizam o resultado de [W] para
n = 2, tanto no que se refere à equação diferencial, uma vez que a não
linearidade pode depender de mais uma variável, como no que respeita às
condições de fronteira (4.1).
Na multiplicidade de solução, segue-se o método que Fabry, Mawhin e
Nkashama, [FMN], utilizam para um problema periódico, ou seja, prova-se
que o grau topológico é não nulo em dois conjuntos disjuntos, recorrendo às
noções de sub e sobre-soluções estritas.
4.2
Condição de Nagumo
A condição de Nagumo, introduzida por M. Nagumo, [N], estabelece
uma estimação a priori para a primeira derivada da solução da equação
(Es ), desde que esta satisfaça um enquadramento adequado.
De…nição 4.1 Uma função contínua g : E ! R veri…ca as condições de
Nagumo no conjunto
E = (t; x; y) 2 [0; 1]
R2 :
1 (t)
x
2 (t)
;
4.2. CONDIÇÃO DE NAGUMO
sendo
1;
2
71
: [0; 1] ! R duas funções contínuas tais que
1 (t)
2 (t),
8t 2 [0; 1],
se existir uma função contínua hE : R+
0 !]0; +1[ tal que
jg(t; x; y)j
com
Z
0
+1
(B)
hE (jyj)
y
dy = +1.
hE (y)
(N)
Se tal se veri…car para qualquer conjunto E [0; 1] R2 da forma referida,
diz-se apenas que a função g veri…ca as condições de Nagumo.
Lema 4.1 Seja f : [0; 1]
condições de Nagumo em
R2 ! R uma função contínua que satisfaz as
E = (t; x; y) 2 [0; 1]
R2 :
1 (t)
x
2 (t)
;
com 1 ; 2 : [0; 1] ! R duas funções contínuas. Então existe r > 0 (dependendo apenas de s e das funções p; 1 ; 2 e h) tal que toda a solução u de
(Es ) que veri…que
1 (t)
u(t)
2 (t);
8t 2 [0; 1];
satisfaz
ku0 k1
r:
Demonstração. De…na-se o número não negativo
= max f 2 (1)
1 (0);
2 (0)
1 (1)g :
Se para qualquer solução u(t) de (Es ) que veri…que (4.4) se tem que
ju0 (t)j
; 8t 2 [0; 1];
então basta considerar r := e a demonstração …ca concluída.
Suponha-se que existe uma solução u(t) de (Es ) e t 2 [0; 1] tal que
ju0 (t)j > :
(4.4)
CAPÍTULO 4. PROB. 2A ORDEM TIPO AMBROSETTI-PRODI
72
Admita-se que ju0 (t)j > ; para qualquer t 2 [0; 1]: No caso de acontecer
u0 (t) > ; obtem-se a contradição
2 (1)
1 (0)
u(1)
u(0) =
Z
1
0
u (t) dt >
0
Se u0 (t) <
Z
1
dt
2 (1)
1 (0).
0
a contradição é a seguinte
2 (0)
1 (1)
Z
0
u(0) u(1) =
u0 (t) dt =
1
Z 1
Z 1
0
=
u (t) dt >
dt
2 (0)
0
1 (1).
0
Então, existe pelo menos um t 2 [0; 1] tal que ju0 (t)j
:
Assim, é possível tomar um certo t1 2 [0; 1] para o qual se tem u0 (t1 ) >
e considerar um intervalo I = [t0 ; t1 ], ou I = [t1 ; t0 ], tal que
u0 (t0 ) =
Note-se que como
Considere-se r >
Z r
e u0 (t) > ; 8t 2 Inft0 g:
0 então u0 (t)
tal que
hE ( ) + jsj kpk1
0 para todo o t 2 I:
d
max
t2[0;1]
2 (t)
min
t2[0;1]
1 (t).
Se I = [t0 ; t1 ]; para I = [t1 ; t0 ] o processo é análogo, efectuando uma mudança
adequada de variável tem-se, por (B),
Z
u0 (t1 )
u0 (t0 )
hE ( ) + jsj kpk1
d =
Z
t1
t0
t1
=
Z
t
Z 0t1
u0 (t)
u00 (t) dt =
hE (u0 ) + jsj kpk1
s p(t)
f (t; u(t); u0 (t)) 0
u (t) dt
hE (u0 ) + jsj kpk1
u0 (t) dt = u(t1 )
u(t0 )
t0
max
t2[0;1]
Z r
2 (t)
min
t2[0;1]
1 (t)
hE ( ) + jsj kpk1
d .
4.3. TEOREMA GERAL DE EXISTÊNCIA
73
Então u0 (t1 ) r e, como t1 foi considerado arbitrariamente entre os valores
de t que veri…cavam u0 (t) > , conclui-se que para todo o t 2 [0; 1] tal que
u0 (t) > se tem u0 (t) r:
De modo análogo demonstra-se que u0 (t)
r para os valores de t 2 [0; 1]
0
: Então
tais que u (t) <
r
u0 (t)
r; 8t 2 [0; 1];
como se pretendia.
Nota 4.1 Resulta da demonstração anterior que r pode ser considerado
independentemente de s, desde que s pertença a um conjunto limitado.
4.3
Teorema Geral de Existência
O primeiro resultado de existência assegura também a localização de,
pelo menos, uma solução do problema (Es )-(4.1), para os valores do parâmetro
s em que existam sub e sobre-soluções de acordo com a seguinte de…nição.
De…nição 4.2 Considerem-se a; b; c; d; A; B 2 R tais que b; d 0; a2 +b > 0
e c2 + d > 0:
(i) Uma função (t) 2 C 2 (]0; 1[) \ C 1 ([0; 1]) é uma sub-solução do problema
(Es )-(4.1) se
00
(t) + f (t; (t); 0 (t)) s p(t)
(4.5)
e
a (0) b
c (1) + d
0
0
(0)
(1)
A;
B:
(4.6)
(ii) Uma função (t) 2 C 2 (]0; 1[)\C 1 ([0; 1]) é uma sobre-solução do problema
(Es )-(4.1) se
00
(t) + f (t; (t); 0 (t)) s p(t)
(4.7)
e
a (0) b
c (1) + d
0
0
(0)
(1)
A;
B:
(4.8)
Teorema 4.1 Considere-se uma função contínua f : [0; 1] R2 ! R. Suponha-se que existem sub e sobre-soluções de (Es )-(4.1), (t) e (t); respectivamente, tais que, para t 2 [0; 1];
(t)
(t)
(4.9)
74
CAPÍTULO 4. PROB. 2A ORDEM TIPO AMBROSETTI-PRODI
e que f veri…ca as condições de Nagumo (B) e (N) em
E = (t; x; y) 2 [0; 1]
R2 : (t)
x
(t) :
Então o problema (Es )-(4.1) tem, pelo menos, uma solução u(t) 2 C 2 ([0; 1])
tal que, para t 2 [0; 1];
(t) u(t)
(t).
Demonstração. De…na-se a função contínua : [0; 1]
8
< (t) se x > (t)
x
se
(t) x
(t)
(t; x) =
:
(t) se x < (t):
Considere-se, para
R ! R dada por
(4.10)
2 [0; 1]; o problema formado pela equação
u00 (t) + f (t; (t; u(t)); u0 (t)) = u(t) +
[s p(t)
(t; u(t))] ;
(E ;s )
para t 2]0; 1[; e pelas condições de fronteira
u(0) =
u(1) =
[A
[B
a (0; u(0)) + b u0 (0) + (0; u(0))];
c (1; u(1)) d u0 (1) + (1; u(1))]:
(4.11)
Tome-se r1 > 0 tal que, para t 2 [0; 1];
r1 < (t)
(t) < r1 ,
(4.12)
s p(t)
f (t; (t); 0)
r1
(t) < 0;
(4.13)
s p(t)
f (t; (t); 0) + r1
(t) > 0
(4.14)
e
jA
a (0) + (0)j < r1 ; jA
a (0) + (0)j < r1 ;
jB
c (1) + (1)j < r1 ; jB
c (1) + (1)j < r1 :
(4.15)
Passo 1 . Toda a solução u(t) do problema ( E ;s )-(4.11) veri…ca
ju(t)j < r1 ; 8t 2 [0; 1];
independentemente de
2 [0; 1]:
4.3. TEOREMA GERAL DE EXISTÊNCIA
75
Suponha-se, por contradição, que existem
(4.11) e t 2 [0; 1] tais que ju(t)j r1 : Se u(t)
2 [0; 1], u solução de ( E ;s )r1 , de…na-se
max u(t) := u(t0 ) (
t2[0;1]
Se t0 2]0; 1[ então u0 (t0 ) = 0 e u00 (t0 )
a contradição
0
Para
r1 > 0):
0: Para
2]0; 1]; por (4.14), tem-se
u00 (t0 ) =
=
f (t0 ; (t0 ; u(t0 )); u0 (t0 )) + u(t0 ) + [s p(t0 )
=
f (t0 ; (t0 ); 0) + u(t0 ) + [s p(t0 )
(t0 )]
[s p(t0 )
f (t0 ; (t0 ); 0) + u(t0 )
(t0 )]
[s p(t0 )
f (t0 ; (t0 ); 0) + r1
(t0 )] > 0:
(t0 ; u(t0 ))] =
= 0; a contradição surge de
u00 (t0 ) = u(t0 )
r1 > 0:
max u(t) := u(0) (
r1 > 0)
0
Para t0 = 0 obtem-se
t2[0;1]
e u0 (0+ ) = u0 (0)
r1
0: Então, por (4.11) e (4.15), obtem-se a contradição
u(0) = [A a (0; u(0)) + b u0 (0) + (0; u(0))] =
= [A a (0) + b u0 (0) + (0)]
[A a (0) + (0)] jA a (0) + (0)j < r1 :
Se t0 = 1 obtem-se uma contradição análoga. Então u(t) < r1 para t 2 [0; 1]
e independentemente de 2 [0; 1]:
Seguindo argumentos semelhantes prova-se que u(t) > r1 ; para t 2 [0; 1];
independentemente de :
Passo 2 . Existe r2 > 0 tal que qualquer solução u(t) do problema (E ;s )(4.11) satisfaz
ju0 (t)j < r2 ; 8t 2 [0; 1];
independentemente de
2 [0; 1]:
CAPÍTULO 4. PROB. 2A ORDEM TIPO AMBROSETTI-PRODI
76
Considere-se o conjunto
Er1 = (t; x; y) 2 [0; 1]
e, para
R2 :
r1
x
r1
2 [0; 1]; a função F : Er1 ! R de…nida por
F (t; x; y) :=
f (t; (t; x); y)
x+
(t; x):
Provar-se-á de seguida que a função F satisfaz as condições de Nagumo (B)
e (N) em Er1 , independentemente de 2 [0; 1]: De facto, como a condição
(B) vale para f em E , então
jF (t; x; y)j
jf (t; (t; x); y)j + jxj + j (t; x)j
hE (jyj) + 2 r1 :
De…nindo em R+
0 a função hEr1 (z) := 2 r1 + hE (z) veri…ca-se que F satisfaz
(B) em Er1 : Quanto à condição (N) tem-se
Z +1
Z +1
y
y
dy =
dy = +1:
hEr1 (y)
hE (jyj) + 2 r1
0
0
Como, pelo Passo 1, toda a solução de (E ;s ) veri…ca
ju(t)j < r1 ; 8t 2 [0; 1];
então, aplicando o Lema 4.1 com 1 (t)
r1 e 2 (t)
que
ju0 (t)j < r2 ; 8t 2 [0; 1]:
r1 , existe r2 > 0 tal
Sublinha-se que r2 é independente de ; pois a função hEr1 não varia com
e, como foi referido no Lema 4.1, r2 depende apenas de r1 ; h; s e p:
Passo 3 .O problema (E ;s )-(4.11), para
solução u1 (t).
De…nam-se os operadores
= 1, tem pelo menos uma
L : C 2 ([0; 1]) ! C([0; 1])
R2
dado por
Lu = (u00 ; u(0); u(1))
e
N : C 1 ([0; 1]) ! C([0; 1])
R2
4.3. TEOREMA GERAL DE EXISTÊNCIA
77
por
f (t; (t; u); u0 ) + u +
N u=(
[s p(t)
(t; u)] ; A ; B )
sendo
A :=
[A
a (0; u(0)) + b u0 (0) + (0; u(0))]
e
B :=
Como L
1
[B
c (1; u(1))
d u0 (1) + (1; u(1))]):
é compacto de…na-se o operador completamente contínuo
T : C 1 ([0; 1]); R
! C 1 ([0; 1]); R
dado por
T (u) = L 1 N (u):
Considere-se o conjunto
1
= fx 2 C 1 ([0; 1]) : kxk1 < r1 ; kx0 k1 < r2 g:
Pelos Passos 1 e 2, para todo o 2 [0; 1]; o grau d(I
de…nido. Assim, pela invariância por homotopia,
d(I
T0 ;
1 ; 0)
= d(I
T1 ;
T ;
1 ; 0)
está bem
1 ; 0).
Como a equação u = T0 (u) admite apenas a solução nula então, pela teoria
do grau,
d(I T0 ; 1 ; 0) = 1:
Logo, em particular, a equação u = T1 (u) tem, pelo menos, uma solução.
Isto é, o problema constituído pela equação
u00 (t) + f (t; (t; u(t)); u0 (t)) = u(t)
(t; u(t)) + s p(t);
(4.16)
e pelas condições de fronteira
u(0) = A
u(1) = B
a (0; u(0)) + b u0 (0) + (0; u(0));
c (1; u(1)) d u0 (1) + (1; u(1))
tem pelo menos uma solução u1 (t) em
1:
Passo 4 . A função u1 (t) é solução do problema (Es )-(4.1).
(4.17)
78
CAPÍTULO 4. PROB. 2A ORDEM TIPO AMBROSETTI-PRODI
De facto, a referida função u1 (t), solução do problema (4.16)-(4.17), será
também solução do problema inicial (Es )-(4.1) desde que veri…que
(t)
u1 (t)
(t); 8t 2 [0; 1]:
Suponha-se, por contradição, que existe um t 2 [0; 1] tal que u1 (t) > (t):
De…na-se
max [u1 (t)
(t)] := u1 (t1 )
(t1 ) > 0:
t2[0;1]
Se t1 2]0; 1[ então
0
u01 (t1 ) =
00
(t1 ) e u001 (t1 )
(t1 );
obtendo-se, por (4.7), a seguinte contradição
0
00
u001 (t1 )
(t1 ) =
= f (t1 ; (t1 ; u1 (t1 )); u01 (t1 )) + u1 (t1 )
(t1 ; u1 (t1 )) + sp(t1 )
0
00
= f (t1 ; (t1 )); (t1 )) + u1 (t1 )
(t1 ) + s p(t1 )
(t1 ) >
0
00
> f (t1 ; (t1 ); (t1 )) + s p(t1 )
(t1 ) 0:
00
(t1 ) =
Se t1 = 0 tem-se
max [u1 (t)
(t)] := u1 (0)
t2[0;1]
(0) > 0
e
u01 (0+ )
0
(0+ ) = u01 (0)
0
(0)
Pelas condições de fronteira (4.17) e (4.8) e como b
contradição
0:
0 então é obtida a
(0) < u1 (0) = A a (0; u1 (0)) + b u01 (0) + (0; u1 (0)) =
= A a (0) + b u01 (0) + (0)
b 0 (0) + b u01 (0) + (0) =
0
(0)] + (0)
(0):
= b [u01 (0)
Então t1 6= 0: Seguindo um método semelhante prova-se que t1 6= 1: Logo
u1 (t)
(t), 8t 2 [0; 1]:
De…nindo
min [u1 (t)
t2[0;1]
(t)] := u1 (t2 )
(t2 ) < 0
4.3. TEOREMA GERAL DE EXISTÊNCIA
79
demonstra-se que (t) u1 (t); para t 2 [0; 1]; por um processo análogo.
Então u1 (t) é uma solução de (Es )-(4.1), para os valores de s 2 R e p(t)
para os quais existam sub e sobre-soluções nas condições referidas.
Exemplo 4.1 Considere-se a equação
u00 (t)
e
u2 (t) 0
u (t) = s p(t);
(4.18)
sendo s 2 R e p : [0; 1] ! R+ uma função contínua, com as condições de
fronteira
u(0) = 0
(4.19)
c u(1) + d u0 (1) = B;
para c; d; B 2 R tais que d
0; cd 6= 0; c + d
0 e jBj
c + d: Note-se
que (4.19) constitui um caso particular de (4.1), isto é, considerando nesta
última b = A = 0:
De…na-se
p1 := max p(t):
t2[0;1]
Então as funções ; : [0; 1] ! R dadas por (t) = t e (t) = t são, respectivamente, sub e sobre-soluções do problema (4.18)-(4.19) para os valores
de s tais que
1
1
s2
;
:
e p1 e p1
2
Como a função f (t; x; y) = e x y é contínua e satisfaz as condições de
Nagumo, (B) e (N), então, pelo Teorema 4.1, o problema (4.18)-(4.19), tem
pelo menos uma solução u(t) que veri…ca
t
para os valores de s tais que
t; 8t 2 [0; 1];
u(t)
1
e p1
1
:
e p1
s
Nota 4.2 O Teorema 4.1 não é válido se se trocar as desigualdades das
condições de fronteira nas de…nições de sub e sobre-solução, ou seja, se se
substituir a condição (4.6) por
a (0) b
c (1) + d
0
(0)
(1)
A;
B
(4.20)
(0)
(1)
A;
B;
(4.21)
0
e (4.8) por
a (0) b
c (1) + d
0
0
80
CAPÍTULO 4. PROB. 2A ORDEM TIPO AMBROSETTI-PRODI
com a; b; c; d; A; B 2 R tais que a2 + b > 0, c2 + d > 0 e b; d
Como contra-exemplo considere-se o problema
0:
u00 (t) = 2; se t 2]0; 1[;
u0 (0) = u0 (1) = 0;
(4.22)
que corresponde a um caso particular de (Es ) com f (t; x; y)
0 e s e p(t)
tais que s p(t) 2; para t 2 [0; 1]: Por outro lado as condições de fronteira
obtêm–se considerando em (4.1) a = c = A = B = 0:
A função (t) = t2 t é uma sub-solução de (4.22), pois veri…ca (4.5) e
as novas condições de fronteira (4.20) com a = c = A = B = 0 e b; d > 0;
uma vez que
0
(0) =
0
1 < 0;
00
(1) = 1 > 0 e
(t) = 2; 8t 2]0; 1[:
Analogamente, (t) = t2 + t é uma sobre-solução de (4.22) pois veri…ca
(4.7) e (4.21), para a = c = A = B = 0 e b; d > 0; uma vez que
0
(0) = 1 > 0;
0
(1) =
1<0e
00
(t) =
2
2; 8t 2]0; 1[:
A função f (t; x; y) 0 é contínua, veri…ca trivialmente as condições de Nagumo, a sub e sobre-solução satisfazem (4.9), pois
(t) = t2
t
t2 + t = (t); 8t 2 [0; 1] ;
e, apesar disso, o problema (4.22) não tem solução.
4.4
Existência e Não Existência de Solução
A discussão da existência ou não existência de solução da equação (Es )
em função do parâmetro s é obtida para condições de fronteira do tipo (4.2),
ou seja,
a u(0) b u0 (0) = 0;
c u(1) + d u0 (1) = 0;
com a; b; c; d 0 tais que a + b > 0 e c + d > 0:
Assim, para o problema (Es )-(4.2), consideram-se como sub-soluções as
funções (t) 2 C 2 (]0; 1[) \ C 1 ([0; 1]) que veri…cam (4.5) e
a (0) b
c (1) + d
0
0
(0)
(1)
0;
0;
(4.23)
4.4. EXISTÊNCIA E NÃO EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO
81
com a; b; c; d 0 tais que a + b > 0 e c + d > 0:
As funções (t) 2 C 2 (]0; 1[) \ C 1 ([0; 1]) são sobre-soluções de (Es )-(4.2)
se veri…carem (4.7) e
a (0) b 0 (0) 0;
(4.24)
c (1) + d 0 (1) 0;
com condições análogas para os coe…cientes.
Teorema 4.2 Seja f : [0; 1] R2 ! R uma função contínua veri…cando as
condições de Nagumo (B) e (N). Se existirem s1 2 R e r > 0 tais que
f (t; x; 0)
f (t; 0; 0)
< s1 <
; 8t 2 [0; 1]; 8x
p(t)
p(t)
r,
(4.25)
então existe s0 < s1 (com a possibilidade de s0 = 1) tal que:
1) para s < s0 , (Es )-(4.2) não tem solução;
2) para s0 < s s1 , (Es )-(4.2) tem pelo menos uma solução.
Demonstração. Passo 1 . Existe s < s1 tal que (Es )-(4.2) tem solução
para s = s .
De…na-se
f (t; 0; 0)
; t 2 [0; 1] :
s = max
p(t)
Por (4.25), existe t 2 [0; 1] tal que
f (t; 0; 0)
p(t)
s =
f (t ; 0; 0)
< s1 ; 8t 2 [0; 1]:
p(t )
Então (t)
0 é uma sobre-solução de (Es )-(4.2) para s = s : Por outro
lado, (t) = r é uma sub-solução de (Es )-(4.2) para s = s ; pois, por (4.25)
e pelas condições de fronteira,
00
(t) = 0 > s1 p(t) f (t; r; 0) > s p(t)
ar
0e
c r 0; uma vez que a; c
f (t; r; 0);
0:
Como r < 0 e f satisfaz as condições de Nagumo, logo, em particular no
conjunto
(t; x; y) 2 [0; 1] R2 : r x 0 ;
então, pelo Teorema 4.1, existe pelo menos uma solução do problema (Es )(4.2) para s = s < s1 :
CAPÍTULO 4. PROB. 2A ORDEM TIPO AMBROSETTI-PRODI
82
Passo 2 . Se (Es )-(4.2) tem solução para s = < s1 ; então também tem
solução para s 2 [ ; s1 ].
Para aplicar novamente o Teorema 4.1, justi…ca-se em seguida que as
respectivas hipóteses se veri…cam. Admita-se que (Es )-(4.2), para s =
s1 ;
tem uma solução u (t); isto é,
u00 (t) + f (t; u (t); u0 (t)) =
p(t):
Esta função u (t) é uma sobre-solução de (Es )-(4.2), para os valores de s tais
que
s s1 ; pois
u00 (t) =
p(t)
f (t; u (t); u0 (t))
f (t; u (t); u0 (t));
s p(t)
enquanto as condições de fronteira são trivialmente veri…cadas.
Para r > 0 dado por (4.25), considere-se R > 0 su…cientemente grande
tal que
R r; u (0)
R e u (1)
R:
(4.26)
Então (t) =
R é uma sub-solução de (Es )-(4.2) para s
00
s1 , uma vez que
f (t; R; 0), por (4.25);
(t) = 0 > s1 p(t) f (t; R; 0) > s p(t)
aR
0e
cR 0; pois a; c 0:
Para aplicar o Teorema 4.1 falta justi…car que
R
u (t); 8t 2 [0; 1]:
Suponha-se, por contradição, que a desigualdade anterior não se veri…ca.
Então existe t 2 [0; 1] tal que u (t) < R: De…na-se
min u (t) := u (t3 ) <
R.
t2[0;1]
Por (4.26), t3 2]0; 1[: Então u0 (t3 ) = 0; u00 (t3 )
obtem-se a contradição
0
0 e, pela condição (4.25),
u00 (t3 ) = p(t3 ) f (t3 ; u (t3 ); u0 (t3 ))
s p(t3 ) f (t3 ; u (t3 ); 0) s1 p(t3 ) f (t3 ; u (t3 ); 0) < 0:
Então R u (t); para todo o t 2 [0; 1]: Como, por hipótese, f satisfaz as
condições de Nagumo no conjunto
(t; x; y) 2 [0; 1]
R2 :
R
x
u (t)
4.5. MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÃO
83
então, pelo Teorema 4.1, existe pelo menos uma solução u(t) de (Es )-(4.2)
para os valores de s tais que
s s1 :
Passo 3 : Existe s0 2 R tal que:
para s < s0 ; (Es )-(4.2) não tem solução;
para s 2]s0 ; s1 ]; (Es )-(4.2) tem pelo menos uma solução.
Considere-se
S = fs 2 R : (Es )-(4.2) tem soluçãog:
O conjunto S não é vazio pois, pelo Passo 1, s 2 S. De…na-se
s0 = inf S:
Se (Es )-(4.2) tiver solução para todo o s s1 então s0 = 1:
Pelo Passo 1 e pela de…nição de s0 ; tem-se que s0 s < s1 : Então, pelo
Passo 2; o problema (Es )-(4.2) tem pelo menos uma solução para os valores
de s tais que s0 < s
s1 : Para s < s0 o problema não tem solução, pela
própria de…nição de s0 :
Substituindo, na condição (4.25), f por f e x por x obtem-se uma
outra versão do teorema anterior, cuja demonstração segue o mesmo tipo de
argumentos:
Teorema 4.3 Seja f : [0; 1] R2 ! R uma função contínua veri…cando as
condições de Nagumo (B) e (N). Se existirem s1 2 R e r > 0 tais que
f (t; x; 0)
f (t; 0; 0)
> s1 >
; 8t 2 [0; 1]; 8x
p(t)
p(t)
r,
(4.27)
então existe s0 > s1 (com a possibilidade de s0 = +1) tal que:
1) para s > s0 , (Es )-(4.2) não tem solução;
2) para s0 > s s1 , (Es )-(4.2) tem pelo menos uma solução.
4.5
Multiplicidade de Solução
Para um caso particular das condições de fronteira (4.1) e (4.2), mais
concretamente, para a; c > 0 e b = d = A = B = 0; demonstra-se a existência de uma segunda solução para o problema (Es )-(4.3). Os argumentos
84
CAPÍTULO 4. PROB. 2A ORDEM TIPO AMBROSETTI-PRODI
utilizados conjugam o método de sub e sobre-soluções com a teoria do grau
topológico, construindo-se dois conjuntos abertos, limitados e disjuntos onde
o grau topológico seja diferente de zero.
Para estabelecer o quadro funcional do problema (Es )-(4.3), de…nam-se o
conjunto
X = fx 2 C 1 ([0; 1]) : x(0) = x(1) = 0g;
e os operadores
L : dom L ! C([0; 1]); com dom L = C 2 ([0; 1]) \ X;
de…nido por
Lu = u00
e, para s 2 R;
(4.28)
Ns : C 1 ([0; 1]) \ X ! C([0; 1])
dado por
Ns u = f (t; u(t); u0 (t))
s p(t):
(4.29)
Num conjunto
X, aberto e limitado, o operador L+Ns é L-compacto em
, (veja-se [M1]). Note-se ainda que, no domínio de L; o problema (Es )-(4.3)
é equivalente a
Lu + Ns u = 0:
Para o operador L + Ns , representa-se o grau de coincidência de L + Ns em
; relativamente a L; por dL (L + Ns ; ; 0):
Pelo Teorema 4.1, admitindo que a não linearidade veri…ca as condições
de Nagumo e que existem sub e sobre-soluções de (Es )-(4.3), (t) e (t);
respectivamente, com (t)
(t); pode a…rmar-se que no conjunto
C = f(t; x; y) 2 [0; 1]
R2 : (t) < x < (t)g;
o problema (Es )-(4.3) tem uma solução, mas, contudo, nada se pode concluir
sobre o valor do grau dL (L + Ns ; ; 0). Assim, para garantir uma correcta
de…nição do grau topológico, e determinar o seu valor, recorre-se às noções
de sub e sobre-soluções estritas.
De…nição 4.3 (i) A função (t) 2 C 2 (]0; 1[) \ C 1 ([0; 1]) é uma sub-solução
estrita do problema (Es )-(4.3) se
00
(t) + f (t; (t);
0
(t)) > s p(t)
(4.30)
4.5. MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÃO
85
com
(0) < 0 e (1) < 0:
(4.31)
(ii) A função (t) 2 C 2 (]0; 1[) \ C 1 ([0; 1]) é uma sobre-solução estrita do
problema (Es )-(4.3) se
00
(t) + f (t; (t);
0
(4.32)
(t)) < s p(t)
com
(0) > 0 e (1) > 0:
(4.33)
Observe-se que as condições de fronteira utilizadas na de…nição anterior
correspondem a um caso particular da De…nição 4.2 com b = d = A = B = 0
e a; c > 0.
Lema 4.2 Considere-se uma função contínua f : [0; 1] R2 ! R que satisfaça as condições de Nagumo (B) e (N). Suponha-se que existem sub e
sobre-soluções estritas de (Es )-(4.3), (t) e (t); respectivamente, tais que
(t) < (t), 8t 2 [0; 1]:
Então existe
1
> 0 tal que, para
= fx 2 dom L : (t) < x(t) < (t); kx0 k1 <
1 g;
se tem
dL (L + Ns ; ; 0) =
1:
Nota 4.3 Pela Nota 4.1, é possível considerar o mesmo conjunto para
toda a equação (Es ), independentemente de s, desde que e sejam sub e
sobre-soluções estritas de (Es )-(4.3) e s pertença a um conjunto limitado.
Demonstração. Para (t; x) de…nida por (4.10), considere-se a função
contínua F : [0; 1] R2 ! R dada por
F (t; x; y) = f (t; (t; x); y)
x + (t; x)
e o problema auxiliar
u00 (t) + F (t; u(t); u0 (t)) = s p(t)
u(0) = u(1) = 0:
(4.34)
86
CAPÍTULO 4. PROB. 2A ORDEM TIPO AMBROSETTI-PRODI
De…na-se o operador Fs : C 1 ([0; 1]) \ X ! C([0; 1]) dado por
Fs u = F (t; u(t); u0 (t))
s p(t):
Então, para u 2 domL; o problema (4.34) é equivalente a
Lu + Fs u = 0;
Para
2 [0; 1] e u 2 domL de…na-se a homotopia
H u := Lu
sendo Iu = u:
Considere-se
0
(1
) I u+
(H )
Fs u;
> 0 su…cientemente grande tal que, para t 2 [0; 1] ;
0
(t) < (t)
(4.35)
0;
s p(t)
f (t; (t); 0)
0
(t) < 0
(4.36)
s p(t)
f (t; (t); 0) +
0
(t) > 0:
(4.37)
e
Utilizando os argumentos seguidos no Passo 1 da demonstração do Teorema
4.1 prova-se que toda a solução u da equação H u = 0 satisfaz
kuk1 <
(4.38)
0;
independentemente de 2 [0; 1] : Pelo Passo 2, deduz-se que existe
tal que qualquer solução da mesma equação veri…ca
ku0 k1 <
1
>0
(4.39)
1;
independentemente de 2 [0; 1] :
Seja
= fx 2 dom L : (t) < x(t) < (t); kx0 k1 <
1 g:
Então são válidas as seguintes a…rmações (i) e (ii) :
(i) Existe um conjunto aberto e limitado 1
está bem de…nido e
dL (L + Fs ; 1 ; 0) = 1:
tal que dL (L + Fs ;
De…na-se
1
= fx 2 dom L : kx0 k1 <
0;
kx0 k1 <
1 g:
1 ; 0)
4.5. MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÃO
87
A inclusão
1 resulta trivialmente de (4.35). Por (4.38) e (4.39), toda
a solução u de H u = 0 pertence a 1 ; para qualquer 2 [0; 1] : Como a
fronteira de 1 é da forma
@
1
= fx 2 dom L : kx0 k1 =
0
_ kx0 k1 =
1 g;
então u 2
= @ 1 ; pelo que o grau dL (H ; 1 ; 0) está bem de…nido; para todo o
2 [0; 1]:
A equação H0 u = 0; isto é, Lu Iu = 0; admite apenas a solução nula,
pelo que
dL (H0 ; 1 ; 0) = 1:
Pela invariância do grau por homotopia
1 = dL (H0 ;
1 ; 0)
= dL (H1 ;
1 ; 0)
= dL (L + Fs ;
1 ; 0):
(4.40)
(ii) Se u é solução de H1 u = 0 então u 2 :
Seja u(t) uma solução de Lu + Fs u = 0; cuja existência é garantida por
(t):
(4.40). Suponha-se, por contradição, que existe t 2 [0; 1] tal que u(t)
De…na-se
min [u(t)
(t)] := u(t0 )
(t0 ) 0:
t2[0;1]
Por (4.31),
(0) > 0 e u(1)
u(0)
pelo que t0 2]0; 1[; u0 (t0 )
0
(1) > 0
(t0 ) = 0 e
u00 (t0 )
00
(t0 )
(4.41)
0:
Então, por (4.30), obtem-se a seguinte contradição com (4.41)
u00 (t0 ) = s
=s
=s
s
p(t0 )
p(t0 )
p(t0 )
p(t0 )
F (t0 ; u(t0 ); u0 (t0 )) =
f (t0 ; (t0 ; u(t0 )); 0 (t0 )) + u(t0 )
(t0 ; u(t0 )) =
0
f (t0 ; (t0 ); (t0 )) + u(t0 )
(t0 )
0
00
f (t0 ; (t0 ); (t0 )) < (t0 ):
Logo u(t) > (t), para t 2 [0; 1]:
Com argumentos semelhantes prova-se que u(t) <
Então, para u solução de Lu + Fs u = 0 tem-se que
(t) < u(t) < (t); 8t 2 [0; 1];
(t), para t 2 [0; 1]:
(4.42)
88
CAPÍTULO 4. PROB. 2A ORDEM TIPO AMBROSETTI-PRODI
isto é, u 2 :
Por (4.42), o grau dL (L + Fs ; ; 0) está bem de…nido e, pela propriedade
da excisão do grau,
dL (L + Fs ; ; 0) = dL (L + Fs ;
Como em
então
(4.43)
1 ; 0):
as equações Lu + Ns u = 0 e Lu + Fs u = 0 são equivalentes,
dL (L + Fs ; ; 0) = dL (L + Ns ; ; 0) =
1;
por (4.43) e (4.40).
A multiplicidade de solução é obtida assumindo que a não linearidade é
minorada localmente em x e globalmente em y.
Teorema 4.4 Seja f : [0; 1]
hipóteses do Teorema 4.2 e
x1
R2 ! R uma função contínua veri…cando as
x2 =) f (t; x1 ; y)
f (t; x2 ; y);
(4.44)
para (t; y) 2 [0; 1] R: Sendo s1 e r dados por (4.25), suponha-se que existe
M 2 R tal que toda a solução u(t) de (Es )-(4.3), com s s1 ; satisfaz
u(t) < M , 8t 2 [0; 1];
e que existe m 2 R tal que, para (t; x; y) 2 [0; 1]
f (t; x; y)
(4.45)
[ r; M ]
m p(t):
R; se tem
(4.46)
Então o número s0 dado pelo Teorema 4.2 é …nito e:
1) para s < s0 ; (Es )-(4.3) não tem solução;
2) para s = s0 ; (Es )-(4.3) tem pelo menos uma solução;
3) para s 2]s0 ; s1 ]; (Es )-(4.3) tem pelo menos duas soluções.
Demonstração. Passo 1 . Toda a solução u(t) do problema (Es )-(4.3),
para s 2]s0 ; s1 ], veri…ca
r < u(t) < M; 8t 2 [0; 1]:
Por (4.45), bastará provar que qualquer solução u(t) de (Es )-(4.3), com
s 2]s0 ; s1 ], satisfaz
r < u(t); 8t 2 [0; 1] :
4.5. MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÃO
89
Assuma-se, por contradição, que existem s 2]s0 ; s1 ]; u(t) solução de (Es )-(4.3)
e t 2 [0; 1] tais que u(t)
r: De…na-se
min u(t) := u(t1 )
r (< 0):
t2[0;1]
Como, pelas condições de fronteira (4.3), u(0) = u(1) = 0; então t1 2]0; 1[;
u0 (t1 ) = 0 e u00 (t1 )
0:
Por (4.25), obtem-se a seguinte contradição
u00 (t1 ) = s p(t1 )
0
f (t1; u(t1 ); u0 (t1 ))
s1 p(t1 )
f (t1; u(t1 ); 0) < 0:
Então
r < u(t) < M; 8t 2 [0; 1];
Passo 2 . O número s0 é …nito.
Suponha-se, por contradição, que s0 = 1; isto é, pelo Teorema 4.2, que
o problema (Es )-(4.3) tem solução para qualquer valor de s tal que s s1 :
Seja u(t) uma solução de (Es )-(4.3), para s s1 : Então, por (4.46), tem-se
u00 (t) = s p(t)
f (t; u; u0 )
s p(t)
m p(t) = (s
m) p(t).
(4.47)
De…na-se
p0 := min p(t) > 0
t2[0;1]
e considere-se s su…cientemente pequeno tal que
s>0 e
m
(m
s) p0
> M:
16
Como, por (4.3), u(0) = u(1) então existe t2 2]0; 1[ tal que u0 (t2 ) = 0: Para
t < t2 ; por (4.47),
0
u (t) =
Z
Z
t2
00
u ( )d
t
Para t
t2
(m
s) p( ) d = (m
s) p0 (t2
t
t2
0
u (t) =
Z
t
t2
u00 ( ) d
(s
m) p0 (t
t2 ):
t):
90
CAPÍTULO 4. PROB. 2A ORDEM TIPO AMBROSETTI-PRODI
Escolha-se I = 0; 41 , ou I =
I = 0; 14 ; então
3
;1
4
, tal que jt2
1
;
4
tj
para t 2 I: Se
s) p0
; 8t 2 I;
4
obtendo-se a seguinte contradição com (4.45),
u0 (t)
0=
Z
1
0
u (t) dt =
0
Z
(m
Z
1
4
0
u (t) dt +
0
1
4
Z
1
u0 (t) dt
1
4
s) p0
1
dt u
=
4
4
0
1
(m s) p0
u
=
>M u
16
4
Se I =
3
;1
4
(m
1
4
:
; então
u0 (t)
(s
m) p0
; 8t 2 I;
4
e, seguindo o mesmo tipo de argumentos, obtem-se uma contradição análoga.
Então s0 é …nito.
Passo 3 . Para s 2]s0 ; s1 ] existe uma segunda solução de (Es )-(4.3).
Como s0 é …nito, pelo Teorema 4.2, existe s 1 < s0 tal que (Es )-(4.3),
para s = s 1 ; não tem solução.
Pelo Lema 4.1 e pela Nota 4.1, é possível considerar 1 > 0; su…cientemente grande, tal que a estimação ku0 k1 < 1 se veri…que para toda a
solução u(t) de (Es )-(4.3), com s 2 [s 1 ; s1 ] :
Considerando M1 := max fr; jM jg de…na-se o conjunto
2
= fx 2 dom L : kxk1 < M1 ; kx0 k1 <
1 g:
Então
dL (L + Ns 1 ;
2 ; 0)
= 0:
(4.48)
Pelo Passo 1, nenhuma solução u(t) do problema (Es )-(4.3), com s 2 [s 1 ; s1 ] ;
pertence à fronteira de 2 :
De…nindo a homotopia no parâmetro s
H( ) = (1
)s
1
+
s1 ;
4.5. MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÃO
91
deduz-se que o grau de coincidência dL (L + NH( ) ; 2 ; 0) está bem de…nido
para quaisquer 2 [0; 1] e s 2 [s 1 ; s1 ] : Por (4.48) e pela invariância do grau
em relação a uma homotopia obtem-se
0 = dL (L + Ns 1 ;
2 ; 0)
= dL (L + Ns ;
(4.49)
2 ; 0),
para s 2 [s 1 ; s1 ] : Tome-se 2]s0 ; s1 ] [s 1 ; s1 ] e seja u (t) uma solução de
(Es )-(4.3), para s = ; cuja existência é garantida pelo Teorema 4.2. Pelo
Passo 1 é possível considerar " > 0 tal que
ju (t) + "j < M1 , 8t 2 [0; 1] :
(4.50)
A função de…nida por
u
e(t) := u (t) + "
é uma sobre-solução estrita de (Es )-(4.3), para
<s
s1 : De facto
u
e00 (t) = u00 (t) = p(t) f (t; u ; u0 ) < s p(t) f (t; u ; u
e0 )
s p(t) f (t; u + "; u
e0 ) = s p(t) f (t; u
e; u
e0 ), por (4.44);
u
e(0) = u
e(1) = " > 0:
Por outro lado,
r é uma sub-solução estrita de (Es )-(4.3) para s
s1 , pois
00
(t) = 0 > s1 p(t) f (t; r; 0) s p(t) f (t; r; 0); por (4.25);
ar < 0e
c r < 0; uma vez que a; c > 0:
Pelo Passo 1, para t 2 [0; 1],
r < u (t) pelo que
r<u
e(t) = u (t) + ":
Pelo Lema 4.2 e pela Nota 4.3, existe
"
= fx 2 dom L :
o grau de coincidência
dL (L + Ns ;
1
> 0; independente de s, tal que para
r < x(t) < u
e(t); kx0 k1 <
" ; 0)
=
2
" ; 0)
1g
1 , para s 2] ; s1 ]:
Tomando, em 2 , 1 su…cientemente grande tal que "
obtem-se por (4.49), (4.52) e pela aditividade do grau, que
dL (L + Ns ;
(4.51)
=
1 , para s 2] ; s1 ]:
(4.52)
2,
por (4.50),
92
CAPÍTULO 4. PROB. 2A ORDEM TIPO AMBROSETTI-PRODI
Então; para s 2]s0 ; s1 ]; o problema (Es )-(4.3) tem, pelo menos, duas soluções
u1 e u2 tais que u1 2 " e u2 2 2
é arbitrário em ]s0 ; s1 ]:
" uma vez que
Passo 4 . Para s = s0 ; o problema (Es )-(4.3) tem pelo menos uma
solução.
Considere-se uma sucessão sn tal que sn 2]s0 ; s1 ] e lim sn = s0 : Pelo
Teorema 4.2, para cada sn ; o problema (Es )-(4.3) com s = sn , tem uma
solução un : Pelas estimações do Passo 1, veri…ca-se que
kun k1 < M1
e, pelo Lema 4.1, existe e > 0 su…cientemente grande, tal que
ku0n k1 < e;
independentemente de n:
Então a sucessão u00n é limitada em C([0; 1]) e, pelo Teorema de ArzèlaAscoli, pode tomar-se uma subsucessão de un convergente em C 1 ([0; 1]) para
uma solução u0 (t) de (Es )-(4.3), com s = s0 . Assim, existe, pelo menos, uma
solução de (Es )-(4.3) para s = s0 :
Tal como para o Teorema 4.2 é possível obter uma outra versão do Teorema 4.4:
Teorema 4.5 Considere-se uma função contínua f : [0; 1]
veri…que as hipóteses do Teorema 4.3 e a condição
x1
x2 =) f (t; x1 ; y)
R2 ! R que
f (t; x2 ; y);
para (t; y) 2 [0; 1] R. Para s1 e r dados por (4.27), suponha-se que existe
M 2 R tal que toda a solução u(t) de (Es )-(4.3), com s s1 ; satisfaz
u(t) > M , 8t 2 [0; 1];
e que existe m 2 R tal que, para (t; x; y) 2 [0; 1]
f (t; x; y)
[ r; M ]
m p(t):
Então o número s0 dado pelo Teorema 4.3 é …nito e:
1) para s > s0 ; (Es )-(4.3) não tem solução;
2) para s = s0 ; (Es )-(4.3) tem pelo menos uma solução;
3) para s 2 [s1 ; s0 [; (Es )-(4.3) tem pelo menos duas soluções.
R, se tem
CAPÍTULO 5
Problemas de Ordem n com
Valores na Fronteira
5.1
Introdução
Neste capítulo aborda-se a equação de ordem n
u(n) (t) + f (t; u(t); u0 (t); :::; u(n
1)
Rn ! R uma função contínua, com
para t 2]0; 1[ e n 2; sendo f : [0; 1]
as condições de fronteira
u(i) (0) = 0; para i = 0; :::; n
au
(n 2)
c u(n
2)
(0)
(Sn )
(t)) = 0;
(n 1)
bu
(1) + d u(n
1)
3;
(5.1)
(0) = A;
(1) = B;
para a; b; c; d; A; B 2 R tais que a2 + b > 0; c2 + d > 0 e b; d
Em [W] é estudada a equação
u(n) (t) + f (t; u(t); u0 (t); :::; u(n
2)
0:
(t)) = 0;
para t 2]0; 1[ e n
2 com f 2 C ([0; 1] Rn 1 ; R) e cujas condições de
fronteira são um caso particular de (5.1), concretamente, para A = B = 0;
a; b; c; d 0 e bc + ac + ad > 0:
Um dos objectivos desta secção é generalizar o problema apresentado em
[W], não só nas condições de fronteira mas também na própria equação diferencial, conferindo à não linearidade a possibilidade de incluir a dependência
em mais uma variável.
93
94
CAPÍTULO 5. PROBLEMAS COM VALORES NA FRONTEIRA
Esta última generalização é obtida com recurso a uma condição do tipo
Nagumo, adaptada para a ordem n, e que exige uma limitação à função não
linear em todas as variáveis, excepto na última, à qual não é permitido um
comportamento assimptótico super-quadrático.
Por outro lado, inicia-se o estudo, que se complementa no capítulo seguinte,
sobre a existência de solução para um problema de ordem n 2; com valores
separados em dois pontos da fronteira. O método aplicado segue a lógica
dos argumentos utilizados no problema de segunda ordem, (Es )-(4.1), para
s = 0; e generaliza o resultado de [GM], obtido para um problema de terceira
ordem com o mesmo tipo de condições na fronteira.
5.2
Condição de Tipo Nagumo e De…nições
Na sua versão inicial a condição de Nagumo foi apresentada para problemas de segunda ordem. A próxima de…nição sugere um processo para
estabelecer restrições do tipo Nagumo ao crescimento da não linearidade,
por forma a garantir estimações a priori para a derivada de ordem n 1 das
soluções da equação (Sn ).
De…nição 5.1 Uma função contínua g : [0; 1]
de tipo Nagumo no conjunto E da forma
Rn :
E = (t; x0 ; :::; xn 1 ) 2 [0; 1]
com
j (t)
e
j (t)
j (t)
Rn ! R satisfaz condições
xj
j (t);
j = 0; :::; n
2 ;
funções contínuas tais que, para t 2 [0; 1] e j = 0; :::; n
j (t)
2;
j (t);
se existe uma função contínua hE : R+
0 !]0; +1[, tal que
jg(t; x0 ; :::; xn 1 )j
e
Z
0
hE (jxn 1 j); 8(t; x0 ; :::; xn 1 ) 2 E;
(5.2)
+1
hE ( )
d = +1 .
(5.3)
Se tal se veri…car para todo o conjunto E
[0; 1] Rn da forma anterior
diz-se simplesmente que a função g satisfaz condições de tipo Nagumo.
5.2. CONDIÇÃO DE TIPO NAGUMO E DEFINIÇÕES
95
Lema 5.1 Seja f : [0; 1] Rn ! R uma função contínua que veri…que as
condições de tipo Nagumo (5.2) e (5.3) em
Rn :
E = (t; x0 ; :::; xn 1 ) 2 [0; 1]
com j (t) e
de n 2 , n
j (t)
xj
j (t);
j = 0; :::; n
2 ;
funções contínuas. Então existe r > 0 (dependendo apenas
e h) tal que qualquer solução u(t) da equação (Sn ) que veri…que
j (t)
2
u(j) (t)
j (t)
para j = 0; :::; n
(5.4)
j (t);
2 e t 2 [0; 1]; satisfaz
u(n
1)
r:
1
Demonstração. De…na-se o número não negativo
:= max
n 2 (1)
n 2 (0);
n 2 (0)
n 2 (1)
:
Se para qualquer solução u(t) de (Sn ), que veri…que (5.4), se tem
u(n
1)
(t)
;
para todo o t 2 [0; 1], basta tomar r := e a demonstração …ca concluída.
Suponha-se que existe u(t) solução de (Sn ), satisfazendo (5.4), e que existe
t 2 [0; 1] tal que
u(n 1) (t) > :
Assuma-se que u(n
1)
(t) > , para todo o t 2 [0; 1]: Se
u(n
1)
(t) > ; 8t 2 [0; 1];
tem-se a contradição
n 2 (1)
n 2 (0)
=
u(n
Z 1
0
2)
(1)
u(n
1)
u(n
2)
(t) dt >
(0)
Z 1
dt
n 2 (1)
n 2 (0).
0
Uma contradição análoga é obtida se se admitir que u(n
todo o t 2 [0; 1]: Então existe t 2 [0; 1] tal que u(n 1) (t)
1)
(t) <
:
, para
96
CAPÍTULO 5. PROBLEMAS COM VALORES NA FRONTEIRA
Suponha-se então que, para um certo t1 2 [0; 1]; para o qual se veri…ca
u
(t1 ) > , e considere-se um intervalo I = [t0 ; t1 ], ou I = [t1 ; t0 ], de
modo a que
u(n 1) (t0 ) = e u(n 1) (t) > ;
(n 1)
para qualquer t 2 Inft0 g. Observe-se que como
u(n
Considere-se r >
Z
1)
0 então
0; 8t 2 I:
(t)
tal que
r
d
hE ( )
max
n 2 (t)
t2[0;1]
min
.
n 2 (t)
t2[0;1]
Para I = [t0 ; t1 ]; (para o outro caso o processo é semelhante), utilizando uma
mudança de variável conveniente, obtem-se, por (5.2),
Z
u(n
u(n
1) (t )
1
1) (t )
0
hE ( )
d =
Z
t1
t0
t1
=
Z
t
Z 0t1
u(n 1) (t)
u(n) (t) dt =
(n 1)
hE (u
(t))
f (t; u(t); :::; u(n 1) (t)) (n
u
hE (u(n 1) (t))
u(n
1)
(t) dt = u(n
2)
max
t2[0;1]
n
2 (t)
min
t2[0;1]
n
u(n
(t1 )
t0
2 (t)
1)
Z
(t) dt
2)
(t0 )
r
hE ( )
d .
Então u(n 1) (t1 ) r e, uma vez que t1 é arbitrário entre os valores de t tais
que u(n 1) (t) > ; veri…ca-se que, para t 2 [0; 1] tal que u(n 1) (t) > ; se tem
u(n 1) (t) r:
A justi…cação para u(n 1) (t)
r, com t 2 [0; 1] em que se veri…que
(n 1)
u
(t) <
; é análoga. Logo
r
u(n
1)
(t)
r; 8t 2 [0; 1];
obtendo-se o resultado pretendido.
De…nem-se de seguida as noções de sub e sobre-solução do problema (Sn )(5.1).
5.3. EXISTÊNCIA E LOCALIZAÇÃO DE SOLUÇÃO
97
De…nição 5.2 Considere-se a; b; c; d; A e B nas condições referidas em (5.1)
com n 2:
(i) Uma função (t) 2 C n (]0; 1[)\C n 1 ([0; 1]) é uma sub-solução do problema
(Sn )-(5.1) se
(n)
0
(t) + f (t; (t);
(n 1)
(t); :::;
(t))
0;
(5.5)
para t 2]0; 1[; e
(i)
0; para i = 0; :::; n
(0)
a
(n 2)
c
(n 2)
3;
b
(n 1)
(0)
A;
(1) + d
(n 1)
(1)
B:
(0)
(5.6)
(ii) Uma função (t) 2 C n (]0; 1[) \ C n 1 ([0; 1]) é uma sobre-solução do problema (Sn )-(5.1) se
(n)
(t) + f (t; (t);
0
(t); :::;
(n 1)
(t))
0;
(5.7)
para t 2]0; 1[; e
(i)
5.3
0; para i = 0; :::; n
(0)
a
(n 2)
b
(n 1)
c
(n 2)
(0)
A;
(1) + d
(n 1)
(1)
B:
(0)
3;
(5.8)
Existência e Localização de Solução
O próximo resultado estabelece a existência de solução para o problema
(Sn )-(5.1), sob certas condições assumidas sobre a não linearidade. Além
disso, o resultado obtido permite enquadrar não só a solução como também as
(n 2) primeiras derivadas pelas sub e sobre-soluções e respectivas derivadas.
Teorema 5.1 Seja f : [0; 1] Rn ! R uma função contínua, com n
2.
Suponha-se que existem sub e sobre-soluções do problema (Sn )-(5.1), (t) e
(t); respectivamente, tais que
(n 2)
(t)
(n 2)
(t), para t 2 [0; 1];
(5.9)
98
CAPÍTULO 5. PROBLEMAS COM VALORES NA FRONTEIRA
e que f satisfaz as condições de tipo Nagumo (5.2) e (5.3) em
n
(i)
E = (t; x0 ; :::; xn 1 ) 2 [0; 1] Rn : (i) (t) xi
(t); i = 0; :::; n
o
2 :
Se a função f veri…ca
f (t; (t); :::;
para t; xn
( (t);
e xn
2
0
1
(t); :::;
(n 3)
(t); xn 2 ; xn 1 )
f (t; (t); ; :::;
f (t; x0 ; :::; xn 1 )
(t); xn 2 ; xn 1 );
(5.10)
(n 3)
…xos e para
(n 3)
(t))
(x0 ; :::; xn 3 )
( (t);
0
(t); :::;
(n 3)
(t));
em que a relação de ordem (x0 ; :::; xn 3 ) (y0 ; :::; yn 3 ) signi…ca que xj yj ;
para j = 0; :::; n 3; então o problema (Sn )-(5.1) tem, pelo menos, uma
solução u(t) 2 C n ([0; 1]) com
(i)
para i = 0; :::; n
(t)
(i)
u(i) (t)
(t),
2 e para t 2 [0; 1].
Nota 5.1 (i) Se a função f (t; x0 ; :::; xn 1 ) for crescente nas variáveis xi ;
com i = 0; :::; n 3; então satisfaz a condição (5.10).
(ii) Observe-se que de (5.9) se deduzem, por integração e utilizando as
condições de fronteira (5.6) e (5.8), as relações
(i)
(t)
(i)
(t);
para i = 0; :::; n 3; que, em particular, são implicitamente usadas em (5.10).
Demonstração. De…nam-se as funções contínuas
8 (i)
(t) se xi > (i) (t)
<
(i)
x
se
(t) xi
i (t; xi ) =
: i(i)
(t) se xi < (i) (t);
i
(i)
(5.11)
(t)
com i = 0; :::; n 2:
Para 2 [0; 1] considere-se o problema homotópico formado pela equação
u(n) (t) +
f t; 0 (t; u(t)); :::;
= u(n 2) (t)
(n 2)
(t)); u(n 1) (t)
n 2 (t; u
(n 2)
(t));
n 2 (t; u
=
(Sn )
5.3. EXISTÊNCIA E LOCALIZAÇÃO DE SOLUÇÃO
99
para t 2]0; 1[; e pelas condições de fronteira
u(i) (0) = 0; para i = 0; :::; n 3;
u(n 2) (0) =
[A a n 2 (0; u(n 2) (0)) + b u(n
+ n 2 (0; u(n 2) (0))];
u(n 2) (1) =
[B c n 2 (1; u(n 2) (1)) d u(n
+ n 2 (1; u(n 2) (1))]:
1)
(0) +
(5.12)
1)
(1) +
Seja r1 > 0 tal que, para t 2 [0; 1];
(n 2)
r1 <
f (t; (t); :::;
(n 2)
f (t; (t); :::;
(n 2)
(t)
(n 2)
(t) < r1 ,
(5.13)
(n 2)
(5.14)
(t); 0) + r1 +
(t); 0)
r1 +
(t) > 0;
(n 2)
(t) < 0
(5.15)
e
A
a
(n 2)
(0) +
(n 2)
(0)
< r1 ;
B
c
(n 2)
(1) +
(n 2)
(1)
< r1 ;
A
a
(n 2)
(0) +
(n 2)
(0)
< r1 ;
B
c
(n 2)
(1) +
(n 2)
(1)
< r1 :
(5.16)
Passo 1 . Toda a solução u(t) de (Sn )-(5.12) veri…ca
u(i) (t) < r1 ; 8t 2 [0; 1];
para i = 0; :::; n 2 e independentemente de 2 [0; 1]:
Suponha-se, por contradição, que a propriedade anterior não se veri…ca
para i = n 2: Então, existe uma solução u(t) de (Sn )-(5.12) e t 2 [0; 1] tais
que u(n 2) (t)
r1 : Para esse t 2 [0; 1], tem-se que u(n 2) (t) r1 ou então
(n 2)
u
(t)
r1 :
No primeiro caso de…na-se
max u(n
t2[0;1]
2)
(t) := u(n
2)
(t0 ) (
r1 > 0):
100
CAPÍTULO 5. PROBLEMAS COM VALORES NA FRONTEIRA
Se t0 2]0; 1[; tem-se que u(n 1) (t0 ) = 0 e u(n) (t0 )
por (5.10) e (5.15), obtem-se a contradição
0
0: Então, para
u(n) (t0 ) =
=
f (t0 ; 0 (t0 ; u(t0 )); :::; n 2 (t0 ; u(n 2) (t0 )); u(n 1) (t0 )) +
(n 2)
+u(n 2) (t0 )
(t0 ))
n 2 (t0 ; u
=
f (t0 ; 0 (t0 ; u(t0 )); :::; n 3 (t0 ; u(n 3) (t0 )); (n 2) (t0 ); 0) +
(n 2)
+u(n 2) (t0 )
(t0 )
(n 3)
f (t0 ; (t0 ); :::;
(t0 ); (n 2) (t0 ); 0) + u(n 2) (t0 )
[ f (t0 ; (t0 ); :::; (n 2) (t0 ); 0) r1 + (n 2) (t0 )] > 0:
Para
2]0; 1];
(n 2)
(t0 )
= 0 a contradição é a seguinte
u(n) (t0 ) = u(n
0
2)
(t0 )
r1 > 0:
Se t0 = 0; então
max u(n
2)
t2[0;1]
e u(n
r1
1)
(0+ ) = u(n
1)
(0)
(t) := u(n
2)
a
(n 2)
r1 > 0)
0: Então, por (5.1) e (5.16), tem-se a contradição
u(n 2) (0) =
=
[A a n 2 (0; u(n 2) (0)) + b u(n
=
[A a (n 2) (0) + b u(n 1) (0) +
[A
(0) (
(n 2)
(0) +
1)
(0) + n 2 (0; u(n
(n 2)
(0)]
A
(0)]
a
(n 2)
(0) +
2)
(0))] =
(n 2)
(0) < r1 :
Se t0 = 1; obtem-se
max u(n
t2[0;1]
e u(n 1) (1 ) = u(n
contradição
r1
1)
(1)
2)
(t) := u(n
c
(n 2)
(1) +
(1) (
r1 > 0)
0: Então, por (5.1) e (5.16), tem-se a seguinte
u(n 2) (1) =
=
[B c n 2 (1; u(n 2) (1))
=
[B c (n 2) (1) d u(n
[B
2)
(n 2)
d u(n
1)
(1) +
(1)]
1)
(1) + n 2 (1; u(n
(n 2)
(1)]
B
c
(n 2)
(1) +
2)
(1))] =
(n 2)
(1) < r1 :
5.3. EXISTÊNCIA E LOCALIZAÇÃO DE SOLUÇÃO
101
Então u(n 2) (t) < r1 ; para todo o t 2 [0; 1]: De modo semelhante, prova-se
que u(n 2) (t) > r1 ; para t 2 [0; 1]:
Como u(i) (0) = 0; as relações u(i) (t) < r1 ; para todo o t 2 [0; 1] e
i = 0; :::; n 3; são facilmente obtidas por integração sucessiva.
Passo 2 . Existe r2 > 0 tal que toda a solução u(t) de (Sn )-(5.12) satisfaz
u(n
1)
(t) < r2 ; 8t 2 [0; 1];
independentemente de 2 [0; 1]:
Considere-se o conjunto
Er1 = f(t; x0 ; :::; xn 1 ) 2 [0; 1]
e, para
Rn :
r1
xj
r1 ; j = 0; :::; n
2g
2 [0; 1]; a função F : Er1 ! R de…nida por
F (t; x0 ; :::; xn 1 ) = f (t;
xn 2 +
0 (t; x0 ); :::; n 2 (t; xn 2 ); xn 1 )
n 2 (t; xn 2 ):
Justi…car-se-á de seguida que a função F satisfaz as condições de tipo Nagumo (5.2) e (5.3) em Er1 , independentemente de 2 [0; 1]: De facto, como
f veri…ca (5.2) em E ; então
jF (t; x0 ; :::; xn 1 )j
jf (t; 0 (t; x0 ); :::; n 2 (t; xn 2 ); xn 1 )j +
+ jxn 2 j + j n 2 (t; xn 2 )j
hE (jxn 1 j) + r1 + j n 2 (t; xn 2 )j
2 r1 + hE (jxn 1 j):
De…na-se em R+
0 a função hEr1 (x) = 2 r1 + h(x): Então, a função F satisfaz
a condição (5.2) com hEr1 (xn 1 ): Quanto à condição (5.3), como f veri…ca
(5.3) em E ; tem-se
Z +1
Z +1
t
t
dt =
dt = +1.
hEr1 (t)
2 r1 + hE (t)
0
0
Como, pelo Passo 1, qualquer solução de (Sn )-(5.12) veri…ca
u(i) (t) < r1 ; para t 2 [0; 1] e i = 0; :::; n
2;
então, aplicando o Lema 5.1 com
j (t)
r1 e
j (t)
r1 ; para j = 0; :::; n
2;
102
CAPÍTULO 5. PROBLEMAS COM VALORES NA FRONTEIRA
deduz-se que existe r2 > 0 tal que
u(n
1)
(t) < r2 ; 8t 2 [0; 1]:
então u(n
Como r1 e h não dependem de
1)
(t) < r2 é independente de :
Passo 3. O problema (Sn )-(5.12), para
solução u1 (t):
De…nam-se os operadores
L : C n ([0; 1])
= 1; tem pelo menos uma
C n 1 ([0; 1]) ! C([0; 1])
Rn
dado por
Lu = (u(n) ; u(0); u0 (0); :::; u(n
2)
(0); u(n
2)
(1))
e
N : C (n
1)
([0; 1]) ! C([0; 1])
Rn
por
N u = (
f (t;
(n 2)
+u
(n 2)
(t)); u(n 1) (t))
0 (t; u(t)); :::; n 2 (t; u
(n 2)
(t)); 0; :::; 0; A ; B );
n 2 (t; u
+
sendo
A :=
[A
a
B :=
[B
c
(n 2)
(0))
n 2 (0; u
+ b u(n
1)
(0) +
(n 2)
(0))]
n 2 (0; u
(5.17)
d u(n
1)
(1) +
(n 2)
(1))]:
n 2 (1; u
(5.18)
e
Como L
contínuo
1
(n 2)
(1))
n 2 (1; u
é compacto é possível de…nir o seguinte operador completamente
T : C n 1 ([0; 1]); R
! C n 1 ([0; 1]); R
dado por
T (u) = L 1 N (u):
Considere-se o conjunto
= fx 2 C n 1 ([0; 1]) : x(i)
1
< r1 ; i = 0; :::; n
2; x(n
1)
1
< r2 g:
5.3. EXISTÊNCIA E LOCALIZAÇÃO DE SOLUÇÃO
103
Pelos Passos 1 e 2, o grau d(I T ; ; 0) está bem de…nido para qualquer
2 [0; 1] e, pela invariância por homotopia,
T0 ; ; 0) = d(I
d(I
T1 ; ; 0):
Como a equação u = T0 (u); ou seja, o problema
u(n) (t) u(n 2) (t) = 0
u(i) (0) = u(n 2) (1) = 0; i = 0; :::; n
2;
admite apenas a solução nula, então, pela teoria do grau,
T0 ; ; 0) =
d(I
1:
Logo a equação u = T1 (u) tem, pelo menos, uma solução. Ou seja, o problema
(Sn )-(5.12), para = 1;
u(n) (t) + f (t;
0 (t; u(t)); :::; n 2 (t; u
= u(n
2)
(t)
(n 2)
n 2 (t; u
(t)); u(n
(n 2)
1)
(t)) =
(5.19)
(t));
com
u(i) (0) = 0; i = 0; :::; n 3;
u(n 2) (0) = A a n 2 (0; u(n 2) (0)) + bu(n
+ n 2 (0; u(n 2) (0));
u(n 2) (1) = B c n 2 (1; u(n 2) (1)) du(n
+ n 2 (1; u(n 2) (1));
tem, pelo menos, uma solução u1 (t) em
1)
(0) +
(5.20)
1)
(1) +
:
Passo 4 . A função u1 (t) é solução do problema inicial (Sn )-(5.1).
A referida função u1 (t); solução do problema (5.19)-(5.20), será também
solução do problema inicial (Sn )-(5.1) desde que veri…que, para i = 0; :::; n 2;
(i)
(i)
(t)
u1 (t)
(i)
(t); 8[0; 1]:
Suponha-se, por contradição, que existe t 2 [0; 1] tal que
(n 2)
u1
(t) >
(n 2)
(t):
104
CAPÍTULO 5. PROBLEMAS COM VALORES NA FRONTEIRA
De…na-se
h
(n
max u1
2)
t2[0;1]
(n 2)
(t)
(n 1)
Se t1 2]0; 1[ então u1
i
(n
(t) := u1
(t1 ) =
(n 1)
2)
(n 2)
(t1 )
(t1 ) > 0:
(5.21)
(t1 ) e
(n)
(n)
u1 (t1 )
(5.22)
(t1 ):
Então, por (5.10) e (5.21), obtem-se a seguinte contradição com (5.22)
(n)
u1 (t1 ) =
=
>
(n 2)
(n 1)
(t1 )); u1
(t1 ))) +
0 (t1 ; u1 (t1 )); :::; n 2 (t1 ; u1
(n 2)
(n 2)
+u1
(t1 )
(t1 ))
n 2 (t1 ; u1
(n 3)
f (t1 ; 0 (t1 ; u1 (t1 )); :::; n 3 (t1 ; u1
); (n 2) (t1 ); (n 1) (t1 ))
(n 2)
(n 2)
+u1
(t1 )
(t1 )
(n 3)
f (t1 ; (t1 ); :::;
(t1 ); (n 2) (t1 ); (n 1) (t1 )) +
(n 2)
(n 2)
+u1
(t1 )
(t1 )
(n 1)
(n)
f (t1 ; (t1 ); :::;
(t1 ))
(t1 ):
f (t1 ;
Se t1 = 0; tem-se
h
(n
max u1
t2[0;1]
2)
(t)
(n 2)
e
(n 1)
u1
(0+ )
Então, por (5.8) e como b
(n 2)
(n 2)
=
(n 1)
(0+ ) = u1
2)
(n 2)
(0)
(0)
(n 1)
(0) > 0
(0)
0:
0 obtem-se a contradição
(n 2)
(0)) +
n 2 (0; u1
(n 1)
(n 2)
+b u1
(0) + n 2 (0; u1
(0))
(n 1)
(n 2)
A a
(0) + b u1
(0) + (n 2) (0)
(n 1)
b (n 1) (0) + b u1
(0) + (n 2) (0) =
h
i
(n 1)
(n 1)
(n 2)
b u1
(0)
(0) + (n 2) (0)
(0):
(0) < u1
=
(n 1)
i
(n
(t) := u1
+
(0) = A
a
Então t1 6= 0 e, com argumentos semelhantes, prova-se também que t1 6= 1:
Assim,
(n 2)
(n 2)
u1
(t)
(t); 8t 2 [0; 1]:
5.3. EXISTÊNCIA E LOCALIZAÇÃO DE SOLUÇÃO
Aplicando o mesmo tipo de argumentos, justi…ca-se que
para t 2 [0; 1]: Integrando em [0; t] as desigualdades
(n 2)
(n 2)
(t)
u1
(0)
u1
(n 2)
(t)
105
(n 2)
(n 2)
(t)
u1
(t);
(t); 8t 2 [0; 1]:
tem-se que
(n 3)
(t)
(n 3)
(n 3)
(n 3)
(t)
u1
(0)
(n 3)
(t)
(n 3)
(0)
Ou seja, por (5.6), (5.20) e (5.8),
(n 3)
(n 3)
(t)
u1
(n 3)
(t)
(t); 8t 2 [0; 1]:
Iterando esta integração, pelas condições de fronteira das sub e sobre-soluções,
prova-se que
(i)
(i)
(i)
(t) u1 (t)
(t); 8t 2 [0; 1];
para i = 0; :::; n
2: Então u1 (t) é uma solução de (Sn )-(5.1).
Exemplo 5.1 Considere-se o problema formado pela equação de ordem
n 2
q
u(n 2) (t)
3
2
(n)
u (t) + arctan(u(t)) arctan
[u(n 1) (t)] + 1 = 0; (5.23)
(n 2)!
para t 2]0; 1[ e com valores separados em dois pontos da fronteira
u(i) (0) = 0; para i = 0; :::; n
a u(n
2)
(n 2)
cu
sendo a; b; c; d
A função
b u(n
(0)
(1) + d u
1)
(0) = A;
(n 1)
(1) = B;
3;
(5.24)
0 tais que a + b > 0 e c + d > 0:
f (t; x0 ; :::; xn 1 ) = arctan(x0 )
arctan
xn 2
(n 2)!
p
3
(xn 1 )2 + 1
é contínua e veri…ca as condições de tipo Nagumo (5.2) e (5.3), com
h(x) =
2
+
2
p
3
x2 + 1:
106
CAPÍTULO 5. PROBLEMAS COM VALORES NA FRONTEIRA
Se A e B forem números reais tais que jAj a(n 2)! e jBj c(n 2)!; então
as funções ; : [0; 1] ! R, dadas por (t) = tn 2 e (t) = tn 2 são sub e
sobre-soluções do problema (5.23)-(5.24), respectivamente. Além disso, são
válidas as condições (5.9) e (5.10).
Então, pelo Teorema 5.1, existe, pelo menos, uma solução u(t) de (5.23)(5.24) tal que, para todo o t 2 [0; 1];
(n
2):::(n
para i = 0; :::; n
i
1) tn
2 i
u(i) (t)
(n
2):::(n
3; e
(n
2)!
u(n
2)
(t)
(n
2)!:
i
1) tn
2 i
;
CAPÍTULO 6
Problemas do Tipo
Ambrosetti-Prodi de Ordem n
6.1
Introdução
Neste capítulo são estudados problemas do tipo Ambrosetti-Prodi de
ordem n 2, formados pela equação diferencial
u(n) (t) + f (t; u(t); :::; u(n
1)
(t)) = s p(t)
(APs )
com t 2]0; 1[; f : [0; 1] Rn ! R e p : [0; 1] ! R+ duas funções contínuas e
s um parâmetro real, sob diversos tipos de condições na fronteira. No caso
mais geral que foi considerado, ou seja, em que
u(i) (0) = 0; para i = 0; :::; n
au
(n 2)
(n 2)
cu
(0)
(n 1)
(0) = A;
(n 1)
(1) = B;
bu
(1) + d u
3;
(6.1)
com a; b; c; d; A; B 2 R tais que a2 + b > 0, c2 + d > 0 e b; d 0; garante-se a
existência de solução do problema (APs )-(6.1), para os valores do parâmetro
s em que existam sub e sobre-soluções do problema.
Em particular, para A = B = 0, a; b; c; d
0, tais que a + b > 0 e
c + d > 0, isto é, para condições do tipo
u(i) (0) = 0; para i = 0; :::; n
a u(n
2)
b u(n
1)
(0) = 0;
c u(n
2)
(1) + d u(n
1)
(1) = 0;
(0)
107
3;
(6.2)
108
CAPÍTULO 6. PROB. ORDEM N TIPO AMBROSETTI-PRODI
discute-se a existência ou não existência de solução do problema (APs )-(6.2)
em função do parâmetro s:
Na situação mais restrita aqui considerada, em que as condições de fronteira são da forma
u(i) (0) = 0; para i = 0; :::; n
u(n 2) (1) = 0;
2;
(6.3)
demonstra-se a multiplicidade de solução do problema (APs )-(6.3).
Os resultados apresentados para os problemas de ordem n são sugeridos
pelos contidos em [FMN], para problemas periódicos de segunda ordem, e em
[Se], para problemas de terceira ordem com valores separados na fronteira. O
estudo efectuado recorre ao tipo de argumentos utilizados nos problemas que
incluem a equação diferencial de segunda ordem (Es ) e as várias situações de
fronteira apresentadas no Capítulo 4.
Na metodologia desenvolvida, que alia a técnica das sub e sobre-soluções,
como em [CH], com a teoria do grau de coincidência, [GMa] ou [M1], têm
um papel importante as hipóteses de crescimento, assumidas através das
condições de tipo Nagumo, bem como o tipo de monotonia exigido à não
linearidade. Para a multiplicidade de solução é ainda necessário recorrer aos
conceitos de sub e sobre-solução estritas, admitir a limitação inferior de f
bem como a predominância do crescimento numas variáveis em relação à
variação de outras.
6.2
Existência de Solução
Veri…cados os critérios de crescimento impostos à não linearidade pelas
condições de tipo Nagumo, (5.2) e (5.3), é possível obter uma estimação a
priori para as derivadas de ordem (n 1) das soluções do problema (APs )(6.1), desde que as respectivas derivadas até à ordem (n 2) obedeçam a
um enquadramento conveniente, seguindo os argumentos apresentados no
capítulo anterior.
De facto se se considerar a não linearidade da equação diferencial (Sn )
como uma função da forma
f (t; u(t); :::; u(n
1)
(t))
s p(t)
o Lema 5.1 e o Teorema 5.1 permanecem válidos quando aplicados ao problema (APs )-(6.1).
6.2. EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO
109
Nota 6.1 Saliente-se que o valor de r indicado no Lema 5.1 irá depender
agora do parâmetro s e das funções p; h; n 2 e n 2 : Contudo se s variar
num conjunto limitado, r pode ser considerado independentemente de s:
Analogamente, aplicando na De…nição 5.2 a decomposição da não linearidade anteriormente referida, uma função (t) 2 C n (]0; 1[) \ C n 1 ([0; 1]) é
uma sub-solução do problema (APs )-(6.1) se veri…car
(n)
(t) + f (t; (t);
0
(n 1)
(t); :::;
(t))
(6.4)
s p(t);
para t 2]0; 1[; e as condições de fronteira (5.6)
Do mesmo modo uma função (t) 2 C n (]0; 1[) \ C n 1 ([0; 1]) é uma sobresolução do problema (APs )-(6.1) se
(n)
(t) + f (t; (t);
0
(n 1)
(t); :::;
(t))
(6.5)
s p(t);
para t 2]0; 1[; e satis…zer (5.8).
Apresentam-se em seguida dois exemplos para clari…car a relação entre
a existência de solução do problema e a variação do segundo membro da
equação diferencial.
Exemplo 6.1 Considere-se, para n
u(n) (t)
arctan u(n
2)
2 e k 2 N, a equação
(t) + [u(t)]2k+1 u(n
1)
(t)
2
(6.6)
= s p(t)
obedecendo às condições de fronteira
u(i) (0) = 0; para i = 0; :::; n
au
(n 2)
(n 2)
cu
(0)
(n 1)
(0) = A;
(n 1)
(1) = B;
bu
(1) + d u
3;
(6.7)
com s 2 R; p : [0; 1] ! R+ ; a; b; c; d; A; B 2 R tais que a + b > 0; c + d > 0 e
a; b; c; d 0.
De…nindo p1 := max p(t); se jAj a e jBj c então as funções
t2[0;1]
(t) =
tn 2
e
(n 2)!
(t) =
tn 2
(n 2)!
são, respectivamente, sub e sobre-soluções de (6.6)-(6.7) para jsj
(6.8)
4 p1
:
110
CAPÍTULO 6. PROB. ORDEM N TIPO AMBROSETTI-PRODI
Como
(n 2)
1
(n 2)
(t) <
1; 8t 2 [0; 1]
(t)
2k+1
e f (t; x0 ; :::; xn 1 ) = arctan(xn 2 ) + (x0 )
condições de tipo Nagumo (5.2) e (5.3) em
(xn 1 )2 veri…ca (5.10) e as
Rn :
E 0 = f(t; x0 ; :::; xn 1 ) 2 [0; 1]
1
x0
1g ;
para h(x) = 2 + x2 ; então, pelo Teorema 5.1, o problema (6.6)-(6.7) tem pelo
menos uma solução u(t); para jsj 4 p1 ; que veri…ca
tn
(n
com i = 0; :::; n
2 i
2
u(i) (t)
i)!
tn
(n
2 i
2
i)!
; 8t 2 [0; 1];
2:
Note-se que neste exemplo o valor de s não depende da ordem n da
equação diferencial. Tal não acontece no próximo caso.
Exemplo 6.2 Para n
2 e um número real tal que 0
considere-se o problema formado pela equação
u(n) (t) + arctan (u(t))
2 arctan u(n
2)
(t) + u(n
1)
(t)
= s p(t)
2;
(6.9)
e pelas condições de fronteira dadas por (6.7).
Se jAj
a e jBj
c então as funções (t) e (t) dadas por (6.8) são,
respectivamente, sub e sobre-soluções de (6.9)-(6.7) para
jsj
2
arctan
1
(n 2)!
p1
:
(6.10)
Como
f (t; x0 ; :::; xn 1 ) = arctan(x0 )
2 arctan(xn 2 ) + jxn 1 j
veri…ca (5.10) e as condições de tipo Nagumo (5.2) e (5.3) com
h(x) =
3
+ jxj ;
2
então, pelo Teorema 5.1, o problema (6.9)-(6.7) tem, pelo menos uma solução
u(t); para os valores de s que veri…quem (6.10), tal que
tn
(n
2 i
2
i)!
u(i) (t)
tn
(n
2 i
2
i)!
; 8t 2 [0; 1];
6.2. EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO
para i = 0; :::; n
111
2.
Nota 6.2 À semelhança do que foi a…rmado na Nota 4.2, observe-se que
se as condições de fronteira das sub e sobre-soluções do problema (APs )(6.1) admitirem desigualdades contrárias às referidas na De…nição 5.2, então
o Teorema 5.1 não garante a existência de solução para (APs )-(6.1).
Com o intuito de construir um contra-exemplo que justi…que a a…rmação
anterior, considere-se as seguintes de…nições:
(t) 2 C n (]0; 1[) \ C n 1 ([0; 1]) é sub-solução de (APs )-(6.1) se veri…car
(6.4) e
(i)
0; para i = 0; :::; n
(0)
a
(n 2)
b
(n 1)
c
(n 2)
(0)
A;
(1) + d
(n 1)
(1)
B;
(0)
3;
com a; b; c; d; A; B 2 R tais que a2 + b > 0; c2 + d > 0 e b; d
0:
(t) 2 C n (]0; 1[) \ C n 1 ([0; 1]) é sobre-solução de (APs )-(6.1) se veri…car
(6.5) e
(i)
0; para i = 0; :::; n
(0)
a
(n 2)
b
(n 1)
c
(n 2)
(0)
A;
(1) + d
(n 1)
(1)
B;
(0)
com condições análogas para a; b; c; d; A e B:
Considere-se o problema
8 (n)
< u (t) = 1
u(i) (0) = 0; para i = 0; :::; n
: (n 1)
u
(0) = u(n 1) (1) = 0;
3;
3;
(6.11)
que se obtem considerando, em (APs ), f (t; x0 ; :::; xn 1 ) 0; s e p(t) tais que
s p(t)
1; para t 2 [0; 1] ; e, nas condições de fronteira (6.1), b; d > 0 e
a = c = A = B = 0:
Atendendo às novas condições de fronteira, (t) é sub-solução de (6.11)
se veri…car
(n)
(t) 1; 8t 2]0; 1[;
(i)
(0) 0; para i = 0; :::; n 3;
(6.12)
(n 1)
(0) 0;
(n 1)
(1) 0;
112
CAPÍTULO 6. PROB. ORDEM N TIPO AMBROSETTI-PRODI
e (t) é sobre-solução de (6.11) se
(n)
(t) 1; 8t 2]0; 1[;
(0) 0; para i = 0; :::; n
(n 1)
(0) 0;
(n 1)
(1) 0:
(i)
3;
(6.13)
A função
(t) =
tn
n!
tn 1
(n 1)!
é uma sub-solução de (6.11), pois
(i)
tn i
tn 1
(n i)! (n 1
1)
(t) = t 1, pelo que
i
(t) =
(n
(n)
i)!
(n 1)
e
(i)
(0) = 0; para i = 0; :::; n
(0) =
1e
(n 1)
3;
(1) = 0;
(t) = 1; 8t 2]0; 1[:
Analogamente,
tn
tn 1
+
n! (n 1)!
(t) =
é uma sobre-solução de (6.11), uma vez que
(i)
(t) =
(n 1)
(n)
tn 1
tn i
+
(n i)! (n 1
(t) =
(t) =
t + 1, pelo que
i
i)!
(n 1)
e
(i)
(0) = 0; para i = 0; :::; n
(0) = 1 e
(n 1)
3;
(1) = 0;
1; 8t 2]0; 1[:
A função f (t; x0 ; :::; xn 1 ) 0 veri…ca trivialmente as condições de tipo Nagumo e (5.10), as sub e sobre-soluções satisfazem (5.9), pois
(n 2)
(t) =
t2
2
t
t2
+t=
2
(n 2)
(t); 8t 2]0; 1[;
e, contudo, o problema (6.11) não tem solução para qualquer valor de n
2:
A discussão da existência, ou não existência, de solução da equação (APs )
em função do parâmetro real s é realizada para condições de fronteira do
6.2. EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO
113
tipo (6.2). Neste caso, uma função (t) 2 C n (]0; 1[) \ C n 1 ([0; 1]) é uma
sub-solução do problema (APs )-(6.2) se veri…car (6.4) e
(i)
0; para i = 0; :::; n
(0)
a
(n 2)
b
(n 1)
(0)
0;
c
(n 2)
(1) + d
(n 1)
(1)
0;
(0)
3;
(6.14)
para a; b; c; d 0 com a + b > 0 e c + d > 0:
Analogamente, uma função (t) 2 C n (]0; 1[) \ C n 1 ([0; 1]) é uma sobresolução do problema (APs )-(6.2) se satis…zer (6.5) e
(i)
0; para i = 0; :::; n
(0)
a
(n 2)
b
(n 1)
(0)
0;
c
(n 2)
(1) + d
(n 1)
(1)
0;
(0)
3;
(6.15)
com condições semelhantes para os coe…cientes a; b; c e d:
Teorema 6.1 Seja f : [0; 1] Rn ! R uma função contínua veri…cando as
condições de tipo Nagumo, (5.2) e (5.3), e tal que:
(i) para j = 0; :::; n 3;
xj
yj ) f (t; x0 ; :::; xn 3 ; xn 2 ; xn 1 )
com (t; xn 2 ; xn 1 ) 2 [0; 1]
(ii)
xn
2
yn
2
f (t; y0 ; :::; yn 3 ; xn 2 ; xn 1 );
(6.16)
R2 ;
) f (t; x0 ; :::; xn 2 ; xn 1 )
f (t; x0 ; :::; xn 3 ; yn 2 ; xn 1 ) (6.17)
para (t; x0 ; :::; xn 3 ; xn 1 ) 2 [0; 1] Rn 1 ;
(iii) existem s1 2 R e r > 0 tais que
f (t; x0 ; :::; xn 3 ; r; 0)
f (t; 0; :::; 0)
< s1 <
;
p(t)
p(t)
para t 2 [0; 1] e xj
r, com j = 0; :::; n 3.
Então existe s0 < s1 (com a possibilidade de s0 = 1) tal que:
1) para s < s0 , (APs )-(6.2) não tem solução;
2) para s0 < s s1 , (APs )-(6.2) tem, pelo menos, uma solução.
(6.18)
114
CAPÍTULO 6. PROB. ORDEM N TIPO AMBROSETTI-PRODI
Demonstração. Passo 1 : Existe s < s1 tal que (APs )-(6.2) tem solução
para s = s :
De…na-se
f (t; 0; :::; 0)
; t 2 [0; 1] :
s = max
p(t)
Pela condição (6.18), existe t 2 [0; 1] tal que
f (t; 0; :::; 0)
p(t)
s =
f (t ; 0; :::; 0)
< s1 ; 8t 2 [0; 1]:
p(t )
Então, pela primeira desigualdade, a função (t)
(APs )-(6.2), para s = s .
Para n 2; a função
(t) =
r
(n
2)!
tn
0 é uma sobre-solução de
2
(6.19)
é uma sub-solução de (APs )-(6.2), para s = s : De facto, por (6.18),
s1 <
e como
(6.16),
(i)
(n)
(t)
f (t; r; :::; r; 0)
p(t)
r; para i = 0; :::; n
2e
(n 1)
(t) =
(n)
(t)
0 então, por
(t) = 0 > s1 p(t)
s1 p(t)
> s p(t)
= s p(t)
f (t; r; :::; r; 0)
r tn 2
r tn 2 i
f (t;
; :::;
; :::; r; 0) >
(n 2)!
(n 2 i)!
r tn 2 i
r tn 2
; :::;
; :::; r; 0) =
f (t;
(n 2)!
(n 2 i)!
f (t; (t); :::; (i) (t); :::; (n 2) (t); (n 1) (t)):
Como por (6.16) a condição (5.10) é trivialmente satisfeita, então o Teorema
5.1 garante a existência de uma solução de (APs )-(6.2) para s :
Passo 2 : Se (APs )-(6.2) tem solução para s =
s1 , então também tem
solução para s 2 [ ; s1 ]:
Com vista novamente à aplicação do Teorema 5.1, justi…ca-se de seguida
que se veri…cam as respectivas hipóteses.
6.2. EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO
115
Assuma-se que o problema (APs )-(6.2) tem, para s =
s1 ; uma solução
u (t): Para os valores de s tais que
s s1 ; a função u (t) é uma sobre-solução de (APs )-(6.2), pois
u(n) (t) + f (t; u (t); :::; u(n
1)
(t)) =
p(t)
s p(t);
sendo as condições de fronteira de sobre-solução trivialmente veri…cadas.
Para r > 0 dado por (6.18) considere-se R > 0 su…cientemente grande tal
que
R
r; u(n
2)
R; u(n
(0)
2)
R e min u(n
(1)
3)
t2[0;1]
(t)
R: (6.20)
A função
(t) =
R
tn
(n 2)!
é uma sub-solução de (APs )-(6.2), para s
e (6.17), para s s1 ; tem-se que
(n)
2
s1 : Com efeito, por (6.18), (6.16)
(t) = 0 > s1 p(t)
s p(t)
f (t; R; :::; R; r; 0)
R tn 2 i
R tn 2
; :::;
; :::; R t; R; 0):
f (t;
(n 2)!
(n 2 i)!
Quanto às condições de fronteira veri…ca-se que
a
c
(n 2)
(n 1)
(n
(n 1)
(0) b
2)
(1) + d
(0) =
(1) =
aR
cR
0;
0:
Para provar que
u(n
R
2)
(t); 8t 2 [0; 1];
(6.21)
suponha-se, por contradição, que a condição (6.21) não se veri…ca. Então
(n 2)
(t) < R e de…na-se
existe t 2 [0; 1] tal que u
min u(n
2)
t2[0;1]
(t) := u(n
2)
(t0 ) <
R.
Pelo modo como foi considerado R em (6.20) conclui-se que
t0 2]0; 1[; u(n
1)
(t0 ) = 0 e u(n) (t0 )
0:
116
CAPÍTULO 6. PROB. ORDEM N TIPO AMBROSETTI-PRODI
Assim, por (6.17),
0
u(n) (t0 ) =
f (t0 ; u (t0 ); :::; u(n
p(t0 )
f (t0 ; u (t0 ); :::; u(n
p(t0 )
p(t0 )
f (t0 ; u (t0 ); :::; u
3)
(t0 ); u(n
3)
(t0 ); R; 0)
(n 3)
(t0 ); r; 0):
2)
(t0 ); u(n
1)
(t0 ))
Também por (6.20) obtem-se que
u(n
3)
R; 8t 2 [0; 1];
(t)
e integrando em [0; t], pelas condições de fronteira (6.2), deduz–se que
u(n
4)
(t) =
Zt
u(n
3)
Zt
( )d
0
Rd =
Rt
R:
0
Analogamente tem-se que
u(i) (t)
e para i = 0; :::; n
0
R; 8t 2 [0; 1]
3: Assim, por (6.16) e (6.18), obtem-se a contradição
p(t0 ) f (t0 ; u (t0 ); :::; u(n 3) (t0 ); r; 0)
s1 p(t0 ) f (t0 ; R; :::; R; r; 0) < 0:
Então
R
u(n
2)
(t); 8t 2 [0; 1];
e, pelo Teorema 5.1, o problema (APs )-(6.2) tem uma solução u(t) para os
valores de s tais que
s s1 :
Passo 3 : Existe s0 2 R tal que:
para s < s0 ; (APs )-(6.2) não tem solução;
para s 2]s0 ; s1 ]; (APs )-(6.2) tem pelo menos uma solução.
Considere-se o conjunto
S = fs 2 R : (APs )-(6.2) tem, pelo menos, uma soluçãog:
Pelo Passo 1, S não é vazio porque s 2 S. Seja s0 = inf S. Por de…nição de
s0 e pelo Passo 1, s0 s < s1 ; pelo que, pelo Passo 2, (APs )-(6.2) tem uma
6.3. MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÃO
117
solução para s 2]s0 ; s1 ]: Por último, também pela de…nição de s0 , o problema
não tem solução para s < s0:
Note-se que s0 pode ser 1; tendo-se nesse caso, pelo Passo 2, que (APs )(6.2) tem solução para todo o s s1 :
Substituindo na condição (6.18) f por f e as variáveis xj por
j = 0; :::; n 2; obtem-se uma outra versão do Teorema 6.1:
xj ; com
Teorema 6.2 Seja f : [0; 1] Rn ! R uma função contínua que veri…que
as condições de Nagumo, (5.2) e (5.3). Se forem válidas as condições (6.16)
e (6.17) e existirem s1 2 R e r > 0 tais que
f (t; x0 ; :::; xn 3 ; r; 0)
f (t; 0; :::; 0)
> s1 >
;
p(t)
p(t)
(6.22)
para t 2 [0; 1] e xj
r, com j = 0; :::; n 3, então existe s0 > s1 (com a
possibilidade de s0 = +1) tal que:
1) para s > s0 , (APs )-(6.2) não tem solução;
2) para s0 > s s1 , (APs )-(6.2) tem, pelo menos, uma solução.
6.3
Multiplicidade de Solução
No caso particular das condições de fronteira (6.1) em que se considere
os valores de a; c > 0 e b = d = A = B = 0; prova-se a existência de
uma segunda solução para o problema (APs )-(6.3). Os argumentos utilizados
baseiam-se na construção de dois conjuntos abertos, limitados e disjuntos, em
que o grau é não nulo, recorrendo a hipóteses suplementares e ao conceito de
sub e sobre-soluções em sentido estrito.
De…nição 6.1 (i) Uma função (t) 2 C n (]0; 1[) \ C n 1 ([0; 1]) diz-se uma
sub-solução estrita de (APs )-(6.3) se
(n)
(t) + f (t; (t); :::;
e
(i)
(n 1)
(t)) > s p(t); se t 2]0; 1[;
(0) 0, para i = 0; :::; n 3;
(0) < 0; (n 2) (1) < 0:
(n 2)
(6.23)
(6.24)
(ii) Uma função (t) 2 C n (]0; 1[) \ C n 1 ([0; 1]) é uma sobre-solução estrita
de (APs )-(6.3) se
(n)
(t) + f (t; (t); :::;
(n 1)
(t)) < s p(t); se t 2]0; 1[
118
CAPÍTULO 6. PROB. ORDEM N TIPO AMBROSETTI-PRODI
e
(i)
(0) 0, para i = 0; :::; n 3;
(0) > 0; (n 2) (1) > 0:
(6.25)
(n 2)
De…na-se o conjunto
X = fx 2 C n 2 ([0; 1]) : x(i) (0) = x(n
2)
(1) = 0; i = 0; :::; n
2g
e o operador
L : dom L ! C([0; 1]) com dom L = C n ([0; 1]) \ X
dado por
Lu = u(n) :
Para s 2 R; considere-se
Ns : C n 1 ([0; 1]) \ X ! C([0; 1])
de…nido por
Ns u = f (t; u(t); :::; u(n
1)
(t))
s p(t):
Para um conjunto
X aberto e limitado, o operador L + Ns é Lcompacto em ; ([M1]). Observe-se ainda que, no domínio de L; o problema
(APs )-(6.3) é equivalente à equação
Lu + Ns u = 0:
Lema 6.1 Seja f : [0; 1] Rn ! R uma função contínua que veri…ca as
condições de tipo Nagumo, (5.2) e (5.3), e a condição (6.16). Suponha-se
que existem sub e sobre-soluções estritas de (APs )-(6.3), (t) e (t); respectivamente, tais que, para t 2 [0; 1];
(n 2)
(t) <
Então existe 2 > 0 tal que para
n
= x 2 domL : (i) (t) < x(i) (t) <
o grau de L + Ns em
(i)
(n 2)
(6.26)
(t):
(t); 0
i
n
2; x(n
1)
1
<
relativamente a L está bem de…nido e é dado por
dL (L + Ns ; ; 0) =
1:
2
o
6.3. MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÃO
119
Nota 6.3 É possível considerar o mesmo conjunto
para a equação
(APs ), independente de s, desde que e sejam sub e sobre-soluções estritas
do problema (APs )-(6.3) e s pertença a um conjunto limitado, pela Nota 6.1.
Demonstração. Para as funções
-se o problema auxiliar
i (t; xi )
de…nidas em (5.11), considere-
u(n) (t) + F (t; u(t); :::; u(n 1) (t)) = s p(t)
u (0) = u(n 2) (1) = 0; para i = 0; :::; n 2;
(i)
sendo F : [0; 1]
(6.27)
Rn ! R uma função contínua dada por
F (t; x0 ; :::; xn 1 ) = f (t;
0 (t; x0 ); :::; n 2 (t; xn 2 ); xn 1 )
xn
2 + n 2 (t; xn 2 ).
De…na-se o operador Fs : C n 1 ([0; 1]) \ X ! C([0; 1]), com
Fs u = F (t; u(t); :::; u(n
1)
(t))
s p(t):
No domínio de L; o problema (6.27) é equivalente à equação
(6.28)
Lu + Fs u = 0:
Para
2 [0; 1] e u 2 dom L de…na-se a homotopia
H u := Lu
) D(n
(1
2)
u+
Fs u;
em que D(n 2) u = u(n 2) :
Considere-se 1 > 0 su…cientemente grande tal que, para t 2 [0; 1];
(n 2)
1
(t) <
s p(t)
f (t; (t); :::;
(n 2)
s p(t)
f (t; (t); :::;
(n 2)
(n 2)
(t)
(6.29)
1;
(n 2)
(t); 0)
1
(t); 0) +
1
(t) < 0
e
(n 2)
(t) > 0:
Aplicando os argumentos utilizados nos Passos 1 e 2 da demonstração do
Teorema 5.1, (com cálculos mais simples em virtude das condições de fronteira consideradas neste caso), existe 2 > 0 tal que qualquer solução u de
H u = 0 veri…ca
u(n
2)
1
<
1
e
u(n
1)
1
<
2
;
(6.30)
120
CAPÍTULO 6. PROB. ORDEM N TIPO AMBROSETTI-PRODI
independentemente de
2 [0; 1]:
(i) Existe um conjunto aberto e limitado 1
está bem de…nido e
dL (L + Fs ; 1 ; 0) = 1:
tal que dL (L + Fs ;
1 ; 0)
De…na-se o conjunto
1
= fx 2 dom L : x(n
2)
1
<
x(n
1;
1)
1
<
2 g:
A inclusão
1 é imediata, por (6.29). Pela condição (6.30), toda a
solução u de H u = 0 pertence a 1 ; para qualquer valor de 2 [0; 1]: Como
@
1
= fx 2 dom L : x(n
2)
=
1
1
_
x(n
1)
1
=
2 g;
então u 2
= @ 1 e o grau de coincidência dL (H ; 1 ; 0) está bem de…nido para
todo o 2 [0; 1]: A equação H0 u = 0; isto é, Lu D(n 2) u = 0; admite
apenas a solução nula e, pela teoria do grau,
dL (H0 ;
1 ; 0)
=
1:
Pela invariância do grau em relação à homotopia,
1 = dL (H0 ;
1 ; 0)
= dL (H1 ;
1 ; 0)
= dL (L + Fs ;
1 ; 0):
(6.31)
(ii) Se u é solução de H1 u = 0 então u 2 :
Considere-se u1 uma solução de H1 u = 0; ou seja, de Lu + Fs u = 0; cuja
existência é garantida por (6.31). Suponha-se, por contradição, que existe
(n 2)
(n 2)
t 2 [0; 1] tal que u1
(t)
(t): De…na-se
h
i
(n 2)
(n 2)
(n 2)
(n 2)
min u1
(t)
(t) := u1
(t1 )
(t1 ) 0:
t2[0;1]
Por (6.3) e (6.24),
(n 2)
u1
(0)
(n 2)
(n 1)
pelo que t1 2]0; 1[; u1
(n 2)
(0) > 0 e u1
(t1 )
(n)
(n 1)
u1 (t1 )
(1)
(n 2)
(1) > 0;
(t1 ) = 0 e
(n)
(t1 )
0:
(6.32)
6.3. MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÃO
121
Então, por (6.16) e (6.23), obtem-se a seguinte contradição com (6.32)
(n)
(n 1)
u1 (t1 ) = s p(t1 )
F (t1 ; u1 (t1 ); :::; u1
= s p(t1 )
(n 2)
+ u1
+
(n 2)
(t1 ))
n 2 (t1 ; u1
(t1 )
f (t1 ; (t1 ); :::;
(n 2)
u1
(t1 )
s p(t1 )
(n 2)
(n 1)
(t1 )); u1
(t1 ))+
0 (t1 ; u1 (t1 )); :::; n 2 (t1 ; u1
f (t1 ;
s p(t1 )
(t1 )) =
(n 2)
(n 2)
(t1 );
(n 1)
(n 1)
(t1 )) <
(t1 ))+
(t1 )
f (t1 ; (t1 ); :::;
(n)
(t1 ):
(n 2)
Portanto, u1
(t) > (n 2) (t), para todo o t 2 [0; 1]:
(n 2)
A desigualdade u1
(t) < (n 2) (t), para todo o t 2 [0; 1]; prova-se de
modo análogo:
Integrando, em [0; t], a relação
(n 2)
(n 2)
(t) < u1
(n 2)
(t) <
(t)
tem-se, por (6.24), (6.3) e (6.25),
(n 3)
(t)
(n 3)
(n 3)
= u1
(n 3)
(t)
(n 3)
(0) < u1
(t) <
(n 3)
(t)
(n 3)
(t)
(n 3)
u1
(0)
(0) =
(n 3)
(t);
para t 2 [0; 1]: Iterando este processo, conclui-se que
(i)
para i = 0; :::; n
(i)
(t) < u1 (t) <
(i)
(6.33)
(t);
2 e t 2 [0; 1]: Então u1 (t) 2 :
O grau dL (L + Fs ; ; 0) está bem de…nido, por (6.33), e pela propriedade
de excisão do grau,
dL (L + Fs ; ; 0) = dL (L + Fs ;
1 ; 0):
Como as equações Lu + Fs u = 0 e Lu + Ns u = 0 são equivalentes em
então
dL (L + Fs ; ; 0) = dL (L + Ns ; ; 0) = 1;
por (6.31).
,
122
CAPÍTULO 6. PROB. ORDEM N TIPO AMBROSETTI-PRODI
Para obter o resultado de multiplicidade supõe-se que a não linearidade
é limitada inferiormente e que o decrescimento na variável xn 2 é “mais
rápido” que o crescimento operado nas variáveis xi ; com i = 0; :::; n 3:
Como exemplo de funções deste tipo re…ram-se as funções decrescentes que
dependam apenas da variável xn 2 .
Teorema 6.3 Seja f : [0; 1] Rn ! R uma função contínua que veri…ca
as hipóteses do Teorema 6.1. Suponha-se que existe M 2 R tal que toda a
solução u de (APs )-(6.3), com s s1 ; satisfaz
u(n
2)
(t) < M , 8t 2 [0; 1];
(6.34)
e existe m 2 R tal que para (t; x0 :::; xn 1 ) 2 [0; 1] [ r; jM j]n
com r dado por (6.18), se tem
f (t; x0 :::; xn 1 )
2
[ r; M ] R,
(6.35)
m p(t):
Então o número s0 dado pelo Teorema 6.1 é …nito e:
1) para s < s0 ; (APs )-(6.3) não tem solução;
2) para s = s0 ; (APs )-(6.3) tem, pelo menos, uma solução.
Seja M1 := maxfr; jM jg e admita-se que existe > 0 tal que para
(t; x0 :::; xn 1 ) 2 [0; 1] [ M1 ; M1 ]n 1 R e 0
1; com j = 0; :::; n
j
f (t; x0 +
0
; :::; xn
3
+
n 3
; xn
2
+ ; xn 1 )
f (t; x0 :::; xn 1 ):
3;
(6.36)
Então
3) para s 2]s0 ; s1 ]; (APs )-(6.3) tem, pelo menos, duas soluções.
Demonstração. Passo 1 : Toda a solução u(t) do problema (APs )-(6.3)
para s 2]s0 ; s1 ]; satisfaz
r < u(n
2)
(t) < M e
r < u(i) (t) < jM j ;
para r dado por (6.18); t 2 [0; 1] e i = 0; :::; n 3:
Para justi…car a primeira condição, por (6.34), bastará provar que, para
toda a solução u do problema (APs )-(6.3), com s 2]s0 ; s1 ]; se tem que
r < u(n
2)
(t); 8t 2 [0; 1] :
6.3. MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÃO
123
Suponha-se, por contradição, que existe s 2]s0 ; s1 ]; u solução de (APs )-(6.3)
e t2 2 [0; 1] tais que
u(n
2)
(t2 ) := min u(n
2)
t2[0;1]
(t)
r:
É claro que t2 2]0; 1[ uma vez que, pelas condições de fronteira,
u(n
2)
(0) = u(n
2)
(1) = 0:
Logo
u(n
1)
(t2 ) = 0 e u(n) (t2 )
0:
Por (6.17),
u(n) (t2 ) = s p(t2 )
0
s1 p(t2 )
f (t2; u(t2 ); :::; u(n
f (t2; u(t2 ); :::; u
(n 3)
s1 p(t2 )
f (t2; u(t2 ); :::; u(n
Se existir pelo menos um i0 2 f0; :::; n
(6.16),
(t2 ))
(6.37)
(t2 ); r; 0):
Se u(i) (t2 ) < r; para todo o i 2 f0; :::; n
contradição, por (6.18) e (6.37),
0
1)
3g; obtem-se de imediato a
3)
(t2 ); r; 0) < 0:
3g tal que u(i0 ) (t2 )
f (t2; u(t2 ); :::; u(i0 ) (t2 ); :::; u(n
3)
(t2 ); r; 0)
f (t2; u(t2 ); :::; r; :::; u(n
3)
(t2 ); r; 0)
r; então, por
e, por (6.18), tem-se a contradição
0
s1 p(t2 )
f (t2; u(t2 ); :::; u(i0 ) (t2 ); :::; u(n
s1 p(t2 )
f (t2; u(t2 ); :::; r; :::; u(n
3)
3)
(t2 ); r; 0)
(t2 ); r; 0) < 0:
Portanto, para qualquer solução u de (APs )-(6.3), com s0 < s s1 , conclui-se que u(n 2) (t) > r; para todo o t 2 [0; 1] : Então, por (6.34), toda a
solução de (APs )-(6.3), com s 2]s0 ; s1 ]; veri…ca
r < u(n
2)
(t) < M; 8t 2 [0; 1] :
Integrando em [0; t]; obtem-se
r
rt < u(n
3)
(t) < M t
jM j , 8t 2 [0; 1]
124
CAPÍTULO 6. PROB. ORDEM N TIPO AMBROSETTI-PRODI
e, assim, por integrações sucessivas em [0; t]; deduz-se que
r < u(i) (t) < jM j ; 8t 2 [0; 1] ; 8i 2 f0; :::; n
3g:
Passo 2. O número s0 é …nito.
Suponha-se, por contradição, que s0 = 1; ou seja, pelo Teorema 6.1,
que o problema (APs )-(6.3) tem uma solução para qualquer valor de s tal
que s s1 : Seja u(t) uma solução de (APs )-(6.3), para s
s1 : Então, por
(6.35),
u(n) (t) = s p(t)
f (t; u(t); :::; u(n
1)
(t))
(s
m) p(t):
De…na-se
p1 := min p(t) > 0
t2[0;1]
e considere-se s su…cientemente pequeno tal que
s>0e
m
(m
s) p1
> M:
16
Pelas condições de fronteira (6.3), existe t3 2]0; 1[ tal que u(n 1) (t3 ) = 0: Para
t < t3
Z t3
Z t3
(n 1)
(n)
u
(t) =
u ( )d
(m s) p( ) d
(m s)(t3 t) p1 :
t
Se t
t
t3 ; então
u
(n 1)
(t) =
Z
t
u(n) ( ) d
(s
m)(t
t3 ) p1 :
t3
Seja I = 0; 41 ; ou I =
então
3
;1
4
; tal que jt3
1
,
4
tj
para t 2 I: Se I = 0; 14 ,
s) p1
; 8t 2 I;
4
pelo que se obtem a contradição com (6.34),
Z 1
Z 1
Z 1
4
(n 1)
(n 1)
0=
u
(t) dt =
u
(t) dt +
u(n
u(n
1)
1
4
(m
0
=
1
(m
16
s) p1
dt
4
s) p1
u(n
1)
(t) dt
1
4
:
1
4
0
0
Z
(m
(t)
u(n
2)
2)
1
4
1
4
=
>M
u(n
2)
6.3. MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÃO
Se I =
3
;1
4
125
; então
u(n
1)
(t)
(s
m) p1
; 8t 2 I:
4
Aplicando o mesmo tipo de argumentos, obtem-se uma contradição análoga
à anterior. Então, s0 é …nito.
Passo 3. Para s 2]s0 ; s1 ] existe uma segunda solução de (APs )-(6.3):
Como, pelo passo anterior, s0 é …nito então, pelo Teorema 6.1, existe
s 1 < s0 tal que o problema (APs )-(6.3), com s = s 1 ; não tem solução.
Pelo Lema 5.1 e pela Nota 6.1, é possível considerar 2 > 0; su…cientemente
grande, tal que a estimação u(n 1) 1 < 2 se veri…que para qualquer solução
u de (APs )-(6.3), com s 2 [s 1 ; s1 ] :
De…nindo o conjunto
2
= fx 2 dom L : x(n
2)
1
< M1 ; x(n
1)
1
<
2g
conclui-se que
dL (L + Ns 1 ;
2 ; 0)
(6.38)
= 0:
Pelo Passo 1, nenhuma solução u de (APs )-(6.3), com s 2 [s 1 ; s1 ] ; pertence
à fronteira de 2 : De…nindo a homotopia no parâmetro s;
H( ) = (1
)s
1
+ s1 ;
conclui-se que o grau de coincidência dL (L + NH( ) ; 2 ; 0) está bem de…nido
para quaisquer valores de 2 [0; 1] e de s 2 [s 1 ; s1 ] : Assim, por (6.38) e
pela invariância do grau por homotopia,
0 = dL (L + Ns 1 ;
2 ; 0)
= dL (L + Ns ;
2 ; 0);
(6.39)
para s 2 [s 1 ; s1 ] :
Considere-se 2]s0 ; s1 ]
[s 1 ; s1 ] e u (t) uma solução de (APs )-(6.3),
com s = , a qual existe pelo Teorema 6.1. Tome-se " > 0 tal que
u(n
2)
(t) + " < M1 , 8t 2 [0; 1] :
Então, a função
u
e(t) := u (t) + "
tn 2
(n 2)!
126
CAPÍTULO 6. PROB. ORDEM N TIPO AMBROSETTI-PRODI
é uma sobre-solução estrita de (APs )-(6.3), com
n 2 j
usando (6.36), com = " e j = (nt 2 j)! ;
<s
s1 : Na realidade,
u
e(n) (t) = u(n) (t) = p(t) f (t; u (t); :::; u(n 1) (t)) <
< s p(t) f (t; u (t); :::; u(n 1) (t)) =
= s p(t) f (t; u (t); :::; u(n 2) (t); u
e(n 1) (t))
" tn 2
s p(t) f (t; u (t) +
; :::; u(n 2) (t) + "; u
e(n
(n 2)!
= s p(t) f (t; u
e(t); :::; u
e(n 1) (t));
u
e(i) (0) = 0; i = 0; :::; n 3;
u
e(n 2) (0) = u
e(n 2) (1) = " > 0:
1)
(t)) =
Veri…ca-se, também, que a função
(t) =
r
tn 2
(n 2)!
é uma sub-solução estrita de (APs )-(6.3), para s
(6.16),
(n)
(n
Pelo Passo 1,
s1 : De facto, por (6.18) e
(t) = 0 > s1 p(t)
f (t; r; :::; r; r; 0)
tn 2
; :::; rt; r; 0)
s1 p(t) f (t; r
(n 2)!
tn 2
s p(t) f (t; r
; :::; rt; r; 0);
(n 2)!
(i)
(0) = 0; i = 0; :::; n 3;
2)
(0) = (n 2) (1) = r < 0:
(n 2)
r<u
(t) para t 2 [0; 1]; pelo que
r < u(n
2)
(t) + "; 8t 2 [0; 1];
isto é,
(n 2)
Integrando em [0; t]
(n 3)
(t)
(n 3)
(t)
(t) < u
e(n
(n 3)
2)
(t); 8t 2 [0; 1]:
(0) < u
e(n
3)
(t)
u
e(n
(6.40)
3)
(0) = u
e(n
3)
(t);
6.3. MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÃO
127
para qualquer t 2 [0; 1]: Repetindo o processo tem-se que
r
tn
2 i
(n
2
i)!
<u
e(i) (t); para i = 0; :::; n
2 e t 2 [0; 1]:
Então, por (6.40), pelo Lema 6.1 e pela Nota 6.3, existe
de s, tal que, para
"
(i)
= x 2 domL :
com
(i)
(t) =
r
(t) < x(i) (t) < u
e(i) (t); 0
tn
(n
i
n
> 0, independente
2
2; x(n
2 i
2
i)!
e u
e(i) (t) = u(i) (t) + "
o grau de coincidência de L + Ns em
dL (L + Ns ;
" ; 0)
=
"
2
" ; 0)
(n
1
2
;
2 i
2
i)!
1 , para s 2] ; s1 ]:
=
<
;
veri…ca
Considerando 2 em 2 su…cientemente grande tal que
(6.41) e pela aditividade do grau, obtem-se
dL (L + Ns ;
tn
1)
"
1 , para s 2] ; s1 ]:
(6.41)
2;
por (6.39),
(6.42)
Então o problema (APs )-(6.3) tem, pelo menos, duas soluções u1 ; u2 tais que
u1 2 " e u2 2 2 - " , para s 2]s0 ; s1 ] uma vez que pode tomar um valor
arbitrário em ]s0 ; s1 ].
Passo 4. Para s = s0 ; o problema (APs )-(6.3) tem pelo menos uma
solução.
Tome-se uma sucessão (sm ), com sm 2]s0 ; s1 ] e lim sm = s0 : Pelo Teorema
6.1, para cada sm o problema (APs )-(6.3), com s = sm ; tem uma solução um :
Utilizando as estimações do Passo 1, tem-se que
(i)
um
1
< M1 ;
para i = 0; :::; n 2; independentemente de m; e, pela Nota 6.2, existe e2 > 0
su…cientemente grande tal que
(n
um
1)
1
< e2 ;
(n)
independentemente de m: Então a sucessão (um ); m 2 N, é limitada em
C([0; 1]): Pelo Teorema de Arzèla-Ascoli, pode considerar-se uma subsucessão
128
CAPÍTULO 6. PROB. ORDEM N TIPO AMBROSETTI-PRODI
(um ) que converge em C n 1 ([0; 1]) para uma solução u0 (t) de (APs )-(6.3),
com s = s0 . Portanto, existe pelo menos uma solução de (APs )-(6.3) para
s = s0 :
Uma outra versão do Teorema 6.3 pode ser formulada do seguinte modo:
Teorema 6.4 Seja f : [0; 1] Rn ! R uma função contínua que veri…ca
as hipóteses do Teorema 6.2. Suponha-se que existe M 2 R tal que toda a
solução u de (APs )-(6.3), com s s1 ; satisfaz
u(n
2)
(t) > M , 8t 2 [0; 1];
e existe m 2 R tal que para (t; x0 :::; xn 1 ) 2 [0; 1] [ r; jM j]n
com r dado por (6.22),
f (t; x0 :::; xn 1 )
2
m p(t)
Então o número s0 dado pelo Teorema 6.2 é …nito e:
1) se s > s0 ; (APs )-(6.3) não tem solução;
2) se s = s0 ; (APs )-(6.3) tem, pelo menos, uma solução;
Além disso se se veri…car a condição (6.36) então
3) se s 2 [s1 ; s0 [; (APs )-(6.3) tem, pelo menos, duas soluções.
[ r; M ] R,
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