potência de raiz

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AULA 01  POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
1.1 POTENCIAÇÃO
Na figura 01-1 temos o exemplo de uma potencia DOIS ELEVADO A TRÊS ou DOIS
ELEVADO AO CUBO ou simplesmente DOIS AO CUBO.
POTENCIAÇÃO
Expoente (número de vezes
que o fator se repete)
Valor da
potência
2  2.2.2  8
3
Base (fator)
3 vezes
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01 - 1
Sempre que temos um produto onde o fator se repete, podemos escrever esse produto
sob a forma de uma potência cuja base é o fator e cujo expoente é o numero de vezes
que o fator se repete.
Na figura 01 – 2 temos a fórmula genérica de uma potência de base a elevada a um
expoente n.
POTENCIAÇÃO
Expoente
a  a.a.a..... a
n
Base
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n vezes
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01 - 2
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1.1.1 ALGUMAS PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS
 O número 1 elevado a qualquer potência é sempre igual a 1.
 Qualquer número elevado a 1 é igual ao próprio número.
 Qualquer número elevado a zero é igual a 1.
 O resultado das potências de bases negativas têm sinal negativo se o expoente
for impar e sinal positivo se o expoente for par.
A figura 01 – 3 ilustra estas propriedades.
PROPRIEDADES DAS POTENCIAS
16 = 1.1.1.1.1.1 = 1
1n = 1.1.1.......1 = 1;
211 = 21;
a1= a
340 = 1;
a0= a
(-1)6 = (-1). (-1). (-1). (-1). (-1). (-1) =1;
(-1)5 = (-1). (-1). (-1). (-1). (-1) = -1
Calcule:
26=
(-2)5 =
(-3)4 =
-23 =
21 =
(-3)1 =
34 =
(-5)2 =
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20 =
(-5)0 =
-60 =
-52 =
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01 - 3
1.1.2 POTENCIA DE EXPOENTE NEGATIVO
A potência de um número é igual ao inverso da potência do mesmo número com o
expoente de sinal trocado.
A potência de expoente negativo de um número é igual ao inverso da potência do
mesmo número com o mesmo expoente positivo.
A potência de expoente positivo de um número é igual ao inverso da potência do
mesmo número com o mesmo expoente negativo.
Sendo assim, em uma fração, podemos trocar qualquer potência do numerador para o
denominador ou do denominador para o numerador, bastando apenas trocar o sinal do
expoente.
A figura 01 – 4 mostra potências de expoente negativo convertidas em potências de
expoente positivo.
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POTENCIA DE EXPOENTE NEGATVO
a n 
4 2 
1
4
(2) 2 
2

1
an
33
1
16
1
(2)
2
com a  0
4

1
4
2

42
 42.33  16.9  144
3
3
(2) 3 
1
(2)
3

1
8
Calcule:
43 
5
(2) 
32
(3) 3
32

(2) 2
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34

9 2
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
01 - 4
1.1.3 PRODUTO E DIVISÃO DE POTÊNCIAS DA MESMA BASE (figura 01 – 5)
O produto de potências com a mesma base é igual a uma potência com a mesma base
e expoente igual à soma dos expoentes.
O quociente de potências com a mesma base é igual a uma potência com a mesma
base e expoente igual à subtração dos expoentes.
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
a m . a n  a m n
am
a
n
 a m  a n  a mn
32. 33  323  35  243
Calcule:
4-2. 44  4-24  42  16
5-3. 53 
45
43
2
3
3-1
 45-3  42  16
 32-(-1)  321  33  9
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 4-4. 43 
4-5
4
3

(3)-1. (3)3 
7-5. 73 
(-6)-5
(-6)
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-4

01 - 5
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1.1.4 PRODUTO E DIVISÃO DE POTÊNCIAS COM O MESMO EXPOENTE
Para multiplicar ou dividir potências com o mesmo expoente multiplicam-se ou dividemse as bases e dá-se o mesmo expoente.
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
an
a

 
bn  b 
a m .b m  (a.b) m
n
24.34  (2.3) 4  64  1296
3
93
9
3

   3  27
3
3 3
Calcule:
3 .5 
3 3
12 2
32

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8-3
4-3

(6)3
43
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
01 - 6
1.1.5 POTÊNCIA DE POTÊNCIA
Para calcular a potência de uma potência dá-se a mesma base e multiplicam-se os
expoentes.
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
(a m ) n  a m.n
(32 )3  32.3  36  729
(-22 )3  22.3  26  64
Calcule:
2
(23 ) 4 
2
 (-8)3 

 
 23 


 62 
  
 32 
 
((-2)3 )5 
3
 (6) 2 

 
 32 


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1.2 RADICIAÇÃO
A operação de radiciação é a inversa de potenciação.
A figura 01 – 8 mostra a simbologia usada na radiciação.
RADICIAÇÃO
Raiz índice n de a ou raiz enésima de a
n
a
Radical
a
Radicando
n
Índice
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01 - 8
A figura 01 – 9 mostra a definição da raiz de um número.
RADICIAÇÃO
Raiz índice n de um numero a é outro numero X que
multiplicado n vezes por si mesmo reproduz o numero a.
n
a X
X.X...X  a
n vezes
n
a X
Xn  a
Raiz índice n de um numero a é outro numero X que
elevado a n reproduz o numero a.
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RADICIAÇÃO
n
Xn  a
a X
Para a raiz índice 2 chamada raiz quadrada não e necessário
indicar o expoente 2
2
25  25  5  52  25
Calcule:
a) Raiz cúbica de 125
b) Raiz quarta de 256
c) Raiz quinta de 243
d) Raiz sexta de 64
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01 - 10
1.2.1 EXPOENTE FRACIONÁRIO
Toda a raiz de um número pode ser escrita como uma potência de expoente fracionário
do mesmo número. (figura 01 – 10).
EXPOENTE FRACIONÁRIO
n
5
4
4
 52
am 
 5  25
2
4
m
an
4 
2
2
44

1
42
 4 2
Converta em expoente fracionário e calcule:
4
34 
6
82 
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3
76 
15
323 
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1.2.2 MULTIPLICAÇÃO / DIVISÃO DE RADICAIS DO MESMO INDICE
Para multiplicar ou dividir radicais com o mesmo índice, multiplicam-se ou dividem-se,
respectivamente, os radicandos e dá-se o mesmo índice.
As figuras 01 – 12 e 01 – 13 mostram esta propriedade.
RAIZES COM O MESMO INDICE
n
MULTIPLICAÇÃO
n
a .n b
1 1
 a n .b n
Converter em
expoente fracionário
4

a .n b  n a.b
1
a.b n
 n a.b
Multiplicar as bases e Converter
dar o mesmo expoente em raiz
9.4 9  4 9.9  4 81  3
Calcule:
3
2.3 32 
5
6
2. 50 
4.5 8 
6.6 121,5 
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01 - 12
RAIZES COM O MESMO INDICE
n
DIVISÃO
n
a n a

b
b
3
16 3 16 3

 82
3
2
2
Calcule:
3
32

3
4
5
5
4

4
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4
243

4
3
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1.2.3 RAIZ DE RAIZ
Para calcular uma raiz de outra raiz, multiplicam-se os índices e dá-se o mesmo
radicando. Figura 01 – 14.
RAIZ DA RAIZ
n m
3 3
a  n. m a
64  3.3 64  9 64
Calcule:
4
2
3 5
2
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4 6
2
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01 - 14
1.2.4 POTÊNCIA DE RAIZ
Para calcular a potência de uma raiz, tanto faz calcular a raiz e em seguida a potência
como calcular a potência e em seguida a raiz.
POTÊNCIA DE RAIZ
(n a ) m  n a m
( 4 )5  45  1024
Calcule:
( 3 )3 
( 5 )2 
 2 
 6 
2
12
2
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 3 x  
 3 
3
4
3
6
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1.2.4 SIMPLIFICAÇÃO DE RAIZES
Multiplicar ou dividir índice e expoente por um mesmo número não altera o
resultado.Figura 01 – 16.
MULTIPLICAÇÃO/DIVISÃO DE ÍNDICE
n
3
am 
n.p
52  3.3 52.3  9 56
6
a m.p
59  6 / 3 59 / 3  53
Simplifique:
3
56 
8
512 
9
36 
12
54 
4
46 
4
44 
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