Os Polinômios de Szeg˝o obtidos a partir da sequência encadeada

ISSN 1984-8218
Os Polinômios de Szegő obtidos a partir da sequência encadeada
associada aos polinômios ultrasféricos
A. Sri Ranga,
Heron M. Felix,
Depto. de Ciências de Computação e Estatı́stica, IBILCE, UNESP
15054-000, São José do Rio Preto, SP
E-mail: [email protected],
[email protected],
Marisa S. Costa
∗
Faculdade de Matemática, UFU
38408-100, Uberlândia, MG
E-mail: [email protected]
Resumo: Neste trabalho, usamos uma conexão existente entre os polinômios ortogonais no
cı́rculo unitário e sequências encadeadas para obter a classe de polinômios de Szegő que está
associada a um par de sequências de números reais {cn } e {dn }, onde {dn } é uma sequência
encadeada e d1,n = dn+1 , n ≥ 1, são os coeficientes da relação de recorrência de três termos dos
polinômios ultrasféricos.
Palavras-chave: Polinômios de Szegő, polinômios ortogonais no cı́rculo unitário, sequências
encadeadas
1
Introdução
Os polinômios ortogonais no cı́rculo unitário são conhecidos como polinômios de Szegő
em homenagem a Gábor Szegő, que os introduziu no inı́cio do século 20. Desde então, estes
polinômios tem sido objeto de estudos por muitos pesquisadores devido sua aplicabilidade em
diversas áreas, como regras de quadratura, processamento de sinais, teoria espectral, e muitos
outras (ver, por exemplo, [4], [5]).
Seja µ(ζ) = µ(eiθ ) uma medida não-trivial definida no cı́rculo unitário C = {ζ = eiθ | 0 ≤ θ ≤
2π}. A sequência de polinômios de Szegő mônicos associada {Sn } é definida por
Z
Z 2π
j
ζ̄ Sn (ζ) dµ(ζ) =
e−i jθ Sn (eiθ ) dµ(eiθ ) = 0, 0 ≤ j ≤ n − 1, n ≥ 1.
C
0
Assim, os polinômios
ortonormais de Szegő são dados por sn (z) = κn Sn (z), n ≥ 0, onde
R
2
2
= kSn k = C |Sn (ζ)| dµ(ζ).
Os polinômios mônicos de Szegő satisfazem o par de relações de recorrência
κ−2
n
Sn (z) = zSn−1 (z) − ᾱn−1 Sn∗ (z),
Sn (z) = (1 − |αn−1 |2 )zSn−1 (z) − ᾱn−1 Sn∗ (z),
n ≥ 1,
(1.1)
onde ᾱn−1 = −Sn (0) e Sn∗ (z) = z n Sn (1/z̄). Os números αn são conhecidos como coeficientes de
Szegő, de reflexão e ainda coeficientes de Verblunsky. Estes coeficientes satisfazem
|αn | < 1 e µ0
n
Y
(1 − |αk |2 ) = κ−2
n+1 =
k=0
∗
Dn+1
, n ≥ 1,
Dn
Os autores agradecem à FAPEMIG pelo apoio financeiro na participação no evento.
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onde os determinantes de Toeplitz Dn são dados por
µ0 µ−1 · · ·
µ1
µ0 · · ·
D 0 = µ0 e D n = .
..
..
.
.
.
.
µn µn−1 · · ·
µ−n
µ−n+1
..
.
µ0
, n ≥ 1.
(1.2)
R
Os momentos µn , definidos por µn = C ζ −n dµ(ζ), satisfazem µ−n = µ̄n , n ≥ 0.
Um dos resultados mais conhecidos sobre polinômios de Szegő é que eles são completamente
caracterizados pelos coeficientes {αn } a eles associados, como é dado no seguinte teorema.
Teorema 1.1 A toda sequência arbitrária de números complexos {αn }∞
n=0 , onde |αn | < 1,
n ≥ 0, existe uma única medida positiva µ no cı́rculo unitário associada tal que os polinômios
{Sn } gerados por (1.1) são os respectivos polinômios de Szegő mônicos.
2
Uma caracterização dos polinômios de Szegő através de sequências
encadeadas
Uma sequência {dn }∞
n=1 é chamada de sequência encadeada se existe uma outra sequência
tal
que
{gk }∞
k=0
(i) 0 ≤ g0 < 1, 0 < gn < 1, n ≥ 1;
(ii) dn = (1 − gn−1 )gn , n ≥ 1.
(2.3)
A sequência {gn } é chamada de sequência de parâmetros da sequência encadeada {dn }. Em
geral, a sequência de parâmetros de uma sequência encadeada não é única. Toda sequência
encadeada possui uma sequência de parâmetros {mn } tal que m0 = 0, chamada sequência de
parâmetros minimal.
Uma sequência de parâmetros {Mn } da sequência encadeada {dn } é chamada sequência de
parâmetros maximal se satisfaz a seguinte condição: se g0 > M0 , então a sequência {gn } gerada
por (ii) de (2.3) não satisfaz o item (i) de (2.3).
A Caracterização de Wall para sequências de parâmetros maximais, que pode ser encontrada
em [2], é dada no seguinte teorema.
Teorema 2.1 Uma sequência de parâmetros {Mn }∞
n=0 é a sequência de parâmetros maximal
para {dn }∞
se,
e
somente
se,
n=1
∞
X
n=1
M 1 M 2 . . . Mn
= ∞.
(1 − M1 )(1 − M2 ) . . . (1 − Mn )
Para todo n ≥ 1, consideremos d1,n = dn+1 . A sequência {d1,n }∞
n=1 é também uma sequência
∞
encadeada com sequência de parâmetros {g1,n }∞
,
onde
g
=
g
1,n
n+1 . Além disso, se {m̃n }n=0
n=0
denota a sequência de parâmetros minimal de {d1,n }∞
n=1 , então m̃n < m1,n , n ≥ 0. A sequência
∞
de parâmetros maximal de {d1,n }∞
é
exatamente
{M
n,1 }n=0 .
n=1
Para essas e muitas outras informações a respeito de sequências encadeadas, ver Chihara [2].
Em um recente trabalho que ainda não foi publicado, os presentes autores provaram uma
importante caracterização para os polinômios ortogonais no cı́rculo unitário em termos de duas
sequências de números reais {cn } e {dn }, onde {dn } é uma sequência encadeada. Enunciamos
este resultado no teorema a seguir.
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Teorema 2.2 a) A toda medida de probabilidade não trivial µ definida no cı́rculo unitário está
∞
associado um único par de sequências de números reais {{cn }∞
n=1 , {dn }n=1 }, onde {dn } é uma
sequência encadeada positiva. Mais especificamente,
cn =
−Im(τn−1 αn−1 )
1 |1 − τn−1 αn−1 |2
, n ≥ 1,
e mn =
1 − Re (τn−1 αn−1 )
2 [1 − Re(τn−1 αn−1 )]
∞
onde {mn }∞
n=0 é a sequência de parâmetros minimal de {dn }n=1 . Além disso, a sequência de
∞
∞
parâmetros maximal {Mn }n=0 de {dn }n=1 é tal que M0 é o valor do salto da medida µ em z = 1.
∞
b) Reciprocamente, a todo par de sequências de números reais {{cn }∞
n=1 , {dn }n=1 }, onde {dn }
uma sequência encadeada positiva, existe uma única medida de probabilidade não trivial µ
definida no cı́rculo unitário associada. Mais especificamente, se {mn }∞
n=0 é a sequência de
parâmetros minimal de {dn }∞
,
então
n=1
τn−1 αn−1 =
1 − icn
1 − 2mn − icn
e τn =
τn−1 , n ≥ 1.
1 − icn
1 + icn
Além disso, a medida tem um salto M0 em z = 1, onde {Mn }∞
n=0 é a sequência de parâmetros
maximal de {dn }∞
.
n=1
Observamos que, quando a medida µ tem um salto “zero” em z = 1, segue do Teorema 2.2
que as sequências de parâmetros minimal e maximal da sequência encadeada coincidem.
Na seção 3, consideramos um par de sequências de números reais, onde uma delas é uma
sequência encadeada obtida a partir da relação de recorrência de três termos dos polinômios
ultrasféricos (ou Gegenbauer), os quais são polinômios ortogonais no intervalo [−1, 1] com relação
à função peso w(x) = (1 − x2 )λ−1/2 . Usando o Teorema 2.2, obtemos a classe de polinômios de
Szegő associada a este par de sequências.
3
Uma aplicação
Para λ > −1/2, η ∈ R e 0 ≤ t < 1, sejam {cn } e {dn } duas sequências de números reais
dadas por
η
, n ≥ 1,
cn =
λ+n
d1 = d1 (t) =
1 2λ + 1
(1 − t),
2 λ+1
dn+1 =
1 n(2λ + n + 1)
, n ≥ 1.
4 (λ + n)(λ + n + 1)
Consideremos a sequência {d1,n }∞
n=1 , dada por d1,n = dn+1 , n ≥ 1. Os números dn,1 são os
coeficientes da relação de recorrência de três termos dos polinômios ultrasféricos.
Como
1 2λ + n 1 2λ + n + 1
, n ≥ 1,
dn+1 = 1 −
2 λ+n
2 λ+n+1
segue que
1 2λ + n + 1
, n ≥ 0,
M1,n =
2 λ+n+1
é uma sequência de parâmetros para {d1,n }∞
n=1 .
Como λ > −1/2, temos
M1,n
2λ + n + 1
n
=
>
,
1 − M1,n
n+1
n+1
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para todo n ≥ 1. Logo,
N
X
n=1
N
X 1
M1,1 M1,2 . . . M1,n
.
>
(1 − M1,1 ) (1 − M1,2 ) . . . (1 − M1,n )
n+1
n=1
Portanto, quando N tende para infinito, a série acima diverge e, pela caracterização de Wall,
∞
temos que {M1,n }∞
n=0 é a sequência de parâmetros maximal de {d1,n }n=1 .
∞
Consequentemente, {dn }n=1 é também uma sequência encadeada, com sequência de parâmetros
maximal dada por
1 2λ + n
(t)
, n ≥ 1.
M0 = t, Mn(t) = M1,n−1 =
2 λ+n
(t)
∞
A sequência de parâmetros minimal {mn }∞
n=0 de {dn }n=1 satisfaz
(t)
(t)
m0 = 0, m1 = d1 (t) =
1 2λ + 1
(t)
(1 − t) e mn+1 = dn+1 /(1 − m(t)
n ), n ≥ 1.
2 λ+1
(3.4)
Segue do Teorema 2.2 que, associada às sequências {cn } e {dn }, existe uma única medida
(t)
de probabilidade não trivial, que denotamos por µ(t) , cujos coeficientes de Verblunsky {αn }∞
n=0
são dados por
#
"
(t)
1 − 2mn − icn
(t)
, n ≥ 1,
(3.5)
αn−1 = τ̄n−1
1 − icn
onde
τn =
1 − icn
(b̄ + 1)n
τn−1 =
, n ≥ 1,
1 + icn
(b + 1)n
e que tem um salto t em z = 1.
Para encontrar esta medida, consideramos primeiramente a medida µ(0) , que é obtida da
sequência encadeada cujas sequências de parâmetros minimal e maximal coincidem, isto é,
(0)
(0)
m0 = M0
(0)
= 0 e m(0)
n = M0
=
1 2λ + n
, n ≥ 1.
2 λ+n
Por (3.5), temos que
(0)
αn−1 = −
(b)n
, n ≥ 1.
(b̄ + 1)n
(0)
Por resultados obtidos em [4], temos que αn−1 são os coeficientes de Verblunsky associados
à medida de probabilidade não trivial
dµ(0) (eiθ ) = τ (b) e−ηθ sen2λ (θ/2)dθ,
onde
τ (b) = τ (λ+iη) =
|Γ(1 + λ + iη)|2 λ ηπ
4 e .
Γ(2λ + 1)
Além disso, os polinômios de Szegő associados são dados explicitamente por
Sn(0) (z) =
(2λ + 1)n
2 F1 (−n, b + 1; b + b̄ + 1; 1 − z), n ≥ 1,
(b + 1)n
onde as funções hipergeométricas 2 F1 (a, b; c; z) são definidas por
2 F1 (a, b; c; z) =
n
X
(a)j (b)j z j
,
(c)j j!
j=0
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para (l)0 = 1, (l)n = l(l + 1)(l + 2) . . . (l + n − 1), n ≥ 1, chamados sı́mbolos de Pochhammer.
Para mais informações sobre funções hipergeométricas ver, por exemplo, Andrews, Askey e Roy
[1].
Usando alguns resultados envolvendo sequências encadeadas, podemos mostrar que a medida
µ(t) , 0 < t < 1, está relacionada com a medida µ(0) por
Z
Z
f (ζ) dµ(t) (ζ) = (1 − t) f (ζ) dµ(0) (ζ) + t f (1),
C
C
µ(t) ,
ou seja, a medida
pode ser dada por
Z
Z
(t)
(b)
f (ζ) dµ (ζ) = (1 − t)τ
C
2π
f (eiθ ) e−ηθ sen2λ (θ/2) dθ + t f (1).
0
Quando λ = 0, podemos fazer mais algumas observações a respeito da medida µ(t) e dos
polinômios de Szegő associados.
Pelo Princı́pio de Indução Finita mostramos que, quando λ = 0, a sequência de parâmetros
(t)
minimal mn é dada explicitamente por
(t)
m0 = 0,
m(t)
n =
1 1 + (n − 2)t
, n ≥ 1.
2 1 + (n − 1)t
A medida associada é, então, dada por
Z
Z
f (ζ) dµ(t) (ζ) = (1 − t)τ (iη)
C
2π
f (eiθ ) e−ηθ dθ + t f (1),
0
e os correspondentes coeficientes de Verblunsky são
(t)
αn−1 =
nt
(1 + iη)n−1
[
− iη], n ≥ 1.
(1 − iη)n 1 + (n − 1)t
Estes últimos resultados, quando 0 < t < 1, podem ser encontrados também em Tsujimoto
e Zhedanov [5], onde os autores apresentam explicitamente os polinômios de Szegő associados.
Referências
[1] G. E. Andrews, R. Askey, R. Roy, “Special Functions”, Encyclopedia of Mathematics and
its Applications, Cambridge University Press, 2000.
[2] T. S. Chihara, “An introduction to Orthogonal Polynomials”, Mathematics and its Applications Series, Gordon and Breach, 1978.
[3] D. K. Dimitrov, A. Sri Ranga, Zeros of a family of hypergeometric para-orthogonal polynomials on the unit circle. Submetido.
[4] A. Sri Ranga, Szegő polynomials from hypergeometric functions, Proc. Amer. Math. Soc.,
138 (2010), 4259-4270.
[5] S. Tsujimoto, A. Zhedanov, Elliptic hypergeometric Laurent biorthogonal polynomials with
a dense point spectrum on the unit circle, SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods
Appl., 5 (2009), 30p.
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