Errata - Fundamentos de Cálculo

Errata - Fundamentos de Cálculo - 1a Edição
Antonio Caminha
27 de abril de 2016
1. Página 4, rótulo ao retrato de Leibniz: onde se lê “o matemático e filósofo
holandês...” leia-se “o matemático e filósofo alemão...”
2. Página 83, linha 6: substitua tudo o que vem após “l = limn→+∞ an ”,
até o final da demonstração, pelo que segue: “O item (b) da Proposição
2.15 garante que l ≥ 1. Para mostrarmos que l = 1, observe que o item
(c) dessa mesma proposição garante que a subsequência (ak(k+1) )k≥1 de
(an )n≥1 ainda converge para l. Por outro lado,
√
k
√
1
1
1
a k l
− k+1
k(k+1)
k(k+1)
k
√ −→ = 1,
= k+1
a=a
ak(k+1) =
=a
a
l
de forma que l = 1.”
3. Página 84, linha 10: substitua tudo o que vem após “Para tal fim,”, até
o final da demonstração, pelo que segue: “sendo l o limite da sequência,
√
segue novamente do item (b) da Proposição 2.15, juntamente com n n > 1
para todo n ∈ N, que l ≥ 1. Por outro lado, argumentando como na prova
k
do exemplo anterior, temos a2k −→ l. Agora, graças ao resultado do
exemplo anterior, juntamente com o problema 2.2, temos
q
√
√
√
√
k
2k
k
2k
a2k =
2k =
2·
k −→ 1 · l,
de sorte que a unicidade
do limite de uma sequência convergente garante
√
que deve ser l = l. Mas, como l ≥ 1, a única possibilidade é que seja
l = 1.”
4. Página 88, problema 2.2: troque o enunciado do problema pelo seguinte:
“Seja (an )n≥1 uma sequência de reais positivos convergindo para a > 0.
√
n √
Mostre que an −→ a.”
5. Página 100, linha −6: troque a expressão do numerador do radicando por
x2 |sen (x2 )| + 1.
p
6. Página 100, linha −1: elimine a expressão “uma vez que 2+ |sen x| > 0”.
7. Página
Pn−1 340, linha 6: troque a expressão após o sinal de igualdade por
i=1 (bi − bi+1 )si + bn sn .
1
8. Página 495: troque a sugestão ao problema 2 pela seguinte: “Basta ver
√
√
√ < √1 |an − a|.”
que | an − a| = √|aann −a|
+ a
a
9. Página 531: troque a sugestão ao problema 16 pela seguinte: “Para o
item (b), pela definição de série convergente é suficiente mostrar que a
sequência (xn )n≥1 , dada para n ≥ 1 por xn = a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn , é
convergente. Como sabemos, isso é o mesmo que mostrar que ela é uma
sequência de Cauchy. Assim, sejam m e n números natural, com m > n,
e tome M > 0 tal que |sk | < M para todo k ≥ 1. Segue da identidade de
Abel e da desigualdade triangular que
m−1
X
si (bi bi+1 ) + sm bm − sn bn |xm − xn | = ≤
i=n
m−1
X
i=n
|si |(bi bi+1 ) + |sm |bm + |sn |bn
= M (bn − bm ) + M bm + M bn
n
= 2M bn −→ 0.
Assim, (xn )n≥1 é, de fato, uma sequência de Cauchy.”
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