Lista 3

0.1 Leis de Newton e suas aplicações
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0.1 Leis de Newton e suas aplicações
1. Responda os itens justificando claramente suas respostas a partir das Leis de Newton.
(a) No meio de uma discussão, Maurício e Fabrício começam a se empurrar. Eles estão
em pé, no meio da rua e observa-se que Fabrício fica parado e consegue empurrar
Maurício para trás. É correto afirmar que a força que Fabrício exerce sobre Maurício
é maior do que a que Maurício exerce sobre Fabrício?
(b) Em jogos de futebol em que está chovendo, é comum os narradores afirmarem que a
bola ganha velocidade quando quica na grama molhada. Explique o por quê de não
ser possível a bola ganhar velocidade quando quica na grama e comente sobre qual
motivo que pode levar os narradores a fazer tal afirmação.
(c) O vetor velocidade de uma partícula que descreve um movimento circular uniforme
é constante?
2. Um bloco de massa m é mantido em repouso, pressionado contra uma parede vertical por
uma força horizontal de módulo F . Os coeficientes de atrito estático e cinético entre o
bloco e a parede são, respectivamente, µe e µc . A aceleração da gravidade g também é
conhecida.
(a) Faça um diagrama indicando as forças que atuam sobre o bloco.
(b) Qual o módulo de cada uma das forças que atuam sobre o bloco?
3. Considere uma partícula de massa m cujos movimentos estão restritos ao eixo OX . A
força resultante sobre a partícula é dada pela expressão Fx = F0 − k x, na qual F0 e k são
constantes positivas.
(a) Escreva para essa partícula a Segunda Lei de Newton.
(b) Determine, dentre os três movimentos seguintes, quais a partícula pode e quais não
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pode realizar, sob a força resultante dada.
!
r
F0
k
cos
t +
(i)
x=
k
m
!
r
F0
k
cos
t +
(ii)
x=
k
m
!
r
F0
k
(iii)
x=
cos
t −
k
m
F0
sen
k
r
k
t
m
!
;
F0
;
k
F0
.
k
4. Uma partícula de massa m é solta de uma altura h do chão, a partir do repouso e, em
vez de cair na vertical, ela segue uma trajetória retilínea inclinada. Esse movimento é
filmado e os dados do filme são descritos em relação a um sistema de eixos cartesianos
OX Y, com o eixo OX horizontal, na altura do chão, e o eixo OY vertical e apontando
para cima. O movimento se processa no plano desses eixos e as funções-movimento que
melhor o descrevem são dadas por
x=
1
g t2 ,
20
y =h−
2 2
gt ,
5
(0.1)
onde g é a aceleração da gravidade.
(a) Determine a equação cartesiana da trajetória da partícula e desenhe o gráfico correspondente, indicando nele os valores das coordenadas em que a trajetória cruza os
eixos OX e OY.
(b) Determine a velocidade vetorial da partícula em um instante arbitrário.
(c) Determine a aceleração vetorial da partícula em um instante arbitrário.
(d) Para explicar o movimento da partícula suponha que, além do peso, atue sobre ela
uma força constante F~ . Determine essa força.
Gravitação
5. Considere uma “estrela dupla” formada por duas estrelas de massas iguais. Tais estrelas
interagem gravitacionalmente entre si, mas podem ser consideradas isoladas do resto do
universo. Sabe-se que ambas descrevem um movimento circular uniforme em torno de um
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ponto equidistante das duas. Observando-se as variações de brilho do sistema, é possível
obter o tempo T gasto por elas para executarem uma volta completa. Com o auxílio de
instrumentos de grande precisão, sabe-se, também, que o raio de cada órbita é R. Usando
a Segunda Lei de Newton, determine a massa m de cada estrela em função de R, T , e G,
onde G é a constante da gravitação universal.
R
m
R
m
6. Um planeta e seu satélite têm massas respectivamente iguais a M e m. Considere que
eles estejam isolados do resto do universo e que o planeta esteja em repouso na origem
de um referencial inercial (note que essa última hipótese é justificada pela suposiçao de
que a massa M do planeta é muito maior do que a massa m do satélite). Sabendo que a
lei da gravitação universal é dada por
GmM
F~ = − 2 r̂ ,
r
(a) Escreva a Segunda Lei de Newton para o movimento do satélite.
(b) Determine a relação entre ω, R, M e G que faz com que ~r = R cos(ωt)ı̂+R sen(ωt)̂
seja um possível movimento desse satélite. Determine então o período desse movimento em função dos dados do problema R, M e G.
(c) Mostre que ~r = ~b + ~v t, onde ~b e ~v são dois vetores não-nulos, não é um movimento
possível do satélite.
7. Suponha que dois satélites, 1 e 2, estejam em órbitas circulares em torno de um planeta
considerado como uma esfera homogênea de raio R e massa M . O primeiro, descreve
uma órbita rasante, de raio R, enquanto o segundo, uma órbita de raio 4R. Determine a
razão v1 /v2 entre os respectivos módulos das velocidades dos satélites. Despreze, obviamente, as forças gravitacionais entre os satélites.
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Problemas envolvendo forças vinculares
8. Um bloco de massa m encontra-se, inicialmente, em repouso sobre uma superfície plana
horizontal. Seja µe o coeficiente de atrito estático entre essa superfície e o bloco. Prendese a um dos lados do bloco um fio ideal que é mantido esticado e formando com a horizontal um ângulo θ = 30o , conforme ilustra a figura. Denote por T~ a força exercida pelo
fio sobre o bloco e, por T o seu módulo.
T~
θ = 30o
m
Supondo que a superfície inferior do bloco permaneça toda em contato com a superfície
horizontal, determine o valor de T acima do qual o bloco entra em movimento.
9. Um bloco de massa m desliza sobre a superfície inclinada de uma cunha triangular de
massa M . A cunha está em repouso sobre um tablado horizontal e sua superfície inclinada
faz com a horizontal um ângulo θ, conforme indica a figura. Não há atrito entre o bloco e
a superfície inclinada da cunha, ao passo que o tablado exerce uma força de atrito estático
f~e sobre a cunha, necessária para mantê-la em repouso.
M
m
~′
N
f~e
θ
(a) Com o auxílio de setas, indique todas as forças que atuam sobre o bloco.
(b) Com o auxílio de setas, indique todas as forças que atuam sobre a cunha (inclusive
as que já foram mostradas na figura).
(c) Determine o módulo da força de atrito f~e .
~ ′ que o tablado exerce sobre a cunha.
(d) Determine o módulo da força normal N
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10. Um caminhão se move com aceleração constante de módulo a para a frente e tem fixada
em sua carroceria uma rampa inclinada de um ângulo θ em relação à horizontal, como
indicado na figura. Sobre a superfície dessa rampa encontra-se um pequeno bloco de
massa m que se move junto com a rampa e que não desliza nela por causa do atrito. Seja
µe o coeficiente de atrito estático entre as superfícies do bloco e da rampa e suponha que
0 ≤ θ < θc , onde tg θc = µe .
~a
θ
(a) Calcule os módulos da força de atrito e da reação normal exercida pela superfície da
rampa sobre o bloco em função de a, m, θ e do módulo da aceleração da gravidade
g. Indique as respectivas direções e sentidos dessas forças.
(b) Existe um valor máximo de a, denotado por amax , acima do qual o bloco entra em
movimento de descida sobre a rampa. Determine amax .
11. Uma rampa inclinada de um ângulo θ com a horizontal se move com uma aceleração
constante ~a cuja direção e cujo sentido estão indicados na figura. Sobre ela encontra-se
um pequeno bloco de massa m que, por hipótese, não se move em relação à rampa.
~a
θ
Seja µe o coeficiente de atrito estático entre a superfície da rampa e a superfície do bloco
que mantém contato com a rampa. Suponha, ainda, que 0 ≤ θ ≤ θc onde definimos
tg θc = 1/µe .
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(a) Qual deve ser o valor de |~a| para que a força de atrito sobre o bloco seja nula? Nessa
situação, calcule o módulo da reação normal sobre o bloco.
(b) Calcule o maior valor de |~a| para o qual o bloco permanece em repouso sobre a
rampa, isto é, o valor de |~a| acima do qual o bloco desliza sobre a rampa.
(c) Tome o limite θ 7→ θc na expressão anterior e dê uma explicação qualitativa para o
resultado encontrado.
12. Duas rampas inclinadas formam um triângulo retângulo com a hipotenusa na horizontal
e uma polia imóvel no ângulo reto, conforme indicado na figura.
m
M
θ
Um bloco, de massa m, desliza acelerado para cima sobre a rampa que faz um ângulo θ
com a horizontal . Um outro bloco, de massa M , desliza acelerado para baixo sobre a
outra rampa e está ligado ao primeiro bloco por um fio ideal que passa pela polia. Não
há atrito entre o fio e a polia e entre o bloco de massa m e a rampa. O coeficiente de
atrito cinético do bloco de massa M com a rampa é µc . Considere que os fios se mantêm
paralelos às rampas. Calcule o módulo a da aceleração com que deslizam os dois blocos
e a tensão no fio que os liga.
13. Um pêndulo cônico é constituído por um fio ideal de comprimento l e uma partícula de
massa m. A tensão máxima que o fio suporta é Tmax . Ele é posto em movimento de modo
que a partícula execute um movimento circular uniforme.
(a) Determine o maior ângulo que o fio pode fazer com a vertical sem se romper.
(b) Nesse caso, calcule o período do pêndulo.
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14. Um bloco A de massa 3m desliza para baixo sobre um plano inclinado S com inclinação
θ em relação à horizontal com uma velocidade constante, enquanto a prancha B de massa
m, está em repouso sobre A. Considere a situação em que o bloco está totalmente encoberto pela prancha B. A prancha está ligada à parede por um fio ideal paralelo ao plano,
conforme mostra a figura abaixo. O coeficiente de atrito cinético ente A e B e entre A e
S é o mesmo. Determine o valor desse coeficiente de atrito e calcule a tensão no fio.
B
A
S
θ
15. Uma pequena conta pode deslizar sem atrito ao longo de uma aro circular de raio R,
situado em um plano vertical. O aro gira em torno de seu diâmetro vertical com uma
velocidade angular constante igual a ω, conforme mostra a figura.
ω
R
β
(a) Determine o ângulo β indicado na figura, em função de g, R e ω, para o qual a conta
descreve um movimento circular uniforme.
(b) Para que valor de ω o ângulo β seria igual a π/2? Explique.
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16. Dois fios ideais de comprimento L têm uma de suas extremidades amarradas a uma haste
vertical fixa. Suas outras extremidade estão ligadas a uma partícula de massa m. A
distância entre as extremidades dos fios presos na haste também é L. A partícula é posta
para rodar em torno da haste com uma velocidade angular ω suficiente para que os dois
fios fiquem esticados (veja figura).
(a) Determine as tensões nos fios.
(b) Determine o menor valor de ω que mantém os dois fios esticados. O que acontece
quando a partícula é posta para rodar com velocidade angular menor do que esta?
L
m
L
ω
L
17. A figura mostra uma força horizontal F~ empurrando dois blocos que se movem em conjunto. O bloco de massa m não escorrega pela lateral do bloco de massa M pois entre
suas superfícies de contato há um coeficiente de atrito estático µe e o módulo da força F~
é suficientemente grande. Suponha que não haja atrito entre o solo e o bloco de massa
M.
µe
F~
M
m
(a) Determine o valor mínimo que o módulo da força F deve ter para que o bloco de
massa m permaneça sem escorregar pela face do outro bloco.
(b) Determine o módulo da normal do solo sobre o bloco de massa M
18. Um bloco de massa m e dimensões desprezíveis se move em MCU (movimento circular
uniforme) sobre a superfície interna de um cone de ângulo α que está orientado vertical-
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mente como indica a figura. Despreze o atrito entre a superfície interna do cone e o bloco
e suponha que o raio de sua trajetória seja r.
r
m
α
(a) Determine o módulo da velocidade do bloco em função de α, r e do módulo da
aceleração da gravidade g.
(b) Determine o período do movimento circular do bloco, isto é, o tempo gasto para ele
dar uma volta completa.
19. Duas rampas inclinadas formam um triângulo retângulo com a hipotenusa na horizontal
e uma polia imóvel no ângulo reto, conforme indicado na figura do problema 15. Um
bloco, de massa m, está em repouso sobre a rampa que faz um ângulo θ com a horizontal
e o seu coeficiente de atrito estático com a rampa é µ. Um outro bloco, de massa M , está
sobre a outra rampa e ligado ao outro bloco por um fio ideal que passa pela polia. Não há
atrito entre o fio e a polia e nem entre o bloco de massa M e a rampa na qual ele repousa
e, além disso, os fios se mantêm paralelos às rampas. Qual o maior valor da massa M que
garante que ela não desliza para baixo?
20. Considere duas rampas inclinadas, perpendiculares entre si, e que formam com o solo
um triângulo retângulo, como ilustra a figura. Dois blocos idênticos de massa m estão,
inicialmente, em repouso nos pontos mais altos de cada rampa. A rampa menos inclinada,
a da direita na figura, forma um ângulo θ com a horizontal e, nela, o atrito é desprezível.
Em contrapartida, o coeficiente de atrito cinético entre a rampa da esquerda e o bloco que
desliza sobre ela é µc . Verifica-se, então, que os blocos deslizam sobre as rampas.
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10
m
π
2
m
−θ
θ
(a) Supondo que ambos os blocos iniciem seus movimentos de descida no mesmo instante e que atinjam o solo simultaneamente, determine o coeficiente de atrito µc .
Expresse sua resposta em termos de θ.
(b) Interprete o resultado do item anterior para θ = π/4.
21. Considere, novamente, duas rampas inclinadas, perpendiculares entre si, e que formam
com o solo um triângulo retângulo, como ilustra a figura do problema anterior. Dois
blocos idênticos de mesma massa, começam a descer a rampa no mesmo instante, a partir
da mesma altura, ambos com velocidades iniciais nulas. A rampa menos inclinada, a
da direita na figura, forma um ângulo θ com a horizontal e, nela, o coeficiente de atrito
cinético com o bloco é µ. Em contrapartida, o coeficiente de atrito cinético entre a rampa
da esquerda e o bloco que desliza sobre ela é µ′ .
(a) Determine a diferença µ′ − µ entre os coeficientes de atrito, a fim de que os dois
blocos gastem o mesmo tempo para descer até o nível do chão.
(b) Use o resultado do ítem anterior para obter o ângulo para o qual devemos ter µ′ = µ.
22. Dois blocos de mesma massa m são colocados sobre a superfície de uma rampa, inclinada de um ângulo θ com a horizontal, e ligados um ao outro por meio de um fio ideal,
conforme mostra a figura. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco de baixo e a superfície da rampa é µ e entre o bloco de cima e a superfície da rampa é 2µ. Os blocos,
inicialmente em repouso, começam a descer a rampa em movimentos retilíneos uniformemente acelerados com o fio permanentemente esticado; os movimentos dos blocos são
considerados durante um intervalo em que o bloco de baixo não atinge a base da rampa.
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11
m
m
θ
(a) Isole cada bloco e, com o auxílio de setas, marque todas as forças que atuam sobre
cada um deles, inclusive as reações vinculares.
(b) Calcule o módulo das acelerações dos blocos e a tensão no fio.