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IA543 - Otimizac~ao N~ao-Linear
Lista de Exerccios - Captulo 3
1. Mostre que se X e Y s~ao subespaco~es do Rn , ent~ao X \ Y e X + Y tambem s~ao
subespacos do Rn . Atraves de exemplos, mostre que X Y n~ao e necessariamente
um subespaco do Rn .
2. Seja S := fx1 x2 : : : xn g um conjunto de vetores do Rn . Mostre que
a) span (S ) e um subespaco do Rn b) span (S ) e o menor subespaco que contem S , no sentido de que se M e um
subespaco contendo S , ent~ao M contem span (S ).
3. Sejam X e Y subespacos do Rn. Mostre que X + Y = span (X Y ).
4. Seja A 2 Rm n . De
ne-se espaco range e espaco nulo de A como
R(A) := fy 2 Rm : y = Ax x 2 Rng
N (A) := fx 2 Rn : Ax = 0g
Mostre que R(A) e N (A) s~ao subespacos do Rm e do Rn , respectivamente.
5. Seja A 2 Rm n e b 2 Rm . Assuma que o conjunto
A := fx 2 Rn : Ax = bg
e n~ao-vazio. Mostre que A Rn e uma variedade linear.
6. Seja fx1 x2 : : : xn g um conjunto de vetores linearmente independentes. Mostre
que se
1
n
X
i=1
ixi =
n
X
i=1
i xi
ent~ao i = i i = 1 2 : : : n.
7. Seja S := fx1 x2 : : : xn g um conjunto de vetores linearmente independentes.
Mostre que qualquer subconjunto n~ao-vazio de S tambem e linearmente independente.
8. Para quais valores de 2 R, os vetores do R3
1
1
1 1
x1 = ; 2 ; 2
x2 = ; 2 ; 2
e x3 =
; 12 ; 21 s~ao linearmente dependentes ?
p
9. Mostre que < x x > e uma norma para os vetores do Rn , qualquer que seja a
de
nic~ao de produto interno adotada.
10. Mostre que as func~oes de Rn em R
a) kxk1 :=
n
X
i=1
j xi j b) kxk2 :=
n !1=2
X 2
i=1
xi
e c) kxk1 := 1max
jx j
in i
satisfazem os axiomas que de
nem norma de um vetor x 2 Rn . Para o caso n = 2,
descreva as regi~oes do plano x1 x2 correspondentes aos conjuntos
S1 := fx 2 R2 : kxk1 1g
S2 := fx 2 R2 : kxk2 1g
S1 := fx 2 R2 : kxk1 1g
2
11. Seja x 2 Rn um vetor qualquer e kxk2 a norma Euclidiana de x. Demonstre ent~ao
a seguinte desigualdade: para i = 1 2 : : : n,
j xi j kxk2 pn kxk1
onde kxk1 := max1in
superior para o valor de
j xi j. Sugest~ao: Determine limitantes inferior e
kxk22 = x21 + x22 + + x2n:
(A desigualdade mostra que o valor absoluto de qualquer componente de x 2 Rn
esta limitado por kxk2 .)
12. Considere o produto interno padr~ao para vetores x y 2 Rn :
<x y>=
n
X
i=1
xiyi:
A norma Euclidiana de x 2 Rn e expressa como kxk2 = < x x >. Mostre que
a) < x y > = 14 kx + yk2 ; 41 kx ; yk2 b) kx + yk2 + kx ; yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 .
13. Mostre que se x y 2 Rn s~ao vetores ortogonais, ent~ao
kx + yk2 = kxk2 + kyk2 :
(Teorema de Pitagoras)
14. Mostre que a representac~ao de um vetor x 2 Rn numa base ortonormal S :=
fx1 x2 : : : xng e dada por
x = < x x1 > x1+ < x x2 > x2 + + < x xn > xn:
15. Construa exemplos que ilustrem as seguintes relaco~es: se A Rn , ent~ao
3
o
a) A 6= A @ A
b) A = A @ A
o
@A
c) A = An
16. Mostre que um conjunto A Rn e fechado se e somente se toda sequ^encia
convergente de elementos de A possui limite em A. Sugest~ao: Note que o limite
de uma sequ^encia convergente de elementos de A e um ponto de fecho de A.
17. Mostre que se uma sequ^encia de vetores (xk ) converge,
a) O limite de (xk ) e unico
b) Se lim (xk ) = x, ent~ao lim (kxk k) = kxk
c) Se lim (xk ) = x, ent~ao lim (xki ) = xi i = 1 2 : : : n.
Sugest~oes: a) Assuma xk ! x e xk ! y. Considere kx ; yk = kx ; xk + xk ; yk
e use a desigualdade triangular combinada com a de
nic~ao de converg^encia de
vetores b) Mostre primeiro que j kxk k ; kxk j kxk ; xk c) Use o resultado do
exerccio 11.
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