Nota de Aula #1 - SOL - Professor | PUC Goiás

01
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS
ESCOLA DE CIÊNCIAS EXATAS E COMPUTAÇÃO
Disciplina: FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL I (MAF 2201)
NOTA DE AULA I
OBS: Este é um material de apoio e não deve substituir o livro texto. Portanto, os alunos devem
complementar seus estudos usando o livro texto (tanto na teoria quando aos exercícios).
MEDIDAS
NOTAÇÃO CIENTÍFICA
Para expressar grandezas muito grandes ou muito pequenas, geralmente usamos a notação
científica, que emprega potências de 10.
Nesta notação, o número é expresso como o produto de um número compreendido entre 1 a 10
por uma potência de 10 adequada.
Exemplos:
52300 = 5,23 × 104
0,00003 = 3 × 10-5
ORDEM DE GRANDEZA
A ordem de grandeza de um número está relacionada à potência de 10 que aparece quando
este número está escrito em notação científica. Quando estamos interessados apenas em estimar o
valor de uma grandeza, ou seja, ter apenas uma noção do valor desta grandeza, podemos usar a ordem
de grandeza mais próxima do valor desta grandeza. A ordem de grandeza mais próxima de um número
é a potência de 10 mais próxima deste número.
Exemplos:
A ordem de grandeza mais próxima de 2,4 × 104 é 104
A ordem de grandeza mais próxima de 8,9 × 104 é 105
MEDINDO GRANDEZAS
As grandezas físicas devem ser medidas através de comparação com um padrão – por
exemplo, metro para o comprimento.
Os padrões fundamentais devem ser acessíveis e invariáveis. Se definirmos o padrão de
comprimento como a distância entre o nariz da pessoa e o seu dedo indicador mantendo um braço
estendido, temos certamente um padrão acessível que irá, obviamente variar de pessoa para pessoa.
Antigamente, as unidades de comprimento eram quase sempre derivadas das partes do corpo
do rei de cada país: a jarda, o pé, a polegada.
02
O SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (Sistema Métrico)
Em 1971, a 14ª conferência geral sobre pesos e medidas escolheu sete grandezas como
fundamentais formando desta maneira a base do Sistema Internacional de Unidades (S.I).
GRANDEZA
Comprimento
Massa
Tempo
Corrente Elétrica
Temperatura
Quantidade
de
Matéria
Intensidade Luminosa
UNIDADE NO SI
metro (m)
quilograma (kg)
segundo (s)
ampére (A)
kelvin (K)
mol (mol)
candela (cd)
As outras grandezas físicas são definidas em termos das grandezas fundamentais.
A seguir vamos citar o padrão das três grandezas fundamentais (comprimento, massa e tempo)
que usaremos neste curso.
COMPRIMENTO: A unidade de comprimento – o metro – é definida como a distância
percorrida pela luz durante um intervalo de tempo precisamente especificado.
TEMPO: A unidade de tempo – o segundo – é definida tem termos das oscilações de luz
emitida por uma fonte atômica (Césio – 133).
MASSA: A unidade de massa – o quilograma – é definida em termos de um protótipo
particular de platina iridiada mantida próxima a Paris na França.
Quando lidamos com grandeza muito grande ou muito pequena é comum usarmos alguns
prefixos como fator de multiplicação. Na tabela a seguir temos alguns destes prefixos.
....................................................................
Fator
Prefixo
Símbolo
.....................................................................
109
giga
G
106
mega
M
103
quilo
k
-2
10
centi
c
10-3
mili
m
10-6
micro
µ
10-9
nano
n
10-12
pico
p
Algumas unidades são nomeadas por meio do nome de pessoas, tal como newton e joule. Nestes
casos o nome da unidade é escrito com a letra inicial minúscula, mas os símbolos usados para sua
representação são letras maiúsculas.
Exemplos: newton (N); joule (J)
Quando temos o valor de uma grandeza com sua respectiva unidade é importante tentar
visualizar fisicamente o valor desta grandeza. Uma boa maneira de visualizar estas grandezas é
fazendo comparação com modelos conhecidos. Podemos comparar o comprimento de uma vigota de
madeira com a altura de uma pessoa conhecida, ou seja, quantas vezes o comprimento da vigota é
maior ou menor que a altura desta pessoa. Podemos comparar a área de um terreno com a área de
outro terreno conhecido, ou a massa de um corpo com a massa de um objeto conhecido. Observe que
esta comparação não necessita de precisão, o importante é que se tenha uma ideia da dimensão da
grandeza.
03
Exercícios:
1.
Escreva os números seguintes em notação científica, e indique a ordem de grandeza mais próxima
de cada número.
a) 12300000 =
d) 0,0000038 =
b) 0,000072 =
e) 290.106 =
c) 157000 =
f) 0,008 . 10-2 =
2.
Cite pelo menos duas unidades usadas com frequência em sua vida diária, para medir as seguintes
grandezas:
a) Comprimento b) Área c) Volume d) Tempo
3.
Se uma planta cresce 1,2 cm por dia, quantos metros ela cresce em 7 semanas e 1 dia?
4.
Uma máquina produz 10 cm de fita magnética por segundo. Então no mesmo ritmo de produção
quantos quilômetros de fita são produzidos em 1h 20mim 30s?
5.
Calcule o número de quilômetros que existem em 20 milhas, usando apenas os seguintes fatores de
conversão: 1 milha = 5280 pés , 1pé = 12 polegadas, 1 polegada = 2,54 cm, 1m = 100 cm e 1km =
1000m.
6.
Usando a notação de potência de 10, expressar:
a) Uma área de 5km2 em cm2.
b) Um volume de 5cm3 em m3.
c) Uma massa de 8 gramas em kg.
7.
Uma unidade de área frequentemente utilizada para expressar áreas de terra é o hectare, definido
com 104 m2 . Uma mina de carvão a céu aberto consome 75 hectares a uma profundidade 26m por
ano. Calcule o volume de terra retirada neste tempo em km3.
8.
Suponha que a densidade (massa/volume) da água seja exatamente 1g/cm3, calcule a densidade da
água em quilogramas por metro cúbico (kg/m3). (b) suponha que são necessárias 10h para esvaziar
um recipiente com 5700 m3 de água. Com que rapidez a água está escoando, em quilogramas por
segundo?
9.
Depois de começar uma dieta, uma pessoa passou a perder 2,3 kg por semana. Expresse esse
número em miligramas por segundo.
10.
Colocando-se cuidadosamente, sobre a superfície de um tanque d’água, uma gota de óleo, cujo
volume é V = 6 . 10-2 cm3, ela se espalha, formando uma camada muito fina, cuja área é A = 2 .
104 cm2. Calcule a espessura desta camada de óleo. R: 3.10-6 cm.
11.
A Terra tem a forma aproximada de uma esfera com 6,37 × 106 m de raio. Com base nesta
informação, determine: a ) O comprimento da circunferência da Terra em quilômetros. b)
A área da superfície da Terra em quilômetros quadrados. c) O volume da Terra em
quilômetros cúbicos.
12.
Certa marca de tinta informa que são necessários 3 litros desta tinta para pintar 60 m2 de
parede. Qual é a área de parede (em metros quadrados) que se pode pintar usando uma lata
de 18 litros desta tinta?
04
13.
Uma questão que merece ser discutida é a degradação do meio ambiente. Preservar o que
não está degrado e recuperar o que já está comprometido deve ser um objetivo
permanente. Uma medida que pode ser tomada para recuperar determinadas áreas é o
reflorestamento por meio de plantio de árvores nativas da região. Considerando que em
cada 7000 m2 (aproximadamente a área do gramado de um campo de futebol) devem ser
plantadas 15 árvores, determine a quantidade de árvores que devem ser plantadas numa
área de 120 hectares. Dado: 1 hectare = 10000 m2.
14.
(a) Quantos metros cúbicos de concreto são gastos para construir uma coluna cilíndrica
com 80 cm de diâmetro e 3m de altura? Despreze o volume da ferragem, ou seja,
considere que todo o volume da coluna é composto por concreto. (b) Quantos metros
quadrados de papel parede seriam necessários para revestir esta coluna?
15.
Em determinadas vias temos limite máximo para velocidade. Expresse as velocidades
abaixo em m/s. a) 40 km/h. b) 60 km/h. c) 80 km/h. d) 110 km/h.
16.
Considere uma piscina retangular cujas dimensões das bordas são 4m e 5m. Sabendo-se
que a sua profundidade é de 90 cm determine o volume de água (em litros) necessário para
encher completamente esta piscina. Dado: 1 m3 = 1000 litros.
MOVIMENTO RETILÍNIO
No estudo do movimento retilíneo, movimento que ocorre ao longo de uma linha reta, lidamos
com algumas grandezas vetoriais: deslocamento, velocidade e aceleração. Estas grandezas possuem
módulo, direção e sentido, mas no caso do movimento retilíneo em uma dimensão a direção das
grandezas já é determinada e devemos preocupar apenas com o seu módulo e sentido, portanto não é
necessário o uso de notação vetorial. O módulo da grandeza é dado por seu valor e o sentido é
indicado por um sinal positivo ou negativo.
CINEMÁTICA: No estudo da cinemática, procuramos descrever os movimentos sem nos
preocuparmos com suas causas.
PARTÍCULA: Dizemos que um corpo é uma partícula quando suas dimensões podem ser
desprezas em relação ao fenômeno estudado, ou seja, o corpo pode ser considerado como um objeto
pontual. Pode-se considerar que um objeto se move como uma partícula, quando todas as partes deste
objeto se movem na mesma direção e com a mesma rapidez.
O MOVIMENTO É RELATIVO: O movimento de um corpo visto por um observador
depende do referencial no qual o observador está situado.
POSIÇÃO: Localizar um objeto significa determinar a sua posição em relação a algum ponto
de referência, frequentemente a origem (ou ponto zero) de um eixo. A posição é indicada com um
sinal positivo ou negativo de acordo com o lado da origem em que a partícula está, ou zero se a
partícula está na origem. Não é necessário colocar explicitamente o sinal positivo, ou seja, quando não
aparece o sinal, ele é positivo.
sentido positivo
sentido negativo
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
05
DESLOCAMENTO  O deslocamento é um grandeza vetorial (possui módulo, direção e
sentido) que representa a mudança de posição. No eixo x, temos que
x  x2  x1
onde:
x1  é a posição 1 e x2  é a posição 2

O aluno não deve confundir o deslocamento (grandeza vetorial) com a
distância percorrida (grandeza escalar). O deslocamento de um objeto está
relacionado à variação da posição deste objeto, sem levar em consideração a
sua trajetória. A distância percorrida por um ojeto está relacionada ao
comprimento da trajetória seguida pelo corpo.
VELOCIDADE MÉDIA (Vm): A velocidade média é uma grandeza vetorial que está
relacionada ao deslocamento Δx em um intervalo de tempo Δt. Na direção x, pode ser dada
por:
vm 
x x2  x1

t
t
onde: x  é o deslocamento ocorrido no intervalo de tempo t
VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA (rapidez): Em nosso cotidiano geralmente estamos
interessados em saber a rapidez com que um objeto percorre uma trajetória. Essa rapidez, que em
alguns livros é chamada de velocidade escalar média, pode ser dada por
vm 
ˆ
distancia
percorrida
tempo

O aluno não deve confundir velocidade média (grandeza vetorial relacionada
ao deslocamento) com rapidez (grandeza escalar relacionada com a distância
percorrida). No caso de um movimento retilíneo sem inversão de sentido, o
valor das duas grandezas é o mesmo.
VELOCIDADE INSTANTÂNEA: A velocidade é uma grandeza vetorial. A velocidade em
qualquer instante é obtida a partir da velocidade média, encolhendo o intervalo de tempo t,
fazendo-o tender a zero.
x dx

t 0 t
dt
v  lim

A velocidade instantânea é a taxa com que a posição da partícula x está
variando com o tempo em um dado instante; ou seja, a velocidade instantânea é
a derivada de x em relação a t. A leitura indicada no velocímetro de um carro
representa o valor da velocidade do carro num determinado instante, portanto,
o velocímetro dos carros indicam apenas o módulo de sua velocidade. É
comum nos referirmos à velocidade instantânea apenas como velocidade.
UNIDADE DE VELOCIDADE: A
unidade de velocidade no SI é o metro/segundo (m/s)
06
Cálculo da velocidade, usando o gráfico x x t (posição contra o tempo).
Em um gráfico x x t, a velocidade média para um intervalo de tempo t é o coeficiente
angular da reta que liga os pontos sobre a curva que representam os extremos do intervalo. No
mesmo gráfico, a velocidade em qualquer instante é a declividade da curva (ou coeficiente
angular da reta tangente a curva) no ponto que representa aquele instante.
(am):
A aceleração é um grandeza vetorial.
Quando a velocidade de um partícula varia, diz-se que a partícula sofre uma
aceleração. Para um movimento ao longo de um eixo, a aceleração média em um intervalo de
tempo t é
ACELERAÇÃO MÉDIA
am 
v v2  v1

t t2  t1
ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA:
A aceleração instantâneaé a taxa de variação da velocidade
com o tempo (derivada da velocidade com o tempo) ou a derivada segunda da posição em
relação ao tempo. É comum chamar a aceleração instantânea apenas de aceleração.
a

dv d 2 x

dt dt 2
Em um gráfico v x t, a aceleração a em qualquer tempo t é a declividade da
curva no ponto que representa t.
UNIDADE DE ACELERAÇÃO: A
unidade de aceleração no SI é m/s2.
Observe que o seu corpo geralmente reage a mudanças na velocidade (acelerações) e
não a própria velocidade. Portanto nosso corpo pode ser considerado um bom acelerômetro e
não um bom velocímetro. Quando você está em um carro viajando a 110 km/h ou em um
avião viajando a 900 km/h, você pode não ter consciência corporal do movimento. Entretanto,
se o carro ou o avião variar rapidamente sua velocidade, você provavelmente percebe bem
está variação.
Exercícios:
17.
Em t=0, uma partícula que se move ao longo de um eixo x está na posição x0 = - 2,0 m. os sinais
da velocidade inicial da partícula v0 (no tempo t0) e da aceleração constante a são,
respectivamente, para quatro situações: (1) +, +; (2) +, -; (3) -, +; (4) -, -. Em qual situação a
partícula (a) sofrerá uma parada momentânea, (b) com certeza passará pela origem (desde que seja
dado tempo suficiente),e (c) com certeza não passará pela origem?
18.
Se um lançador de beisebol lança uma bola rápida a uma velocidade horizontal média de 160
km/h, quanto tempo a bola leva para alcançar a base principal distante 18,4 m?
19.
Um carro trafega em uma estrada reta por 40 km a 30 km/h. Depois ele continua no mesmo
sentido por outros 40 km a 60 km/h. (a) Qual a velocidade média do carro durante esta viagem de
80 km? (Suponha que ele se move no sentido positivo da direção x.) (b) Qual é a sua velocidade
escalar média? (c) Faça o gráfico de x contra t e indique como se determina a velocidade média
no gráfico.
07
20.
Calcule a sua velocidade média nas duas seguintes situações: (a) você caminha 73,2 m a uma
velocidade de 1,22 m/s e depois corre 73,2 m a uma velocidade de 3,05 m/s ao longo de uma pista
reta. (b) Você caminha durante 1,00 mim à velocidade de 1,22 m/s e depois corre durante 1,00
mim a 3,05 m/s ao longo de uma pista reta. (c) faça o gráfico de x contra t para os dois casos e
indique como se determina a velocidade média no gráfico.
21.
Uma pessoa caminhando em um pista retangular cujos lados medem L1 = 400 m e L2 =
200 m percorre 3 voltas em 45 minutos. Considerando que a pessoa inicie e termine seu
percurso no mesmo local determine.
a) A distância percorrida nas 3 voltas, em km.
b) O valor do vetor deslocamento total após as 3 voltas, em km.
c) O valor da velocidade escalar média (rapidez) nas 3 voltas, em km/h.
d) O Valor do vetor velocidade média nas 3 voltas, em km/h.
22.
Uma pessoa caminhando em um pista circular com 0,7km de raio percorre 4 voltas em
duas horas. Considerando que a pessoa inicie e termine seu percurso no mesmo local
determine.
a) A distância percorrida em 4 voltas.
b) O valor do vetor deslocamento total após as 4 voltas.
c) O valor da velocidade escalar média (rapidez) nas 4 voltas.
d) O Valor do vetor velocidade média nas 4 voltas.
23.
Um automóvel sai de Goiânia às 7 horas e chega em Brasília às 10 horas depois de
percorrer 210 km. Considerando que a distância em linha reta entre o ponto de saída e a
chegada é de 175 km determine.
a) O valor da velocidade escalar média (rapidez) desta viagem.
b) O valor do vetor velocidade média desta viagem.
c) Quando nos referimos à velocidade média de uma viagem, geralmente nos referimos à
velocidade escalar média (rapidez) ou ao módulo do vetor velocidade média?
24.
(a) Se a posição de uma partícula é dada por x = 4 – 12t + 3t2 (onde t está em segundos e x está
em metros), qual é a sua velocidade e aceleração em t = 1 s? (b) Ela está se deslocando no sentido
positivo ou negativo de x neste exato momento? (c) qual o módulo da sua velocidade neste mesmo
instante? (d) o módulo da velocidade é maior ou menor em instantes posteriores? (tente responder
às próximas duas perguntas sem fazer nenhum outro cálculo.) (e) Existe algum instante em que a
velocidade chega a se anular? (f) existe um tempo após t = 3 s no qual a partícula esteja se
deslocando no sentido negativo de x?
25.
Uma partícula tinha uma velocidade de 18 m/s em um certo tempo, e 2,4 s depois sua velocidade
era de 30 m/s no sentido contrário. Quais eram o módulo e o sentido da aceleração média da
partícula durante este intervalo de 2,4 s?
08
MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE:
Em nosso cotidiano é comum nos depararmos com movimentos nos quais a aceleração não
permanece constante, mas temos também movimentos com a aceleração constante ou
aproximadamente constante frequentemente chamados de movimento uniformemente variando
(MUV). No estudo do movimento de um corpo, podemos analisar sua posição, velocidade e
aceleração usando equações que relacionam estas grandezas. Para o MUV temos as seguintes
equações:
v  v0  at
Equação da velocidade no MUV
Onde:
v  é a velocidade no instante t
v0  é a velocidade inicial
a  é a aceleração (constante)
Equação de posição do MUV
at 2
x  x0  v0t 
2
Onde:
x  é a posição no instante t
x0  é a posição inicial
a  é a aceleração (constante)
Podemos determinar outra equação isolando o tempo t, na equação da velocidade e substituindo
na equação de posição
v2  v02  2a x
Equação de Torricelli
Para o caso particular de movimento sem aceleração (a = 0), a velocidade permanece
constante e o movimento será uniforme (MU). A equação de posição, para este caso é
x  x0  v.t
Equação de Posição no MU.
Podemos demonstrar estas equações usando o Cálculo integral. Portanto estas demonstrações
se destinam aos alunos que têm este conhecimento.
Para um movimento com aceleração constante temos que:
v
t
t
dv
a    dv'   a dt '  v  v0  a  dt '  v  v0  at
dt
v0
0
0
v  v0  at
Equação da velocidade no MUV
Temos também que:
x
v
t
t
dx
  dx'   v dt '  x  x0   (v0  at ' )dt '
dt
x0
0
0
09
Equação de posição do MUV
at 2
at 2
 x  x0  v0t 
 x  x0  v0t 
2
2
Exercícios:
26. A cabeça de uma cascavel pode se acelerar a 50 m/s2 ao golpear uma vítima. Se um carro pudesse
ter esta aceleração, quanto tempo levaria para ele atingir uma velocidade de 100 km/h partindo do
repouso?
27. Um avião partindo do repouso deve alcançar uma velocidade de 360 km/h na pista para decolar.
Qual a aceleração constante mínima necessária para a decolagem em uma pista de 1,80 km?
28. Os freios do seu carro são capazes de criar uma desaceleração de 5,2 m/s 2. Se você estiver a 137
km/h e subitamente avistar um policial rodoviário, qual o tempo mínimo no qual você consegue
reduzir a velocidade do seu carro baixo do limite de velocidade a 90 km/h? (A resposta mostra
como é inútil frear para impedir que a sua alta velocidade seja detectada por um radar ou pistola de
laser.)
29. Um carro trafegando a 56,0 km/h está a 24,0 m de uma barreira quando o motorista pisa com força
nos freios. O carro bate na barreira 2,00 s depois. (a) qual é a desaceleração constante do carro
antes do impacto? (d) com que velocidade o carro está se deslocando quando sofre o impacto?
30. È comum vermos batidas na qual um veículo está parado ou com velocidade baixa e
outro, que por um determinado motivo não consegue frear em tempo, acaba atingindo este
veículo. Temos alguns fatores que devem ser levados em conta para evitar estes acidentes:
a distância entre os veículos, a velocidade relativa entre os dois veículos e também a
capacidade de desaceleração. Considere que durante a frenagem a desaceleração
permaneça constante para responder as questões.
a) Se para uma determinada velocidade necessitamos de uma distância D1 para parar um
veículo, qual será a distância necessária se a velocidade for à metade da anterior?
b) Se para uma determinada desaceleração necessitamos de uma distância D1 para parar
um veículo, qual será a distância necessária se a desaceleração for o dobro da anterior?
c) Com base nas respostas anteriores, qual dos fatores (velocidade ou desaceleração) você
considera que devemos observar melhor para evitar este tipo de acidente? Observe que
não adianta apenas saber a teoria de como evitar um acidente, o que vale é a prática desta
teoria.
31. ) No instante em que o sinal de trânsito fica verde, um automóvel inicialmente em repouso
parte com uma aceleração constante de 3 m/s2. No mesmo instante uma motocicleta,
trafegando com uma velocidade constante de 22 m/s, ultrapassa este automóvel.
a ) Após o sinal ficar verde, depois de quanto tempo o automóvel ultrapassará a moto?
b ) A que distância além do sinal de transito o automóvel ultrapassará a moto?
c ) Qual será a velocidade do automóvel nesse instante?
32. No instante em que o sinal de trânsito fica verde, um automóvel parte com uma aceleração a de
2,2 m/s2. No mesmo instante um caminhão, trafegando com uma velocidade constante de 9,5 m/s,
alcança e ultrapassa o automóvel. (a) A que distância além do sinal de trânsito o automóvel
ultrapassará o caminhão? (b) Qual será a velocidade do automóvel nesse instante?
010
ACELERAÇÃO DE QUEDA LIVRE
Se você arremessasse um objeto verticalmente para cima ou para baixo e pudesse de alguma
maneira eliminar os efeitos do ar no seu vôo, o objeto terá uma aceleração constante para baixo. Essa
aceleração é chamada de aceleração de queda livre, e seu módulo é representado por g. Neste caso a
aceleração independe das características do objeto, ela é a mesma para todos os objetos, independente
de sua forma ou massa.
O movimento em queda livre é um movimento retilíneo uniformemente variado na direção
vertical. Para obter as equações para este movimento devemos substituir a aceleração (a = - g) nas
equações do MUV. Após a substituição, as equações se tornam
1
y  y0  v0 y t  gt 2
2
vy  v0 y  gt
vy2  v02y  2g y
O módulo da aceleração de queda livre nas proximidades da superfície da terra é g = 9,8 m/s2.
Quando substituímos a aceleração (a = - g), estamos considerando o sentido positivo de y para
cima e o sentido negativo para baixo. Lembre-se que o sinal serve apenas para indicar o sentido das
grandezas vetoriais.
Exercícios:
33. Gotas de chuva, inicialmente em repouso, caem 1700 m de uma nuvem até o chão. (a) se elas não
fossem retardadas pela resistência do ar, com que velocidade (em km/h) as gotas estariam se
movendo quando atingissem o solo? (b) Seria seguro caminhar a céu acerto durante uma
tempestade com chuva?
34. Em um canteiro de obras uma chave de cano bate no chão com uma velocidade de 24 m/s (86,4
km/h). (a) de que altura deixaram ela cair por negligência? (b) quando tempo durou a queda?
Despreze a resistência do ar.
35. (a) com que velocidade uma bola deve ser lançada verticalmente a partir do nível do chão para
subir até uma altura máxima de 50 m? (b) quando tempo ela ficará no ar até voltar novamente ao
solo? Despreze a resistência do ar.
36. Deixa-se cair uma pedra de um penhasco de 100 m de altura. Quanto tempo ela leva para cair (a)
os primeiros 50 m e (b) os 50 m seguintes? Despreze a resistência do ar.
37. Um modelo de foguete inicialmente em repouso é disparado verticalmente do chão se elevando
com uma aceleração vertical constante de 4,00 m/s2 por 6,00 s. Seu combustível então se esgota e
ele continua se deslocando para cima como uma partícula em queda livre e depois volta caindo. (a)
qual a altitude máxima alcançada? (b) Qual o tempo total percorrido da decolagem até o foguete
bater no chão?
38. Um balão de ar quente está subindo a uma velocidade vertical de 12 m/s e está 80 m acima do
chão quando se solta um pacote pela lateral. (a) Quanto tempo o pacote leva para atingir o chão?
(b) Com que velocidade ele bate no chão. Despreze a resistência do ar.
011
39. Um elevador sem teto está subindo com uma velocidade constante de 10 m/s. Um garoto no
elevador dispara uma bola para cima bem na direção vertical, de uma altura de 2,0 m acima do
piso do elevador, exatamente quando piso do elevador está a 28 m acima do chão. A velocidade
inicial da bola em relação ao elevador é de 20 m/s. (a) qual a altura máxima acima do chão que a
bola alcança? (b) quando tempo a bola leva para voltar para o piso do elevador? Despreze a
resistência do ar.
VETORES
GRANDEZAS VETORIAIS E ESCALARES
As grandezas escalares ficam totalmente determinadas por um valor numérico e sua unidade.
Exemplos de grandezas escalares: temperatura, massa, comprimento, carga elétrica,
trabalho, energia e potencial elétrico.
As grandezas vetoriais só ficam completamente determinadas quando são conhecidos o seu
módulo, a sua direção, o seu sentido e sua unidade.
Exemplos de grandezas vetoriais: deslocamento, velocidade, aceleração, força, campo
elétrico e campo magnético.
Cálculos com grandezas escalares envolvem operações da aritmética comum, mas os cálculos
com grandezas vetoriais são diferentes. Como utilizaremos algumas grandezas vetoriais em nosso
curso, apresentaremos, agora, um estudo sobre a representação e soma vetorial.
Para representar as grandezas vetoriais é necessário indicar a intensidade e também a direção e
sentido desta grandeza. Esta indicação pode ser feita por meio de um vetor, o qual pode ser
representado por um segmento de reta orientado (uma seta). A reta que contém o vetor indica a direção
deste vetor e a ponta da seta indica o sentido deste vetor. A representação de uma grandeza vetorial
(módulo, direção e sentido) geralmente é indicada com uma seta sobre o símbolo que representa esta
grandeza (observe que esta seta não indica direção nem sentido do vetor). Quando nos referimos
apenas ao módulo do vetor usamos o símbolo sem a seta por cima.
Não devemos apenas decorar as regras usadas nas operações vetoriais, é importante que
tenhamos uma visão espacial da representação e operações com as grandezas vetoriais. Para facilitar
esta visualização podemos relacionar as operações vetoriais com grandezas vetoriais próximas do
nosso cotidiano, como é o caso do vetor deslocamento.
Num deslocamento 𝑑⃗ = 20 m horizontalmente para a direita temos que:
d = 20 m é o módulo (valor) do deslocamento, sua direção é horizontal e seu sentido é para a
direita.
SOMA DE VETORES
Para encontrar, graficamente, a resultante, 𝑠⃗, da soma de dois vetores 𝑎⃗ e 𝑏⃗⃗, traçamos o vetor 𝑏⃗⃗
de modo que sua origem coincida com a extremidade do vetor 𝑎⃗. Unindo a origem do vetor 𝑎⃗ com a
extremidade do vetor 𝑏⃗⃗, obtemos a resultante 𝑠⃗. Para encontrar a resultante da soma de vários vetores,
traçamos os vetores de modo que a extremidade de um coincida com a origem do seguinte, e o vetor
resultante é o vetor que une a origem do primeiro vetor com a extremidade do último. A ordem em que
os vetores são desenhados não faz diferença, tente verificar esta propriedade.
Como exemplo, representamos o vetor soma, 𝑠⃗, dos vetores 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ e 𝑐⃗.
𝑎⃗
,
a
𝑏⃗⃗
b
𝑏⃗⃗
𝑐⃗
c
b
𝑎⃗
,
a
𝑐⃗
.
𝑠⃗ = 𝑎⃗ c+ 𝑏⃗⃗ + 𝑐⃗
012
Para o caso particular de dois vetores, 𝑎⃗ e 𝑏⃗⃗, de mesma direção e mesmo sentido, a soma, 𝑠⃗, é
um vetor na mesma direção e sentido dos vetores dados e o seu modulo é igual à soma dos módulos de
𝑎⃗ e 𝑏⃗⃗ (s = a + b). Se, 𝑎⃗ e 𝑏⃗⃗ têm a mesma direção e sentidos contrários, o módulo do vetor soma é dado
pela diferença dos módulos de 𝑎⃗ e 𝑏⃗⃗ (s = a - b) sendo a sua direção e sentido, as mesmas do vetor de
maior módulo. Estes casos estão representados nas figuras abaixo.
𝑎⃗
a
𝑎⃗
a
𝑠⃗ = 𝑎⃗+ 𝑏⃗⃗
𝑏⃗⃗
b
𝑠⃗ = 𝑎⃗+ 𝑏⃗⃗
𝑏⃗⃗
s=a+b
b
Se dois vetores não possuírem a mesma direção, a soma dos vetores pode ser dada pela regra
do paralelogramo, que consiste em juntar as origens dos vetores e fechar um paralelogramo, o vetor
resultante será dado pela diagonal deste paralelogramo, como está representado na figura abaixo.
𝑎⃗
a
𝑎⃗
a
𝑏⃗⃗
b
𝑏⃗⃗
𝑠⃗
,
b
s
⃗⃗, pode ser calculado pela
O módulo do vetor resultante da soma entre os dois vetores 𝑎⃗ e 𝑏
seguinte formula:
s2 = a2 + b2 + 2ab cos
 s = a2 + b2 + 2ab cos
𝑎⃗ 
a
𝑏⃗⃗
b
onde:
s, a, b  são os módulos dos vetores 𝑠⃗, 𝑎⃗ e 𝑏⃗⃗.
  é o angulo entre os vetores 𝑎⃗ e 𝑏⃗⃗.
Quando  = 90o (vetores perpendiculares), temos que:
s = a 2 + b2
COMPONENTES DE UM VETOR
A componente de um vetor, segundo uma direção, é a projeção (ortogonal) do vetor naquela
⃗⃗ x é a componente do vetor 𝑉
⃗⃗ sobre o eixo x e 𝑉
⃗⃗ y é a componente ao longo do
direção. Por exemplo, 𝑉
eixo y.
013
DECOMPOSIÇÃO DE UM VETOR
⃗⃗ , encontramos dois vetores 𝑉
⃗⃗ x e
Ao determinarmos as componentes retangulares de um vetor 𝑉
⃗⃗ y que, em conjunto, podem substituir o vetor 𝑉
⃗⃗ , pois , 𝑉
⃗⃗ = 𝑉
⃗⃗ x + 𝑉
⃗⃗ y .
𝑉
y
⃗⃗ y
𝑉
⃗⃗
𝑉
V
VY
Temos que:
x
⃗⃗ x
𝑉
VX
sen  = Vy / V 
cos  = Vx / V

Vy = V sen 
Vx = V cos 
tg  = Vy / Vx
⃗⃗ x e 𝑉
⃗⃗ y quando conhecemos
Estas relações nos permitem calcular os valores das componentes 𝑉
⃗
⃗
o módulo do vetor 𝑉 e o ângulo que ele forma com o eixo OX.
⃗⃗ x e 𝑉
⃗⃗ y, o módulo do vetor 𝑉
⃗⃗ poderá ser
Quando conhecermos os valores das componentes 𝑉
obtido por.
V = Vx 2 + Vy 2
VETORES UNITÁRIOS:
Um vetor unitário é um vetor que possui um módulo exatamente igual a um e que aponta uma
direção particular. O vetor unitário não possui unidade, e seu único propósito é especificar uma
direção e sentido. Os vetores unitários nos sentidos positivos dos eixos x, y e z são chamados de 𝑖̂, 𝑗̂ e
𝑘̂. A disposição dos eixos da figura abaixo é chamada de sistema de coordenadas dextrogiro. O
sistema permanece dextrogiro se ele for girado rigidamente até uma nova orientação. Usaremos
exclusivamente tal sistema de coordenadas nesta disciplina.
y
x
𝑗̂
j
𝑘̂
z.
k
𝒊̂
014
⃗⃗ pode
Os vetores podem ser escritos em função dos vetores unitários. Por exemplo, um vetor 𝑉
̂
⃗
⃗
ser escrito como: 𝑉 = Vx 𝑖̂ + Vy 𝑗̂ + Vz 𝑘
⃗⃗, cada um representado por seus componentes, pode ser escrita
A soma de dois vetores 𝐴⃗ e 𝐵
em termos dos vetores unitários da seguinte forma:
𝑆⃗ = ( Ax + Bx ) 𝑖̂ + (Ay + By ) 𝑗̂ + ( Az + Bz ) 𝑘̂.
Observação:
As componentes de um vetor podem ser positivas ou negativas.
EXERCÍCIO:
40. Quais são (a) a componente x e (b) a componente y de um vetor a localizado no plano xy se a sua
direção está a 250º no sentido anti-horário do sentido positivo do eixo x e o seu módulo é igual a
7,3 m?
41. A componente x do vetor A é igual a – 25,0 m e a componente y é igual a + 40,0 m. (a) Qual é o
módulo de A ? (b) qual o ângulo entre a direção de A e o sentido positivo de x?
42. Um vetor deslocamento r no plano xy tem um comprimento igual a 15 m e tem a orientação
mostrada na figura. Determine (a) a componente x e (b) a componente y do vetor.
43. (a) Na notação de vetor unitário, qual é a soma de
e b  (13m)iˆ  (7, 0m) ˆj
a  (4,0m)iˆ  (3,0m) ˆj
quais são (b) o módulo e (c) a direção de a + b (relativa a i )?
44. Ache as componentes (a) x, (b) y e (c) z da soma r dos deslocamentos c e d , cujas componentes
em metros ao longo dos três eixos são cx = 7,4 , cy = -3,8 , cz = -6,1; dx = 4,4 , dy = -2,0 e dz =
3,3.
45. São dois vetores:
a = (4, 0m)iˆ - (3, 0m)jˆ
e
b = (6, 0m)iˆ + (8, 0m)jˆ
quais são (a) o módulo e (b) o ângulo (relativo a iˆ ) de a ? Quais são (c) o módulo e (d) o ângulo
de b ? Quais são (e) o módulo e (f) o ângulo de a + b ; (g) o módulo e (h) o ângulo de b - a; e (i) o
módulo e (j) o ângulo de a - b ? (k) qual é o ângulo entre as direções de b - a e a - b ?
46. A componente horizontal de um deslocamento é dx = 5m e a componente vertical deste
deslocamento é dy = - 7m. (a) Represente este vetor deslocamento no plano xy. (b)
Determine o módulo e o ângulo θ que este deslocamento faz com o eixo x positivo
015
47. Para cada um dos itens abaixo represente o vetor no plano xy, determine o módulo e
indique o ângulo θ que o vetor faz com o um dos eixos (x ou y).
a) 𝐴⃗ = ( 4cm) î + ( – 9cm ) ĵ
⃗⃗ = ( - 6cm) î + ( 2cm ) ĵ
b) 𝐵
c) 𝐶⃗ = (- 4cm) î + ( – 7cm ) ĵ
⃗⃗ = ( 3cm) î + ( 5cm ) ĵ
d) 𝐷
⃗⃗. Sendo seus módulos A = 7cm e
48. Na figura abaixo estão representados os vetores 𝐴⃗ e 𝐵
B = 15cm, determine:
a ) Os valores das componentes de cada um dos vetores ( Ax , Ay, Bx , BY ).
⃗⃗.
b ) O módulo, a direção e o sentido do vetor resultante 𝑅⃗⃗ = 𝐴⃗ + 𝐵
y
𝐴⃗
30o
x
40o
⃗⃗
𝐵
⃗⃗ . Sendo seus módulos
49. Na figura abaixo estão representados os vetores 𝐴⃗ e 𝐵
B = 17cm, determine:
a )Os valores das componentes de cada um dos vetores ( Ax , Ay, Bx , By ).
⃗⃗ .
b )O módulo , a direção e o sentido do vetor resultante 𝑅⃗⃗ = 𝐴⃗ + 𝐵
A = 9cm e
y
x
30o
𝐴⃗
40o
⃗⃗
𝐵
50. Os dois vetores a e b da figura possuem o mesmo módulo de 10,0 m. Ache (a) a componente x e
(b) a componente y da sua soma vetorial r , (c) o módulo de r e (d) o ângulo que r faz com o
sentido positivo do eixo x.
016
⃗⃗ e 𝐶⃗. Determine, em termos de
51. Na figura abaixo estão representadas os vetores deslocamentos 𝐴⃗, 𝐵
vetores unitários, e como um módulo, direção e sentido os vetores resultantes: Dados: A = 9 cm; B
= 8 cm; C = 6 cm
y
a)
b)
c)
d)
⃗⃗⃗ + 𝑩
⃗⃗⃗
𝑨
⃗⃗
⃗⃗⃗ + 𝑪
𝑨
⃗⃗
⃗⃗⃗ + 𝑪
𝑩
⃗⃗
⃗⃗⃗ + 𝑩
⃗⃗⃗ + 𝑪
𝑨
⃗⃗⃗
𝑩
⃗𝑨
⃗⃗
70°
30°
60°
x
⃗𝑪⃗
– Movimento em duas e três dimensões
Vetor posição  r 
A localização de uma partícula em relação à origem de um sistema de coordenadas é dada por
um vetor posição r , que na notação de vetor unitário é
r  xiˆ  yjˆ  zkˆ
VETOR DESLOCAMENTO  r 
Quando uma partícula se move de tal forma que o seu vetor posição muda de r1 para r2 , então
o deslocamento da partícula é
r  r2  r1  xiˆ  yjˆ  zkˆ
VELOCIDADE MÉDIA  vm 
Se uma partícula sofre um deslocamento r no tempo t , a sua velocidade média vm para
este intervalo de tempo é
vm 
VELOCIDADE INSTANTÂNEA  v 
v  lim
t  0
Sendo,
r dr dx ˆ dy ˆ dz ˆ

 i
j k
t dt dt
dt
dt
dx
 vx ,
dt
dy
dz
 vy e
 vz ,
dt
dt
r
t
017
Temos que: v  vx iˆ  v y ˆj  vz kˆ
A velocidade instantânea de uma partícula em cada ponto está sempre na direção tangente à
trajetória da partícula naquele ponto.
ACELERAÇÃO MÉDIA (am )
Quando a velocidade de uma partícula varia de v1 para v2 em um intervalo de tempo t , sua
aceleração média am durante este intervalo de tempo t é
am 
v
t
ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA  a 
v dv dvx ˆ dv y ˆ dvz ˆ


i
j
k  ax iˆ  a y ˆj  az kˆ
t  0 t
dt
dt
dt
dt
a  lim
Se a velocidade variar em módulo, direção ou sentido (ou em mais de um), a partícula terá
uma aceleração.
Exercícios:
52. Vetor posição para um elétron é r = (5, 0m)iˆ - (3, 0m)jˆ + (2, 0m)kˆ . (a) ache o módulo de
um esboço deste vetor em um sistema de coordenadas destrógiro.
r
. (b) Faça
53. Vetor posição de um íon é inicialmente r = 5, 0iˆ - 6, 0jˆ + 2, 0kˆ , e 10s mais tarde é
r = -2, 0iˆ + 8, 0jˆ - 2, 0kˆ , todos em metros. Qual é sua velocidade média durante os 10 s? Na notação
de vetor unitário.
54. A posição de um elétron é dada por
2
r = 3,00t ˆi - 4,00t ˆj +2,00kˆ ,
com t em segundos e r em
metros. (a) Qual é a expressão para a velocidade do elétron v (t ) ? Em t = 2,00 s, quanto vale v
(b) na notação de vetor unitário e como (c) um módulo e (d) um ângulo em relação ao sentido
positivo do eixo x?
55. Uma partícula se move de tal forma que a sua posição (em metros) em função do tempo (em
segundos) é r = ˆi + 4t
função do tempo.
2ˆ
j + tkˆ
. Escreva expressões para (a) sua velocidade e (b) a sua aceleração em
56. Um próton possui inicialmente v = 4, 0iˆ - 2, 0jˆ + 3, 0kˆ e então 4,0s mais tarde possui
v = -2, 0iˆ - 2, 0jˆ + 5, 0kˆ (em metros por segundo). Para aqueles 4,0s, qual é a aceleração média do
próton amed (a) na notação de vetor unitário e (b) com um módulo, uma direção e um sentido?
57. A posição
3
r
de
uma
partícula
4
- 5, 00t)iˆ + (6, 00 - 7, 00t )jˆ ,
que
se
move
em um plano
xy
é
dada
por
r = (2, 00t
com r em metros e t em segundos. Determine para t = 2 s,
em função dos vetores unitários (a) a posição r , (b) a velocidade v e (c) a aceleração a .
018
58. Nos itens abaixo temos a equação de posição de três partículas em movimento num plano
xy, com r em metros e t em segundos. Para cada um destes itens determine o módulo, a
direção e o sentido dos vetores velocidade e aceleração da partícula no instante t = 2 s:
a ) 𝑟⃗ = - 3 t 4 𝑖̂ + 7 t3 𝑗̂.
b ) 𝑟⃗ = ( 7 t 2 + 5) 𝑖̂ + ( 5 t3 – 2 t2 +8 ) 𝑗̂.
c ) 𝑟⃗ = ( 4 t 3 + 3 t2 - 10) 𝑖̂ + ( - 5 t4 + 2 t3 +8 ) 𝑗̂.
MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL
Estudaremos agora o movimento de uma partícula lançada com uma velocidade inicial v0
num ângulo  0 com a horizontal. Durante seu vôo, desprezando a resistência do ar, a aceleração
horizontal da partícula é nula e a sua aceleração vertical é a aceleração de queda livre – g (o sentido
positivo é escolhido para cima).
No movimento de um projétil, o movimento horizontal e o movimento vertical são
independentes um do outro, ou seja, um não afeta o outro. Esta característica nos permite decompor
um problema envolvendo movimento bidimensional em dois problemas unidimensionais separados e
mais fáceis de serem estudados, um movimento horizontal (com aceleração nula) e um movimento
vertical (com a aceleração constante para baixo).
Na figura abaixo está representada a trajetória de uma partícula com velocidade inicial v0 ,
num ângulo  0 com a horizontal, considerando x0  0 e y0  0 .
A velocidade inicial v0 , pode ser escrita como
v0  v0 xiˆ  v0 y ˆj
onde as componentes v0 x e v0 y são
v0 x  v0 cos 0 e v0 y  v0 sen0
Agora vamos analisar o movimento de um projétil separadamente na horizontal e vertical.
O MOVIMENTO HORIZONTAL
Na direção horizontal a aceleração é nula ( ax  0) , portanto, a componente da velocidade
nesta direção permanece constante durando todo o movimento (vx  v0 x ) . O movimento horizontal é
um movimento uniforme, e a equação de posição para este caso é
x  x0  v0 xt  x  x0  v0 cos 0t .
019
O MOVIMENTO VERTICAL
Na direção vertical a aceleração é constante (ay   g ) , portanto, o movimento vertical é o
mesmo de uma partícula em queda livre (já estudado anteriormente), e as equações do movimento ao
longo do eixo vertical y são
1
1
y  y0  v0 yt  gt 2  y  y0  v0 sen 0t  gt 2
2
2
vy  v0 y  gt  vy  v0 sen0  gt
vy2  v02y  2gy  vy2  (v0sen0 )2  2gy
A EQUAÇÃO DA TRAJETÓRIA
Isolando o tempo t, na equação de posição horizontal e substituindo na equação da posição
vertical, podemos obter a equação da trajetória para x0  0 e y0  0
y  (tg0 ) x 
gx2
2(v0 cos0 )2
Está é uma equação do 2º grau (v0 ,0 e g sao constantes) , indicando que a trajetória é
parabólica.
O ALCANCE HORIZONTAL
O alcance horizontal R do projétil é a distância horizontal que o projétil percorreu ao retornar
à sua altura inicial. Usando as equações de posição nos eixos x e y, podemos mostrar que o alcance é
dado por
v02
R
sen20
g
Observe que alcance R possui seu valor máximo para um ângulo de lançamento de 45º.
Exercícios:
59. Um avião voando na horizontal com uma velocidade constante de 350 km/h sobrevoando um
terreno plano, solta um fardo de alimento. Ignore o efeito do ar sobre o fardo. Quais são as
componentes (a) vertical e (b) horizontal da velocidade inicial do fardo? (c) qual é a componente
horizontal da sua velocidade imediatamente antes de bater no chão? (d) Se, em vez disso, a
velocidade do avião fosse de 450 km/h, o tempo de queda seria maior, menor ou o mesmo?
60. Uma carabina é apontada na horizontal para um alvo distante 30 m. A bala acerto o alvo 1,9 cm
abaixo do ponto visado. Quais são (a) o tempo de vôo da bala e (b) o módulo da sua velocidade ao
sair da carabina?
61. Uma bolinha rola horizontalmente para fora do lado do tampo de uma mesa que está a uma altura
de 1,20 m. Ela toca o piso em um ponto a uma distância horizontal de 1,52 m do lado da mesa. (a)
quanto tempo a bola fica no ar? (b) Qual é a sua velocidade escalar no instante em que ela sai da
mesa?
020
62. Uma pedra é atirada por uma catapulta no tempo t = 0, com uma velocidade inicial de módulo
igual a 20 m/s fazendo um ângulo de 40 º acima da horizontal. Para t = 1,1 s determine os módulos
das componentes (a) horizontal e (b) vertical do seu deslocamento a partir do local da catapulta.
Repita os cálculos para t = 1,8 s (c) deslocamento horizontal e (d) vertical.
63. Você arremessa uma bola em direção a uma parede com uma velocidade de 25,0 m/s fazendo um
ângulo de 40,0º acima da horizontal (Fig. 07). A parede está a 22,0 m do ponto de lançamento da
bola. (a) a que distância acima do ponto de lançamento a bola bate na parede? (b) quais são as
componentes horizontal e vertical da sua velocidade quando ela bate na parede? (c) quando ela
bate, ela já passou do ponto mais alto da sua trajetória?
Fig. 07
64. Uma bola é atirada do chão no ar. Em uma altura de 9,1 m, observa-se que a sua velocidade é
v = 7, 6iˆ + 6,1jˆ em metros por segundo ( iˆ horizontal, ĵ para cima). (a) até que altura máxima a
bola sobe? (b) qual a distância horizontal total que a bola percorre? Quais são (c) o módulo, e (d) a
direção e sentido da velocidade da bola imediatamente antes dela bater no chão?
65. Uma bola rola na horizontal para fora do alto de uma escadaria com uma velocidade de 1,52 m/s.
Os degraus têm 20,3 cm de altura e 20,3 cm de largura. Em que degrau a bola bate primeiro?
66. Uma bola está parada sobre o gramado de um campo horizontal. Um jogador chuta a bola
para cima, imprimindo-lhe uma velocidade inicial de 15 m/s, num ângulo de 50o com a
horizontal. A bola sobe e desce atingindo novamente o solo. Desprezando a resistência do
ar, determine:
a ) As componentes horizontal e vertical da velocidade inicial.
b) A altura máxima atingida pela bola.
c ) A distância horizontal percorrida pela bola, até atingir o solo.
MOVIMENTO RELATIVO EM DUAS DIMENSÕES
O movimento de uma partícula depende do sistema de referência de quem quer que esteja
observando este movimento.
Na figura abaixo, estão representadas dois sistemas de referência A e B, sendo que o sistema
de referência B se move com velocidade constante em relação ao sistema de referência A.
Os vetores posições podem ser relacionados por
021
rPA  rPB  rBA
onde: rPA  é o vetor posição da partícula P em relação ao referencial A.
rPB  é o vetor posição da partícula P em relação ao referencial B.
rBA  é o vetor posição do referencial B em relação ao referencial A.
Derivando a equação acima em relação ao tempo, teremos a relação entre as velocidades
vPA  vPB  vBA
Onde: vPA  é a velocidade da partícula em relação ao referencial A.
vPB  é a velocidade da partícula em relação ao referencial B.
vBA  e a velocidade do referencial B em relação ao referencial A.
Derivando as velocidades em relação ao tempo, teremos a relação entre as acelerações.
Observe que v AB é constante e sua derivada em relação ao tempo é nula, portanto, observadores que se
movem com velocidades constantes entre si medirão a mesma aceleração para uma partícula em
movimento.
aPA  aPB
onde:
aPA e aPB  são, respectivamente, as acelerações da partícula P em relação ao
referencial A e ao referencial B.
Exercícios:
67. Um barco está viajando rio acima a 14 km/h em relação à água deste rio. A água está escoando a 9
km/h em relação às margens. (a) qual é a velocidade do barco em relação às margens? (b) uma
criança no barco caminha da frente para a parte de trás a 6 km/h em relação ao barco. Qual é a
velocidade da criança em relação às margens?
68. Está caindo neve na direção vertical a uma velocidade constante de 8,0 m/s. Com que ângulo
medido a partir da vertical os flocos de neve parecem estar caindo quando vistos pelo motorista de
um carro que viaja em uma estrada reta e sem desníveis a uma velocidade de 50 km/h?
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
3. 0,6m.
4. 0,483 km.
5. 32,19 km.
6. a) 5 . 1010 cm2; b) 5 . 10 - 6 m3 ; c) 8 . 10 -3 kg.
7. 1,95 . 10 – 2 km3.
8. (a) 103 kg/m3 ; (b) 158,33 kg/s.
9. 3,8 mg/s.
10. 3. 10 – 6 cm.
11. a) 4,00 × 104 km. b) 5,096 × 108 km2 . b) 1,08 × 1012 km3.
12. 360 m2.
13. 2571 árvores.
14. A) 1,51 m3; b) 7,54 m2.
022
15. a)40 km/h = 11,11 m/s; b)60 km/h = 16,67 m/s; c)80 km/h = 22,22 m/s; d) 110 km/h
= 30,55 m/s.
16. 18000 litros de água.
17. (a) 2 e 3; (b) 1 e 3; (c) 4.
18. 0,414 s.
19. (a) 40 km/h ; (b) 40 km/h.
20. (a) 1,74 m/s ; (b) 2,135 m/s.
21. a) 3,6 km; b) zero; c) 4,8 km/h; d ) zero.
22. a) 17,584 km; b) zero; c) 8,792 km/h; d) zero.
23. a) 70 km/h. b) 58,33 Km/h. c) velocidade escalar média.
24. (a) v = – 6 m/s e a = 6 m/s2 ; (b) no sentido negativo de x; (c) 6 m/s; (d) primeiro é
menor, depois se anula e depois é maior; (e) sim (t = 2s); (f) não.
25. 20 m/s2, no sentido contrário à sua velocidade inicial.
26. 0,55 s .
27. 36000 km/h2.
28. 2,5 s .
29. (a) 3,56 m/s2 ; (b) 8,43 m/s.
30. a) Se a velocidade for reduzida à metade, a distância de frenagem será quatro vezes
menor. b) Se a desaceleração for dobrada, a distância de frenagem será duas vezes
menor. c) pensamos que deve ser a velocidade, devemos observar que a desaceleração
pode não depender só do condutor e/ou do veículo, podemos ter uma pista molhada
ou suja de óleo por exemplo.
31. a) 14,67 s; b) 322,74 m; c) 44,01 m/s.
32. (a) 82 m ; (b) 18.41 m/s.
33. 659 km/h.
34. (a) 29,39 m ; (b) 2,45 s.
35. (a) 31 m/s ; (b) 6,4 s.
36. (a) 3,2 s ; (b) 1,3 s.
37. (a) 101,37 m ; (b) 13 s.
38. (a) 5,4 s ; (b) 41 m/s.
39. (a) 76 m ; (b) 4,2 s.
40. (a) – 2,5 m ; (b) – 6,9 m.
41. (a) 47,2 m ; (b) 122º.
42. (a) 13 m ; (b) 7,5 m.
43. (a) (-9m)iˆ + (10m)jˆ ; (b) 13 m ; (c) 132º.
44. rx = 12 ; ry = - 5,8 ; rz = -2,8.
45. (a) 5 m ; (b) – 37º ; (c) 10 m; (d) 53º ; (e) 11 m ; (f) 27º ; (g) 11 m ; (h) 80º ; (i) 11 m;
(j) 260º ; (k) 180º.
46. b) 8,6m; θ = -54,46o
47. a)9,85 cm; θ = - 66,04o com o eixo x positivo. b) 6,32 cm; θ = - 18,43o com o eixo x
negativo. c) 8,06 cm; θ = 60,25o com o eixo x negativo. d) 5,83 cm; θ = 59,04o com
o eixo x positivo.
48. a) Ay = 3,5 cm; Ax = 6,06 cm; By = - 9,64 cm; Bx = 11,49 cm. b) 18,59 cm; O vetor
resultante está no quarto quadrante num ângulo θ = -19,28o com o eixo x positivo.
49. a) Ay =- 4,5 cm; Ax = - 7,79 cm; By =- 10,93 cm; Bx =13,02 cm. b) 16,29 cm; o vetor
resultante está no quarto quadrante num ângulo θ = - 71,27o com o eixo x positivo
50. (a) 1,59 m ; (b) 12,1 m ; (c) 12,2 m ; (d) 82,5º.
51.
ˆ
7,25cm
a). R1 = (0,27iˆ + 7,25j)cm;
023
y
R1
87,87º
x
ˆ
4,84cm
b). R2 = (4,79iˆ - 0,7j)cm;
y
x
8,3º
R2
c).
ˆ
R3 = (-10,52iˆ - 2, 46j)cm;
10,80cm
y
x
13,16º
R3
ˆ
3, 41cm
d). R 4 = (-2,73iˆ + 2,04j)cm;
R4
36,77º
y
x
52. (a) 6,16 m.
ˆ
53. (-0, 7iˆ + 1, 4jˆ - 0, 4k)m/s
.
ˆ
ˆ
ˆ
54. (a) (3i - 8tj)m/s ; (b) (3iˆ - 16j)m/s
; (c) 16,3 m/s; (d) – 79,4º.
2
ˆ
ˆ
55. a) (8tjˆ + k)m/s
; (b) 8jm/s
.
2
ˆ m/s ; (b) 1,58 m/s2 num ângulo de 161,6º com x positivo.
56. (a) (-1,5iˆ + 0,5j)
ˆ m ; (b) (19iˆ - 224j)
ˆ m/s ; (c) (24iˆ - 336j)
ˆ m/s2 ; (d) – 85,2º em relação a +
57. (a) (6iˆ - 106j)
x.
58. a) v = 127,56 m/s; o vetor velocidade está no segundo quadrante com um ângulo de
- 41,10o com o eixo x negativo. a = 166,71 m/s2 ; o vetor aceleração está no segundo
quadrante com um ângulo de - 30,26o com o eixo x.
b) v = 61,59 m/s; o vetor velocidade está no primeiro quadrante com um ângulo de
57,42o com o eixo x positivo. a = 57,72 m/s2 ; o vetor aceleração está no primeiro
quadrante com um ângulo de 75,96o com o eixo x positivo.
c) v = 148,65 m/s; o vetor velocidade está no quarto quadrante com um ângulo de
-66,19o com o eixo x positivo. a = 222,65 m/s2 ; o vetor aceleração está no quarto
quadrante com um ângulo de -75,96o com o eixo x positivo.
59. (a) 0 ; (b) 350 km/h ; (c) 350 km/h ; (d) o mesmo.
60. (a) 0,062 s ; (b) 483,87 m/s.
61. (a) 0,49 s ; (b) 3,1 m/s.
62. (a) 16,9 m ; (b) 8,21 m ; (c) 27,6 m ; (d) 7,26 m.
63. (a) 12 m ; (b) Vx = 19,15 m/s e Vy = 4,8 m/s ; (c) não.
64. (a) 11 m ; (b) 23 m ; (c) 17 m/s ; (d) 63º para baixo da horizontal.
65. No terceiro.
024
66. a) v0x = 9,64 m/s; v0y = 11,49 m/s. b) 6,73m. c ) 22.56 m.
67. (a) 5 km/h, rio acima ; (b) 1 km/h, rio abaixo.
68. 66º.
OBS: Este é um material de apoio e não deve substituir o livro texto. Portanto, os alunos devem
complementar seus estudos usando o livro texto (tanto na teoria quando aos exercícios).
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL I
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DA NOTA DE AULA I
3) o tempo é de 7 semanas e 1 dia = 7.7 + 1 = 50 dias. O crescimento da planta é
50 . 1,2 = 60 cm = 0,6 m.
4) inicialmente vamos transformar o tempo para segundos. 1h20min30s = 3600s +1200s +
30s = 4830s. A produção é: 4830 . 10 = 48300 cm = 483 m = 0,483km.
5) 20 milhas = 20 . 5280 pés = 20 . 5280. 12 polegadas = 20 . 5280. 12 . 2,54 cm = 20 . 5280.
12 . 2,54. 10 -2 m = = 20 . 5280. 12 . 2,54. 10 -2 . 10 -3 km = 32,19 km.
7) área = 75 hectare = 75 . 10 4 m2
Volume de terra = 75 . 10 4 . 26 m3 = 1,95 . 10 7 m3 = 1,95 . 10 7 . 10 – 9 km3 = 1,95 . 10 – 2 km3.
8) a) 1 g/cm3 = 10 -3 kg / 10 - 6 m3 = 10 3 kg / m3. b) rapidez = massa / tempo = 5700 . 10 3 kg /
10 . 3600 s = 158,33 kg/s.
9) 2,3 kg/semana = 2,3 . 10 3 g / 7 . 24 h = 2,3 . 10 6 mg / 7 . 24 . 3600 s = 3,8 mg/s.
10 ) V = A . h → 6 . 10 -2 = 2.10 4 . h → h = 3 . 10 – 6 cm.
11) Inicialmente vamos transformar de metros para quilômetros a unidade do raio da Terra.
R = 6,37 × 106 m = 6,37 × 103 km
a) C = 2 π R = 2 π 6,37 × 103 = 4,00 × 104 km
b) A = 4 π R2 = 4 π (6,37 × 103 )2 = 5,096 × 108 km2
4
4
b) V = 3 π R3 = = 3 π (6,37 × 103 )3 = 1,08 × 1012 km3
025
12) 3 litros para pintar 60 m2, portanto com 1 litro pinta-se 20 m2.
Com 18 litros pinta-se 18 . 20 = 360 m2.
13) área = 120. 10 4 m2. N = 15 . 120 . 10 4 / 7000 = 2571 árvores.
14) Inicialmente vamos determinar o raio da coluna, em metros.
Como o raio é a metade do diâmetro temos que: R = 40 cm = 0,4 m
(a) O volume do cilindro é dado pelo produto da área da base (circular) pela altura.
V = π R2 h = π 0,42 . 3 = 1,51 m3 (tente visualizar esta coluna para ter uma ideia da quantidade
de concreto em cada m3).
(b) A área da superfície lateral do cilindro é equivalente a área de um retângulo cujos lados
são: o comprimento circular do cilindro e sua altura
A = 2 π R h = 2 π . 0,4 . 3 = 7,54 m2.
15) Para transformar km/h para m/s basta dividir o valor por 3,6. Portanto temos que: a)40
km/h = 11,11 m/s; b)60 km/h = 16,67 m/s; c)80 km/h = 22,22 m/s; d) 110 km/h = 30,55 m/s.
16) Inicialmente vamos transformar a unidade da profundidade de cm para metro. H = 90 cm
= 0,9m.
O volume da piscina é dado pelo produto da área da superfície pela profundidade, portanto.
V = 4 . 5 . 0,9 = 18 m3 = 18000 litros de água (observe que mesmo em uma piscina
relativamente pequena temos uma quantidade considerável de água).
17)
a) (2) e (3)  a aceleração e velocidade com sentidos opostos
b) (1) e (3)  aceleração positiva
c) (4)  Velocidade e aceleração negativas
18) Vm = 160 km/h = 160/3,6 = 44,44 m/s.
Vm = deslocamento/tempo → 44,44 = 18,4/ Δt → Δt = 18,44/ 44,44 = 0,414s
19) x1  40Km e V1  30Km / h
a) x2  40 Km e V2  60km / h
x
x 40 4
V1  1  t1  1 
 h
t1
V1 30 3
x
40 2
t2  2 
 h
V2
60 3
x x1  x2 40  40
Vm 


 40 Km / h
4 2
t t1  t2

3 3
b) Para este caso, a distância percorrida tem o mesmo valor do deslocamento
Vm  40Km / h
c)
026
x (km)
80
40

0
tg  Vm 
t (h)
1
4/3
2
80
 40 Km / h
2
20) a) x1  73, 2m e V1  122m / s
x2  73, 2m e V2  3, 05m / s
x
x 73, 2
V1  1  t1  1 
 60s
t1
V1 1, 22
x
73, 2
t2  2 
 24s
V2
3, 05
x x1  x2 73, 2  73, 2
Vm 


 1, 74m / s
t t1  t2
60  24
b) t1  1min  60s , V1  1, 22m / s
t2  60s , V2  3, 05m / s
x1  V1t1  1, 22  60  73, 2m
x2  V2 t2  3,05.60  183m
x x1  x2 73, 2  183
Vm 


 2,135m / s
t t1  t2
60  60
c) ver o gráfico do exercício 19.
21) a) basta multiplicar o comprimento da pista por 3. D = 3. (400 + 400 + 200 +200) = 3600
m = 3,6 km. b) como a posição final é a mesma inicial, o vetor deslocamento é nulo. c)
inicialmente devemos transformar a unidade do tempo, t = 45 minutos = 0,75. vm = distância
percorrida/tempo = 3,6/0,75 = 4,8 km/h. d) Como o deslocamento é nulo o vetor velocidade
média também é nulo.
22) a) basta multiplicar o comprimento da pista por 4. D = 4. 2π . 0,7 = 17,584 km. b) como a
posição final é a mesma inicial, o vetor deslocamento é nulo. c) vm = distância
percorrida/tempo = 17,584/2 = 8,792 km/h. d) Como o deslocamento é nulo o vetor
velocidade média também é nulo.
23) a) vm = 210/3 = 70 km/h. b) vm = 175/3 = 58,33 Km/h. c)velocidade escalar média.
24) x  4 12t  3t 2 , t  1s
dx
 12  6  t  V  12  6 1  V  6m / s , derivando a função da velocidade
a) V 
dt
temos a = 6 m/s2.
b) negativo , V  0
027
c) V  6m / s
d) para 1  t  2, o módulo da velocidade diminui
para t  2s, o módulo da velocidade é nulo
para t  2s, o módulo da velocidade aumenta
e) Sim , em t  2s
f) Nao , para t  3s a velocidade é sempre positiva
25) At  2,4s
V0  18m / s
V  30m/ s
am 
V V  V0 30  18


 20m / s
t
t
2, 4
26) a  50m / s2 (constante)
V0  0
V  100Km / h  27,78m / s
V  V0  at  27, 78  50  t  t  0,55s
27) V  360 Km / h, amin  xmax  1,8Km,V0  0
V 2  V02  2ax  3602  2  amin 1,8  amin  3600Km / h2
28) a) a  5, 2m / s2 ,V0  137Km / h  38, 05m / s,V  90Km / h  25m / s
V  V0  at  25  38, 05  5, 2t  t  2,5s
29) V0  56Km / h  15,55m / s, x0  0, x  24m
t  2s
1
1
a) x  x0  V0t  at 2  24  15,55  2  a  22  a  3,55m / s 2
2
2
b) V  V0  at  V  15,55  3,55  2  V  8, 45m / s
30) a)Como o movimento tem aceleração constante, podemos usar a equação do MUV para
estudar esta questão.
v2 = v02 – 2 aΔx. Sendo v =0 e Δx = D (distância necessária para parar o veículo) temos que
D = v02 /(2 a), portanto a distância é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade e
inversamente proporcional à desaceleração. Se a velocidade for reduzida à metade, a distância
de frenagem será quatro vezes menor.
b) Se a desaceleração for dobrada, a distância de frenagem será duas vezes menor.
c) pensamos que deve ser a velocidade, devemos observar que a desaceleração pode não
depender só do condutor e/ou do veículo. Podemos ter uma pista molhada ou suja de óleo por
exemplo.
31) a) Devemos montar a equação de posição para o automóvel e para a motocicleta. No
momento da ultrapassagem a posição do automóvel é a mesma da motocicleta, portanto
devemos igualar estas posições.
Para o automóvel temos que: v0a = 0, aa = 3 m/s2 , xoa = 0
028
Substituindo estes dados na equação de posição para o MUV temos que
1
1
x = x0 + v0t + 2 a t2 → xa = 2 3 t2 → xa = 1,5 t2
Para a motocicleta temos que: v0m = 22 m/s (constante), am = 0 , xom = 0
Substituindo estes dados na equação de posição para o MUV temos que
1
x = x0 + v0 t + 2 a t2 → xm = 22 t
xa = xm→ 1,5 t2 = 22 t. Resolvendo esta equação do segundo grau teremos t1 = 0 (no inicio,
portanto não é o que estamos procurando) e t2 = 14,67 s. Portanto o automóvel ultrapassara a
moto 14,67 s após o sinal ficar verde.
b) Substituindo o tempo t2 em uma das equações de posição temos
xm = 22 . 14,67 = 322,74 m
c) Substituindo o tempo t2 na equação de velocidade para o automóvel temos
v = v0 +a t→ va = 3. 14,67 = 44,01 m/s
32) aA  2, 2m / s 2 ,V0 A  0,V0C 9,5m / s, x0 A  x0C  0, ac  0
1
1
a) xA  x0 A  V0 At  aAt 2  xA  2,2  t 2  1,1  t 2
2
2
xC  x0C  VC t  xC  9,5  t
No ponto de encontro, temos que:
xA  xC  1,1 t 2  9,5  t  t  8,64s
 xA  1,1  t 2  1,1  8,64   82m
2
b) VA  V0 A  aAt  VA  2, 2  8,64  VA  19m / s
33) y0  1700m, y  0, V0  0
a) V 2  V02  2gy V 2  2  9,8  (0 1700) V  183m / s  659Km / h
b) Não.
34) V  24m / s, V0  0, y  0
a) V 2  V02  2gy  242  2  9,8  (0  y0 )  y0  29,39m
b) V  V0  g  t  24  9,8  t  t  2, 45s
35) y0  0, y  50m,V  0
a) V 2  V02  2gy  02  V02  2  9,8  (50  0)  V0  31m / s
b) V  V0  g  t  0  31  9,8  t  t  3,16s  tempo de subida
t '  2  t  2  3,16  t '  6,33s  o tempo de subida é igual ao tempo de descida.
36) a) y0  100m,V0  0, y  50m
1
9,8 2
y  y0  V0t  gt 2  50  100 
 t1  t1  3, 2s
2
2
b) y0'  50m, y'  0
029
V  V0  g  t  9,8  3, 2  31,36m / s  V0'  velocidade inicial na segunda metade
do percurso.
1
9,8 2
y '  y0'  V0't2  gt22  0  50  31,36  t2 
 t2  t2  1,3s
2
2
37) a) de A até B, temos que:
V0  VA  0, yA  0, aAB  4m / s 2 , t AB  6s
1
1
2
yB  y A  VAt AB  aABt AB
 yB   4  62  72m
2
2
VB  VA  aAB  t AB  4  6  24m / s
de B até C (altura máxima), temos que:
VC  0
VC  VB  g  tBC  0  24  9,8  tBC  tBC  2, 45s
1 2
9,8
yC  yB  VBtBC  gtBC
 yC  72  24  2, 45 
(2, 45)2  101,38m
2
2
b) de C até A (queda), temos que:
1 2
9,8 2
y A  yC  VCtCA  gtCA
 0  101,38 
tCA  tCA  4,55s
2
2
t  tAB  tBC  tCA  6  2,45  4,55  t  13s
38) A velocidade inicial do pacote é a mesma do balão
a) V0  12m / s, y0  80m, y  0
1
9,8 2
y  y0  V0t  gt 2  0  80  12  t 
 t  t  5, 4s
2
2
b) V  V0  g  t V  12  9,8 5,4  V  41m / s
39) a) para a bola, temos que:
y0 B  28  2  30m,V0 B  10  20  30m / s, hmax  VB  0
VB2  V02B  2gyB  0  302  2  9,8 ( yB  30)  yB  hmax  76m
para o elevador, temos que:
y0 e  28m, V0 e  10m / s, ae  0
ye  y0e  V0et  ye  28  10t
1
9,8 2
yB  y0 B  V0 Bt  gt 2  yB  30  30t 
t
2
2
Quando a bala volta para o piso do elevador, temos que:
ye  yB  28  10t  30  30t  4,9t 2
 4,9t 2  20t  2  0  t  4, 2s
y
40) a  7,3m
a) aX  a cos70  7,3cos70  2,5m
250º
b) a y  asen70  7,3sen70  6,9m
x
70º
a
030
41) AX  25m, Ay  40m
a) A  AX2  Ay2  252  402  47,2m
y
A

Ay
40
b) tg 
 tg     58    122
AX
25

x
42) rX  r cos30  15cos30  13m
ry  rsen30  15sen30  7,5m
43) a  (4m)iˆ  (3m) ˆj , b  (13m)iˆ  (7m) ˆj
a) r  a  b  (4  13)iˆ  (3  7) ˆj  (9m)iˆ  (10m) ˆj
b) r  92  102  13m
10
c) tg     48    132
9
y
r


x
44) a) rX  cX  d X  7, 4  4, 4  11,8m
b) ry  c y  d y  3,8  2  5,8m
c) rz  cz  d z  6,1  3,3  2,8m
45) a) a  42  32  5m
3
b) tg     37
4
c) e (d) semelhante aos itens (a) e (b)
e) r  a  b  (4  6)iˆ  (3  8) ˆj  (10m)iˆ  (5m) ˆj  r  102  52  11,18m
f) semelhante ao item (b)
(g), (h), (i) ,(j) semelhantes aos itens (e) e (f)
k) b  a  (a  b )  o ângulo é de 180
46) a) O vetor deslocamento está no quarto quadrante. b) O módulo é dado por d = √52 + 72
= 8,6m. Para determinar o ângulo temos que tg θ = - 7/5 → θ = - 54,46o.
47) a) O módulo é dado por A = √42 + 92 = 9,85cm
O vetor 𝐴⃗ está no quarto quadrante num ângulo θ com o eixo x positivo. Para determinar o
ângulo temos que tg θ = -9/4 → θ = - 66,04o.
b) O módulo é dado por B = √62 + 22 = 6,32cm
⃗⃗ está no segundo quadrante num ângulo θ com o eixo x negativo. Para determinar o
O vetor 𝐵
ângulo temos que tg θ = -2/6 → θ = - 18,43o.
c) O módulo é dado por C = √42 + 72 = 8,06cm
O vetor 𝐶⃗ está no terceiro quadrante num ângulo θ com o eixo x negativo. Para determinar o
ângulo temos que tg θ = -7/-4 → θ = 60,25o.
d) O módulo é dado por D = √32 + 52 = 5,83cm
031
⃗⃗ está no primeiro quadrante num ângulo θ com o eixo x positivo. Para determinar o
O vetor 𝐷
ângulo temos que tg θ = 5/3 → θ = 59,04o.
48) a) Ay = A sen30o = 7 sen30o = 3,5 cm
Ax = A cos30o = 7 cos30o = 6,06 cm
By = - B sen40o = - 15 sen40o = - 9,64 cm
Bx = B cos40o = 15 cos40o = 11,49 cm
b) Vamos inicialmente calcular o vetor resultante.
𝑅⃗⃗ = ( Ax + Bx) î + ( Ay + BY ) ĵ = ( 6,06 + 11,49) î + ( 3,5 – 9,64 ) ĵ
= ( 17,55 cm) î + ( - 6,14 cm ) ĵ
O modulo é R = √17,552 + 6,142 = 18,59 cm
Vamos determinar o ângulo que o vetor resultante faz com o eixo x
tg θ = - 6,14/ 17,55 → θ = -19,28o. O vetor resultante está no quarto quadrante num ângulo
θ = -19,28o com o eixo x positivo.
49) a) Ay = - A sen30o = - 9 sen30o = - 4,5 cm
Ax = - A cos30o = - 9 cos30o = - 7,79 cm
By = - B sen40o = - 17 sen40o = - 10,93 cm
Bx = B cos40o = 17 cos40o = 13,02 cm
b) Vamos inicialmente calcular o vetor resultante.
𝑅⃗⃗ = ( Ax + Bx) î + ( Ay + BY ) ĵ = ( - 7,79 + 13,02) î + ( - 4.5 – 10,93 ) ĵ
= ( 5,23 cm) î + ( - 15,43 cm ) ĵ
O modulo é R = √5,232 + 15,432 = 16,29 cm
Vamos determinar o ângulo que o vetor resultante faz com o eixo x
tg θ = - 15,43/ 5,23 → θ = - 71,27o. O vetor resultante está no quarto quadrante num ângulo
θ = - 71,27o com o eixo x positivo
50)
y
45º
105º

30º
30º
y
x
b
45º
a
30º
x
a  b 10m
a) rX  a cos30  b cos 45  10cos30  10cos 45  1,59m
b) ry  a sen30  b sen45  10 sen30  10 cos 45  12,1m
c) r  rX2  ry2  (1,59)2  (12,1) 2  12, 2m
y
ry
12,1
d) tg   tg 
   82,5
rX
1,59
r

x
51) Inicialmente vamos determinar as componentes de cada vetor na direção x e y.
032
Ax = 9 cos30o = 7,79 cm; Ay = 9 sen30o = 4,5 cm
Bx = - 8 sen70o = - 7,52 cm; By = 8 cos70o = 2,74 cm
Cx = - 6 cos60o = - 3 cm; Cy = - 6 sen60o = - 5,19 cm
a )Cálculo do vetor resultante.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑅1 = ( Ax + Bx) î + ( Ay + BY ) ĵ = (7,79 -7,52) î + (4.5 + 2,74 ) ĵ = ( 0,27 cm) î + ( 7,24 cm ) ĵ
O modulo é R1 = √0,272 + 7,242 = 7,25 cm
Para determinar o ângulo que o vetor resultante faz com o eixo x temos que
7,24
tg θ = 0,27 → θ = 87,87o, portanto o vetor resultante está no primeiro quadrante com um
ângulo de 87,87o com o eixo x positivo, ver figura.
y
R1
87,87º
x
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( Ax + Cx) î + ( Ay + CY ) ĵ = (7,79 - 3) î + (4.5 – 5,19 ) ĵ = ( 4,79 cm) î - ( 0,7 cm ) ĵ
𝑅2
O modulo é R2 = √4,792 + 0,72 = 4,84 cm
−0,7
tg θ = 4,79 → θ = 8,3o, portanto o vetor resultante está no quarto quadrante com um ângulo de
b)
8,3o com o eixo x positivo, ver figura.
y
x
8,3º
R2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( Bx + Cx) î + ( By + CY ) ĵ = (-7,52 - 3) î + (2,74 – 5,19 ) ĵ = (-10,52 cm) î - ( 2,45 cm ) ĵ
𝑅3
O modulo é R3 = √10,522 + 02,452 = 10,80 cm
−2,45
tg θ = −10,52 → θ = 13,1o, portanto o vetor resultante está no terceiro quadrante com um
ângulo de 13,1o com o eixo x negativo, ver figura.
c)
y
x
13,1º
R3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (Ax + Bx + Cx) î + (Ay + By + CY ) ĵ = (7,79 -7,52 - 3) î + ( 4,5 + 2,74 – 5,19 ) ĵ =
d )𝑅4
(- 2,73 cm) î - ( 2,05 cm ) ĵ
O modulo é R4 = √2,732 + 2,052 = 3,41 cm
−2,05
tg θ = −2,73 → θ = 36,9o, portanto o vetor resultante está no segundo quadrante com um
ângulo de 36,9o com o eixo x negativo, ver figura.
R4
36,9º
y
x
033
52) r  (5m)iˆ  (3m) ˆj  (2m)kˆ
a) r  52  32  22  6,16m
53) r1  5iˆ  6 ˆj  2kˆ , r2  2iˆ  8 ˆj  2kˆ , t 10s
r r2  r1 (2  5)  (8  6)  (2  2)
Vm 


 (0, 7iˆ  1, 4 ˆj  0, 4kˆ)m / s
t
t
10
54) r  3tiˆ  4t 2 ˆj  2kˆ
dr
a) V 
 (3iˆ  8tjˆ)m / s
dt
b) t  2s  V  3iˆ  8  2 ˆj  (3iˆ  16 ˆj )m / s
c) V  32 162  16,28m / s
d) tg 
16
   79, 4
3
y

v
x
55) r  iˆ  4t 2 ˆj  tkˆ
dr
a) V 
 (8tjˆ  kˆ)m / s
dt
dV
 (8 ˆj )m / s 2
b) a 
dt
56) V1  4iˆ  2 ˆj  3kˆ , t  4s , V2  2iˆ  2 ˆj  5kˆ
a)
V V2  V1 (2  4)iˆ  (2  2) ˆj  (5  3)kˆ 6iˆ  2 ˆj
am 



 am  (1,5iˆ  0,5kˆ)m / s 2
t
t
4
4
y
b) a  1,52  0,52  1,58m / s2
0,5
tg 
   18, 4    161, 6
1,5


x
57) r  (2t 3  5t )iˆ  (6  7t 4 ) ˆj , t  2s
a) r  (2  23  5  2)iˆ  (6  7  24 ) ˆj  (6iˆ  106 ˆj )m
dr
 (6t 2  5)iˆ  28t 3 ˆj  (6  22  5)iˆ  28  23 ˆj  (19iˆ  224 ˆj )m / s
dt
dV
 12tiˆ  84t 2 ˆj  12  2iˆ  84  22 ˆj  (24iˆ  336 ˆj )m / s 2
c) a 
dt
b) V 
58) a) Para determinarmos a velocidade devemos derivar o vetor posição em relação ao tempo
e depois substituir o tempo t = 2s na expressão da velocidade.
𝑣⃗ = - 12 t 3 𝑖̂ + 21 t2 𝑗̂ = - 12 . 2 3 𝑖̂ + 21 . 22 𝑗̂ = - (96 m/s) 𝑖̂ + (84 m/s) 𝑗̂
O módulo da velocidade é dado por v = √962 + 842 = 127,56 m/s
Para determinar o ângulo que o vetor velocidade faz com o eixo x temos que
034
84
tg θ = −96 → θ = - 41,10o, portanto o vetor velocidade está no segundo quadrante com um
ângulo de - 41,10o com o eixo x negativo.
Para determinarmos a aceleração devemos derivar o vetor velocidade em relação ao tempo e
depois substituir o tempo t = 2s na expressão da aceleração.
𝑎⃗ = - 36 t 2 𝑖̂ + 42 t 𝑗̂ = - 36 . 2 2 𝑖̂ + 42 . 2 𝑗̂ = - (144 m/s2) 𝑖̂ + (84 m/s2) 𝑗̂
O módulo da aceleração é dado por a = √1442 + 842 = 166,71 m/s2
Para determinar o ângulo que o vetor aceleração faz com o eixo x temos que
84
tg θ = −144 → θ = - 30,26o, portanto o vetor aceleração está no segundo quadrante com um
ângulo de - 30,26o com o eixo x negativo.
b) Derivando a equação de posição temos a equação da velocidade, portanto
𝑣⃗ = ( 14 t + 5 ) 𝑖̂ + ( 15 t2 – 4 t ) 𝑗̂ = ( 14 . 2 + 5 ) 𝑖̂ + ( 15 . 22 – 4 .2) 𝑗̂ = (33 m/s) 𝑖̂ + (52 m/s) 𝑗̂
O módulo da velocidade é v = √332 + 522 = 61,59 m/s
52
tg θ = 33 → θ = 57,6o, portanto o vetor velocidade está no primeiro quadrante com um ângulo
de 57,6o com o eixo x positivo.
Derivando a equação da velocidade temos a equação da aceleração, portanto
𝑎⃗ = ( 14 ) 𝑖̂ + ( 30 t – 4 ) 𝑗̂ = ( 14 ) 𝑖̂ + ( 30 . 2 – 4) 𝑗̂ = (14 m/s2) 𝑖̂ + (56 m/s2) 𝑗̂
O módulo da aceleração é dado por a = √142 + 562 = 57,72 m/s2
56
tg θ = 14 → θ = 75,96o, portanto o vetor aceleração está no primeiro quadrante com um ângulo
de 75,96o com o eixo x positivo.
c) De maneira semelhante aos itens anteriores teremos
A velocidade é 𝑣⃗ = ( 12 t2 + 6 t ) 𝑖̂ + ( -20 t3+ 6 t2 ) 𝑗̂ = ( 12 .22 + 6 . 2 ) 𝑖̂ + ( -20 . 23+ 6 . 22 ) 𝑗̂
= (60 m/s) 𝑖̂ - (136 m/s) 𝑗̂
O módulo da velocidade é v = √602 + 1362 = 148,65 m/s
−136
tg θ = 60 → θ = - 66,19o, portanto o vetor velocidade está no quarto quadrante com um
ângulo de -66,19o com o eixo x positivo.
A aceleração é 𝑎⃗ = ( 24 t + 56 ) 𝑖̂ + ( - 60 t2+ 12 t ) 𝑗̂ = ( 24. 2 + 56 ) 𝑖̂ + ( - 60 . 22+ 12 . 2 ) 𝑗̂
= (54 m/s2) 𝑖̂ - (216 m/s2) 𝑗̂
O módulo da aceleração é a = √542 + 2162 = 222,65 m/s2
−216
tg θ = 54 → θ = - 75,96o, portanto o vetor aceleração está no quarto quadrante com um
ângulo de -75,96o com o eixo x positivo.
59) a) V0 y  0
b) V0 X  350km / h
c) aX  0  VX  é constante VX  V0 X  350km / h
d) O mesmo, o tempo de queda depende somente das componentes verticais do movimento.
60) a) Na vertical, temos que:
V0 y  0, y0  1,9cm  1,9 102 m, y  0
1
9,8 2
y  y0  V0 y t  gt 2  0  1,9 102 
 t  t  0, 062s
2
2
b) Na horizontal, temos que:
x0  0, x  30m, ax  0,V0 x  V0
035
x  xo  V0 x  t  30  V0  0,062  V0  483,87m / s
61) a) Na vertical, temos que:
V0 y  0, y0  1, 2m, y  0
1
9,8 2
y  y0  V0 yt  gt 2  0  1, 2 
 t  t  0, 49s
2
2
b) Na horizontal, temos que:
x0  0, x  1, 52m, ax  0, V0 x  V0
x  xo  V0 x  t  1,52  V0  0, 49  V0  3,1m / s
62) V0  20m / s, x0  0, y0  0
V0 x  V0 cos 40  20  cos 40  15,32m / s
V0 y  V0 sen40  20  sen40  12,85m / s
a) x1  x0  V0 xt1  15,32 1,1  16,85m
1
9,8
b) y1  y0  V0 y t1  gt12  12,85 1,1 
(1,1)2  8, 21m
2
2
c) e (d) basta substituir o tempo t2  1,8s , nas equações anteriores
63) V0  25m / s
a) Na horizontal, temos que:
ax  0, x0  0, x  22m,V0 x  V0  cos 40  25  cos 40  19,15m / s
x  xo  V0 x  t  22  19,15  t  t  1,15s
Na vertical, temos que:
y0  0,V0 y  V0  sen40  25  sen40  16, 07m / s
1
9,8
y  y0  V0 y t  gt 2  16,07 1,15 
 (1,15)2  12m
2
2
b) Vx  V0 x  19,15m / s
Vy  V0 y  gt  16, 07  9,8 1,15  4,8m / s
c) Não, Vy é positivo a bola ainda sobe.
64) V  7,6iˆ  6,1 ˆj
de B até C, temos que:
a) ymax  Vyc  0,Vyb  6,1m / s
Vyc2  Vyb2  2 g y  02  (6,1) 2  2  9,8  y  y 
37, 21
 1,898m
2  9,8
ymax  yb  y  9,11,898  10,898m  11m
b) Cálculo do tempo de queda (C até D)
y  yD  0, y0  yc  11m,V0  Vc  0
1
9,8 2
y  y0  V0 y t  gt 2  0  11 
 t  t  1,5s
2
2
o tempo de subida é igual ao tempo de descida
036
t '  2t  3s,Vx  7,6m / s  constante
x  xo  V0 x  t  x  7, 6  3  22,8m
c) Vx  7,6m / s
VyD  Vyc  gt  0  9,8 1,5  14, 7m / s
y
V  Vx2  Vy2  (7, 6)2  (14, 7)2  16,55m / s
tg 
14, 7
   63
7, 6

v
x
65) V0 x  1, 52m / s,V0 y  0
1
y  y0  V0 y t  gt 2  y  4,9t 2
2
x  xo  V0 x  t  x  1,52t
isolando t, em x e substituindo em y, temos que:
y  2,12 x 2
p / x1  20,3 102 m  y1  8,74 102 m  não bateu
p / x2  40,6 102 m  y2  34,94 102 m  não bateu
p / x3  60,9 102 m  y3  78,63 102 m  já bateu
Como y3  x3  a bola bate no terceiro degrau
66) a) v0x = v0 cos 50o = 15 cos 50o = 9,64 m/s
v0y = v0 sen 50o = 15 sen 50o = 11,49 m/s
b) Inicialmente vamos calcular o tempo gasto para a bola atingir a altura máxima usando a
equação da velocidade para o movimento vertical.
vy = v0y – g t, no ponto altura máxima vy = 0 → 0 = 11,49 – 9,8 t→ t = 1,17 s
Substituindo este tempo na equação de posição para o movimento vertical, considerando y0 =
0, temos que
1
1
y = y0 + v0y t - 2 g t2 → y = 11,49 . 1,17 - 2 . 9,8 . 1,172 → hmáx = 6,73 m
c)
Cálculo do tempo total
Como o tempo de subida é igual ao tempo de descida o tempo total é:
t = 2 . 1,17 = 2,64 s.
Substituindo o tempo total na equação de posição para o movimento horizontal, considerando
x0 = 0, temos que
x = x0 + v0x t→ x = 9,64 . 2,64 =22,56 m.
67) Como as velocidades estão na mesma direção, basta considerar os sentidos.
a) VBA  14 Km / h, VAM  9 Km / h
037
VBM  VBA VAM VBM  14  9  5Km / h Rio acima
b) VCB  6 Km / h
VCM  VCB VBM VCM  6  5  1Km / h Rio abaixo
68) VNS  (8m / s) ˆj,VSM  (50Km / h)iˆ  (13,89m / s)iˆ
VNM  VNS VSM  (8m / s) ˆj  (13,89m / s)iˆ
13,89
tg 
   60
8
VNM
VSM
VNS