Problemas semanas 6 e 7

Mecânica dos Fluidos II
Semana 6
(6 a 18 de Abril de 2009)
Problema 1 – Considere uma asa com 1m de corda e 4m de envergadura a um pequeno
ângulo de ataque. Admita que em primeira aproximação se pode considerar que a asa é
equivalente a uma placa plana (gradiente de pressão nulo) com um comprimento igual à
corda e uma largura igual à envergadura. Não se esqueça de que existe tensão de corte
dos dois lados da placa.
(ar=1,2 kg/m3, ar=1,51x10-5m2/s) ; (água=1000 kg/m3, água=1x10-6m2/s)
(Número de Reynolds de transição=106)
a) Estime o coeficiente de resistência de atrito quando a asa se desloca a 14 m/s em
ar. Justifique os cálculos que efectuar.
b) Estime o coeficiente de resistência da atrito quando a asa se desloca em água à
velocidade de 14m/s. Justifique os cálculos que efectuar.
c) A espessura da camada limite no bordo de fuga (final da placa) é maior no
escoamento em ar ou água? Justifique claramente a resposta. Note que não precisa
de fazer cálculos para dar a resposta.
d) Para o escoamento em ar, determine a distância mínima ao perfil (placa) da linha
de corrente que entra na camada limite em x=0.05m (x=0 no bordo de ataque ou
seja o início da placa).
e) Se o escoamento for em água, a distância que determinou na alínea anterior é
maior ou menor? Justifique claramente a resposta. Note que não precisa de fazer
cálculos para dar a resposta.
f) Determine as constantes a1, a2 e a3 mais apropriadas para o perfil de velocidade
u
 y 
 y 
 a1  a2 cos
  a3 sen

Ue
2 d
2 d
g) O perfil de velocidade que obteve é adequado para os dois escoamentos (ar e
água)? Justifique a resposta.
Problema 2 − Pretende-se montar um painel publicitário no topo de um veículo que se
vai deslocar a 36 km/h. O painel tem de ter uma área de 1m2, um comprimento de 1,2m e
encontra-se alinhado com o movimento do veículo. Admita que o painel não tem
espessura e que o veículo se desloca numa zona sem vento. Nestas condições a camada
limite na superfície do painel desenvolve-se em gradiente de pressão nulo.
(Reynolds de transição =106, ar=1,51x10-5 m2/s)
a) Determine a potência dissipada no painel.
b) Qual o desvio que as linhas de corrente do escoamento exterior à camada limite
apresentam no final do painel devido à presença da camada limite?
c) A espessura da camada limite no final do painel é maior, menor ou igual do que o
desvio que calculou na alínea anterior? Justifique a resposta.
d) No caso de ocorrer transição da camada limite no bordo de ataque do painel, a
potênica dissipada é maior, menor ou igual à calculada na alínea b). Justifique a
resposta.
e) Sabendo que o comprimento máximo do painel é de 1,8m e que não ocorre
transição no bordo de ataque, determine as dimensões que deve ter o painel para
minimizar a potência dissipada? Justifique a sua resposta.
Problema 3 − Um perfil de velocidade de uma camada limite turbulenta atmosférica
(com ≈ 600m) tem um comportamento muito semelhante ao de um perfil de camada
limite numa placa plana (gradiente de pressão nulo). Admitindo que a superfície é
hidrodinamicamente lisa, que a lei da parede é válida e que a uma altura de 80m a
velocidade é de 10m/s, calcule:
a) A tensão de corte na superfície.
b) A velocidade às alturas de 1.7m e 0.17m do chão.
c) A espessura da sub-camada linear.
Problema 4 − Considere uma camada limite turbulenta sobre uma placa plana resultante
de um escoamento estacionário, uniforme e paralelo à placa na região não perturbada
(velocidade e pressão uniformes e constantes na região exterior à camada limite). A placa
é muito rugosa, sendo a dimensão característica da rugosidade, e, muito superior à
espessura da sub-camada laminar que existiria se a placa fosse lisa.
Admita que o perfil de velocidades dentro da camada limite turbulenta segue uma lei 1/7
baseada na rugosidade característica e, tal que,
17
u
 y
 K  ,
u
e
em que K é uma constante, y a distância à parede, u a velocidade média temporal em
cada ponto e u a velocidade de atrito ( u   0  ), em que 0 é a tensão de corte na
parede e  a massa volúmica do fluido.
Utilizando uma teoria aproximada para a camada limite estime a espessura da camada
limite, , em função de x, a distância ao bordo de ataque da placa. Admita que =0 em
x=0. O resultado é expresso em termos de e, de K e do parâmetro do perfil a (igual a
0,0972).

7
 13,2 x  9
Resposta:
 2 
e  K e
METODOLOGIA
 A teoria aproximada a que o enunciado se refere é a equação de von Kármán que
deve simplificar para as condições indicadas (U constante).
 Utilize a lei de velocidades indicada para exprimir a velocidade de atrito u, e
portanto 0, com a velocidade exterior e a espessura da camada limite.
 Substitua a expressão encontrada para 0 na equação simplificada de von Kárman
e integre em .
Mecânica dos Fluidos II
Semana 7
(18 a 24 de Abril de 2009)
Problema 5 – O coeficiente de resistência de uma placa transversal a um escoamento
uniforme e permanente é aproximadamente :
D
CD 
 2.
1 U 2 A
2
Designemos por U e p, respectivamente, a velocidade e a pressão não perturbadas a
montante. Se a pressão na face de montante for igual à pressão total, qual a pressão média
na face de jusante da placa?
1
Resposta: p  p  U 2
2
NOTAS
 Num corpo não-fuselado como o que se está a considerar, a força de resistência
é sobretudo de forma, isto é, resultante da distribuição de pressão, sendo a
resistência de atrito desprezável.
 A distribuição de pressão é, por sua vez, fortemente condicionada pela separação
da camada limite na extremidade da placa, ocorrendo escoamento separado na
face de jusante da placa.
 Na região de escoamento separado a pressão é aproximadamente uniforme e
próxima da pressão média.
METODOLOGIA
 Exprima a força de resistência da placa, D, em termos da pressão média nas duas
faces da placa transversal, tome a aproximação sugerida para a pressão média na
face de montante e utilize o valor dado para o coeficiente de resistência para
estimar a pressão média na face de jusante da placa.
Problema 6 – O João consegue pedalar a sua bicicleta a uma velocidade de 10 m/s em
plano e sem vento. A resistência de rolamento é independente da velocidade e igual a
16N. A “área de resistência” do João e da bicicleta é ACD = 0,422 m2. O João pesa 80 kg
e a bicicleta 15 kg. Imagine, agora, que ele pedala um dia com um vento contrário com
uma velocidade de 5 m/s.
a) Desenvolva uma equação que lhe permita calcular a velocidade máxima, V, a que
o João consegue pedalar, admitindo que ele desenvolve a mesma potência com e
sem vento (note que a equação resultante é do terceiro grau em V).
b) Resolva a equação anterior e determine essa velocidade.
c) Porque é que o resultado encontrado não é apenas 10 – 5 = 5 m/s, como se poderia
esperar numa abordagem simplista?
1

2
Resposta: W    V  Vw  C D A  0,8V V ; V=7,41 m/s
2

NOTAS

A massa do João e da bicicleta são irrelevantes, visto que ele pedala em plano e
a velocidade é constante.
 O coeficiente de resistência está definido no enunciado do problema anterior.

 A velocidade V num referencial fixo está relacionada com a velocidade relativa


W medida num referencial móvel com uma velocidade constante U através de
  
V  W U .
METODOLOGIA
 Determine a potência máxima que o João pode desenvolver com os dados
fornecidos para a situação sem vento. Para isso comece por calcular a força de
resistência que o João tem que vencer.
 Utilize um referencial fixo ao João para calcular a velocidade máxima que ele
pode atingir. Tenha atenção a que a resistência aerodinâmica depende da
velocidade relativa entre o João e o vento, a de rolamento da velocidade do João
com o chão e que a potência desenvolvida pelo João é o produto dessa força pela
velocidade absoluta do João.
Problema 7 – Um paraquedista salta de um avião com um paraquedas de 8,5m de
diâmetro numa atmosfera standard. A massa total do paraquedista e do paraquedas é de
90kg. Admitindo o paraquedas aberto e que a queda se faz com movimento quasiestacionário, estime o tempo necessário para descer dos 2000m para os 1000m de
altitude. O coeficiente de resistência do paraquedas aberto é CD=1,2.
Resposta: t = 462,6s
NOTA
• A atmosfera standard tem a distribuição de pressão e temperatura indicada na tabela
anexa. Na resolução é necessário atender a que a massa específica do ar não é constante
ao longo do movimento.
• Admitir-se um movimento quasi-estacionário corresponde a considerar desprezável a
aceleração. Neste problema, desprezar a aceleração do paraquedista e do paraquedas
significa considerar que a força resultante exercida sobre eles é nula, isto é, que o peso
deles é equilibrado pela sua resistência aerodinâmica.
METODOLOGIA
 Estabeleça a equação que rege o movimento do paraquedista e paraquedas;
 Aproxime a evolução da massa específica do ar por uma evolução linear com a
altitude por troços, isto é entre 2000 e 1500 m e enter estes e 1000m;
 Exprima a velocidade de queda e a massa específica do ar em função da cota y e
integre a equação resultante entre os 2000 m e 1500 m e depois entre 1500 m e
1000 m, e some-os para obter o tempo de queda pedido.
Problema 8 – Um avião pesa 180 kN, tem uma área de asa de 160 m2 e uma corda média
de 4 m. As propriedades do perfil aerodinâmico da asa estão representadas na figura
anexa. Se o avião se deslocar a 250 milhas por hora a uma altitude de 2000 m numa
atmosfera standard, qual a potência propulsora necessária para vencer a resistência
aerodinâmica das asas. (1milha=1609m).
Resposta: 511 kW
NOTA
 1 milha = 1609 m
 O coeficiente de sustentação é dado por C L 
L
, em que L é a
1
2
U A
2
sustentação,  a massa volúmica do ar, U a velocidade do avião (ou do
escoamento não perturbado) e A a área das asas (área molhada).
 No caso de corpos fuselados a área utilizada no coeficiente de resistência é,
normalmente, a área molhada, enquanto que nos corpos não-fuselados é a área
transversal.
METODOLOGIA
 Calcule a massa específica do ar à altitude do voo;
 Calcule a sustentação que as asas induzem no avião de modo a anular o seu peso
(condição necessária para que o voo seja a altitude constante);
 Calcule o coeficiente de sustentação e o número de Reynolds;
 Com os dois valores calculados atrás determine através da figura acima o
coeficiente de resistência CD;
 Calcule a força de resistência das asas com o coeficiente de resistência;
 Determine finalmente a potência propulsora necessária para vencer a resistência
das asas.
Problema 9 – O coeficiente de resistência aerodinâmica de um veículo automóvel é dado
por
Fx
CX 
1 U 2 A
2  f
em que Fx é a força de resistência aerodinâmica, U∞ a velocidade do escoamento de
aproximação e Af a área da secção frontal do veículo. De um catálogo retiraram-se os
seguintes valores: Veículo A – Cx=0,29 Af=2,09m2; Veículo B – Cx=0,41 Af=2,78m2.
Admita que os motores de ambos os veículos produzem 6,25×106J de energia por cada
litro de gasolina consumida e que se pretende determinar o consumo de combustível
devido à força de resistência aerodinâmica para uma viagem de 300km realizada a
120km/h numa zona sem vento.
a) Determine o aumento percentual de consumo dos dois veículos quando a viagem
é feita a 160km/h em vez de 120km/h.
b) Determine a razão entre o consumo dos dois veículos.
c) Calcule o combustível consumido pelo veículo A quando a viagem é feita a
120km/h.