Física Atómica e Nuclear

Física Atómica e Nuclear – Capítulo 3. Momento Magnético Orbital. Spin.
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Física Atómica e Nuclear
Notas de Aula
3 Momento Magnético Orbital. Spin
Este capítulo é uma continuação do estudo do átomo de um electrão e trata da analise
das propriedades magnéticas destes átomos, e para este fim, utilizaremos uma
combinação de teoria electromagnética simples, teorias parcialmente clássicas (semi clássicas) como o modelo de Bohr, e a Mecânica Quântica. Não será possível um
tratamento totalmente quântico porque exigiria um conhecimento mais aprofundado da
teoria electromagnética.

As experiências que medem o momento angular orbital L do electrão atómico
não o fazem directamente, mas sim através da grandeza a ele relacionada, que é o

momento de dipolo magnético orbital  l , que interage com o campo magnético aplicado
ao átomo. Ao considerar os resultados das medidas dos momentos de dipolo magnético
atómicos, descobriremos um facto muito importante: os electrões têm um momento
angular intrínseco chamado spin, e um momento de dipolo magnético de spin a ele

associado. Em resumo, estudaremos neste capítulo o momento magnético  l associado


ao momento angular orbital L , o spin S do electrão, que está associado à um momento

magnético  s , e a experiência de Stern e Gerlach.
3.1 Momento Magnético Orbital do Electrão
Uma partícula carregada, movendo-se numa órbita fechada, como é o caso do electrão
no átomo, equivale a uma corrente eléctrica circular. Sabe-se da teoria electromagnética,
que uma corrente eléctrica circular gera um campo de dipolo magnético. O mesmo
acontece com o electrão em órbita em torno do núcleo. Convencionalmente o momento
de dipolo magnético é representado pela letra grega “”, portanto a partir deste capítulo,
não a utilizaremos para representar a massa reduzida do electrão. Não haverá confusão
possível, já que a acuidade inerente tanto das experiências quanto dos cálculos
normalmente não permite fazer distinção entre a massa reduzida do electrão e a massa
do electrão.
O momento de dipolo magnético orbital de um condutor circular é definido por:


  IA [Am2]
(3.1)

onde I é a corrente e o vector A é perpendicular ao plano do circuito cujo módulo

corresponde a área A delimitada pela espira ( A = Auˆ , onde û é um vector unitário

perpendicular ao plano de área A). O vector  também é perpendicular ao plano do
circuito. Veja os exemplos apresentados na Figura 3.1.
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
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
(a)
(b)
(c)

Figura 3.1. a) As linhas de B do dipolo magnético de um pequeno condutor circular


com   IA e b) um dipolo magnético fictício que produziria um campo idêntico num
ponto P longe da órbita, como está indicado em c).

Se colocarmos este dipolo num campo magnético homogéneo B , ele vai sofrer um
torque:



  B
(3.2)
A energia potencial magnética (energia potencial de orientação) do dipolo será:
 
Emagnética    B  B cos
(3.3)


onde  é o ângulo entre  e B (veja Figura 3.2).
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

Figura 3.2. Espira rectangular de corrente I e vector área A , num campo magnético B .
A energia potencial depende do ângulo  entre o plano normal da espira e a direcção do
campo magnético.
Agora vamos transferir a definição de momento de dipolo magnético para o
átomo de um electrão, e calcular o momento magnético de um electrão de carga q  e ,
2r
que descreve uma órbita circular com velocidade v 
, em torno do núcleo ( 2r é o
T
comprimento da circunferência):
I
q
e

T
T
(3.4)
onde T é o tempo que o electrão leva para descrever uma órbita completa (ver Figura
2
3.3). Substituindo T 
em (3.4), obtemos:

l

Figura 3.3. Cálculo do momento orbital. O electrão tem um momento angular L e um


momento de dipolo magnético  l . Como a carga do electrão é negativa, os vectores L

e  l têm direcções opostas.
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I 
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e
2
(3.5)
De acordo com a equação (3.1), e considerando A  r 2 (área do círculo), o momento
magnético desta corrente circular será:
er 2
1
l  IA  
  er 2
2
2
(3.6)
O momento angular orbital é dado por:
L  rp  mevr  mer 2
(3.7)
Tirando o valor de  e substituindo (3.7) em (3.6), obtemos o momento magnético em
termos do momento angular:
e
L
2me
l  
onde me é a massa do electrão. Podemos observar que a razão
(3.8)
l
L

e
é uma
2me
combinação das constantes universais, me e e.
Escrevendo (3.8) na forma vectorial, fica:

l  
e 
L
2m e
(3.9)
A proporcionalidade entre o momento angular e o momento magnético é conhecido
também como paralelismo magnético – mecânico.
A unidade do momento magnético dos átomos é tirada da antiga teoria de Bohr,
e corresponde ao momento angular de um electrão na primeira órbita de Bohr, do átomo
h
  . Este electrão produz um momento
de hidrogénio ( L(n  1)  n   ): L 
2
magnético, o Magnetão de Bohr, que é definido em termos das constantes
características do electrão:
B 
e
  9.274078  10 24 [Am2]
2me
(3.10)
Normalmente os momentos magnéticos dos electrões são dados em unidades de  B .
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O valor do momento magnético para o momento angular orbital definido em
termos do número quântico l, também é quantizado, uma vez que L  l l  1 . Assim:
l   B l l  1
(3.11)
ou
l 
e
 l l  1
2me
(3.12)
Escrevendo a equação (3.9) em termos de  B :

e L
l   g l

2me 



L
 l  g l  B


(3.13)
onde o factor orbital gl, tem o valor numérico gl =1 e é introduzido para preservar a
simetria das equações que serão desenvolvidas mais tarde, e que incluirão factores g
diferentes de um. Este factor foi introduzido por Landé, para o acoplamento spin órbita, a fim de caracterizar a razão entre o momento magnético (em  B ) e o momento
angular total (em unidades de  ).

Quando o momento magnético orbital  B se encontra num campo magnético

uniforme B , ele fica sujeito a um torque que tende a alinhar paralelamente o momento
magnético com o campo magnético e que tem como objectivo ficar numa configuração
de mínima energia (segundo a equação 3.3). Da definição de torque temos que:

dL
 
dt

(3.14 )
Acontece que no caso do electrão em órbita em torno do núcleo, o momento magnético
é proporcional ao momento angular, e o torque vai produzir uma variação do momento

angular, que é perpendicular a ele (tem a mesma direcção de dL ), fazendo então com
que o electrão se comporte mecanicamente como um giroscópio atómico, e precessione
em torno da direcção do campo. De acordo com a Figura 3.4 a frequência angular de
precessão do electrão em órbita, denominada frequência de Larmor, é:
L 

L sin 



l  B
L sin 

 l B sin  g l  B

B
L sin 

(3.15)
Esta equação foi obtida através de um tratamento clássico. Fazendo um tratamento
quântico, obtemos o mesmo resultado, isto é, os valores esperados das componentes
perpendiculares ao campo magnético de um momento de dipolo magnético quântico
variam de forma cíclica no tempo, de forma análoga às componentes perpendiculares ao
campo de um momento de dipolo magnético clássico.
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A equação (3.15) pode ser escrita na forma:


 L  B
(3.16)

Além do valor de  L a equação indica que o sentido da precessão é o sentido de B .
Este fenómeno é conhecido como precessão de Larmor e  L é a frequência de Larmor.
A nova variável que foi introduzida aqui, chama-se raio giromagnético e é igual a:
 
gl B

(3.17)
A frequência de Larmor,  L é independente do ângulo .

Como já foi visto anteriormente, a orientação do vector L no espaço, não é
aleatória. A solução da equação de Schrodinger (2.24) (Capítulo 2), sugere que quando
um eixo é estabelecido, por exemplo pelo campo magnético aplicado, uma componente
do momento angular é quantisada. São permitidos somente valores discretos do angulo
 
 
 entre o campo magnético B e L ou B e  l .
Figura 3.4. Diagrama vectorial para o cálculo da frequência de precessão  L .
dL  L sin dt (arco  raio  angulo ).  dL / dt    L sin ).   L   / L sin  ).
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Como vimos na equação (2.38) do Capítulo 2, as componentes do momento angular na
direcção z , (ver Figura 3.5), são:
Lz  m ,
para m  0,1,2,3...  l
(3.18)


Figura 3.5. Quantização direccional. Somente a projecção dos vectores L e  l sobre

uma escolha de z, pode ser observado. Aqui a direcção z é a direcção de B .
Desta forma enfatizamos que o momento angular orbital está associado ao número
quântico magnético, que pode ter 2l+1 valores diferentes. A maior componente possível
de L na direcção z é l .
A componente z do momento magnético  l , é quantizada:
l 
z
e
Lz  m B
2me
(3.19)
que tem o seu valor máximo para lB .
3.2 Spin e Momento Magnético do Electrão. A experiência de Stern e Gerlach.
Os estados s com momento angular orbital L=0, não tem momento magnético orbital e
por isso o átomo de um electrão deveria ser diamagnético no estado fundamental.
Entretanto estes átomos na realidade são paramagnéticos. Isto acontece porque existe o
spin do electrão que está associado a um momento magnético. O mérito da introdução
do spin do electrão, é geralmente atribuído a Uhlenbeck e Goudsmit em 1925, para
explicar os desdobramentos das linhas espectrais, quando os átomos são colocados num
campo magnético (efeito Zeeman). Postulou que o electrão tem um momento angular

S intrínseco ou spin, onde:
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S  ss  1
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(3.20)
e um momento magnético intrínseco associado:

s   g s
e 
S
2me
(3.21)
1
onde s corresponde a
2
um novo número quântico: o número quântico de spin. As equações (3.21) e (3.13)
não são idênticas, porque os valores de gs e gl, não são iguais. O factor gs, denominado
de factor g do electrão ou raio giromagnético do electrão, tem em conta as suas
propriedades internas. O seu valor experimental é gs=2.0023. A Figura (3.6.a)
representa um desenho esquemático do spin e do momento magnético do electrão.
Dirac em 1928 mostrou que o spin do electrão é uma consequência necessária da
Teoria Quântica Relativística (a teoria de Schrödinger é não relativística). Através dessa
teoria obtêm-se g=2. A pequena diferença entre o valor previsto teoricamente e o valor
empírico, explica-se através da electrodinâmica quântica quando é levado em conta a
interacção do electrão com o seu próprio campo de radiação.
onde e é o valor absoluto da unidade de carga do electrão, s 
(a)
(b)
Figura 3.6. a) O spin e o momento magnético do electrão. b) O spin do electrão tem
duas orientações possíveis num campo magnético com direcção z, que são
1
caracterizadas pelo número quântico  s   .
2
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Em 1922 através da experiência de Stern e Gerlach, observou-se pela primeira

vez, que na presença de um campo magnético B (ou na presença de um eixo definido z)
o spin só podia ter duas orientações no espaço: “paralelo” ou “anti-paralelo” ao campo
(ver Figura 3.6.b). Stern e Gerlach mediram os valores possíveis do momento de dipolo
magnético de átomos de prata enviando um feixe desses átomos através de um campo
magnético não uniforme, como indica a Figura (3.7). Os feixes de átomos neutros foram
formados pela evaporação de prata num forno. O feixe é colimado por um diafragma e
entra num imã.
Placa colectora
dB
dz
S
N
Figura 3.7. O aparelho de Stern-Gerlach.
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O efeito deste campo magnético não uniforme na direcção z, sobre um dipolo
magnético é exercer uma força, cuja direcção e módulo dependem da orientação relativa
do campo magnético e do dipolo. Se o dipolo magnético estiver orientado paralelamente
ao campo magnético, tende a mover-se na direcção em que o campo magnético
aumenta. Pelo contrário, se o dipolo magnético estiver orientado antiparalelamente ao
campo magnético, se moverá na direcção em que o campo diminui. Um dipolo que é
perpendicular ao campo magnético não se move.
A força de deflexão é derivada da energia potencial do campo
 
magnético, Emagnética    B :
Fz   z
dB
dz
(3.22)
dB
dz
é a rapidez com que ele cresce. Os átomos deflectidos colidem contra uma placa
metálica, sobre a qual condensam deixando uma marca visível. A Figura 3.8 mostra a
configuração da deflexão registada na placa detectora e que consiste de duas
componentes discretas devidas à quantificação espacial.
onde z é o eixo de coordenadas na direcção do aumento da intensidade do campo e
As suas componentes na direcção z são:
S z  ms 
com
ms  
1
2
(3.23)
Figura 3. 8. Configuração da deflexão observada na placa detectora de uma experiência
de Stern-Gerlach de medida de z do momento de dipolo magnético dos átomos de prata.
onde ms é o número quântico magnético de spin.
O momento angular é orientado, portanto o momento magnético também é
orientado. A componente z do momento magnético de spin é:
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s z   g s ms  B
(3.24)
s z  1.00116B
(3.25)
ou numericamente:
Intuitivamente falando, o spin e o momento magnético precessionam em torno do eixo
do campo magnético (comparar com o que vimos na secção 3.1).
O raio giromagnético, definido em 3.17, como sendo a razão entre o momento
magnético e o momento angular:

  
s

(3.26)
não é o mesmo. Para o magnetismo orbital puro temos:
l 
1 e
2 me
(3.27)
e para o magnetismo de spin:
 s  1.00116
e
me
(3.28)
Podemos obter o g, ao multiplicarmos  por  e é definido para o magnetismo orbital
puro como sendo:
 l 
1 e
  gl  B
2 me
(3.29)
e para o magnetismo de spin puro é:
 s   1.00116
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e
  g s  B  2.0023 B
me
(3.30)
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