Introdução à Simulação Estocástica usando R - DI PUC-Rio

Introdução à Simulação Estocástica usando R
Hélio Lopes
Departamento de Informática – PUC-Rio
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Parte II - Variáveis Aleatórias
Variáveis Aleatórias
O principal objetivo de criarmos um modelo probabilístico usando
variáveis aleatórias é porque podemos com elas calcularmos a
probabilidade de vários eventos de forma mais fácil e eficiente.
Considere um exmperimento aleatório de um espaço amostral S.
Uma variável aleatória X é uma função real que associa um
número real X (’) a cada elemento ’ em S.
O espaço amostral S é o dominio de X , e conjunto de todos os
valores possíveis de X (’) com ’ œ S, é chamado de imagem de X .
A imagem de X é um subconjunto da reta real.
Variáveis Aleatórias
Exemplo 1: No experimento de se jogar uma moeda para tirarmos
“Cara ou Coroa”, podemos definir a seguinte v.a.:
X (H) = 0 e X (T ) = 1.
Outros exemplos de v.a.’s para esse mesmo experimento seriam:
Y (H) = 1 e Y (T ) = 0,
e
Z (H) = 0 e Z (T ) = 0.
Eventos definidos por variáveis aleatórias
Se X é uma v.a. e x é um número real dado, podemos definir o
evento (X = x ) como
(X = x ) = {’ œ S : X (’) = x }.
De forma similar, podemos definir para os números reais x , x1 , e x2
os seguintes eventos:
I
I
I
I
I
I
(X Æ x ) = {’ œ S : X (’) Æ x }
(X Ø x ) = {’ œ S : X (’) Ø x }
(X < x ) = {’ œ S : X (’) < x }
(X > x ) = {’ œ S : X (’) > x }
(x1 < X Æ x2 ) = {’ œ S : x1 < X (’) Æ x2 }
...
Eventos definidos por variáveis aleatórias
Esses eventos tem probabilidades que são denotadas por:
I
I
I
I
I
I
P(X Æ x ) = P({’ œ S : X (’) Æ x })
P(X Ø x ) = P({’ œ S : X (’) Ø x })
P(X < x ) = P({’ œ S : X (’) < x })
P(X > x ) = P({’ œ S : X (’) > x })
P(x1 < X Æ x2 ) = P({’ œ S : x1 < X (’) Æ x2 })
...
Variáveis Aleatórias
Exemplo 2: No experimento de se jogar uma moeda justa três
vezes para tirarmos “Cara ou Coroa”, podemos definir a v.a. X que
conta quantas vezes deu “Cara” nessas três jogadas. Ache a
probabilidade de X = 2 e a probabilidade de X < 2.
No caso, S = {TTT , TTH, THT , THH, HTT , HTH, HHT , HHH},
que possui oito pontos amostrais.
Para calcularmos a probabilidade de X = 2, temos que o evento de
interesse é A = {THH, HTH, HHT }, portanto
P(X = 2) = P(A) = 38 .
Para calcularmos a probabilidade de X < 2, temos que o evento de
interesse é B = {TTT , TTH, THT , HTT }, portanto
P(X < 2) = P(B) = 48 .
Variáveis Aleatórias
De uma maneira formal, uma variável aleatória poderia ser definida
da seguinte forma.
Definição: Considere um espaço de probabilidade (S, F, P). Uma
variável aleatória X é uma função real definida em S (X : S æ R)
que satisfaz a seguinte propriedade:
I
para qualquer u œ R, o conjunto {s œ S : X (s) Æ u} é um
membro de F.
Funções de distribuição
Definição: A função de distribuição ( ou função de distribuição
acumulada) FX de X é uma função real definida pela seguinte
forma:
FX (x ) = P(X Æ x ), para Œ < x < Œ.
Podemos extrair muita informação sobre o comportamento da v.a.
X através de sua função de distribuição FX .
Funções de distribuição: Propriedades
1.
2.
3.
4.
5.
0 Æ FX (x ) Æ 1.
Se x1 < x2 , então FX (x1 ) Æ FX (x2 ).
limx æŒ FX (x ) = 1.
limx æ≠Œ FX (x ) = 0.
limx æa+ FX (x ) = FX (a).
Funções de distribuição: Exemplo
Exemplo 1: No experimento de se jogar uma moeda justa três
vezes para tirarmos “Cara ou Coroa”, podemos definir a v.a. X que
conta quantas vezes deu “Cara” nessas três jogadas. No caso,
S = {TTT , TTH, THT , THH, HTT , HTH, HHT , HHH}, que
possui oito pontos amostrais.
Para calcularmos a função distribuição de probabilidade de X , temos
que resolver o problema de contagem em S. Após resolvido o
problema podemos montar a tabela a seguir:
Funções de distribuição: Exemplo
x
-1
0
1
2
3
4
{X Æ x }
ÿ
Fx (x )
0
{TTT , TTH, THT , HTT }
1
8
4
8
7
8
S
1
S
1
{TTT }
{TTT , TTH, THT , HTT , HHT , HTH, THH}
Bibliografia
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Hwei Hsu, Probability, Random Variables, and Random
Processes, Schaum’s outlines, 1996.
Ramakant Khazanic, Basic Probability Theory and
Applications, Goodyear Pub., 1976.