4 – Sistemas de Equações Lineares

Nova School of Business and Economics
Apontamentos Álgebra Linear
4 – Sistemas de Equações
Lineares
1
Rank ou característica de uma matriz
Definição
Número máximo de linhas de
[
Ex.:
( )
( ))
que formam um conjunto linearmente independente.
]
porque *(
)(
)+ (por exemplo) é linearmente independente e não
existe nenhum conjunto de linhas de
2
(
com
ou
vectores que o seja.
Operações elementares sobre as linhas de uma matriz e rank da
Facto
matriz
A realização de operações elementares sobre as linhas de uma matriz não altera o seu rank.
[
Ex.:
]
]→
[
( )
3
[
]→
]→[
[
]
( )
Definição
Formato em escada por linhas de uma matriz
Forma de uma matriz cujo primeiro elemento da 1ª linha não é , cujos primeiros elementos
de cada linha, a começar na 2ª, são , e em que o número de primeiros elementos de cada
linha que são
é superior ao da linha anterior.
{
1
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4 – Sistemas de Equações Lineares
Ex. 1: [
] tem o formato em escada por linhas porque o 1º elemento da 1ª linha
não é , e o 1º elemento da 2ª linha, os
primeiros elementos da 3ª linha e os
primeiros
elementos da 4ª linha são .
Ex. 2: [
] não tem o formato em escada por linhas porque o número de ’
consecutivos nas primeiras posições da 4ª linha não é superior ao da 3ª.
4
Definição
Elemento de
Pivot de uma matriz
no formato em escada por linhas
que é o primeiro da sua linha diferente de .
{
Ex.:
[
5
Definição
]
Formato reduzido em escada por linhas de uma matriz
Forma de uma matriz que tem o formato em escada por linhas, cujos pivots são
e cujos
elementos da mesma coluna e de linhas anteriores às de um pivot são .
{
{
Ex.:
[
]
tem o formato reduzido em escada por linhas porque tem o formato em escada por linhas,
todos os seus pivots (
2
,
e
) são ,
e
.
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4 – Sistemas de Equações Lineares
6
Algoritmo para redução de uma matriz
em escada por linhas por eliminação de Gauss
Algoritmo
1
ao formato reduzido
Redução ao formato em escada por linhas:
Anulação da parte inferior da coluna :
Transformação de
num número não nulo: Se
outra linha, abaixo desta, cujo elemento da coluna
este passo (
for , trocar a linha
com
não seja . Caso contrário, saltar
).
Transformação de
em
: Se
não for , dividir a linha
contrário, saltar este passo (
por
. Caso
).
Anulação da parte inferior da coluna : Subtrair a cada linha abaixo da linha
elemento da coluna
e a linha
não seja
o produto entre o elemento da coluna
(
cujo
dessa linha
).
Anulação da parte inferior das restantes colunas: Aplicar os seguintes passos,
substituindo
por
. Depois, repeti-los,
substituindo
por
. Continuar a repeti-los,
substituindo pelos restantes índices de linha da matriz, de forma crescente, até
Fim do algoritmo: Se todas as linhas, desde a até à , forem nulas, parar. Senão,
continuar.
Ordenação dos ’s criados: Fazer as trocas de ordem necessárias para que as linhas,
desde a até à , fiquem ordenadas pelo número de ’
colunas.
Transformação dos pivots em : Se o primeiro elemento da linha não nulo,
não for , dividir a linha por
. Caso contrário, saltar este passo (
,
).
Anulação da parte inferior da coluna : Subtrair a cada linha abaixo da linha cujo
elemento da coluna
e a linha (
2
não seja
o produto entre o elemento da coluna
dessa linha
).
Anulação dos elementos superiores aos pivots: Depois de concluída a redução ao
formato em escada por linhas, aplicar o seguinte passo, substituindo por . Depois, repetilo, substituindo por . Continuar a repeti-lo, substituindo pelos restantes índices de linha
da matriz, de forma crescente, até ao índice da última linha que tem um pivot.
Sendo
o pivot da linha , subtrair a cada linha acima da linha cujo elemento da coluna
não seja
o produto entre o elemento da coluna
dessa linha e a linha
(
).
3
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[
Ex.:
]
Redução ao formato em escada por linhas:
1
Anulação da parte inferior da coluna :
( )
[
]
[
]
[
]
Anulação da parte inferior das restantes colunas:
( )
[
]
[
[
]
[
]
]
( )
[
]
[
2
]
[
Anulação dos elementos superiores aos pivots:
( )
[
]
[
]
[
]
( )
( )
4
[
]
]
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7
Sistema de equações lineares (
Definição
Conjunto de
equações de
)
variáveis, cada uma consistindo numa igualdade entre uma
combinação linear das variáveis e um número real. Igualdade entre dois membros: o
primeiro,
, e o segundo, .
Sistema de equações lineares
[
][
]
[
]
{
{
Ex.:
[
equações lineares com
8
Classificação
equações e
][ ]
variáveis (
[ ]
é um sistema de
).
Classificação de um sistema de equações
Possível: Tem pelo menos uma solução.
Determinado: Tem apenas uma solução.
Indeterminado: Tem mais do que uma solução.
Impossível: Não tem soluções.
{
é possível e determinado, porque a sua única solução é o vector
{
é possível e indeterminado, porque o seu conjunto de soluções é
Ex. 1:
(
).
Ex. 2:
*(
Ex. 3:
)
+, que contém um número infinito de vectores.
{
9
é impossível, porque não há nenhum vector de
que o resolva.
Sistemas de equações lineares possíveis e indeterminados e
número de soluções
Facto
Qualquer sistema de equações lineares possível e indeterminado tem um número infinito de
soluções.
5
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4 – Sistemas de Equações Lineares
*
é possível e indeterminado e, tendo os vectores (
{
Ex.:
+
soluções, tem também todos os vectores da forma (
10
(
)
(
)(
)e(
), com
) como
.
Matriz aumentada de um sistema de equações lineares
Definição
)
Matriz cujas primeiras
,
colunas são as colunas de
e cuja última coluna é .
[
]
{
Ex.:
[
,
-
11
[
][ ]
[ ]
]
Classificação de um sistema de equações lineares e rank das
matrizes do sistema
Facto
Um sistema de equações lineares
é:
( )
Possível e determinado
( )
Possível e indeterminado
( )
Impossível
(
[
6
(
{
Ex.:
[
)
(
[
(
)
)
][ ]
]
]
)
[ ]
[
[
]
]
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[
]
( )
[
( )
(
12
[
]
)
Sistema homogéneo associado a um sistema de equações lineares
̅)
Definição
(
]
̅
Sistema de equações lineares cujo primeiro membro é o de
vector nulo do espaço vectorial a que
pertence.
̅
̅
{
Ex.:
̅
e cujo segundo membro é o
[
{
13
[
][ ]
][ ]
[ ]
Espaço nulo de uma matriz
Definição
Conjunto de vectores de
̅
[ ]
( ( ))
que resolvem o sistema de equações lineares homogéneo
associado a .
( )
[
Ex.:
( )
14
̅
*
{(
+
]
)
[
][ ]
[ ]}
*(
)(
Resolução de um sistema de equações lineares
determinado por eliminação de Gauss
Fórmula
Realização de operações elementares sobre as linhas de
até que
)+
possível e
esteja reduzida ao
formato em escada por linhas, eliminando-se as linhas nulas que aparecem no processo,
7
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seguida da realização de operações elementares sobre as linhas da matriz resultante até que
esta se torne na matriz identidade. Nesta altura, a sua última coluna torna-se na solução de
.
[
Ex.:
][ ]
[ ]
{
]→
[
]→
[
→
[
→
[
]
]→
[
*(
]
→
[
[
]
]→
[
→
[
→
]
]
,
-
)+
15
Resolução de um sistema de equações lineares
determinado por cálculo da inversa
Fórmula
Realização de operações elementares sobre as linhas de
possível e
com o objectivo de reduzir
ao formato em escada por linhas, eliminando as linhas nulas que aparecem no processo, até
que
seja quadrada, seguida da resolução do sistema obtido,
original, em ordem a :
ordem a :
{
for quadrada, basta resolver o sistema original em
).
[
Ex.:
8
(se
, equivalente ao
][ ]
[ ]
Apontamentos Álgebra Linear
4 – Sistemas de Equações Lineares
]→ [
[
,
]
( )
{
-
[
][ ]
[ ]
{
[
]
[ ]
[ ]
[
*(
[ ]
]
)+
16
Resolução de um sistema de equações lineares
determinado pela regra de Cramer
Fórmula
Realização de operações elementares sobre as linhas de
possível e
com o objectivo de reduzir
ao formato em escada por linhas, eliminando as linhas nulas que aparecem no processo, até
que
seja quadrada, seguida da obtenção, para o sistema obtido
original, dos valores das coordenadas
forma (se
|
for quadrada,
|
,
e
da solução do sistema da seguinte
são utilizados em vez de
|
| |
|
e
,
, equivalente ao
e
):
|
| |
|
|
| |
|
| |
...
|
|
| |
|
|
| |
[
Ex.:
][ ]
[ ]
{
[
]→ [
( )
]
,
-
9
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{
[
][ ]
[ ]
{
| |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| |
| |
|
|
| |
*(
1
|
| |
| |
| |
17
|
|
)+
Algoritmo para a resolução de um sistema de equações lineares
possível e indeterminado
Algoritmo
Definição das variáveis livres de : Encontrar o número de variáveis, entre as
que
definem cada solução de , que podem ser escolhidas arbitrariamente (
( )) e escolher para variáveis livres aquelas associadas a colunas de , reduzida ao
formato reduzido em escada por linhas, que não têm pivots.
2
Resolução de
solução de
3
̅
(
(
̅:
Encontrar
, o sub-espaço vectorial de
)
dos vectores que são
).
Identificação de uma solução particular de
: Encontrar
, um vector de
que
seja solução de .
4
Especificação da solução geral de
seja, o conjunto dos vectores de
(
10
: Escrever
, o conjunto de soluções de
, ou
que representam a soma de uma solução particular de
) com um vector do conjunto de soluções de
̅
(
).
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][ ]
[
Ex.:
[ ]
{
]→
[
( )
[
( )
(
]
)
{
{
{
̅
{
1
Determinação do número de variáveis livres de :
( )
*
+
2
*(
3
*
Resolução de
+
̅:
)(
)+
*(
)(
{
{
(
)
{
{
(
)
(
)+
Identificação de uma solução particular de :
{
(
)
)
{
(
)
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4 – Sistemas de Equações Lineares
4
{(
{(
12
Especificação da solução geral de :
)
(
)
(
)
)
(
)
}
(
)
}