introdução à álgebra elementar - IFMG

José Sérgio Domingues
Francielly dos Santos Bento
Tabatha Helena da Silva
INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA ELEMENTAR
Departamento de Matemática
Instituto Federal de Minas Gerais - IFMG Campus Formiga
INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA ELEMENTAR
José Sérgio Domingues
Francielly dos Santos Bento
Tabatha Helena da Silva
Departamento de Matemática - IFMG Campus Formiga
[email protected]
Junho, 2016
Introdução à álgebra elementar
© 2016 José Sérgio Domingues
Francielly dos Santos Bento
Tabatha Helena da Silva
Revisores técnicos:
Profa. Lúcia Helena Costa Braz
Prof. Alex Eduardo Andrade Borges
Prof. Nícias José de Carvalho
Capa:
Roger Santos Ferreira
Ilustrações:
Prof. José Sérgio Domingues
Qualquer parte desta publicação pode ser reproduzida, desde que citada a fonte.
Ficha Catalográfica
Domingues, José Sérgio
Introdução à álgebra elementar / José Sérgio Domingues; Francielly dos Santos Bento;
Tabatha Helena da Silva. – Formiga: IFMG Campus Formiga, 2016.
Bibliografia.
ISBN XXXX-XXXX-XX.
1. Álgebra elementar. I. Título
Apresentação
A ideia original de escrever esse livro veio do fato de que a disciplina denominada
Introdução à Álgebra, para alunos do primeiro período do curso de Licenciatura em
Matemática do IFMG - Campus Formiga, não possuía uma bibliografia única que
contemplasse todos os conteúdos da sua ementa. Isso gerava muitos incômodos para
professores que a ministravam e também para os alunos, pois era necessário a utilização
de muitos livros, cujas linguagens e níveis eram bem diferentes.
Essa disciplina tem como principal objetivo rever de forma qualitativa alguns importantes tópicos de álgebra já estudados no ensino médio pelos acadêmicos, mas
trazendo uma teoria que já contenha a justificativa de alguns resultados por meio de
demonstrações e que essas também comecem a ser feitas pelos próprios estudantes.
O livro é parte fundamental de um projeto de extensão desenvolvido em nosso
campus de março de 2015 a junho de 2016, com a finalidade de estudar os conteúdos da
disciplina com acadêmicos do curso de matemática e também, disseminar a utilização
do sistema de editoração de textos LATEX (para a comunidade interna e externa ao
IFMG), que foi o sistema utilizado na confecção deste material, com a classe abnTEX2.
Boa parte dos conteúdos abordados no livro são baseados nas notas de aula dessa
disciplina, quando a ministrei nos anos de 2014 e 2015, sendo que as mesmas foram
ampliadas e revistas. Além disso, teve-se uma grande ampliação no número de exercícios apresentados aos alunos, sendo que, no total, o material aqui disponibilizado
conta com 310 exercícios.
No Capítulo 1 são apresentadas algumas das principais técnicas de demonstração
matemática baseadas em princípios de lógica, além da apresentação de uma tabela
com os símbolos matemáticos mais utilizados em todo o livro. Ele não tem a mínima
intenção de ser considerado como um curso de lógica ou de técnicas de demonstração,
sendo simplesmente uma descrição sucinta desses temas, de forma que os acadêmicos
tenham pelo menos uma visão geral de alguns princípios de lógica e de demonstração,
além da oportunidade de já se familiarizarem com os principais símbolos matemáticos
usados ao longo do texto.
O Capítulo 2 apresenta uma visão geral da teoria de conjuntos, em particular a dos
conjuntos numéricos. Esse capítulo é provavelmente o que mais envolve atividades
de demonstrações para os acadêmicos, além de apresentar a utilização mais densa de
notações e símbolos matemáticos, de forma a auxiliar o acadêmico a se tornar mais
capaz de utilizá-los na resolução de problemas e demonstrações.
Uma revisão detalhada sobre potenciação e radiciação é feita no Capítulo 3, sendo
que muitos detalhes sobre os resultados são destacados no texto, com a finalidade
de que os acadêmicos não façam confusão entre os resultados ou que generalizem
resultados de maneira equivocada.
O Capítulo 4 descreve de forma simplificada o conjunto dos números complexos,
apresentando a definição deste conjunto e algumas de suas propriedades. Com isso,
tem-se base para o entendimento do Capítulo 5, onde são estudados os polinômios e
suas características, sendo que suas raízes, e/ou coeficientes, podem ser complexos.
No Capítulo 6 é feito o estudo das expressões algébricas e fracionárias, suas classificações, mínimo múltiplo comum entre essas expressões e suas principais operações,
formas de fatoração de expressões algébricas inteiras, além da simplificação de frações
algébricas.
Uma descrição sobre matrizes é feita no Capítulo 7, sendo que o primeiro contato é
feito pela utilização prática da ideia de matriz para registrar um conjunto de dados de
uma avaliação física. Em seguida, a definição detalhada de matriz é feita, suas principais
propriedades são apresentadas, assim como seus principais tipos e operações.
O Capítulo 8 é dedicado ao estudo dos sistemas lineares, onde são exibidos a definição de um sistema linear, sua representação matricial, interpretação geométrica para
sistemas de 2 incógnitas e três métodos de resolução, que são: substituição, Gauss e
Gauss-Jordan.
No Capítulo 9 apresentamos a regra de Sarrus e o Teorema de Fundamental de
Laplace para obtenção de determinantes, incluindo as principais propriedades do
determinante. Além disso, é dado o conceito de matriz inversa, são discutidas duas
formas de obtenção desse tipo de matriz e apresentadas algumas de suas propriedades.
Finalizamos com o Capítulo 10, onde exibimos as respostas de praticamente todos
(dos muitos) exercícios disponibilizados ao final de cada capítulo do livro, sendo que,
para vários deles, também são disponibilizadas algumas dicas de resolução.
Enfim, esse livro, por apresentar muitos temas geralmente estudados nos ensinos
fundamental e médio, pode ser utilizado por professores não apenas do ensino superior, em disciplinas mais introdutórias, como é o caso de Introdução à Álgebra no
IFMG - Campus Formiga, mas também na educação básica, onde caberá ao professor,
saber dosar o que é realmente necessário ser apresentado aos alunos, dependendo da
maturidade das turmas e dos currículos de cada uma delas.
Peço a gentileza de que caso erros sejam encontrados nesse material ou sugestões
de alterações sejam necessárias, enviem mensagem para o endereço
[email protected]
que terei prazer em analisar o que foi solicitado, corrigir eventuais erros e efetuar alterações na medida do possível.
José Sérgio Domingues
Agradecimentos
Agradecemos ao IFMG - Campus Formiga, em especial à Secretaria de Extensão, Pesquisa e Pós-Graduação (SEPPG), pela grande aceitação do projeto de extensão que
deu origem tanto a esse material quanto ao curso de introdução ao sistema LATEX, que
contribuiu significativamente para o crescimento acadêmico de muitas pessoas da
comunidade interna e externa ao campus.
Para que o livro tomasse esse formato foram necessárias várias discussões com
alunos e professores do IFMG Campus Formiga, sendo que alguns deles tiveram papel
de destaque na revisão do texto final desse material. Por isso, agradecemos imensamente à Professora Lúcia Helena Costa Braz, ao Professor Alex Andrade Eduardo Borges
e ao Professor Nícias José de Carvalho, por terem feito a revisão técnica desse livro,
sugerindo importantes alterações e correções técnicas no texto.
A imagem e estrutura da capa foram idealizadas por Róger Santos Ferreira, ao qual
também agradecemos imensamente.
Agradecemos também, ao Diretor de Ensino do campus, Prof. Dr. Miguel Rivera Peres Júnior, pelo empenho em nos direcionar para uma forma de registro desse material.
Finalizando, agradecemos à equipe do NIT (Núcleo de Inovação Tecnológica) do
IFMG, pela grande responsabilidade com que conduziu o processo de registro deste
livro.
Os autores
Sumário
Sumário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Introdução às Técnicas de Demonstração . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
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1
7
9
10
14
2 Teoria Elementar dos Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
Introdução ao raciocínio lógico matemático
Axiomas e tipos de Teorema . . . . . . . . . .
Principais símbolos utilizados . . . . . . . .
Técnicas de demonstração . . . . . . . . . .
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Tópicos de Cálculo Algébrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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74
75
81
82
83
Expressões algébricas e fracionárias . . . . .
Fatoração de expressões algébricas inteiras
Frações algébricas e simplificação . . . . . .
Mínimo múltiplo comum . . . . . . . . . . .
Operações com frações algébricas . . . . . .
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
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5 Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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63
63
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Monômios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Operações elementares com monômios
Produtos notáveis . . . . . . . . . . . . . .
Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Adição e subtração de polinômios . . . .
Multiplicação e divisão de polinômios .
Teorema Fundamental da Álgebra - TFA
Relações de Girard . . . . . . . . . . . . .
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
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4 Introdução ao conjunto dos Números Complexos . . . . . . . . . . .
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41
45
49
50
51
53
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . .
Igualdade de complexos . . . . . . . . .
Adição e multiplicação de complexos .
Potências de i . . . . . . . . . . . . . . .
Raiz quadrada de um número negativo
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
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3 Potenciação e Radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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20
21
22
25
25
26
36
Potenciação . . . . . . . . . . . . . . .
Radiciação . . . . . . . . . . . . . . . .
Simplificação de radicais . . . . . . .
Redução de radicais ao mesmo índice
Racionalização de denominadores . .
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . .
Conjunto dos números naturais (N) .
Conjunto dos números inteiros (Z) .
Conjunto dos números racionais (Q)
Conjunto dos números irracionais (I)
Conjunto dos números reais (R) . . .
Tipos especiais de conjuntos . . . . .
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . .
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i
1
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94
95
95
97
7 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.1
7.2
7.3
7.4
Primeiro contato . . . . . . . . .
Tipos de matrizes . . . . . . . . .
Operações básicas com matrizes
Exercícios . . . . . . . . . . . . . .
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103
105
108
111
8 Sistemas de Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
Equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . .
Sistemas de equações lineares . . . . . . . .
Sistemas lineares como equações matriciais
Classificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Métodos de resolução de sistemas lineares .
Sistemas lineares homogêneos . . . . . . . .
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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117
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118
119
119
131
132
9 Determinante e a Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Regra de Sarrus . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teorema Fundamental de Laplace . . . . . . . .
Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Método prático para determinação da inversa .
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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137
138
139
142
145
146
10 Respostas e dicas dos exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Índice Remissivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
CAPÍTULO
Introdução às Técnicas de
Demonstração
1.1 Introdução ao raciocínio lógico matemático
Pensar logicamente é muito mais importante do que se imagina, principalmente
quando se trata de ciência. No nosso dia a dia o raciocínio lógico é, geralmente, deixado
de lado. Veja uma frase obtida na embalagem de sorvete:
Temperatura de conservação: −10◦C , ou mais.
Ora, à luz da lógica, manter o sorteve a −10◦C (ou mais), significa que valores acima
de −10◦C são aceitos, como por exemplo, −5◦C , 0◦C , 10◦C ou até mesmo 200◦C , já que
200 > −10, o que é, claramente, um absurdo!
Nesse caso, o fabricante não observou que o certo seria que a temperatura de
conservação deveria ser: −10◦C , ou menos.
Como já foi mencionado, erros desse tipo podem ser de grande prejuízo à ciência, e
por isso, nesse capítulo, descreveremos (mesmo que de forma sucinta) os princípios
básicos do raciocínio lógico matemático, que são muito úteis para o entendimento dos
próximos capítulos.
Nessa seção vamos nos dedicar ao entendimento do conceito de proposição e suas
propriedades.
Proposição
Entende-se como proposição, qualquer sentença declarativa, expressa por palavras ou
símbolos, e que deve exprimir um pensamento de sentido completo.
Exemplo 1.1
a) Mercúrio é o planeta mais próximo do Sol.
b) A lua é feita de queijo.
c) 2 + 9 = 11.
d) A área de um retângulo de lados a e b é ab.
1
Capítulo 1. Introdução às Técnicas de Demonstração
2
e) a 2 > 0 para todo número inteiro a.
Dizemos que uma proposição tem valor lógico verdadeiro, simbolizando por V,
quando ela for verdadeira. Quando ela for falsa, dizemos que ela tem valor lógico falso
e simbolizaremos por F.
Dois princípios fundamentais são adotados como regras na lógica matemática:
1. Princípio da Não Contradição: Uma proposição não pode ter valor lógico V e F
simultaneamente.
2. Princípio do Terceiro Excluído: Toda proposição ou tem valor lógico V ou valor
lógico F, não havendo uma terceira possibilidade.
Com base nos princípios fundamentais, pode-se concluir que toda proposição
admite um único valor lógico: V ou F.
Exemplo 1.2 Vejamos algumas proposições e seus respectivos valores lógicos.
a) 4 < 7 (V)
b) Dois é um número inteiro. (V)
c) 11 6= 11 (F)
d) Treze é um número par. (F)
e) 3 é um divisor de 11. (F)
f) BH tem menos de 5000 habitantes. (F)
g) 2 + 1 é 5. (F)
h) Todos os números inteiros são pares. (F)
Definição 1.1 (Proposição simples) É aquela que não possui outra proposição como
parte de si mesma.
As proposições simples são geralmente representadas com letras minúsculas do
nosso alfabeto.
Exemplo 1.3
a) p : 12 é primo.
b) q : O carro é branco.
Definição 1.2 (Proposição Composta) É uma proposição formada pela junção de duas
ou mais proposições, por meio dos conectivos e (∧), ou (∨) e se...ent ão (−→).
As proposições compostas são geralmente representadas com letras maiúsculas do
nosso alfabeto.
Exemplo 1.4
a) R = p ∧ q : 12 é primo e o carro é branco.
b) S = p ∨ q : 12 é primo ou o carro é branco.
c) T = q −→ q : Se 12 é primo, então o carro é branco.
1.1. Introdução ao raciocínio lógico matemático
3
Observação 1.1 O conectivo OU não possui sentido exclusivo. Por exemplo, na afirmação: “Meu amigo estuda matemática ou biologia”, pode ser que esse amigo estude apenas
matemática ou apenas biologia ou até mesmo, que estude ambas. De maneira geral, a
proposição “p ou q” significa “p ou q ou ambos”. Dessa forma, para que o valor lógico
de uma proposição composta gerada por esse conectivo tenha valor lógico V , basta que
uma das proposições que a compõem tenha valor V .
Exemplo 1.5 Proposições compostas geradas pelo conectivo E nas letras a), b) e c) e pelo
conectivo OU nas letras d), e) e f), todas com seus respectivos valores lógicos.
a) p : 5 > 2 (V), q : 2 6= 4 (V), p ∧ q : 5 > 2 e 2 6= 4. (V)
b) p : −2 < 1 (V), q : (−2)2 < (−1)2 (F), p ∧ q : −2 < −1 e (−2)2 < (−1)2 . (F)
c) p : 3 > 7 (F), q : 5 é par (F), p ∧ q : 3 > 7 e 5 é par. (F)
d) p : 7 é par. (F), q : 8 é ímpar. (F), p ∨ q : 7 é par ou 8 é ímpar. (F)
e) p : (−1)2 > (−2)2 (F), q : 4 > 1 (V), p ∨ q : (−1)2 > (−3)2 ou 4 > 1. (V)
f) p : 9 é quadrado perfeito. (V),
perfeito ou 5 + 1 = 3 · 2. (V)
q : 5 + 1 = 3 · 2. (V),
p ∨ q : 9 é quadrado
Os casos a), b) e c) apresentados no Exemplo 1.5 ilustram os seguintes fatos:
- Se p e q tem valores lógicos V , p ∧ q também terá.
- No caso onde um dos valores lógicos for F , p ∧ q terá valor lógico F .
- Se p e q tiverem valores lógicos F , então p ∧ q também terá.
Em outras palavras, o valor lógico de p ∧ q será V apenas quando p e q também forem V , pois o conectivo E significa que obrigatoriamente as duas proposições precisam
acontecer.
Já os casos d), e) e f) ilustram que para o valor lógico de p ∨ q ser V , pelo menos
uma das proposições deve ter valor lógico V .
Os possíveis casos para p ∧ q e p ∨ q podem ser vistos na Tabela 1, denominada de
tabela verdade.
Tabela 1 – Tabela verdade para os casos p ∧ q (p e q) e p ∨ q (p ou q).
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p ∧q
V
F
F
F
p ∨q
V
V
V
F
Definição 1.3 (Negação) Seja p uma proposição qualquer. A proposição “não p” (indicada por ∼p), é a negação de p e tem valor lógico contrário ao de p.
Exemplo 1.6 Exemplos de algumas proposições e suas negações.
p
p
a) p : 4 = 2 (V)
∼ p : 4 6= 2 (F)
b) p : 80 é ímpar. (F)
∼ p : 80 é par (V)
Capítulo 1. Introdução às Técnicas de Demonstração
4
c) p : 2 > 1 (V)
∼ p : 2 ≤ 1 (F)
d) p : Todo número primo é par. (F)
∼ p : Existe algum número primo ímpar. (V)
e) p : x + 10 > x + 4 ∀ x natural.(V)
∼ p : x + 10 ≤ x + 4 para algum x natural. (F)
f) p : Mercúrio não é um planeta. (F) ∼ p : Mercúrio é um planeta. (V)
Observação 1.2 Atente para o fato de que a negação apenas da expressão “para todo” é
a expressão “para algum” e a negação apenas de “para algum” é “para todo”. Um exemplo
disso é visto nos itens d) e e) do Exemplo 1.6.
Exemplo 1.7 Obtenha a negação das proposições compostas:
a) P : A meia é azul E o tênis é preto. ∼ P : A meia não é azul OU o tênis não é preto.
b) Q : x = −2 OU x = 3.
∼ Q : x 6= −2 E x 6= 3.
Observação 1.3 Pelo Exemplo 1.7 percebe-se que a negação de E é OU e que a negação
de OU é E. Contudo, observe que, para negar a proposição composta também é necessário
negar as proposições que a compõem. Para o item b), por exemplo, foi necessário, além
de negar o OU com o E, também negar x = 2 e x = 3 com x 6= −2 e x 6= 3.
A ideia apresentada na Observação 1.3 faz parte das chamadas Leis de De Morgan
da lógica, representadas simbolicamente como:
∼ (P e Q) = (∼ P ) ou (∼ Q)
∼ (P ou Q) = (∼ P ) e (∼ Q).
Proposição Condicional
Uma proposição do tipo “se p então q” (representada por: p −→ q) é denominada
proposição condicional, ou simplesmente, condicional. Em uma condicional o valor
lógico será F apenas quando os valores lógicos de p e q forem V e F , respectivamente.
Sendo assim, para qualquer outra situação o valor lógico da condicional será V .
Exemplo 1.8 Exemplos de proposições condicionais a partir de duas proposições, p e q,
com seus respectivos valores lógicos.
a) p : 2 > 1. (V), q : 4 > 3. (V), p −→ q : Se 2 > 1, então 4 > 3. (V)
b) p : 6 < 2. (F), q : 3 6= 3. (F), p −→ q : Se 6 < 2, então 3 6= 3. (V)
c) p : 5 6= 8. (V), q : 3 < 2. (F), p −→ q : Se 5 6= 8, então 3 < 2. (F)
d) p : 1 − 2 = 1. (F), q : 7 > 6. (V), p −→ q : Se 1 − 2 = 1, então 7 > 6. (V)
A tabela verdade de uma proposição condicional também pode ser montada, conforme se vê na Tabela 2.
Tabela 2 – Tabela verdade para uma proposição condicional p −→ q (Se p então q).
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p −→ q
V
F
V
V
1.1. Introdução ao raciocínio lógico matemático
5
Definição 1.4 (Hipótese e Tese) Em uma condicional p −→ q, a parte p é denominada
hipótese e a parte q é a tese, que muitas vezes são representadas nas formas resumidas H
e T, respectivamente.
Exemplo 1.9 Seja a condicional:
“Se x representa um número inteiro negativo, então −1 · x é positivo.”
Então tem-se que:
• (H ) : x representa um número inteiro negativo;
• (T ) : −1 · x é positivo.
Outra proposição condicional que pode ser formada a partir de p −→ q é a sua
recíproca, dada por: q −→ p, isto é, “Se q então p”. No Exemplo 1.9 a recíproca da
proposição apresentada será
Se −1 · x é positivo, então x representa um número inteiro negativo.
Proposição Bicondicional
Quando se faz a junção de uma condicional e a sua recíproca, tem-se a chamada
proposição bicondicional, ou simplesmente, bicondicional. Ela é representada por
p ←→ q (lê: “p se, e somente se, q”). Vejamos um exemplo:
Exemplo 1.10 Considere a proposição:
“x é par se, e somente se, x é divisível por 2.”
Nela, pode-se considerar as proposições p : x é par, e q : x é divisível por 2. Logo, ela é
equivalente a p ←→ q, que pode ser pensada como:
• (p −→ q) Se x é par, então x é divisível por 2, e
• (q −→ p) Se x é divisível por 2, então x é par.
Uma bicondicional p ←→ q terá valor lógico V quando p e q tiverem valores iguais
e terá valor lógico F quando os valores lógicos de p e q forem diferentes. A Tabela 3 é a
tabela verdade de uma bicondicional.
Tabela 3 – Tabela verdade para p ←→ q (p se, e somente se, q).
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p ←→ q
V
F
F
V
Exemplo 1.11 Vejamos alguns exemplos de bicondicionais e seus valores lógicos.
p
a) p : 3 ∈ Q. (F) e q : −1 ∈ N. (F). Logo:
p ←→ q :
p
3 ∈ Q se, e somente se, −1 ∈ N. (V)
Capítulo 1. Introdução às Técnicas de Demonstração
6
b) p :
p
5 ∈ I. (V)
q : 1 ∈ N. (V). Logo:
e
p ←→ q :
c) p : 4 > 1. (V)
p
5 ∈ I se, e somente se, 1 ∈ N. (V)
q : 7 6= 7. (F). Logo:
e
p ←→ q : 4 > 1 se, e soment e se, 7 6= 7. (F )
d) p :
p
9 = −3. (F)
e
q : 8 − 1 = 7. (V). Logo:
p ←→ q :
p
9 = −3 se, e soment e se, 8 − 1 = 7. (F )
O símbolo de implicação (=⇒)
Considere duas proposições p e q. Diremos que a proposição p implica a proposição q,
quando o valor lógico da condicional p −→ q for V , ou seja, quando não ocorrer o caso
onde os valores de p e q são V e F , respectivamente. Nesse caso, a notação será:
p =⇒ q
que também pode ser lida das formas “Se p, então q.” e “p implica q”, como é o caso
dos itens a), b) e d) do Exemplo 1.8.
O símbolo de equivalência (⇐⇒)
Quando o valor lógico da condicional p ←→ q for V , isto é, quando os valores lógicos de
p e q forem iguais, diremos que a proposição p é equivalente à proposição q. A notação
utilizada será
p ⇐⇒ q
que pode ser lida como “p, se e somente se, q.” ou “p é equivalente a q”. Os itens a) e
b) do Exemplo 1.11 representam proposições equivalentes.
Os símbolos de implicação e equivalencia são muito utiliados na representação de
diversos tipos de teoremas, como veremos na Seção 1.4, pois nesses casos, sabe-se que
os resultados apresentados são verdadeiros, o que confere o valor lógico V às proposições compostas que formam os teoremas.
Nesse capítulo, apenas os conceitos e resultados estudados até aqui já darão bom
subsídio para o entendimento dos tópicos apresentados nos próximos capítulos, especialmente no que se refere à criação de uma capacidade demonstrativa de resultados
matemáticos. Contudo, mais detalhes e resultados sobre Lógica Matemática podem ser
obtidos em nossas referências [1, 2, 3, 4].
1.2. Axiomas e tipos de Teorema
7
1.2 Axiomas e tipos de Teorema
Muitas ciências importantes como a Química, Física e Biologia, denominadas exatas
empíricas, fazem algumas de suas demonstrações por meio de observações experimentais e testes. Esse não é o caso da Matemática, onde observações experimentais servem,
apenas, para “indicar” ou “nos questionar” se determinado conjunto apresenta uma
certa propriedade, mas isso não é aceito como demonstração.
Como exemplo, observe a sequência de igualdades:
4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7, 16 = 5 + 11, 18 = 7 + 11
Nela, percebe-se que todos os números pares maiores que 2 e menores ou iguais a
18, foram escritos como soma de dois números primosi . Se continuarmos a pegar os
próximos números pares maiores que 18, veremos que é possível escrevê-los, também,
como soma de dois primos. Isso “indica” que:
Todo número par maior que 2 pode ser escrito como a soma de dois números primos.
(Conjectura de Goldbach)
O termo “indica” significa que essa propriedade talvez seja verdadeira, pois para todos os casos testados até um determinado valor, ela funcionou. Contudo, como existem
infinitos números pares maiores que 2, para que se tenha certeza que esse resultado é
sempre verdadeiro, é necessário demonstrar que qualquer um desses infinitos números
pode ser escrito como soma de dois primos.
É claro que, como o conjunto de valores a serem testados é infinito, nesse caso,
não é possível testar todos da forma como foi feito na sequência de igualdade acima.
Isso significa, que para se demonstrar esse resultado é necessário se pensar em uma
forma que possibilite provar a propriedade para todos os casos possíveis, sem ter que
considerar número por número.
Saber demonstrar que alguns resultados são verdadeiros, ou procurar formas de
demonstrar que alguns são falsos é de extrema importância na matemática, mesmo que
o resultado pareça obviamente verdadeiro, ou falso. Aliás, tome cuidado com isso, pois
muitas vezes você pode se deparar com um resultado que aparentemente é verdadeiro,
mas que na realidade pode ser falso. Um ótimo exemplo para ilustrar esse fato é a
proposição:
O conjunto dos números naturais, N = {1, 2, 3, 4, . . .}, possui mais elementos do que
o conjunto dos números pares positivos, P = {2, 4, 6, 8, . . .}.
Apesar da proposição anterior aparentar, obviamente, ter o valor lógico V , é possível
utilizar um resultado matemático, relativo à bijeção de funções, para provar que, na
realidade, seu valor lógico é F e que esses dois conjuntos possuem a mesma quantidade
de elementos. Mais detalhes em [7, p. 9-10].
Sendo assim, é necessário não se deixar levar pelas aparências de que uma proposição deve ser obviamente verdadeira ou falsa.
Para se poder pensar em como se fazer uma determinada demonstração, é necessário, antes de tudo, conhecer as principais técnicas demonstrativas, e esse será o principal
i
Números inteiros positivos maiores do que 1 e com exatamente dois divisores: 1 e ele mesmo. Mais
detalhes sobre esses números podem ser obtidos em [5, 6].
8
Capítulo 1. Introdução às Técnicas de Demonstração
objetivo da Seção 1.4. Antes disso, apresentamos algumas definições importantes e
uma tabela com os principais símbolos matemáticos usados nesse texto.
Definição 1.5 (Axioma) É uma proposição que se assume como verdadeira e que não
precisa de prova.
Os axiomas e definições teóricas são usados para demonstrar vários resultados:
Teoremas, Proposições, Corolários e Lemas.
Definição 1.6 (Teorema) É uma proposição que pode ser demonstrada a partir de definições e axiomas, e também por teoremas já demonstrados.
Os teoremas podem ser divididos em categorias, de acordo com a importância do
resultado:
Definição 1.7 (Proposição) É um teorema de menor destaque.
Definição 1.8 (Corolário) Resultado facilmente obtido como consequência de um teorema ou proposição.
Definição 1.9 (Lema) Resultado obtido com a finalidade de auxiliar na demonstração
dos teoremas ou proposições.
Mas como saber se um resultado será um teorema, proposição ou corolário?
Não existe uma regra que permita mensurar a importância de um resultado. Por isso,
um mesmo resultado pode aparecer como teorema em um texto, proposição em outro
texto e até mesmo como corolário.
Além dos termos já definidos anteriormente, em matemática dois outros termos
figuram constantemente e seus significados são pouco conhecidos: conjectura e paradoxo.
Definição 1.10 (Conjectura) É um resultado que acredita-se ser válido, mas que ainda
não foi demonstrado. Se a demonstração for feita, passará a ser um teorema.
Um exemplo famoso é a já discutida Conjectura de Goldbach, que ainda não possui
demonstração, apesar de que todos os testes já feitos para números pares extremamente
grandes tenham indicado que ela seja verdadeira. Uma referência muito interessante, e
que narra a tentativa de uma vida inteira de um matemático grego em demonstrar esse
resultado é o livro “Tio Petros e a Conjectura de Goldbach” [8].
Definição 1.11 (Paradoxo) É uma declaração aparentemente verdadeira que leva a uma
contradição lógica, ou a uma situação que contradiz a intuição comum.
Exemplo 1.12 Observem dois exemplos de paradoxos:
a) O melhor improviso é aquele que é melhor preparado.
b) O queijo suíço é conhecido por ter muitos buracos. Assim, quanto mais queijo,
mais buracos. Porém quanto mais buracos, menos queijo. Logo, quanto mais
queijo, menos queijo!
1.3. Principais símbolos utilizados
9
1.3 Principais símbolos utilizados
A matemática moderna é essencialmente uma ciência simbólica. Na seção anterior,
vários símbolos matemáticos foram apresentados e, além deles, muitos outros serão
utilizados indiscriminadamente em todo o restante do texto desse livro.
Uma lista com os principais símbolos aqui utilizados, juntamente com seus significados, é apresentada na Tabela 4.
Tabela 4 – Principais símbolos matemáticos utilizados nesse livro e seus respectivos
significados.
Símbolo
∀
∈
∉
∃
@
∃!
⊂
6⊂
⊆
⊃
6⊃
⊇
(
)
t q ; ou |
ie
ou c.q.d
∴
:=
=⇒
⇐⇒
=⇒
/
;
N
Z
Q
I
R
C
Significado
Para todo
Pertence
Não pertence
Existe
Não existe
Existe um único
Está contido
Não está contido
Está contido ou é igual
Contém
Não contém
Contém ou é igual
Está contido e é diferente (subconjunto próprio)
Contém e é diferente (subconjunto próprio)
Tal que
Isto é
Fim de uma demonstração (lê-se: como queríamos demonstrar)
Portanto (ou: logo)
é igual por definição
implica que (ou: Se... então)
é equivalente a (ou: Se, e somente se)
Não implica que
Conjunto vazio
Conjunto dos números naturais
Conjunto dos números inteiros
Conjunto dos números racionais
Conjunto dos números irracionais
Conjunto dos números reais
Conjunto dos números complexos
Na próxima seção passaremos para o entendimento de algumas das principais
técnicas de demonstração.
Capítulo 1. Introdução às Técnicas de Demonstração
10
1.4 Técnicas de demonstração
Teoremas, proposições, corolários, lemas e conjecturas sempre são apresentados como
relações de implicação ou de equivalência, ie, p =⇒ q ou p ⇐⇒ q. Caberá ao leitor a
função de identificar qual parte do teorema é a hipótese, p, e qual é a tese, q. Vejamos
alguns exemplos:
Exemplo 1.13
a) (Teorema de Pitágoras) Se a é a hipotenusa e b e c são os catetos de um triângulo
retângulo, então a 2 = b 2 + c 2 . Nesse teorema, tem-se que:
− Hipótese (H ): a é a hipotenusa e b e c são os catetos de um triângulo retângulo;
− Tese (T ): a 2 = b 2 + c 2 .
b) (Conjectura de Goldbach) Todo número par maior do que 2 é a soma de dois números
primos. Então:
− Hipótese (H ): número par maior do que 2;
− Tese (T ): é a soma de dois números primos.
Demonstração Direta
É a mais natural técnica de demonstração. Para o caso p =⇒ q, se baseia em considerar que a hipótese p é verdadeira e, a partir disso, com base em uma sequência de
argumentos lógicos verdadeiros, concluir que a tese q também é verdadeira.
Já no caso p ⇐⇒ q, basta lembrar que ela pode ser considerada como p =⇒ q e
q =⇒ p, sendo que, cada um desses casos deve ser verificado conforme descrito no
parágrafo anterior.
Observação 1.4 (Ida e Volta) No caso p ⇐⇒ q, é comum denominarmos a demonstração da parte p =⇒ q de “ida” e da parte q =⇒ p de “volta”. Portanto, no caso de uma
relação de implicação deve-se demonstrar apenas a ida, e, no caso de uma relação de
equivalência deve-se demonstrar a ida e a volta.
Vejamos dois exemplos da aplicação desse método de demonstração, um para uma
afirmação implicativa e outro para uma afirmação de equivalência. Mas, antes disso,
como parte do raciocínio lógico a ser utilizado nessa seção, apresentamos o conjunto
dos números inteiros
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
juntamente com uma definição muito importante.
Definição 1.12 Seja x um número inteiro par e y um número inteiro ímpar. Então:
a) ∃ n 1 inteiro tq x = 2n 1 .
Por exemplo:
−6 = 2 · (−3), −2 = 2 · (−1), 0 = 2 · 0, 2 = 2 · 1, 8 = 2 · 4, 22 = 2 · 11, . . .
1.4. Técnicas de demonstração
11
b) ∃ n 2 inteiro tq y = 2n 2 + 1.
Por exemplo:
−7 = 2 · (−4) + 1, −3 = 2 · (−2) + 1, 1 = 2 · 0 + 1, 5 = 2 · 2 + 1, 9 = 2 · 4 + 1, . . .
Exemplo 1.14 Demonstre que se x é um número par, então x 2 também é par.
Essa afirmação é do tipo p =⇒ q, onde p : x é um número par positivo, e q : x 2
também é par. Sendo assim, para demonstrar esse resultado de forma direta, devese assumir que p é verdadeira e, então, usar argumentos lógicos para concluir que q
também será verdadeira.
Demonstração: Considere x um número par positivo qualquer. Então, existe um
inteiro positivo n tq x = 2n. Logo, pode-se escrever que
x 2 = (2n)2 = 22 · n 2 = 2 · 2 · n 2 = 2(2 · n 2 ).
Observe, ainda, que como n é um inteiro positivo, pode-se considerar que n 2 também é inteiro positivo e que, portanto, t = 2 · n 2 também será. Então, vem que
x 2 = 2t ,
o que implica que x 2 é par.
Exemplo 1.15 Se y é um número inteiro qualquer. Mostre que y 2 = y ⇐⇒ y = 0 ou y = 1.
Nesse caso, tem-se uma equivalente (que, nesse caso, podemos chamar de bicondicional), o que implica que deve-se demonstrar a ida (=⇒) e a volta (⇐=), ie, assumir
que y 2 = y e concluir que y = 0 ou y = 1. Logo depois, deve-se admitir como verdade
que y = 0 ou y = 1 e concluir que y 2 = y.
Demonstração:
(=⇒) Considere que y 2 = y. Então, subtraindo y de ambos os lados da equação, vem
que
y 2 − y = 0.
Colocando-se y em evidência do lado esquerdo da última equação, tem-se
y(y − 1) = 0,
que implica que deve-se ter y = 0 e y − 1 = 0.
∴ y = 0 ou y = 1,
o que prova a ida.
(⇐=) Agora, consideremos que y = 0 ou y = 1. Então, para y = 0 segue que y 2 = 02 =
0 = y e para y = 1 tem-se que y 2 = 12 = 1 = y, provando que se y 2 = y em ambos os
casos, ou seja, demonstrou-se a volta.
Como a ida e a volta foram provadas, conclui-se que o resultado está demonstrado.
Capítulo 1. Introdução às Técnicas de Demonstração
12
Demonstração Indireta/Redução ao Absurdo
Não é incomum tentar-se demonstrar um resultado de forma direta e não obter sucesso.
Uma das formas de fugir desse fracasso é utilizar a demonstração indireta, também chamada de redução ao absurdo e de demonstração por absurdo. Nela, para se demonstrar
uma condicional p =⇒ q, deve-se:
Supor que p é verdadeira e que q é falsa, ou seja, supor a negação de q, e a partir
daí, usando argumentos lógicos verdadeiros, chegar a uma contradição. A contradição
será gerada pelo fato de se assumir que a tese é falsa, o que implica que ela deve ser
verdadeira. Por isso, o nome demonstração por absurdo!
Portanto, na demonstração por absurdo, assume-se o oposto do que se quer provar
e, ao se chegar a uma contradição, a prova é finalizada.
Exemplo 1.16 Demonstre que se x 2 é par, então x é par.
Demonstração: Considere que x 2 é par e suponha, por absurdo, que x é ímpar.
Então, ∃ n inteiro tq x = 2n + 1 e, portanto
x 2 = (2n + 1)2 = (2n + 1)(2n + 1) = 4n 2 + 4n + 1 = 2(2n 2 + 2n) + 1,
que leva a
x 2 = 2t + 1, onde t = 2n 2 + 2n.
Tem-se, então, que x 2 é ímpar, que é um ABSURDO, pois por hipótese x 2 é par.
Perceba que o absurdo veio do fato de se ter admitido que x é ímpar, o que leva a
concluir que x é par. Logo, a demonstração está encerrada!
Demonstração pelo Princípio da Indução Finita
A técnica de demonstração denominada Princípio da Indução Finita serve para provar
se uma determinada afirmação P (n) é válida para todos os números naturais n, a partir
de um determinado n 0 , sem a necessidade de realizar a prova para cada uma deles, o
que seria impossível.
A técnica funciona da seguinte forma:
1. Mostrar que P (n 0 ) é verdadeira, ou seja, que a proposição é válida para o número
natural n 0 .
2. Supondo a afirmação verdadeira para algum natural k > n 0 (ie, admitir que P (k)
verdadeira), deve-se mostrar que P (k + 1) também é verdadeira.
Se essas condições forem assim verificadas, fica demonstrado que a afirmação P (n)
é válida ∀ n ≥ n 0 .
Observação 1.5 Denomina-se a afirmação P (k) por hipótese de indução (HI) e a afirmação P (k + 1) por tese de indução (TI). Portanto, no passo 2 deve-se admitir que a HI é
verdadeira e, com isso, provar que a TI também é.
Exemplo 1.17 Demonstre que 1 + 2 + 3 + · · · + n =
n(n + 1)
∀ n natural.
2
1.4. Técnicas de demonstração
13
Demonstração:
i) Provando que P (1) é verdadeira: Se n = 1, significa que o lado esquerdo da igualdade é 1 e, no lado direito, basta trocarmos n por 1, obtendo
P (1) : 1 =
1(1 + 1)
= 1,
2
o que prova que P (1) é verdadeira.
ii) Provando que P (k +1) é verdadeira desde que P (k) também seja: Considere que
P (k) é válida para algum natural k > 1, ou seja
(H I ) P (k) : 1 + 2 + 3 + · · · + k =
k(k + 1)
.
2
Queremos provar que vale a TI, ou seja, que
P (k + 1) = 1 + 2 + 3 + · · · + (k + 1) =
(k + 1)(k + 2)
.
2
De fato, temos que
1 + 2 + 3 + · · · + (k + 1) = 1
| + 2 + 3{z+ · · · + k} +(k + 1)
HI
k(k + 1)
+ (k + 1)
2
k(k + 1) + 2(k + 1)
=
2
(k + 1)(k + 2)
=
2
=
Portanto, ao assumirmos que P (k) é verdadeira, provamos que P (k + 1) também
é. Logo, a proposição é válida ∀ n natural.
Contra Exemplo
Até aqui, nos preocupamos com técnicas de demonstração, e, portanto, sempre com
o objetivo de provar que uma determinada proposição é verdadeira. Contudo, nem
sempre uma proposição será verdadeira, e por isso, deve-se entender bem o que é
chamado de Contra Exemplo.
Para provar que uma proposição é verdadeira, é necessário demonstrar que ela é
válida para todos os valores descritos na hipótese. No entanto, para verificar que ela é
falsa, basta encontrar um caso onde ela não se verifica, e é esse caso que recebe o nome
de Contra Exemplo.
Exemplo 1.18 Considere a proposição:
“Todo número da forma 3n sendo n um número natural qualquer é menor do que 1243.”
Se ela for verdadeira, demonstre-a e se for falsa, apresente um contra exemplo.
Capítulo 1. Introdução às Técnicas de Demonstração
14
Resolução: Ora, a proposição afirma que 3n < 3243 para qualquer número natural
n. Contudo, observe que se n = 415 tem-se que
3n = 3 · 415 = 1245 > 1243,
que demonstra que a proposição é falsa. Nesse caso, dizemos que n = 415 é um contra
exemplo para essa proposição.
Apesar de existirem outros métodos de demonstração, nessa seção discutimos três
deles, pois são eles os que serão mais utilizaremos nesse livro. Contudo, tão importante
quanto conhecer os métodos é: ler muito bem seu enunciado, entendendo cada uma das
informações dadas; conseguir identificar claramente a hipótese e a tese, afim de se ter
em mente o que se poderá utilizar como verdade e o que se quer demonstrar; conseguir
aplicar o resultado em casos particulares (substituindo alguns valores por exemplo)
para ganhar familiaridade com o problema e, finalmente, usar, e muito, a imaginação
para conseguir caminhos alternativos que facilitem a execução da demonstração.
1.5 Exercícios
1. Considere cada uma das proposições apresentadas e representadas por P . Obtenha ∼ P , isto é, a negação de P .
a) P : x é múltiplo de 5 e (x + 4) é múltiplo de 7.
b) P : Henrique é mineiro e Mario não é bahiano.
c) P : A caneta não é azul ou o lápis não tem ponta.
d) P : y é um número par ou y − 3 é ímpar.
e) P : Todo prédio tem janelas.
f) P : A blusa é azul OU o sapato é preto.
g) P : Todo número primo é ímpar.
h) P : x > 3 e y ≤ 0.
i) P : x é par ou y não é par.
2. Para cada proposição abaixo, indique qual parte representa a hipótese (H) e qual
representa a tese (T).
a) Se p é um número primo, então p ≥ 2.
b) (Princípio das Gavetas de Dirichlet) Se n objetos foram colocados em, no
máximo, n − 1 gavetas, então pelo menos uma delas conterá pelo menos
dois objetos.
c) (Conjectura de Goldbach) Todo número par maior do que 2 é a soma de
dois números primos.
d) Se x 2 + x = 0, então x 1 = 0 e x 2 = −1.
e) (Teorema das quatro cores) Para cada subdivisão do plano em regiões não
superpostas, é sempre possível colorir as regiões usando apenas 4 cores, de
forma que regiões com fronteira comum não tenham a mesma cor.
3. Obtenha a recíproca de cada afirmação abaixo. Além disso, determine o valor
lógico da afirmação e da sua recíproca.
1.5. Exercícios
15
a) P ⇒ Q : Se x é um número natural e x 2 = 2, então x ≥ 4.
b) P ⇒ Q : Se o céu não está nublado há sol.
c) P ⇒ Q : Se uma caneta não é azul, então ela é vermelha.
d) P ⇒ Q : Se x é um número par, então ele é múltiplo de 4.
e) P ⇒ Q : Se y é um natural, então ele também é inteiro.
4. Determine se cada proposição é condicional ou bicondicional. No caso das condicionais, identifique hipótese e tese, e para as bicondicionais, apresente a “ida” e
a “volta”.
a) Se 3 + 3 = 5, então o círculo é um quadrado.
b) Se x é par, então x 3 é par.
c) Se um polígono é um quadrado, então ele é um retângulo.
d) Um número qualquer α é racional se, e somente se, α2 também é racional.
e) n é par se, e somente se, n + 1 é par.
5. Usando demonstração por absurdo, prove que:
a) Se x 2 é ímpar, então x é ímpar.
b) Se n 2 é par, então n é par.
c) Se um número k somado a ele mesmo é igual k, então esse número é zero.
6. Apresente um contra exemplo para cada proposição:
a) Se n é par, então n + 1 é par.
b) Se x é ímpar, então x − 1 é ímpar.
c) Todo número ímpar é múltiplo de 5.
d) Se a · b é múltiplo de 6, então a ou b tem que ser múltiplo de 6.
e) Todo número da forma (x 2 − x + 41), sendo x qualquer número natural, é
primo.
7. Demonstre o item c) do Exercício 5 pela técnica de demonstração direta.
8. Usando demonstração direta, prove que:
a) Se y é um número par, y 3 também é par.
b) O produto de dois números pares é par.
c) O produto de dois números ímpares é ímpar.
d) A soma de dois números pares é par.
e) A soma de dois números ímpares é par.
9. Usando demonstração por indução finita, prove que ∀ n natural vale que:
a) P (n) : 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n − 1) = n 2 .
b) P (n) : 3 + 11 + 19 + · · · + (8n − 5) = 4n 2 − n.
¡ ¢
c) P (n) : 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + n(n + 1) = n3 (n + 1) (n + 2).
Capítulo 1. Introdução às Técnicas de Demonstração
16
10. Sendo p a proposição: Paulo é paulista, e q a proposição: Ronaldo é carioca,
traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições:
a) ∼ q
b) p ∧ q
c) p ∨ q
d) p −→ q
e) p −→ (∼ q)
11. Seja p a proposição: Roberto fala inglês, e q a proposição: Ricardo fala italiano.
Traduza para a linguagem simbólica as seguintes proposições:
a) Roberto fala inglês e Ricardo fala italiano.
b) Roberto não fala inglês ou Ricardo fala italiano.
c) Se Ricardo fala italiano então Roberto fala inglês.
d) Roberto não fala inglês e Ricardo não fala italiano.
12. (UFB) Se p é uma proposição verdadeira, então:
a) p ∧ q é verdadeira, qualquer que seja q.
b) p ∨ q é verdadeira, qualquer que seja q.
c) p ∧ q é verdadeira só se q for falsa.
d) p −→ q é falsa, qualquer que seja q.
e) n.d.a.
13. (MACK) Duas grandezas x e y são tais que “se x = 3 então y = 7”. Pode-se concluir
que:
a) se x 6= 3 antão y 6= 7
b) se y = 7 então x = 3
c) se y 6= 7 então x 6= 3
d) se x = 5 então y = 5
e) se x = 7 então y = 3
14. (UGF) A negação de x > −2 é:
a) x > 2
b) x 6= −2
c) x ≤ −2
d) x < 2
15. (ABC) A negação de todos os gatos são pardos é:
a) nenhum gato é pardo;
b) existe gato pardo;
c) existe gato não pardo;
d) existe um e um só gato pardo;
e) nenhum gato não é pardo.
16. (ABC) A negação de o gato mia e o rato chia é:
a) o gato não mia e o rato não chia;
b) o gato mia ou o rato chia;
c) o gato não mia ou o rato não chia;
d) o gato e o rato não chiam nem miam;
e) o gato chia e o rato mia.
e) x 6= 2
1.5. Exercícios
17
17. Duas grandezas A e B são tais que “se A = 2 então B = 5”. Pode-se concluir que:
a) se A 6= 2 antão B 6= 5
b) se A = 5 então B = 2
c) se B 6= 5 então A 6= 2
d) se A = 2 então B = 2
e) se A = 5 então B 6= 2
18. (VUNESP) Um jantar reúne 13 pessoas de uma mesma família. Das afirmações a
seguir, referentes às pessoas reunidas, a única necessariamente verdadeira é:
a) pelo menos uma delas tem altura superior a 1, 90m;
b) pelo menos duas delas são do sexo feminino;
c) pelo menos duas delas fazem aniversário no mesmo mês;
d) pelo menos uma delas nasceu num dia par;
e) pelo menos uma delas nasceu em janeiro ou fevereiro.
19. Usando a demonstração por indução finita, mostre que para qualquer inteiro
positivo n, vale que 22n − 1 é divisível por 3.
20. Pensando logicamente: Temos 8 moedas e uma balança de pratos. As moedas
são exatamente iguais, exceto uma que é falsa (mais leve do que as outras 7, que
possuem o mesmo peso). Como se pode identificar com absoluta certeza a moeda
falsa, usando a balança apenas 2 vezes?
CAPÍTULO
Teoria Elementar dos Conjuntos
2.1 Conjuntos
Consideramos que conjunto é o mesmo que coleção ou classe. Um conjunto é formado
por objetos, que de modo genérico são chamados de elementos.
Notação
• Conjuntos são geralmente denotados por letras maiúsculas: A, B,C , ...
• Elementos são geralmente denotados por letras minúsculas: a, b, c, ...
Definição 2.1 (Relação de pertinência) Se um objeto a é elemento de um conjunto K ,
dizemos que “a pertence a K ” e denotamos essa relação pori
a ∈K.
Caso contrário, dizemos que “a não pertence a K ” e escrevemos
a ∉K.
Exemplo 2.1 Se A é o conjunto das vogais, seus elementos são: a, e, i , o, u. Logo, pode-se
escrever que i ∈ A e b ∉ A.
Descrição de um Conjunto
Geralmente são usados três procedimentos para definir um conjunto:
1. Descrevendo seus elementos por uma sentença.
Exemplo 2.2
(a) Conjunto dos números inteiros.
(b) Conjunto dos meses do ano.
i
Observe que a Definição 2.1 garante que as notações ∈ e ∉ são específicas para relacionar um
elemento com um conjunto, e não, conjunto com conjunto.
2
Capítulo 2. Teoria Elementar dos Conjuntos
20
2. Listando seus elementos entre chaves.
Exemplo 2.3
(a) Conjuto das vogais: {a, e, i , o, u}
(b) Conjunto dos números ímpares menores que 11 e maiores ou iguais a
3: {3, 5, 7, 9}
Observação 2.1 Se o conjunto for infinito (ou seja, possuir uma quantidade infinita de elementos) esta notação também pode ser empregada, bastando escrever
alguns elementos que evidenciem a lei de formação para seus elementos e em
seguida colocar reticências.
Exemplo 2.4
(a) Conjunto dos ímpares positivos: {1, 3, 5, 7, 9, ...}
(b) Conjunto dos primos positivos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
Observação 2.2 Se o conjunto for finito com grande número de elementos, escrevese alguns deles, usa-se reticências e indica-se o(s) último(s) elemento(s).
Exemplo 2.5 Conjunto dos ímpares de 3 a 501: {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ..., 501}
3. Indicando uma propriedade que caracteriza os elementos.
Exemplo 2.6
a) A = {x | x é inteiro e x > 3}, que se lê: A é o conjunto dos elementos x, tal
que x é inteiro e x > 3.
©
ª
b) B = y | y é real e 1 < y < 9 , que se lê: B é o conjunto de elementos y, tal
que y é real e está entre 1 e 9 (ou, y é maior do que 1 e menor do que 9).
©
ª
c) C = t | t goza da propriedade P . Nesse último exemplo, C representa um
conjunto genérico, cujos elementos foram representados por t , e que devem
gozar de uma determinada propriedade P .
Alguns conjuntos numéricos são tão importantes que recebem notações especiais.
Nesse capítulo, conheceremos os que mais utilizaremos nesse texto: Naturais, Inteiros,
Racionais, Irracionais e Reais.
2.2 Conjunto dos números naturais (N)
É o conjunto formado pelos números que surgiram naturalmente da necessidade do
homem de efetuar contagem de objetos. Sendo assim, define-se:
N = {1, 2, 3, 4, . . .}
2.3. Conjunto dos números inteiros (Z)
21
Observação 2.3 Diferentemente do que você pode estar acostumado, nesse texto não
consideraremos o número 0 (zero) como natural. Isso porque, historicamente, apesar da
sua origem ser incerta, ele surgiu bem depois da criação dos principais símbolos usados
para contagem, para representar a ausência de quantidade. Por isso definiremos que o
primeiro número natural é o 1. Mais detalhes em [5, p. 20-22].
Nesse texto, quando quisermos nos referênciar ao conjunto formado por todos os
números naturais e também pelo 0, usaremos a notação N0 , isto é
N0 = {0, 1, 2, 3, . . .}
Uma característica importante de N é que ele é fechado para as operações de adição
(soma) e multiplicação (produto), ou seja, para todo par de números naturais vale
que a adição e a multiplicação entre eles também são números naturais. Em termos
matemáticos, isso é representado por
(a + b) ∈ N e a · b ∈ N, ∀ a, b ∈ N.
Contudo, mesmo que para alguns casos particulares esse fechamento também seja
válido para a subtração (diferença) de números naturais, como por exemplo
4 − 3 = 1 ∈ N e 8 − 5 = 3 ∈ N,
percebe-se facilmente que isso não vale de maneira geral, conforme descrito a seguir
5 − 5 = 0 ∉ N e 9 − 13 = −4 ∉ N.
2.3 Conjunto dos números inteiros (Z)
Para obter-se um conjunto fechado também para a subtração, adicionou-se ao conjunto N o número zero e cada um dos simétricos (ou opostos) desse conjunto, isto é,
−1, −2, −3, . . ., obtendo assim o chamado conjunto dos números inteiros, representado
por:
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
= {0, ±1, ±2, ±3, . . .}
Sendo assim, o conjunto Z dos números inteirosii é fechado para a adição, subtração
e multiplicação, ou seja:
(a + b) ∈ Z,
(a − b) ∈ Z e a · b ∈ Z, ∀ a, b ∈ Z.
Observe também, que para a divisão o conjunto dos inteiros não é fechado. Como
exemplos desse não fechamento, pode-se considerar
7
5
1
∉ Z e 5 : 10 =
= ∉ Z.
3
10 2
O próximo conjunto a ser apresentado tem como uma de suas finalidade eliminar
esse problema.
7:3=
ii
O símbolo Z é derivado da palavra Zahlen, em alemão, que significa algarismo.
Capítulo 2. Teoria Elementar dos Conjuntos
22
2.4 Conjunto dos números racionais (Q)
Os números racionais surgiram da necessidade de representar partes de um inteiro.
Durante as inundações do Rio Nilo, no Egito Antigo, as terras que ficavam submersas
recebiam muitos nutrientes, dessa forma tornavam-se muito férteis para a agricultura.
Quando as águas baixavam, era necessário remarcar os limites entre os lotes de cada
proprietário. Por mais eficiente que fosse a medida utilizada, dificilmente ela caberia
um número inteiro de vezes na corda (que representava o comprimento de cada lado
de um lote), isso levava a utilização das frações, onde numerador e denominador eram
números inteiros.
O conjunto dos números racionais é definido como
na
o
Q=
| a, b ∈ Z e b 6= 0 .
b
Esse conjunto é fechado para todas as quatro operações elementares: adição, subtração, multiplicação e divisão, isto é
(a + b) ∈ Q,
(a − b) ∈ Q,
a ·b ∈ Q e
a
∈ Q, ∀ a, b ∈ Q.
b
Observação 2.4 Um erro comum em alunos, e até mesmo em professores de matemática,
é admitir que o conjunto
Q é simplesmente o “conjunto das frações”. Observe que, se assim
p
fosse, o número
3
2
como é uma fração, seria um racional. Contudo, essa afirmação é
p
falsa, já que é possível provar que 23 não pode ser escrito como o quociente de inteiros,
como é exigido na definição de Q. Portanto, não se esqueça, um número será racional se,
e somente se, puder ser escrito como quociente de inteiros.
Exemplo 2.7 Segue alguns exemplos de números racionais.
a) 0, 5 ∈ Q pois 0, 5 = 21 .
.
b) −1, 47 ∈ Q pois −1, 47 = − 147
100
c) 0, 4444444... ∈ Q pois 0, 444444... = 49 .
d) 7 ∈ Q já que 7 = 17 .
e) Se a ∈ Z então a ∈ Q, pois a = a1 .
De maneira geral, temos que todos os números inteiros (e portanto, todos os naturais) são racionais. Além disso, todos os decimais exatos e dízimas periódicas também
são racionais, já que sempre poderão ser escritos como quociente de inteiros com
denominador não nulo. Você se lembra o que é, exatamente, uma dízima periódica? E
de como proceder para escrever uma dízima periódica como quociente de inteiros?
Fração geratriz
Antes de discutirmos o que é uma fração geratriz, vamos relembrar o que é uma dízima
e uma dízima periódica.
Definição 2.2 (Dízima) É todo número que quando escrito no sistema decimal apresenta
infinitas casas decimais.
2.4. Conjunto dos números racionais (Q)
23
Exemplo 2.8
a) 2,343434. . .
b) 1,10100100010000. . .
c) 0,171717. . .
d) -5,14213213213. . .
e) π = 3, 1415926535 . . .
f) -1,00323232. . .
Definição 2.3 (Dízima periódica) É toda dízima em que, a partir de algum ponto da
parte decimal, começa a ocorrer a repetição infinita de um ou mais algarismos. Ao
conjunto de algarismos que se repete infinitamente, denomina-se período.
Exemplo 2.9 No Exemplo 2.8, apenas os itens a), c), d) e f) são dízimas periódicas, cujos
períodos são, respectivamente, 34, 17, 213 e 32.
Observação 2.5 Nos itens a) e c) do Exemplo 2.8, observe que o período começa logo
depois da vírgula. Esse típo de dízima é chamada de dízima periódica simples. Quando
existir um algarismo (ou conjunto de algarismos) entre a vírgula e o período, ele será
denominado antiperíodo ou parte não periódica, e a dízima com essa característica,
como as dos itens d) e f ), são chamadas de dízimas periódicas compostas.
Definição 2.4 (Fração geratriz) Chama-se de fração geratriz, ou simplesmente geratriz, toda fração da forma p/q com p, q ∈ Z∗ onde a divisão de p por q gera uma dízima
periódica.
Exemplo 2.10 Como
0, 44444 . . ..
4
9
= 0, 44444 . . ., dizemos que
4
9
é a geratriz da dízima periódica
Obtendo a geratriz
Consideremos a dízima periódica simples 0, 51515151 . . .. Para obter sua geratriz podemos considerar que
x = 0, 51515151 . . .
(2.1)
Multiplicando a Equação (2.1) por 100, vem que
100x = 51, 51515151 . . .
(2.2)
Subtraindo a Equação (2.1) da Equação (2.2) chega-se a
99x = 51 =⇒ x =
51
99
Das Equações (2.3) e (2.1), conclui-se que
51 17
= ,
99 33
ou seja, a geratriz procurada é a fração 51/99 ou, na forma irredutível, 17/33.
0, 51515151 . . . =
(2.3)
Capítulo 2. Teoria Elementar dos Conjuntos
24
Observe que o numerador da geratriz é exatamente o período da dízima periódica e
que a quantidade de algarismos 9 no seu denominador é igual ao número de algarismos
do seu periodo, ou seja, dois. Isso não é coincidência!
Observação 2.6 A geratriz p/q de uma dízima periódica simples, com parte inteira
igual a zero, é tal que: p é igual ao seu período e q é formado por algarismos 9, na mesma
quantidade de algarismos do período.
Exemplo 2.11
a) 0, 111111... = 19 ,
73
b) 0, 7373 . . . = 99
,
c) 0, 291291291 . . . = 291
.
999
Se a dízima periódica simples tiver parte inteira diferente de zero, basta obter a
geratriz apenas da parte decimal (como já foi descrito na Observação 2.6) e somar esse
resultado com sua parte inteira.
Exemplo 2.12 2, 7777 . . . = 2 + 0, 7777 . . . = 2 + 79 = 25
.
9
No caso onde se quiser obter a geratriz de uma dízima periódica composta, a fração
p/q será construída da forma:
- p será gerado pela parte inteira seguida do antiperíodo seguido do período, menos
a parte inteira junto com o antiperíodo.
- q será gerado por uma quantidade de 9 igual à quantidade de algarismos do período, seguida da quantidade de zeros que será igual à quantidade de algarismos
do antiperíodo.
Exemplo 2.13 Obtenha a geratriz da dízima periódica composta: 4, 256161616161 . . .
Resolução:
Para essa dízima tem-se que:
Parte inteira = 4, antiperíodo = 25 e período = 61. Logo:
p 42561 − 425
p 42136 10534
=
=⇒ =
=
q
9900
q
9900
2475
∴ A geratriz de 4, 256161616161 . . . é
42136
10534
, ou na forma irredutível,
.
9900
2475
Observação 2.7 O método apresentado para dízimas periódicas compostas também é
válido para as dízimas periódicas simples. Por isso, ele é constantemente chamado de
método geral de obtenção da geratriz.
2.5. Conjunto dos números irracionais (I)
25
2.5 Conjunto dos números irracionais (I)
Aos números que não podem ser escritos como números racionais, ou seja, como
quociente de inteiros com denominador não nulo, denominamos números irracionais.
Sua representação nesse livro será:
©
ª
I= x | x ∉Q
De maneira bem simples, pode-se dizer que o conjunto dos irracionais é formado
pelos números que apresentam representação decimal infinita e não periódica, já que
os que não se enquadram nessa categoria, já são, obviamente, racionais.
Exemplo 2.14 Alguns irracionais são bem presentes em nossas vidas acadêmicas. Alguns
deles são apresentados a seguir:
a) π (lê-se: pi) é, possivelmente, o mais famoso número irracional. Ele é a constante
obtida quando se faz a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu
diâmetro, gerando sempre o valor π = 3, 14159265358979323846 . . ., com parte
decimal não periódica. Como sua representação decimal é infinita, é comum
usar-se uma aproximação para seu valor, dada por π ∼
= 3, 14. Mais detalhes podem
ser obtidos em [9, 10, 11, 12].
b) e, o número de Euler (que se pronuncia como Oiler), cuja representação decimal
e não periódica é dada por e = 2, 718281828459 . . . e surgiu na construção dos
logaritmos, sendo muito útil na matemática pura e aplicada, em especial, no
cálculo diferencial e integral. Vide [10, 11] para mais informações.
c) O número de ouro, representado pela letra grega ϕ (lê-se: fi), é outro exemplo
importante de número irracional. É possível verificar que ϕ = 1, 6180399 . . . ou de
outra forma
p
1+ 5
ϕ=
.
2
Ele tem relação direta com grandes monumentos construídos pelo homem, em
especial, ele número foi utilizado na construção das pirâmides de Gizé e do Partenon Grego. Ele também aparece na natureza, sendo encontrado em moluscos
náuticos e na couve flor, além de muitas outras aparições interessantes. Para mais
detalhes, vide [13, 14, 15].
p
d) Também é possível provar que p ∈ I, ∀ p primo, ou seja, para todo número
inteiro positivo que tenha apenas dois divisores distintos. Exemplos:
p p p p
p
2, 3, 5, 7 e 11.
A referência [16] apresenta demonstrações interessantes de que alguns dos exemplos acima são, de fato, irracionais. Além disso, também são discutidas as construções dos racionais e dos irracionais, e suas respectivas operações.
2.6 Conjunto dos números reais (R)
Ao conjunto formado por todos os números racionais juntamente com os irracionais é
denominado conjunto dos números reais, cuja representação é:
©
ª
R = x | x ∈ Q ou x ∈ I
(2.4)
Capítulo 2. Teoria Elementar dos Conjuntos
26
Observação 2.8 Se A indicar qualquer um dos conjuntos numéricos destacados até aqui,
temos que:
a) A ∗ = A − {0}
b) A + = {x ∈ A | x ≥ 0}, conjunto dos não negativos de A.
c) A − = {x ∈ A | x ≤ 0}, conjunto dos não positivos de A.
d) A ∗+ = {x ∈ A | x > 0}, conjunto dos estritamente positivos de A.
e) A ∗− = {x ∈ A | x < 0}, conjunto dos estritamente negativos de A.
Exemplo 2.15 Considerando A = Z, as notações da Observação 2.8 resultam em:
a) Z∗ = Z − {0} = {±1, ± 2, ± 3, . . .}
b) O conjunto dos inteiros não negativos é representado por
Z+ = {x ∈ Z | x ≥ 0} = {0, 1, 2, 3, . . .} = N0
c) O conjunto dos inteiros não positivos é
Z− = {x ∈ Z | x ≤ 0} = {. . . , − 3, − 2, − 1, 0}
d) O conjunto dos inteiros estritamente positivos é
Z∗+ = {x ∈ Z | x > 0} = {1, 2, 3, . . .} = N
e) E o conjunto dos inteiros estritamente negativos é expresso por
Z∗− = {x ∈ Z | x < 0} = {. . . , − 3, − 2, − 1}
Obviamente, essas representações também são válidas quando se considera os conjuntos Q, I e R.
2.7 Tipos especiais de conjuntos
Nesta seção definiremos os principais tipos de conjuntos e apresentaremos exemplos
de cada um deles.
Definição 2.5 (Conjunto Unitário) Aquele que possui um único elemento.
Exemplo 2.16
a) Conjunto dos divisores inteiros e positivos de 1: {1}.
b) Conjunto das soluções da equação 3x + 1 = 10: {3}.
c) Conjunto dos meses com apenas 28 dias: {fevereiro}.
Definição 2.6 (Conjunto Universo) É aquele ao qual pertencem todos os elementos utilizados em determinado estudo ou assunto, denotado geralmente por U .
Exemplo 2.17
a) Se as soluções de uma equação são reais, o universo é U = R.
2.7. Tipos especiais de conjuntos
27
b) Se quisermos uma solução inteira, o universo é U = Z.
c) Para estudar resultados da Mega Sena, o universo é U = {1, 2, 3, 4, 5, . . . , 60}.
Observação 2.9 Nada impede que, por exemplo, se considere que o universo de soluções
de uma equação é Q, mesmo que suas soluções estejam em Z, pois todo inteiro é também
racional.
Definição 2.7 (Conjunto Vazio) Para que a linguagem de conjuntos seja melhor trabalhada, aceita-se a existência de um “conjunto sem elementos", denominado conjunto
vazio, e denotado pelos símbolos ; ou { }.
Exemplo 2.18
a) A = {x ∈ Q | x ∉ R} ⇒ A = ;
b) B = {x | x ∈ N e 2 < x < 3} ⇒ B = { }
Observação: ; 6= {;}, ou seja, é errado usar {;} para representar o conjunto vazio.
Definição 2.8 (Conjuntos Iguais) Dois conjuntos, X e Y , são iguais quando possuem os
mesmos elementos. Quando isso ocorrer, representa-se a igualdade por X = Y .
A Definição 2.8 é equivalente a considerar que X = Y quando todo elemento de X
pertence a Y e, reciprocamente, todo elemento de Y pertence a X . Matematicamente
isso pode ser expresso por:
½
∀ x ∈ X , segue que x ∈ Y
X = Y ⇐⇒
,
∀ y ∈ Y , segue que y ∈ X
que significa que, uma forma de provar que dois conjuntos são iguais é mostrar que
i) Todo elemento de X é também elemento de Y .
ii) Todo elemento de Y é também elemento de X .
Exemplo 2.19
a) {1, 2, 3} = {3, 1, 2}
b) {2, 3, 4, 5} = {x ∈ N | 1 < x < 6}
Observação: Se X não é igual a Y , escrevemos X 6= Y . Isso significa que existe pelo
menos um elemento em X que não pertence a Y ou que existe pelo menos um elemento
em Y que não está em X .
Exemplo 2.20
a) {2, 4, 6, 8} 6= {2, 4, 6, 8, 10}
b) Se A = {a, b, c, d , e} e B = {c, d , e}, então A 6= B .
Capítulo 2. Teoria Elementar dos Conjuntos
28
Subconjuntos
Definição 2.9 (Subconjunto) Sejam A e B conjuntos. Dizemos que A é subconjunto de
B se, e somente se, todo elemento de A pertence também a B . O símbolo utilizado é o da
inclusão, ⊂, e a notação será A ⊂ B , indicando que “A é subconjunto de B ", ou “A está
contido em B ", ou “A é parte de B ". Em linguagem matemática:
A ⊂ B ⇐⇒ ∀ x ∈ A ⇒ x ∈ B.
Exemplo 2.21 Sejam A = {−2, − 1, 0, 1, 4} e B = {−3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 4}. Observe que
todo elemento de A é também elemento de B . Então, segue que A ⊂ B .
Observação 2.10
a) Pela Definição 2.9, segue que, para mostrar que A ⊂ B basta considerar um elemento genérico x ∈ A e mostrar que ele também é elemento de B , ie, x ∈ B .
b) A 6⊂ B indica que A não está contido em B (negação de A ⊂ B ), ou seja, significa
que existe x ∈ A tal que x ∉ B .
c) Quando A ⊂ B , também pode-se escrever B ⊃ A, e lê-se: B contém A.
d) Quando A 6⊂ B , também pode-se escrever B 6⊃ A, e lê-se: B não contém A.
Propriedades 2.1 A relação definida por A ⊂ B goza das seguintes propriedades:
a) ; ⊂ A
b) A ⊂ A (Reflexiva)
c) Se A ⊂ B e B ⊂ A ⇒ A = B (Antissimétrica)
d) Se A ⊂ B e B ⊂ C ⇒ A ⊂ C (Transitiva)
Demonstração:
a) (Por absurdo) Supor que ; 6⊂ A, significa admitir que existe um elemento x tal
que x ∈ ; e x ∉ A. Ora, é claro que x ∈ ; é um absurdo! Esse absurdo foi obtido ao
se assumir que ; 6⊂ A. Portanto, deve-se aceitar que ; ⊂ A.
b) É óbvia, pois tomando um elemento genérico x ∈ A ⇒ x ∈ A ∀ x. Logo, A ⊂ A.
c) Decorre da definição de igualdade entre conjunto, vejamos:
− Por hipótese, tem-se que A ⊂ B =⇒ dado x ∈ A, obrigatoriamente tem-se
que x ∈ B . Isto é, todo elemento de A é também elemento de B .
− Ainda por hipótese, B ⊂ A =⇒ dado y ∈ B , tem-se que y ∈ A, o que significa
que todo elemento de B é também elemento de A.
Logo, como todos os elementos de A são elementos de B e todos os elementos de
B são de A. Segue que a Definição 2.8 é satisfeita, garantindo que A = B .
d) Seja a ∈ A, então a ∈ B por hipótese. Mas, se a ∈ B , também por hipótese tem-se
que a ∈ C . Ou seja, todo elemento de A é também elemento de C .
2.7. Tipos especiais de conjuntos
29
Observação 2.11 (Demonstração da igualdade de conjuntos) Atente para o fato de que
a parte c) da Proposição 2.1 nos fornece uma ótima forma de demonstrar que dois conjuntos são iguais. Sendo assim, sempre que for necessário provar que A = B , basta provar
que A ⊂ B e B ⊂ A.
Observação 2.12 Após a definição de subconjuntos, pode-se afirmar que:
a) N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ou equivalente R ⊃ Q ⊃ Z ⊃ N
b) Q 6⊂ I e I 6⊂ Q
c) I ⊂ R e Q ⊂ R
Observação 2.13 Se dois conjuntos A e B são tais que A ⊂ B e A 6= B , diz-se que A é
subconjunto próprio de B , e isso pode ser indicado por:
A ( B ou B ) A.
Por exemplo, temos que N ( Z (ou Z ) N) e que Z ( Q (ou Q ) Z).
Conjunto das Partes
É o conjunto constituído por todos os subconjuntos possíveis de um conjunto A, e
denotado por P (A).
Exemplo 2.22 Seja K = {a, b} ⇒ P (K ) = {;, {a}, {b}, {a, b}}. Então, todo conjunto de dois
elementos possui exatamente 4 subconjuntos possíveis.
Definição 2.10 (Cardinalidade) Ao número de elementos de um conjunto K dá-se o
nome de cardinalidade de K e simboliza-se, geralmente, por |K | ou #K .
Exemplo 2.23 No Exemplo 2.22 temos que |K | = 2 e que |P (K )| = 4, ou de outra forma,
que #K = 2 e #P (K ) = 4.
Diagramas de Venn
Diagramas de Venn são representações gráficas utilizados para ilustrar, e visualizar
melhor, algumas relações e operações entre conjuntos.
A ideia é representar, por meio de linhas fechadas simples, o conjunto universo
(quando necessário) e seus subconjuntos.
Exemplo 2.24
a) A relação N ⊂ Z ⊂ Q pode ser representada por:
Capítulo 2. Teoria Elementar dos Conjuntos
30
b) A relação A ( B sendo A e B conjuntos do universo U pode ser representada pelo
diagrama:
Observe que nessa representação vale que A ⊂ B e que A 6= B , já que existem
elementos de B que não são elementos de A.
Observação 2.14 Situações como N ⊂ Z também podem ser representadas por
N ( Z. Contudo, as notações de subconjuntos próprios geralmente são utilizadas
quando se quer dar ênfase que os conjuntos são distintos. Quando isso não é
realmente necessário, é mais comum utilizar apenas as notações de subconjuntos.
c) Perceba, ainda, que uma forma de representar R, I, Q, Z e N por um diagrama é:
União de Conjuntos
Dados dois conjuntos, A e B , a união entre eles é dada pela propriedade “x ∈ A ou
x ∈ B ", e é representada por A ∪ B (lê-se: A união com B ou A reunião B ). Portanto:
A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B }
(2.5)
Observação 2.15 O “ou" não é exclusivo em A ∪ B , ou seja, o elemento pode pertencer
apenas a A, apenas a B a até mesmo, pertencer a A e B simultaneamente.
O diagrama a seguir representa a união entre dois conjuntos A e B , que nada mais é
do que a junção dos conjuntos.
2.7. Tipos especiais de conjuntos
31
Exemplo 2.25 Considerando os conjuntos E e F em cada item, obtenha E ∪ F :
a) E = {2, 3, 4, 10} e F = {−1, 0, 2, 3}. Então, E ∪ F = {−1, 0, 2, 3, 4, 10}.
b) E = {0, 1} e F = {−3, −2, −1, 2}. Então, E ∪ F = {−3, −2, −1, 0, 1, 2}.
c) E = {A, B, C } e F = {A, B, C , D}. Então, E ∪ F = {A, B, C , D} = F .
Propriedades 2.2 Para quaisquer três conjuntos genéricos A, B e C a união possui as
seguintes propriedades:
a) A ∪ A = A (Idempotente)
b) A ∪ ; = A (Elemento neutro)
c) A ∪ B = B ∪ A (Comutativa)
d) A ∪ (B ∪C ) = (A ∪ B ) ∪C (Associativa)
e) Se A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B
Demonstração:
a) Já sabemos que mostrar que A ∪ A = A é equivalente a mostrar que (A ∪ A) ⊂ A e
que A ⊂ (A ∪ A).
Seja então x ∈ (A ∪ A) um elemento qualquer. Então, x ∈ A ou x ∈ A. É claro que,
em qualquer uma destas possibilidades, temos que x ∈ A. Logo, (A ∪ A) ⊂ A.
Agora, tomemos um elemento qualquer y, tal que y ∈ A. Então, podemos garantir
que y ∈ A ou y ∈ A, o que implica que y ∈ (A ∪ A). Portanto, A ⊂ (A ∪ A).
Como (A ∪ A) ⊂ A e A ⊂ (A ∪ A), segue que A ∪ A = A.
(b) Devemos mostrar que (A ∪ ;) ⊂ A e que A ⊂ (A ∪ ;).
Seja então, x um elemento qualquer de A. Então, x ∈ A. Podemos escrever ainda
que “x ∈ A ou x ∈ ;"e, por isso, temos que x ∈ (A ∪ ;) ⇒ A ⊂ (A ∪ ;).
Tome agora x ∈ (A ∪ ;). Então, x ∈ A ou x ∈ ;, o que implica em x ∈ A, já que não
existe x ∈ ;. Logo, (A ∪ ;) ⊂ A.
Portanto, A ∪ ; = A.
c) e d) Deixadas como exercício.
(e) Seja x ∈ A ∪B ⇒ x ∈ A ou x ∈ B . Mas, como A ⊂ B , temos que se x ∈ A, então x ∈ B .
Então, se x ∈ A ∪ B implica que x ∈ B , desde que A ⊂ B . Portanto, (A ∪ B ) ⊂ B .
Tomemos agora, x ∈ B ⇒ x ∈ B ou x ∈ A, pois basta que uma delas seja verdadeira.
Então, x ∈ (A ∪ B ). Logo, B ⊂ (A ∪ B ).
Portanto, se A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B .
Observação 2.16 De acordo com a forma como o conjunto dos números reais foi descrito
na Igualdade 2.4 e como a união de conjuntos foi apresentada na Igualdade 2.5, nas
páginas 25 e 30, respectivamente, deve ficar claro para o leitor que
R = Q ∪ I.
Capítulo 2. Teoria Elementar dos Conjuntos
32
Interseção de Conjuntos
Dados dois conjuntos, A e B , a interseção entre eles é definida pela propriedade “x ∈ A
e x ∈ B ", e é indicada por A ∩ B . Logo:
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B }
Observação 2.17 A ∩ B lê-se como: “A inter B " ou “A interseção B ", e indica que se
x ∈ A ∩ B ele é elemento de A e de B simultaneamente. Vejamos alguns exemplos:
Definição 2.11 Quando A ∩ B = ; dizemos que A e B são conjuntos disjuntos.
Exemplo 2.26 Considerando os conjuntos J e K em cada item, obtenha J ∩ K :
a) J = {−3, −2, −1, 0} e K = {−1, 0, 1, 2, 3}. Então, J ∩ K = {−1, 0}.
b) J = {−1, 0, 1, 2} e K = {−5, −4, 3, π}. Então, J ∩ K = ;.
©
ª
©
ª
©
ª
c) J = e, f , g e K = e, f , g , h, i . Então, J ∩ K = e, f , g = J .
Propriedades 2.3 Para quaisquer três conjuntos genéricos A, B e C a interseção possui
as seguintes propriedades:
a) A ∩ B = B ∩ A (comutatividade)
b) A ∩ (B ∩C ) = (A ∩ B ) ∩C (associatividade)
c) Se A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A
d) A ∩ ; = ;
Demonstração:
a) Considere x ∈ A ∩ B . Então, x ∈ A e x ∈ B , que pode ser escrito como x ∈ B e
x ∈ A =⇒ x ∈ B ∩ A =⇒ A ∩ B ⊂ B ∩ A.
De forma análoga, prova-se que B ∩ A ⊂ A ∩ B . Portanto, A ∩ B = B ∩ A.
b) Deixada como exercício.
c) Devemos mostrar que se A ⊂ B , então (A ∩ B ) ⊂ A e que A ⊂ (A ∩ B ).
Seja x ∈ (A ∩ B ), então x ∈ A e x ∈ B , o que implica que, com certeza, x ∈ A. Logo,
(A ∩ B ) ⊂ A.
Seja agora, x ∈ A. Mas, como por hipótese, A ⊂ B , se x ∈ A implica que x ∈ B , ou
seja, temos que x ∈ A e x ∈ B . Então, x ∈ (A ∩ B ). Logo, A ⊂ (A ∩ B ).
Portanto, se A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A.
d) Deixada como exercício.
2.7. Tipos especiais de conjuntos
33
Exemplo 2.27 (Aplicação do Diagrama de Venn) Em uma prova discursiva de álgebra
com apenas duas questões, 470 alunos acertaram apenas uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 90 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira
questão. Quantos alunos fizeram a prova?
Resolução: Vamos utilizar um Diagrama de Venn para ajudar na visualização da
solução do problema. Sejam Q 1 e Q 2 os conjuntos que representam os alunos que
acertaram as questões 1 e 2, respectivamente, e E , o conjunto dos alunos que erraram
ambas as questões. Como 90 alunos acertaram as duas questões, temos que
Q 1 ∩Q 2 = 90 (Diagrama A).
Como 260 alunos acertaram a segunda questão, significa que #Q 2 = 260. Porém,
dentre os que acertaram a segunda questão estão os 90 alunos da interseção. Logo,
o número de alunos que acertaram apenas a questão 2 é dado por 260 − 90 = 170
(Diagrama B).
Além disso, o fato de 470 alunos terem acertado apenas uma das questões, significa
que o total de alunos que acertaram apenas a questão 1 ou a questão 2 é 470. Como já
foi calculado, 170 acertaram apenas a questão 2. Então, o número dos que acertaram
apenas a questão 1 é obtido por 470 − 170 = 300 (Diagrama B).
Temos ainda que 210 alunos erraram a questão 1, e é claro que, dentre eles, estão
os 170 que acertaram apenas a questão 2. Portanto, sobram 210 − 170 = 40 alunos, que
erraram as questões 1 e 2, que são os que compõem o conjunto E (Diagrama C).
Sendo assim, é claro que o total de alunos, T , que fizeram a prova é obtido com a
soma de todos os valores apresentados no diagrama, ie:
T = 300 + 90 + 170 + 40 =⇒ T = 600.
Atente para o fato de que começamos o preenchimento dos diagramas pela interseção dos conjuntos. Essa estratégia é super útil, pois é a partir dela que conclusões
importantes sobre o problema podem ser obtidas.
Diferença de Conjuntos
A diferença entre A e B (conjuntos) é o conjunto formado pelos elementos de A que
não são elementos de B . Matematicamente tem-se que:
A − B = {x | x ∈ A e x ∉ B }
Capítulo 2. Teoria Elementar dos Conjuntos
34
Exemplo 2.28
a) Sendo A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5}, segue que A − B = {1, 2, 3} − {2, 3, 4, 5} = {1},
pois 1 é o único elemento que está em A e não está em B .
b) Se A = {a, b} e B = {a, b, c, d , e}, tem-se que A − B = {a, b} − {a, b, c, d , e} = ;,
já que não existe elemento de A que também não seja elemento de B .
Complementar de B em A
Definição 2.12 Dados A e B conjuntos, onde B ⊂ A, denomina-se complementar de B
em relação a A, e indica-se por C AB ou B , o conjunto A − B .
Observação 2.18 Sendo assim, se x ∈ C AB =⇒ x ∈ A e x ∉ B , ou seja: se x está no complementar de um conjunto, ele não pode estar no conjunto, e, se x está no conjunto, não
pode estar no seu complementar.
Exemplo 2.29
a) A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4} ⇒ C AB = {1}
b) A = {1, 2, 3, 4} = B ⇒ C AB = ;
c) A = {a, b, c} e B = ; ⇒ C AB = A
Observação 2.19 Quando não houver dúvidas sobre qual o universo em que se está
trabalhando, para simplificar a notação, podemos representar o complementar de uma
parte A desse universo por AC . Portanto, se x ∈ A =⇒ x ∉ AC e se x ∈ AC =⇒ x ∉ A.
Propriedades 2.4 Seja U o conjunto universo e A e B subconjuntos de U . Então:
a) U C = ;
b) ;C = U
¡ ¢C
c) AC = A
d) A ∩ AC = ;
Demonstração:
a) e b) Deixadas como exercício.
¡ ¢C
¡ ¢C
c) Como sabemos, nesse caso é preciso mostrar que AC ⊂ A e que A ⊂ AC .
2.7. Tipos especiais de conjuntos
35
¡ ¢C
¡ ¢C
− Tomemos x ∈ AC =⇒ x ∉ AC =⇒ x ∈ A. Logo, ∀ x ∈ AC vale que x ∈ A,
¡ ¢C
ie, AC ⊂ A.
¡ ¢C
¡ ¢C
− Seja agora, x ∈ A =⇒ x ∉ AC =⇒ x ∈ AC , ie, ∀ x ∈ A vale que x ∈ AC .
¡ ¢C
Isso implica em A ⊂ AC .
∴
¡
AC
¢C
= A.
d) Considere um x ∈ A∩ AC =⇒ x ∈ A e x ∈ AC , o que é um ABSURDO pela Definição
2.12 ou também, pela Observação 2.18. Portanto, @ x ∈ A ∩ AC e, por isso, tem-se
que A ∩ AC = ;.
Além das Propriedades 2.4, descritas anteriormente, destacam-se outras duas propriedades, denominadas Leis de De Morgam ou leis de Dualidade, enunciadas aqui
pelo Teorema 2.1.
Teorema 2.1 (Leis de De Morgan ou de Dualidade) Para quaisquer dois conjuntos A e
B de um universo U , vale que:
a) (A ∩ B )C = AC ∪ B C
b) (A ∪ B )C = AC ∩ B C
Demonstração:
a) Seja x ∈ U . Se x ∈ (A ∩ B )C ⇒ x ∉ (A ∩ B ) ⇒ x ∉ A ou x ∉ B . Logo,
x ∈ AC ou x ∈ B C ⇒ x ∈ (AC ∪ B C ) ⇒ (A ∩ B )C ⊂ (AC ∪ B C ).
Se x ∈ (AC ∪ B C ) ⇒ x ∈ AC ou x ∈ B C
⇒ x ∉ A ou x ∉ B
⇒ x ∉ A ∩B
⇒ x ∈ (A ∩ B )C
⇒ AC ∪ B C ⊂ (A ∩ B )C .
∴ (A ∩ B )C = AC ∪ B C .
b) Deixada como exercício.
Existem muitas outras propriedades dos conjuntos, mas o objetivo desse capítulo
é apenas introduzir os conceitos iniciais e apresentar alguns exemplos de demonstrações para que o aluno se familiarize com as notações e alguns raciocínios utilizados
em demonstrações que envolvem conjuntos genéricos. Propriedades mais complexas
geralmente são estudadas e demonstradas em cursos de álgebra abstrata e de análise
real.
Capítulo 2. Teoria Elementar dos Conjuntos
36
2.8 Exercícios
1. Descreva os conjuntos abaixo por meio das propriedades de seus elementos.
a) A = {4, 6, 8, 10, 12}
b) B = {2, 3, 5, 7}
c) C = {Lua}
©
ª
d) D = Mer cúr i o, V ênus, M ar t e, J úpi t er, Sat ur no, Ur ano, Net uno
2. Quais dos conjuntos abaixo são unitários? Justifique sua resposta.
a) A = {x ∈ N | x ≥ 2 e x < 1}
b) B = {2, 3, 5, 7}
c) C = {Lua}
©
ª
e) E = y ∈ Z | − 4 < y ≤ −3
d) D = {x | x < 0 e x ∈ N}
3. Algum conjunto do exercício anterior é vazio? Justifique.
4. Classifique cada sentença abaixo em verdadeira (V) ou falsa (F), apresentando
uma justificativa para as sentenças falsas.
a) 0 ∈ {0, 1, 2, 3}
b) {a, b} ⊂ {a, b, c}
c) −4 ∈ {−7, −5, −4, 0}
d) {a, b} ∈ {a, b, c}
e) −9 ∈ {−10, −8, −5, −4}
f ) −5 ∈ Z
g) ; ∈ {1, 2, 9}
h) −5 ∈ N
i) ; ⊂ {1, 2, 9}
p
k) 23 ∈ Q
m) 0, 7777777... ∈ Q
p
o) 37 ∈ R
10
∈Z
5
p
l) 11 ∈ I
j)
n) −234, 541 ∈ Q
p) 0, 000000032 ∈ I
5. Use verdadeiro (V) ou falso (F) para cada uma das afirmações. Para as afirmações
falsas apresente uma justificativa.
a) Q ∩ I = ;
b) Q ∩ Z = Q
c) Q ∪ I = R
d) Q ∩ Z = Z
e) N ∩ Z = Z
f) I ∪ Z = I
g) N ∩ Z = N
h) Q ∪ Z = Z
i) Q ∪ Z = Q
j) Z ∪ N = N
2.8. Exercícios
37
6. Considerando que A, B e C são conjuntos quaisquer, classifique como verdadeiro
(V) ou falso (F). Apresente uma justificativa para as sentenças falsas.
a) B ∈ (A ∪ B )
b) C ⊃ (A ∩ B )
c) B ⊂ (A ∪ B )
d) C ⊂ (A ∩ B )
e) (A ∪ B ) ⊂ B
f) (A ∩ B ) = C
7. Considere os conjuntos A e B definidos da seguinte forma: A = Q ∩ R e B = I − Q.
É possível afirmar que A ∪ B = R? Justifique sua resposta.
8. (CEFET-AL) Em relação aos principais conjuntos numéricos, é CORRETO afirmar
que:
a) Todo número racional é natural, mas nem todo número natural é racional.
b) Todo número inteiro é natural, mas nem todo número natural é inteiro.
c) Todo número real é natural, mas nem todo número natural é real.
d) Todo número racional é inteiro, mas nem todo número inteiro é racional.
e) Todo número irracional é real.
9. (FATEC) Sejam a e b números irracionais. Dadas as afirmações:
I) a · b é um número irracional.
II) a + b é um número irracional.
III) a − b pode ser um número racional.
Podemos concluir que:
a) as três são falsas.
b) as três são verdadeiras.
c) somente I e III são verdadeiras.
d) somente I é verdadeira.
e) somente I e II são falsas.
10. (UFSE) Os senhores A, B e C concorriam à liderança de certo partido político. Para
escolher o líder, cada eleitor votou apenas em dois candidatos de sua preferência.
Houve 100 votos para A e B , 80 votos para B e C e 20 votos para A e C . Em
consequência:
a) venceu A, com 120 votos.
b) venceu A, com 140 votos.
c) A e B empataram em primeiro lugar.
d) venceu B , com 140 votos.
e) venceu B , com 180 votos.
11. (UFMG - 2003) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes dados:
• 40% dos entrevistados leem o jornal A.
• 55% dos entrevistados leem o jornal B.
Capítulo 2. Teoria Elementar dos Conjuntos
38
• 35% dos entrevistados leem o jornal C.
• 12% dos entrevistados leem o jornal A e B.
• 15% dos entrevistados leem o jornal A e C.
• 19% dos entrevistados leem o jornal B e C.
• 7% dos entrevistados leem os três jornais.
• 135 pessoas entrevistadas não leem nenhum dos três jornais.
Considerando-se esses dados, é CORRETO afirmar que o número total de entrevistados foi
a) 1.200
b) 1.500
c) 1.250
d) 1.350
12. (UFMG - 2006) Uma pesquisa foi feita com um grupo de pessoas que frequentam,
pelo menos, uma das três livrarias, A, B e C. Foram obtidos os seguintes dados:
• das 90 pessoas que frequentam a Livraria A, 28 não frequentam as demais.
• das 84 pessoas que frequentam a Livraria B, 26 não frequentam as demais.
• das 86 pessoas que frequentam a Livraria C, 24 não frequentam as demais.
• oito pessoas frequentam as três livrarias.
Determine o número de pessoas que frequentam apenas uma das livrarias.
13. Demonstre as propriedades c) e d) das Propriedades 2.2, ou seja:
c) A ∪ B = B ∪ A
d) A ∪ (B ∪C ) = (A ∪ B ) ∪C
14. Demonstre as propriedades b) e d) das Propriedades 2.3, ou seja:
b) A ∩ (B ∩C ) = (A ∩ B ) ∩C
d) A ∩ ; = ;
15. Demonstre as propriedades a) e b) das Propriedades 2.4, ou seja:
a) U C = ;
b) ;C = U
16. Demonstre a segunda lei de De Morgan, item b) do Teorema 2.1, ie:
(A ∪ B )C = AC ∩ B C .
17. Explique com suas palavras, porque podemos afirmar que os conjuntos Q e I são
disjuntos?
18. Use os conjuntos A = { } , B = {a} , C = {a, b} e D = {a, b, c} para conjecturar que:
Se um conjunto K tem cardinalidade n, então #P (K ) = 2n , ou seja, a cardinalidade
do conjunto das partes de um conjunto com n elementos é sempre igual a 2n .
19. Seja n(X ) o número de elementos de um conjunto finito X (outra notação para
cardinalidade). Mostre então que, se A e B são conjuntos finitos, verifica-se a
importante relação:
n(A ∪ B ) = n(A) + n(B ) − n(A ∩ B ).
2.8. Exercícios
39
20. Em uma escola que possui 712 alunos, 421 estudam Inglês, 283 estudam Francês
e 89 estudam ambas as línguas.
a) Quantos alunos estudam Inglês ou Francês?
b) Quanto alunos não estudam nenhuma das duas?
21. Considere dois conjuntos A e B de um universo U , tais que A ∩ B 6= ;. Construa
um diagrama de Venn para representar cada um dos conjuntos solicitados.
a) A − B
b) B − A
c) A ∪ B
d) A ∩ B
e) AC
f) B C
g) (A ∩ B )C
22. (ENEM - texto modificado) Em determinado dia houve uma campanha de doação
de sangue em uma Universidade. Sabe-se que o sangue das pessoas pode ser
classificado em quatro tipos quanto a antígenos. Uma pesquisa feita com um
grupo de 100 alunos da Universidade constatou que 42 deles têm o antígeno A,
36 têm o antígeno B e 12 o antígeno AB. Sendo assim, podemos afirmar que o
número de alunos cujo sangue tem o antígeno O é:
a) 20 alunos
b) 22 alunos
c) 34 alunos
d) 35 alunos
e) 36 alunos
23. Dados os conjuntos A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {−1, 0, 1, 2, 3}, represente as operações abaixo.
a) A ∪ B
b) A ∩ B
c) A − B
d) B − A
24. Classifique cada sentença como V (verdadeira) ou F (falsa), sempre justificando a
sua resposta.
a) A soma de um número racional com um número irracional é sempre um
número irracional.
b) O produto de dois números irracionais pode ser racional.
c) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.
d) 1, 888888 . . . ∈ Q.
25. Em certa comunidade há indivíduos de três raças: branca, preta e amarela. Sabendo que 70 são brancos e 350 não são pretos e 50% são amarelos, pergunta-se:
a) Quantos indivíduos tem a comunidade?
b) Quantos são os indivíduos amarelos?
26. Sejam A = [0; 5[ e B =]1; 3[ dois intervalos reais, isto é, A é o segmento de reta de
0 inclusive a 5 exclusive; e B é o segmento de 1 a 3 exclusive. Determinar C AB .
27. (PUC-MG) Se A =] − 2; 3] e B = [0; 5], então os números inteiros que estão em
B − A são:
a) -1 e 0
b) 1 e 0
c) 4 e 5
d) 3, 4 e 5
e) 0, 1, 2 e 3
Capítulo 2. Teoria Elementar dos Conjuntos
40
28. Sejam A e B conjuntos genéricos. Para que se tenha A − B = ; é necessário que se
tenha A = B ? Se a resposta a essa pergunta for verdadeira, demonstre-a, mas se
for falsa, apresente um contra exemplo.
29. Obtenha os conjuntos solicitados.
Q
a) C R
b) C ZN
N
c) C Q
d) C RI
Z
e) C Q
©
ª
©
ª
30. Determine C BA sendo A = c, d , e, f , g e B = a, b, c, d , e, f , g , h, i , j .
CAPÍTULO
Potenciação e Radiciação
3.1 Potenciação
Potência de expoente inteiro
Definição 3.1 Define-se a n com a ∈ R e n ∈ N, e denomina-se potência de base a e
expoente natural n, da seguinte forma:
a n = |a · a · a
{z· . . . · a}
n vezes
Além disso, se n = 1 ou n = 0 define-se as potências de expoente n respectivamente por
a 1 = a e a 0 = 1.
Já a potência com expoente inteiro negativo, −n, e com a 6= 0, é definida da forma
a −n =
1
.
an
Exemplo 3.1
a) 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81
µ ¶3
2
2 2 2 23
8
= · · = 3=
c)
5
5 5 5 5
125
e) (−6)0 = 1
µ ¶−2
2
1
1
9
=
=
g)
=
3
(2/3)2 4/9 4
b) (−2)3 = (−2) · (−2) · (−2) = −8
d) 71 = 7
f) 4−3 =
1
1
=
3
4
64
h) 023 = 0
Exemplo 3.2 A notação científica é uma das grandes aplicações das potências de expoentes inteiros. Ela serve para representar números muito grandes ou muito pequenos de
forma padronizada. Um número escrito em notação científica deve estar na forma
m × 10k ,
3
Capítulo 3. Potenciação e Radiciação
42
onde 1 ≤ |m| < 10 é um número racional denominado mantissa e k ∈ Z é a ordem de
grandeza.
Para se escrever um determinado número em notação científica, deve-se deslocar sua
vírgula até que se obtenha a mantissa, isto é, um número cujo módulo seja maior ou
igual a 1 e menor do que 10. Fazendo-se isso, a ordem de grandeza k será o número de
casas deslocadas se o deslocamente ocorreu para a esquerda, e o simétrico desse número
se o deslocamento for para a direita (isso é, será um valor negativo).
A distância do planeta Terra até o Sol é de aproximadamente 149.600.000 km. A
forma desse número em notação científica é
1, 49 × 108 km.
Já a massa de um próton é de cerca de 0, 00000000000000000000000000167 kg. Obviamente, escrever esse número toda vez que se quiser apresentar a massa do próton não é
muito conveniente. Sendo assim, escrevê-lo em notação científica torna-se muito mais
vantajoso, e será da forma
1, 67 × 10−27 kg .
Observação 3.1 Percebe-se facilmente que, da forma como uma potência de expoente
inteiro foi definida, vale que:
a) Se a = 0 e n > 0 =⇒ a n = 0.
b) Se a = 0 e n < 0 =⇒ @ a n .
c) Se a > 0 =⇒ a n > 0, ∀ n ∈ Z.
½ n
a > 0 se n é par
d) Se a < 0 =⇒
.
a n < 0 se n é ímpar
Propriedades das potências
As potências de expoentes inteiros possuem várias propriedades importantes e úteis
em diversas aplicações da matemática na própria matemática, mas também na Física,
nas Engenharias, na Biologia etc.
Considerando a, b ∈ R e m, n ∈ Z, as principais propriedades serão descritas a seguir.
Também faremos a justificativa de todas elas, mas, por comodidade, essas justificativas
considerarão apenas o caso onde m, n ∈ N.
1. O produto de potências de mesma base pode ser efetuado pela conservação da
base e soma dos expoentes:
a m · a n = a m+n
A justificativa para essa propriedade é simples, pois como
a m = |a · .{z
. . · a}
e
m vezes
a n = |a · .{z
. . · a}
n vezes
segue que:
a m · a n = |a · .{z
. . · a} · |a · .{z
. . · a}
m vezes
n vezes
= |a · a · a
{z· . . . · a}
m+n vezes
= a m+n
3.1. Potenciação
43
2. O quociente de potências de mesma base pode ser calculado pela conservação
da base e subtração dos expoentes, conforme descrito na igualdade a seguir:
am
= a m−n , a 6= 0
an
A justificativa dessa propriedade usa a mesma ideia da propriedade 1, porém,
tem-se várias possibilidades para m − n, de acordo com os seguintes casos:
• Se m > n:
m vezes
m
a
an
z }| {
a ·...· a
=
= |a · a {z
· . . . · a} = a m−n
a
·
.
.
.
·
a
| {z }
m−n vezes
n vezes
• Se m = n:
m vezes
m
a
an
z }| {
a ·...· a
=
= 1 = a 0 = a m−m = a m−n
. . · a}
|a · .{z
m vezes
• Se m < n:
m vezes
m
a
an
z }| {
a ·...· a
1
1
=
=
= n−m = a −(n−m) = a m−n
. . · a}
. . · a}
a
|a · .{z
|a · .{z
n vezes
n−m vezes
Exemplo 3.3
a) 33 · 3−1 = 33+(−1) = 32 = 9
µ ¶2 µ ¶5 µ ¶2+5 µ ¶7
3
3
3
3
b) −
· −
= −
= −
2
2
2
2
7
3
c) 3 = 37−3 = 34
3
µ ¶3−5 µ ¶−2 µ ¶2
(2/5)3
2
2
5
=
=
=
d)
5
(2/5)
5
5
2
3. O produto de potências do mesmo expoente pode ser expresso por
a n · b n = (ab)n
Uma forma simples de justificar a validade dessa propriedade é observar que
a n · b n = |a · a {z
· . . . · a} · b
· . . . · b}
| · b {z
n vezes
n vezes
= |ab · ab{z· . . . · ab}
n vezes
n
= (ab)
Capítulo 3. Potenciação e Radiciação
44
4. O quociente de potências de mesmo expoente tem a seguinte propriedade
a n ³ a ´n
=
, b 6= 0
bn
b
Observe que
n vezes
n
z }| {
a
a ³ a ´n
a ·...· a a a
=
,
= · ·...· =
bn b
. . · b} |b b {z b}
b
| · .{z
n vezes
n vezes
o que justifica essa propriedade.
5. Para finalizar, tratemos da propriedade relativa à potência de uma potência
(a m )n = a mn
Temos que
¡
am
¢n
= |a m · a m{z· . . . · a m}
n vezes
n vezes
}|
{
z
m
+
m
+
·
·
·
+
m
=a
= a mn ,
justificando essa propriedade.
Exemplo 3.4
a) 34 · 24 = (3 · 2)4 = 64
µ ¶−3 µ ¶3
5−3
5
3
b) −3 =
=
3
3
5
¡ 2 ¢−1
1
c) 9
= 92·(−1) = 9−2 =
81
Exemplo 3.5 Obtenha a simplificação da expressão
6·52n+1 −4·52n
.
30·25n
Resolução:
2n
6 · 52n+1 − 4 · 52n 3 · 52n+1 − 2 · 52n 3 · 52n · 5 − 2 · 52n 5
(15 − 2) 13
=
=
=
= .
n
2
n
2n
2n
30 · 25
15 · (5 )
15 · 5
15 · 5
15
3.2. Radiciação
45
3.2 Radiciação
Definição 3.2 Sejam a ∈ R e n ∈ N. Define-se a raiz enésima de a, onde a e n são denominados respectivamente por radicando e índice da raiz, da forma
p
n
a = b ⇐⇒ b n = a,
sendo que o número b é único e:
− se n for par =⇒ a ≥ 0 e b ≥ 0;
− se n for ímpar e a < 0 =⇒ b < 0;
− se a ≥ 0 =⇒ b ≥ 0 ∀ n ∈ N.
Observação 3.2
1. Pela
Definição 3.2 segue que a raiz de índice 1 de a é igual ao próprio a, ou seja,
p
1
a = a. Esse tipo de raiz geralmente não é utilizada e as vezes nem é considerada
na definição.
2. Para a raiz de índice 2, denominada raiz p
quadrada, é muito comum não apresen2
tar
esse
índice
de
forma
explícita,
isto
é,
a é geralmente representada, da forma
p
a.
3. Uma raiz de índice 3 é denominada raiz cúbica, de índice 4 é raiz quarta, de
índice 5 é raiz quinta e assim sucessivamente.
Exemplo 3.6 Observe os valores calculados para as raízes apresentadas:
p
a) 9 = 3, pois 32 = 9. Ou seja, a raiz quadrada de 9 é igual a 3.
p
2
b) 49 = 7, pois 72 = 49.
p
3
c) 8 = 2, já que 23 = 8. Isto é, a raiz cúbica de 8 é igual a 2.
p
3
d) −8 = −2, já que (−2)3 = −8. Isto é, a raiz cúbica de −8 é igual a −2.
p
5
e) −32 = −2, pois (−2)5 = −32.
p
5
f) 32 = 2, pois 25 = 32.
p
7
g) 0 = 0, pois 07 = 0.
p
3
h) −64 = −4, visto que (−4)3 = −64.
Observação
3.3 É comum alguns alunos confundirem e considerarem, por exemplo,
p
que 4 = ±2. Isso porque, pensam apenas que a raiz quadrada de 4 deve ser o número
que elevado ao quadrado resulte em 4, e tanto 2 quanto −2 possuem essa característica.
Contudo, a definição é clara em garantir que qualquer raiz enésima de um número
p não
negativo será sempre não negativa. Isso garante que 2 é o único resultado para 4.
Uma definição que ajuda a garantir que esse tipo de confusão não aconteça é
escrever a Definição 3.2, na parte relacionada ao caso onde o índice da raiz é par, da
seguinte forma:
½
p
−a se a < 0
n
Definição 3.3 Se n é par e a ∈ R, então a n = |a| =
.
a se a ≥ 0
Capítulo 3. Potenciação e Radiciação
46
Exemplo 3.7
a) O número 4 pode ser escrito como 22 e (−2)2 . Então,
p
p
p
p
4 = 22 = |2| = 2 e 4 = (−2)2 = | − 2| = 2.
p
4
b)
(−3)4 = | − 3| = 3 6= −3.
q¡
p ¢6
p
p
p
6
5 − 41 = |5 − 41| = 41 − 5, pois 5 < 41.
c)
Observação 3.4
Atente para o fato de que essa definição deixa claro que uma forma
p
n
para calcular a n , com n par, não é “cortar” ou “cancelar” o expoente do radicando com
o índice (como muitas vezes é ensinado, ou entendido!), mas sim, considerar o módulo
de a.
Potenciação com expoente racional
Nessa seção vamos apresentar a definição de potência de expoente racional. A ideia
por traz dessa definição será garantir que todas as propriedades de potênciação válidas
para expoentes inteiros também sejam válidas quando eles forem quaisquer racionais.
Considere n ∈ Z∗ , a ∈ R+ e o caso particular do racional 1/n. Para que a propriedade
do produto de potências de mesma base continue válida, é necessário que se tenha
³ 1 ´n
1
1
1
1 1
1
n
a n = |a n · a n{z· . . . · a n} = a n + n +···+ n = a n = a 1 = a.
n vezes
1
n
Portanto, a potência a deve ser o número positivo que elevado a n resulta em a.
Sendo assim, de acordo com a definição de raiz enésima, segue que esse número é a
raiz enésima de a, ou seja, consideraremos que
p
1
a n = n a.
Considere agora o racional m/n. Com a mesma ideia, temos que
³ m ´n
m
m
m
m
mn
m m
a n = |a n · a n{z· . . . · a n} = a n + n +···+ n = a n = a m .
n vezes
m
n
Então, como a é o número positivo que elevado a n resulta em a m , segue pela
m
definição de raiz que a raiz enésima de a m deve ser a n . Com isso, apresentamos a
definição formal de potência de expoente racional.
Definição 3.4 (Potência de expoente racional) Sejam a ∈ R+ , m ∈ Z e n ∈ Z∗ . Define-se
que
p
m
n
a n = am .
Exemplo 3.8
p
1
a) 5 = 5 2
p
p
3
4
4
b) 4 4 = 43 = 64
r
p
1
−1
2 −1
2 1
c) 9 2 = 9 =
=
9 3
3.2. Radiciação
47
p
p
10
10
d) 10240,1 = 10241/10 = 1024 = 210 = 2
µ ¶1/4 ·µ ¶3 ¸1/4 µ ¶3/4
q
1
1
1
4 1
=
=
e)
8= 8
2
2
Propriedades dos radicais
Considerando que todas as propriedades para potências de expoente inteiro são válidas
para expoente racional, é possível justificar as principais propriedades
para radicais.
p
p
n
Considere, então, a, b ∈ R, m, n, t ∈ N e os radicais n a e b. Então, tem-se que:
1. Produto de radicais de mesmo índice
O produto entre os radicais é
p
n
a·
p
p
1
1
1
n
n
b = a n · b n = (ab) n = ab
Portanto,
p
n
a·
p
p
n
n
b = ab
Então, na multiplicação de radicais de mesmo índice, pode-se conservar o índice
e multiplicar os radicandos.
2. Quociente de radicais de mesmo índice
O quociente entre eles pode ser expresso por
p
n
1
³a´1
an
a
= 1 =
p
n
b
b bn
Então,
p
n
a
=
p
n
b
r
n
n
r
=
n
a
b
a
, b 6= 0
b
Logo, na divisão de radicais de mesmo índice, pode-se conservar o índice e dividir
os radicandos, obviamente com b 6= 0.
3. Potência cuja base é um radical
p
Consideremos o radical n a como base da potência de expoente m. Então,
p
¡p
¢m ³ 1 ´m
m
n
n
a = an
= a n = am
Logo,
¡p
¢m p
n
n
a = am
Sendo assim, elevar um radical a um expoente m é equivalente a elevar o radicando a m.
Exemplo 3.9
p
p
p
p
3
3
3
3
a) 5 · 52 = 5 · 52 = 53 = 5
Capítulo 3. Potenciação e Radiciação
48
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
p p
p
p
2 · 50 = 2 · 50 = 100 = 10
p p
p
p
p
Se x, y ∈ R, então 3 · 3x · y = 9x y = 3 x y
p
r
3
81 3 81 p
3
= 27 = 3
=
p
3
3
3
¡p ¢5 p
7 = 75
¡p
¢4 p
4
4
3 = 34 = 3
¡p
¢−2 p
3
3
6
= 6−2
p
p
p
p
3
3
3
3
−8 · 27 = −2 · 3 = −6 = −8 · 27 = −216
4. Raiz de raiz
Observe que
pp
m
n
a pode ser reescrita como
q
m
p
n
q
a=
Então,
m
1
n
1
1
a n = a m = a mn =
pp
m
n
a=
p
mn
p
mn
a
a
Portanto, para obter a raiz de uma raiz, pode-se conservar o radicando e multiplicar seus índices.
5. Simplificação de radicais
Considere a raiz enésima da potência a m . Então,
p
n
Logo,
m
m·t
a m = a n = a n·t =
p
n
am =
p
nt
p
nt
a mt
a mt
Sendo assim, ao se multiplicar ou dividir o índice de uma raiz e o expoente do
radicando por um mesmo valor inteiro positivo t , seu valor não se altera.
Exemplo 3.10
p
p
p
5 p
3 15
5·3 15
15
a)
4 =
4 = 415 = 4
p
p
p
3 p
2
3·2
6
b)
13 =
13 = 13
rq
pp
p
p
2·2·2·2
16
3=
3= 3
c)
p
p
p
3 1
3·2 1·2
6
5 =
5 = 52
p
p
p
8
8:4 4:4
e) 24 =
2 = 2
p
p
p
9
9:3 6:3
3
f) 76 =
7 = 72
p
p
p
16 40
16:8 40:8
g)
5 =
5
= 55
d)
3.3. Simplificação de radicais
49
Exemplo 3.11 Outra importante aplicação da potenciação é na dinâmica populacional. Apresentaremos aqui dois exemplos simples de modelos matemáticos que descrevem
crescimentos de populações e que possuem potências envolvidas.
1. Com conhecimentos de uma área da matemática denominada Equações Diferenciais,
é possível provar que a população do Brasil, até o ano de 2010 cresceu seguindo o modelo
matemático
257 · 106
y(t ) =
1 + 0, 51 · e −0,04t +80
Nesse modeloi , y(t ) representa a população do Brasil em milhões de habitantes no ano
t , que pode variar de 1950 a 2010. Os erros observados entre os valores obtidos por esse
modelo e os dados coletados pelo IBGE variam de 0,5% a 1,5%, indicando boa correlação
entre os resultados. A constante e representa o número de Euler. Mais detalhes sobre o modelo de crescimento logístico e do número de Euler podem ser obtidos em [17, 18, 19, 20].
2. Uma espécie de bactéria de nome “Escherichia coli”, responsável por mais de 50% dos
casos de intoxicação alimentar, possui uma taxa de crescimento populacional de 80%
a cada 30 minutos sob condições ambientais ideais. Ao se considerar uma população
inicial de 100.000 bactérias, o número P (n) de bactérias em função do número n de
períodos de 30 minutos é dado porii
P (n) = 100.000 · 1, 8n .
Observe que no momento inicial, ou seja, quando n = 0, tem-se que P (0) = 100.000
bactérias, que está de acordo com os dados do exemplo. Além disso, após uma hora,
como temos dois períodos de 30 minutos, segue que o número de bactérias será dado por
P (2) = 100.000 · 1, 82 = 100.000 · 3, 24, isto é, ter-se-á
P (2) = 324.000 bactérias.
3.3 Simplificação de radicais
Utilizando as propriedades dos radicais e da potenciação, é possível obter uma expressão equivalente a um determinado radical, mas escrita de uma forma mais simples.
Fazendo isso, dizemos que o radical foi simplificado. Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 3.12 Segue a simplificação de alguns radicais:
p
p
4:2
x2 =
x 2:2 = x
p
p
p
p
p
p
p
p
6
6:2
3
b) 6 x 4 y 2 = x 4 · 6 y 2 =
x 4:2 · 6:2 y 2:2 = x 2 · 3 y = 3 x 2 y
p
p
p
p
15
15
15:5 5:5
3
c)
32 · x 5 = 25 · x 5 =
2 · x 5:5 = 2x
a)
i
ii
p
4
Esse modelo é denominado Logístico e tem representação gráfica aproximada a um “S”. Essa nomeclatura foi utilizado pela primeira vez pelo matemático Pierre François Verhulst, a partir de 1844. As
aplicações possíveis da função logística são muitas, destacando-se: rede neural artificial, biologia,
biomatemática, química, demografia, economia, geociências, psicologia matemática, probabilidade,
sociologia, ciências políticas e estatísticas.
Modelo apresentado na referência [21].
Capítulo 3. Potenciação e Radiciação
50
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
p
p
p
p
p
4
4
4
4
4
324 = 22 · 34 = 22 · 34 = 3 4
p
p
p
p
7200 = 25 · 32 · 52 = 4 · 3 · 5 2 = 60 2
p
610 = 65
p
p
p
p
p
5
5
5
5 6
5
3 · 27 = 35 · 3 · 25 · 22 = 35 · 25 · 3 · 22 = 6 12
p
p
p
p
p
p
5
5
x3 y 7z5w = 5 x3 y 5 y 2z5w = 5 y 5 · z5 · 5 x3 y 2w = y z 5 x3 y 2w
p
p
p
p
p
p
p
3
3
3
x3 y 7z5w = 3 x3 y 6 y z3z2w = x3 · y 6 · z3 · 3 y z2w = x y 3z 3 y z2w
p
p
p
p
p
p
p
p
3
3
3
3
3
3
a 7 b 6 c 4 d 9 = a 6 ab 6 c 3 cd 9 = a 6 · b 6 · c 3 · d 9 · 3 ac = a 2 b 2 cd 3 3 ac
Exemplo 3.13 Obtenha o valor de K =
p
¡ ¢2
2
5
243 + 70 − (0, 25)−2 + (0, 5)−3 · 18 + 23 − 23 .
Resolução: Separadamente temos que,
•
p
p
5
5
243 = 35 = 3,
−2
• (0, 25)
−3
• (0, 5)
µ
25
=
100
µ
5
=
10
¶−2
¶−3
µ ¶−2 ·µ ¶−1 ¸2
1
1
=
=
= 42 = 16,
4
4
µ ¶−3 ·µ ¶−1 ¸3
1
1
=
=
= 23 = 8,
2
2
2
• 23 = 23·3 = 29 = 512,
¡ ¢2
• 23 = 23·2 = 26 = 64.
Logo,
p
¡ ¢2
2
1
5
243 + 70 − (0, 25)−2 + (0, 5)−3 · + 23 − 23
8
1
= 3 + 1 − 16 + 8 · + 512 − 64
8
= −12 + 1 + 448
K=
= 437.
3.4 Redução de radicais ao mesmo índice
Em operações de multiplicação e divisão de radicais, é necessário que eles possuam
o mesmo índice, conforme já vimos nas propriedades 1 e 2 de radicais. Sendo assim,
dados dois ou mais radicais, é importante sabermos como obter radicais equivalentes a
cada um deles, de forma que todos possuam o mesmo índice.
Uma forma de se fazer isso é calcular o MMC (mínimo múltiplo comum) dos índices
envolvidos, que será o índice que cada radical deverá ter. Logo após, deve-se dividir
o MMC por cada índice. O resultado obtido nessa divisão, será um fator que deve ser
multiplicado pelo índice e pelos expoentes de cada fator no radicando. Para facilitar o
entendimento, vejamos alguns exemplos:
Exemplo 3.14 Observe a redução de cada par (ou trio) de radicais ao mesmo índice.
3.5. Racionalização de denominadores
a)
51
p
x y 2 e 5 x 3 y. Como os índices dos radicais são 3 e 5, deve-se obter o MMC desses
dois valores: mmc(3, 5) = 15. Em seguida, divide-se 15 por 3 e por 5, obtendo 15 :
3 = 5 e 15 : 5 = 3. Logo, o próximo
multiplicar os índices e os expoentes
ppasso seráp
dos termos dos radicandos de 3 x y 2 e de 5 x 3 y por 5 e por 3 respectivamente,
que nos leva aos seus radicais equivalentes, que são
p
3
q
15
b)
x 5 · y 10
e
q
15
x9 · y 3
p
p
p
p
p
p
12
6
12
4
2, ab 2 e 3 x 2 y 3 são respectivamente equivalentes a 23 , a 2 b 4 e 12 x 8 y 12 .
3.5 Racionalização de denominadores
Seja
uma fração que tenha em seu denominador um número irracional da forma
p
n
m
a . Racionalizar esse denominador não é nada mais do que obter uma nova fração,
equivalente à primeira, e que possua denominador racionaliii .
Dada uma fração qualquer, uma forma de obter outra fração, equivalente à primeira,
é multiplicar a primeira por 1, mas escrevendo esse termo de uma forma conveniente.
Isso pode ser obtido de várias forma, como, por exemplo: propriedades de radicais e
produtos notáveis. Vejamos:
Frações com denominadores do tipo
p
a
p
p
Seja a fração 2/ 5. Ao racionalizarmos esse denominador, 5, devemos pensar em
escrever o número 1 de forma que, ao se efetuar a multiplicação dessa fração por 1, o
denominador se torne racional. Observe que se multiplicarmos apenas
o denominador
p
p
p p
5
p
pela própria 5, teremos 5 · 5 = 5 ∈ Q. Logo, escrevemos 1 =
e teremos que:
5
p
p
2
2
5 2 5
.
p =p ·p =
5
5
5
5
|{z}
=1
Sendo assim, a nova fração
p obtida é equivalente à primeira, mas apresenta denominador
racional, e o número 5 épchamado de fator de racionalização ou racionalizante.
A racionalização de
3+
p 2
2
pode ser feita da seguinte forma:
p p
p p
p
p
2 (3 + 2) · 2 3 2 + 2
3+ 2 3+ 2
=
,
p = p ·p =
p p
14
7 2
7 2
2
7 2· 2
onde o fator de racionalização é
iii
p
2.
Por favor, após estudarem essa seção do livro, NÃO entendam que racionalizar um denominador é
algo obrigatório. É apenas uma forma, considerada mais elegante por muitos, de obter uma fração
sem denominadores irracionais. Além disso, historicamente a racionalização foi útil para facilitar
cálculos quando não existiam calculadoras. Por exemplo, é bem mais práticopfazer a divisão de
1, 4142 por 2, do que obter o resultado de 1 dividido
por 1, 4142 (sendo 1, 4142 ∼
= 2). Observe que a
p
segunda divisão é uma aproximação para 1/ 2, enquanto que a primeira é uma aproximação da sua
racionalização. Para mais detalhes, ver [22].
Capítulo 3. Potenciação e Radiciação
52
Observação 3.5 Os dois casos de racionalização de denominadores descritos até aqui
servem
para ilustrar o fato de que,
p
p sempre que o denominador da fração for da forma
a, o fator racionalizante será a, pois:
p p
a · a = |a|.
Frações com denominadores do tipo
Seja, agora, a fração
3
p
5 2.
7
p
n
am
Observe que o índice da raiz apresentada no denominador
é diferente de 2. Nesse caso, pode-se obter a racionalização dessa fração da seguinte
forma:
Como queremos que ao se efetuar a multiplicação do numerador e denominador
dessa fração pelo fator racionalizante, obenha-se um denominador racional, devemos
procurar qual deve ser o fator A tal que
p
p
2
71
5
5
72 · A = 7 ⇒ 72/5 · A = 71 ⇒ A = 2/5 ⇒ A = 71− 5 ⇒ A = 73 .
7
p
5 3
Logo, 7 é o fator racionalizante e, portanto
p
p
p
5
5
5 3
3
3
7
3 72 3 72
.
=
·
=
=
p
p
p
p
5 2
5 2
5 3
5 5
7
7
7
7
7
O fato do expoente do radicando ser igual a 3 no terceiro caso do exemplo anterior
não é coincidência. Esse valor pode ser obtido fazendo-se a diferença entre o índice do
radical, que no exemplo é 5 e o expoente do radicando, que é 2, isto é, 5 − 2 = 3.
p
n
Observação 3.6 Em geral, sempre
que a ∈ Q, n > 2 e o denominador for do tipo a m , o
p
n
seu fator racionalizante será a n−m , pois:
½
p
p
p
p
p
p
n
a
se n é ímpar
n
n
n
n
n
m
n−m
m
n−m
m+n−m
(m−m)+n
n
a · a
= a ·a
= a
= a
= a =
.
|a| se n é par
Exemplo 3.15
p
5
7
1. p
possui
como
fator
racionalizante
o
radical
(−2)3 , o que implica em
7
4
(−2)
uma racionalização da forma
p
p
p
p
7
7
7
7
5
5
(−2)3
5 (−2)3
5 (−2)3
5 (−2)3
=
·
=
=
=
−
.
p
p
p
p
p
p
7
7
7
7
7
7
2
(−2)4
(−2)4
(−2)3
(−2)4 · (−2)3
(−2)7
2. Já a fração 10
p
8
(−2)4
tem como fator de racionalização
(−2)6 , o que leva a
p
p
10
10
p
8 (−2)6 8 (−2)6
10
=
·
=
=
=
4
(−2)6 .
p
p
p
p
10
10
10
10
4
4
6
10
|
−
2|
(−2)
(−2)
(−2)
(−2)
8
8
p
p
10
10
Exemplo 3.16 Racionalize a fração
(−2)6
6
p
.
5
256
p
p
p
p
5
5
5
5
Resolução: Primeiro, observemos que 256 = 28 = 25 · 23 = 2 23 . Então, podese escrever que
p
p
p
5 2
5
5
6
6
3
2
3 22 3 22
= p
=p
·p
= p
=
.
p
5
5 3
5 2
5 5
5
2
256 2 23
2
2
2
3.6. Exercícios
53
Frações com denominadores do tipo
p
p
a± b
Do produto da soma pela diferença de dois termos, sabemos que (x + y)(x − y) = x 2 − y 2 .
Logo, considerando a, b ∈ Q+ , tem-se que
p p
p
¡p ¢2 ³p ´2
p
( a + b)( a − b) = a − b = a − b,
sendo que, obviamente, (a − b) ∈ Q.
Sendo assim,
uma
p temos
p forma clara de obtenção dos fatores de racionalização para
p
p
os casos a + b e a − b, descritos na Observação 3.7.
p p
Observação
3.7
O
fator
racionalizante
da
fração
será
a− b quando seu
p
p
pdenominador
p
p
p
for a + b e será a + b quando o denominador for do tipo a − b. Em outras
palavras, nesses casos o fator racionalizante será o conjugado do denominador.
Exemplo 3.17
p ¢
p ¢
p ¢
¡p
¡p
¡p
p
p
3 3− 7
3 3− 7
3 3− 7
3− 7
1. p
=−
.
p =p
p ·p
p = ¡p ¢2 ¡p ¢2 =
3−7
4
3+ 7
3+ 7
3− 7
3 − 7
p ¡p
p ¢
p
p
p
p
p
p
10 10 + 8
10 + 80
10
10
10 + 8
2. p
=
= 5 + 2 5.
p =p
p ·p
p =
10 − 8
2
10 − 8
10 − 8
10 + 8
3
3
3.6 Exercícios
1. Obtenha os valores das seguintes potências:
a) 420
b) 131
c) 120
f ) (0, 3)3
¡ ¢−3
j) 12
e) (−3)−3
¡ ¢−2
i) − 25
m) −(−1)17
g) 3−1
¡ 1 ¢2
h)
¡ 2 ¢−2
4
5
¡ ¢3
l) − − 32
−2
k) 7
h¡ ¢ i−1
−3
o) − 12
n) −(−1)18
d)
p) (−0, 01)3
2. Considerando que a ∈ N, obtenha o valor de
Z = (−1)2a+1 + (−1)2a − (−1)2a+3 − (−1)a .
3. Utilizando as propriedades de potenciação simplifique ao máximo a expressão
¡ 5 4 ¢3 ¡ 2 3 ¢2
x · y · x · y · x · y 2.
4. Considere o número q = 2m
n , em que m =
tal que:
a) 0 < q < 1
5. O valor de
a)
¡ 1 ¢15
3
2130
6315
b) 1 < q < 2
¡ 2 ¢−2
3
+ 0, 3 e n = 4 −
c) 2 < q < 3
¡ 1 ¢2
2
. O valor de q é
d) 3 < q < 4
é:
b) 715
c)
¡ 1 ¢2
3
d) 315
e) 4 < q < 5
Capítulo 3. Potenciação e Radiciação
54
6. Dois casos especiais de potenciação costumam confundir os estudantes:
i ) − an e i i ) am
n
· . . . · a}).
a) O caso −a n é definido por −a n = − (a n ) = −(a
| · a {z
n vezes
n vezes
b) O caso a
mn
é definido por a
z
}|
{
m
·
m
·
.
.
.
·
m
=a
.
mn
Obtenha um exemplo numérico que mostre que −a n 6= (−a)n e outro que mostre
n
que a m 6= (a m )n .
7. Se a = 10−3 , o valor de
a) 100a
0,01·0,001·10−1
100·0,0001 , em função de
a, é:
c) a
b) 10a
d)
a
10
8. Considerando que a · b 6= 0 e que b 6= 0, simplifique as expressões.
¡
3
¢
2 2
¡
2
¢
−2 2
a) a · b · a · b
¡ 3 2 ¢4 ¡ 4 3 ¢2
a ·b · a ·b
c)
¡
¢3
a2 · b3
b)
h¡
2
a ·b
¢ i3
2 2
a8 · b6
d) 4 2
a ·b
µ
9. Considerando x · y 6= 0, simplifique a expressão
¶10
(x −2 · y 3 )−2
.
(x 3 · y −4 )3
10. Sendo x 6= 0 e y 6= 0, simplifique cada expressão:
3
2 3
a) (x · y ) · (x
c)
−2
¶2
x 3 · y −4
b) −2 −5
x ·y
µ −5 7 ¶−3
x ·y
d) 6 −3
x ·y
µ
2 2
·y )
(x 2 · y −2 )−4 · (x −3 · y −3 )−2
(x −2 · y −5 )2
e) (x −1 + y −1 ) · (x + y)−1
f) (x −2 − y −2 ) · (x −1 − y −1 )−1
µ ¶−2 µ ¶−3
1
1
11. (PUC-MG) O valor da expressão A =
−
é:
3
2
a) 1
b)
1
3
c)
1
2
d)
17
12
1
e) − 72
(ab)−1
12. Considere a, b ∈ R . Simplifique a expressão −1
sem deixar que expoentes
a + b −1
negativos apareçam explicitamente.
∗
13. Um aluno
do ensino médio foi solicitado para encontrar o resultado da seguinte
p
2
raiz: x , x ∈ R. Ele respondeu que
p
x 2 = x.
Comente de forma crítica a resposta apresentada pelo aluno.
3.6. Exercícios
55
14. Efetue o calculo dos valores dos seguintes radicais:
a)
c)
e)
g)
i)
k)
p
5
32
p
3
8
p
9
0
p
3
− 8
p
3
(−2)3
p
4
− 81
b)
d)
f)
h)
j)
l)
15. Considerando x ∈ R, determine:
p
p
a)
b) (x + 5)2
(x − 2)2
p
6
1
p
9
p
(a − 1)2 , a ∈ R
p
(−7)2
p
4
(−5)4
p
10
− (−8)10
c)
p
4
(2x − 3)4
d)
p
3
(−5x + 2)3
16. Reduza ao mesmo índice os seguintes trios de radicais:
p
p
p
p
p
p
6
4
3
b) x y 2 , 3 x 2 y 3 e 9 x 2 y
a) a 2 b, ab 2 e a 3 b 2
p
p
p
p
p
p
4
10
c) a 3 b 2 , a 5 b 2 e 6 x y 2
d) x 2 y 4 , 5 x y 2 e
a2b3
17. Use V (verdadeira) ou F (falsa) para classificar cada uma das sentenças:
a)
c)
e)
g)
i)
k)
p
25 = ±5
p
a4 = a2, ∀ a ∈ R
p
(a − 2)2 = a − 2, ∀ a ∈ R
p
(x − 5)2 = x − 5, ∀ x ∈ R e x ≤ 5
r
2
3 8
=
27 3
p
5
(−6)5 = −6
18. Simplifique os radicais:
p
p
a) 196
b) 18
p
p
3
4
g) 512
h) 47
p
144
p
i) 2000
c)
b)
d)
f)
h)
j)
l)
p
3
729
p
3
j) 128
d)
p
6
(−6)6 = −6
p
9 = −3
r
9 3
=
4 4
p
− 9 = −3
p
4
(−11)4 = −11
p
10
− (−7)10 = 7
p
4
625
p
4
k) 3888
e)
p
3
250
p
3
l) 54
f)
19. Efetue as operações solicitadas e apresente a resposta de forma simplificada:
r r
r
p
p
p
p
p
p
p
5
1
4
5
3
3
3
5 2
a)
·
b) 12 · 3
c) 2 :
d) 10 : 2
e) 3 · 35
3
3
5
20. Efetue as operações solicitadas:
p
p
p
p
3
3
3
3
a) 8 2 + 5 2 − 4 2 + 2
p ¡p
p
p ¢
c) 3 · 12 − 2 27 + 3 75
p
p
p
p
b) 2 3 + 4 2 − 3 3 + 6 2
p
¡p
¢ p
3
d) 2 + 3 · 2
Capítulo 3. Potenciação e Radiciação
56
21. Simplifique os radicais a seguir:
p
3 p
5 16
b)
2
pp
3
a)
729
q p
p
3
c) b b b
d)
22. Racionalize os denominadores das frações apresentadas:
p
2+ 2
3
9
2
7
a) p
b) p
c) p
d) p
e) p
p
5 3
3
6
3
2
2− 3
2
³ p ´5
5 3
2
5
f) p
p
3 7+ 2
23. Escreva cada item a seguir como potência de expoente racional:
µ
¶
³ p ´3
p
p
p
1
3 2
3 p
3 8
5 2
6 2
a) 7
b) 2
c)
3
d) p
f)
7
e)
p
3
3
9
9
24. Faça a transformação de potências de expoentes racionais em radicais e, quando
possível, obtenha os resultados de forma simplificada:
a) 27
1
3
b) 2
− 12
µ ¶1
4 2
c)
9
d) (0, 81)
1
2
e) (0, 27)
− 21
µ
1
f)
100
¶−0,5
2
g) (27)− 3
p
3
1
5
25. Qual é o valor da expressão −7x + 2x 2 + x 5 − 5 5 + 7x 0 , considerando que x = 25?
³p
´−1
26. Determine o valor de m, sabendo que m = 1 + 5 · 4−1 .
p
15 − 1
, obtém-se:
27. (PUC-MG) Racionalizando-se a expressão p
15 + 1
p
p
p
a) (7 − 15)/8
b) (8 − 15)/7
c) (16 − 15)/14
p
p
e) (9 − 15)/13
d) (14 − 15)/16
28. (UFMG) Em relação aos números reais, a alternativa correta é:
³ 9´1
9
= 33
b) 33
2
a) 35 : 35 = 35
c)
p
8
6
3
102 = 102 4
2
d)
83
= 86
3
8
¡
¢2
e) 5−3 · 7 = 59 · 49
29. (UFMG) Simplificando a expressão
a) 105
b) 10, 5
p
p
p
9 × 10−6 · 0, 0049 · 2, 5 × 103 , obtém-se:
c) 1,05
d) 0,105
à p
!1
p
6
p
3 57 − 521 21
7 p
3
30. (PUC-MG) O valor de m =
2·
é:
p
3
2 8
p
6
p
p
p
5
6
7
a) 5
b) 5
c) 5
d) p
3
2
p
3
1 − 7 × 2−3
31. (UFMG) Seja y =
. O valor de y é igual a:
4−2 − 2−2
a) −
8
3
b) −
2
3
c)
1
2
d) 2
e) 0,0105
e)
p
3
5
3.6. Exercícios
57
32. Assinale a afirmação CORRETA:
p
a) π2 + π3 = π5
b) 25 = ±5
c) 0, 3 × 10−4 = 300 × 10−7
d) −x representa um número negativo.
e) |a + b| = |a| + |b|
³ 1 ´2
1
a− 9 · a− 3
¡ ¢2
: − a1 , com a 6= 0, é equivalente a:
33. (UFMG) A expressão
2
−a
5
5
7
7
c) −a − 9
b) a 9
a) −a 9
7
e) a − 9
d) a 9
1
·
¸1
1 2 33
3
· 1 é:
34. (UFMG) O valor de m = (−0, 2) +
25
5− 2
a)
2
5
b)
2 p
3
3
25
c)
1p
3
3
5
d)
p
3
e) 2 3
2p
3
3
5
35. Sejam as afirmações:
I. −50 = 1
II.
p
4 = ±2
2
III. 5 3 =
p
3
25
IV.
p
x2 = x
Quantas são as verdadeiras?
a) 0
b) 1
36. Sendo x < 0, a expressão y =
p
c) 2
d) 3
p
p
3
4
x 2 − x 3 + x 4 vale:
a) −3x
b) 0
c) 2x
p
p
12
5 64 − 18
37. (UFRGS) A expressão p
é igual a:
p
4
50 − 324
p
p
p
p
p 3
a) 2+3
b) 5 2
c) 3
4 2
e) 4
e) x
d) 3x
p
d) 8 2
e) 1
3) Comparação
de números - Escreva em ordem
38. (OBMEP-2007, Nível 1 da
p Listap
p
3
4
crescente os números: 121, 729 e 38416.
39. (OBMEP-2007, Nível 2 da Lista 1) Potências de 10-O valor de
a) 10−1
b) 10−2
c) 10−3
0,00001×(0,01)2 ×1000
0,001
d) 10−4
40. (OBMEP-2007, Nível 2 da Lista 1) Uma expressão - A expressão
é:
e) 1
a −2
4a
ס
¢−3
5
a
2−1 a
onde a 6= 0, é igual a:
a)
a3
2
b)
2
a3
c)
1
2a 3
d)
a5
2
e)
2
a5
41. Sabe-se que um capital C aplicado a uma taxa de juros i , por um período de
tempo t , gerará um montante ao final desse período que pode ser calculado pela
equação M = C · (1 + i )t . Sabendo-se que um capital de R$500, 00 foi aplicado a
juros de 2% ao mês por um período de 1,5 ano, qual será o montante ao final
desse tempo?
42. A distância entre o Sol e a Terra é de aproximadamente 150 milhões de quilômetros, ou seja, 150.000.000 km. Escreve esse valor em notação científica.
Capítulo 3. Potenciação e Radiciação
58
43. Em notação científica, qual é a representação do número 0,00000000000003?
44. É comum se considerar que um ano luz corresponde a 9.460.530.000.000 km. Qual
é a representação dessa distância em notação científica?
45. (OBMEP - 2007, Nível 2 da Lista 7) Expressões com radicais - Qual é o valor de
µq
¶
p
p 4
1+ 1+ 1 ?
a)
p
p
2+ 3
p
b) 12 (7 + 3 5)
p
c) 1 + 2 3
p
e) 3 + 2 2
d) 3
46. (OBMEP - 2007, Nível 2 da Lista 7) Uma diferença - Qual é o valor de
p
p
p
p
3
−0, 001 × 400
0, 036 − 0, 4
−
?
p
p
0, 25
0, 4
a) −3, 3
b) −4, 7
p
47. (PMMG) O valor de 9% é:
a) 9%
b) 3
c) −4, 9
c) 9
e) 30%
0, 05 · 0, 75 · (0, 5)−2
é equivalente a:
0, 125 · (0, 25)−1
c) 52
b) 1/5
e) −7, 5
d) 3%
48. (Inatel - MG) O valor da expressão
a) 0, 5
d) −3, 8
d) 3/5
e) 3/10
49. (PUC-MG) Se 2n = 15 e 2p = 20, o valor de 2n−p+3 é:
a) 6
b) 8
50. (Unifor - CE) A expressão
a) 0, 03%
c) 14
d) 16
0, 375 · 10−12
é equivalente a:
0, 0125 · 10−8
b) 0, 15%
c) 0, 3%
d) 1, 5%
e) 3%
51. (Fatec-SP) Se x e y são números reais tais que x = (0, 25)0,25 e y = 16−0,125 , é
verdade que:
p
a) x = y
b) x > y
c) x · y = 2 2
d) x − y é um número irracional.
e) x + y é um número racional não inteiro.
52. (UFRGS) Durante os jogos Pan-Americanos de Santo Domingo, os brasileiros
perderam o ouro para os cubanos por 37 centésimos de segundo nas provas de
remo. Dentre as alternativas, o valor mais próximo desse tempo, medido em horas,
é:
a) 1, 03 · 10−4
b) 1, 3 · 10−4
c) 1, 03 · 10−3
d) 1, 3 · 10−3
e) 1, 03 · 10−2
53. (Fuvest-SP) Se 416 · 525 = α · 10n , com 1 ≤ α < 10, então n é igual a:
a) 24
b) 25
c) 26
d) 27
p
p
p
p
54. (UFAL) A expressão 10 + 10 · 10 − 10 é igual a:
p
p
p
a) 0
b) 10
c) 10 − 10
d) 3 10
e) 28
e) 90
3.6. Exercícios
59
q
55. (Inatel - MG) Sendo A =
p
A4 + B 2.
3
10 −
q
p
p
p
p
3
3
6 + 8 e B = 7 + 7 − 9, calcule o valor de
56. (UEPB) Calculando o valor de 9−0,3333... , obtemos:
p
p
p
3
3
3
b) 23
c) 3
a) 33
d)
p
3
2
e)
p
3
2
3
57. No Exemplo 3.11 vimos que o crescimento da população do Brasil em certo
período de tempo pode ser obtido pelo modelo logístico
257 · 106
y(t ) =
.
1 + 0, 51 · e −0,04t +80
A estimativa oficial do IBGE para a população brasileira no ano de 2017 é de
207.660.929 habitantesiv . Use o modelo logístico e uma calculadora científica
para:
a) estimar a população brasileira no ano de 2017.
b) calcular a diferença percentual da população estimada pelo modelo logístico
em relação à estimativa do IBGE.
58. (UTFPR) Considere as seguintes expressões:
p
3 12
2
p
=3 2
¡ p ¢−1 p3
II. 2 3
= 6
p
¡ 4 ¢1/2
III. 2
=2 2
I.
É (são) verdadeira(s), somente:
a) I.
iv
b) II.
c) III.
Esse número populacional foi obtido na referência [23].
d) I e II.
e) I e III.
CAPÍTULO
Introdução ao conjunto dos Números
Complexos
Nessa seção, apresentaremos apenas o que é fundamental se saber sobre números
complexos (representado pelo símbolo C) para o estudo de polinômios e os outros
tópicos relacionados nesse livro. O que será apresentado refere-se apenas a uma sucinta
introdução a esse conjunto, onde se abordam a sua definição e algumas propriedades e
operações.
4.1 Introdução
Ao se tentar resolver a equaçãoi
x2 + 1 = 0
(4.1)
2
conclui-se que a solução só existirá se x = −1.
Contudo,
sabe-se que não existe x ∈ R tal que x 2 = −1, pois isso significaria que
p
x = ± −1, o que implica que a Equação (4.1) não possui solução em R.
Portanto, para que seja possível considerar a solução de equações que tenham essa
complicação, é necessário considerar que fora do conjunto dos reais exista um número
que ao ser elevado ao quadrado resulte em -1.
Esse número será representado por i e chamado de unidade imaginária. Logo,
tem-se que
p
i 2 = −1 ou i = −1,
e que a solução da Equação (4.1) é x = ±i .
Ao se adicionar a unidade imaginária ao conjunto dos reais, obtém-se um novo
conjunto que será denominado conjunto dos números complexos, representado por
C. Contudo, para que as operações usuais dos reais possam ser realizadas de maneira
similar em C, e para que valha o fechamento para soma e para o produto nesse novo
conjunto, define-se que
C := {z = a + bi | a, b ∈ R} ,
onde a = Re(z) e b = I m(z) são chamados, respectivamente, de partes real e imaginária
de z.
i
Originalmente os números complexos surgiram no período do Renascimento, na Europa, quando se
tentava obter a resolução de equações da forma x 3 + px + q = 0.
4
Capítulo 4. Introdução ao conjunto dos Números Complexos
62
Exemplo 4.1 Seguem alguns complexos e suas respectivas partes real e imaginária.
a) z 1 = 2 + 3i , sendo que Re(z 1 ) = 2 e I m(z) = 3.
b) z 2 = 3 − 2i , sendo que Re(z 2 ) = 3 e I m(z 2 ) = −2.
c) z 3 = −5 − i , onde Re(z 3 ) = −5 e I m(z 3 ) = −1.
d) z 4 = −6i , com Re(z 4 ) = 0 e I m(z 4 ) = −6.
p
p
e) z 5 = 2i , com Re(z 5 ) = 0 e I m(z 5 ) = 2.
Observação 4.1
a) Considere x ∈ R. Então, é claro que pode-se escrever que x = x + 0i ∈ C, o que
implica que todo número real é um número complexo, ou seja, R ⊂ C.
b) Tome um número complexo z = a + bi em que b 6= 0 e a = 0, ou seja, quando
z = bi . Nessas condições, z é chamado de imaginário puro.
c) Todos os números z = a + bi com b 6= 0 são chamados de números imaginários.
Definição 4.1 (Complexo conjugado) Dado um número complexo z = a + bi , define-se
como complexo conjugado de z o número complexo dado por z = a − bi .
Exemplo 4.2 Sejam z 1 = −3 + 7i e z 2 = 4 − 3i . Então, z 1 = −3 − 7i e z 2 = 4 + 3i .
Propriedades 4.1 Sejam z, z 1 e z 2 números complexos quaisquer. Então, é válido que:
a) z = z
b) z + z = 2 · Re(z)
c) z 1 + z 2 = z 1 + z 2
d) z 1 · z 2 = z 1 · z 2
As demonstrações das Propriedades 4.1 são relativamente simples de serem realizadas e são deixadas como exercício (Vide Exercício 11).
Para que as propriedades associativa, comutativa e distributiva sejam válidas para a
adição e a multiplicação em C assim como são válidas em R, a igualdade de complexos,
assim como a adição e a multiplicação são definidas como se segue:
4.2 Igualdade de complexos
Sejam z 1 = a + bi e z 2 = c + d i números complexos quaisquer. Define-se a igualdade
entre eles da seguinte forma
z 1 = z 2 ⇐⇒ a = c e b = d .
Exemplo 4.3 Considere z 1 , z 2 ∈ C tais que z 1 = 4k + 5i , com k ∈ R, e z 2 = 2 + (8k + 1)i .
Sabendo que z 1 = z 2 , determine os valores de k e da I m(z 2 ).
Resolução: Pela definição de igualdade de complexos, para que se tenha z 1 = z 2 é
necessário que
1
4k = 2 =⇒ k = .
2
1
Então, como I m(z 2 ) = 8k + 1 = 8 · 2 + 1, segue que I m(z 2 ) = 5. Outra forma de se
chegar a esse resultado é observar que I m(z 2 ) = I m(z 1 ) = 5.
4.3. Adição e multiplicação de complexos
63
4.3 Adição e multiplicação de complexos
Dados os complexos z 1 = a + bi e z 2 = c + d i , define-se z 1 + z 2 e z 1 · z 2 da seguinte
forma
z 1 + z 2 = (a + c) + (b + d )i
e z 1 · z 2 = (ac − bd ) + (ad + bc)i .
Já a subtração de complexos é definida a partir da adição e do oposto (ou simétrico)
de um complexo. O oposto de um complexo qualquer z = a + bi é o complexo −z =
−a − bi . Logo, z 1 − z 2 é definida como a adição de z 1 com o oposto de z 2 , isto é
z 1 − z 2 = z 1 + (−z 2 ) = (a − c) + (b − d )i .
Exemplo 4.4 Efetue as operações indicadas, considerando que z 1 = 2 + 3i , z 2 = −1 + 3i e
z 3 = −5i .
a) z 1 + z 2
b) z 2 − z 1
c) z 1 · z 2
d) (z 1 − z 2 ) · z 3
Resolução:
¡
¢
¡
¢
a) z 1 + z 2 = 2 + 3i + −1 + 3i = (2 − 1) + 3 + 31 i = 1 + 10
i.
3
b) z 2 − z 1 = z 2 + (−z 1 ) = −1 + 3i + (−2 − 3i ) = (−1 − 2) +
¢
−
3
i = −3 − 83 i .
3
¡1
¡
¢ ¡
¢ ¡
¢
c) z 1 · z 2 = (2 + 3i ) −1 + 3i = 2 · (−1) − 3 · 13 + 2 · 13 + 3 · (−1) i = −3 − 37 i .
¡
¢
¡
¢
d) (z 1 − z 2 ) · z 3 = 2 + 3i + 1 − 3i · (−5i ) = 3 + 83 i · (−5i ) = 40
− 15i .
3
4.4 Potências de i
Assim como já é considerado para todos os reais, consideraremos
p que qualquer complexo não nulo elevado a 0 (zero) é igual a 1. Portanto, como i = −1, vem que:
i 0 = 1,
i1 = i,
i 2 = −1,
i5 = i4 ·i = i,
i 3 = i 2 · i = −i ,
i 6 = i 5 · i = −1,
i 4 = i 2 · i 2 = 1,
i 7 = i 6 · i = −i , . . .
É possível observar que, a cada quatro potências o resultado volta a se repetir, ou
seja, as potências da unidade imaginária são cíclicas. Logo, pode-se dizer que só existem
quatro valores distintos para potências de i , que são:
i 0 = 1,
i1 = i,
i 2 = −1,
e
i 3 = −i .
Desta forma, para calcular a potência i n basta considerar que i n = i r onde r é o
resto da divisão de n por 4.
Exemplo 4.5 Determine o valor de i 231 + i 341 .
Resolução: Na divisão de 231 e 342 por 4 obtém-se restos iguais a 3 e 1, respectivamente. Portanto,
i 231 + i 342 = i 3 + i 1 = −i + i = 0.
Capítulo 4. Introdução ao conjunto dos Números Complexos
64
4.5 Raiz quadrada de um número negativo
A raiz quadradaii de um número real negativo −a é definida como o número complexo
s tal que s 2 = −a. Seja então −a ∈ R sendo a > 0. Observe que
¡p
Então define-se que
Exemplo 4.6 O valor de
a ·i
¢2
¡ p
¢2
= − a · i = −a.
p
p
−a = ± a · i .
p
−25 é dado por:
p
p
−25 = ± 25 · i = ±5i = {5i , −5i } .
Esse resultado permite que, por exemplo, as raízes de uma equação do segundo
grau (ou função polinomial quadrática),
ax 2 + bx + c = 0,
que são dadas pela Fórmula de Bhaskara
p
−b ± ∆
x=
,
2a
e representam os valores de x que satisfazem a equação, possam ser encontradas mesmo
que o valor do discriminante, ∆ = b 2 − 4ac, seja negativo. Separadamente, temos que as
raízes são
p
p
−b + b 2 − 4ac
−b − b 2 − 4ac
x1 =
e x2 =
.
2a
2a
Além disso, p
como não
p fará diferença no resultados finais, nesses casos é comum
considerar que −a = a · i .
Exemplo 4.7 Obtenha as raízes das seguintes equações quadráticas:
a) x 2 + 2x + 5 = 0
b) −2x 2 − 8x − 20 = 0
Resolução:
a) Em x 2 + 2x + 5 = 0 tem-se
que ∆ = b 2 − 4ac = 22 − 4 · 1 · 5 = 4 − 20 = −16 < 0. Logo,
p
considerando que −16 = 4i vem que
p
p
−2 + −16
−2 − −16
−2 + 4i
−2 − 4i
x1 =
e x2 =
=⇒ x 1 =
e x2 =
.
2
2
2
2
=⇒ x 1 = −1 + 2i
ii
e x 2 = −1 − 2i .
De maneira mais geral, todo número complexo z 6= 0 possui exatamente n raízes n-ésimas distintas,
conforme é garantido pela fórmula de De Moivre. Para detalhes, vide [24, p. 15-19].
4.6. Exercícios
65
b) Para −2x 2 − 8x − 20 = 0 tem-se que ∆ = (−8)2 − 4 · (−2) · (−20) = 64 − 160 = −96 < 0.
Logo,
p
p
p
p
8 + −96
8 − −96
8 + 4 6i
8 − 4 6i
x1 =
e x2 =
=⇒ x 1 =
e x2 =
.
−4
−4
−4
−4
p
=⇒ x 1 = −2 − 6i
p
e x 2 = −2 + 6i .
Observe que a equação −2x 2 − 8x − 20 = 0 também poderia ser resolvida fazendose, inicialmente, a divisão de ambos os lados da igualdade por 2, gerando a equação
equivalente dada por −x 2 − 4x − 10 = 0, o que reduziria os valores obtidos e, portanto,
deixaria os cálculos um pouco mais simples.
Observação 4.2 (Sobre o conjunto universo das equações) Atente para o fato de que,
se as equações do exemplo anterior tivessem que ser resolvidas no universo R, elas não
possuiriam raízes, ou seja, suas soluções seriam vazias. Contudo, no universo dos números complexos, C, essas soluções existem. Portanto, é importante identificar em qual
universo de soluções se está trabalhando, para verificar se uma determinada equação
terá ou não solução.
4.6 Exercícios
1. Obtenha Re(z) e I m(z) para cada caso:
9 − 7i
3
p
d) z = 5π + 11i
a) z = −3 + 7i
c) z = −
b) z =
1 + 8i
2
2. Efetue as operações indicadas:
a) (3 + 5i ) + (2 − 4i )
¢
¡
c) (4 − 7i ) − − 43 + 25 i
d) (3 + 6i )(−2 − 9i )
e) (3 + 2i )(3 − 2i )
f) (4 − 3i )2
b) (1 − 5i ) + (2 + 7i ) − 3i
3. Dados z 1 = 2 + 8i , z 2 = 12 − 2i , z 3 = 1 + 12 i e z 4 = 43 − i , calcule o que se pede:
a) z 1 · z 2
b) 2z 3 − 3i · z 4
c) z 3 · z 4
d) z 4 · z 2 · z 1
4. Obtenha as raízes das seguintes equações quadráticas:
a) 2x 2 + 6x + 5 = 0
b) x 2 + 9 = 0
c) 4x 2 − 4x + 2 = 0
d) y 2 − 5y + 25 = 0
5. Escreva as equações na forma fatorada.
a) x 2 − 14x + 50 = 0
b) 2y 2 − 4i y + 6 = 0
Capítulo 4. Introdução ao conjunto dos Números Complexos
66
6. (UFU) Sejam os complexos z = 2x − 3i e t = 2 + yi , onde x, y ∈ R. Se z = t , então o
produto x · y é:
a) 6
b) 4
c) 3
d) -3
e) -6
7. Determine x, y ∈ R para que se z 1 · z 2 = z 3 , sendo z 1 = x + yi , z 2 = 6 + 8i e z 3 =
14 + 52i .
8. (UFPA) Qual o valor de m, real, para que o produto (2 + mi )(3 + i ) seja imaginário
puro?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 10
9. (UCSal) Para que o produto (a + i )(3 − i ) seja real, qual deve ser o valor de a?
¡
¢2
10. (UFES) Simplificando-se a expressão E = i 7 + i 5 + i 3 + 2i 4 tem-se que:
a) E = −1+2i
b) E = 1+2i
c) E = 1−2i
d) E = 3−4i
e) E = 3+4i
11. Mostre que se z, z 1 e z 2 são números complexos quaisquer, então:
a) z = z
b) z + z = 2 · Re(z)
c) z 1 + z 2 = z 1 + z 2
d) z 1 · z 2 = z 1 · z 2
12. (UFV - modificada)
Considerando que o módulo de um complexo é definido por
p
|a + bi | = a 2 + b 2 , dadas as alternativas abaixo:
I. i 2 = 1
II. (i + 1)2 = 2i
III. |4 + 3i | = 5
pode-se dizer que:
a) todas as alternativas acima estão corretas;
b) todas as alternativas acima estão erradas;
c) as alternativas I e III estão erradas;
d) as alternativas II, III e IV estão corretas;
e) as alternativas I e III estão corretas.
IV. (1 + 2i ) (1–2i ) = 5
CAPÍTULO
Polinômios
5.1 Monômios
Definição 5.1 Um monômio nas variáveis x 1 , x 2 , . . . , x k é qualquer expressão da forma
n
n
n
ax 1 1 x 2 2 · · · x k k ,
sendo que a ∈ C é o coeficiente e n 1 , n 2 , . . . , n k ∈ N.
Exemplo 5.1 Vejamos alguns exemplos de monômios:
12i x y, − 4abc,
2
2
ax, x y, 3i x, 7x, 9x y 2 .
3
5
Definição 5.2 Em um monômio a parte numérica é denominada de coeficiente e a parte
composta pelas variáveis é chamada de parte literal.
Exemplo 5.2 O monômio 3i x y tem coeficiente igual a 3i e parte literal igual a x y. Já o
monômio −2ab tem coeficiente −2 e parte literal ab.
Definição 5.3 Quando dois ou mais monômios possuem a mesma parte literal, o denominamos semelhantes.
Exemplo 5.3 Os monômios 3x y, − 2i x y e −6x y são semelhantes, já que todos possuem
a mesma parte literal, x y.
n
n
n
Definição 5.4 (Grau de um monômio) Seja o monômio P = ax 1 1 x 2 2 · · · x k k . Define-se
o grau de P, e simbolíza-se por g r (P ), à soma dos expoentes das variáveis, isto é
g r (P ) = n 1 + n 2 + · · · + n k .
Se P = 0, monômio nulo, diremos que ele não tem grau e se n 1 = n 2 = . . . = n k = 0 com
a 6= 0, diremos que o g r (P ) = 0.
Exemplo 5.4 Sejam os monômios P (a, b) = −2a 2 b, Q(x, y, z) = x 2 y z 3 e R = −13i . Então,
g r (P ) = 2 + 1 = 3, g r (Q) = 2 + 1 + 3 = 6 e g r (R) = 0.
5
Capítulo 5. Polinômios
68
Definição 5.5 (Monômio em uma variável) Um monômio em uma variável x é qualquer expressão da forma
M = ax n
sendo a ∈ R o coeficiente e n ∈ N. Se a 6= 0, então g r (M ) = n e se a = 0 diz-se que M não
tem grau.
Exemplo 5.5 Considere os monômios em uma variável: M = −2i x, N = 3x 4 , P = 4 e
Q = 0x 2 . Então, g r (M ) = 1, g r (N ) = 4, g r (P ) = 0 e @ g r (Q).
5.2 Operações elementares com monômios
Aqui definiremos as principais operações possíveis com monômios, que são: adição,
multiplicação, divisão e potenciação. Essas operações serão úteis para o entendimento
das operações realizadas nos produtos notáveis e em polinômios.
Adição e subtração
A adição (ou subtração) entre monômios só é permitida se eles forem semelhantes.
Ela é definida pela conservação da parte literal e soma (ou subtração) dos coeficientes.
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 5.6
a) −5x y 2 + 3x y 2 − 8x y 2 = (−5 + 3 − 8)x y 2 = −10x y 2 .
µ
¶
2
1 2
1
+ w = w.
b) w − w =
3
3
3 3
µ
¶
2 9 3
2ab 9ab 3ab
+
−
=
+ − ab = 17
c)
ab.
12
3
4
2
3 4 2
Antes de tratarmos da multiplicação de monômios, vamos definir a multiplicação de um escalar (número real qualquer) por um monômio. Essa multiplicação é
feita simplesmente pela conservação da parte literal e multiplicação do escalar pelo
coeficiente do monômio. Vejamos o exemplo:
Exemplo 5.7 Sejam os escalares α = 3i e β = −1/10. Então, dado o monômio M (x, y) =
5i x y, segue que
µ
¶
1
5
i
α · M = (3i · 5i ) x y = −15x y e β · M = − · 5i x y = − i x y = − x y.
10
10
2
Observação 5.1 Atente que, da forma como o produto entre um escalar e um monômio
foi definido, dado um monômio qualquer M , é sempre possível obter um monômio
−M = −1· M , tal que M +(−M ) = 0. O monômio −M é denominado oposto ou simétrico
de M .
Definição 5.6 A diferença entre dois monômios P e M é definida por
P − M = P + (−M ).
5.2. Operações elementares com monômios
69
Fazendo-se assim, percebe-se que a subtração entre os monômios P e M , é na
realidade, a soma entre P e o inverso de M . Vejamos o Exemplo 5.8.
Exemplo 5.8 Sejam P (a, b) = 3a 2 b e M (a, b) = −4a 2 b. Então, −M = 4a 2 b e
P − M = P + (−M ) = 3a 2 b + 4a 2 b = 7a 2 b.
Multiplicação
A multiplicação de monômios é feita multiplicando-se os coeficientes e também as
partes literais, sendo que, na multiplicação das variáveis de mesma base, deve-se
conservar a base e efetuar a soma dos expoentes, obedecendo a regra do produto de
potências de mesma base.
Exemplo 5.9 Efetue os produtos indicados.
a) −3i x 2 y · 2i x 3 y 2 = (−3i · 2i ) · (x 2 x 3 ) · (y y 2 ) = 6x 5 y 3
b) 4w · 5i x 2 y w 3 = (4 · 5i ) · x 2 y · (w w 3 ) = 20i x 2 y w 4
c) 2x · (−x) = [2 · (−1)] · xx = −2x 2
Divisão
A divisão de monômios é feita dividindo-se os coeficientes (ou representando a divisão
como frações) e também as partes literais, sendo que, ao se operar com as partes literais,
deve-se conservar a base e efetuar a diferença entre os expoentes, conforme regra da
divisão de potências de mesma base.
Exemplo 5.10 Efetue as divisões solicitadas e apresente os resultados da forma mais
simplificada possível.
a) −
b)
7x 2 y 4
7 x2 y 4
1
·
· 3 = − xy
=
−
3
14x y
14 x y
2
−8a 4 −8 a 4
=
·
= 2a 3
−4a
−4 a
Potenciação
A potência de um monômio é obtida elevando elevando-se coeficiente e parte literal
ao expoente indicado, usando a propriedade de potência de potência. Isto é, se α ∈ N e
n
n n
M = ax 1 1 x 2 2 · · · x k k , então
αn
αn 1 αn 2
x2 · · · xk k .
M α = a α x1
Exemplo 5.11 Considerando os monômios −2x 2 y 3 z e 3ab 4 c 2 , temos que:
¡
¢3
−2x 2 y 3 z = (−2)3 x 2·3 y 3·3 z 3 = −8x 6 y 9 z 3
e
¡
¢
5
3ab 4 c 2 = 35 a 5 b 4·5 c 2·5 = 243a 5 b 20 c 10 .
Capítulo 5. Polinômios
70
5.3 Produtos notáveis
Alguns produtos de expressões aparecem frequentemente no estudo dos polinômios
e são de extrema importância na matemática. Aos principais deles damos o nome de
produtos notáveis. Estudaremos nessa seção os cinco principais produtos notáveis,
para isso, considere dois números complexos genéricos, x e y.
Quadrado da soma de dois termos
O quadrado da soma desses termos é dado por
(x + y)2 = (x + y)(x + y) = x 2 + x y + y x + y 2 = x 2 + 2x y + y 2 ,
já que em C a multiplicação é comutativa. Logo, temos quei
(x + y)2 = x 2 + 2x y + y 2
Observação 5.2 O quadrado da soma de dois termos tem uma interpretação geométrica
muito interessante e que vale a pena ser apresentada nesse texto. Imagine um quadrado
de lado (x + y), com x, y ∈ R∗+ , conforme indicado na Figura 1.
Figura 1 – Interpretação geométrica do quadrado da soma de dois termos.
Então, a área desse quadrado é dada por (x + y)2 . Observe, ainda, que ela também
pode ser escrita como o somatório das áreas dos dois quadrados internos, x 2 e y 2 , com as
áreas dos dois retângulos, ambas iguais a x y, também internos. Sendo assim, segue que
(x + y)2 = x 2 + 2x y + y 2 .
Quadrado da diferença de dois termos
Se ao invés de considerarmos a soma dos termos como fizemos no tópico anterior,
considerarmos a diferença, tem-se que
i
É comum alguns alunos considerarem que (x + y)2 = x 2 + y 2 e que (x − y)2 = x 2 − y 2 . Esperamos que
você não cometa esse erro de agora em diante!
5.4. Polinômios
71
(x − y)2 = (x − y)(x − y) = x 2 − x y − y x + y 2 = x 2 − 2x y + y 2 .
Então,
(x − y)2 = x 2 − 2x y + y 2
Produto da soma pela diferença de dois termos
O produto da soma pela diferença dos termos x e y é tal que
(x + y)(x − y) = x 2 − x y + y x − y 2 = x 2 − y 2 .
Logo,
(x + y)(x − y) = x 2 − y 2
Cubo da soma e da diferença de dois termos
Considerando, ainda, os dois termos x e y, tem-se que:
(x + y)3 = x 3 + 3x 2 y + 3x y 2 + y 3
e
(x − y)3 = x 3 − 3x 2 y + 3x y 2 − y 3
A tarefa de verificar essas duas relações será deixada como exercício para o leitor.
Exemplo 5.12 Desenvolva os produtos notáveis (x +4)2 , (3− y)2 , (2a +2)(2a −2), (2+ x)3
e (a − y)3 .
a) (x + 4)2 = x 2 + 2 · x · 4 + 42 = x 2 + 8x + 16.
b) (3 − y)2 = 32 − 2 · 3 · y + y 2 = 9 − 6y + y 2 = y 2 − 6y + 9.
p
p
p
c) (2a + 3)(2a − 3) = (2a)2 − ( 3)2 = 4a 2 − 3.
d) (2 + x)3 = 23 + 3 · 22 · x + 3 · 2 · x 2 + x 3 = 8 + 12x + 6x 2 + x 3
e) (a − y)3 = a 3 − 3 · a 2 · y + 3 · a · y 2 − y 3 = a 3 − 3a 2 y + 3a y 2 − y 3
5.4 Polinômios
Definição 5.7 Um polinômio P , ou função polinomial, sobre C, é toda função da forma
P (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + a n−2 x n−2 + . . . + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ,
com coeficientes a n , a n−1 , a n−2 , . . . , a 2 , a 1 , a 0 em C, para todo x ∈ C. As parcelas
a n x n , a n−1 x n−1 , . . . , a 1 x e a 0 , são denominadas termos do polinômio.
Exemplo 5.13
a) P (x) = x 3 − 6x 2 + 11x − 6i , onde a 3 = 1, a 2 = −6, a 1 = 11 e a 0 = −6i .
b) P (x) = 7x 4 − 3i x 2 + 1, onde a 4 = 7, a 3 = 0, a 2 = −3i , a 1 = 0 e a 0 = 1.
Capítulo 5. Polinômios
72
Valor numérico de um polinômio
O valor numérico de um polinômio P para x = ², indicado por P (²), é o resultado obtido
substituindo x por ² e efetuando as operações indicadas. Portanto, temos que:
P (²) = a n ²n + a n−1 ²n−1 + a n−2 ²n−2 + . . . + a 2 ²2 + a 1 ² + a 0
Exemplo 5.14 Considere P (x) = 2x 3 − 4x 2 + 23 x + 23 . Então,
2
2
P (−1) = 2(−1)3 − 4(−1)2 + (−1) + = −2 − 4 = −6.
3
3
Logo, o valor numérico de P para x = −1 é −6, ou seja P (−1) = −6.
Raiz de um polinômio
Quando P (²) = 0 dizemos que ² é uma raiz (ou um zero) do polinômio P , isso é
² é r ai z d e P (x) ⇐⇒ P (²) = 0.
Exemplo 5.15 Dado P (x) = 2x 4 + 2i x 3 + x + i , observe que −i é raiz de P , enquanto 1 e
-1 não são, já que apenas P (−i ) = 0:
a) P (−i ) = 2(−i )4 + 2i (−i )3 + (−i ) + i = 2 · 1 + 2i · i − i + i = 0
b) P (1) = 2 · 14 + 2i · 13 + 1 + i = 2 + 2i + 1 + i = 3i + 3
c) P (−1) = 2 · (−1)4 + 2i (−1)3 + (−1) + i = 2 − 2i − 1 + i = 1 − i
Exemplo 5.16 Considere o polinômio P (x) = x 2 −4x+5. Tem-se que P (2−i ) = P (2+i ) = 0,
ou seja, os complexos z 1 = 2 + i e z 2 = 2 − i são raízes de P (x).
No Exemplo 5.16 observe que z 2 = z 1 , ou seja, tanto o número complexo z 1 quanto
o seu conjugado, z 2 , são raízes de um polinômio com coeficientes reais. Esse fato não é
por acaso, pois existe um teorema que garante que isso sempre acontece.
Teorema 5.1 (Raízes complexas de um polinômio) Seja p(x) = a n x n +. . .+a 1 x+a 0 um
polinômio com coeficientes reais. Se o número complexo z = a + bi é raiz de p, então
z = a − bi também é raiz desse polinômio.
Polinômio nulo
Dizemos que um polinômio P é identicamente nulo (ou simplesmente nulo) quando
ele assumir valor numérico zero ∀ x ∈ C, ou seja,
P = 0 ⇐⇒ P (x) = 0 ∀ x ∈ C.
Para que um polinômio seja nulo é necessário que todos os seus coeficientes também sejam nulos. Esse resultado será apresentado pelo Teorema 5.2 e sua demonstração
pode ser obtida em [25].
Teorema 5.2 Seja o polinômio P (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + . . . + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 . Então,
P = 0 ⇐⇒ a n = a n−1 = . . . = a 2 = a 1 = a 0 = 0.
5.4. Polinômios
73
Exemplo 5.17 Sejam a, b, c, d ∈ R e i a unidade imaginária. Para que o polinômio
P (x) = (a − 4i )x 3 − 2i bx 2 + 5(c + 6)x + d seja identicamente nulo, é necessário que seus
coeficientes sejam nulos. Logo, deve-se ter:
a − 4i = 0 ⇒ a = 4i ,
−2i b = 0 ⇒ b = 0,
5(c + 6) = 0 ⇒ c = −6
e
d = 0.
Igualdade entre polinômios
Dois polinômios P e Q são denominados iguais (ou idênticos) quando assumem valores
iguais para todo complexo x, ou seja,
P = Q ⇐⇒ P (x) = Q(x), ∀ x ∈ C.
Também é possível provar que a igualdade entre P e Q acontece se, e somente se, os
coeficientes desses polinômios forem ordenadamente iguais. Matematicamente isso
significa que se
P (x) = a n x n + . . . + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 e Q(x) = b n x n + . . . + b 2 x 2 + b 1 x + b 0 ,
então
P = Q ⇐⇒ a 0 = b 0 , a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , . . . , a n−1 = b n−1 , a n = b n .
Exemplo 5.18 Dados os polinômios f (x) = (a − 1)x 2 + bx + c e g (x) = 2ax 2 + 2bx − c,
quais são as condições para que se tenha a identidade f (x) = g (x)?
Resolução: Para que a igualdade aconteça é necessário
polinômios f e g sejam ordenadamente iguais, isso é:


 a − 1 = 2a
 2a − a = −1
b
= 2b
b − 2b =
0
=⇒
=⇒


c
= −c
c +c =
0
que os coeficientes dos

 a = −1
b =
0 .

c =
0
Grau de um polinômio
Definição 5.8 Dado um polinômio P (x) com pelo menos um termo de coeficiente não
nulo, o grau de P é o maior dos expoentes da variável x nos termos com coeficientes não
nulos, indicado por g r (P ) ou ∂P . Se P tem todos os coeficientes nulos, não se define o
grau de P .
Matematicamente, temos que se a n 6= 0 em
P (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + . . . + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ,
então,
g r (P ) = n.
Exemplo 5.19 Observe o grau de cada polinômio apresentado:
a) P (x) = −9x 5 + 3x 4 + x 3 − x 2 + 4 =⇒ g r (P ) = 5
b) R(x) = 0x 2 − 0x + 0 =⇒ @ g r (R)
c) S(x) = 8 =⇒ ∂S = 0
½
d) T (x) = ax + b, b 6= 0 =⇒ g r (T ) =
1 se a 6= 0
0 se a = 0
Capítulo 5. Polinômios
74
Exemplo 5.20 Analise o grau do polinômio f (x) = (a + 3)x 3 − 4x 2 + 1 com a ∈ R.
Resolução: Observe que o coeficiente de x 3 depende do valor de a e os coeficientes
dos outros termos são todos não nulos. Logo, se a + 3 = 0 tem-se que o grau de f será 2
e se a + 3 6= 0 o grau de f será 3.
½
2 se a = −3
∴ g r ( f ) = 3 se a 6= −3 .
5.5 Adição e subtração de polinômios
Adição
Dados dois polinômios P (x) = a n x n + . . . + a 1 x + a 0 e Q(x) = b n x n + . . . + b 1 x + b 0 , a
adição entre eles é dada por
(P +Q) (x) =
n
X
(a k + b k ) x k = (a n + b n ) x n + . . . + (a 1 + b 1 ) x + (a 0 + b 0 )
k=0
Exemplo 5.21 Observe as adições de polinômios e perceba que eles, não necessariamente,
precisam ter o mesmo grau para serem adicionados.
a) Sejam f (x) = −3x 3 − 7i x 2 + 2x + i e g (x) = 4x 3 − 2i x 2 + 3x − 2i . Logo:
( f + g )(x) = (−3 + 4)x 3 + (−7i − 2i )x 2 + (2 + 3)x + (i − 2i )
=⇒ ( f + g )(x) = x 3 − 9i x 2 + 5x − i
b) Dados P (x) = 2x 4 + 5x 3 − x + i e Q(x) = −2x 2 − 2x − 1. Então:
(P +Q)(x) = (2 + 0)x 4 + (5 + 0)x 3 + (−1 − 2)x + (i − 1)
=⇒ (P +Q)(x) = 2x 4 + 5x 3 − 3x + (i − 1)
Da forma como a adição de polinômios é definida, segue que o conjunto de todos
os polinômios na variável x ∈ C, que designaremos aqui por K , possui as seguintes
propriedades:
Propriedades 5.1
¡
¢ ¡
¢
A 1 : (Associativa) f + g + h = f + g + h, ∀ f , g , h ∈ K .
A 2 : (Comutativa) f + g = g + f , ∀ f , g ∈ K .
A 3 : (Elemento neutro) ∃ q = 0 ∈ K tal que f + q = q + f = f , ∀ f ∈ K . Sendo assim, o
polinômio nulo é o elemento neutro da adição de polinômios.
A 4 : (Inverso aditivo) ∀ f = a n x n +. . .+a 1 x +a 0 ∈ K , ∃ − f = −a n x n −. . .−a 1 x −a 0 ∈ K
tq f + (− f ) = 0. O polinômio − f é chamado inverso aditivo (ou oposto) de f .
As demonstrações das Propriedades 5.1 podem ser encontradas na referência [25], e
é a partir da propriedade A 4 que se define a operação de subtração de polinômios.
5.6. Multiplicação e divisão de polinômios
75
Subtração
A subtração entre P (x) = a n x n + . . . + a 1 x + a 0 e Q(x) = b n x n + . . . + b 1 x + b 0 é definida
por
(P −Q) (x) = [P + (−Q)] (x)
n
X
=
(a k − b k ) x k
k=0
= (a n − b n ) x n + . . . + (a 1 − b 1 ) x + (a 0 − b 0 )
Exemplo 5.22 Observe as subtrações de polinômios:
a) Sejam f (x) = 7x 3 + 3x 2 − 9i x + 2i e g (x) = −x 3 − 2i x 2 + i x − 2i . Logo:
( f − g )(x) = (7 − (−1))x 3 + (3 − (−2i ))x 2 + (−9i − i )x + (2i − (−2i ))
=⇒ ( f − g )(x) = 8x 3 + (3 + 2i )x 2 − 10i x + 4i .
b) Dados P (x) = 2x 5 − 8x 3 + x − 4 e Q(x) = −8x 3 + 2x 2 − 2x. Então:
(P −Q)(x) = (2 − 0)x 5 + (−8 − (−8))x 3 + (0 − 2)x 2 + (1 − (−2))x + (−4 − 0)
=⇒ (P −Q)(x) = 2x 5 − 2x 2 + 3x − 4.
Teorema 5.3 Se P e Q são polinômios não nulos tais que g r (P ) = m, g r (Q) = n e a soma
P + Q também seja não nula, então o grau dessa soma é menor ou igual ao maior dos
valores m e n, ou seja
g r (P +Q) ≤ max {m, n} .
Exemplo 5.23 Obtenha o grau do polinômio P +Q em cada caso.
a) P (x) = 2x 2 − 1 e Q(x) = x 3 + x 2 + x + 1. Então, pelo Teorema 5.3 segue que
g r (P +Q) ≤ max {2, 3} =⇒ g r (P +Q) ≤ 3.
Nesse caso, como P +Q = x 3 + 3x 2 + x, segue que g r (P +Q) = 3.
b) P (x) = 2x 2 − 2i e Q(x) = −2x 2 + x + 1 =⇒ g r (P +Q) ≤ max {2, 2} =⇒ g r (P +Q) ≤ 2.
Como P +Q = x + (1 − 2i ) =⇒ g r (P +Q) = 1.
5.6 Multiplicação e divisão de polinômios
Multiplicação
Considere os polinômios
P (x) = a m x m + . . . + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 e Q(x) = b n x n + . . . + b 2 x 2 + b 1 x + b 0 .
O produto PQ é o polinômio expresso por
(PQ)(x) = a m b n x m+n + . . . + (a 2 b 0 + a 1 b 1 + a 0 b 2 ) x 2 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 ) x + a 0 b 0 .
Observe que esse produto é equivalente a
Capítulo 5. Polinômios
76
(PQ)(x) = c m+n x m+n + . . . + c 2 x 2 + c 1 x + c 0
onde cada coeficiente c k , com k ∈ {1, 2, 3, . . . , m + n} é obtido por
ck =
k
X
a t b k−t = a 0 b k + a 1 b k−1 + . . . + a k b 0 .
t =0
A forma como é definida a multiplicação (produto) de polinômios é equivalente a se
aplicar a propriedade distributiva e agrupar os termos semelhantes, ou seja, multiplicar
cada termo a t x t de P por cada termo b j x j de Q e efetuar a soma dos resultados obtidos.
Vejamos com um exemplo:
Exemplo 5.24 Multiplicando A(x) = x 4 − 2x 2 + i por B (x) = 3x 2 − 2x − i temos que:
¡
¢¡
¢
(AB )(x) = x 4 − 2x 2 + i 3x 2 − 2x − i
¡
¢
¡
¢
¡
¢
= x 4 3x 2 − 2x − i − 2x 2 3x 2 − 2x − i + i 3x 2 − 2x − i
= x 4 · 3x 2 + x 4 · (−2x) + x 4 · (−i ) − 2x 2 · 3x 2 − 2x 2 · (−2x) − 2x 2 · (−i )
+i · 3x 2 + i · (−2x) + i · (−i )
= 3x 6 − 2x 5 − i x 4 − 6x 4 + 4x 3 + 2i x 2 + 3i x 2 − 2i x − i 2
= 3x 6 − 2x 5 − (6 + i )x 4 + 4x 3 + 5i x 2 − 2i x + 1
A multiplicação entre polinômios também pode ser feita por meio de dispositivos
práticos, que não serão abordados aqui. Dois deles podem ser obtidos em [25].
As Propriedades 5.2 descrevem as principais propriedades que a multiplicação no
conjunto K , de polinômios com coeficientes complexos possui, e cujas demonstrações
não serão discutidas nesse texto.
Propriedades 5.2
¡
¢ ¡
¢
M 1 : (Associativa) f · g · h = f · g · h, ∀ f , g , h ∈ K .
M 2 : (Comutativa) f · g = g · f , ∀ f , g ∈ K .
M 3 : (Elemento neutro) ∃ q = 1 ∈ K tal que f · q = q · f = f , ∀ f ∈ K . Sendo assim, o polinômio identidade, q(x) = 1, é o elemento neutro da multiplicação de
polinômios.
¡
¢
M 4 : (Distributiva) f · g + h = f · g + f · h, ∀ f , g , h ∈ K .
Teorema 5.4 Se P e Q são polinômios não nulos, então o grau do produto PQ é a soma
dos graus de P e Q, ou seja
g r (PQ) = g r (P ) + g r (Q).
Exemplo 5.25 Dados P (x) = 2x 3 − 3i e Q(x) = x 4 − i x, tem-se pelo Teorema 5.4 que
g r (PQ) = g r (P ) + g r (Q) = 3 + 4 =⇒ g r (PQ) = 7. Portanto, se a multiplicação de P e
Q for realizada, iremos perceber que o polinômio gerado terá grau 7. Isso é percebido
facilmente, quando se faz a multiplicação do termo 2x 3 de P com o termo x 4 de Q.
5.6. Multiplicação e divisão de polinômios
77
Divisão
Definição 5.9 (Divisão de polinômios) Sejam dois polinômios D e d 6= 0. Dividir D por
d significa obter dois polinômios Q e R, de forma que sejam verificadas as seguintes
condições:
a) D = dQ + R
b) g r (R) < g r (d )
Quando R = 0 a divisão é denominada exata e se diz que D é divisível por d ou que d
é um divisor de D. Os polinômios D, d , Q e R são denominados por dividendo, divisor,
quociente e resto, respectivamente.
Exemplo 5.26 Na divisão de D = x 4 −3x 3 +6x 2 por d = x 2 −3x +5, obtém-se como quociente o polinômio Q = x 2 +1 e como resto R = 3x −5. Isso pode ser verificado observando-se
que as condições a) e b) da Definição 5.9 são satisfeitas.
Existem duas situações onde a divisão de D por d se dá de forma direta. Vejamos
esses dois casos:
1. Quando D = 0:
Nessa situação, considere Q = R = 0 e observe que eles satisfazem as condições a)
e b) da Definição 5.9, pois:
0 = d ·0+0 e R = 0
2. Quando g r (D) < g r (d ):
Nessa situação, deve-se ter que
D = dQ+R =⇒ g r (D) = g r (dQ+R) =⇒ g r (dQ+R) < g r (d ) =⇒ Q = 0 e D = R 6= 0,
pois satisfazem as condições a) e b) da Definição 5.9.
Exemplo 5.27
a) Dividindo-se D = 0 por d = 2x 3 + 2x, tem-se que Q = 0 e R = 0.
b) Dividindo-se D = 2x 2 + x por d = −4x 4 + x 2 , tem-se Q = 0 e R = D = 2x 2 + x.
Falta analisar apenas o caso onde g r (D) ≥ g r (d ). Nesse caso, a divisão não é imediata como as observadas anteriormente, e a forma de obter o quociente Q e o resto R
exige a utilização de algum método. Aqui, apresentaremos o método da chave:
Método da chave
Para ilustrar a utilização desse método, vamos aplicá-lo na divisão de D = 12x 4 + 6x 2 + 1
por d = 3x 2 + 2x + 1, destacando cada parte a ser realizada.
1. Coloca-se D e d numa chave, sendo que, para reduzir a chance de erro na divisão,
pode-se completar o polinômio D, colocando coeficientes nulos nos termos
faltantes.
Capítulo 5. Polinômios
78
2. Divide-se o termo de maior grau de D pelo de maior grau de d (12x 4 : 3x 2 = 4x 2 ),
obtendo o primeiro termo do quociente.
3. Multiplica-se o termo obtido para Q por todos os termos de d e subtrai-se o
resultado de D. Isso equivale a colocar os resultados das multiplicações abaixo
dos respectivos termos de D, e com os sinais trocados, efetuando-se a soma
posteriormente.
4. O resto parcial, −8x 3 + 2x 2 + 0x + 1, tem grau maior do que o grau de d . Então,
divide-se o termo de maior grau desse resto pelo de maior grau de d , obtendo o
segundo termo de Q, −8x 3 : 3x 2 = − 83 x. Em seguida, repete-se o passo 3.
5. O resto parcial obtido, 22
x 2 + 83 x + 1, tem grau igual ao grau de d . Então, repete-se
3
os passos 4 e 3, obtendo:
Portanto, na divisão de D por d , o quociente e o resto são dados respectivamente
por
8
22
Q(x) = 4x 2 − x +
3
9
e R(x) = −
20
13
x− .
9
9
Além disso, é claro que deve-se ter que D = dQ + R (Verifique!).
5.6. Multiplicação e divisão de polinômios
79
Esse procedimento pode ser utilizado em qualquer divisão de D por d , desde que se
tenha g r (D) ≥ g r (d ).
Observação 5.3 Observe que o critério de parada da divisão pelo método da chave é
quando o grau do resto ficar menor do que o grau do divisor, pois nesse ponto, se garante
a condição b) da Definição 5.9.
Observação 5.4 Ao se efetuar a divisão, sempre se terá que g r (R) < g r (d ). Portanto, o
maior grau possível para o resto será sempre g r (R) = g r (d ) − 1.
Divisão por binômios de grau 1
Lema 5.1 Seja a ∈ C. O resto da divisão de um polinômio D(x) por x − a é igual a D(a).
Demonstração: Ao se dividir D(x) por x − a, deve-se obter Q(x) e R(x) tais que
D(x) = (x − a) ·Q(x) + R(x). Contudo, como g r (R) < g r (x − a) e g r (x − a) = 1, segue que
g r (R) = 0, o que implica que R(x) é uma constante, digamos R(x) = k ∈ C ∀ x. Logo:
D(x) = (x − a) · Q(x) + k =⇒ D(a) = (a − a) · Q(x) + k =⇒ D(a) = k = R(x).
Exemplo 5.28 O resto da divisão de D(x) = x 3 − 2x − 6 por x − 1 é dado por D(1) =
13 − 2 · 1 − 6 =⇒ R(x) = −7.
Com o auxílio do Lema 5.1 é possível provar o Teorema 5.5. Essa demonstração
será deixada como exercício para o leitor e uma dica pode ser encontrada na seção de
respostas.
Teorema 5.5 (D’Alembert) Seja P um polinômio em C. Então, P (x) é divisível por x − a
se, e somente se, P (a) = 0, isto é, quando a for uma raiz de P .
Exemplo 5.29
a) Sem efetuar a divisão, mostre que o polinômio A(x) = 2x 3 − 12x 2 + 18x é divisível
por x − 3.
Resolução: Para o binômio x − 3 tem-se que a = 3. Então, A(3) = 2 · 33 − 12 · 32 +
18 · 3 = 54 − 108 + 54 =⇒ A(3) = 0. Logo, pelo Teorema 5.5 segue que A é divisível
por x − 3.
b) Para que valor de k o polinômio P (x) = kx 3 + x 2 − 5 é divisível por x + 21 ?
Resolução: No binômio x + 12 tem-se que a = − 12 . Então, pelo Teorema 5.5 deve-se
¡ ¢
ter P − 12 = 0. Logo:
¶
µ ¶3 µ ¶2
1
1
1
1
1
+ −
− 5 = 0 ⇐⇒ − k + − 5 = 0 ⇐⇒ k = −38.
P − = 0 ⇐⇒ k −
2
2
2
8
4
µ
Um outro resultado relativo à divisão por binômios de grau 1 é sobre a divisão pelo
produto de dois desses binômios, conforme descrito no Teorema 5.6.
Teorema 5.6 Dado um polinômio P que seja divisível por (x − a) e por (x − b), com
a 6= b, então P é divisível pelo produto (x − a)(x − b).
Capítulo 5. Polinômios
80
Algoritmo de Briot-Ruffini
O Algoritmo de Briot-Ruffine é uma sequência de passos, utilizada para se obter os
coeficientes do quociente e do resto da divisão de um polinômio P (x) = a n x n + . . . +
a 1 x + a 0 , a n 6= 0, por um binômio da forma x − a.
O esquema apresentado na Figura 2 ilustra a execução do algoritmo e as relações de
recorrência que devem ser usadas para obter os coeficientes do quociente e também
do resto da divisão.
Figura 2 – Ilustração da aplicação do algoritmo de Briot-Ruffine.
Como a divisão é de um polinômio de grau n por um de grau 1, segue que o quociente terá grau n − 1 e que o resto sempre será uma constante, já que g r (R) = 0. O
algoritmo fornece as seguintes relações de recorrência que permitem obter os coeficientes do quociente e do resto da divisão:
• q n−1 = a n
• q n−2 = q n−1 · a + a n−1
• q n−3 = q n−2 · a + a n−2
• q n−4 = q n−3 · a + a n−3
..
.
• q2 = q3 · a + a3
• q1 = q2 · a + a2
• q0 = q1 · a + a1
• R(x) = q 0 · a + a 0
Sendo que, q n−1 , q n−2 , . . . , q 0 são os coeficientes do quociente e R(x) é o resto da
divisão de P (x) por x − a.
Exemplo 5.30 Vamos obter o quociente Q(x) e o resto R(x) na divisão de P (x) = 4x 3 +
6x 2 + 8x + 10 por x − 2, utilizando o algoritmo de Briot-Ruffini.
Como g r (P ) = 3 e g r (x − 2) = 1, segue que g r (Q) = 2. Utilizando o dispositivo da
Figura 2 e as relações de recorrência para q 2 , q 1 , q 0 e R(x), vem que:
Portanto, tem-se que
Q(x) = 4x 2 + 14x + 36 e R(x) = 82.
5.7. Teorema Fundamental da Álgebra - TFA
81
5.7 Teorema Fundamental da Álgebra - TFA
Um teorema de extrema importância em nosso estudo é o denominado Teorema Fundamental da Álgebra, ou simplesmente, TFA. Sua demonstração está além do escopo
desse livro, pois requer conhecimentos mais avançados de matemática.
Teorema 5.7 (TFA) Todo polinômio de grau n em C admite exatamente n raízes complexas, que podem, inclusive, ser repetidas.
Já o Teorema 5.8, que é uma consequência do TFA, apresenta uma forma de escrever
um polinômio a partir das suas raízes. Vejamos:
Teorema 5.8 (Teorema da Fatoração) Todo polinômio
P (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + . . . + a 1 + a 0
com a n 6= 0 e com raízes r 1 , r 2 , . . . , r n , pode ser decomposto (ou fatorado), de forma
única, em n fatores de grau 1, como segue:
P (x) = a n (x − r 1 )(x − r 2 )(x − r 3 ) . . . (x − r n ).
(5.1)
Sendo assim, dizemos que um polinômio está fatorado quando ele estiver escrito
na forma apresentada pela Equação (5.1).
Exemplo 5.31 As raízes de −3x 2 − 3x + 18 = 0 são x 1 = −3 e x 2 = 2. Além disso, como
a 2 = −3, segue do Teorema 5.8 que a forma fatorada desse polinômio é
−3x 2 − 3x + 18 = −3(x + 3)(x − 2).
Exemplo 5.32 Considere o polinômio −x 3 + 4x 2 + 7x − 10. Observe que x = 1 é uma raiz
desse polinômio, pois P (1) = 0. Logo, pelo Teorema 5.5 segue que ele é divisível por x − 1.
Efetuando-se essa divisão (pelo algoritmo de Briot-Ruffini ou pelo método da chave)
obtem-se que
−x 3 + 4x 2 + 7x − 10 = (x − 1)(−x 2 + 3x + 10).
As raízes de −x 2 + 3x + 10 são x 1 = −2 e x 2 = 5, o que nos leva a
−x 3 + 4x 2 + 7x − 10 = −(x − 1)(x + 2)(x − 5),
que é a forma fatorada desse polinômio de grau 3.
Considere então, as n raízes complexas de um polinômio de grau n, sendo que o
número de raízes distintas é t , com 0 < t < n, e onde r 1 se repete m 1 vezes, r 2 se repete
m 2 vezes, r 3 se repete m 3 vezes, até a raiz r t que se repete m t vezes, com m 1 , . . . , m t ∈ N.
Então P (x) pode ser escrito da forma:
P (x) = a n (x − r 1 )m1 (x − r 2 )m2 (x − r 3 )m3 . . . (x − r t )m t ,
onde m 1 + m 2 + m 3 + . . . + m t = n.
Capítulo 5. Polinômios
82
Exemplo 5.33 O polinômio de grau 8 dado por 4(x 2 − 6x + 9)(x 2 − 2i x − 1)(x + 5)4 tem
como raízes x 1 = x 2 = 3, x 3 = x 4 = i e x 5 = x 6 = x 7 = x 8 = −5. Logo,
4(x 2 − 6x + 9)(x 2 − 2i x − 1)(x + 5)4 = 4(x − 3)2 (x − i )2 (x + 5)4 .
Definição 5.10 Quando P (x) é escrito da forma
P (x) = a n (x − r 1 )m1 (x − r 2 )m2 (x − r 3 )m3 . . . (x − r t )m t ,
diz-se que as raízes r 1 , r 2 , . . . , r t possuem multiplicidades m 1 , m 2 , . . . , m t , respectivamente. Ou seja, a multiplicidade de uma raiz é o número de vezes que essa raiz se repete.
Além disso, se a raiz aparecer apenas uma vez ela é denominada raiz simples.
Exemplo 5.34 No Exemplo 5.33 tem-se que as raízes 3 e i possuem multiplicidade 2 e
que a raiz -5 tem multiplicidade 4.
5.8 Relações de Girard
As relações de Girard são relações existentes entre os coeficientes e as raízes de uma
equação polinomial do tipo P (x) = 0. Vamos apresentar aqui as relações referentes às
equações polinomiais do segundo e do terceiro grau. Detalhes relativos às equações de
grau n para n > 3 podem ser obtidas em [25].
Pelo Teorema 5.8 tem-se que ax 2 + bx + c = 0, de raízes x 1 e x 2 , pode ser escrita
como
a(x − x 1 )(x − x 2 ) = 0.
Tem-se, então, que
ax 2 + bx + c = a(x − x 1 )(x − x 2 ).
Como a 6= 0, ao se dividir ambos os lados da última equação por a, obtém-se
x2 +
c
b
x + = x 2 − (x 1 + x 2 )x + x 1 x 2 ,
a
a
o que leva a
b
c
e x1 x2 = .
(5.2)
a
a
As igualdades apresentadas nas Equações (5.2) são as relações de Girard para a
equação do 2º grau.
Considerando S e P como a soma e o produto das raízes, respectivamente, tem-se
que a equação pode ser escrita da forma
x1 + x2 = −
x 2 − Sx + P = 0
(5.3)
que é uma forma de se encontrar as raízes de maneira simples, ou então, de construir
uma equação a partir das suas raízes.
Exemplo 5.35
a) Observando a equação x 2 −3x −10 = 0 deve-se ter S = x 1 +x 2 = 3 e P = x 1 x 2 = −10.
Apenas com cálculos mentais, observa-se que os dois números que satisfazem
essas condições são 5 e -2, o que implica que se pode considerar que x 1 = 5 e
x 2 = −2.
5.9. Exercícios
83
b) Para se obter uma equação quadrática que tenha como raízes os valores x 1 = −1
e x 2 = 7, basta observarmos que x 1 + x 2 = 6 e que x 1 x 2 = −7. Logo, pela Equação
(5.3) vem que uma equação com essas raízes é x 2 − 6x − 7 = 0.
Com o mesmo raciocínio usado anteriormente, é possível provar que as relações de
Girard para equações da forma ax 3 + bx 2 + c x + d = 0 e de raízes x 1 , x 2 e x 3 , são:
x1 + x2 + x3 = −
b
,
a
x1 x2 x3 = −
d
a
x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 =
e
c
.
a
(5.4)
5.9 Exercícios
1. Qual é o grau do monômio P (x, y, z) = 12x 3 y 4 z 2 ?
2. Obtenha o g r (P ) para cada caso:
a) P = −3x 2 y 5
b) P = 14
c) P = −7i y
d) P = 0x 7
3. Para os monômios A = −x 2 y 3 , B = 4x 2 y 3 , C = 23 ab e D = −ab, obtenha:
a) A + B
b) A − B
c) B − A
d) A · B
f) −6C · D
e) −C + 4D
4. Efetue o que se pede:
14x 2 y 5
a)
49x y 3
b) 2
−1 4 3 9
a b c :4
−2 3
a bc
7
¡
¢2
c) 3x 2 y 3 z 4
µ
3
d) a 3 b 2 cd 3
4
¶3
5. Prove a propriedade do cubo da soma e da diferença de dois termos, ou seja, que
dados x, y ∈ C então:
(x + y)3 = x 3 + 3x 2 y + 3x y 2 + y 3 e (x − y)3 = x 3 − 3x 2 y + 3x y 2 − y 3 .
6. Efetue as seguintes operações:
a) (x − 1) + 6(x + 1) − 5
b) 2(x + 10) − (x 2 − 1)
c) 4(x 2 − 5x + 6) − 3(x 2 + 10x + 2)
d) (1 − 4x)(x 2 − x − 2)
e) (x 2 + x − 3)(x − 2)
f ) (x − 1)(x − 2)(x − 3)
7. Utilizando produtos notáveis resolva cada expressão:
³ p
´2
¡ p
¢2
a) a a + 2b , com a ≥ 0
b) 2 b + a , com b ≥ 0
µ
¶
µ
¶
1 1 2
1 1 2
c)
+
d)
−
x y
x y
µ
¶2
µ
¶µ
¶
1
1 2 1 2
e)
+x
f)
+
−
x
x y x y
¡
¢3
g) 4x − 3y
h) (2 + x)3
8. Se A = x1 + 1y e B = x −1 − y −1 , o valor de B 2 − A 2 é:
a) 0
b)
x+y
x−y
c)
x 2 −y 2
x2 y 2
d)
−4
xy
e) −4x 2 y 2
Capítulo 5. Polinômios
84
9. Sabendo que a +
a) 6
1
1
= 3, qual o valor de a 2 + 2 ?
a
a
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
10. Encontre a expressão expandida de (a + b + c)2 .
11. (Escola Técnica Federal - RJ) Qual a expressão que deve ser somada a x 2 − 6x + 5
para que resulte o quadrado de (x − 3)?
a) 3x
b) 4x
c) 3
d) 4
e) 3x + 4x
12. Dados os polinômios f (x) = 7−2x +4x 2 , g (x) = 5x 3 + x 2 + x +5 e h(x) = x 4 −3x +2
calcular:
a) ( f + g )(x)
b) (g − h)(x)
c) (h − f )(x)
13. Determinar h(x) tal que h(x) = (x + 1)(x − 2) + (x − 2)(x − 1) + 4(x + 1).
14. Se f e g são dois polinômios de grau n, qual é o grau de ( f + g ) e de f g ?
15. Seja f (x) uma função polinomial do segundo grau. Determinar f (x) sabendo que
f (1) = 0 e f (x) = f (x − 1).
16. Sejam f , g e h polinômios de graus 2, 3 e 4 respectivamente. O grau do polinômio
f · (g − h) é:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 8
e) 14
17. Numa divisão de polinômios em que o divisor tem grau 4, o quociente tem grau 2
e o resto tem grau 1, qual é o grau do dividendo? E se o grau do resto fosse 2?
18. Sejam f e h são polinômios de graus 4 e 5 respectivamente, então o grau de:
a) f + h é 4
b) f h é 20
c) f + h é 9
d) f h é 9
e) h − f é 4
£
¤3 £
¤2
19. (UFRGS) Se p(x) é um polinômio de grau 5, então p(x) + p(x) +2p(x) possui
grau igual a:
a) 3
b) 8
c) 15
d) 20
e) 30
20. (PUC) O polinômio p(x) = (x − 1) · (x − 2)2 · (x − 3)3 · . . . · (x − 10)10 tem grau:
a) 10
b) 10!
c) 102
d) 110
e) 110/2
21. Dividir f por g aplicando o método da chave:
a) f = 3x 5 − x 4 + 2x 3 + 4x − 3 e g = x 3 − 2x + 1
b) f = x 4 − 2x + 13 e g = x 2 + x + 1
22. (ITA) Determinar o resto de x 2 + x + 1 dividido por x + 1.
23. (UFMG - 2005) Sejam p(x) = 4x 3 +bx 2 +c x +d e q(x) = mx 2 +nx −3 polinômios
com coeficientes reais. Sabe-se que p(x) = (2x − 6)q(x) + x − 10.
Considerando-se essas informações, é INCORRETO afirmar que:
a)
b)
c)
d)
se 10 é raiz de q(x), então 10 também é raiz de p(x).
p(3) = −7
d = 18
m=2
5.9. Exercícios
85
24. Sem efetuar a divisão, prove que f (x) = x 4 + 3x 3 − 6x − 4 é divisível por g (x) =
x 2 + 3x + 2.
25. Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, determinar quociente e resto da
divisão de f por g :
a) f = 5x 4 − 12x 3 + x 2 − 13 e g = x + 3
b) f = 81x 5 + 32 e g = x − 23
26. Sendo P (x) = Q(x) + x 2 + x + 1 e sabendo que 2 é raiz de P (x) e que 1 é raiz de
Q(x), então P (1) −Q(2) vale:
a) 0
b) 2
c) 3
d) 6
e) 10
p
27. (Vunesp-SP) Dada a equação x 2 + x − 2 = 0, calcule a soma dos inversos de suas
raízes.
28. (OBMEP - 2007, Nível 3 da Lista 8) As duas partículas - Duas partículas, A e B ,
percorrem uma circunferência de 120 m de comprimento. A partícula A gasta
3 segundos menos que B , por estar animada com uma velocidade maior de 2
metros por segundo. Qual é a velocidade de cada partícula?
29. (OBMEP - 2008, Nível 2 da Lista 4) Soma de cubos - Se x + y = 1 e x 2 + y 2 = 2,
calcule x 3 + y 3 .
30. (UFMA) Sabendo-se que P (x) é um polinômio de terceiro grau, que é divisível
por x − 3, e que P (x) = P (x − 3) − x 2 − 3, determine o produto das raízes de P (x).
31. Obtenha um polinômio de grau 4 que tenha como raízes os números complexos:
i , −i , 3i e 2.
32. (UFMG) Sejam p(x) = ax 2 +(a −15)x +1 e q(x) = 2x 2 −3x + b1 polinômios com
coeficientes reais.
Sabe-se que esses polinômios possuem as mesmas raízes. Então, é CORRETO
afirmar que o valor de a + b é
a) 3
b) 6
c) 9
d) 12
33. Determine um polinômio que possua, ao menos, as raízes x 1 = 2 (raiz simples),
x 2 = −3, x 3 = 2i e x 4 = −2i , sendo que x 2 , x 3 e x 4 são de multiplicidade 2.
a) Qual é o menor grau possível para esse polinômio?
b) Esse polinômio pode ter grau maior do que 10?
34. Resolva a equação 2x 3 + 3x 2 − 1 = 0 sabendo que ela admite uma raiz de multiplicidade 2.
35. Determine os reais a, b, c de modo que f (x) = (a − 2)x 3 + (b + 2)x + (3 − c) seja o
polinômio nulo.
36. (UFMG - 2003) Sabendo-se que p(1+2i ) = 0, CALCULE todas as raízes do polinômio p(x) = x 5 + x 4 + 13x 2 + 5x.
37. Dadas as funções polinomiais A(x) = (a − 1)x 2 + bx + c e B (x) = 2ax 2 + 2bx + c,
quais são as condições para que se obtenha a identidade A(x) = B (x)?
Capítulo 5. Polinômios
86
38. Dada a função polinomial f (x) = x 3 + x 2 + x + 1, determine:
a) f (0)
b) f (−1)
c) f (1)
d) f (x + 1)
e) f ( f (−1))
39. (UFMG - 2006 - Modificada) Considere o polinômio p(x) = x 4 − 2mx 2 + 2m − 1,
sendo m um número real > 1. CALCULE as raízes de p(x) em função de m.
40. (UFPA) O polinômio P (x) = ax 3 + bx 2 + c x + d é idêntico a Q(x) = 5x 2 − 3x + 4.
Então, temos que a + b + c + d é igual a:
a) 6
b) 5
c) 4
d) 0
e) −3
41. Qual é o quociente da divisão de P (x) = 4x 4 − 4x 3 + x − 1 por Q(x) = 4x 3 + 1 ?
a) x − 5
b) x − 1
c) x + 5
d) 4x − 5
e) 4x + 8
42. Considere os polinômios A(x) = x 2 + ax + b e B (x) = x 4 + 1. Determine a, b ∈ R
para os quais se garanta que B é divisível por A.
43. Sabe-se que na divisão de um polinômio A por (x − 5) o resto obtido é 8 e que na
divisão desse mesmo polinômio por (x − 3) o resto é 6. Qual é o resto da divisão
de A por (x − 5)(x − 3)?
44. (UFMG) O quociente do polinômio P (x) = x 4 + a 2 x 2 + a 4 pelo polinômio q(x) =
x 2 − ax + a 2 , a ∈ R, é:
a) x 2 − ax + a
b) x 2 − ax + a 2
c) x 2 − a 2 x + a
d) x 2 + ax + a 2
45. (UFMG) Os valores de m e n, para os quais o resto da divisão de p(x) = 2x 3 −3x 2 +
mx + n por q(x) = x 2 − 3x + 2, seja 2x + 1, são respectivamente:
a) 9 e −1
b) −3 e 7
c) 2 e 3
d) 2 e 1
e) −6 e 2
46. Obtenha o valor numérico de P (x) = 2x 4 + 2i x 3 + x + i para x = i e x =
−1
p
3 .
2
47. Determinar as raízes, em C, e suas respectivas multiplicidades, considerando
3(x + 4)(x 2 + 1) = 0.
48. Qual é o grau de um polinomio P (x) cujas raízes são 3, 2, -1 com multiplicidades
7, 6 e 10, respectivamente?
49. Escreva os polinômios abaixo nas suas respectivas formas fatoradas, considerando U = C:
a) P (x) = 2x 2 − 8x + 6
b) Q(x) = 2x 2 − 18
c) R(x) = x 2 + 16
d) S(x) = (x − 2)(x 2 − 3x + 2)
e) T (x) = 9x 2 − 1
f ) U (x) = 4x 4 + 2x 3 − x 2
50. Sabendo que x = 1/3 é raiz de p(x) = 9x 3 − 9x 2 − x + 1, obtenha a sua forma
fatorada.
51. (UECE) Se p e q são as raízes da equação 2x 2 − 6x + 7 = 0, então (p + 3)(q + 3) é
igual a:
a)
41
2
b)
43
2
c)
45
2
d)
47
2
5.9. Exercícios
87
52. O polinômio p(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + c x + d tem todos os seus coeficientes reais.
Sabendo que i é uma de suas raízes e que 1 é uma raiz dupla, determine os valores
de a, b, c e d .
53. Usando o Teorema 5.8 (Teorema da fatoração), determine o polinômio k(x) com
g r (k) = 3 e cujas raízes são 1, 2 e 3, sabendo que o valor numérico de k para
x = 1/2 é −15/8.
54. Sabe-se que o coeficiente a 3 do polinômio q(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 é igual
a 1. Além disso, 1 e 2 são raízes de q e q(3) = 30. Determine q(−1).
55. Apresente dois polinômios, f e g não nulos, tais que que g r ( f + g ) = 0.
56. Considere os polinômios A(x) = 2x 2 − 1 e B (x) = x 3 + x 2 + x + 1:
a) Mostre que A(x) − B (x) 6= B (x) − A(x).
b) Porque essa diferença não fere a comutatividade da soma de polinômios?
57. Utilizando o Exemplo 5.23 como referência, discuta em que casos ter-se-á que
g r ( f + g ) < max {m, n} e g r ( f + g ) = max {m, n}.
58. Sejam A e B polinômios quaisquer, com AB 6= 0. É correto afirmar que:
a) g r (A + B ) = g r (A) + g r (B )
b) g r (AB ) = g r (A) + g r (B )
c) g r (AB ) > g r (A)
Apresente contra exemplos para as afirmações falsas.
59. Obtenha o polinômio do segundo grau f (x) tq f (0) = 2, f (−1) = 0 e f (1) = 8.
60. Usando o Lema 5.1 demonstre o Teorema 5.5 (teorema de D’Alembert).
CAPÍTULO
Tópicos de Cálculo Algébrico
Nesse capítulo, apresentaremos algumas definições e exemplos relativos às expressões
algébricas, expressões algébricas inteiras e fracionárias, racionalização de denominadores e operações com frações algébricas. Ressaltamos ainda, que em todo esse capítulo o
universo de trabalho será o conjunto dos números complexos, C.
6.1 Expressões algébricas e fracionárias
Expressões algébricas
Definição 6.1 Denomina-se por expressão algébrica toda expressão matemática cujos
termos são constituídos de variáveis (letras) e números (constantes).
Exemplo 6.1 Sendo a, b constantes complexas, todas as expressões abaixo são algébricas:
a) −3i x 2 + 5ax + 2y
b) − 73 x y 1/2 + 3bz 2 − 2y z
c) bx + 1
Classificação
As expressões algébricas são classificadas em:
• Irracionais: Quando as variáveis estão sujeitas à operação de radiciação. É o caso
do item b do Exemplo 6.1.
• Racionais: Quando as variáveis não estão sujeitas à operação de radiciação. É o
caso dos itens a e c do Exemplo 6.1. Observe que uma expressão algébrica só será
racional quando os expoentes das variáveis forem números inteiros.
Como as expressões algébricas estão associadas às variáveis, é comum usar uma
outra letra, acompanhada das variáveis envolvidas, entre parênteses, para representar
6
Capítulo 6. Tópicos de Cálculo Algébrico
90
cada expressãoi , assim como é feito para polinômios. As expressões apresentadas no
Exemplo 6.1 podem ser representadas por:
P (x, y) = −3i x 2 + 5ax + 2y,
3
Q(x, y, z) = − x y 1/2 + 3bz 2 − 2y z
7
e
R(x) = bx + 1.
Valor numérico
Ao se substituir as variáveis de uma expressão algébrica por números específicos, onde
essa expressão esteja definida, e se efetuar as operações indicadas, o valor obtido é
denominado valor numérico da expressão para aqueles valores.
Exemplo 6.2
a) O valor numérico da expressão algébrica A(x, y) = −3i x 2 + 5x + 2y para x = i e
y = −2 é dado por
A(i , −2) = −3i · i 2 + 5 · i + 2 · (−2) = −3i · (−1) + 5i − 4
=⇒ A(i , −2) = 8i − 4.
b) Sendo B (x, y, z) = − 37 x y + 3z 2 − 2y z 2/3 , segue que
p
p
3
3
3
B (7, −2, i ) = − · 7 · (−2) + 3 · i 2 − 2 · (−2) · i 2 = 6 − 3 + 4 −1
7
=⇒ B (7, −2, i ) = −1.
c) Se o valor numérico da expressão −7x + 3 é 12, qual deve ser o valor da variável x?
Resolução: Ora, como o valor numérico é 12, pode-se escrever que
9
−7x + 3 = 12 =⇒ 7x = 3 − 12 =⇒ x = − .
7
Expressões fracionárias
Definição 6.2 Diremos que uma expressão algébrica racional é uma expressão fracionária quando ela possuir pelo menos uma variável no denominador. Caso contrário, ela
será chamada de expressão inteira.
Exemplo 6.3 Em a), b), c) e d) temos expressões algébricas fracionárias e em e) e f)
expressões inteiras.
a)
2x y+2i y
3z y
b)
2xa 2
z
c)
3i w z 3
x y+a
d)
3a 2 +4b 3 −x y
w a+3b
e)
2a 2 b
5
e
f) − 3z
.
2
Observação 6.1 Atente para o fato de que, nas expressões fracionárias, como o denominador sempre terá pelo menos uma variável, os valores que anularem o denominador
estarão fora do domínio dessa expressão, que é o conjunto de todos os valores que as
variáveis podem assumir. Por exemplo, no item a) do Exemplo 6.3 deve-se ter que z 6= 0
e y 6= 0 e no item b) deve-se ter que z 6= 0.
i
Quando não gerar ambiquidades, também é comum utilizar as letras, sem as variáveis. Ou seja, para
o exemplo apresentado, usaria-se P = P (x, y), Q = Q(x, y, z) e R = R(x)
6.2. Fatoração de expressões algébricas inteiras
91
6.2 Fatoração de expressões algébricas inteiras
Fatorar uma expressão algébrica inteira consiste em escrevê-la como um produto
de duas ou mais expressões algébricas. Nessa seção, vamos nos dedicar a estudar os
seguintes tipos de fatoração:
Û Fator comum.
Û Fatoração por agrupamento.
Û Trinômio quadrado perfeito e diferença de quadrados.
Û Soma e diferença de cubos.
Fator comum
Quando um ou mais fatores foram comuns a todos os termos de uma expressão inteira,
podemos colocá-lo em evidência, isto é, como um fator multiplicativo, sendo que
o outro fator será o resultado da divisão de cada termo da expressão por esse fator.
Vejamos um exemplo:
Exemplo 6.4 Fatore as expressões ax + a y + az, bx + b 2 x y, 9x 2 − 6x, t 3 k + t k 3 e
2z 3 + 2i z 2 + 12z, considerando a, b, x, t e k como constantes não nulas.
a) Observe que a é o único fator comum em todos os três termos da expressão
ax + a y + az. Sendo assim, é ele que podemos colocar em evidência. Portanto,
devemos ter
¡
¢
ax + a y + az = a x + y + z .
Para se obter cada um dos três termos do fator entre parênteses, bastou dividir
cada termo da expressão pelo fator a, ou seja, ax/a = x, a y/a = y e az/a = z.
b) Na segunda expressão, o fator comum entre os dois termos é bx. Logo, como
bx/bx = 1 e b 2 x y/bx = b y, tem-se que
¡
¢
bx + b 2 x y = bx 1 + b y .
c) Na expressão 9x 2 − 6x percebe-se que o fator comum é 3x. Então, tem-se que
9x 2 − 6x = 3x (3x − 2) .
d) Em t 3 k + t k 3 o fator comum é t k. Logo
¡
¢
t 3k + t k 3 = t k t 2 + k 2 .
e) Percebe-se que o fator comum nos termos de 2z 3 + 2i z 2 + 12z é 2z. Logo
¡
¢
2z 3 + 2i z 2 + 12z = 2z z 2 + i z + 6 = 2z (z − 2i ) (z + 3i ) .
Capítulo 6. Tópicos de Cálculo Algébrico
92
Fatoração por agrupamento
É um método utilizado quando nem todos os termos da expressão possuem um fator
comum, mas grupos de termos possuem um determinado fator comum. Vejamos:
Exemplo 6.5 Fatore as expressões 6x + 6z + x 2 + xz e 4y 2 − 8y − z y + 2z.
a) Observe que 6 é um fator comum de dois termos da expressão 6x + 6z + x 2 + xz
e que x é fator comum dos outros dois. Então, pode-se colocar 6 em evidência
nesses dois termos e x em evidência nos outros dois, obtendo
6x + 6z + x 2 + xz = 6(x + z) + x(x + z)
Ao se fazer isso, a expressão que possuia quatro termos, passou a possuir apenas
dois. Além disso, observe que (x + z) é um fator comum nesses dois termos, e por
isso, pode-se colocá-lo em evidência, gerando
6x + 6z + x 2 + xz = 6(x + z) + x(x + z) = (x + z)(6 + x).
Portanto, temos que
6x + 6z + x 2 + xz = (x + z)(6 + x).
b) Com raciocínio análogo ao que foi feito no item a) tem-se que
4y 2 − 8y − z y + 2z = 4y(y − 2) − z(y − 2) = (y − 2)(4y − z).
Trinômio quadrado perfeito
Quando um trinômio pode ser escrito como o quadrado da soma (ou da diferença) de
dois termos, dizemos que ele é um trinômio quadrado perfeito.
Como o trinômio será escrito como um produto notável, uma forma de verificar se
ele é um quadrado perfeito é a execução de três passos (considerando que as variáveis
são não negativas):
1. Tira-se a raiz quadrada dos termos do trinômio que possam ser escritos como um
fator elevado ao quadrado (geralmente o 1º e o 3º membros).
2. Multiplica-se os resultados obtidos no item 1, e em seguida, multiplica-se o
resultado obtido por 2 ou -2, conforme necessário.
3. Se o resultado do item 2 for igual ao termo ainda não utilizado (geralmente o 2º
termo), este trinômio será um quadrado perfeito. Caso contrário, não será.
Exemplo 6.6 Fatore os trinômios 9x 2 + 24x y + 16y 2 e t 4 − 2t 3 + t 2 .
a) Para o trinômio 9x 2 + 24x y + 16y 2 , deve-se extrair a raiz quadrada de 9x 2 e 16y 2 :
q
p
2
9x = 3x e 16y 2 = 4y.
Além disso, pelo item 2, observe que
2 · 3x · 4y = 24x y,
6.2. Fatoração de expressões algébricas inteiras
93
que corresponde ao segundo termo do trinômio (item 3). Portanto, esse trinômio
é um quadrado perfeito e pode ser fatorado da forma
¡
¢2
9x 2 + 24x y + 16y 2 = 3x + 4y .
b) No trinômio t 4 − 2t 3 + t 2 observe que
p
p
t4 = t2 e t2 = t.
Além disso,
−2 · t 2 · t = −2t 3 ,
que é exatamente o 2º termo do trinômio, o que confirma que ele é um trinômio
quadrado perfeito, correspondente ao quadrado da diferença de dois termos.
Portanto, temos que
¡
¢2
t 4 − 2t 3 + t 2 = t 2 − t .
c) O trinômio m 2 − mn + n 2 não é um quadrado perfeito pois:
p
p
m 2 = m,
n 2 = n,
mas 2mn 6= −mn
e
− 2mn 6= −mn.
Diferença de quadrados
Esse caso corresponde ao processo inverso do produto da soma pela diferença de
dois termos, quando se quer fatorar a diferença de dois quadrados. Para isso, basta
extrairmos a raiz quadrada dos dois termos. A fatoração será o produto da soma pela
diferença desses resultados. Vejamos os exemplos:
Exemplo 6.7 Fatore o binômio 25x 2 − 144y 2 .
p
p
Resolução: Observe que 25x 2 = 5x e que 144y 2 = 12y, considerando x, y > 0.
Logo
¡
¢¡
¢
25x 2 − 144y 2 = 5x + 12y 5x − 12y .
Soma e diferença de cubos
Verifica-se facilmente que a soma de dois cubos, x 3 + y 3 , é igual ao produto do fator
(x + y) pelo fator (x 2 − x y + y 2 ), isto é:
x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 − x y + y 2 ).
Também se verifica que a diferença de dois cubos, x 3 − y 3 , é igual ao produto do
fator (x − y) pelo fator (x 2 + x y + y 2 ), isto é:
x 3 − y 3 = (x − y)(x 2 + x y + y 2 ).
Esses dois resultados representam a fatoração de binômios escritos como soma ou
diferença de cubos. Vejamos:
Capítulo 6. Tópicos de Cálculo Algébrico
94
Exemplo 6.8 Fatore as expressões y 3 + 125 e 27x 3 − 1.
a) Observe que y 3 + 125 = y 3 + 53 =⇒ y 3 + 125 = (y + 5)(y 2 − 5y + 25).
b) A expressão 27x 3 − 1 pode ser reescrita na forma
27x 3 − 1 = (3x)3 − 13 = (3x − 1)(9x 2 + 3x + 1) = (3x − 1)(3x + 1)2 .
6.3 Frações algébricas e simplificação
Definição 6.3 Frações algébricas são as frações onde numerador e denominador são
expressões algébricas.
Exemplo 6.9
a)
x 2 + 2x y + y 2
,
x2 − y 2
b)
−y 2 + x 2
z y 2 − zx 2
e
c)
y 3 + 27z 3
.
2x y + 6xz
Simplificação de frações algébricas
Para se efetuar a simplificação de frações algébricas, basta fatorar o numerador e o
denominador, e, em seguida, cancelar (ou simplificar) os fatores comuns. É importante,
também, indicar as condições de existência da fração, caso seja necessário.
Exemplo 6.10 Vamos simplificar as três frações algébricas apresentadas no Exemplo 6.9.
x 2 + 2x y + y 2
(x + y)2
a)
, cujas condições de existência são
=
x2 − y 2
(x + y)(x − y)
x + y 6= 0 e x − y 6= 0.
Logo, deve-se ter, nesse caso, que x 6= −y e x 6= y. Voltemos, agora, à simplificação:
x 2 + 2x y + y 2
(x + y)2
x+y
=
=
.
2
2
x −y
(x + y)(x − y) x − y
−y 2 + x 2
1
−(y 2 − x 2 )
b)
=
=− .
2
2
2
2
z y − zx
z(y − x )
z
Observe que a fração algébrica original tem como condições de existência
z 6= 0 e y 2 − x 2 = (y + x)(y − x) 6= 0,
ou seja, deve-se ter que z 6= 0, y 6= −x e y 6= x.
c)
y 3 + 27z 3
y 3 + (3z)3 (y + 3z)(y 2 − 3y z + 9z 2 ) y 2 − 3y z + 9z 2
=
=
=
.
2x y + 6xz 2x(y + 3z)
2x(y + 3z)
2x
Observe que para a fração algébrica original estar bem definida, é necessário que
2x 6= 0 e y + 3z 6= 0 =⇒ x 6= 0 e y 6= −3z.
6.4. Mínimo múltiplo comum
95
6.4 Mínimo múltiplo comum
Considere duas ou mais expressões algébricas. O mínimo comum entre elas (mmc) será
a expressão algébrica de menor grau e que seja divisível simultaneamente por todas as
expressões dadas. Sendo assim, é possível obter o mmc da seguinte forma:
i. Fatora-se cada expressão dada.
ii. Forma-se o produto dos fatores comuns e não comuns a todas as expressões,
tomados com seus maiores expoentes.
Exemplo 6.11 O mmc entre 14x + 7y e 6x + 3y é obtido da seguinte forma:
14x + 7y = 7(2x + y)
e
6x + 3y = 3(2x + y).
Observe que os fatores comuns e não comuns são: 7, 3 e 2x + y. Portanto, o mmc
procurado é:
7 · 3 · (2x + y) = 21(2x + y).
Exemplo 6.12 Considere as expressões algébricas P (x) = 25x 2 + 10x + 1, Q(x) = 1 − 25x 2
e R(x) = 1 + 5x.
Temos que:
P (x) = 25x 2 + 10x + 1 = (5x)2 + 2 · (5x) · 1 + 12 = (1 + 5x)2
Q(x) = 1 − 25x 2 = 12 − (5x)2 = (1 + 5x)(1 − 5x)
R(x) = 1 + 5x
Então, os fatores que irão compor o mmc(P,Q, R) são: (1 + 5x)2 e 1 − 5x, e ele será
mmc(P,Q, R) = (1 − 5x)(1 + 5x)2 .
O mmc de expressões algébricas é muito importante para se efetuar as operações
entre as frações algébricas. A próxima seção deixará isso mais claro.
6.5 Operações com frações algébricas
Para se efetuar as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de frações
algébricas, procedemos da mesma forma como nas frações numéricas.
Adição e Subtração
Se os denominadores forem diferentes, deve-se reduzí-las ao mesmo denominador,
efetuar as operações indicadas e, se possível, simplificar a fração algébrica resultante.
Uma forma de reduzir as frações algébricas ao mesmo denominador é determinando o
mmc entre eles. Vejamos um exemplo:
Exemplo 6.13 Efetue o que se pede:
a)
y −1
3y
+ 2
y +1 y −1
b)
a −b
a +b
− 2
2
2
4a − 4b
3a + 6ab + 3b 2
Capítulo 6. Tópicos de Cálculo Algébrico
96
Resolução:
a) Temos que y +1 não é fatorável e que y 2 −1 = y 2 −12 = (y +1)(y −1). Logo, o mmc
é dado por (y + 1)(y − 1). Então:
(y − 1)2 + 3y
y −1
3y
y2 + y + 1
+
=
=
.
y + 1 y 2 − 1 (y + 1)(y − 1)
y2 − 1
b) Temos que
4a 2 − 4b 2 = 4(a 2 − b 2 ) = 4(a + b)(a − b)
e que
3a 2 + 6ab + 3b 2 = 3(a 2 + 2ab + b 2 ) = 3(a + b)2 .
Então, os fatores que irão compor o mmc são: 4, 3, (a + b)2 e (a − b).
Sendo assim, o mmc é dado por 3 · 4 · (a − b)(a + b)2 = 12(a − b)(a + b)2 . Logo:
a −b
a +b
a +b
a −b
−
−
=
4a 2 − 4b 2 3a 2 + 6ab + 3b 2 4(a + b)(a − b) 3(a + b)2
3(a + b) · (a − b) − 4(a − b) · (a + b)
=
12(a − b)(a + b)2
(a + b)(a − b)(3 − 4)
=
12(a − b)(a + b)2
1
=−
12(a + b)
sendo a 6= −b.
Multiplicação
Nessa operação, basta multiplicar numerador com numerador e denominador com
denominador, sendo que, se for possível, simplifica-se a fração algébrica resultante.
Exemplo 6.14 Efetue o produto
9a 2 − 4b 2
12a − 8b
·
.
2
2
9a − 12ab + 4b 3ab + 2b 2
Resolução:
9a 2 − 4b 2
12a − 8b
(3a)2 − (2b)2
4(3a − 2b)
·
=
·
9a 2 − 12ab + 4b 2 3ab + 2b 2 (3a)2 − 2 · 3a · 2b + (2b)2 b(3a + 2b)
=
=
3
sendo que deve-se ter b 6= 0 e b 6= ± a.
2
(3a + 2b) (3a − 2b) · 4(3a − 2b)
(3a − 2b)2 · b(3a + 2b)
4
,
b
6.6. Exercícios
97
Divisão
Assim como nas frações numéricas, basta conservar a primeira fração e multiplicá-la
pelo inverso da segunda; simplificando sempre que possível a fração algébrica resultante.
¡
¢ ¡
¢2
8 x+y 4 x+y
¢ .
Exemplo 6.15 Efetue a seguinte divisão ¡
¢2 : ¡
x−y
x−y
Resolução:
¡
¢ ¡
¡
¢ ¡
¢2
¢
8 x+y 4 x+y
8 x+y
x−y
2
2
¢ =¡
¢¡
¢= 2
,
¢2 = ¡
¡
¢2 : ¡
¢2 · ¡
x − y2
x−y
x−y x+y
4 x+y
x−y
x−y
onde x 6= y e x 6= −y.
6.6 Exercícios
1. (OBMEP - 2007, Nível 2 da Lista 2) Expressão fracionária - Se
igual a:
x
y
= 2, então
b) − 12
c) 12
d) 1
¡ −1
¢
−2
2. (UFMG - 2003) O valor da expressão a + b −1
é:
a) -1
x−y
x
é
e) 2
2 2
a b
d) (a+b)
2
¶µ
¶
´2 µ
³ 1
1
1
− 12
2
+ 1+ p
3. (UFMG) Sendo m > 0, a expressão m + m
1− p
é igual a:
m
m
a)
ab
(a+b)2
1
a) m 2
b)
ab
(a 2 +b 2 )2
b) m + 1
c) a 2 + b 2
1
d) m + m
c) m + 2
e) m + 3
4. Fatore as expressões abaixo:
a) −9a 2 + 6a
b) 10b 2 + 10b
c) 25x 2 − 25
d) x 2 − 5x + 6
e) 24x 2 − 13x
f) x 6 − 1
g) 8a 3 − 8a 2 + 2a
h) x 4 − 2x 3 + x 2
i) x 2 − y 2 + 4y − 4x
j) x 2 − y 2 + 2x + 2y
k) ab − ac + b 2 − bc
l) 2π − 2l − π2 + πl
4
m) 9a 2 − 81
n) 1 − u 2
5. (Puccamp) Considere as sentenças a seguir:
I. (3x − 2y)2 = 9x 2 − 4y 2
II. 5x y + 15xm + 3z y + 9zm = (5x + 3z)(y + 3m)
III. 81x 6 − 49a 8 = (9x 3 − 7a 4 )(9x 3 + 7a 4 )
Dessas sentenças, SOMENTE:
a) I é verdadeira.
d) I e II são verdadeiras.
b) II é verdadeira.
e) II e III são verdadeiras.
c) III é verdadeira.
Capítulo 6. Tópicos de Cálculo Algébrico
98
6. Qual é a forma mais simplificada da expressão
a) ab
2a + 2b
com a, b 6= 0?
a −1 + b −1
c) a + b
b) 2ab
d) 2a + 2b
7. (UFPE) Se x e y são números reais distintos, então:
¢ ¡
¢
¡
a) x 2 + y 2 / x − y = x + y
¢ ¡
¢
¡
b) x 2 − y 2 / x − y = x + y
¢ ¡
¢
¡
c) x 2 + y 2 / x − y = x − y
¢ ¡
¢
¡
d) x 2 − y 2 / x − y = x − y
e) Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.
8. Considere o conjunto K de todos os valores de x e y que não anulam os denominadores de
1
1
+ 2
.
T= 2
x +xy y +xy
No conjunto K , a única expressão equivalente a T é:
a)
1
xy
b)
x+y
xy
c)
1
x+y
d)
x−y
x+y
9. (UFMG - 2006) Sejam x e y números reais não nulos tais que
é CORRETO afirmar que:
a) x 2 − y = 0
b) x + y 2 = 0
10. Após a simplificação da expressão
a)
3x+1
2x−1
11. (PUC-MG) Se A =
é igual a:
a)
x2
x−3
2x−1
3x+1
b)
+
c) x 2 + y = 0
y2
x
= −2. Então,
d) x − y 2 = 0
2x+1
3x−1
d)
3x−1
2x+1
e)
3x−1
2x−1
x 2 − 5x + 6
x 3 + 2x 2
,
x
=
6
±2
e
B
=
, x 6= 3, então o produto AB
x2 − 4
x 2 − 6x + 9
b)
¡
¢
x 2
x−3
c)
a) − 3(x+4)
2(x−4) , y 6= 5/2, x 6= 4
2(x+4)
3(x−4) ,
x
y2
2
(x+y)2
2x 2 − 3x + 1
, com x 6= 1 e x 6= − 13 , obtém-se:
3x 2 − 2x − 1
c)
12. A forma simplificada da expressão
c)
e)
y 6= −5/2, x 6= −2
x+3
x−3
d)
1
x−3
e)
x 2 (x−3)
x+3
24y + 6x y − 15x − 60
é:
10x − 40 − 4x y + 16y
b)
−2(x+4)
3(x−4) ,
d)
3(x−4)
2(x+2) ,
y 6= 5/2, x 6= 4
y 6= −5/2, x 6= −2
e) −3/2, y 6= −5/2, x 6= −4
13. No conjunto de todos os valores de a e b que não anulam os denominadores de
R, qual é a única expressão equivalente a R?
R=
a) 1
b) 2
4a 2
18ab 2
3b
−
−
2
3
2
4a − 6ab 4a − 9ab
2a + 3b
c) 4a 2
d)
ab 2
4a 2 −9b 2
e)
4a
4a 2 −9b 2
6.6. Exercícios
99
14. (UFMG - 2005) Sejam a, b e c números reais e positivos tais que
Então, é CORRETO afirmar que:
a) a 2 = b 2 + c 2
ab
b 2 − bc
=
.
b +c
a
c) b 2 = a 2 + c 2
b) b = a + c
d) a = b + c
15. (UFMG - modificada) Considere P (x) = (x − 1)(x 9 + x 8 + x 7 + x 6 + x 5 + x 4 ). Usando
diferença de quadrados é possível mostrar que P (x) é igual a:
a) x 4 (x 6 − 2x 2 + 1)
b) x 4 (x 3 − 1)(x 3 + 1)
c) x 4 (x 6 − 2x 4 + 1)
16. (FATEC) Se os números reais x e y são tais que y =
igual a:
a) 2/7
b)
x+2
x+3
x+1
x+3
c)
x 3 + 2x 2 + x
, então y é
x 3 + 3x 2 + 3x + 1
d)
x
x+1
17. (Puccamp) Se os números reais x e y são tais que y =
equivalente a:
a)
x 2 (x+2)
x−1
b)
x−1
x+1
c)
d) x 4 (x 3 − 1)2
x 2 (x−4)
x−5
e)
2x+1
3(x+1)
x 4 − 16x 2
, então y é
x 2 + 10x + 24
d)
x+4
x−6
e)
x 2 (x−4)
x+6
18. (Fatec) Sejam os números reais A e B tais que A = (x/y)(y/x) e B = (x/y) + 1. A
expressão A/(B − 1) é igual a:
a) 1
b)
x
y
c)
y
x
d)
19. (UFMG) A soma das raízes da equação
a) -3
b) 1/3
y−1
x
e) −
2
1
+
= 2 é:
x −1 x −2
c) 3
1
20. (UFMG) Resolvendo-se a equação
x 2 − 5x + 6
se afirmar que:
y+x
x
d) 9/2
−
e) 9
1
= 0 com x 6= 2 e x 6= 3, podex −2
a) O produto de suas raízes é 6.
b) O produto de suas raízes é 12.
c) O produto de suas raízes é 24.
d) Sua única raiz é ímpar.
e) Sua única raiz é par.
21. (Cesgranrio) Se m e n são raízes de x 2 − 6x + 10 = 0, então
a) 6
b) 2
22. (FUVEST) Dada a equação
c) 1
2
x2 − 1
+
d)
b) V = {0; ±1}
c) V = {±1}
¡
¢−1
23. (FCC-SP) Se x −1 + y −1
= 2, então y é igual a:
x
1−2x
x
b) − 1−2x
c)
3
5
e)
1
6
1
= −1, então:
x +1
a) V = ;
a)
1 1
+ vale:
m n
2x
x−2
d)
d) V = {0; −1}
x−2
2x
e)
x
1+x
e) V = {0}
Capítulo 6. Tópicos de Cálculo Algébrico
100
4
4x
por 2
, sendo x 6= 1 e x 6= 0?
2
(x − 1)
x −1
¶ µ
¶
µ
x−y
x+y x−y
−
·
.
25. Simplifique ao máximo a expressão
x−y x+y
xy
24. Qual é o resultado da divisão de
26. A expressão (2a + b)2 − (a − b)2 é igual a:
a) 3a 2 +2b 2
b) 3a(a+2b) c) 4a 2 +4ab+b 2
d) 2ab(2a+b) e) 5a 2 +2b 2 −ab
27. Considere o conjunto U = R − {0, 1}, em que está definida a expressão
µ
¶µ
¶
1
1
1−
1−
n
n
.
M=
2
1
1− + 2
n n
No conjunto U , a única expressão equivalente a M é:
b) n 2
a) 1
c) n+1
28. (ESpCEx - modificada) Sendo X = x +
então
X
é:
Y
b) 1 + x y
a) 1
29. A fração
a)
d)
n
n +1
e)
1
(n + 1)2
y −x
x y − x2
e Y = 1−
com x y 6= −1,
1+xy
1+xy
c) y
d) x − y
x2 − 4
pode ser escrita como:
2x + 4
2
x−2
b)
x+1
x+2
c)
x−2
2
d)
x+2
x−2
30. Sendo dados os polinômios f = x 2 , g = x 4 +x 2 , h = x 2 +x 4 +x 6 e k = 3x 6 −6x 4 +2x 2 ,
obter os números reais a, b, c de modo que se tenha k = a f + bg + ch.
31. A soma
−x 2 + 4x − 1 x − 2
+
é igual a:
x2 − 1
x +1
2
1
x−1
+5x−3
c) −x x+1
µ
¶ µ
¶
a b
b2
32. Qual é a forma simplificada de
−
: a−
?
b a
a
a) x − 1
b)
33. Simplificando a expressão
a)
x+y
x−y
b)
d) x + 1
ax 2 − a y 2
, vamos obter:
x 2 − 2x y + y 2
a
x−y
c)
a(x+y)
x−y
d) a(x + y)
34. (UnB) Sendo a e b dois números reais diferentes de zero, a expressão
igual a:
a)
b+2a
a(a+b)
b)
3
a2b
c)
b+2a
a2b
d)
1
a2b
1
2
+
é
2
a
ab
6.6. Exercícios
35. (UnB) A expressão
a)
101
3a − 4
1
−
, com a 6= 4, é igual a:
2
a − 16 a − 4
1
a−4
b)
2
a−4
c)
1
a+4
d)
2
a+4
a2 + a a2 − a b2 − 1
36. Simplificando a expressão 2
·
·
, teremos:
b + b b2 − b a2 − 1
a)
a2
b2
b2
a2
b)
37. Simplificando a expressão
a) a
38. Simplificando a expressão
a) a
c)
b
a
a−1
a+1
d) a
ax − a y
, obtemos:
x(x − y) − y(x − y)
1
x−y
b)
d)
(a 2 − 1) + (a + 1)
, obtemos:
(a 2 − 1) − (a − 1)
a+1
a−1
b)
a
b
c)
c)
a
x−y
d)
a
a+1
p
p
p
7 − 4 3 + 3 é correto afirmar que:
p
a) x ∈ ]0, 2[ b) x ∈ Q c) 2x é irracional. d) x 2 é irracional.
¶
µ
2y 2
4
8
2y
− 2
−
:
.
40. (EEAR) Efetue:
y −2 y −4 y +2 y +2
39. (ITA) Sobre o número x =
e) x ∈ ]2, 3[
41. (CEFET) Sabendo que x + y = 1 e x y = − 12 , qual é o resultado da adição
42. (EsPCEx) Simplifique a expressão:
x+1
x−1
1
x+1
− x−1
x+1
1
+ x−1
x y
+ ?
y x
.
43. (Colégio Naval) Simplificar o máximo possível:
"
#−5
¡
¢
(8 + x)3 x 2 − 4
¡
¢¡
¢
.
x 2 + 4x + 4 x 2 − 2x + 4 (4 − 2x)
¡
44. (CEFET) Simplificando a fração
a)
a(b−c)
b
b)
a2 + b2 − c 2
b)
a(b+c)
b
p
x
¡
¢2
− a2 − b2 + c 2
4ab 2 + 4abc
c)
45. (UFMG) Simplificando a expressão
obtém-se:
p
a) x − 1
¢2
a(c−b)
b
d)
d (b+c)
a
obtém-se:
e)
b(b−c)
a
x 3/2 + x − x 1/2 − 1
definida para todo real x ≥ 0,
p
x +2 x +1
p
c) 1 − x
p
d) 1 + x
e)
p
1+x
CAPÍTULO
Matrizes
7.1 Primeiro contato
Imagine que um nutricionista fez a avaliação de três atletas, denotados aqui por A 1 , A 2
e A 3 , e anotou, para cada um deles: idade, índice de massa corpórea (IMC), altura e peso.
Esses valores podem ser dispostos em uma tabela, conforme se vê na Tabela 5.
Tabela 5 – Exemplo que representa o conjunto de dados relativos aos atletas, obtidos por um
nutricionista, e dispostos em uma tabela.
A1
A2
A3
Idade (anos)
18
31
45
IMC (kg /cm 2 )
24,56
29,04
25,71
Altura (cm)
155
178
165
Peso (kg )
59
92
70
Esses dados numéricos, dispostos em linhas e colunas, são um exemplo de matriz.
Se apenas os dados numéricos forem apresentados, uma representação dessa matriz,
que aqui denominaremos por M , é:
A utilização de matrizes é importante em várias áreas do conhecimento humano,
como: na própria Matemática, Computação, Engenharias, Meteorologia, Oceanografia
e muitas outras. Vejamos uma definição mais formal de matriz.
7
Capítulo 7. Matrizes
104
Definição 7.1 (Matriz) Sejam m ≥ 1 e n ≥ 1 com m, n ∈ N. Uma matriz de ordem m ×
n (lê-se: m por n) real, ou complexa, é uma distribuição de m · n números reais, ou
complexos, em m linhas e n colunas, formando uma tabela que geralmente é apresentada
de uma das seguintes formas:



A=

a 11
a 21
..
.
a 12
a 22
..
.
···
···
..
.
a 1n
a 2n
..
.
a m1
a m2
···
a mn






, A = 


a 11
a 21
..
.
a 12
a 22
..
.
···
···
..
.
a 1n
a 2n
..
.
a m1
a m2
···
a mn
°
° a 11
°

° a 21

°
 ou A = ° ..
° .

°
° a m1

a 12
a 22
..
.
···
···
..
.
a 1n
a 2n
..
.
a m2
···
a mn
Observação 7.1 Nesse texto utilizaremos letras maiúsculas do nosso alfabeto para denotar matrizes, e quando quisermos deixar claro qual a ordem de uma matriz, indicaremos
m × n como subscrito da letra que a representa. Por exemplo, A 2×3 denota uma matriz
A, cuja ordem é 2 × 3, isto é, que possui 2 linhas e 3 colunas. Já a matriz M , extraída dos
dados da Tabela 5, é de ordem 3 × 4, então, pode-se denotá-la por M 3×4 .
Exemplo 7.1 Vejamos alguns exemplos de matrizes e suas respectivas ordens:
p ¸
7
possui ordem 2 × 5.
3
£
¤
(b) B = 8 12 −5 3π possui ordem 1 × 4.


8
(c) C =  2/3  possui ordem 3 × 1.
0, 3
·
(a) A =
1
0 0 π
−3 −1 0 4
· p
¸
3 sin(π)
(d) D =
possui ordem 2 × 2.
0
i2
Observação 7.2 Uma matriz M de ordem m × n também pode ser representada por
M = (a i j )m×n ,
sendo 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Essa representação indica, além da ordem da matriz, a
localização de cada um dos seus elementos, a i j , no sentido em que esse elemento é aquele
que está na linha i e na coluna j .
Exemplo 7.2 Considere as matrizes


·
¸
1 −1 i 0
0 −1 5


B = −1 p2 1 2
e C=
.
3 2i −8
0
2 π 4
Elas podem ser representadas, respectivamente, por B = (b i j )3×4 e C = (c i j )2×3 , onde,
por exemplo, b 13 indica o elemento da matriz B que está na primeira linha e na terceira
coluna, isto é, b 13 = i . Em C temos que c 12 = −1, c 22 = 2i , c 21 = 3.
Também é possível construir uma matriz A = (a i j )m×n a partir do posicionamento
dos seus elementos, isto é, com os valores de i e j .
°
°
°
°
°
°.
°
°
°
7.2. Tipos de matrizes
105
Exemplo 7.3 Obtenha a matriz A 2×3 sabendo que a i j = −2i + j 2 .
Resolução: Como a matriz tem ordem 2 × 3 segue que ela tem que possuir 2 · 3 = 6
elementos, 1 ≤ i ≤ 2 e que 1 ≤ j ≤ 3. Vejamos como obtê-los:
a 11 = −2 · 1 + 12 = −2 + 1 = −1
a 13 = −2 · 1 + 32 = −2 + 9 = 7
a 22 = −2 · 2 + 22 = −4 + 4 = 0
a 12 = −2 · 1 + 22 = −2 + 4 = 2
a 21 = −2 · 2 + 12 = −4 + 1 = −3
a 23 = −2 · 2 + 32 = −4 + 9 = 5.
·
¸
−1 2 7
Portanto, a matriz A é dada porA =
.
−3 0 5
Igualdade entre matrizes
¡ ¢
¡ ¢
Definição 7.2 Considere duas matrizes de mesma ordem, A = a i j m×n e B = b i j m×n .
Dizemos que A = B se e somente se, a i j = b i j para quaisquer valores possíveis de i e j .
Portanto, duas matrizes são ditas iguais quando possuem a mesma ordem e seus
elementos correspondentes (elementos de mesmo índice) são iguais.
Exemplo 7.4
a) Considere as três matrizes abaixo, todas de ordem 2:
·
¸
·
¸
·
¸
−1 2
−1 2
1 2
A=
, B=
e C=
.
−3 0
−3 0
−3 0
Então A = B já que seus elementos correspondentes são iguais, ou seja:
a 11 = b 11 = −1, a 12 = b 12 = 2, a 21 = b 21 = −3 e a 22 = b 22 = 0.
Também vale que A 6= C , pois −1 = a 11 6= 1 = c 11 .
b) Considere as matrizes abaixo:
·
¸
·
¸
−1 4 18
−1 4 2t 2
A=
e B=
.
−3 0 9
−3 0 9
Sabendo que t ∈ R, quais são as condições para t que garantam que A = B ?
Resolução: Para resolver esse problema, basta observar que a única condição que
falta para garantir a igualdade é que 2t 2 seja igual a 18. Logo:
p
2t 2 = 18 ⇒ t 2 = 9 ⇒ t = ± 9 ⇒ t = ±3.
Sendo assim, A = B apenas quando t = 3 ou t = −3.
7.2 Tipos de matrizes
Nessa seção, estudaremos alguns dos principais tipos de matrizes. Esse estudo é importante devido ao fato de essas matrizes serem muito comuns em algumas aplicações
práticas, serem úteis em demonstrações e também por possuirem características interessantes relativas aos números de linhas e colunas e também dos seus elementos.
Essas matrizes recebem nomes específicos para facilitar sua identificação ou utilização.
Capítulo 7. Matrizes
106
Matriz linha
É qualquer matriz de ordem£ 1 × n, isto é, que possua apenas
uma linha. Sua representa¤
ção pode ser da forma A = a 11 a 12 a 13 · · · a 1n .
Exemplo 7.5 T =
£
1 −2 3 0 1/2
¤
e W=
£
¤
π −1 3 .
Matriz coluna
É qualquer matriz que possua apenas uma coluna, ou seja, que tiver ordem m × 1, e
cuja representação é da forma:


a 11
 a 21 


A =  ..  .
 . 
a m1


−3
 0 

Exemplo 7.6 A = 
 π 
p
2
·
e B=
1
3/2
¸
.
Matriz nula


0 0 ··· 0


É toda matriz A m×n composta apenas por zeros. Então, são da forma: A =  ... ... . . . 0  .
0 0 ··· 0
·
Exemplo 7.7 A =
0 0 0
0 0 0

¸
,

0 0
B = 0 0 
0 0
e C=
£
¤
0 .
Observação 7.3 É comum considerar a notação 0 para representar a matriz nula de
ordem m × n. Quando não gerar ambiguidade, também pode-se utilizar o símbolo 0.
Quadrada
Denomina-se por matriz quadrada de ordem n qualquer matriz do tipo n × n, ou seja,
são as matrizes que possuem o número de linhas igual ao número de colunas. Então,
pode-se representá-las genericamente, da forma:



Q =

q 11
q 21
..
.
q 12
q 22
..
.
···
···
..
.
q 1n
q 2n
..
.



.

q n1 q n2 · · · q nn

·
¸
p
3
−1 p0
£ ¤
cos(2π)
11


Exemplo 7.8 A = tan(π)
e C= 8 .
9
−1 , B =
5/3
9
4
3
2

7.2. Tipos de matrizes
107
Observação 7.4 Atente para o fato de que se uma matriz é quadrada, basta informar
que ela é de ordem n, não sendo necessário expressar que é do tipo n × n. Para ilustrar,
para a matriz A do Exemplo 7.8 basta dizer que sua ordem é 3.
Uma matriz quadrada possui dois conjuntos de elementos que são muito importantes. As diagonais principal e secundária. Vejamos as definições desses dois conjuntos:
Definição 7.3 A diagonal principal de uma matriz quadrada A, de ordem n, é o conjunto
formado pelos elementos que tem os dois índices iguais, ou seja:
©
ª
a i j | i = j = {a 11 , a 22 , a 33 , . . . , a nn } .
Já a diagonal secundária é o conjunto formado pelos elementos que tem soma dos índices
igual a n + 1, isto é:
©
ª ©
ª
a i j | i + j = n + 1 = a 1n , a 2,(n−1) , a 3,(n−1) , . . . , a n1 .
Exemplo 7.9
Diagonal
É toda matriz quadrada em que os elementos que não pertencem à diagonal principal
são iguais a zero.




0
0 0 0
·
¸
3 0
0
 0 −1 0 0 
0 0




0
Exemplo 7.10 A = 0 −3
, B =
e C=
.
0
0 0 0 
0 0
0 0 sin(π/2)
0
0 0 1
Identidade
A matriz identidade de ordem n, denotada por I n , é qualquer matriz diagonal em que
os elementos da diagonal principal são iguais a 1.


·
¸
1 0 0
£ ¤
1 0


Exemplo 7.11 I 3 = 0 1 0 , I 2 =
e I1 = 1 .
0 1
0 0 1
Triangular superior
É qualquer matriz quadrada em que a i j
abaixo da diagonal principal são nulos.

 
a b c
1
0



0 d e ,
0 −2
Exemplo 7.12
0 0 f
0
0
= 0 ∀ i > j , ou seja, onde todos os elementos

·
¸
3
9 π

1
e
.
0 2
0
Capítulo 7. Matrizes
108
Triangular inferior
É qualquer matriz quadrada em que a i j = 0 ∀ i < j , ou seja, onde todos os elementos
acima da diagonal principal são nulos.




a 0 0
−1 0 0
Exemplo 7.13  b c 0  e  7 0 0 .
d e f
0 2 5
Simétrica
Uma matriz quadrada A é chamada de simétrica quando a i j = a j i . Em outras palavras,
uma matriz será simétrica quando os elementos dispostos simetricamente em relação
à diagonal principal forem iguais.



 

a b c d
x b c
−1 0 3
 b e f g 

Exemplo 7.14  b y d  ,  0 2 4  e 
 c f h i .
c d z
3 4 5
d g i j
7.3 Operações básicas com matrizes
No trato com as matrizes, surgem naturalmente operações importantes e que são fundamentais tanto na própria matemática quando nas aplicações práticas. As principais
desses operações serão tratadas aqui.
Adição
¡ ¢
¡ ¢
Definição 7.4 Sejam as matrizes A = a i j m×n e B = b i j m×n . Então,
A + B = C m×n , t al que c i j = a i j + b i j ∀ i , j.
Em outras palavras, a soma das matrizes A e B , ambas de ordem m × n, é a matriz
C , também de ordem m × n, em que cada elemento é a soma dos elementos correspondentes em A e B .
Exemplo 7.15
·
¸ ·
¸
¸ ·
¸ ·
−1 3 −2
−2 0 sin(π)
1 + (−2) 3 + 0 −2 + sin(π)
=
=
.
+
1 2 cos(π)
0+1
1 + 2 3 + cos(π)
1 3 2
1 3 −2
0 1 3
Multiplicação por um escalar
¡ ¢
Definição 7.5 Seja a matriz A = a i j m×n e um escalar (número) α ∈ C. Define-se o
produto de α por A da seguinte forma:
¡ ¢
αA = B = b i j m×n , ond e b i j = αa i j ∀ i , j.
A matriz B = αA é geralmente chamada de multiplo escalar de A.
Exemplo 7.16
·
a)
−3 ·
−1
2
0 −1/3
¸
·
=
−3 · (−1)
−3 · 2
−3 · 0
−3 · (−1/3)
¸
·
=
3 −6
0 1
¸
.
7.3. Operações básicas com matrizes
109

b)
 

2
2i
i ·  −4  =  −4i .
−i
1
Propriedades 7.1 Para quaisquer matrizes A, B e C de ordem m × n, a adição entre elas
goza das seguintes propriedades:
1. (A + B ) +C = A + (B +C ) (Associatividade)
2. A + B = B + A (Comutatividade)
3. Existe, e é única, a matriz 0m×n tal que A + 0 = 0 + A = A. (Existência do elemento
neutro)
4. Existe, e é única, a matriz −A m×n = −1 · A tal que A + (−A) = 0. (Existência da
oposta)
·
¸
·
¸
3 −6
−3 6
Exemplo 7.17 A oposta da matriz A =
é a matriz −A =
, pois
0 1
0 −1
A + (−A) = 0.
Diferença
A diferença é um caso particular da adição de matrizes, conforme pode-se observar na
Definição 7.6.
Definição 7.6 Sejam duas matrizes de ordem m × n, A e B . Define-se a diferença A − B
como sendo a soma de A com o simétrico de B , ou seja, A − B = A + (−B ).




2 −1
3
1
Exemplo 7.18 Sejam as matrizes A =  0 1  e B =  1 −1 . Então:
3 1/2
2 −1/2

 
 

2 −1
−3 −1
−1 −2
A − B =  0 1  +  −1 1  =  −1 2  .
3 1/2
−2 1/2
1
1
|
{z
}
−B
Transposição
¡ ¢
Definição 7.7 Dada uma matriz A = a i j m×n , chama-se de matriz transposta de A à
¡
¢
matriz A t = b i j n×m cujas linhas são as colunas de A, ou seja, b i j = a j i .
Exemplo 7.19


·
¸
a b
a
c
e
t
1. Seja A =  c d  =⇒ A =
. Observe que A tem ordem 3 × 2 e que
b d f
e f
A t tem ordem 2 × 3.


·
¸
1 π
1 −2 0
2. Se R =
=⇒ R t =  −2 3  .
π 3 7
0 7
Observação 7.5 Em particular, observe que uma matriz quadrada A será simétrica
quando A = A t .
Capítulo 7. Matrizes
110
Multiplicação
Definição 7.8 Sejam duas matrizes, onde, obrigatoriamente,
o número
¡ ¢
¡ ¢de colunas da
primeira é igual ao número de linhas da segunda, A = a i j m×t e B = b i j t ×n . Define-se
o produto AB como segue
¡ ¢
AB = C m×n = c i j m×n ,
onde cada elemento c i j de C é obtido da forma
ci j =
t
X
ai k bk j = ai 1 b1 j + ai 2 b2 j + ai 3 b3 j + · · · + ai t b t j .
(7.1)
k=1
Vale lembrar que a notação de somatório,
cujo índice varia de k = 1 até t .
Exemplo 7.20 Considere as matrizes


−3 −1
A =  −1 1 
−2 1/2
Pt
k=1
·
e
B=
significa a soma de todos os termos
5 2
0
1 −1 −1
¸
.
Observe que o produto AB está bem definido, já que o número de colunas de A é igual ao
número de linhas de B . Além disso, a matriz C = AB herdará o número de linhas de A e
o de colunas de B , o que implica, nesse caso, que C será uma matriz de ordem 3. Sendo
assim, de maneira genérica temos que



 

·
¸
−3 −1
c 11 c 12 c 13
−16
−5
1
5 2
0
−3
−1  .
AB =  −1 1  ·
=  c 21 c 22 c 23  =  −4
1 −1 −1
−19/2 −9/2 −9/2
−2 1/2
c 31 c 32 c 33
Os valores obtidos para cada um dos elementos c i j de C = AB foram obtidos ao se utilizar
a Equação (7.1). Para obter c 11 , por exemplo, observe que i = 1 e j = 1 estão fixos, assim
como o valor de t , que para a matriz B é 2, o que implica em:
c 11 = a 11 b 11 + a 12 b 21 = −3 · 5 + (−1) · 1 = −15 − 1 = −16
c 12 = a 11 b 12 + a 12 b 22 = −3 · 2 + (−1) · (−1) = −6 + 1 = −5
c 13 = a 11 b 13 + a 12 b 23 = −3 · 0 + (−1) · (−1) = 0 + 1 = 1
c 21 = a 21 b 11 + a 22 b 21 = −1 · 5 + 1 · 1 = −5 + 1 = −4
c 22 = a 21 b 12 + a 22 b 22 = −1 · 2 + 1 · (−1) = −2 − 1 = −3
c 23 = a 21 b 13 + a 22 b 23 = −1 · 0 + 1 · (−1) = 0 − 1 = −1
c 31 = a 31 b 11 + a 32 b 21 = −2 · 5 + 1/2 · 1 = −10 + 1/2 = −19/2
c 32 = a 31 b 12 + a 32 b 22 = −2 · 2 + 1/2 · (−1) = −4 − 1/2 = −9/2
c 33 = a 31 b 13 + a 32 b 23 = −2 · 0 + 1/2 · (−1) = 0 − 1/2 = −1/2
Observação 7.6 Atente para o fato de que, se a multiplicação entre duas matrizes for bem
definida (número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda), para
facilitar a aplicação da definição de produto de matrizes, cada elemento da matriz
resultado pode ser considerado como o produto da linha pela coluna correspondente.
Isso pode ser ilustrado pelo Exemplo 7.20, onde o elemento c 11 é o produto da primeira
linha de A pela primeira coluna de B , o elemento c 12 é o produto da primeira linha de
A pela segunda coluna de B , e assim sucessivamente. Nesse caso, define-se o produto
de uma linha por uma coluna, como sendo a soma dos produtos entre os elementos
correspondentes.
7.4. Exercícios
111
Exemplo 7.21 Considere duas matrizes genéricas A 4×5 e B 5×3 . É possível efetuar AB ? E
B A? Justifique suas respostas.
Resolução: Pela definição de multiplicação de matrizes, temos que é condição necessária e suficiente para que o produto AB seja bem definido, que o número de colunas
da primeira matriz, nesse caso A, seja igual ao número de linhas da segunda, nesse
caso B . Então, como isso acontece, é claro que é possível se efetuar AB . Já a segunda
multiplicação, B A, requer que o número de colunas de B , 3, seja igual ao número de
linhas de A, 4. Observem que isso não acontece, o que significa que não é possível
efetuar essa multiplicação.
Definição 7.9 Seja A uma matriz quadrada de ordem n, e considere m ∈ N. Define-se
A 0 = 0, A 1 = A e A m = |A · A · {z
A · . . . · A}, quando m > 1.
m vezes
Propriedades 7.2 Sejam A, B e C matrizes de ordens adequadas. Então, valem as seguintes propriedades:
1. Em geral, AB 6= B A. Quando ocorrer que AB = B A, dizemos que A e B comutam.
2. A(BC ) = (AB )C (Associatividade)
3. (A + B )C = AC + BC (Distributividade à direita)
4. C (A + B ) = C A +C B (Distributividade à esquerda)
5. (αA)B = A(αB ) = α(AB ), ∀ α ∈ C
6. (α + β)A = αA + βA, ∀ α, β ∈ C
7. α(A + B ) = αA + αB, ∀ α ∈ C
8. I n · A = A · I n = A (Existência do elemento neutro da multiplicação, I n )
9. A · 0 = 0 · A = 0
7.4 Exercícios
1. Utilizando as matrizes abaixo, quando for possível efetue o que se pede, e quando
não for, justifique.



−1
0
4
2  , B =  −4
A =  −3
5 −1
0
·
¸
·
2/3 1 2
D=
,E=
1 1/2 0



3
1 2
0
0  , C =  −4 0
1 
2
0 3 −2
¸
·
¸
3/2 1
1 0
,F=
1 1/2
0 2
a) A 2 + B 2
b) −3 · (A + B )
c) (E t )2 + (F t )2
d) DE + F
e) D t E + B
f) D A + F
h) C B + 2A
i) B t C + 2B
g) (D A + F )
t
2. Demonstre ou dê um contra-exemplo: Seja A uma matriz quadrada. Então, A é
nula, se e somente se, é diagonal.
Capítulo 7. Matrizes
112


·
¸
1
5
1
5 3


3. Verifique se A = B considerando que A = −2 −1 e B =
.
0 −1 1
2
2
4. Efetue o seguinte produto:


4
£
¤
 1/2  · −1 0 1/2 2
3
5. (UPA) Na matriz A = (a i j )5×4 , onde a i j = 4i − j 2 , o valor de 2a 52 é:
a) 16
b) 24
c) 32
d) 48
e) 64
6. (UFLA - Modificada)
½ Seja A = (a i j ) uma matriz de ordem 3 em que cada elemento
i + j se i 6= j
é dado por a i j =
. Encontre os elementos da matriz A.
1
se i = j
7. Construa as matrizes:
¡
a) A = a i j
¢
3×3
½
tal que a i j =
2i + j
0
se i =
6 j
.
se i = j

 2i + 3 j se i = j
¡ ¢
0
se i > j .
b) B = b i j 3×2 tal que b i j =

1
se i < j
½
¡ ¢
2i + j
se i 6= j
c) C = c i j 2×4 tal que c i j =
.
2
j − 2i + 1 se i = j
·
¸
·
¸
·
¸
−1 0
0 1
−1 0
, B=
e C=
.
8. Determine a matriz X a partir de A =
2 3
0 1
2 0
a) X = 2A − 3B −C
b) 2X − A + 3B = 0
9. Considerando
matrizes A e B do exercício anterior, determine a matriz X tal
¡
¢as
t
que X = A · B t .
·
¸
·
¸
5 2
1 4
10. Sejam as matrizes Z =
e W=
. Determine a e b para que se
7 5
a b
tenha Z W = W Z .


2
1
−1
0
1 − b  é simétrica. Quais devem ser os
11. Sabe-se que a matriz X =  a 2
a b −3
1
valores de a e b?


0
w2 + 1 x
z
0  seja diagonal.
12. Determine x, y, z e w de modo que B =  y − 1
0
z −3 y
·
¸
1 1
13. (FGV) Seja a matriz A =
. A soma dos elementos da matriz A 100 e:
0 1
a) 102
b) 118
c) 150
d) 175
e) 300
7.4. Exercícios
113
14. Na Propriedade 7.2 foi comentado que as propriedades eram válidas desde que
qualquer multiplicação entre as matrizes A, B e C esteja bem definida. Analise as
ordens necessárias para cada uma das propriedades, considerando A m×n , B r ×t e
C u×v .
15. Já foi observado no Exemplo 7.21 que é possível o produto AB estar definido e BA
não estar. Contudo, também é possível que AB e BA estejam definidos, e, mesmo
assim, seus resultados serem distintos. Dê exemplos de duas matrizes, A e B, em
que AB e BA estejam definidos e que AB 6= B A.
16. Se x, y ∈ R sabemos que x y = 0 =⇒ x = 0 ou y = 0. Mostre que esse mesmo
resultado não é válido para matrizes, ou seja, AB = 0 ; A = 0 ou B = 0, usando as
seguintes matrizes.
·
¸
·
¸
0 2
0 1
A=
e B=
0 0
0 0
17. Uma das propriedades da multiplicação de números reais é a lei do cancelamento,
que afirma que se x, y, z ∈ R com z 6= 0,·xz = y z¸ ⇒ x = y. Usando as matrizes A e
0 5
B do exercício anterior, e a matriz C =
, mostre que AC = BC ; A = B .
0 0
18. Obtenha os valores possíveis para w, x, y e z na equação seguinte matricial:
·
¸ ·
¸ ·
¸
3 1
w x
10 14
·
=
.
−2 2
y z
−10 18
£
¤
£
¤
19. Sejam as matrizes X = a −2 4 e Y = 2 5 −3 . Encontre o valor de a
que garanta que Y X t = 0.
20. Quais são os tipos de matrizes diagonais, K , de ordem 2, que satisfazem K 2 = 2K ?
21. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n. Use as partes 3 e 4 das Propriedades
7.2 para mostrar que:
a) (A + B )(A − B ) = A 2 − B 2 , desde que AB = B A.
b) (A ± B )2 6= A 2 ± 2AB + B 2 . Quando ocorre a igualdade?


1 a
b
22. Se X =  9 2 −5  é uma matriz simétrica, então a + b + c = 2?
−2 c
3
·
¸
2 3
23. Seja a matriz de ordem 2, A =
. Pode-se afirmar que a matriz M =
−1 4
·
¸
a −3
é oposta de A se a = −2 e b = 4?
1 −b
24. Dê exemplos de matrizes, A e B , ambas de ordem 2, em que (A+B )(A−B ) 6= A 2 −B 2
e (A + B )2 6= A 2 + 2AB + B 2 .
25. (UFMG) Milho, soja e feijão foram plantados nas regiões P e Q, com ajuda dos
fertilizantes X, Y e Z.
A matriz A indica a área plantada de cada cultura, em hectares, por região e a
matriz B indica a massa usada de cada fertilizante, em kg, por hectare, em cada
cultura:
Capítulo 7. Matrizes
114
a) CALCULE a matriz C = AB .
b) EXPLIQUE o significado de C 23 , o elemento da segunda linha e terceira
coluna da matriz C .
26. (Mackenzie) Sejam as matrizes
A = (a i j )4×3 , com a i j = i j
e B = (b i j )3×4 , com b i j = j i .
Se C = AB , então c 22 vale:
a) 3
b) 39
·
27. A partir da equação matricial
que:
a) z = w e a = b
d) z = −2w e a = −2b
c) 84
d) 14
e) 258
¸ · ¸ · ¸
z w
2
0
·
=
tem-se, necessariamente
a b
4
0
b) w = −2z e b = −2a
e) z = w = a = b = 0
c) z = w = 0
28. (Mackenzie) Se A é uma matriz 3 × 4 e B uma matriz n × m, então:
a)
b)
c)
d)
e)
existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3;
existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3;
existem AB e B A se, e somente se, n = 4 e m = 3;
existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B ;
existem, iguais, AB e B A se, e somente se, A = B .
29. (FGV) A organização econômica Merco é formada pelos países 1, 2 e 3. O volume
anual de negócios realizados entre os três parceiros é representado em uma matriz
A, com 3 linhas e 3 colunas, na qual o elemento da linha i e coluna j informa
quanto o país i exportou para o país j , em bilhões de dólares. Se


0 1, 2 3, 1
A =  2, 1 0 2, 5 
0, 9 3, 2 0
então o país que mais exportou e o que mais importou no Merco foram, respectivamente:
a) 1 e 1
b) 2 e 2
c) 2 e 3
d) 3 e 1
e) 3 e 2
30. (UNESP) Considere três lojas, L 1 , L 2 e L 3 , e três tipos de produtos, P 1 , P 2 e P 3 . A
matriz a seguir descreve a quantidade de cada produto vendido por cada loja na
primeira semana de dezembro. Cada elemento a i j da matriz indica a quantidade
do produto P i vendido pela loja L j , onde i , j = 1, 2, 3.


30 19 20
 15 10 8 
12 16 11
Analisando a matriz, podemos afirmar que:
7.4. Exercícios
115
a) a quantidade de produtos do tipo P 2 vendidos pela loja L 2 é 11.
b) a quantidade de produtos do tipo P 1 vendidos pela loja L 3 é 30.
c) a soma das quantidades de produtos do tipo P 3 vendidos pelas três lojas é
40.
d) a soma das quantidades de produtos do tipo P i vendidos pelas lojas L i ,
i = 1, 2, 3, é 52.
e) a soma das quantidades dos produtos dos tipos P 1 e P 2 vendidos pela loja
L 1 é 45.
31. (Faap-SP) Uma montadora produz três modelos de veículos, A, B e C . Neles
podem ser instalados dois tipos de air bags, D e E . A matriz [air bag modelo]
mostra a quantidade de unidades de air bags instaladas:
Numa determinada semana foram produzidas as seguintes quantidades de veículos, dadas pela matriz [modelo-quantidade]:
·
O produto da matriz [air bag modelo] pela matriz [modelo-quantidade] é
Quantos veículos do modelo C foram montados na semana?
a) 300
b) 150
c) 100
¸
1600
.
3600
d) 200
e) 0
32. (UEL – PR) Uma das formas de se enviar uma mensagem secreta é por meio de
códigos matemáticos, seguindo os passos:
a) Tanto o destinatário quanto o remetente possuem uma matriz chave C ;
b) O destinatário recebe do remetente uma matriz P , tal que MC = P , onde M
é a matriz mensagem a ser decodificada;
c) Cada número da matriz M corresponde a uma letra do alfabeto: 1 = a, 2 =
b, 3 = c, . . . , 23 = z;
d) Consideremos o alfabeto com 23 letras, excluindo as letras, k, w e y.
e) O número zero corresponde ao ponto de exclamação.
f) A mensagem é lida, encontrando a matriz M, fazendo correspondência
número/letra e ordenando as letras por linhas da matriz conforme segue:
m 11 m 12 m 13 m 21 m 22 m 23 m 31 m 32 m 33 .




1 1 0
2 −10 1
Considere as matrizes: C =  0 −1 0  e P =  18 38 17 
0 2 1
19 14
0
Com base nos conhecimentos e nas informações descritas, assinale a alternativa
que apresenta a mensagem que foi enviada por meio da matriz M .
a) Boasorte!
b) Boaprova!
c) Boatarde!
d) Ajudeme!
e) Socorro!
Capítulo 7. Matrizes
116
33. (UFRGS - Modificada) A matriz C fornece, em reais, o custo das porções de arroz,
carne e salada usadas em um restaurante.

ar r oz
1
c
ar ne


C= 3
2 sal ad a

A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados na
composição dos pratos tipo P 1 , P 2 e P 3 desse restaurante:

P =
2
1
2
1
2
2
1
1
0
ar r oz
c ar ne
sal ad a

pr at o P 1
 pr at o P 2
pr at o P 3
Qual é a matriz que fornece, em reais, o custo de produção dos pratos P 1 , P 2 , P 3 ?
a)
£
7 9 8
¤t
b)
£
4 4 4
¤t
d)
£
2 6 8
¤t
e)
£
2 2 4
¤t
µ
¶
1
1
, determine a matriz A 2 .
−1 −1
34. (UFRGS - Modificada) Se A =
c)
£
9 11 4
¤t
CAPÍTULO
Sistemas de Equações Lineares
8.1 Equações lineares
Definição 8.1 (Equação linear) Uma equação linear nas n variáveis reais, x 1 , x 2 , . . . , x n ,
é toda equação da forma
a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . + a n x n = b,
onde tanto os coeficientes, a 1 , a 2 , . . . , a n , e o termo independente, b, são números reais.
Exemplo 8.1 As equações a, b, c e d são lineares e as equações e, f e g são não lineares:
b) −4x 2 − 8x 2 + 9x 3 = π
c) 6x − 2y + 8z = 0
d) −x + y = 1
p
e) 6x y + y 2 − z 1/2 = 0
f) 3x − 2 cos(x)y = 1
g) 3 y + 4x y = 3
a) 2x − 3y = 4
Definição 8.2 Chama-se de solução de uma equação linear em n variáveis, qualquer
n-upla de números reais (α1 , α2 , . . . , αn ) que ao terem suas coordenadas substituídas
ordenadamente na equação, a satisfaçam, ou seja, quando a 1 α1 + a 2 α2 + . . . + a n αn = b.
Exemplo 8.2 Considere as equações lineares I : 2x + 3y − 2z = 1 e I I : − 7x − 2y + z = 5.
A sequência (3, − 3, − 2) é solução da equação I , pois ao se substituir as variáveis x, y e z
por 3, − 3 e −2, respectivamente, tem-se que
2 · 3 + 3 · (−3) − 2 · (−2) = 6 − 9 + 4 = −3 + 4 = 1,
ou seja, a sequência satisfaz à equação. O mesmo não ocorre para a equação I I , já que
ao se fazer a substituição se obtém
−7 · 3 − 2 · (−3) + (−2) = −21 + 6 − 2 = −17.
Observação 8.1 Nem toda equação linear possui solução. Um exemplo é a equação
0x + 0y + 0z + 0w = 9. Observe que independente dos valores que possam ser atribuídos
às variáveis x, y, z e w, o lado esquerdo dessa equação sempre será nulo, enquanto o lado
direito será sempre 9, gerando a igualdade 0 = 9, que é obviamente falsa! Logo, nenhuma
equação linear da forma 0x 1 + 0x 2 + . . . + 0x n = k, com k 6= 0, terá solução, pois não existe
sequência (α1 , α2 , . . . , αn ) que a satisfaça.
8
Capítulo 8. Sistemas de Equações Lineares
118
8.2 Sistemas de equações lineares
É comum, principalmente em problemas de aplicações da matemática em outras áreas
do conhecimento, onde se faz necessário o modelamento matemático de problemas
práticos, se ter obter várias equações lineares, onde se procuram soluções que satisfaçam a todas elas simultaneamente. Para esse conjunto de equações dá-se o nome de
sistema de equações lineares.
Definição 8.3 Um Sistema de Equações Lineares de m
conjunto S da forma

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n





 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2n x n
a 31 x 1 + a 32 x 2 + . . . + a 3n x n
S:

..
..
..
..


.
.
.
.


 a x + a x +...+ a x
m1 1
m2 2
equações e n incógnitas é todo
mn n
=
=
=
..
.
b1
b2
b3 .
..
.
= bm
sendo que para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n vale que a i j , b i ∈ R.
Definição 8.4 Diremos que uma n-upla de números reais, α = (α1 , α2 , . . . , αn ), é uma
solução do sistema S, quando ela for solução de todas as m equações. Chamamos de
conjunto solução do sistema S, ao conjunto formado por todas as soluções possíveis de
S.Sendo assim, resolver um sistema de equações lineares, significa obter o seu conjunto
de soluções possíveis.
Exemplo 8.3 Considere o sistema

 x − y − z = 2
S : 3x − 3y + 2z = 16

2x − y + z = 9
e a sequência α = (3, − 1, 2). Ao se substituir x por 3, y por -1 e z por 2, em todas as
equações, verifica-se que todas são satisfeitas. Logo, α é uma solução desse sistema.
8.3 Sistemas lineares como equações matriciais
Usando as definições de produto e igualdade entre matrizes é possível escrever o sistema
S da Definição 8.3 como a seguinte equação matricial
AX = B,
onde




A=


a 11
a 21
a 31
..
.
a 12
a 22
a 32
..
.
···
···
···
..
.
a 1n
a 2n
a 3n
..
.
a m1 a m2 · · · a mn




,






X =


x1
x2
x3
..
.
xn








 e B =




b1
b2
b3
..
.
bm




.


As matrizes A, X e B são denominadas, respectivamente, por: matriz de coeficientes,
matriz das incógnitas e matriz dos termos independentes.
8.4. Classificação
119
Já a matriz formada pela matriz de coeficientes juntamente com a matriz dos termos
independentes, é denominada matriz aumentada de S e é representada por


a 11 a 12 · · · a 1n b 1
 a 21 a 22 · · · a 2n b 2 




[A|B ] =  a 31 a 32 · · · a 3n b 3  .
 ..
..
..
..
.. 
 .
.
.
.
. 
a m1 a m2 · · · a mn
bm
Exemplo 8.4 A representação matricial do sistema S do Exemplo 8.3 é

 
 

1 −1 −1
x
2
 3 −3
2  ·  y  =  16 
2 −1
1
z
9
e sua matriz aumentada é

1 −1 −1 2
 3 −3
2 16  .
2 −1
1 9

A matriz aumentada é muito útil na resolução de sistemas pelo método de escalonamento, também conhecido como método de Gauss-Jordan, e que estudaremos
mais adiante.
8.4 Classificação
Demonstra-se que um sistema de equações lineares S, admite uma e apenas uma das
três classificações: Possível e determinado, Possível e indeterminado e Impossível.
• Possível e determinado: é quando o sistema admite apenas uma solução.
• Possível e indeterminado: é quando o sistema admite infinitas soluções.
• Impossível: é quando o sistema não admite solução.
Nos dois casos onde o sistema pode ser classificado como possível, também é
comum chamá-lo de compatível ou consistente. No caso onde ele é impossível, também
é comum dizer que ele é incompatível ou inconsistente.
8.5 Métodos de resolução de sistemas lineares
O objetivo dessa seção é rever o método de resolução de sistemas lineares denominado
resolução por substituição e apresentar o método geral, denominado resolução por
escalonamento.
Resolução por Substituição
É um método simples, mas útil apenas para sistemas com poucas equações e variáveis.
Vejamos alguns exemplos da utilização desse método, de forma que se observe que as
três classificações sejam obtidas.
Capítulo 8. Sistemas de Equações Lineares
120
½
Exemplo 8.5 Resolva o sistema S 1 :
x + 3y = −7
.
2x − y = 14
Resolução: Considere as equações A e B do sistema, conforme indicado
½
A
x + 3y = −7 S1 :
B
2x − y = 14 A temos que x = −7 − 3y C . Levando C em B,
Isolando a incógnita x na equação vem que:
2 · (−7 − 3y) − y = 14 =⇒ −14 − 6y − y = 14 =⇒ −7y = 28 =⇒ y = −4.
C vem que:
Agora, substituindo y por −4 na equação x = −7 − 3 (−4) =⇒ x = −7 + 12 =⇒ x = 5.
Portanto, a solução do sistema S 1 é o par ordenado (5, − 4). Além disso, como essa é a
única solução do sistema, ele é classificado como possível e determinado.
Interpretação geométrica
A e
B do sistema S 1 são equações de retas. Sendo assim,
Observe que as equações resolver esse sistema consiste em obter os pontos do plano (ou pares ordenados) que
estão nas duas retas simultaneamente, ou seja, os pontos de interseção entre essas duas
retas. Para esse sistema, o ponto de interseção é único e dado por (5, −4). Vejamos os
gráficos dessas duas retas na Figura 3.
Figura 3 – Interpretação geométrica da solução do sistema S 1 que é possível e determinado, pela interseção das retas representadas por cada uma de suas equações.
(
Exemplo 8.6 Resolva o sistema S 2 :
x + 2y =
x
+y =
2
3
3 .
2
1.
Resolução: Isolando a variável x na primeira equação de S 2 tem-se que x = 3 − 2y 1 na segunda equação de S 2 , obtém-se:
Substituindo o resultado da equação 8.5. Métodos de resolução de sistemas lineares
121
3 − 2y
3
3 − 2y + 2y 3
3 3
+ y = =⇒
= =⇒ = .
2
2
2
2
2 2
Ao fazermos a substituição, observe que a incógnita y foi eliminada, o que indica que
1 mostra
ela não possui restrição, ou seja, y pode ser qualquer número real. Já a equação que o valor de x depende do valor de y, isto é, para cada valor de y ∈ R considerado,
ter-se-á um valor respectivo para x.
Em situações desse tipo, é comum denominar a variável que não possui restrição
como variável livre. Nesse exemplo, y é a variável livre. Se fizermos y = α ∈ R, temos que
1 pode ser reescrita como x = 3 − 2α e que qualquer par ordenado da forma
a equação (x, y) = (3 − 2α, α), α ∈ R
será uma solução do sistema S 2 .
Uma forma de representar o conjunto solução S do sistema S 2 é
©
ª
S = (x, y) | x = 3 − 2α, y = α e α ∈ R .
Logo, se considerarmos α = 0, tem-se que x = 3 − 2 · 0 = 3. Então, uma solução particular de S 2 é o par ordenado (3, 0).
Considerando α = −1, vem que x = 3 − 2 · (−1) = 5, que implica em outra solução
particular de S 2 , que é o par (5, − 1).
Portanto, como se tem infinitos valores possívies para α, ter-se-á infinitos valores para
x, implicando em um número infinito de soluções possíveis para o sistema S 2 . Então, ele
é classificado como possível e indeterminado.
Interpretação geométrica
Vejamos na Figura 4 a representação geométrica das duas equações do sistema S 2 .
Observe que a interseção entre as retas é composta exatamente por ambas.
Figura 4 – Interpretação geométrica do sistema S 2 , que é possível e indeterminado.
Sendo assim, como elas são coincidentes, todos os pontos sobre elas são soluções
do sistema, e, é por isso, que o sistema S 2 tem infinitas soluções.
Capítulo 8. Sistemas de Equações Lineares
122
½
Exemplo 8.7 Resolva o sistema S 3 :
x+y = 3
.
−x − y = 1
1.
Resolução: Ao se isolar a incógnita y na primeira equação de S 3 , vem que y = 3−x 1 na segunda equação de S 3 , obtém-se que
Substituindo o resultado da equação −x − (3 − x) = 1 =⇒ −x − 3 + x = 1 =⇒ −3 = 1 (Absur d o!).
Esse resultado absurdo de que −3 = 1 significa que independentemente dos valores
considerados para a incógnita x, a igualdade nas equações nunca será satisfeita, ou seja,
o sistema S 3 não admite solução. Logo, ele é classificado como impossível.
O método de substituição foi apresentado aqui na resolução de sistemas de 2 equações e 2 incógnitas pois ele é mais comumente utilizado para esse tipo de sistema.
Contudo, pode ser aplicado para outros tipos de sistemas, mas isso implicará em mais
trabalho, devido as muitas substituições que serão necessárias.
Interpretação geométrica
Figura 5 – Interpretação geométrica da solução de um sistema impossível, onde se
observa que para essa situação, as retas serão paralelas.
Sendo assim, para sistemas com duas equações e duas incógnitas, temos três interpretações geométricas possíveis:
1. Retas concorrentes, quando o sistema for possível e determinado.
2. Retas coincidentes, quando o sistema for possível e indeterminado.
3. Retas paralelas, quando o sistema for impossível.
Esse tipo de interpretação geométrica também pode ser feita para sistemas lineares
de três equações e três incógnitas, pois suas equações representam planos no espaço
R3 . Contudo, deixaremos para que vejam isso em cursos de geometria analítica.
8.5. Métodos de resolução de sistemas lineares
123
Operações elementares
As operações elementares sobre as equações de um sistema, ou sobre as linhas da sua
matriz aumentada, são três possíveis operações, muito úteis na resolução de sistemas
lineares. São elas:
1. Troca de posição entre as linhas i e j , cuja representação será L i ←→ L j , indicando que no lugar da linha i foi colocada a linha j e vice-versa.
Exemplo 8.8 Observe que o segundo sistema foi obtido pela troca de posição entre
as linhas 2 e 3 do primeiro sistema.


x − 3y
= −4
16x + 3y + πz = 3

2x + 5y − 4z = −1
L 2 ←→ L 3


x − 3y
= −4
2x + 5y − 4z = −1

16x + 3y + πz = 3
Para a matriz aumentada do primeiro sistema, tem-se que a segunda matriz foi
gerada a partir da troca de posição entre as linhas 2 e 3 da primeira matriz.




1 −3
0 −4
1 −3
0 −4
 16
3
π
5 −4 −1 
3  L 2 ←→ L 3  2
2
5 −4 −1
16
3
π
3
2. Substituição da linha i por um múltiplo escalar não nulo dessa mesma linha,
cuja representação será L i −→ kL i , sendo k um escalar não nulo.
Exemplo 8.9 O segundo sistema foi obtido a partir do primeiro, fazendo-se a troca
da linha 2, por ela mesma, multiplicada pelo escalar k = −2. Essa operação é
inicada por L 2 −→ −2L 2 .


x − 3y
= −4
x − 3y
= −4


16x + 3y + πz = 3 L 2 −→ −2L 2
−32x − 6y − 2πz = −6


2x + 5y − 4z = −1
2x + 5y − 4z = −1
Usando a matriz aumentada do primeiro sistema para realizar a mesma operação
elementar, tem-se que:




1 −3
0 −4
1 −3
0 −4
 16
3  L 2 −→ −2L 2  −32 −6 −2π −6 
3
π
2
5 −4 −1
2
5
−4 −1
3. Substituição da linha i por ela mesma adicionada a um multiplo escalar não
nulo da linha j , cuja representação será L i −→ L i + kL j , sendo k um escalar não
nulo.
Exemplo 8.10 O segundo sistema foi obtido a partir do primeiro, fazendo-se a
troca da linha 3, por ela mesma, adicionada à linha um previamente multiplicada
por k = −2, ou seja, L 3 −→ L 3 − 2L 1 .


x − 3y
= −4
x − 3y
= −4


16x + 3y + πz = 3
16x + 3y + πz = 3


2x + 5y − 4z = −1 L 3 −→ L 3 − 2L 1
11y − 4z = 7
Capítulo 8. Sistemas de Equações Lineares
124
Usando a matriz aumentada do primeiro sistema para realizar a mesma operação
elementar, tem-se que:




1 −3
0 −4
1 −3
0 −4
 16
 16
3
π
3 
3
π
3 
L
−→
L
−
2L
3
3
2
2
5 −4 −1
0 11 −4
7
Observação 8.2 Nos exemplos apresentados, percebe-se que tanto faz aplicar as operações elementares nas linhas de um sistema ou nas linhas de sua matriz aumentada, pois
a matriz obtida é exatamente a matriz aumentada do sistema gerado com as operações.
Sistemas equivalentes e resolução
Definição 8.5 Quando dois sistemas lineares possuem o mesmo conjunto solução, diz-se
que eles são equivalentes.
Teorema 8.1 Ao se aplicar as operações elementares em um sistema de equações lineares,
o sistema resultante será equivalente ao primeiro.
A demonstração do Teorema 8.1 pode ser obtida em [26, p. 25].
O resultado garantido pelo Teorema 8.1 é de extrema importância nas técnicas de
resolução de sistemas lineares. Isso porque, a partir dele pode-se concluir que para
se resolver um determinado sistema linear, S 1 , é suficiente que obtenhamos um novo
sistema equivalente a S 1 , digamos S 2 , que possa ser resolvido facilmente, já que o
conjunto solução de S 2 será o mesmo que S 1 . Obviamente, para que se garanta que S 2 é
equivalente a S 1 , é obrigatório que se use, apenas, as operações elementares.
Exemplo 8.11 Vamos resolver o sistema S 1 com base no Teorema 8.1, aplicando as operações elementares em suas linhas (suas equações).

 −2x + y − z = 3
3x − 2y + 3z = −3
S1 :

x − 2y + z = −5

 −2x +
L 2 −→ −3L 3 + L 2
L 3 −→ 2L 3 + L 1 
y − z = 3
4y
= 12
− 3y + z = −7

 −2x +
y − z = 3
1
y
= 3
L 2 −→ L 2
4 
− 3y + z = −7

 −2x + y − z = 3
y
= 3
L 3 −→ 3L 2 + L 3 
z = 2
Sendo assim, pelo Teorema 8.1 segue que o sistema S 1 é equivalente ao sistema

 −2x + y − z = 3
y
= 3
S2 :

z = 2
O sistema S 2 pode ser resolvido facilmente, já que após as operações elementares
serem aplicadas, obteve-se que y = 3 e z = 2 e, com isso, ao substituirmos esses valores
na primeira equação do sistema, vem que:
−2x + 3 − 2 = 3 =⇒ x = −1.
8.5. Métodos de resolução de sistemas lineares
125
Sendo assim, α = (−1, 3, 2) é a única solução de S 2 e, portanto, a única solução do
sistema original, S 1 .
Observe, ainda, que a matriz aumentada do sistema S 2 é


−2 1 −1 3
0 3 ,
M = 0 1
0 0
1 2
e que se as operações elementares tivessem sido aplicadas na matriz aumentada de S 1 ,
o resultado final seria a matriz M , a qual pode ser interpretada como o sistema S 2 , que
consequentemente seria resolvido.
Observe que a matriz M tem o formato de escada para os elementos não nulos.
Matrizes desse tipo são chamadas de escalonadas. São dois, os métodos de resolução de
sistemas lineares que estudaremos aqui. Um deles é baseado na obtenção de matrizes
escalonadas e que é denominado método de Gauss, e o outro, na obtenção de matrizes
escalonadas reduzidas e denominado por método de Gauss-Jordan.
Métodos de resolução: Gauss e Gauss-Jordan
Para ser possível o entendimento dos métodos de resolução de Gauss e de Gauss-Jordan,
é necessário o entendimento do que vem a ser exatamente uma matriz escalonada e
uma matriz escalonada reduzida. Vejamos as definições e exemplos:
Definição 8.6 Dizemos que uma matriz está na forma escalonada (ou escalonada por
linhas) quando as seguintes condições são satisfeitas:
a) Todas as linhas nulas ficam abaixo das linhas não nulas.
b) O pivô (primeiro elemento não nulo de uma linha não nula) sempre ocorre à direita
do pivô da linha anterior.
Definição 8.7 Quando além das propriedades a) e b) da Definição 8.6, também forem
válidas as condições c) e d), diremos que a matriz está na forma escalonada reduzida:
c) O pivô de cada linha é sempre igual a 1.
d) Se uma coluna possui um pivô, então todos os outros elementos dessa coluna são
nulos.
Exemplo 8.12 As matrizes A, B e C estão na forma escalonada e as matrizes D, E e F estão
na forma escalonada reduzida.

4 2 −1

A = 0 1 −3
0 0 12

1 0 0

D= 0 1 0
0 0 1

−1
0
 0
1 , B = 
 0
π
0


1
0
 0
1 , E = 
 0
π
0

0
2
0
0
0
1
0
0
2
3
0
0
0
0
1
0



0
8
2 2 −1

3 −1 
, C =  0 4 −3 
2
7 
0 0
1
0
0



0
8
1 0 0

3 −1 
, F = 0 1 0 
1
7 
0 0 1
0
0
Observação 8.3 A principal finalidade do pivô é que ele pode ser utilizado para zerar
todos os elementos abaixo dele na sua coluna. Essa utilidade poderá ser observada nos
exemplos que seguem.
Capítulo 8. Sistemas de Equações Lineares
126
O método de Gauss
O método de resolução de sistemas lineares denominado Método de Gauss é baseado
na aplicação de operações elementares na matriz aumentada do sistema até que ela
fique na forma escalonada, pois então, o sistema associado será de fácil resolução e
equivalente ao primeiro.
Foi essa a técnica utilizada na resolução do Exemplo 8.11. Vejamos mais um exemplo:

−2x + y − 3z = −11



4x − 3y + 2z =
0
Exemplo 8.13 Resolva S :
pelo método de Gauss.
x
+
y
+
z
=
6



3x + y + z =
4
Resolução: A matriz aumentada do sistema S é

−2
1 −3 −11
 4 −3
2
0

 1
6
1
1
3
1
1
4


.

Sendo assim, aplicando operações elementares para deixá-la na forma escalonada
temos:


6
1
1
1
 4 −3
L −→ −4L 1 + L 2 
2
0 

 2

L 3 −→ 2L 1 + L 3 
 −2

1 −3 −11
L 4 −→ −3L 1 + L 4
4
3
1
1

6
1
1
1
0 −7 −2 −24 

0
3 −1
1 
0 −2 −2 −14


1
1
1
6

 0 −7 −2 −24 




L
−→
(−1/13)L
L 3 −→ 3L 2 + 7L 3 0
0 −13 −65
3
3
L 4 −→ (1/8)L 4
L 4 −→ 2L 3 + 3L 4 0
0 −8 −40

1
1
1
6
0 −7 −2 −24 

0
0
1
5 
0
0 −1 −5
L 1 ←→ L 3




1
1
1
6
 0 −7 −2 −24 


 0
0
1
5 
L 4 −→ L 3 + L 4 0
0
0
0
Observe que a última matriz obtida pela aplicação das operações elementares
satisfaz as condições da Definição 8.6 e, portanto, ela está na forma escalonada. Além
disso, a linha nula pode ser desconsiderada, pois representa a equação 0x + 0y + 0z = 0,
que é verdadeira ∀ x, y, z ∈ R. Sendo assim, o sistema associado a ela,

6
 x + y + z =
− 7y − 2z = −24 ,
S0 :

z =
5
é equivalente a S, isto é, possuem o mesmo conjunto solução.
Usando que z = 5 e fazendo uma substituição de trás para frente, tem-se que
−7y − 2 · 5 = −24 =⇒ y = 2 e que x + 2 + 5 = 6 =⇒ x = −1.
Portanto, a única solução do sistema S é dada por α = (−1, 2, 5).
8.5. Métodos de resolução de sistemas lineares
Exemplo 8.14 Utilizando o método de Gauss,
classificação.

 x + y − z
3x − y + 2z
S:

−x − 2y + 3z
127
resolva o sistema S e apresente a sua
+ w
+ w
+ 2w
=
1
=
2
= −1
Resolução: A matriz aumentada do sistema S é


1
1 −1 1
1
 3 −1
2 1
2 .
−1 −2
3 2 −1
Vamos começar utilizando o pivô da linha L 1 para zerar os dois elementos abaixo da
sua coluna:


1
1 −1
1
1
L 2 −→ −3L 1 + L 2 0 −4
5 −2 −1  .
L 3 −→ L 1 + L 3 0 −1
2
3
0
Agora, consideraremos o pivô da segunda linha, ou seja, o número -4, para zerar o
elemento que está abaixo dele em sua coluna. Vejamos:


1
1 −1
1
1
 0 −4
5 −2 −1  .
L 3 −→ −L 2 + 4L 3 0
0
3 14
1
A matriz obtida já está na forma escalonada e seu sistema associado é

w =
1 (C )
 x + y − z +
− 4y + 5z − 2w = −1 (B ) .
S0 :

3z + 14w =
1 (A)
Além disso, a única coluna da matriz escalonada que não apresenta um pivô é a
relativa à variável w, e por isso, ela pode ser considerada como variável livre, isto é,
pode assumir valores arbitrários.
Tomando w = α ∈ R a Eq. (A) pode ser reescrita como 3z = 1 − 14α, o que leva
1 − 14α
(8.1)
3
Levando a Equação (8.1) na Equação (B) vem que −4y + 5 · 1−14α
− 2α = −1, que leva
3
z=
a
2 − 19α
(8.2)
3
Para finalizar a obtenção das variáveis, basta levar as Equações (8.1) e (8.2) na
Equação (C), obtendo que
2 + 2α
x=
.
3
Portanto, a solução geral X do sistema S é dada por
y=
X=
½
¡
¶
¾
2 + 2α 2 − 19α 1 − 14α
x, y, z, w =
,
,
, α ; α∈R .
3
3
3
¢
µ
Como para cada valor de α tem-se uma solução para o sistema S, segue que ele
possui infinitas soluções. Logo, ele é classificado como possível e indeterminado.
Capítulo 8. Sistemas de Equações Lineares
128
Observação 8.4 Em todo sistema cuja matriz escalonada apresentar alguma coluna
cuja variável envolvida não estiver com pivôs, significará que essas variáveis podem
ser consideradas como variáveis livres. Vejamos mais um exemplo, já considerando a
matriz na forma escalonada:
Exemplo 8.15 Considere a matriz escalonada de um sistema S nas variáveis x, y, z e w,
nessa ordem, e o sistema S 0 associado a essa matriz.


−1 −3
0 −2
5
 0
0 −2
6 −4  ,
0
0
0
0
0
0
S :
½
−x − 3y
−2w
−2z + 6w
=
5
= −4
(A)
.
(B )
Observe que as colunas que não possuem pivô associado são as das variáveis y e w.
Logo, são essas que consideraremos como variáveis livres. Sejam, então, y = α e w = β
com α, β ∈ R.
Levando w = β na Eq. (B) tem-se que
z = 2 + 3β.
Agora, levando y = α e w = β na Eq. (A), obtém-se que
x = −5 − 3α − 2β.
Sendo assim, como S 0 é equivalente a S, tem-se que a solução geral do sistema S é o
conjunto X dado por
X=
©¡
¢ ¡
¢
ª
x, y, z, w = −5 − 3α − 2β, α, 2 + 3β, β ; α, β ∈ R .
Além disso, pelo mesmo motivo do Exemplo 8.14, segue que S é um sistema possível e
indeterminado.
O método de Gauss-Jordan
O método de resolução de Gauss-Jordan para sistemas lineares consiste na aplicação
de operações elementares na matriz aumentada do sistema até que ele fique na forma
escalonada reduzida, permitindo que o sistema associado seja de resolução direta ou
quase direta. Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 8.16 Utilizando o método de Gauss-Jordan, resolva o sistema S e apresente a
sua classificação.

− y + z = 2

= 5
S : −x + 3y

2x
+ 6z = 20
Resolução: A matriz aumentada de S é


0 −1 1 2
 −1
3 0 5 
2
0 6 20
Observe que é possível se ter um pivô na primeira posição da primeira linha, desde
que troquemos as linhas L 1 e L 2 e após isso, multipliquemos a linha L 1 por −1. Vejamos:




L 1 −→ −L 1 1 −3 0 −5
−1
3 0 5
L 1 ←→ L 2
 0 −1 1
0 −1 1 2 
2 
2
0 6 20
2
0 6 20
8.5. Métodos de resolução de sistemas lineares
129
Agora, deve-se usar o pivô (que é o número 1, localizado na primeira linha e na
primeira coluna da última matriz) para zerar todos os elementos da sua coluna. Isso
pode ser feito da forma:


1 −3 0 −5
 0 −1 1
2 
L 3 ←→ −2L 1 + L 3 0
6 6 30
Para que apareça o pivô na segunda linha, basta multiplicarmos a L 2 da última
matriz por −1.


1 −3
0 −5
1 −1 −2 
L 2 −→ −L 2  0
0
6
6 30
Usando o pivô da linha L 2 para zerar os outros elementos da sua coluna, obtém-se:


L 1 −→ 3L 2 + L 1 1 0 −3 −11
 0 1 −1 −2 
L 3 −→ −6L 2 + L 3 0 0 12
42
Para conseguir o pivô na terceira linha da última matriz obtida, basta substituir a
linha L 3 por ela mesma multiplicada por 1/12. Vejamos:


1 0 −3 −11
 0 1 −1 −2 
1
1 7/2
L 3 −→ L 3 0 0
12
Para finalizar, basta apenas zerar todos os dois números acima do pivô obtido.
Fazendo isso, obtém-se a matriz:


L 1 −→ 3L 3 + L 1 1 0 0 −1/2
3/2 
L 2 −→ L 3 + L 2  0 1 0
7/2
0 0 1
A matriz resultante das operações elementares está claramente na forma escalonada
reduzida. O sistema S 0 associado a ela é:

= −1/2
 x
0
y
=
3/2 .
S :

z =
7/2
¡
¢
Sendo assim, a solução geral do sistema S é única e dada por α = − 12 , 23 , 72 , o que
implica que ele é classificado como possível e determinado.
Exemplo 8.17 Considere uma livraria e três de seus clientes C 1 , C 2 e C 3 , cujos valores
pagos em compras feitas foram de, respectivamente, R$ 39,00; R$ 227,00 e R$ 315,00. Esses
clientes são amigos e precisam lembrar do preço unitário dos produtos que compraram,
contudo, perderam as notas fiscais das compras e não conseguiram entrar em contato
com a livraria. Sabe-se que o cliente C 1 comprou apenas um livro, uma borracha e um
grampeador. O cliente C 2 comprou 7 livros, 5 borrachas e um grampeador. Finalmente, o
cliente C 3 comprou 10 livros, 4 borrachas e apenas um grampeador.
a) Monte um sistema linear que represente o consumo de cada cliente.
Capítulo 8. Sistemas de Equações Lineares
130
b) Usando o método de Gauss-Jordan, obtenha o valor unitário do livro, da borracha
e do grampeador.
c) Esse sistema pode ser classificado como possível e indeterminado? Justifique.
Resolução:
a) Nesse problema prático, devemos associar uma variável (ou incógnita) para representar cada tipo de produto comprado. Façamos a seguinte associação:
l = l i vr o,
b = bor r acha e g = g r ampead or.
Então, os valores totais pagos por cada cliente podem ser representados por:
C 1 : l + b + g = 39
C 2 : 7l + 5b + g = 227
C 3 : 10l + 4b + g = 315
Portanto, o sistema procurado é


l
7l
S:

10l
+ b + g
+ 5b + g
+ 4b + g
= 39
= 227 .
= 315
b) Para se obter o valor unitário de cada produto comprado basta descobrir os
valores de l , b e g . Para isso, vamos resolver o sistema S pelo método solicitado,
Gauss-Jordan.
A matriz aumentada do sistema S é

1 1 1 39
 7 5 1 227 
10 4 1 315

Vamos aplicar operações elementares nas linhas dessa matriz até que ela fique na
forma escalonada reduzida. Vejamos:



1
1
1
39
1
L 2 −→ −7L 1 + L 2  0 −2 −6 −46  L 2 −→ − L 2 
2
L 3 −→ −10L 1 + L 3 0 −6 −9 −75



L 1 −→ −L 2 + L 1 1 0 −2 16
 0 1
3 23 
1 
L3
L
−→
L 3 −→ 6L 2 + L 3 0 0
3
9 63
9

1
1
1
39
0
1
3
23 
0 −6 −9 −75

1 0 −2 16
0 1
3 23 
0 0
1 7
Agora, basta utilizar o pivô da linha L 3 para zerar os elementos acima dele. Com
isso, obtém-se a matriz aumentada na forma escalonada reduzida e, consequentemente, o seu sistema associado S 0 , equivalente ao sistema original, S.


L 1 −→ 2L 3 + L 1 1 0 0 30
L 2 −→ −3L 3 + L 2  0 1 0 2 
0 0 1 7
0
S :

 l

b
g
= 30
= 2 .
= 7
Então, a solução geral do sistema S é α = (30, 2, 7), ou seja, o preço unitário do
livro comprado é R$ 30,00, da borracha é R$ 2,00 e do grampeador é R$ 7,00.
8.6. Sistemas lineares homogêneos
131
c) É fácil ver que o sistema S NÃO pode ser classificado como possível e indeterminado, pois foi constatado no item b) que ele possui solução única. Logo ele é
possível e determinado.
8.6 Sistemas lineares homogêneos
Quando b i = 0 ∀ 1 ≤ i ≤ m no sistema linear genérico expresso pela Definição 8.3,
diremos ele é Homogêneo. Isto é, um sistema linear será denominado homogênio
quando puder ser escrito na forma


 a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n = 0

 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2n x n = 0
S:
(8.3)
..
..
..
..
.. ..

.
.
.
.
.
.


 a x + a x +...+ a x = 0
m1 1
m2 2
mn n
Sendo assim, a representação matricial do sistema (8.3) é AX = 0. Além disso,
percebe-se facilmente que se x 1 = x 2 = . . . = x n = 0, a n-upla (0, 0, . . . , 0) é solução
desse sistema, denominada solução trivial.
Portanto, fica claro que um sistema linear homogêneo sempre possui solução. Sendo
assim, ele só pode ser classificado como possível e determinado ou possível e indeterminado, ou seja, ou um sistema homogêneo tem apenas uma solução (a trivial) ou
possui infinitas soluções.
O fato de a coluna dos termos independentes do sistema (8.3) ser nula implica que,
ao serem realizadas operações elementares na sua matriz aumentada, essa coluna não
será alterada. Portanto, pode-se apresentar a Observação 8.5.
Observação 8.5 Para resolver um sistema linear homogêneo por escalonamento, basta
escalonarmos a matriz A do sistema, desde que, ao se escrever o sistema linear associado
à matriz escalonada, se considere novamente a coluna de zeros.

 2x − y + 4z = 0
+ z = 0 , use o método de GaussExemplo 8.18 Dado o sistema T : −x

x − 3y + 6z = 0
Jordan para obter o seu conjunto solução.


2 −1 4
0 1 . Realizando operações elementaResolução: A matriz do sistema é  −1
1 −3 6
res obtém-se:
Capítulo 8. Sistemas de Equações Lineares
132

 x
= 0
= 0 , o que prova que o

z = 0
sistema T possui apenas a solução trivial, e portanto, seu conjunto solução é {(0, 0, 0)}.
O sistema associado à matriz escalonada é:
y
8.7 Exercícios
1. Escreva os sistemas abaixo nas suas respectivas formas matriciais, considerando
que todas as letras apresentadas nos sistemas representam variáveis.

= −1
 2x − 3y
x + 7y − 4z = 11
a) A :
 x
− 2 + y − z = −2

7
 2l + 4m + 3n − 5p =
b) B : 3l − 7m − n + 2p = −4

m + n + p =
0
½
−w + 3x − 3y + t =
9
c) C :
7w − 2x + 4y
= −3
¡
¢
2. Verifique se α = −1, 23 , 4 é solução de algum dos sistemas abaixo:

 x − 2y + 12 z = −1/3
a) A : −x − 3y −
z =
−5

5x + 4y − 2z =
3
½
3x − y + 25 z = −31/15
b) B :
−2x − y −
z =
−8/3
3. (UFMG) Seja p(x) = x 3 +pax 2 + bx + 2 um polinômio em que a e b são números
inteiros. Sabe-se que 1 + 2 é uma raiz de p(x). Considerando essas informações,
DETERMINE os coeficientes a e b.
4. Resolva os sistemas a seguir pelo método de substituição.
½
½
½
2x − 3y = −8
2x −
−7x + y = 15
a)
b)
c)
x
23
− 2y = −3
−x + 4y = 2
x −
2
y = 3
y
= 32
2
5. Utilizando o método de Gauss obtenha as soluções dos sistemas abaixo e, em
seguida, classifique-os:

 3x − 7y + 4z = −1
x + 2y − 3z =
4
a) A :

y + z = −1

 3x − 3y + 12 z =
−3
b) B : −2x + y −
z =
4

x + 3y + 2z = −17/3

 9t − 2u − 7v = 25
c) C : 5t + 3u − 11v = 13

4t − 5u + 4v = 18
8.7. Exercícios
133

 −2x + 2y − 4z
2x − y
+ 3t
d) D :

x − 2y + z − 2t

 −2x + y − z
− y + 2z + 3t
e) E :

x − 2y + z − 2t

2
 x + 3y + 2z =
4
f) F : 3x + 5y + 4z =

5x + 3y + 4z = −10
= 2
= 2
= 0
=
1
=
2
= −1
6. Utilizando o método de Gauss-Jordan obtenha as soluções dos sistemas abaixo e,
em seguida, classifique-os:

u − 2v − 3w = 5



−2u + 5v + 2w = 3
a) I :
−u + 3v − w = 2



u − v + w = 0

x + y + z + t − 3w =
7


 x − y + z + t + 2w = −5
b) J :
y − z + 2t −
w =
4



2x
+ z − t + 21 w = −2
½
7x − 3y + 2z − t =
4
c) K :
−x + 5y − 6z + 2t = −1

x + y
=
3




= −1
 3x − 2y
= −4
d) L : 2x − 3y


x
−
y
+
z
=
6



y − z = −5

4
 −u + 2v − 4w =
7u − 3v + w = −39/2
e) M :

3w + 3v + w =
1/2
7. (UFJF) Em uma vídeo locadora, o acervo de filmes foi dividido, quanto ao preço,
em três categorias: Série Ouro (SO), Série Prata (SP) e Série Bronze (SB). Marcelo
estava fazendo sua ficha de inscrição, quando viu Paulo alugar dois filmes SO,
dois filmes SP e um filme SB e pagar R$ 13,50 pela locação dos filmes. Viu também
Marcos alugar quatro filmes SO, dois filmes SP e um filme SB e pagar R$ 20,50
pela locação dos filmes. Marcelo alugou três filmes SO, um filme SP e dois filmes
SB e pagou R$ 16,00. Então, nesta locadora, o preço da locação de três filmes, um
de cada categoria, é igual a:
a) R$ 7,50
b) R$ 8,00
c) R$ 9,00
d) R$ 10,00
8. (UNESP) A agência Vivatur vendeu a um turista uma passagem que foi paga, à
vista, com cédulas de 10, 50 e 100 dólares, num total de 45 cédulas. O valor da
passagem foi 1.950 dólares e a quantidade de cédulas recebidas de 10 dólares foi
o dobro das de 100. O valor, em dólares, recebido em notas de 100 pela agência
na venda dessa passagem, foi:
a) 1.800
b) 1.500
c) 1.400
d) 1.000
e) 800
Capítulo 8. Sistemas de Equações Lineares
134
9. (ULBRA) Determinando os valores de a e b, a fim de que o sistema
½
2x + 2y = b
2x + a y = 6
seja indeterminado, o produto ab é:
a) 36
b) 24
c) 18
d) 12
e) 6
10. (FGVRJ) Se 5x + 7y + 2z = 33 e 2x + 3y + z = 12, então x + y é igual a:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
11. (Fuvest - SP) Calcule a e b para que o sistema linear
½
ax +
y = b
x + ay = b
não admita solução.
12. (Unicamp) Resolva o seguinte sistema de equações lineares:

2x



x
x



x
+ y + z + w
+ 2y + z + w
+ y + 2z + w
+ y + z + 2w
=
=
=
=
1
2
3
4
13. (UFMG) Determine o valor de k para que o sistema abaixo admita solução:

 −4x + 3y = 2
5x − 4y = 0

2x − y = k
14. (FGV) Resolvendo


x +
2x −

a) -3
b) -2
y + z =
0
y − 2z =
1 , obtém-se para z o valor:
6y + 3z = −12
c) 0
d) 2
e) 3
15. (Mauá) Para que valores de k o sistema abaixo é possível e determinado?
½
kx + 3y = 2
2x − y = 0
16. (Fuvest - modificada) Considere o sistema linear nas incógnitas x, y, z e w:

2x



x
y



z
+
my
+
y
+ (m + 1)z + 2w
−
w
= −2
= −1
=
2
=
1
a) Para que valores de m, o sistema tem uma única solução?
b) Para que valores de m, o sistema não tem solução?
c) Para m = 1, calcule o valor de 2x + y–z–2w.
8.7. Exercícios
135
½
x + (c + 1)y =
0
17. (Fuvest) O sistema
, onde c 6= 0, admite uma solução
cx +
y = −1
¡
¢
x, y com x = 1. Então, o valor de c é:
a) -3
b) -2
c) -1
d) 1
e) 2

y =
5
 x +
x −
y = −3 . Para que o sistema
18. (IBMEC) Considere o sistema linear

kx + k y = 20
seja possível devemos ter:
a) k = 4
b) k = 3
c) k = 2
d) k = 1
e) k = 0
¡
¢
19. (FGV) Mostre que existem infinitas triplas ordenadas x, y, z de números que
satisfazem a equação matricial:


 

  
1
2
−1
0
x ·  2  + y ·  0  + z ·  −10  =  0  .
−1
1
7
0
½
20. Seja o sistema
3x + 2y = β2 − 16
. Calcule β de forma que ele seja homo2x − y =
β+4
gêneo.
21. Usando a matriz escalonada (ou escalonada reduzida), obtenha a solução dos
sistemas homogêneos:


 u + v − 10w = 0
 x + y + z = 0
− 5w = 0
a) I : u
b) J : 2x + 2y + 4z = 0


v − 3w = 0
x + y + 3z = 0

+ 2z = 0
 x
−x + 2y + 2z = 0 é possível e indeter22. Pode-se afirmar que o sistema

x + y + z = 0
minado? Justifique.

 x + y + 2z + w = 0
−x + y
+ 2w = 0 é possível e indeter23. Mostre que o sistema

x + 5y + z
= 0
³
´
19
λ
, − 75 λ, λ , ∀ λ ∈ R.
minado, sendo que suas soluções são da forma α = 10 λ, − 10
24. (SpeedSoft) Numa sala, as cadeiras têm 4 pernas e os banquinhos, têm 3. O total
de assentos é 10 e o total de pernas é 34. Quantas cadeiras têm nessa sala?
25. Se o polinômio P (x) = (2m + 3n − p)x 2 + (m + n − 5p)x + (p − 2) é identicamente
nulo, a soma m + n + p é igual a:
a) −3
b) −6
c) 8
d) 5
e) 12
26. (FGV) Num escritório há 3 impressoras: A, B e C. Em um período de 1 hora:
• A e B juntas imprimem 150 folhas;
• A e C juntas imprimem 160 folhas;
• B e C juntas imprimem 170 folhas.
Capítulo 8. Sistemas de Equações Lineares
136
Em 1 hora, a impressora A imprime sozinha:
a) 60 folhas
b) 65 folhas
c) 75 folhas
d) 70 folhas
e) 80 folhas
27. (Mack) Um supermercado vende três marcas diferentes A, B e C de sabão em
pó, embalados em caixas de 1kg. O preço da marca A é igual à metade da soma
dos preços das marcas B e C. Se uma cliente paga R$14,00 pela compra de dois
pacotes do sabão A, mais um pacote do sabão B e mais um do sabão C, o preço
que ela pagaria por três pacotes do sabão A seria:
a) R$ 12,00
b) R$ 10,50
c) R$ 13,50
d) R$ 11,50
e) R$ 13,00
28. (UFC) Se um comerciante misturar 2 kg de café em pó do tipo I com 3 kg de café
em pó do tipo II, ele obtém um tipo de café cujo preço é R$ 4,80 o quilograma.
Mas, se misturar 3 kg de café em pó do tipo I com 2 kg de café do tipo II, a nova
mistura custará R$ 5,20 o quilograma. Os preços do quilograma do café do tipo I
e do quilograma do café do tipo II são respectivamente:
a) R$ 5,00 e R$ 3,00
d) R$ 5,30 e R$ 4,50
b) R$ 6,40 e R$ 4,30
e) R$ 6,00 e R$ 4,00
c) R$ 5,50 e R$ 4,00
29. (VUNESP) Uma pessoa consumiu na segunda-feira, no café da manhã, 1 pedaço
de bolo e 3 pãezinhos, o que deu um total de 140 gramas. Na terça-feira, no
café da manhã, consumiu 3 pedaços de bolo e 2 pãezinhos (iguais aos do dia
anterior e de mesma massa), totalizando 210 gramas. A tabela seguinte fornece
(aproximadamente) a quantidade de energia em quilocalorias (kcal) contida em
cada 100 gramas do bolo e do pãozinho.
Alimento
100g bolo
100g pãozinho
Energia
420kcal
270kcal
Após determinar a quantidade em gramas de cada pedaço de bolo e de cada
pãozinho, use a tabela e calcule o total de quilocalorias (kcal) consumido pela
pessoa, com esses dois alimentos, no café da manhã de segunda-feira.
30. (UFSCar) Uma loja vende três tipos de lâmpada (x, y e z). Ana comprou 3 lâmpadas tipo x, 7 tipo y e 1 tipo z, pagando R$ 42,10 pela compra. Beto comprou
4 lâmpadas tipo x, 10 tipo y e 1 tipo z, o que totalizou R$ 47,30. Nas condições
dadas, a compra de três lâmpadas, sendo uma de cada tipo, custa nessa loja:
a) R$ 30,50
b) R$ 31,40
c) R$ 31,70
d) R$ 32,30
e) R$ 33,20
31. (Fuvest) Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A
compra foi entregue, embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa.
Sabendo-se que cada caixa continha 2 frascos de detergentes a mais no aroma
limão do que no aroma coco, o número de frascos entregues, no aroma limão, foi:
a) 110
b) 120
c) 130
d) 140
e) 150
CAPÍTULO
Determinante e a Matriz inversa
9.1 Determinante
Definição 9.1 Define-se o determinante de uma matriz quadrada A como o número que
se pode obter operando com seus elementos seguindo uma regra fixa. Suas notações mais
usuais são: d et (A) e |A|. Para matrizes de ordem ≤ 3 ele é obtido da seguinte forma:
1. Se A tem ordem 1, então A = [a 11 ] ⇒ d et (A) = a 11 .
2. Se A tem ordem 2, então d et (A) é definido como a diferença entre o produto
dos elementos da diagonal principal pelo produto dos elementos da diagonal
secundária, ou seja,
·
A=
a 11 a 12
a 21 a 22
¸
⇒ d et (A) = a 11 a 22 − a 12 a 21 .


a 11 a 12 a 13
3. Se A tem ordem 3, ou seja, A =  a 21 a 22 a 23 , tem-se que:
a 31 a 32 a 33
d et (A) = |A| = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 −a 13 a 22 a 31 −a 11 a 23 a 32 −a 12 a 21 a 33 .
Exemplo 9.1 Obtenha o determinante de cada matriz:
·
A = [−12] , B =
−4 3
6 1/2
¸


0 2 −1
e C =  4 1/3 9  .
5 −6 3
Resolução: De acordo com a Definição 9.1 pode-se obter o determinante de cada
uma das três matrizes facilmente.
- Como o único elemento da matriz A é o número -12, segue que d et (A) = −12.
- Para a matriz B tem-se que d et (B ) = −4 · 21 − 3 · 6 =⇒ d et (B ) = −20.
9
Capítulo 9. Determinante e a Matriz inversa
138
- Para a matriz C vale que
1
1
· 3 + 2 · 9 · 5 + (−1) · 4 · (−6) − (−1) · · 5 − 0 · 9 · (−6) − 2 · 4 · 3
3
3
5
= 90 + 24 + − 24
3
275
=
3
d et (C ) = 0 ·
Uma forma muito prática de se calcular o determinante de uma matriz de ordem 3,
sem ter que se lembrar da extensa expressão apresentada na Definição 9.1, é apresentada na próxima seção.
9.2 Regra de Sarrus
A expressão para o determinante de uma matriz de ordem 3 também pode ser obtida
ao se utilizar a Regra de Sarrusi . Essa regra consiste em seguir os 7 passos descritos a
seguir:
1. replicar as duas primeiras colunas da matriz à direita do determinante;
2. multiplicar os elementos da diagonal principal;
3. multiplicar os elementos de cada uma das duas diagonais paralelas à principal;
4. multiplicar os elementos da diagonal secundária;
5. multiplicar os elementos de cada uma das duas diagonais paralelas à secundária;
6. efetuar o somatório dos resultados obtidos nos itens 2 e 3;
7. do resultado obtido no item 6 subtrair os resultados obtidos em 4 e 5.
A seguência de passos da regra de Sarrus é geralmente representada pelo esquema
descrito na Figura 6.
Figura 6 – Representação da Regra de Sarrus.
A partir do esquema descrito na Figura 6 e seguindo os passos apresentados, observe
que chega-se à fórmula indicada na definição de determinante de uma matriz de ordem
3. Vejamos um exemplo numérico da utilização desse método.
i
Pierre Frédéric Sarrus foi um matemático francês, nascido em 10 de março de 1798 e cuja morte data
de 20 de novembro de 1861. Sarrus foi premiado pela Academia Francesa de Ciências, pela autoria de
estudos em integrais múltiplas. Ele também descobriu a regra mnemônica descrita na definição de
determinante de uma matriz 3 × 3, que leva seu nome.
9.3. Teorema Fundamental de Laplace
139


1
0
3
2 .
Exemplo 9.2 Obtenha |T | sabendo que T =  5 −1
2 −1 −2
Resolução: Como a matriz T é de ordem 3, pode-se utilizar a Regra de Sarrus. Replicando as duas primeiras colunas ao lado da representação de |T | vem que:
Então,
|T | = 2 + 0 + (−15) − (−6) − (−2) − 0 =⇒ |T | = −5.
A Definição 9.1 engloba determinantes de matrizes de ordem ≤ 3. Para os casos
onde as ordens podem ser maiores, é necessário o entendimento de outras definições
que auxiliam na construção do determinante.
9.3 Teorema Fundamental de Laplace
Nesse texto, utilizaremos uma das formas de se definir determinantes para matrizes
de ordem n ≥ 2, que é o Teorema Fundamental de Laplace. Antes disso, alguns novos
conceitos e definições serão importantes. Vejamos:
Definição 9.2 Seja M uma matriz de ordem n ≥ 2, e seja a i j um elemento de M . Definese o menor complementar desse elemento, e indica-se por D i j , o determinante da matriz
obtida ao se retirar a linha i e a coluna j de M .


1
0
3
2 , obtenha os menores complementares D 11 e D 32 .
Exemplo 9.3 Para M =  5 −1
2 −1 −2
Resolução: Pela Definição 9.2, observe que D 11 é o determinante da matriz obtida
ao se retirar a primeira linha e a primeira coluna de M . Da mesma forma, D 32 é o
determinante da matriz encontrada ao se retirar a terceira linha e a segunda coluna de
M . Então, vem que:
¯
¯ −1
2
D 11 = ¯¯
−1 −2
¯
¯ 1 3
D 32 = ¯¯
5 2
¯
¯
¯ = −1 · (−2) − 2 · (−1) = 2 + 2 = 4.
¯
¯
¯
¯ = 1 · 2 − 3 · 5 = 2 − 15 = −13.
¯
140
Capítulo 9. Determinante e a Matriz inversa
Definição 9.3 Seja M uma matriz de ordem n ≥ 2, e seja a i j um elemento de M . Definese o cofator de a i j (ou complementar algébrico desse elemento), e indica-se por A i j , como
sendo o número
A i j = (−1)i + j · D i j .
Exemplo 9.4 Observe que A 11 e A 32 para a matriz M do Exemplo 9.3 são:
A 11 = (−1)1+1 · D 11 = 1 · 4 = 4 e A 32 = (−1)3+2 · D 32 = −1 · (−13) = 13.
Admitiremos aqui a utilização do Teorema Fundamental de Laplace. Sua demonstração não será apresentada pois está além da teoria estudada nesse material. Alunos
interessados em estudá-la, podem consultar [27, p. 60; 28, p. 127; 29, p. 252].
Teorema 9.1 (Teorema Fundamental de Laplace) O determinante de uma matriz M ,
de ordem n ≥ 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma linha qualquer (ou coluna)
pelos respectivos cofatores.
Vamos entender, de forma clara, o que diz o Teorema 9.1. Para isso, vamos considerar
cada um dos dois casos possíveis: escolher uma coluna ou uma linha.
1. Imagine que se escolha a coluna j da matriz M , conforme destaque na figura
abaixo:
Observe que cada um dos elementos dessa coluna (a 1 j , a 2 j , . . . , a n j ) determina
um cofator associado (A 1 j , A 2 j , . . . , A n j ). O que o Teorema 9.1 garante é que
d et (M ) = |M | = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j + . . . + a n j A n j .
2. Imagine que se escolha a linha i da matriz M , em destaque na figura a seguir:
9.3. Teorema Fundamental de Laplace
141
Assim como no caso anterior, cada um dos elementos dessa linha determina um
cofator associado. Para esse caso, o Teorema 9.1 garante que
d et (M ) = |M | = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + . . . + a i n A i n .
Observação 9.1 Por esse método percebe-se que o ideal, quando possível, é escolher uma
linha (ou coluna) que tiver a maior quantidade de zeros.
Exemplo 9.5 Calcule o determinante da matriz abaixo utilizando o Teorema 9.1, escolhendo uma das linhas e depois uma das colunas.

1
 3
B =
 2
−1
0
0
5
3

0 −9
0
2 

3
0 
0
3
Resolução: (Escolhendo uma linha) Por conveniência, vamos escolher a linha que
possuir a maior quantidade de zeros, ou seja, a primeira ou a segunda linha. Consideremos a segunda linha. Então, pelo Teorema 9.1 vem que:
d et (B ) = |B | = 3 · A 21 + 0 · A 22 + 0 · A 23 +2 · A 24 =⇒ d et (B ) = 3 · A 21 + 2 · A 24 .
| {z } | {z }
0
0
Observe que
¯
¯ 0 0
¯
2+1
3 ¯
A 21 = (−1)
· D 21 = (−1) · ¯ 5 3
¯ 3 0
¯
¯ 1
¯
2+4
6 ¯
A 24 = (−1)
· D 24 = (−1) · ¯ 2
¯ −1
−9
0
3
¯
¯
¯
¯ = −1 · 81 = −81.
¯
¯
¯
0 0 ¯¯
5 3 ¯¯ = 1 · (−9) = −9.
3 0 ¯
Então, d et (B ) = 3 · (−81) + 2 · (−9), ou seja:
d et (B ) = −261.
(Escolhendo uma coluna:) A coluna com maior número de zeros é a terceira. Portanto,
vamos tomá-la como referência para a utilização do Teorema 9.1, que garante que
d et (B ) = |B | = 0 · A 13 + 0 · A 23 +3 · A 33 + 0 · A 44 =⇒ d et (B ) = 3 · A 33
| {z }
| {z } | {z }
0
0
0
¯
¯
¯ 1 0 −9 ¯
¯
¯
2 ¯¯ = 3 · (−87)
=⇒ d et (B ) = 3 · (−1)3+3 · ¯¯ 3 0
¯ −1 3
3 ¯
∴ d et (B ) = −261.
Sendo assim, como já sabíamos que deveria acontecer, pois é garantiro pelo Teorema
9.1, os resultados obtidos são iguais, independente de escolhermos uma linha qualquer
ou uma coluna.
Capítulo 9. Determinante e a Matriz inversa
142
Propriedades 9.1 (Propriedades do Determinante) Segue do Teorema 9.1 e da Definição 9.1 um conjunto de propridades do determinante. Considerando duas matrizes A e
B , ambas de ordem n, as principais propriedades são:
1. Se todos os elementos de uma linha (ou coluna) de A forem nulos, d et (A) = 0.
¡ ¢
2. d et (A) = d et A t .
3. Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o determinante fica
multiplicado por essa constante.
4. Ao se trocar a posição de duas linhas de uma matriz, o determinante troca de
sinal.
5. Se A possuir duas linhas (ou colunas) iguais, d et (A) = 0.
6. d et (AB ) = d et (A) · d et (B ).
Observação 9.2 Use o Exercício 3 para perceber a validade das propriedades descritas
na Proposição 9.1.
9.4 Matriz inversa
Definição 9.4 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se existir uma matriz B tal que
AB = B A = I n , diremos que A é inversível e que B é sua inversa, também denotada por
A −1 . Se A não for inversível, diremos que ela é singular.
Teorema 9.2 Se A é inversível, sua inversa A −1 é única.
Demonstração: Como A −1 é inversa de A, segue que A A −1 = A −1 A = I n . Suponha
que exista outra matriz, B , que também seja inversa de A, isto é, AB = B A = I n . Então,
B = I n B = (A −1 A)B = A −1 (AB ) = A −1 I n = A −1 .
Exemplo 9.6
·
1. Mostre que B =
7 −3
−2 1
¸
·
é a inversa de A =
¸
1 3
.
2 7
Resolução: Para mostrar o que se pede, basta observar que AB = I 2 . De fato,
·
¸ ·
¸ ·
¸ ·
¸
1 3
7 −3
1 · 7 + 3 · (−2) 1 · (−3) + 3 · 1
1 0
·
=
=
= I2.
AB =
2 7
−2 1
2 · 7 + 7 · (−2) 2 · (−3) + 7 · 1
0 1
Como AB = I 2 , segue que B = A −1 é a inversa de A.
2. Mostre que se a matriz A possui inversa, então A −1 tem a mesma ordem de A.
Resolução: Como por hipótese A possui inversa, significa que a matriz A é quadrada de ordem n. Seja agora, a sua inversa A −1 de ordem r × t . Então, A A −1 = I n ,
o que implica que o número de colunas de A tem que ser igual ao número de
linhas de A −1 , ou seja, n = r . Além disso, também se tem que A −1 A = I n , ou seja,
o número de colunas de A −1 tem que ser igual ao número de linhas de A, isto é,
t = n. Portanto, A −1 tem ordem n.
9.4. Matriz inversa
143
·
3. Determine a inversa de M =
¸
3 7
.
5 11
Resolução: Como M tem ordem 2, segue que M −1 terá ordem 2. Então, a forma
genérica dessa inversa é
·
¸
a b
−1
M =
.
c d
Deve-se ter que M M −1 = I 2 . Logo,
·
¸ ·
¸ ·
¸ ·
¸ ·
¸
3 7
a b
1 0
3a + 7c
3b + 7d
1 0
·
=
⇒
=
.
5 11
c d
0 1
5a + 11c 5b + 11d
0 1
Pela igualdade de matrizes segue que
½
3a + 7c = 1 (1)
5a + 11c = 0 (2)
½
e
3b + 7d
5b + 11d
= 0
= 1
Da Eq. (2) do primeiro sistema vem que
a =−
11
c (∗)
5
Levando a Eq. (∗) na Eq. (1) desse sistema obtém-se
µ
¶
−33c + 35c
2c
5
11
=1 ⇒
=1 ⇒ c = .
3 · − c + 7c = 1 ⇒
5
5
5
2
Substituindo o valor encontrado para c na Eq. (∗) chega-se à conclusão que
a =−
11
.
2
Resolvendo-se o segundo sistema chega-se à conclusão de que
·
¸
3
7
−11/2
7/2
−1
=⇒ M =
b= e d =−
.
5/2 −3/2
2
2
O Teorema 9.3 garante que dada uma matriz quadrada A, se existir uma matriz B tal
que AB = I , necessariamente acontecerá que B A = I , e portanto, basta que uma dessas
condições seja verificada para garantir que B é a inversa de A.
Teorema 9.3 Sejam A e B matrizes de ordem n. Então, AB = I n se, e somente se, B A = I n .
A demonstração desse teorema será omitida nesse texto por estar além do seu
escopo. Contudo, alunos interessados podem pesquisá-la nas referências [28, p. 74; 30,
p. 75, 85].
Teorema 9.4 Sejam A e B matrizes inversíveis e de mesma ordem. Então, AB é inversível
e (AB )−1 = B −1 A −1 .
Demonstração: Por hipótese A e B são inversíveis e de mesma ordem, digamos
n. Logo, existem A −1 e B −1 , ambas de ordem n. Então, multiplicando AB por B −1 A −1
obtém-se que:
¡
¢
¡
¢
¡
¢
(AB ) B −1 A −1 = A B B −1 A −1 = AI n A −1 = A A −1 = I n = B −1 A −1 (AB ).
Portanto, a inversa de AB existe e é igual a B −1 A −1 .
Capítulo 9. Determinante e a Matriz inversa
144
Observação 9.3 Na Definição 9.4 ficou
claro
Um
·
¸ que nem toda matriz possui inversa.
·
¸
3 0
a b
exemplo desse tipo de matriz é A =
. De fato, considere que exista B =
2 0
c d
tal que AB = I 2 , ou seja,
·
¸ ·
¸ ·
¸
3 0
a b
1 0
·
=
.
2 0
c d
0 1
Isso implica que a = 1/3 e a = 0 simultaneamente, o que é um absurdo, e mostra
que é impossível que exista a matriz B = A −1 . Portanto, A é uma matriz singular.
Então, será que existe uma condição que garanta quando uma matriz quadrada A
irá possuir inversa? A resposta para essa pergunta é sim e é dada pelo Teorema 9.5, cuja
demonstração completa pode ser obtida em nossas referências [28, p. 109; 31, p. 176].
Teorema 9.5 Uma matriz A de ordem n admite inversa se, e somente se, d et (A) 6= 0.
Demonstração: Aqui, vamos demonstrar apenas a “ida”, ou seja: Se A admite inversa, então d et (A) 6= 0. De fato, como existe A −1 tal que A A −1 = I n , pela parte 6 das
Propriedades 9.1 segue que:
¡
¢
d et (A A −1 ) = d et (A) · d et A −1 .
Além disso, como d et (I n ) = 1 (Veja o Exercício 10), segue que
¡
¢
d et (A) · d et A −1 = 1.
(9.1)
Da Equação (9.1) segue diretamente que d et (A) 6= 0.
Observação 9.4 A Equação (9.1) permite obter outra conclusão muito útil, que é
¢
¡
d et A −1 =
1
,
d et (A)
ou seja, o inverso do determinante de uma matriz é igual ao determinante da matriz
inversa.
Corolário 9.1 Considere A uma matriz quadrada. Então, A é singular se, e somente se,
d et (A) = 0.
A demonstração da validade do Corolário 9.1 pode ser feita como consequência
direta do Teorema 9.5.
Exemplo 9.7 Para a matriz M parte 3 do Exemplo 9.6 tem-se que
¯
¯
¯ 3 7 ¯
¯ = 3 · 11 − 7 · 5 = 33 − 35 = −2.
d et (M ) = ¯¯
5 11 ¯
Portanto, pela Observação 9.4 vem diretamente que
¡
¢
d et M −1 =
1
1
=− .
d et (M )
2
De fato, observe que
¡
d et M
−1
¢
µ
¶ µ ¶
11
3
7 5 33 35
1
= −
· − − · =
−
=− .
2
2
2 2
4
4
2
9.5. Método prático para determinação da inversa
145
9.5 Método prático para determinação da inversa
Com base na parte 3 do Exemplo 9.6, onde se usa uma matriz de ordem 2, vimos
que uma forma de obter a inversa de uma matriz qualquer, M , de ordem n, é supor a
existência de uma matriz M −1 genérica, também de ordem n, e forçar para que ocorra
M M −1 = I n . Com isso, chega-se a um sistema que de n equações e n incógnitas, que ao
ser resolvido permite obter os elementos de M −1 . Caso esse sistema seja impossível,
significará que a matriz M não possui inversa.
Uma forma prática de se obter a inversa de uma matriz A é com a utilização dos
resultados garantidos pelo Teorema 9.6. Discussões desses resultados, e também suas
demonstrações, podem ser obtidos em livros de Geometria Analítica e também Álgebra
Linear [28, 30].
Teorema 9.6 Seja A uma matriz quadrada. Se apenas com operações elementares com
linhas for possível reduzir A até que se obtenha I n , então A é inversível e A −1 é obtida
após se aplicar a mesma sequência de operações elementares em I n .
Ora, o Teorema 9.6 garante duas coisas:
i. Se de A for possível obter I n , apenas com operações elementares, então A é
inversível.
ii. Se existe A −1 ela é obtida aplicando-se em I n as mesmas operações elementares
usadas no item i.
Isso permite concluir que é possível aplicar operações elementares simultaneamente nas matrizes A e I n , posicionadas da forma
[A | I n ] .
Se com isso, for obtido
[I n | B ] ,
significará que A é inversível e que A −1 = B .
Caso não seja possível obter I n a partir de A, significará que A é singular. Vejamos
uma aplicação desse método.


0 1 2
Exemplo 9.8 Mostre que A =  1 1 2  é inversível e obtenha A −1 .
1 2 3
Resolução: Primeiramente, vamos escrever a matriz A e I 3 na forma [A | I 3 ], obtendo:


0 1 2 1 0 0
 1 1 2 0 1 0 .
1 2 3 0 0 1
Fazendo a troca L 1 ←→ L 2 vem que


1 1 2 0 1 0
 0 1 2 1 0 0 .
1 2 3 0 0 1
Capítulo 9. Determinante e a Matriz inversa
146
Operando da forma L 3 −→ −L 1 + L 3 chega-se a


1 1 2 0
1 0
 0 1 2 1
0 0 .
0 1 1 0 −1 1
Fazendo L 1 −→ −L 2 + L 1 e L 3 −→ −L 2 + L 3 , tem-se que


1 0
0 −1
1 0
 0 1
2
1
0 0 .
0 0 −1 −1 −1 1
Agora, ao se fazer L 3 −→ −L 3


1 0 0 −1 1
0
 0 1 2
1 0
0 .
0 0 1
1 1 −1
Para finalizar, basta fazer L 2 −→ −2L 3 + L 2 , obtendo


1 0 0 −1
1
0
 0 1 0 −1 −2
2 .
1
1 −1
0 0 1
Observe que o lado esquerdo, que era onde estavam os elementos da matriz A, foi
reduzido à matriz I 3 . Isso implica, pelo Teorema 9.6, que A é inversível e que


−1
1
0
2 .
A −1 =  −1 −2
1
1 −1
Observe que quando se quer obter a inversa de uma matriz A, caso exista, será
geralmente mais prático usar esse método do que primeiro mostrar que d et (A) 6= 0 para
garantir que a inversa exista e, só depois, obter A −1 . Isso porque, ao se usar o método,
faz-se as duas ações simultaneamente, isto é, ao se mostrar que a inversa existe também
se obtém seus elementos.
9.6 Exercícios


1 −2
0
8
0 . Obtenha |A|:
1. Seja a matriz A =  7
2 −1 −3
a) Pela regra de Sarrus.
b) Pelo Teorema Fundamental de Laplace, usando a terceira coluna.


−2
i
0
0 −3i .
2. Determine |B | e |B t | sendo B =  −1
1 −1
2
3. Considere as matrizes



¸
·
¸
·
¸
·
1 2 −3
π 2 0
1
2
4 −3
1 −4




2 ,B=
2 8 0 ,C=
.
A= 4 8
,D=
eE=
1
2
1 −4
4 −3
0 0
0
−3 0 0

9.6. Exercícios
147
Faça o que se pede nos itens abaixo, e indique qual das Propriedades 9.1 está
sendo verificada em cada caso.
a) Mostre que d et (A) = d et (B ) = 0.
¡ ¢
b) Conclua que d et (C ) = d et C t .
c) Multiplique a primeira linha de C por 1/2 e verifique que o determinante da
nova matriz obtida será igual a 12 · d et (C ).
d) Mostre que d et (C ) = −d et (D).
e) Verifique que d et (E ) = 0.
f) Mostre que d et (C D) = d et (C ) · d et (D).
·
4. Sejam as matrizes C =
3 −2
4 1/3
¸
·
¸
·
eD=
¸
4 1/3
. Calcule:
3 −2
a) d et (C + D)
b) d et (C ) + d et (D)
5. Mostre que a matriz K =
1 2
4 8
é singular.


5 −5
3
1 −1  seja singular?
6. Qual deve ser o valor de β para que a matriz S =  3
1 β
2


0 0 2
7. Mostre que a matriz K =  1 2 6  não é singular, sem calcular a sua inversa.
3 7 9
8. Usando o Teorema Fundamental de Laplace, calcule d et (A) para:





2
3 1 −6
0 −4 3 8


 −5

3
4 0
3 
0 2 3 
b) A = 
c) A = 
a) A = 
 0 −6 0
 0
2 
6 0 2 
1
5 6
0
0
3 2 0
p 




1 −1 i −2i
3 −4
3 p2
 1 −2



1 
2
3  e) A =  0 −1 2
d) A = 
f) A = 
 2
 0
7 0
i 
0 −i −1 
1
5 i
0
π
0 −i −1

2
0 0
3
4 0 
1 −6 3

3 −4 3
0 −2 2 
0
0 i
9. Observe que as matrizes dos itens c) e f) do exercício anterior são triangulares,
respectivamente, inferior e superior. Perceba também, que o determinante de
cada uma delas é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Isso não
é uma coincidência, pois sempre valerá a propriedade a seguir:
Propriedade: Para qualquer matriz triangular A tem-se que d et (A) é igual ao
produto dos elementos da sua diagonal principal.
Usando o Teorema 9.1 (Teorema Fundamental de Laplace) prove essa propriedade
para a matriz triangular inferior genérica, A, de ordem 5.
10. Como consequência do Exercício 9, conclua que d et (I n ) = 1.
Capítulo 9. Determinante e a Matriz inversa
148
11. Para a matriz N obtenha os cofatores A 11 , A 22 e A 33 . Para a matriz M obtenha
A 13 , A 21 e A 32 .


−2
0 2
N =  2 −1 4 
1
1 3


3 1 2
M = 3 3 1 
−1 1 7
¡
¢
12. Usando o resultado descrito na Observação 9.4, obtenha d et H −1 sendo


−1 3 0
H =  2 1 3 .
−2 2 5
13. Seja A uma matriz de ordem n com d et (A) 6= 0. Mostre que A 2 = I n ⇐⇒ A = A −1 .
14. Utilizando o método determinado a partir do Teorema 9.6 encontre a inversa de
cada matriz, caso ela exista.




2
1 −1
2
·
¸
−1 2 −2

 −1 −1
1
−1
1
2


4 
b) B =  0 1
c) C =
a) A = 
2
2 −1
1 
2 4
0 0
1
1
2 −1
2

2 1 1
2 5
d) D =
e) E =  1 1 1 
2 3
2 2 1
·
¸
·
¸
¡
¢t
−1 2
0 1
Sejam as matrizes A =
e B=
. Determine AB −1 .
3 3
−3 2




1 2
3 −1
0 . Sabendo-se que X
(UFBA) Considere as matrizes A =  1 1  e B =  2
2 1
3
1
¡ ¢
é uma matriz simétrica e que AX = B , determine 12y 11 − 4y 12 , sendo Y = y i j =
X −1 .
·
¸
1/3 0
(ITA) Considere P a matriz inversa da matriz M , onde M =
. Calcule a
1/7 1
soma dos elementos da diagonal principal da matriz P .


1 2 3
(ITA) Seja a matriz 3 × 3 dada por A =  1 0 0 . Sabendo-se que B é a inversa
3 0 1
de A, calcule a soma dos elementos de B .
·
15.
16.
17.
18.
¸

19. Determine os possíveis valores de δ para que se tenha d et (A) = 0.


·
¸
δ δ−1 3
δ+2 δ
a) A =
b) A =  0 2δ 5 
5
7
δ −1 0
·
¸
1 3
20. (FGV) Considere a equação d et (A − x I 2 ) = 0, onde A =
. Calcule a soma
2 4
das raízes dessa equação.
CAPÍTULO
Respostas e dicas dos exercícios
Capítulo 1
1. a) ∼ P : x não é múltiplo de 5 ou (x + 4) não é múltiplo de 7.
b) ∼ P : Henrique não é mineiro ou Mário é bahiano.
c) ∼ P : A caneta é azul e o lápis tem ponta.
d) ∼ P : y é um número ímpar e (y − 3) é par.
e) ∼ P : Existe algum prédio sem janelas.
f) ∼ P : A blusa não é azul e o spato não é preto.
g) ∼ P : Existe algum número primo par.
h) ∼ P : x ≤ 3 ou y > 0.
i) ∼ P : x é ímpar e y é par.
2. a) (H) p é um número primo.
(T) p ≥ 2.
b) (H) n objetos colocados em, no máximo, (n − 1) gavetas.
(T) Pelo menos uma delas conterá pelo menos dois objetos.
c) (H) Número par maior do que 2.
d) (H) x 2 + x = 0.
(T) É a soma de dois números primos.
(T) x 1 = 0 e x 2 = −1.
e) (H) Cada divisão do plano em regiões não superpostas.
(T) É sempre possível colorir as regiões usando apenas 4 cores, de forma que regiões com
fronteira comum não tenham a mesma cor.
3. a) Q ⇒ P : Se x ≥ 4, então x é um número natural e x 2 = 2.
P ⇒ Q (F ) e Q ⇒ P (F )
b) Q ⇒ P : Se há sol o céu não está nublado.
P ⇒ Q (F ) e Q ⇒ P (V )
c) Q ⇒ P : Se uma caneta é vermelha, então ela não é azul.
P ⇒ Q (F ) e Q ⇒ P (V )
d) Q ⇒ P : Se x é um múltiplo de 4, então ele é um número par.
P ⇒ Q (F ) e Q ⇒ P (V )
e) Q ⇒ P : Se y é um número inteiro, então ele também é natural.
P ⇒ Q (V ) e Q ⇒ P (F )
10
Capítulo 10. Respostas e dicas dos exercícios
150
4. a) Condicional: (H) 3 + 3 = 5. e (T) O círculo é um quadrado.
b) Condicional: (H) x é par. e (T) x 3 é par.
c) Condicional: (H) um polígono que é um quadrado. e (T) É um retângulo.
d) Bicondicional: (⇒) Um número qualquer α é racional, então α2 também é racional.
(⇐) Se α2 é racional, então α é racional.
e) Bicondicional: (⇒) Se n é par, então n + 1 também é par.
(⇐) Se n + 1 é um número par, então n é par.
5. a) (DICA) Suponha que x é par e use o item a) da Definição 1.12. Em seguida, obtenha x 2 e use a
hipótese (x 2 é ímpar) para chegar a um absurdo.
b) (DICA) Idem ao anterior, mas usando o item b) da Definição 1.12.
c) (DICA) Use a hipótese para obter que 2k = k, em seguida, como deve-se admitir que a tese é
falsa, ie, k 6= 0, significa que é permitido dividir ambos os lados da igualdade por k, que levará a
um absurdo.
6. a) Qualquer n par escolhido será um contra exemplo.
b) Qualquer x ímpar escolhido será um contra exemplo.
c) 11
d) a = 2 e b = 3
e) x = 41.
7. Demonstração deixada a cargo do leitor.
8. Demonstrações deixadas a cargo do leitor.
9. Demonstrações deixadas a cargo do leitor.
10. a) Paulo não é paulista.
b) Paulo é paulista e Ronaldo é carioca.
c) Paulo é paulista ou Ronaldo é carioca.
d) Se Paulo é paulista então Ronaldo é carioca.
e) Se Paulo é paulista então Ronaldo não é carioca.
11. a) p ∧ q
12. b)
b) (∼ p) ∨ p
13. c)
14. c)
c) q −→ p
15. c)
d) (∼ p) ∧ (∼ q)
16. c)
17. c)
18. c)
19. Demonstração deixada a cargo do leitor.
20. Basta dividir as moedas em três grupos: A, B e C. Coloque três moedas em cada um dos grupos A
e B, e duas no grupo C. Coloque o grupo A em um prato e o grupo B em outro prato da balança.
Temos apenas dois casos a serem analisados:
a) Se a balança se equilibrar: significa que todas as moedas desses dois grupos possuem o mesmo
peso, e consequentemente, a moeda mais leve estará no grupo C. Como o grupo C tem apenas
duas moedas, bastará colocar cada uma delas em um prato e verificar, sem dúvida, qual é a mais
leve.
b) Se a balança pender para um dos lados: a moeda mais leve estará no lado mais leve. Sendo
assim, descarte as moedas do lado mais pesado e as do grupo C, ficando, apenas, com as do grupo
mais leve, que terá três moedas. Dessas três, escolha duas e coloque uma em cada prato. Temos,
novamente, dois casos:
i. Se a balança se equilibrar: a moeda mais leve é, sem dúvida, a que não foi colocada nos
pratos.
ii. Se a balança pender para um dos lados: a moeda mais leve será, sem dúvida, a do lado mais
leve.
Em qualquer um dos casos, a balança foi utilizada apenas duas vezes.
151
Capítulo 2
1. a) Números pares maiores do que 2 e menores do que 14.
b) Números primos menores ou iguais a 7.
c) Satélite natural da Terra.
d) Planetas do sistema solar com exceção da Terra.
2. Os conjuntos C e E são unitários.
3. Os conjuntos A e D são vazios.
4. a) V
b) V
c) V
d) F
e) F
f) V
g) F
h) F
i) V
j) V
k) F
l) V
m) V
n) V
o) V
p) F
5. a) V
b) F
c) V
d) V
e) F
f) F
g) V
h) F
6. a) F
b) F
c) V
d) F
e) F
f) F
i) V
j) F
7. Sim. Basta observar que A = Q ∩ R = Q, já que a interseção entre esses conjuntos representa o
conjuntos dos números que estão em Q e em R ao mesmo tempo e que B = I − Q = I, pois é o
conjunto de todos os números que estão em I e que não estão em Q, ou seja, todo o conjunto I.
Portanto, A ∪ B = Q ∪ I = R.
8. e)
9. e)
10. e)
11. b)
12. 78
13. (Dica) No primeiro caso lembre-se de mostrar que A ∪ B ⊂ B ∪ A e que B ∪ A ⊂ A ∪ B . No segundo,
a ideia é a mesma, mas com seus conjuntos específicos.
14. (Dica) Raciocínio análogo ao do exercício anterior.
15. A cargo do leitor.
16. É preciso mostrar que (A ∪ B )C ⊂ AC ∩ B C e que AC ∩ B C ⊂ (A ∪ B )C . Para a primeira inclusão,
considere x ∈ (A ∪ B )C ⇒ x ∉ A ∪ B . Agora, lembre-se do que significa negar o conectivo OU,
representado aqui pelo símbolo de união. Com isso, você chegará que x ∈ AC ∩ B C .
17. Dois conjuntos são disjuntos quando possuem interseção vazia. Ora, por definição, os irracionais
são exatamente os números que não podem ser escritos como quociente de inteiros, ou seja, os
que não são racionais. Logo, nenhum número pode ser racional e irracional simultaneamente, o
que implica que Q ∩ I = ;, ou seja, são disjuntos.
18. Conclua que #A = 0 e que #P (A) = 1 = 20 , que #B = 1 e que #P (B ) = 2 = 21 , que #C = 2 e que
#P (C ) = 4 = 22 , e, finalizando, conclua que #D = 3 e que #P (D) = 8 = 23 . Com isso, percebe-se que
é provável que se #K = n então #P (K ) = 2n .
19. (Dica) Observe que para os dois conjuntos finitos A e B , tem-se apenas três possibilidades: A ⊂ B ,
A ∩ B = ; e A ∩ B 6= ; com A 6= B .
a) (A ⊂ B ) Nesse caso, basta usar que n(A ∪ B ) = n(B ) e que n(A ∩ B ) = A.
b) (A ∩ B = ;) Agora, use que n(A ∩ B ) = 0 e que n(A ∪ B ) = n(A) + n(B ).
c) (A ∩ B 6= ; com A 6= B ) Basta usar que se n(A − B ) = x, n(B − A) = z e n(A ∩ B ) = y, então
obrigatoriamente deve-se ter que n(A ∪ B ) = x + y + z.
Nos três casos, é interessante construir os diagramas de Venn para facilitar a visualização.
20. a) 615 alunos estudam inglês ou francês.
b) 97 alunos não estudam nenhuma das duas línguas.
Capítulo 10. Respostas e dicas dos exercícios
152
21. As partes destacadas em cinza representam os conjuntos indicados:
22. c)
23. a) A ∪ B = {−1, 0, 2, 3, 4, 5, 6}
c) A − B = {4, 5, 6}
b) A ∩ B = {2, 3}
d) B − A = {−1, 0, 1}
24. a) V: (Dica) Uma forma de provar isso, é supor a soma de um racional x com um irracional y, e
considerar que x + y é um racional z. Com isso, fica obrigatório que y deve ser racional (porque),
o que é um ABSURDO!
b) V: (Dica) Basta apresentar dois irracionais, p e q, cujo produto resulte em um racional. Exemplo,
p
p = q = 2.
c) F: (Dica) Basta apresentar um contra exemplo, ie, dois irracionais, p e q, cuja soma resulte em
um racional. Exemplo, p = π e q = −π.
d) V: (Dica) Basta lembrar que toda dízima periódica é racional. Você sabe como escrever 1, 8888 . . .
como quociente de inteiros de denominador não nulo?
25. (Dica) Basta observar que não existe interseção entre as raças e, por isso, o total de indivídios
da comunidade (letra a) será dado pelo somatório do total de indivíduos amarelos, brancos e
pretos. Além disso, a hipótese de que 350 indivíduos não são pretos, significa que 350 deles ou são
brancos ou são amarelos. Logo, o número de brancos adicionado ao número de amarelos deve ser
igual a 350, o que permite obter o número de indivíduos amarelos.
26. C AB = A − B = [0; 1] ∪ [3; 5[
27. c)
28. Não. Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 5}. Então, como A − B representa o
conjunto dos elementos que estão em A mais não estão em B , segue que, para esse caso, A −B = ;,
já que não existe elemento em A que não esteja em B . Isso sempre ocorrerá nos casos onde A ⊂ B .
29. a) C RQ = R − Q = I
b) C ZN = Z−
N
c) C Q
= Q − N, ou seja, todos os números racionais que não forem naturais.
d) C RI = R − I = Q
Z
e) C Q
= Q − Z, isto é, todos os racionais que não forem inteiros.
30. C BA = B − A = a, b, h, i , j .
©
ª
153
Capítulo 3
c) 1
d)
1
16
g)
1
3
h)
25
4
j) 8
k)
1
49
l)
27
8
n) −1
o) − 81
1. a) 1
b) 13
1
e) − 27
i)
f)
25
4
m) 1
27
1000
ou 0, 027
1
p) − 1.000.000
ou − 0, 000001
2. Z = 0 se a é par e Z = 2 se a é ímpar.
3. x · y
¡
¢20
4. b)
5. b)
2
6. Considere, por exemplo, −32 e 23 . Para esses casos temos que:
−32 = −(3 · 3) = −9 6= (−3)2 = (−3) · (−3) = 9 =⇒ −32 6= (−3)2
¡ ¢2
¡ ¢2
2
2
23 = 23·3 = 29 = 512 6= 23 = 82 = 64 =⇒ 23 6= 23 .
b) (a · b)12
7. d)
8. a) a 10
9. x −5 y 6
10. a) x 5 y 10
11. a)
d) (a · b)40
c) a 14 · b 5
b) x 10 y 2
c) x 2 y 24
d) x 33 y −30
e)
1
xy
1
a+b
12.
13. A resposta do aluno está errada. (Dica) Basta observar a Definição 3.3.
14. a) 2
b) 1
d) 3
e) 0
g) -2
h) 7
c) 2
½
a −1
f)
1−a
i) -2
j) 5
k) -3
½
x − 2 se x ≥ 2
15. a) 2 − x se x < 2
½
2x − 3 se x ≥ 32
c)
3 − 2x se x < 23
 p
3

 pa 2 b
6
16. a) p
ab 2

 4 3 2
a b
=
=
=
 p
4

 p a3b2
c)
a5b2

 p
6
x y2
=
=
=
17. a) F
b) F
18. a) 14
p
4
g) 4 2
19. a)
p
5
3
p
20. a) 10 3 2
se a ≥ 1
se a < 1
l) -8
½
x +5
b)
−x − 5
se x ≥ −5
se x < −5
d) −5x + 2, ∀ x ∈ R
p
a8b4
p
12
2 4
pa b
12
a9b6
 p 2
 px y
3
b)
x2 y 3
 p
9
x2 y
=
=
=
18
p
9 6
pa b
12
30 12
pa b
12
x2 y 4
 p 2 4
 px y
5
2
d)
px y
 10
2
a b3
=
=
=
10
12
12
c) V
d) F
e) F
p
b) 3 2
p
3
h) 16 4
b) 6
f) F
g) F
h) V
c) 12
p
i) 20 5
c)
p
p
b) 10 2 − 3
p
5
5
d) 9
p
3
j) 4 2
d)
c) 33
p
3
5
i) V
p
9 18
px y
18
12 18
px y
18
x4 y 2
p
10 20
px y
10
2 4
px y
10
2
a b3
j) F
k) V
e) 5
p
4
k) 6 3
e) 3
d) 2 +
p
37
12
p
6
72
l) F
p
3
f) 5 2
p
3
l) 3 2
f)
x+y
xy
Capítulo 10. Respostas e dicas dos exercícios
154
21. a) 3
b) 2
p
b)
23. a) 71/2
b) 28/3
b)
c)
p p
2+ 3
3
22. a) 7 2 2
24. a) 3
p
2
15
c)
p
3 2
3
d)
c) 32/15
p
2
2
c)
p
4
b3
d) 23
p
5
4
9
2
e) −2
d)
f)
e) 32/3
d) 3−2/3
2
3
p ¢
¡p
2+ 3
9
10
e)
¡ p p ¢
5 3 7− 2
61
f) 7
p
10 3
9
f) 10
g)
1
9
25. −158
26. m = 32
27. b)
28. d)
29. e)
30. a)
31. a)
32. c)
33. c)
34. d)
37. e)
p
p
p
38. 3 729, 121, 4 38416
35. b)
36. a)
39. c)
40. c)
41. O montante será de R$ 714, 12. (Dica) Observe que é necessário converter 1,5 ano para meses.
42. 1, 5 × 108 km
47. e)
44. 9, 46053 × 1012 km
43. 3 × 10−14
48. e)
49. a)
50. c)
45. e)
51. a)
46. a)
52. a)
d) (Dica) Pode-se escrever 416 como potência de 2 e, posteriormente, desmembrá-la como o
produto de duas potências de 2, sendo que uma delas deve ter expoente 25. Com isso, usando
a propriedade do produto de potências de mesmo expoente, obtém-se, do lado esquerdo da
igualdade, uma potência de 10. Em seguida, pode-se escrever a potência de 2 que sobrou em
notação científica e usar o produto de potências de mesma base para agrupar as duas potências
de 10 do lado esquerdo da igualdade, restando apenas comparar os seus dois lados.
p
54. d)
55. A 4 + B 2 = 5
56. a)
53.
57. a) y(2017) ∼
= 204.231.702 habitantes.
b) Diferença percentual de aproximadamente 1,65%.
58. b)
Capítulo 4
b) Re(z) = 3 e I m(z) = − 37
p
d) Re(z) = 5π e I m(z) = 11
1. a) Re(z) = −3 e I m(z) = 7
c) Re(z) = − 12 e I m(z) = −4
2. a) 5 + i
b) 3 − i
3. a) 17
b) −1 −
c)
5
4i
4. a) x1 = −3+i
e x 2 = −3−i
2
2
c) x 1 =
1+i
2
e x2 =
1−i
2
19
4
− 37
5 i
c)
5
4
−
d) 48 − 39i
5
8i
b) x 1 = 3i
d) x 1 =
5. a) (x − 7 − i )(x − 7 + i ) = 0
6. d)
7. x = 5 e y = 2
d)
8. b)
51
4
e) 13
f) 7 − 24i
− 17i
e −3i
p
5+5 3i
2
p
e x 2 = 5−52 3i
¡
¢¡
¢
b) 2 y − 3i y + i = 0
9. a = 3
10. d)
11. (Dica) Basta considerar, por exemplo: z = x + yi , z1 = a +bi e z2 = c +d i . Com isso, determina-se
z e, depois, z para resolver a letra a. Em b, efetua-se a soma de z com o que já foi encontrado para
z e concluir. Para a letra c, pode-se determinar z 1 + z 2 e posteriormente obter z 1 + z 2 para que,
com arranjos adequados, conclua-se o que foi pedido. Em d, pode-se utilizar a mesma ideia usada
em c.
12. d)
155
Capítulo 5
1. g r (P ) = 9
2. a) g r (P ) = 7
3. a) A + B = 3x 2 y 3
d) A · B = −4x 4 y 6
4. a) 72 x y 2
b) g r (P ) = 0
c) g r (P ) = 1
d) @ g r (P )
b) A − B = −5x 2 y 3
c) B − A = 5x 2 y 3
e) −C + 4D = − 14
3 ab
f) −6C · D = 4a 2 b 2
b) 8ab 2 c 2
c) 9x 4 y 6 z 8
d)
27 9 6 3 9
64 a b c d
5. (Dica) Basta usar que (x ± y)3 = (x ± y)(x ± y)2 , desenvolver o quadrado da soma e aplicar a
distributiva.
6. a) 7x
d) −4x 3 + 5x 2 + 7x − 2
1
x2
+ 2 + x2
8. d)
c) x 2 − 50x + 18
e) x 3 − x 2 − 5x + 6
f) x 3 − 6x 2 + 11x − 6
p
b) 4b + 4a b + a 2
p
7. a) a 3 + 4a ab + 4b 2
e)
b) −x 2 + 2x + 21
f)
1
x2
−
4
y2
c)
1
x2
+ x2y +
g) 64x 3 − 144y + 108y 2 − 27y 3
1
y2
d)
1
x2
12. a) ( f + g )(x) = 12 − x + 5x 2 + 5x 3
1
y2
h) x 3 + 6x 2 + 12x + 8
10. (a + b + c)2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac
9. b)
− x2y +
11. d)
b) (g − h)(x) = 3 + 4x + x 2 + 5x 3 − x 4
c) (h − f )(x) = −5 − x − 4x 2 + x 4
13. h(x) = 2x 2 + 4
14. g r ( f + g ) ≤ n e g r ( f g ) = 2n
15. f (x) = 0. (Dica) Como a função é do segundo grau, pode-se considerar f (x) = ax 2 +bx +c. Usando
que f (1) = 0, chega-se a a + b + c = 0 e, calculando f (x − 1) obtém-se f (x − 1) = ax 2 + (b − 2a)x +
(a − b + c). Mas como f (x) = f (x − 1), basta igualar os coeficientes correspondentes, obtendo que
a = b = c = 0.
use a propriedade para o grau do produto de
16. c). (Dica) Determine g r g − h e posteriormente
£ ¡
¢¤
¡
¢
polinômios não nulos para determinar g r f · g − h .
17. O grau do dividendo é 6 para o grau do resto igual a 1 e também 2. (Dica) Considere D o dividendo,
d o divisor, q o quociente e r o resto. Então, tem-se que D = qd + r . Logo, g r (D) = g r (qd + r ).
Então, basta usar as propriedades de grau da soma e do produto para obter g r (D).
18. d)
19 c). (Dica) Use a propriedade do grau do produto para obter g r (p 3 ), g r (p 2 ) e g r (2p). Em seguida,
basta usar a propriedade do grau da soma, observando que o maior grau prevalecerá.
20. e)
21. a) q(x) = 3x 2 − x + 8 e r (x) = −5x 2 + 21x − 11, b) q(x) = x 2 − x e r (x) = −x + 13
22. r (x) = 1
23. c). (Dica) Analisar cada item, concluindo que apenas o da letra c) é verdadeiro. Para a), tem-se
que p(10) = [2 · 10 − 6]q(10) + 10 − 10 = 14q(10) = 0, pois 10 é raiz de q(x), então a) é verdadeira.
Calculando p(3) pela segunda expressão de p(x), conclui-se que b) também é verdadeira. Em
c) basta observar que p(x) pode ser escrito como p(x) = (2x − 6)(mx 2 + nx − 3) + x − 10 e que
o coeficiente d é dado pelo produto dos termos de grau zero dos fatores 2x − 6 e mx 2 + nx − 3
subtraído de 10, ou seja, d = [−6 · (−3) − 10] = 8, o que implica que c) é FALSA. Em d) observe
que 2m é exatamente o coeficiente do produto 2x · mx 2 = 2mx 3 , que ao ser comparado com o
primeiro termo da primeira expressão para p(x) leva a m = 2, ou seja, d) é verdadeira.
Capítulo 10. Respostas e dicas dos exercícios
156
24. (Dica) Observe que, como g (x) tem a = 1 e -1 e -2 como raízes. Então, pelo Teorema 5.8 vem
que g (x) = (x + 1)(x + 2). Prove que −1 e −2 também são raízes de f . Em seguida, conclua, pelo
Teorema 5.5, que f é divisível por x + 1 e x + 2, e portanto, pelo Teorema 5.6 será divisível por
(x + 1)(x + 2) = g (x).
25. a) q(x) = 5x 3 −27x 2 +82x −246 e r (x) = 725 b) q(x) = 81x 4 +54x 3 +36x 2 +24x +16 e r (x) = 128/3
26. e)
27.
p
2/2
28. Velocidade de A é 10 m/s e a velocidade de B é 8 m/s. (Dica) Considere como v a velocidade de B
e, consequentemente, por v + 2 a velocidade de A. Lembrando que v = d i st ânci a/t empo, vem
que t empo = d i st ânci a/vel oci d ad e. Então, o tempo gasto para B dar uma volta é 120/v e o
tempo gasto por A é 120/(v + 2). Use o fato de que A gasta 3 segundos a menos que B , tem-se que
(120/v) − 3 = 120/(v + 2). Ao se resolver essa última equação para v obtém-se os resultados.
29. x 3 + y 3 = 5/2. (Dica) Ao se substituir as duas condições dadas na igualdade (x + y)2 = x 2 + 2x y + y 2
conclui-se que x y = −1/2. Agora, usando que (x + y)3 = x 3 +3x 2 y +3x y 2 + y 3 tem-se que x 3 + y 3 =
(x + y)3 − 3x y(x + y). Levando o valor de x y e os das duas condições nessa última igualdade,
chega-se ao resultado.
30. 3x1 x2 = 108. (Dica) Como g r (P ) = 3, segue que P (x) = ax 3 +bx 2 +c x +d . Além disso, por hipótese
ele é divisível por x − 3 e, por isso, o Teorema 5.5 garante que P (3) = 0. Com isso, conclua que
P (0) = 12 e que d = 12. Em seguida, obtenha P (x −3) e use a hipótese de que P (x) = P (x −3)−x 2 −3
para obter os coeficientes a, b e c. Sendo assim, P (x) fica determinado e pode ser dividido por
x −3, que resultará em uma divisão exata onde Q(x) = −x 2 /9−5x/6−4. Multiplicando-se Q(x) = 0
por -9, obtém-se uma equação quadrática equivalente (ou seja, que possui as mesmas raízes de
Q(x)). Aplicando a relação de Girard para o produto das duas raízes de Q(x), x 1 e x 2 , conclui-se
que x 1 x 2 = 36. Como a outra raíz de P (x) é 3, o produto das três raízes é 3x 1 x 2 = 3 · 36 = 108.
31. Uma solução possível é p(x) = x 4 − (2 + 3i )x 3 + (1 + 6i )x 2 − (2 + 3i )x + 6i . (Dica) Basta observar que
como as raízes devem ser i , −i , 3i e 2, o polinômio deve ser divisível por (x − i ), (x + i ), (x − 3i ) e
(x − 2). Logo, será divisível pelo produto desses 4 binômios de grau 1. Como ele deve ter grau 4
e o produto desses binômios já terá essa ordem, pode-se considerar o quociente como q(x) = 1.
Então, p(x) pode ser obtido da forma p(x) = (x − i )(x + i )(x − 3i )(x − 2).
32. c). (Dica) Basta usar as relações de Girard para ambos os polinômios.
33. Qualquer polinômio da forma P (x) = Q(x)(x−2)(x+3)2 (x−2i )2 (x+2i )2 , onde Q(x) é um polinômio
não nulo. (Dica) É claro que o polinômio gerado pelo produto (x −2)(x +3)2 (x −2i )2 (x +2i )2 possui
exatamente as raízes solicitadas. Então, qualquer polinômio da forma P (x) = Q(x)(x−2)(x+3)2 (x−
2i )2 (x + 2i )2 terá pelo menos essas raízes, podendo ter outras também.
a) O menor grau possível é o grau de (x − 2)(x + 3)2 (x − 2i )2 (x + 2i )2 , ou seja, 7.
b) Sim! Basta considerar Q(x) tal que g r (Q) > 3.
34. As raízes são: −1 e 1/2. (Dica) Em 2x 3 + 3x 2 − 1 = 0 percebe-se que se x 2 = 1 e x 3 = −1 a igualdade
será satisfeita. Isso acontece claramente quando x = −1, o que implica que −1 é uma raiz. Então,
2x 3 + 3x 2 − 1 é divisível por x + 1, com quociente 2x 2 + x − 1, que permite obter as outras raízes,
sendo que uma delas será −1 (novamente) e a outra será 1/2.
35. a = 2, b = −2 e c = 3
p
−3− 5
2
p
e −3+2 5 . (Dica) Já que p(1 + 2i ) = 0 segue que 1 + 2i é raiz
de p(x), e como os coeficientes de p(x) são reais, o Teorema 5.1 garante que 1 − 2i também é
raiz desse polinômio. Além disso, como p(x) não possui coeficiente independente, é claro que
36. As raízes são: 0, 1 + 2i , 1 − 2i ,
157
p(0) = 0, ou seja, 0 é outra raiz. Portanto, p(x) é divisível por x(x − 1 − 2i )(x − 1 + 2i ). Agora, basta
efetuar a divisão de p(x) pelo resultado da última multiplicação indicada, obtendo um polinômio
de grau 2, que permite obter as outras duas raízes.
37. a = −1 e b = 0
38. a) f (0) = 1
b) f (−1) = 0
c) f (1) = 4
d) f (x + 1) = x 3 + 4x 2 + 5x + 4
¡
¢
e) f f (−1) = 1
p
p
2m − 1. (Dica) Basta fazer a substituição de variável y = x 2
2
em x 4 − 2mxp
+ (2m − 1) = 0, onde se obterá duas raízes, y 1 e y 2 (Observe que como m > 1, a
p
obtenção de (m − 1)2 é simples.). Em seguida, use o fato de que x = ± y, para obter as quatro
raízes de p(x).
39. As raízes são: −1, 1, − 2m − 1 e
40. a)
41. b)
p
42. a = ± 4 4 e b = 1
43. r (x) = x +3. (Dica) Observe que A pode ser escrito como A(x) = (x −5)q1 +8 e A(x) = (x −3)q2 +6.
Logo, A(5) = 8 e A(3) = 6. Ao se dividir A por (x −5)(x −3) teremos que A(x) = (x −5)(x −3)q 3 +r (x).
Usando essa última igualdade, vem que A(5) = r (5) = 8 e que A(3) = r (3) = 6. Como (x − 5)(x − 3)
tem grau 2, obrigatoriamente deve-se ter g r (r ) = 1, ie, r (x) = ax + b. Calculando r (5) e r (3) com a
função obtida para r (x) chega-se aos valores de a e b.
44. d)
45. b)
46. P (i ) = 4 + 2i e P
³
−1
p
3
2
´
=0
47. −4, i , −i . Todas com multiplicidade 1, ou seja, são raízes simples.
48. g r (P ) = 23
49. a) P (x) = 2(x − 3)(x − 2)
d) S(x) = (x − 1)(x − 2)2
50. p(x) = (x − 1)(3x − 1)(3x + 1)
b) Q(x) = 2(x + 3)(x − 3)
e) T (x) = (3x − 1)(3x + 1)
c) R(x) = (x − 4i )(x + 4i )
³
´³
´
p
p
5+1
x
+
f ) U (x) = 4x 2 x − 5−1
4
4
51. b)
52. a = c = −2, b = 2 e d = 1. (Dica) Como todos os coeficientes são reais e i é uma de suas raízes,
pelo Teorema 5.1, segue que −i também é uma raiz. Portanto, pelo Teorema 5.6, tem-se que p(x)
é divisível por (x − i )(x + i ). Pelo mesmo teorema, como 1 é raiz dupla segue que p(x) também
é divisível por (x − 1)2 . Portanto, pode-se concluir que como g r (p) = 4 e o coeficiente de x 4 é 1,
deve-se ter que p(x) = (x − i )(x + i )(x − 1)2 . Ao se comparar o resultado dessa última multlicação
com a expressão inicial de p(x) obtém-se os coeficientes.
53. k(x) = x 3 − 6x 2 + 11x − 6
54. q(−1) = 66. (Dica) Basta utilizar o Teorema 5.8 para escrever q(x) em sua forma fatorada, que
ficará em função da raiz que ainda não é conhecida, e em seguida, aplicar a condição q(3) = 30
para obter essa raiz. Dessa forma, q(x) fica definida e é possível calcular q(−1).
55. É só apresentar qualquer par de polinômios não nulos e de mesmo grau, f e g , de forma que o
coeficiente do termo de maior grau de um deles seja simétrico do coeficiente correspondente do
outro. Por exemplo: f (x) = −2x + 3 e g (x) = 2x + 2. Dessa forma, ( f + g )(x) = 5 e g r ( f + g ) = 0.
56. a) Verificação direta, basta efetuar as operações.
b) A comutatividade garante que A + B = B + A. Nesse caso, como A − B = A + (−B ) ela garante
que A − B = −B + A e não B − A.
Capítulo 10. Respostas e dicas dos exercícios
158
57. No Exemplo 5.23 percebe-se em a) que g r (A + B ) = 3 = max {2, 3} porque os polinômios possuem
graus diferentes. De fato, sejam f (x) = a n x n + . . . + a 0 e g (x) = b m x m + . . . + b 0 , com a n , b m 6= 0
e n > m. Então, o termo a n x n nunca será anulado ao se fazer f + g , pois ele não será operado
com nenhum termo de g , o que fará com que g r ( f + g ) = n = max {n, m}. Uma outra forma
desse fato acontecer é quando n = m e a n 6= −b m , pois se a n = b m , ao se efetuar a soma teríamos
a n x n + b m x m = −b m x m + b m x m = 0, fazendo o grau de f + g seja menor do que o máximo entre
m e n, ou seja, g r ( f + g ) < max {n, m}, conforme se observa na parte b) do exemplo.
58. a) Não! Basta considerar, por exemplo, A = 2x + 1 e B = −2x + 1. Então, g r (A + B ) = 0 enquanto
g r (A) + g r (B ) = 2.
b) Sim! É exatamente o resultado do Teorema 5.4.
c) Não! Considere, por exemplo, A = x 2 e B = 4. Então, g r (AB ) = g r (4x 2 ) = 2 = g r (A).
59. f (x) = 2x 2 +4x +2. (Dica) Considere f (x) = ax 2 +bx +c e aplique as condições, ou seja: f (0) = 2 ⇒
c = 2 ⇒ f (x) = ax 2 + bx + 2, f (−1) = 0 ⇒ a − b + 2 = 0 e f (1) = 8 ⇒ a + b + 2 = 8. Resolvendo-se
essas duas equações simultaneamente obtém-se os valores de a e b.
60. (Dica) (=⇒) Considere P é divisível por (x − a), ou seja, r (x) = 0 (resto e nulo). Mas, pelo Lema 5.1
tem-se que r (x) = P (a), então a é raiz de P .
(⇐=) Considere P (a) = 0. Na divisão de P por (x − a) segue que P (x) = (x − a)q(x) + r (x), sendo
que pelo Lema 5.1 deve-se ter r (x) = P (a). Então, r (x) = 0 e consequentemente P é divisível por
(x − a).
Capítulo 6
1. c). (Dica) Basta observar que
x−y
x
y
= 1 − x e que
y
x
=
³ ´−1
x
y
2. d)
.
¢2
3. e). (Dica) Ao invés de escrever m 1/2 como radical, desenvolva m 1/2 + m −1/2 usando o quadrado
¡
da soma, e observe que 1/m = m −1 .
4. a) 3a(−3a + 2)
b) 10b(b + 1)
c) 25(x + 1)(x − 1)
d) (x − 3)(x − 2)
e) x(24x − 13)
f) (x 3 − 1)(x 3 + 1)
g) 2a(2a + 1)2
h) x 2 (x − 1)2
i) (x − y)(x + y − 4)
¡
¢¡
¢
m) 3a + 29 3a − 29
j) (x + y)(x − y + 2)
k) (b − c)(a + b)
l) (l − π)(π − 2)
n) (1 + u)(1 − u)
5. e)
6. b)
7. b)
8. a)
9. b)
10. b)
11. a)
12. a)
13. a)
14. c)
15. b)
16. d)
17. e)
18. c)
19. d)
20. e)
21. d)
22. e)
23. c)
26. b)
27. a)
28. c)
29. c)
30. a = 8, b = −9, c = 3
34. c)
35. d)
24.
x+1
x(x−1)
36. a)
25.
4
x+y
31. b)
32.
37. b)
1
b
33. c)
38. c)
p
p
p
39. b) (Dica)pObserve que a igualdade pode ser reescrita como x − 3 = 7 − 4 3, e que isso garante
que x > 3 (Porque?). Eleve ao quadrado ambos os lados da última igualdade e conclua que
p
p
p ¢2
¡
x 2 − 2 3x + 4( 3 − 1) = 0. Conclua que para essa equação quadrática vale que ∆ = 4 − 2 3 e
com isso, obtenha as raízes da equação. Uma delas não poderá ocorrer (Porque?) e a outra será
x = 2 ∈ Q.
159
40.
1
y−2
41. −4
42. 2
43. −32
44. a)
45. a) (Dica) O numerador pode ser fatorado por agrupamento e o denominador pode ser escrito
como o quadrado da soma de dois termos.
Capítulo 7
1. a) Não é possível, pois para se fazer A 2 e B 2 é necessário que A e B sejam quadradas.
−9
21
−15
"
b) −3(A + B ) =
−9
−6
−3
#
c) (E t )2 + (F t )2 =
·
17/4
2
2
21/4
¸
d) Não é possível, pois o produto DE não está definido, já que o número de colunas de D é
diferente do número de linhas de E .
6
−2
3
"
t
e) D E +B =
"
h) C B + 2A =
25/6
5/4
4
#
3
−6
−6
#
−6
−22
−2
·
22/3
−5/2
f) D A+F =
0
3
¸
g) (D A + F )t =
·
22/3
0
−5/2
3
¸
i) Impossível, pois apesar do produto B t C estar definido, a soma B t C +2B não está, pois as ordens
de B t C e 2B são diferentes.
2. Considere a matriz I 3 , por exemplo. É claro que ela e diagonal (e obviamente quadrada), porém,
não é nula. Ou seja, não vale a volta do resultado, sendo I 3 um contra-exemplo.
"
3. A 6= B
4.
"
7. a) A =
8. a) X =
·
t t
0
5
7
4
0
8
5
7
0
1
2
−1
3
¸
9. (A · B ) =
·
1
0
10. a = 14 e b = 1
−4
−1/2
−3
0
0
0
2
1/4
3/2
#
8
1
6
"
b) B =
#
5. c)
5
0
0
1
10
0
·
b) X =
−2
3
"
1
1
6. A =
#
·
c) C =
0
0
0
8
8
1
1
3
4
3
1
5
4
5
1
16
32
32
64
¸
#
¸
¸
11. a = −1 e b = 2
12. x = 0, y = 1, w = ±i e z = 3
13. a) (Dica) Calcule A 2 , A 3 e A 4 , e perceba que em todos esses casos os elementos a11 e a22 são
sempre iguais a 1, que a 21 é sempre igual a 0 e que o elemento a 21 é sempre igual ao expoente de
A. Com isso, obtém-se facilmente a matriz A 100 e, consequentemente, a soma dos seus elementos.
14. Considerando que A m×n , B r ×t e C u×v , vem que:
7.2.1: É necessário que a ordem de B seja n × m, ou seja, que n = r e t = m.
7.2.2: É necessário que a ordem de B seja n × u, ou seja, que n = r e t = u.
7.2.3: É necessário que A e B tenham a mesma ordem, isto é m = r e n = t , e que C tenha ordem
n × v, ou seja n = u.
7.2.4: É necessário que A e B tenham a mesma ordem, isto é m = r e n = t , e que C tenha ordem
u × m, ou seja v = m.
Capítulo 10. Respostas e dicas dos exercícios
160
7.2.5: É necessário que A tenha ordem m × n e B tenha ordem n × t , isto é, r = n.
7.2.6: A matriz A pode ter qualquer ordem m × n.
7.2.7: É necessário que A e B tenham a mesma ordem, isto é m ×n, logo, deve-se ter m = r e n = t .
7.2.8: A matriz A deve ser quadrada de ordem n, isto é, m = n.
7.2.9: Considerando A de ordem m × n, a matriz nula deve ter ordem n × m.
AB¸ 6= B A. Um exemplo que pode ser
15. Existem infinitos exemplos de matrizes
· A, B que
¸ satisfazem
·
considerado é o par de matrizes A =
1
0
2
3
−2
0
eB=
1
2
.
16. (Dica) Basta mostrar que AB = 0, pois como A 6= 0 e B 6= 0, o resultado será direto.
17. (Dica) Basta mostrar que AC = BC , e como por hipótese se tem que A 6= B , o resultado fica
verificado.
18. x = 5/4, y = −5/4, z = 41/4 e w = 15/4
20. Qualquer matriz K =
·
a
0
0
b
19. a = 11
¸
onde a = 0 ou a = 2 e b = 0 ou b = 2.
21. b) A igualdade ocorre quando AB = B A, ou seja, quando as matrizes A e B comutam.
22. a + b + c = 2.
23. Sim.
24. Quaisquer matrizes de ordem 2 que não comutam, por exemplo: A =
25. a) C = AB =
·
1400
1450
1800
1600
1750
1700
·
−1
2
3
4
¸
·
eB =
4
1
−2
2
¸
.
¸
b) O elemento c 23 representa o total de fertilizante do tipo Z, em kg, utilizado na região Q para as
três culturas.
26. c)
27. d)
28. c)
29. e)
30. e)
31. d)
32. a) (Dica) Pelo item b) do enunciado sabe-se que MC = P , e foram dadas as matrizes C e P . Construa uma matriz genérica M de ordem 3, cujos elementos são m 11 , m 12 , m 13 , m 21 , m 22 , m 23 , m 31 ,
m 32 , m 33 . Faça a multiplicação dessa matriz, M , pela matriz C , e iguale o resultado à matriz P .
Pela igualdade de matrizes será possível obter os valores dos elementos de M , bastanto, posteriormente, transpor os números para letras, conforme descrito no item c) do enunciado.
33. a) (Dica) Basta observar que o custo da produção dos pratos P 1 , P 2 e P 3 é dado pelo produto PC .
·
34. A 2 =
0
0
¸
0
0
Capítulo 8
2
1
−1/2
"
1. a)
−3
7
1
0
−4
−1
# "
·
x
y
z
#
"
=
−1
11
−2
#

w
·
¸
x
9


·
=

y
−3
t

·
c)
−1
7
3
−2
−3
4
1
0
¸
2. α = −1, 32 , 4 é solução apenas do sistema B .
¡
¢
"
b)
2
3
0
4
−7
1
3
−1
1
−5
2
1
#

l
"
#
7
 m 
−4
·
=
n 
0
p

161
4. a) α =
3. a = −4 e b = 3
¡1
2,
b) α = (−2, 1)
¢
3
c) X = {(α, 2α − 3) | α ∈ R}
5. a) α = (1, 0, −1) e o sistema é possível e determinado.
b) α =
2
3, 3,
¡1
¢
−4 e o sistema é possível e determinado.
c) O sistema não possui solução, ou seja, é um sistema impossível.
©¡
¢
ª
11
α−5
d) X = 1 − 13
5 α, − 5 α, 5 , α | α ∈ R e o sistema é possível e indeterminado.
©¡
¢
ª
−11α+4 7−13α
e) X = α−4
, 5 , α | α ∈ R e o sistema é possível e indeterminado.
5 ,
5
f) O sistema não possui solução, ou seja, é um sistema impossível.
6. a) O sistema I é impossível.
©¡ 11
¢
ª
3
α
− 5 − α, 6 + 52 α, 14
5 + 2 α, 5 , α | α ∈ R e o sistema é possível e indeterminado.
´
o
n³
17−β+8α −3−13β+40α
,
α, β | α, β ∈ R e o sistema é possível e indeterminado.
c) X =
32
32
b) X =
d) α = (1, 2, 7) e o sistema é possível e determinado.
e) α = (−2, 2, 1/2) e o sistema é possível e determinado.
7. a)
8. d)
9. d)
10. d)
11. a = −1 e b 6= 0
12. α = (−1, 0, 1, 2)
13. (Dica) Basta usar o método de Gauss-Jordam para escalonar a matriz aumentada do sistema.
A última linha será equivalente à equação 0x + 0y = 6 + k. Portanto, para que a igualdade seja
verdadeira, deve-se ter que k = −6.
14. d)
15. (Dica) Trocando-se as linhas da matriz aumentada do sistema e fazendo seu escalonamento, a
segunda linha gera a equação 0x + 6+k
2 y = 2, que só possui solução apenas quando k 6= −6.
16. a) (Dica) Basta usar o método de Gauss-Jordan para escalonar a matriz aumentada do sistema.
Com isso, uma análise nos coeficientes da equação resultante, que estarão em função de m,
permitirá concluir que m 6= 2 e m 6= −3.
b) (Dica) Basta considerar os casos onde m = 2 e m = −3. Será de fácil percepção que não se
pode considerar m = 2 e que o valor m = 3 fará com que uma igualdade falsa apareça, levando à
conclusão que para esse valor o sistema não terá solução. Portanto, o sistema não tem solução
para m = −3.
c) (Dica) Usa-se a matriz escalonada para substituir m por 1. Com isso, chega-se a valores para as
quatro variáveis e conclui-se que 2x + y − z − 2w = −3.
17. b)
18. a)
20. β = −4
19. (Dica) Basta mostrar que o sistema e possível e indeterminado.
21. a) α = (0, 0, 0)
b) {(−α, α, 0) | α ∈ R}
22. NÃO! Ao se resolver o sistema, chega-se apenas à solução trivial, o que implica que ele é possível e
determinado.
23. Basta resolver o sistema pelo método de Gauss-Jordan.
24. 4 cadeiras.
25. e)
26. d)
27. b) (Dica) Com as informações do texto é possível obter duas equações, ambas com um termo
relativo a duas vezes o preço do produto A, digamos 2P A . Isolando esse termo em uma das
equações, basta substituír a parte isolada na outra equação e será possível achar o valor de P A , e
consequentemente, 3P A .
Capítulo 10. Respostas e dicas dos exercícios
162
28. e)
29. 453 kcal
30. c) (Dica) Com as informações dadas no problema é possível obter duas equações lineares de três
incógnitas, cujas incógnitas são os preços das lâmpadas. Uma outra equação pode ser obtidas
para a soma dos preços de um modelo de cada lâmpada, de forma que a soma seja igualada
a uma constante, a, por exemplo, que será o valor procurado. Resolva o sistema para as três
equações, usando o método de Gauss. Você perceberá que uma das linhas ficará com os elementos
representativos das variáveis iguais a zero. Sendo assim, a única forma do sistema ser possível é
que o elemento representante do termo independente dessa linha também seja nulo. Com isso
obtém-se que a = R$31, 70.
31. c)
Capítulo 9
2. |B | = ¯B t ¯ = 3 + 8i .
¯
1. |A| = −66.
¯
3. As verificações são deixadas a cargo do leitor. Os itens das Propriedades 9.1 utilizados para as
letras a), b), c), d), e) e f ) são, nessa ordem, 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
4. a) d et (C + D) = 0, b) d et (C ) + d et (D) = 0
5. Basta mostrar que |K | = 0.
6. β = −3.
7. (Dica) Pelo Corolário 9.1 basta mostrar que |K | 6= 0.
8. a) d et (A) = 650
b) d et (A) = −856
c) d et (A) = 24
p
£ p
¤
d) d et (A) = −2π + 4 + 2i −2 3(2 + π) − 2(π − 2)
e) d et (A) = 50i − 2
f) d et (A) = −6i
9. Deixada a cargo do leitor.
10. Deixada a cargo do leitor.
11. Para N : A 11 = −7, A 22 = −8, A 33 = 2. Para M : A 13 = 6, A 21 = −5, A 32 = −23.
12. d et H −1 = −1/47
¡
1/2
 −1/2
−1
14. a) A =  1/2
1/2

d) D
15. AB
¡
−1
13. Deixada a cargo do leitor.
¢
·
=
¢
−1 t
−3/4
1/2
·
=
17. Soma = 4.
4/3
1/3
1/2
1/2
5/2
1/2
1/2
1/2
1/2
−1/2
5/4
−1/2
¸
5
−1

−1/2
1/2 
1/2 
1/2
¸
18. Soma = 2.
"
b) B
−1
e) E
−1
=
"
=
−1
0
0
2
1
0
1
−1
0
−1
0
2
−10
−4
1
#
0
1
−1
#
c) @ C −1
16. 12y 11 − 4y 12 = 4
19. a) δ = −7, b) δ = 0
20. Soma = 5.
Referências
1 FILHO, E. de A. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo, SP, Brasil: Editora Nobel,
2002. 6
2 DAGHLIAN, J. Lógica e Álgebra de Boole. 4. ed. São Paulo, SP, Brasil: Editora Atlas,
2006. 6
3 SOARES, E. Fundamentos de Lógica: Elementos de Lógica Formal e Teoria da
Argumentação. São Paulo, SP, Brasil: Editora Atlas, 2003. 6
4 FOSSA, J. Introdução ás técnicas de demonstração na matemática. 2. ed. São Paulo,
SP, Brasil: Editora da Física, 2009. 6
5 VIDIGAL, A. et al. Fundamentos de Álgebra. Belo Horizonte, MG, Brasil: Editora
UFMG, 2009. 7, 21
6 SANTOS, J. P. de O. Introdução à Teoria dos Números. Rio de Janeiro, RJ, Brasil: IMPA,
2009. 7
7 FREITAS, R. de; VIANA, P. Minicurso de Métodos de Prova. Londrina, PR, Brasil: II
Colóquio de Matemática da Região Sul, Universidade Estadual de Londrina, 2012.
Disponível em: <http://www.sbm.org.br/docs/coloquios/SU-2.08.pdf>. Acesso em: 2
fev. 2016. 7
8 DOXIADIS, A. Tio Petros e A Conjectura de Goldbach. [S.l.]: Editora 34, 2001. 8
9 BECKMANN, P. A History of π. 3. ed. New York: Barnes & Noble Books, 1983. 25
10 NIVEN, I. Números: racionais e irracionais. Rio de Janeiro, RJ, Brasil: Editora SBM,
1984. 25
11 FIGUEIREDO, D. G. de. Números irracionais e transcendentes. Rio de Janeiro, RJ,
Brasil: Editora SBM, 2002. 25
12 SANTOS, G. L. dos; BRANDAO, J. de O. O número π: histórico, sua irracionalidade
e transcendência. Brasília, DF, Brasil: Departamento de Matemática, Universidade
Católica de Brasília - UCB. Disponível em: <https://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/
12005/GilvaneideLucenadosSantos.pdf>. Acesso em: 29 jan. 2016. 25
13 ZAHN, M. Sequência de Fibonacci e o Número de Ouro. Londrina, PR, Brasil: Editora
Ciência Moderna, 2011. 25
164
Referências
14 BELUSSI, G. M. et al. Número de ouro. Londrina, PR, Brasil: Departamento
de Matemática, Universidade Estadual de Londrina, UEL. Disponível em:
<http://www.uel.br/cce/mat/geometrica/artigos/ST-15-TC.pdf>. Acesso em: 22 jan.
2016. 25
15 GARCIA, V. C. et al. O número de ouro como instrumento de aprendizagem
significativa no estudo dos números irracionais. Porto Alegre, RS, Brasil: Instituto de
Matemática - UFRGS. Disponível em: <http://www.mat.ufrgs.br/~vclotilde/disciplinas/
html/cultura_matematica_numero_ouro.pdf>. Acesso em: 22 jan. 2016. 25
16 BAHIANO, C. E. N. Números irracionais e irracionais. Salvador, Bahia,
Brasil: Instituto de Matemática, Universidade Federal da Bahia. Disponível em:
<http://miltonborba.org/OBMEP/APOST_3-Racin_Irrac.pdf>. Acesso em: 29 jan. 2016.
25
17 BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de
Valores de Contorno. 7. ed. Rio de Janeiro, RJ, Brasil: LTC editora, 2002. 49
18 POMMER, W. M. O número de euler: Possíveis abordagens no ensino básico.
In: Seminários de Ensino de Matemática. SEMA–FEUSP, 2010. Disponível em:
<https://social.stoa.usp.br/articles/0016/5249/CO_2010_1sem_SEMAFEUSP_O_nA_
mero_de_Euler.pdf>. Acesso em: 2 jan. 2016. 49
19 SANTOS, R. de J. Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias. Belo
Horizonte: Imprensa Universitária da UFMG, 2011. Disponível em: <http:
//www.mat.ufmg.br/~regi/eqdif/iedo.pdf>. Acesso em: 2 jan. 2016. 49
20 SANTOS, R. de J. Crescimento Logístico da População do Brasil. Belo Horizonte,
MG, Brasil: Departamento de Matemática - ICEx - UFMG, 2013. Disponível em:
<www.mat.ufmg.br/~regi/eqdif/popbrasil.pdf>. Acesso em: 2 jan. 2016. 49
21 TAVONI, R.; OLIVEIRA, R. Z. G. Os modelos de crescimento populacional de
malthus e verhulst - uma motivação para o ensino de logaritmos e exponenciais.
Revista Eletrônica Paulista de Matemática C.Q.D., v. 2, n. 2, p. 1–14, 2013. 49
22 LIMA, E. L. et al. Perguntas e Respostas - Seção 1. Rio de Janeiro, RJ, Brasil:
IMPA (Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada) - PAPEM (Programa de
Aperfeiçoamento de Professores de Matemática do Ensino Médio), 2010. Disponível
em: <http://video.impa.br/index.php?page=janeiro-de-2010>. Acesso em: 2 fev. 2016.
51
23 IBGE. Brasil em Números. Rio de Janeiro: Instituto Brasileiro de Geografia e
Estatística, 2004. 59
24 ÁVILA, G. Variáveis Complexas e Aplicações. 3. ed. Rio de Janeiro, RJ, Brasil: LTC
editora, 2000. 64
25 IEZZI, G. Fundamentos da matemática elementar, Volume 6: complexos, polinômios,
equações. 7. ed. São Paulo, SP, Brasil: Atual, 2014. 72, 74, 76, 82
Referências
165
26 RUFALO, S. A. C. Sistemas Lineares, aplicações e uma sequência didática.
Dissertação (Dissertação de Mestrado) — Universidade de São Paulo - USP, Instituto de
Ciências Matemáticas e Computação, 2005. 124
27 BUENO, H. P. Álgebra Linear: Um segundo curso. Rio de Janeiro, RJ, Brasil: Editora
SBM, 2006. 140
28 SANTOS, R. de J. Matrizes, vetores e geometria analítica. Belo Horizonte: Imprensa
Universitária da UFMG, 2012. Disponível em: <http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaalt/
gaalt1.pdf>. Acesso em: 2 jan. 2016. 140, 143, 144, 145
29 POOLE, D. Álgebra Linear. São Paulo, SP, Brasil: Cengage Learning, 2011. 140
30 BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra Linear. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1986. 143, 145
31 LANG, S. Linear algebra (Undergraduate texts in mathematics). 3. ed. New Haven:
Springer, 2004. 144
Índice Remissivo
Adição e subtração de frações algébricas,
95
Algoritmo de Briot-Ruffini, 80
Axioma, 8
Divisão de frações algébricas, 97
Complexo conjugado, 62
Conjectura, 8
Conjunto
Cardinalidade, 29
Conjuntos iguais, 27
das partes, 29
Unitário, 26
Universo, 26
Vazio, 27
Conjunto universo de equações, 65
Conjuntos
Complementar de, 34
Conjuntos, 19
Descrição de, 19
Diferença entre, 33
Elementos, 19
Interseção de, 32
Notação de, 19
Relação de pertinência, 19
União de, 30
Contra exemplo, 13
Corolário, 8
Fator comum, 91
Fatoração de expressões algébricas, 91
Fatoração por agrupamento, 92
Dízima
Dízima, 22
Dízima periódica, 23
Dízima periódica compostas, 23
Dízima periódica simples, 23
Demonstração
Contra exemplo, 13
Demonstração direta, 10
Demonstração indireta, 12
Princípio da Indução Finita, 12
Redução ao absurdo, 12
Determinante, 137
Diagrama de Venn, 29
Diferença de quadrados, 93
Expressões algébricas, 89
Expressões fracionárias, 90
Geratriz, 23
Hipótese e tese, 5
Imaginário puro, 62
Leis de De Morgan, 35
Lema, 8
Mínimo Múltiplo Comum, 95
Método da chave, 77
Matriz
Coluna, 106
Diagonal, 107
Identidade, 107
Linha, 106
Matriz, 104
Multiplicação por escalar, 108
Nula, 106
Quadrada, 106
Simétrica, 108
Transposta, 109
Triangular inferior, 108
Triangular superior, 107
Matriz inversa, 142
Matrizes, 103
Adição de, 108
Diferença entre, 109
Iguadade entre, 105
Multiplicação de, 110
Monômios
Adição e subtração de, 68
Coeficientes de um, 67
Grau de um monômio, 67
Índice Remissivo
168
Monômio em uma variável, 68
Multiplicação de, 69
Multiplicação de um escalar por um
monômio, 68
Parte literal, 67
Potenciação de, 69
Semelhantes, 67
Multiplicação de frações algébricas, 96
Multiplicidade de uma raiz, 82
Números imaginários, 62
Não contradição, 2
Negação, 3
Notação científica, 41
Paradoxo, 8
Parte real e imaginária, 61
Polinômios
Adição de, 74
Divisão de, 77
Grau de um, 73
Igualdade entre, 73
Multiplicação de, 75
Polinômio nulo, 72
Polinômios, 71
Raiz de um, 72
Subtração de, 75
Valor numérico, 72
Potência de base radical, 47
Potências, 41
Potência de uma potência, 44
Potenciação de expoente racional,
46
Produto de potências de mesma base,
42
Produto de potências de mesmo expoente, 43, 44
Propriedades das, 42
Quociente de potências de mesma
base, 43
Princípio da Indução Finita, 12
Produto de radicais de mesmo índice, 47
Produtos notáveis
Cubo da soma e da diferença de dois
termos, 71
Produto da soma pela diferença de
dois termos, 71
Produtos notáveis, 70
Quadrado da diferença de dois termos, 70
Quadrado da soma de dois termos,
70
Proposição
Proposição, 1, 8
Proposição bicondicional, 5
Proposição composta, 2
Proposição condicional, 4
Proposição simples, 2
Quociente de radicais de mesmo índice,
47
Raiz de raiz, 48
Regra de Sarrus, 138
Símbolos, 9
Simplificação de frações algébricas, 94
Simplificação de radicais, 48
Sistemas de equações lineares
Classificação, 119
Equações lineares, 117
Metodos de resolução de, 119
O método de Gauss, 126
O método de Gauss-Jordan, 128
Operações elementares, 123
Sistemas de equações lineares, 118
Sistemas equivalentes e resolução,
124
Sistemas lineares como equações matriciais, 118
Sistemas lineares homogêneos, 131
Soma e diferenças de cubos, 93
Subconjunto, 28
Teorema, 8
Teorema da fatoração, 81
Teorema de D’Alembert, 79
Teorema fundamental de laplace, 139,
140
Terceiro excluído, 2
Trinômio quadrado perfeito, 92
Unidade imaginária, 61
Valor lógico, 2