Aula 2

=11
Aula 2
CÁLCULO DE EXPRESSÕES NUMÉRICAS
Para
calcular
corretamente
qualquer
expressão numérica, é necessário obedecer
algumas prioridades. Então, devemos ter em
mente que devemos fazer os cálculos na
seguinte ordem:
1. parênteses( ), colchetes [ ] e chaves{ }
2. potência e raiz
d) 36 + 2{25 + [18 (5 2)3]} =
=36 + 2{25 + [18 (3)3]} =
=36 +2{25 + [18 9]} =
=36 +2{25 + 9} =
=36 + 2 34 =
=36 + 68 =
=104
e) [(5² - 6 2²)3 + (13
=[(25
7)² : 3] :5 =
6 4)3 + 6² : 3] :5 =
=[(25 24)3 + 36 :3] :5 =
=[1 3 + 12] :5 =
=[3 + 12] : 5 =
=15 : 5 = 3
3. multiplicação e divisão
4. soma e subtração
Introdução à aritmética dos Números
Obs.:
Números Primos
i) Sinais nas operações de multiplicação e
divisão de números reais:
Chamamos de número primo qualquer
número natural n>1 que tenha apenas dois
divisores diferentes: 1 e ele próprio.
+
+
-
x
+
-
+
ii) Na soma e subtração entre números reais
prevalece o sinal do maior.
Os números que têm mais
divisores são chamados de
compostos.
de dois
números
Exemplos:
a) 23 é um número primo. Seus únicos
divisores são: 1 e 23.
Exemplos:
a) 15 + (-4) 3
=15
=-7
b) 5² +
12
10 =
10 =
[ 20 : (-4) + 3] =
=25 + 3 [(-5) + 3] =
=25 + 3 [-2] =
=25 + 3 + 2 =
=30
c) 2 + {3 [1 + (2 5 + 4)] + 8} =
=2 + {3 [1 + 1] +8} =
=2 + {3 2 + 8} =
=2 + 9 =
b) 42 é um número composto. Além de ser
divisível por 1 e 42, é também divisível por 2,
3, 6, 7, 14 e 21.
Reconhecendo números primos
Crivo de Eratóstenes
O Crivo de Eratóstenes foi um dos primeiros
métodos conhecidos para se encontrar
números primos, que consiste em organizar
os números inteiros positivos a partir do
número 2, em ordem crescente, numa tabela
composta por números de 2 a n, e remover
os múltiplos de cada primo determinado.
12
Logo, aparecerão nessa sequência números
que não serão múltiplos dos anteriores e,
portanto, não serão removidos da tabela.
Estes números serão os números primos
procurados.
Inicialmente, colocamos na tabela, uma
sequência de inteiros positivos numerados de
2 a 100 conforme segue:
1º) Dado um número natural n, calcule
.
Se a raiz for exata, significa que temos um
número quadrado perfeito e, portanto
composto. Se a raiz quadrada não for exata,
pegue somente a parte inteira do número
obtido.
2º) Divida n por todos os naturais maiores do
que 1 até chegar ao número obtido a partir
do calculo da raiz quadrada de n.
3º) Se n não for divisível por nenhum dos
números da sequência iniciada em 2 e
terminada no maior número inteiro menor do
que
, dizemos que este número n é primo.
Caso exista algum divisor nessa sequência,
então n será composto.
Por exemplo: Verifique se n=1167 é primo.
1º)
Aplica-se o conceito de número primo para o
inteiro positivo 2. Sabendo-se que o número
2 é um número primo, marca-se na tabela
todos os números que sejam múltiplos de 2;
2º) Seja 34 o maior natural menor do que
O primeiro número da sequência que
aparecer sem estar marcado será um
número primo, que neste caso, é o número 3.
temos que 3 é um divisor de 1167.
3º) Dividindo 1167 por 2, 3, 4, 5, 6, ...., 34
Portanto,1167 não é um número primo, pois
389 x 3 = 1167
Em seguida, marca-se todos os números que
sejam múltiplos de 3;
O próximo número que aparecer sem estar
marcado, que neste caso, é o número 5, será
o nosso terceiro número primo da sequência
numérica da tabela.
Seguindo este raciocínio um número finito de
vezes, é possível ao final determinar todos os
números primos p compreendidos entre 2 e
100 da tabela acima.
Decomposição em fatores primos
Um
número
composto
pode
ser
decomposto em fatores primos. sendo
utilizado o método das divisões sucessivas.
Exemplo:
Obs: é possível ainda, criar uma sequência
de números primos acima de 100 a partir do
crivo de Eratóstenes.
Além disso, para saber se um número é
primo, podemos utilizar o seguinte algoritmo:
13
630 = 2 x
x5x7
Números primos entre si
Dois números são denominados primos
entre si, quando o único divisor comum entre
os dois é o número 1.
Exemplo: Determine os divisores comuns
de 15 e 16
D(15) = {1, 3, 5, 15}
D(16) = {1, 2, 4, 8, 16}
Portanto o único divisor comum de 15 e 16 é
1.
Máximo divisor comum (m.d.c)
O máximo divisor comum de dois ou mais
números, na forma fatorada, é o maior divisor
comum entre eles.
Cálculo do m.d.c.
Um dos modos de calcular o m.d.c de
dois ou mais números consiste em utilizar
a decomposição desses números em
fatores primos.
1º) Decompor os números em fatores primos;
2º) Realizar o produto dos fatores primos
comuns (os fatores primos comuns são
considerados com o menor expoente).
Exemplo:
Acompanhe o calculo do m.d.c entre 84 e 90:
84 = 2 x 2 x 3 x 7 = 36 =
90 = 2 x 3 x 3 x 5 = 90 =
O m.d.c é o produto dos fatores primos
comuns com menor expoente (neste caso, os
expoentes são iguais nos dois números,
então, basta pegar o fator primo de qualquer
um dos números) . Portanto, m.d.c (84,90) =
2x3=6
O m.d.c de dois ou mais números, quando
fatorados, é o produto dos fatores comuns a
eles, cada um elevado ao menor expoente.
Calculo do m.d.c pelo processo das
divisões sucessivas.
Neste processo efetuamos sucessivas
divisões utilizando o algoritmo da divisão, até
chegar a uma divisão exata. O último resto
não nulo das sucessivas divisões será o
m.d.c. procurado.
Exemplo: Calcule m.d.c (48,30)
1. Dividimos o número maior pelo número
menor;
48 30 = 1 (com resto 18)
2. Realize uma nova divisão entre o divisor
30 com o resto 18 obtido.
Repita este processo até que o resto seja
zero.
Assim:
dividendo =
48
30
18
12
=
=
=
=
quociente
1
1
1
2
x divisor +
resto
x
x
x
x
18
12
6
0
30
18
12
6
+
+
+
+
3. O último resto não nulo obtido a partir das
sucessivas
divisões
feitas
acima
corresponde ao número 6. Portanto,
m.d.c (48,30) = 6
Mínimo múltiplo comum (m.m.c)
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais
números naturais é o menor dos múltiplos
comuns a eles, diferentes de zero.
Ou ainda:
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais
números escritos na forma fatorada, é o
produto dos fatores comuns e não comuns
desses números. Os fatores comuns são
considerados com o maior expoente.
14
25 = 52
Cálculo do m.m.c
Para calcular o m.m.c de dois ou mais
números podemos usar:
Então, mmc (18,25,30) = 2 x 32 x 52= 450
Decomposição simultânea em fatores
primos.
EXERCÍCIOS
Aula 2
Exemplo:
Calcular o m.m.c entre 18,25 e 30.
01) Três crianças com idades acima de um
ano estão brincando em um pátio. Sabe-se
que o produto das idades delas é igual a 105.
Qual é a idade da mais velha? Justifique sua
resposta.
02) Dentre os números abaixo, existe um que
é o resultado da multiplicação do número
quatro com certo número primo. Qual é este
número?
a) 252
b) 84 c) 200 d) 204 e) 124
m.m.c (18,25,30) =
=
03) O professor de Matemática disse que
tinha uma certa quantidade de dinheiro que
era divisível por 5, por 6 e por 7. É claro que
essa quantidade pode ser zero. Mas, se ela
não for nula, qual é o seu menor valor?
= 450
Decompondo
separadamente.
1º) decompor
número;
em
cada
número
fatores primos
cada
2º) multiplicar os fatores primos comuns e
não comuns e, entre os fatores comuns,
escolher aquele que apresenta maior
expoente.
Exemplo:
18 = 2 x 32
04) Em uma mercearia o proprietário deseja
estocar 72 garrafas de água, 48 de suco e 36
de mel em caixas com o maior número
possível de garrafas, sem misturá-las e sem
que sobre ou falte garrafa. Qual deve ser a
quantidade de garrafas por caixa?
05) Pense em um número natural e em seu
dobro. Diga qual é o mmc dos dois e dê um
exemplo.
06) Indique se é verdadeira (V) ou falsa (F)
cada uma das seguintes afirmações:
a) Todos os números pares são múltiplos de
dois.
b) Qualquer número é divisor de si próprio.
c) Todos os múltiplos de três são números
ímpares.
d) O número um é múltiplo de todos os
números naturais.
e) O conjunto dos múltiplos de sete, é um
conjunto infinito.
f) Um é divisor de qualquer número
g) Qualquer número é múltiplo de si próprio
30 = 2 x 3 x 5
15
07) Paulo está doente. O médico receitou-lhe
um comprimido de 6 em 6 horas e uma
colher de xarope de 4 em 4 horas. Seu pai
deu-lhe um comprimido e uma colher de
xarope à zero hora (meia noite). Qual é o
primeiro horário em que Paulo voltará a
tomar comprimido e xarope ao mesmo
tempo?
08) Uma escada tem 30 degraus. Rubinho
está subindo essa escada de 3 em 3 degraus
e Felício de 2 em 2 degraus. Responda:
a) Algum deles vai pisar no 15º degrau?
b) Algum deles vai pisar no 23º degrau?
c) Algum deles vai pisar no 18º degrau?
d) Em quais degraus os dois irão pisar
juntos?
09) Daniel escreveu a lista, em ordem
crescente, de todos os números inteiros de 1
a 100 que são múltiplos de 7 ou tem o
algarismo 7. Os três primeiro números da
lista são 7, 14 e 17. Quantos números possui
essa lista?
a) 28; b) 29; c) 30; d) 31; e) 32
10) De que forma explícita podemos escrever
o conjunto de todos os múltiplos de um
número natural n?
11) Quantos elementos possui e como é
escrito o conjunto dos múltiplos do elemento
0?
a) três fatores 2
b) cinco fatores 2
c) seis fatores 2
d) dois fatores 3
e) um fator 3
18) Usando a decomposição em fatores
primos calcule:
a) mdc ( 28, 70 )
b) mmc ( 49, 15 )
c) mmc ( 32, 56 )
d) mmc ( 48, 72 )
e) mmc ( 28, 70 )
f) mmc ( 12, 14, 16 )
g) mdc ( 60, 46 )
h) mdc ( 64, 80, 52 )
19) Indique, dentre estas opções, aquela que
apresenta todas as informações corretas:
a) 12 é múltiplo de 2,3 e de 9;
b) 2, 3 e 7 são divisores de 7;
c) 2,3 e 6 são divisores de 12;
d) 12 é múltiplo de 24 e 39.
20) Determine apenas o sinal de cada
produto:
a) (-5).(+2).(-2).(+3).(-3)
b) (-1).(+3).(-7).(+2).(+5)
c) (-27).(+118).(+76).(-17).(+125)
21) Qual é o quociente da divisão de -204
pelo oposto de -12?
12) Para obter os divisores de um número
natural a, basta saber quais os elementos
que, multiplicados entre si, têm por resultado
o número a. Com base nessa afirmação,
obtenha o conjunto de divisores de cada um
dos números: 13, 18, 25, 32 e 60.
22) Observe este produto: (+14).(-65) = -910
a) Qual é o valor do quociente (-910) (-65)?
b) Qual é o valor do quociente (-910) (+14)?
13) Conhecendo um método para identificar
os números primos, verifique quais dos
seguintes números são primos:
a) 49; b) 37; c) 12; d) 11
23) Calcule mentalmente e anote o resultado:
a) (-18) (+6) =
b) (-35) (-5) =
c) (+70) (+7) =
d) (-49) (+7) =
14) Qual é o menor número primo com dois
algarismos?
15) Qual é o menor número primo com dois
algarismos diferentes?
16) Exiba todos os números
existentes entre 10 e 20?
primos
17) Decompondo o número 192 em fatores
primos encontramos:
24) Decomponha -60 em um produto de dois
números inteiros. Apresente no mínimo três
respostas diferentes.
25) O produto de dois números inteiros é
900. Um deles é -25, qual é o outro?
26) Calcule o quociente do oposto do oposto
de -768 por -16.
16
27) A letra n representa um número inteiro.
Descubra o valor de n nesta igualdade: n +
(- 25) = - 8
28) O dobro de um número inteiro é igual a
-150. Descubra que número é esse.
29) Resolva as expressões numéricas:
recebeu 39 reais. Como eles sempre
dividem a gorjeta por igual, quantos reais
cada um recebeu nesse dia?
34) Resova:
a) 2 + 3 x 5 : 4 3 =
b) 30 . 2 + 5 (12 : 3) + 5 . 4 =
c) 4.(5 + 4 . 4) 2.(8 3) . 12 : 4 =
a) (12 + 37) 5 =
b) 5 + 2 4
9:3=
c) 507 (123 : 3) =
d) [100 + (6² - 23) 7] =
e) 80
f) {[
5(57 18) : (9 + 4)7 =
+ (50 : 5) (- 3)] + 45} =
g) 91 + 5823 : 647 =
h) 6(10000 + 100 + 1)
i)
j)
6(3 7 13
37) =
[(1 + 2) : 3 + 4] : 5 + 6 =
25 + {3³ : 9 + [3² 5 3(2³ - 5)]}
k) (-2)³ + (-3)² - 25 =
l) 24 6 + {[89 30 7] (5 + 8) 6}=
m) [30 (9
6)] + [30 : (9 + 6)]=
n) 5(8 + 15 7 + 23 +3) =
o) {20 + [12 + 3(6 2) 8] 7} =
p) 3(5 +3)
35) Coloque V (verdadeiro) ou F (falso).
a) ( ) 1000 = 7 x 142 + 4.
b) ( ) 200 é múltiplo de 8.
c) ( ) 169 = 13 x 13.
d) ( )12 x 12 = 144.
35) Resolva as expressões numéricas:
a) (125 + 85) · 16 =
b)
f) (6 · 3 + 2 · 2 + 5 · 0) + 12 ÷ 3 =
i) [6+(9÷3)·(2+2+42
[(12 + 4²) : 2] =
30) Dividindo 100 por 9, o resto encontrado é
diferente de zero. De acordo com essas
informações, responda.
a) Qual o resto da divisão de 100 por 9?
b) 100 é múltiplo de 9?
c) Qual o primeiro múltiplo de 9 antes e
após 100?
31) Um livro tem 190 páginas. Li 78 e quero
termina-lo em 4 dias, lendo o mesmo
número de páginas em cada dia. Quantas
páginas lerei por dia?
32) Uma quitanda recebeu uma remessa de
25 caixas de ovos. Cada caixa contém 10
dúzias. Quantas cartelas, com 30 ovos
cada uma podem ser formadas com essa
quantidade?
33) Ao final de um dia de trabalho de três
garçons, um deles contou 24 reais de
gorjeta, o segundo 57 reais e o terceiro
q) 4 · (10 + 20 + 15 + 30) =
t) 67 + {50 · [70 ÷ (27 + 8) + 18 ÷ 2] + 21} =
36) Escreva a expressão numérica associada
às operações indicadas:
a) Adicionei 10 com 18 e multipliquei o
resultado por 2.
b) Adicionei 10 com 8 e dividi o resultado por
2.
c) Subtraí 20 de 50 e multipliquei a diferença
por 3.
d) Subtraí 20 de 50 e dividi a diferença por 5.
37) Apresente uma expressão numérica que
resolva o problema a seguir:
17